=[(x₂--x₁),(y₂--y₁),(z₂--z₁)],

=[(x₃--x₁),(y₃--y₁),(z₃--z₁)],

. (13.15)

Приклад: Написати рівняння площини, що проходить через точки А(-2,3,1), В(-1,0,2), З(1,-2,3).

5. Рівняння площини у відрізках на осях.

. (13.16)

Візьмемо площину не минаючу через початок координат. перпендикулярний площині, -- одиничний вектор, Р=| | -- відстань від початку координат до площини, М(х,y,z) -- довільна точка в просторі, -- радіус вектор, d -- відстань від точки М до площини.



d=DK, , =(x,y,z), =(cos,cos,cos).

У координатній формі

,

d=(xcos+ycos+zcos--P). (13.17)

d= -- це відхилення точки від площини.

У випадку d=0 ми маємо рівняння, що справедливо для точок М(х,y,z), що належать цій площині й тільки для неї і навпаки. Тоді

xcos+ycos+zcos=P. (13.18)

Це нормоване рівняння площини.

xcos+ycos+zcos--P=d. (13.19)

Рівняння площини, що відстоїть від даної точки на відстань d.

7. Кут між площинами.

Цим кутом буде один з кутів між векторами, перпендикулярними до цих площин

Нехай дані дві площини:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

Вектора, перпендикулярні цим площинам:

. (13.20)

а) якщо площини перпендикулярні, то =0, тобто А₁А₂+В₁B₂+C₁С₂=0;

б) якщо площини паралельні -- координати векторів пропорційні

умова паралельності.

§ 14. Пряма в просторі

І. Загальне рівняння прямої

Пряму в просторі найчастіше задають як перетинання двох площин

І площина А₁х+В₁y+C₁z+D=0

ІІ площина А₂х+В₂y+C₂z+D=0 (14.1)

Тоді, якщо точка лежить на прямій, то її координати задовольняють обом рівнянням, тобто її координати є рішенням системи (14.1) і навпаки, усяке рішення цієї системи є точка на прямій. Пряма й система (14.1) це те саме, тому система (14.1) називається загальним рівнянням прямої в просторі.

Якщо система двох ЛАУ дана, то чи завжди вона задає пряму в просторі? Очевидно, ні, тому що площини можуть бути паралельні, тобто

=A, r(А)=1.

Тобто тільки тоді, коли r(А)=2.

ІІ. Канонічне й параметричне рівняння прямої

Нехай пряма проходить через точку М₀(х₀,y₀,z₀) і вона паралельна вектору .

Напишемо рівняння цієї прямої, для чого візьмемо на ній точку М(х,y,z) і тоді

. (14.2)

Це і є канонічне рівняння прямої. Для одержання параметричного прирівнюємо (14.2) до величини t й одержимо систему із трьох рівнянь.

(14.3)

Із цієї системи видно, що пряма одномірна і її положення залежить тільки від одного параметра «t», тобто маємо один ступінь свободи.



Приклад: Знайти проекцію точки А(1,0,2) на площину х+3y--z+4=0.

Рішення: Знаючи рівняння площини знаходимо вектор, перпендикулярний їй:

.

Але він паралельний .

.

Знаходимо координати точки В.

При рішенні зручно скористатися параметричним виглядом.

t+1+9t-2+t+4=0 ,

§ 15. Найважливіші криві другого порядку

І. Визначення: Окружністю називається множина всіх точок площини, що перебувають на однаковій відстані, названій радіусом, від фіксованої точки, названої центром окружності.

Виведемо рівняння окружності радіуса R із центром у точці З₀(х₀,y₀) (мал. 1) Для будь-якої точки М(х,y) окружності маємо СМ=R або СМ ²=R². Тоді одержуємо рівняння окружності:

(х-х₀)²+(y--y₀)²=R². (15.1)

Якщо центр окружності розташований на початку координат, тобто х₀=0, y₀=0, то рівняння окружності приймає вид

x²+y²=R² (15.2)

і називається канонічним.

ІІ. Визначення: Еліпсом називається множина точок площини, сума відстаней від яких до двох даних точок, названих фокусами, є величина постійна.

Нехай ця const=2а, а фокуси є точки F₁(-c,0) і F₂(c,0). Для будь-якої точки М(х,y) еліпса відстань від фокусів є

(15.3)

Але r₁+r₂=2a=const, тоді

r₁=2a--r₂; .

Звідки

або

4ar₂=(x--c)²+y²--(x+c)²--y²+4a², 4ar₂= --4cx+4a² ar₂=a²--cx;

; a²[(x--c)²+y²]=a⁴--2a²cx+x²c².

Звідси

a²x²--2a²cx+a²c²+a²y²=a⁴+2a²cx+x²c²,

(a²--c²)x²+a²y²=a²(a²--c²). (15.4)

Якщо a>c, то позначивши а²-с²=b², де а<с<b, і розділивши (15.4) на а²b² одержимо:

(15.5)

канонічне рівняння еліпса.

