Формации конечных групп

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дипломная работа

По теме: «Формации конечных групп»

Оглавление

Введение

Глава 1. Основные обозначения, определения, теоремы

Глава 2. Формации конечных групп

2.1 Простейшие свойства формаций. Примеры формаций

2.2 Произведение формаций

2.3 Проекторы конечных групп

Глава 3. Однопорождённые формации

3.1 Простейшие свойства однопорождённых формаций. Примеры однопорождённых формаций

3.2 Формации Гашюца

3.3 Практические задачи

Заключение

Библиография

Введение

Перейдем от рассмотрения отдельных групп к их классам. Класс групп -- это множество групп, которое вместе с каждой своей группой содержит все изоморфные ей группы.

Формацией называется класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.

Понятие группа послужило во многих отношениях образцом при перестройке алгебры и вообще математики на рубеже 19--20 вв. Истоки понятия группа обнаруживаются в нескольких дисциплинах, главная из которых -- теория решений алгебраических уравнений в радикалах. В 1771 французские математики Ж. Лагранж и А. Вандермонд впервые для нужд этой теории применили подстановки. Затем в ряде работ итальянского математика П. Руффини (1799 и позднее), посвященных доказательству неразрешимости уравнения пятой степени в радикалах, систематически используется замкнутость множества подстановок относительно их композиции и по существу описаны подгруппы группы всех подстановок пяти символов. Глубокие связи между свойствами группы подстановок и свойствами уравнений были указаны норвежским математиком Н. Абелем (1824) и французским математиком Э. Галуа (1830). Галуа принадлежат и конкретные достижения в теории групп: открытие роли нормальных подгрупп в связи с задачей о разрешимости уравнений в радикалах, установление свойства простоты знакопеременных групп степени n ? 5 и др.; он же ввёл термин "группа", хотя и не дал строгого определения. Важную роль в систематизации и развитии теории групп сыграл трактат французского математика К. Жордана о Г. подстановок (1870).

Независимо и из других соображений идея группы возникла в геометрии, когда в середине 19 века на смену единой античной геометрии пришли многочисленные "геометрии" и остро встал вопрос об установлении связей и родства между ними. Выход из создавшегося положения был намечен исследованиями по проективной геометрии, посвященными изучению поведения фигур при различных преобразованиях. Постепенно интерес в этих исследованиях перешёл на изучение самих преобразований и поиск их классификации. Таким "изучением геометрического родства" много занимался немецкий математик А. Мёбиус. Заключительным этапом на этом пути явилась "Эрлангенская программа" немецкого математика Ф. Клейна (1872), положившая в основу классификации геометрий понятие группы преобразований: каждая геометрия определена некоторой группы преобразований пространства, и только те свойства фигур принадлежат к данной геометрии, которые инвариантны относительно преобразований соответствующей группы.

Третий источник понятия группа -- теория чисел. Уже Л. Эйлер, изучая "вычеты, остающиеся при делении степеней", по существу пользовался сравнениями и разбиениями на классы вычетов, что на теоретико-групповом языке означает разложение группы на смежные классы по подгруппе. К. Гаусс в "Арифметических исследованиях" (1801), занимаясь уравнением деления круга, фактически определил подгруппы его группы Галуа. Там же, изучая "композицию двоичных квадратичных форм", Гаусс по существу доказывает, что классы эквивалентных форм образуют относительно композиции конечную абелеву группу. Развивая эти идеи, немецкий математик Л. Кронекер (1870) вплотную подошёл к основной теореме о конечных абелевых группах, хотя и не сформулировал её явно.

Осознание в конце 19 века принципиального единства теоретико-групповых форм мышления, существовавших к тому времени независимо в разных областях математики, привело к выработке современного абстрактного понятия группа. Так, уже в 1895 Ли определял группу как совокупность преобразований, замкнутую относительно их композиции, удовлетворяющей некоторым условиям. Изучение групп без предположения их конечности и без каких бы то ни было предположений о природе элементов впервые оформилось в самостоятельную область математики с выходом книги О.Ю. Шмидта "Абстрактная теория групп" (1916).

Современное определение понятия «группа» дано в 1882 г. Вальтером фон Дюком.

В середине XX века (в основном, между 1955 и 1983 гг.) была проведена огромная работа по классификации всех конечных простых групп.

И лишь не так давно В. Гашюц ввел понятие формация. Сейчас этот раздел математики достаточно нов и таит в себе еще много секретов и содержит еще больше нерешенных проблем. Одной из них является проблема Гашюца: "Будет ли формация, порожденная конечной группой содержать лишь конечное множество подформаций? " В современной алгебре изучение классов групп пользуется очень большой популярностью и интересом. Именно поэтому была выбрана данная тема.