Відповідно до цього рівняння еліпс симетричний щодо осей координат. Позитивні числа а й b називають великою й малою півосями еліпса, а число =с/а -- називають ексцентриситетом еліпса. При =0 а=b, с=а й еліпс перетворюється в окружність радіуса а. При =1 маємо а=с, b=0 й еліпс вироджується у відрізок (F₁F₂).

ІІІ. Визначення: Параболою називається множина крапок площини, рівновіддалених від даної точки F, названої фокусом, і від даної прямої m, так званою директрисою (мал. 3).



Нехай F(р/2,0) -- фокус параболи, а пряма m вертикальна й проходить через точку (-р/2,0), симетричну фокусу щодо вертикальної осі координат. Нехай М(х,y) -- довільна точка параболи, тоді МN=х+р/2 -- відстань цієї точки від директриси, а -- відстань від фокуса.

По визначенню параболи ці відстані рівні, тобто

.

Звідси одержуємо рівняння параболи

y²=2px. (15.6)

Однак частіше доводиться мати справу зі звичайним рівнянням параболи, відомим зі школи

y=ax²+bx+c, (15.7)

де а, b, с параметри параболи.

IV. Визначення: Гіперболою називається множина всіх точок площини, різниця відстаней від яких до двох даних точок F₁ й F₂, названих фокусами, є величина постійна (мал. 4).

Нехай ця величина дорівнює 2а. Якщо F₁(-з,0), F₂(з,0) -- фокуси гіперболи й М(х,y) -- довільна точка гіперболи, то відстані від цієї точки до фокусів рівні

(15.8)

По визначенню гіперболи |r₁--r₂|=2а або r₁--r₂=2а. Перетворюючи цей вираз одержуємо канонічне рівняння гіперболи

. (15.9)

При цьому с²-а²=b². Відповідно до цього рівняння гіпербола симетрична щодо осей координат.

Поняття: еліпсоїд, параболоїд, гіперболоїд і конічні перетини.

§ 16. Системи координат: полярна, циліндрична й сферична

І. Полярна система

О -- полюс, ОА -- полярна вісь. Полярними координатами називаються числа і , де -- перша координата або полярний радіус, число -- друга координата або полярний кут.

Формули переходу декартова полярна

(16.1)

І навпаки

. (16.2)

ІІ. Циліндрична система

-- радіус, -- кут у площині, z -- вертикально

(16.3)

ІІІ. Сферичні координати

 (16.4)

Тема II. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

математика алгебра геометрія тригонометрія

§ 1. Поняття межі послідовності

Визначення: Нехай кожному натуральному числу n=1, 2, 3, … за деяким законом поставлено у відповідність дійсне або комплексне число х_n. Тоді говорять, що цим визначена послідовність чисел х₁, х₂, х₃, … або коротше послідовність (1.1)

{x_n}={ х₁, х₂, х₃, …} (1...1)

У такий спосіб Varх_n пробігає значення послідовності {x_n}. Окремі числа x_n послідовності {x_n} називаються її елементами. Ми будемо розглядати послідовності дійсних чисел.

Приклади: n=1, 2, 3, …

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) {n²+1}={2,5,10,17,…}; 6) {(-1)ⁿn}={-1,2,-3,4,-5,…}.....

Визначення: Число «а» називається межею послідовності {х_n}, якщо для всякого >0 знайдеться ( щозалежить від ) число n₀=n₀() таке, що виконується нерівність

|x_n--a|<. (1.2)

Тоді записуємо

або x_na. (1.3)

Говорять, що Var х_n або послідовність {х_n} має межу, рівну числу «а» або прагне до «а». Можна сказати, що Var х_n або послідовність {х_n} сходиться до числа «а».

Зауваження: Якщо limx_n=a, те limx_n+1=a й limx_n--₁=a, .

Приклад:

т. к. .

якщо |q|<1, але q0, тоді |qⁿ--0|=|qⁿ|<, nlg|q|<lg, тобто й т.д.

Межа постійної величини буде рівною самій цій величині, тобто виконується нерівність |x--C|=|C--C|=0< при кожному .

§ 2. Межа функції

Розглянемо деякі випадки зміни функції або прагнення аргументу х до деякої межі «а» або до .

Визначення 1: Нехай функція y=f(х) визначена в деякій околиці точки «а» або в деяких точках цієї околиці. Функція y=f(х) прагне до межі «b» (yb) при х, що прагне до «а» (ха), якщо для кожного позитивного числа , як би мало воно не було, можна вказати таке позитивне число , що для всіх х, відмінних від «а» і задовольняючій нерівності |х-а|<, має місце нерівність |f(x)--b|<. Якщо «b» є межа функції f(х) при х а, то пишуть

 або f(x)b при xa. (2.1)

Зауваження 1. Межу функції f(х) при ха можна визначити в такий спосіб. Нехай Varx приймає значення так, що якщо |х*-а|>|х**-а|, те х** -- є наступне, а х* -- попереднього значення. Іншими словами з 2-х точок числової прямої, наступною є та точка, що ближче до «а», при рівних же відстанях наступна та, котра правіше точки «а».

Зауваження 2. Якщо f(х) прагне до межі «b₁» при х прагнучому до деякого числа «а» так, що х приймає тільки значення менше а, то пишуть

(2.2)

і називають b₁ межею функції f(х) у точці «а» ліворуч.

Якщо ж х приймає тільки значення більше «а», то пишуть

(2.3)

і називають «b₂» межею функції в точці «а» праворуч.

Зауваження 3. Для існування межі функції при х-а не потрібно, щоб функція була визначена в точці х=а. При знаходженні межі розглядаються значення функції в околиці точки «а», відмінні від «а».

Розглянемо деякі випадки зміни функції при х.

Визначення 2: Функція f(х) прагне до межі «b», при х, якщо для кожного довільно малого позитивного числа можна вказати таке позитивне число N, що для всіх значень х, що задовольняють нерівності |х|>N, буде виконуватися нерівність |f(х)--b|<.

Приклад: Доведемо, що або . Потрібно довести, що при довільному буде виконуватися нерівність (*). Якщо тільки |x|>N, причому N визначається вибором . Нерівність (*) еквівалентна наступній нерівності |1/x|<, що буде виконуватися, якщо |x|>1/=N. Це і означає, що . Знаючи суть символів х+, х--, очевидним є й суть виразів: f(x) b при х+ і f(x) b при х --, які символічно записуються так або .

§ 3. Нескінченно мала й нескінченно велика величини

Визначення. Змінна _n, що має межу рівну 0, називається нескінченно малою величиною, якщо для кожного >0 знайдеться n₀ таке, що |_n |< (n>n₀). Для того, щоб змінна х_n мала межу «а», необхідно й досить, щоб х_n=а+_n, де _n -- нескінченно мала величина.

Змінна _n називається нескінченно великою величиною, якщо для будь-якого М>0 знайдеться таке n0, що |_n|>M при (n>n0). Тоді пишуть lim_n= або _n. Може бути як +, так й --.

Деякі властивості:

1. Якщо змінна х_n обмежена, а y_n дорівнює нескінченно великій, то .

2. Якщо |х_n| обмежена знизу позитивним числом, а y_n0 нескінченно мала, то .

Зауваження. Будь-яка не рівна нулю постійна величина (послідовність) не є нескінченно малою. Із всіх постійних величин нескінченно малою є тільки одна прагнуча до нуля. Якщо відомо, що деяка величина постійна і її абсолютна величина менше кожного >0, то вона дорівнює а.

Теорема 1. Добуток нескінченно малої послідовності на обмежену величину є нескінченно малою послідовністю, тобто якщо limx_n=0 й |y_n|=М, то limx_ny_n=0.

Порівняємо нескінченно малі величини.

Нехай одночасно трохи нескінченно малих величин , , , … є функціями того самого аргументу х і прагнуть до нуля при прагненні х до деякої const=«а», тобто limx_n=a або до . Охарактеризуємо прагнення цих змінних до нуля, розглянемо їхні відносини (нескінченно мала в знаменнику не дорівнює нулю в околиці а).

Визначення 1. Якщо / має кінцеву межу не рівну нулю, тобто lim/=A0, а отже lim/=1/A0, то нескінченно малі і називаються нескінченно малими одного порядку.

Визначення 2. Якщо відношення двох нескінченно малих /0, тобто lim/=0, то називається нескінченно малою величиною вищого порядку, ніж нескінченно мала , що називається нескінченно малою нижчого порядку, ніж нескінченно мала .

Визначення 3. Нескінченно мала називається нескінченно малою k-го порядку відносно нескінченно малої , якщо і -- нескінченно малі одного порядку (рівносильні нескінченно малі), тобто якщо lim/^k=A0.

Визначення 4. Якщо відношення двох нескінченно малих /1, тобто якщо lim/=1, то нескінченно малі і називаються еквівалентними нескінченно малими й пишуть .

Теорема 2. Якщо і - еквівалентні нескінченно малі, то їхня різниця (-- ) є нескінченно малою вищого порядку, ніж і .

Теорема 3. Якщо різниця двох нескінченно малих (--) є нескінченно мала вищого порядку, ніж і , то і еквівалентні нескінченно малі .

§ 4. Теореми про межі. Чудові межі

Будемо розглядати сукупність функцій, які залежать від того самого аргументу х, при цьому ха або х.

Доведення проводиться для одного із цих випадків, тому що для іншого воно буде аналогічним.