В дипломной работе поставлена задача переработать материал из ряда литературы и изложить, так, чтобы любой студен достигший третьего курса математического факультета суме бы разобраться в работе. А так же разобрать ряд конкретных примеров.

Глава 1. Основные обозначения, определения, теоремы

?? -- класс групп

?? -- класс всех абелевых групп

?? -- класс всех нильпотентных групп

?? -- класс всех сверхразрешимых групп

?? -- класс всех разрешимых групп

?? -- класс всех конечных групп

?? -- формация

-- множество всех , для которых выполняется .

-- группа

-- порядок группы

-- единичный элемент группы

-- единичная подгруппа, единичная группа

-- множество всех простых делителей натурального числа n

-- множество всех простых делителей порядка группы

-- центр группы

-- подгруппа Фитинга группы

-- подгруппа Фраттини группы

-- коммутант группы

-- централизатор подгруппы в группе

-- нормализатор подгруппы в группе

-- группа всех автоморфизмов группы

-- является подгруппой группы

-- является собственной подгруппой группы

-- является максимальной подгруппой группы

-- является нормальной подгруппой группы

-- является субнормальной подгруппой группы

-- является минимальной нормальной подгруппой группы

-- факторгруппа группы G по подгруппе H

-- индекс подгруппы в группе

-- прямое произведение подгрупп и

-- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы

-- подгруппа, порожденная некоторым множеством элементов

-- коммутатор элементов

-- группы изоморфны

-- симметрическая группа степени

-- знакопеременная группа степени

-- четверная группа Клейна порядка 4

? -- начало доказательства

? -- конец доказательства

Группой называется непустое множество G с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

операция определена на , т.е;

операция ассоциативна, т.е. ;

в G существует единичный элемент, т.е. такой элемент е G, что

для всех ;

каждый элемент обладает обратным, т.е. существует такой элемент , что .

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой.

Если -- конечное множество, являющееся группой, то G называют конечной группой, а число элементов в -- порядком группы .

Подмножество группы называется подгруппой, если -- группа относительно той же бинарной алгебраической операции, которая определена на . Обозначается: -- является подгруппой группы .

Подгруппа группы называется собственной, если и обозначается .

Собственная подгруппа неединичной группы называется максимальной подгруппой, если не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от всей группы , т.е. если из условия следует, что или . Для максимальной подгруппы М неединичной группы G используется запись .

Централизатор. Пусть -- непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества в группе G и обозначается через .

Центр группы. Центром группы называется совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом группы . Центр группы обозначается через . Ясно, что , т.е. центр группы совпадает с централизатором подмножества в группе . Кроме того, .

Пусть наименьшее натуральное число m, такое, что называется порядком элемента и обозначается , если такого натурального числа не существует, то порядок a, .

Если , где m -- порядок a, то -- циклическая подгруппа в группе , порожденная элементом . Если , то группа называется циклической, порожденной элементом . Причем

Две группы и называются изоморфными, если существует биекция такая, что для всех . Для обозначения изоморфизма используется запись: .

Элемент группы называется сопряженным с элементом , если существует элемент такой, что . Подгруппа группы называется нормальной, если она вместе с каждым элементом содержит все сопряженные.

Другими словами подгруппа нормальна в , если для всех . Запись читается так: -- нормальная подгруппа группы . Равенство означает, что для любого элемента существует элемент такой, что .

О.1.9. Нормализатор. Если -- непустое подмножество группы и , то и Элемент называется перестановочным с подмножеством , если . Равенство означает, что для любого элемента существует такой элемент, что . Если элемент перестановочен с подмножеством , то

и .Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством называется нормализатором подмножества в группе и обозначается через . Итак,

Простая группа. В каждой группе тривиальные подгруппы являются нормальными подгруппами, если в неединичной группе нет других нормальных подгрупп, то группа называется простой. Единичную группу считают непростой.

Факторгруппа. Совокупность всех левых смежных классов группы по нормальной подгруппе с операцией образует группу с единичным элементом и обратным элементом. Группа называется факторгруппой группы по подгруппе и обозначается . Если группа конечная, то факторгруппа любой группы по нормальной подгруппе так же будет группой конечного порядка, равного индексу подгруппы в группе , т.е. .

Силовской -подгруппой конечной группы называют такую -подгруппу, индекс которой не делится на . -группой называют группу, порядок которой есть степень простого числа р.

Пусть -- группа, и -- ее подгруппы. Произведение определяется как множество элементов , где . Если , то говорят, что группа G является произведением своих подгрупп и . В этом случае каждый элемент представим в виде , где.