Теорема 1. Межа алгебраїчної суми, трьох і більше певних змінних чисел х дорівнює алгебраїчній сумі меж цих змінних.

Теорема 2. Межа добутку двох, трьох і взагалі певного числа змінних дорівнює добутку меж цих змінних.

Теорема 3. Межа частки двох змінних дорівнює частці меж цих змінних, якщо межа знаменника не дорівнює нулю.

Теорема 4. Якщо між відповідними значеннями трьох функцій u=u(х), z=z(х) і v=v(х) виконується нерівність uzv, при цьому u(х) і v(х) при ха (х) прагнуть до однієї межі рівній b, то z=z(х) при ха limz=b.

Теорема 5. Якщо при ха (х) функція y=f(х) приймає значення 0 і при цьому прагне до межі «b», то «b» є 0.

Теорема 6. Якщо між відповідними значеннями двох функцій u=u(х) і v=v(х), що прагнуть до меж при ха (х), виконується uv, то має місце lim u lim v.

Теорема 7. Якщо змінна величина v зростаюча, тобто всяке її наступне значення більше попереднього і якщо вона обмежена, тобто v<М, то ця змінна має межу limv=a, де аМ.

Перша чудова межа:

. (4.1)

Друга чудова межа:

. (4.2)

§ 5. Безперервність функції

Нехай функція y=f(х) визначена при деякому значенні х₀ й у деякій околиці із центром у х₀, нехай y₀=f(х₀). Якщо х одержить деякий позитивний або негативне (байдуже) приріст х і прийме значення х=х₀+х, то й функція y одержить деякий приріст y. Нове значення функції буде: y₀+y=f(x₀+x). Приріст функції y виразиться формулою

y=f(x₀+x)--f(x₀). (5.1)

Визначення 1. Функція y=f(х) називається безперервною при х=х₀ (або в точціі х₀), якщо вона визначена в деякій околиці точки х₀ (і в самій точці х₀) і якщо

(5.2)

або те ж саме

. (5.3)

Умову безперервності (5.3) можна записати й так:

або , (5.4)

але . Тоді

. (5.5)

тобто для того, щоб знайти межу безперервної функції при хх₀, досить у вираз підставити замість аргументу х його значення х₀. Геометрично безперервність функції в даній точці означає, що різниця ординат графіка функції y=f(х) у точках х₀+х буде по абсолютній величині довільно малою, якщо тільки (х) буде досить мале.

Визначення 2. Якщо функція y=f(х) безперервна в кожній точціі деякого інтервалу (а,b), де а<b, то говорять, що функція безперервна на цьому інтервалі.

Якщо функція визначена й при х=а (і при цьому ), то говорять, що f(х) у точці х=а -- неперервна праворуч.

Якщо , то говорять, що функція f(х) у точці х=b безперервна ліворуч.

Якщо функція f(х) безперервна в кожній точці інтервалу (а,b) і безперервна на кінцях інтервалу відповідно праворуч і ліворуч, то говорять, що функція f(х) безперервна на замкнутому інтервалі або відрізку [а,b].

§ 6. Точки розриву і їхня класифікація. Теореми про безперервні функції

Якщо функція f така, що для неї існують межі f(а+0) і f(а--0), однак f(а)f(а+0)f(а--0), то, мабуть, вона нерозривна (не безперервна) у точці «а». У цьому випадку говорять, що функція f у точці «а» має розрив першого роду.

На мал. 1-6 наведено 6 графіків функцій, що мають розрив першого роду в точці «а». Буква А позначає точку А=[а,f(а)] графіка функцій. Стрілка на кінці кривої позначає, що кінцева точка, де перебуває стрілка, викинута.

На мал. 1-4 дані графіки, для яких всі три числа f(а), f(а+0), f(а--0) мають сенс. На мал. 1 три точки f(а), f(а+0) і f(а--0) -- попарно різні -- функція не тільки розривна в «а», але розривна праворуч і ліворуч.

На мал. 2 функція безперервна ліворуч в «а», але розривна праворуч. На мал. 3 -- навпаки. На мал. 4 f(а+0)=f(а--0)f(а). У цьому випадку говорять, що функція f має в точці а розрив, який можна прибрати, тобто її можна видозмінити в точці «а», поклавши f(а)=f(а+0)=f(а--0) і вона зробиться безперервною в цій точці.

На мал. 5 функція не визначена в точці «а».

На мал. 6 функція теж не визначена в точці «а», але f(а+0)=f(а--0), тому якщо довизначити у цій точці, поклавши f(а)=f(а+0)f(а--0), то f стане безперервною в точці а.

Якщо у функції f не існує правої або лівої межі в точці «а» або не існує обох, або ж ці межі рівні нескінченності, то говорять, що вона має розрив другого роду в цій точці.

Теорема 1. Якщо функції f й безперервні в точці х=а, то безперервні також у цій точці їхня сума, різниця, добуток і частка (при (а)0).