Произведение называется прямым, если подгруппы и нормальны в и . Прямое произведение обозначают так: . Эта запись означает, что группа является прямым произведением своих подгрупп .

Произведение называется полупрямым, если подгруппы нормальна в , а не является нормальной в и . Полупрямое произведение обозначают так: . Эта запись означает, что группа является прямым произведением своих подгрупп .

Подпрямое произведение. Пусть группа является прямым произведением своих подгрупп . Каждый элемент единственным образом представим в виде . Поэтому отображение будет эпиморфизмом . Эпиморфизм называют проектированием группы на -ю компоненту . Если -- подгруппа группы , то -- подгруппа группы . Подгруппу называют проекцией подгруппы на . Если такова, что , то подгруппу называют подпрямым произведением прямого произведения .

-группой называют группу, порядок которой есть степень простого числа . Ясно, что подгруппы и факторгруппы любой р-группы также являются -группами. Примарной называют группу, которая является -группой для некоторого простого .

Группа называется нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны.

В абелевой группе все подгруппы нормальны, поэтому каждая абелева группа нильпотентна.

Примарная группа совпадает со своей силовской подгруппой, поэтому каждая примарная группа нильпотентна.

Подгруппой Фраттини неединичной группы называется пересечение всех её максимальных подгрупп. Подгруппа Фраттини неединичной группы G обозначается через . Таким образом,

Для единичной группы полагают .

Если , то пересечение всех подгрупп, сопряженных с H, называется ядром подгруппы H в группе G и обозначается через

О.1.18. Пусть и -- мультипликативные группы. Отображение называется гомоморфизмом, если для любых . Если -- подмножество группы , то -- образ при гомоморфизме . Образ гомоморфизма так же обозначают через . Ядром гомоморфизма называют множество , где -- единичный элемент группы . Другими словами в ядре собраны все элементы группы , переходящие при отображении единичный элемент группы , т.е. .

Гомоморфизм называется мономорфизмом, если Если , то гомоморфизм называется эпиморфизмом.

О.1.19. В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т.е. такие элементы и , что . Рассмотрим элемент , для которого . Отсюда .

Коммутатором элементов и называется элемент , который обозначают через . Тогда . Подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы , называется коммутантом группы и обозначается через Таким образом, .

Для любой неединичной группы G можно построить цепочку коммутантов Если существует номер n такой, что , то группа называется разрешимой.

Наименьшее натуральное , для которого , называется ступенью разрешимости группы или производной длиной и обозначается через . Для единичной группы полагают . Группа, которая не является разрешимой, называется неразрешимой. Неединичная абелева группа G имеет цепочку коммутантов Поэтому абелевы группы разрешимы ступени разрешимости 1.

Произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы называют подгруппой Фиттинга группы и обозначают через Множество простых делителей порядка группы обозначается через, а наибольшую нормальную р-подгруппу группы -- через

Группа называется примитивной, если она содержит максимальную подгруппу с единичным ядром. В примитивной группе максимальная подгруппа с единичным ядром называется примитиватором.

Подгруппа называется субнормальной подгруппой группы , если существуют подгруппы , такие, что

,

запись означает, что -- субнормальная подгруппа группы .

Группа называется сверхразрешимой, если она обладает нормальным рядом с циклическими факторами.

Подгруппа группы называется дополнением к подгруппе , если .

Всякое отображение множества всех классов групп в себя называется операцией на классах групп.

Результат операции , примененной к классу , обозначается через . Произведение операций определяется равенствами:

В частности степень операции U определяется так:

,

Введем операции следующим образом:

тогда и только тогда, когда вкладывается в качестве подгруппы в некоторую -группу, т.е. группу, принадлежащую классу ??;

тогда и только тогда, когда вкладывается в качестве нормальной подгруппы в некоторую -группу;

тогда и только тогда, когда является гомоморфным (эпиморфным) образом некоторой -группы;

тогда и только тогда, когда совпадает с декартовым произведением некоторой совокупности -групп;

тогда и только тогда, когда совпадает с прямым произведением конечного числа -групп;

тогда и только тогда, когда совпадает с произведением некоторого конечного числа своих нормальных -подгрупп;

тогда и только тогда, когда имеет нормальные подгруппы такие, что ;

тогда и только тогда, когда имеет нормальные подгруппы такие, что .

Класс ?? называется замкнутым относительно операции , или -замкнутым, если .

Класс групп называется замкнутым относительно подгрупп (относительно нормальных подгрупп), если он -замкнут (он -замкнут), класс групп называется замкнутым относительно гомоморфных (эпиморфных) образов, если он -замкнут. -замкнутый класс иначе называется гомоморфом. Класс групп называется замкнутым относительно поддекартовых (подпрямых) произведений, если он -замкнут (-замкнут).