Теорема 2. Нехай задана функція f(u), безперервна в точці u=А, і ще інша функція u=(х), безперервна в точці х=а й нехай (а)=А. Тоді складна функція F(х) =f[(х)] безперервна в точці х=а.

Теорема 3. Якщо функція f безперервна в точці «а», то існує околиця U(а) цієї точки, на якій f обмежена.

Теорема 4. Якщо функція f безперервна в точці «а» й f(а)0, то існує околиця U(а) точки «а», на якій . Більше того, якщо f(а)>0, то f(а)/2<f(х), а якщо f(а)<0, то f(х) <f(а)/2.

Теорема 5. (Вейерштраса - Карл Теодор Вільгельм (1815-1897), німецький математик, іноземний член Петербурзької АН (1864). Праці по матаналізу, теорії функції, варіаційному обчисленню, диференціальній геометрії й лінійній алгебрі). Для кожної функції безперервної на інтервалі [a,b] існує m=minf(х) і М=maxf(х), де х[a,b].

§ 7. Похідна. Її фізична (механічна) і геометрична інтерпретація

І. Вважаючи, що x0, розглянемо в даній фіксованій точці «х» відношення приросту функції в цій точці до відповідного приросту аргументу х

. (7.1)

(7.1) -- це різницеве відношення (у даній точці «х»). Оскільки значення х ми вважаємо фіксованим, то (7.1) являє собою функцію аргументу х. Ця функція визначена для всіх значень аргументу х, що належить деякій досить малій околиці точки х=0, за винятком самої точки х=0. Таким чином, ми маємо право розглянути питання про існування межі зазначеної функції при х0.

Визначення: Похідною функції y=f(х) у даній фіксованій точці «х» називається межа при х0 різницевого відношення (7.1) (за умови, що ця межа існує). Похідну функції y=f(х) у точці «х» будемо позначати символом y'(х) або f '(х)

. (7.2)

Якщо функція y=f(х) визначена й має похідну для всіх «х» інтервалу (a,b), то ця похідна буде являти собою деяку функцію змінної х, також визначену на інтервалі (a,b).

ІІ. Фізичний (механічний) зміст похідної.

Розглянемо фізичні поняття додатка похідної.

а) Нехай функція f(х) описує закон руху матеріальної точки. Тоді відношення (7.1) визначає середню швидкість точки за проміжок часу від (х х + х). У такому випадку похідна f (х), тобто межа різницевих відношень (7.1) при х0 визначає миттєву швидкість точки в момент часу «x» Отже: Похідна функції, що описує закон руху, визначає миттєву швидкість точки.

б) Нехай функція y=f(х) визначає кількість електрики y, що протікає через поперечний переріз провідника за час «х». Тоді: Похідна f (х) буде визначати силу струму, що проходить через поперечний перетин провідника в момент часу «х».

в) Розглянемо процес нагрівання деякого тіла. Нехай функція y=f(х) визначає кількість тепла (калоріях) «y», яких потрібно передати тілу для нагрівання від х₀ до х₀+х. Тоді: Похідна f (х) визначає теплоємність тіла при даній температурі х.

ІІІ. Геометричний зміст похідної.

Функція y=f(x) на деякому інтервалі (a,b). x -- значення аргументу на цьому інтервалі, х -- довільний приріст аргументу. Р[х+х,f(х+х)]. Тоді дотична «S» у точці М -- це граничне положення січної МР при х0. Кутовий коефіцієнт МР (тобто тангенс кута до осі ОХ) дорівнює

. (7.3)

Тоді в межі x0 кут нахилу січної повинен переходити в кут нахилу дотичної «S» й у такий спосіб можна зробити висновок: Похідна f (х) дорівнює кутовому коефіцієнту, дотичній у точці М до графіка функції y=f(х)

tg₀= f (х). (7.4)

§ 8. Похідна в економіці

Розглянемо однофакторну або одноресурсну похідну функцію y=f(х), що дає об'єм виробленої продукції за одиницю часу залежно від об'єму х витраченого ресурсу. Цим ресурсом може бути -- кількість живої людської праці, вираженого у вигляді людино-годин або числа працівників. Нехай число працівників дорівнює а. Звичайно виробничі функції диференційовні, так що

f(a+1)=f(a)+f (a). (8.1)

Якщо число працівників «а» велике, то рівність (8.1) досить точна. Але що тоді вкладається в зміст f (а)? Це не що інше, як додаткова продукція, вироблена новим співробітником за одиницю часу.

Нехай -- ціна одиниці продукції, а Р -- зарплата працівника за одиницю часу. Тоді, якщо f (а)>Р, то треба найняти ще одного працівника, тому що він приносить фірмі більше, ніж вона йому платить. Це правило має універсальний характер і називається золотим правилом економіки.

У загальному випадку похідну виробничої функції в точці а в економіці називають граничною продуктивністю праці, на відміну від середньої, котра дорівнює f(а)/а.

Розглянемо деякі функції й визначимо економічний зміст їхніх похідних.

1. Функція попиту D=D(P) -- залежність попиту D на деякий товар від його ціни Р. Похідна D'(Р) дає приблизно збільшення попиту при збільшенні ціни на одиницю часу. Але тому що відомо, що при підвищенні ціни попит зменшується, то насправді абсолютне значення похідній показує зменшення попиту з боку покупців на товар при підвищенні його ціни на одну одиницю.

2. Функція пропозиції S=S(Р) -- залежність пропозиції деякого товару від його ціни Р. Похідна S (Р) дає приблизне збільшення пропозиції товару з боку продавців (виробників) при збільшенні ціни на одну одиницю.

3. Функція корисності u(х) -- суб'єктивна числова оцінка даним індивідом корисності кількості товару (х) для нього. Похідна u(х) дає приблизно оцінку додаткової корисності від придбання ще однієї одиниці товару.

4. Податкова ставка -- залежність податку N в % від величини річного доходу Q. Нехай Р -- саме значення податку, яке треба платити з річного доходу Q_P. Тоді Р і є податкова ставка N.

В економіці важливі питання, на скільки % зміниться попит на товар, якщо ціна на нього збільшиться на 1%? На скільки % зміниться пропозиція товару, якщо ціна на нього збільшиться на 1%. Такі питання й відповіді на них уводять нове поняття «еластичність функції по аргументу» або відносна похідна.

Розглянемо функцію y=f(х). Нехай х -- приріст аргументу, f(х) -- відповідний приріст функції. Тоді х/х -- відносна зміна аргументу, -- відносна зміна функції. Величина -- відношення відносної зміни функції до відносної зміни аргументу -- називається середньою еластичністю функції по аргументу на відрізку [х,х+х], а межа цього відношення при х0, тобто

. (8.2)

називається еластичністю функції y по аргументу в точці х і позначається .

Отже, якщо еластичність попиту на товар за ціною дорівнює 2, це означає, що при підвищенні даної ціни на 1%, попит зменшиться на 2%. А якщо еластичність випуску продукції по праці дорівнює 2%, це означає, що для збільшення випуску продукції на 1% треба збільшити кількість працівників на 2%.

Приклад: Для функції попиту D=40--2P. Знайти еластичність попиту за ціною при Р=4.

Рішення: .

§ 9. Похідна суми, добутку, частки, сталої, добутку сталої на функцію

Теорема 1. Похідна const=0, тобто якщо y=С, те y =0, де С=const. y=С-- пряма паралельна осі ОХ й tg=0, тобто f (х) =0.

Теорема 2. Постійний множник можна виносити за знак похідної, тобто якщо

y=Сf(х), де С=const, y =Сf (х) (9.1)

Теорема 3. Похідна алгебраїчної суми кінцевого числа функцій дорівнює відповідній сумі похідних цих функцій

y=u(x)v(x)w(x) y =u (x)v (x)w (x). (9.2)

Теорема 4. Похідна від добутку двох функцій дорівнює добутку похідної першої функції на другу плюс добуток першої функції на похідну другої функції, тобто якщо y=v(х) u(х), то y = v (х) u(х) +v(х) u (х). (9.3)

Аналогічно й похідна будь-якого числа функцій, тобто

y=u₁u₂u₃…u_n, те y =

Доказ: y=uv y+y=(u+u)(v+v) y=uv+uv+uv (:x)

що й було потрібно довести.

Теорема 5. Похідна частки від ділення двох функцій, дорівнює дрібу, у якого знаменник є квадрат знаменника даного дробу, а чисельник є різниця між добутком знаменника на похідну чисельника й чисельника на похідну знаменника, тобто якщо

, то . (9.4)

Доказ:

що й було потрібно довести.

§ 10. Похідна складної функції

Нехай дана складна функція y=f(х), тобто така, що її можна представити у вигляді:

y=F(u), де u=(х) y=F[(х)] (10.1)

u -- називається проміжним аргументом.

Теорема: Якщо функція u=(х) має в деякій точці «х» похідну , а функція y=F(u) має при відповідному значенні «u» похідну , те складна функція y=F [(х)] у точці «х» також має похідну, що дорівнює

(10.2)

де замість «u» повинне бути підставлене вираз u=(х). Коротко: похідна складної функції дорівнює добутку похідної даної функції по проміжному аргументу «u» на похідну проміжного аргументу по «х». (без доказу).

§ 11. Похідна логарифмічної функції. Похідні тригонометричних функцій

Теорема 1. Похідна від функції log_ax дорівнює , тобто якщо y=log_ax, то

. (11.1)

Теорема 2. Похідна від sinx є cosx, тобто якщо y=sinx, то

y =cosx. (11.2)

Доказ:

y+y=sin(x+x); тоді

y=sin(x+x)--

sinx= ,

що й було потрібно довести.

Теорема 3. Похідна від cosx є --sinx, тобто якщо y=cosx, те

y = --sinx. (11.3)

Теорема 4. Похідна від функції tgх дорівнює , тобто якщо y=tgх, то

. (11.4)

Доказ:

Оскільки

,

то,

що й було потрібно довести.

(tgx)=1+tg²x.

Теорема 5. Похідна від функції ctgх дорівнює , тобто якщо y=ctgх, то

, (11.5)

(ctgx)= --(1+ctg²x).

§ 12. Похідні: оберененої, показникової і оберненої тригонометричної функції, а також логарифмичної і степеневої функцій

Теорема 1. Нехай функция f(х) в деякій околиці точки «х₀» зростає (чи спадає) і є неперервною. Нехай, крім того, функція y = f(х) має похідну f (х₀) відмінну від нуля. Тоді обернена функція х = f ^-1(y) визначена в деякій околиці відповідної точки y₀=f(х₀) і має похідну рівную

. (12.1)

Доведення. Зауважимо, що для функції y=f(х) існує обернена функція х = f ^-1(y), визначена в деякій околиці точки y₀=f(х₀) і непервна в цій околиці. Надамо аргументу «y» цієї зворотньої функції в точці «y₀» довільного приросту відмінного від нуля y.

Цьому приросту відповідає приріст х зворотньої функції х = f ^-1(y), причому в силу зростання (спадання) функції х0. Таким чином ми маєм право написати наступну тотожність:

. (12.2)

Нехай тепер в цьому виразі (12.2) y0, тоді в силу неперервності зворотньої функції в точці y₀ і відповідно різницевій формі умови неперервності і х0. Але при х0 знаменник дробу в правій частині (12.2) за визначенням похідної має граничне значення значення f (x₀)0. Тоді права частина в межі буде 1/f (х₀). Але тоді і ліва частина при y0 має граничне значення, яке рівне {f ^-1(y₀)}.

Отже ми отримали в точці y₀ для її похідної співвідношення

,

що і треба було довести.

Геометричний зміст цього. Графік функції y=f(х), точці х₀ відповідає на графіку точка М, тоді f (х₀) = tg, а похідна {f ^-1(y₀)}=tg, т.к. +=/2, то

.

ІІ. Похідна показникової функції.

Показникова функція y=а^х будучи визначеною на бескінечній прямій, є зворотньою для логарифмічної функції х=log_ay, визначеної на півпрямій y>0. Тоді згідно теореми про зворотню функцію, функція y=а^х, де в будь-якій точці х=log_ay має похідну

, тоді остаточно

(a^x) =a^xlna. (12.3)

Якщо а=e, то

(е^х) =е^х. (12.4)

ІІІ. Похідні зворотніх тригонометричних функцій.

y=arcsinх в інтервале -1<х<+1 зворотня для функції х=siny в інтервалі -/2<y+/2. Тоді згідно теореми про зворотню функцію

, (12.5)

аналогічне виведення і для arccosх=y

. (12.6)

. (12.7)

. (12.8)

IV. Поняття логарифмічної похідної функції.

Нехай функція y=f(х) додатня, тоді в цій точці існує lny=lnf(x).

Розглядаючи lnf(х) як складну функцію аргумента х, ми можемо обчислити похідну цієї функції в точці х, приймаючи y=f(х) за проміжний аргумент. Тоді отримаєм

. (12.9)

Величина, яка визначається цією формулою, називається логарифмічною похідною функції y=f(х) в даній точці «х».

Приклад: Розглянемо степенево-показникову функцію y=u(х)^v(х) шляхом обчислення логарифмічної похідної. Тоді lny=v(х)lnu(х). Звідси

.

Звідки

. (12.10)

V. Похідна степеневої функції з будь-яким дійсним показником.

Нехай функція y=х, де -- довільний дійсний показник. Будемо обчислювати для значення х, що належать напівпрямій х>0, маючи на увазі, що y=х>0, тоді lny=lnx

або

y = (х) = х --¹. (12.11)

VI. Таблиця похідних найпростіших елементарних функцій.

1. (x)=x--¹. 9. .

2. . 10. .

3. (a^x)= a^xlna. 11. .

4. (sinx) =cosx. 12. (shx) =chx.

5. (cosx) = --sinx. 13. (chx) =shx.

6. . 14. .

7. . 15. .

8. .

Тепер ми можемо стверджувати, що похідна будь-якої елементарної функції являє собою також елементарну функцію.

§13. Похідна функцій заданих неявно і параметрично

І. Нехай значення двох змінних х и y зв'язані між собою деяким рівнянням

F(х,y)=0. (13.1)

Якщо функція y=f(х) визначена на інтервалі (а,b) така, що рівняння (13.1) при підстановці в нього замість y f(х) звертається в тотожність відносно х, то функція y=f(х) є неявна функція, обумовлена рівнянням (13.1).

Наприклад:

x²+y²--a²=0, підставимо x²+y²--x²--a²=0.

Зауваження 1. Відзначимо, що терміни «явна функція» й «неявна функція» характеризують не природу функції, а спосіб завдання. Кожна явна функція y=f(х) може бути представлена як неявна: y--f(х) =0.

Правило знаходження похідної неявної функції, не перетворюючи її в явну таке. Нехай функція задана рівнянням x²+y²--a²=0. Тут y є функція від х, що визначає і цю тотожність.

Взявши похідну по х, вважаючи, що y є функція х, користуючись складною функцією, одержимо:

2x+2yy =0 .

Ще приклад:

y⁶--y--x²=0 6y⁵y --y --2x=0 .

Зауваження 2. З наведених прикладів випливає, що для знаходження значення похідної неявної функції при даному значенні аргументу х потрібно знати і значення функції y при даному значенні х.

ІІ. Похідна функції, заданої параметрично.

Нехай функція y від х задана параметричними рівняннями

x=(t), y=(t), t₀tT. (13.2)

Припустимо, що ці функції мають похідні й що функція x=(t) має зворотну t=(х), що також має похідну. Тоді, визначену параметричними рівняннями функцію y=f(x) можна розглядати як складну функцію y=(t), t=(х), де t -- проміжний аргумент. Тоді за правилом складної функції

. (13.3)

На основі теореми про похідну зворотньої функції . Підставляючи, одержимо

або . (13.4)

Введена формула дає можливість знаходити похідну функції, заданої параметрично, не знаходячи виразу безпосередньої залежності y від х.

Приклад: Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до лінії, заданої

у точці 0t2.

.

Тема III. Диференціал

§ 1. Визначення диференціала. Формули й правила диференціювання. Використання диференціала для наближених обчислень. Основні теореми диференціального числення. Похідні й диференціали вищих порядків

I. Диференціал функції

Визначення: Функція f(х) називається диференційовною у точці «х», якщо її приріст y у цій точці може бути представлений у вигляді

y=Ax+(x), (1.1)

де А не залежить від х, але в загальному залежить від х, а (x)=0(x). Тоді лінійна функція Ax називається диференціалом функції f(х₀) і позначається df(х₀) або dy, тоді

y=dy+0x при x0 dy= Ax. (1.2)

Приклад:

y=x³, y=(x+x)³-x³=3x²x+3x(x)²+(x)³,

при х0 одержимо dy=3x²dx.

Теорема: Для того, щоб функція була диференційовна в деякій точці х₀, необхідно й досить, щоб вона мала в цій точці похідну, при цьому

dy=f (x)dx. (1.3)

II. Формули й правила обчислення диференціалів

Ми визначили, що диференціал dy функції y=f(х) завжди дорівнює похідної цієї функції f (x), помноженої на диференціал аргументу dх. У такий спосіб таблиця похідних, виконана нами раніше, дає таблицю диференціалів.

d(x)= x-¹dx. 8. .

. 9. .

d(a^x)=a^xlnadx. 10. .

d(sinx)=cosxdx. 11. . (1.4)

d(cosx)= -sinxdx. 12. d(u v)=du dv.

. 13. d(uv)=vdu+udv.

. 14. .

III. Використання диференціала для наближених обчислень

Хоча диференціал dy функції y=f(х) не дорівнює y цієї функції, але з точністю до нескінченно малої більш високого порядку х справедлива наближена рівність

y dy. (1.5)

Відносна величина стає як завгодно малою при х0. Формула (1.5) дозволяє приблизно замінити приріст y функції f(х) її диференціалом dy. Ми можемо додати наближеній рівності (1.5) наступний вигляд:

f (x+x) - f (x)=f (x)x або f (x+x) f (x)+f (x)x. (1.6)

Тоді по формулі (1.6) функція f(х), для значень аргументу близьких до «х» (тобто для малих х) приблизно заміняється лінійною функцією.

Зокрема за допомогою цього може бути отриманий ряд вже відомих наближених формул:

3. e^x 1+x.

sinx x : x0. ln(1+x) x. (1.7)

Приклад:

IV. Диференціал і похідні вищих порядків

Може бути, що похідна f(х) є диференційовною функцією в деякій точці х, тобто може мати похідну. Тоді вона називається другою похідною або похідною другого порядку й позначається

 f (х), f ⁽²⁾(x) або .

Послідовно можна ввести поняття похідної 3-го, 4-го, …, n-го порядку. Тоді n-а похідна (або похідній n-го порядку) функції y=f(х) у точці х називається така, що існує при взятті похідної n раз від функції y=f(х) і позначається

f ⁽ⁿ⁾(x) або y⁽ⁿ⁾(x) або (1.8)

y⁽ⁿ⁾=[y⁽ⁿ-¹⁾].