Класс ?? называется обладающим свойством P, если каждая группа из ?? обладает свойством P. В частности, класс ?? групп называется локально конечным (разрешимым), если каждая группа из ?? локально конечна (разрешима).

Т.1.0 (Лагранжа) Если -- подгруппа в конечной группе то . В частности, порядок конечной группы делится на порядок каждой своей подгруппы.

Т.1.1 Все подгруппы конечной циклической группы порядка исчерпываются циклическими подгруппами порядка для каждого натурального , делящего .

Т.1.2

1) Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой и изоморфны аддитивной группе целых чисел.

2) Все конечные циклические группы одного порядка изоморфны между собой.

Т.1.3 В группе простого порядка нет нетривиальных подгрупп. В частности, группа простого порядка циклическая.

Л.1.4 (тождество Дедекинда) Если и -- подгруппы группы и , то .

Л.1.5 Пусть H -- нормальная подгруппа группы G. Тогда:

если ,то и ;

если ,то и ;

;

.

Л.1.5 Если факторгруппа циклическая, то G абелева.

Т.1.6 Для конечной группы и её силовской -подгруппы справедливы следующие утверждения:

1) если -- нормальная подгруппа группы , то -- силовская -подгруппа в а -- силовская -подгруппа в ;

2) ;

3) если и -- нормальные подгруппы группы , то и ;

4) пусть -- все простые делители порядка группы , при , и -- соответствующие им силовские подгруппы. Тогда , а если , то .

Т.1.7 (Силова) Пусть конечная группа G имеет порядок , где -- простое число и не делит . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) в группе существует подгруппа порядка для каждого ;

2) если -- -подгруппа и -- подгруппа порядка , то существует такой элемент , что ;

3) любые две подгруппы порядка сопряжены;

4) число подгрупп порядка в группе сравнимо с единицей по модулю и делит .

Т.1.8 .

Л.1.8 (Фраттини) Если -- нормальная подгруппа конечной группы и . -- силовская -подгруппа из , то .

Л.1.9 Пусть -- -группа. Тогда:

1) -- элементарная абелева -группа;

2) если и -- элементарная абелева группа, то ;

3) является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой -- элементарная абелева -группа;

4) если , то существуют элементы , такие что .

Л.1.10 (Ремарка). Если и -- нормальные подгруппы группы , то факторгруппа изоморфна подгруппе, являющейся подпрямым произведением прямого произведения .

Т.1.11 Пусть , и . Если факторгруппа нильпотентна, то нильпотентна.

Следствие. Если нильпотентна, то нильпотентна.

Л.1.12 Пусть -- гомоморфизм группы G в группу Г. Тогда:

единичный элемент группы переходит в единичный элемент группы , т.е. ; обратный элемент переходит в обратный, т.е. для всех ; образ гомоморфизма является подгруппой группы Г, т.е. ; ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой группы G, т.е. ; тогда и только тогда , где , когда .

Т.1.13. (Основная теорема о гомоморфизме) Если -- гомоморфизм, то , т.е. при гомоморфизме групп факторгруппа по ядру изоморфна образу.

Л.1.14 Если , , , то .

Если и , то .

Если ,, то .

Если и ? , то .

Если , то Z(G) = Z(A) Z(B).

Т.1.15 Центр неединичной примарной группы отличен от единицы.

Т.1.16 В примарной группе каждая собственная подгруппа отлична от своего нормализатора.

Т.1.17 В примарной группе пересечение неединичной нормальной подгруппы с центром группы отлично от единицы.

Л.1.18 1. Подгруппы и факторгруппы разрешимой группы разрешимы.

2. Если , и -- разрешимы, то разрешима.

3. Прямое произведение разрешимых групп является разрешимой группой.

Л.1.19 Нильпотентные группы разрешимы.

Л.1.20 Простая неабелева группа примитивна и любая ее максимальная подгруппа является примитиватором.

Нильпотентная группа примитивна тогда и только тогда, когда она имеет простой порядок.

Л.1.21 Каждая подгруппа и каждая факторгруппа сверхразрешимой группы сверхразрешимы.

Прямое произведение сверхразрешимых групп является сверхразрешимой группой.

Л.1.22 Сверхразрешимая группа разрешима.

Т.1.23 Пусть -- разрешимая неединичная примарная группа и -- её примитиватор. Тогда:

1) группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу , причем ;

2) если делит , то ;

3) Все дополнения к подгруппе в группе сопряжены между собой.

Л.1.24 1. Если группа содержит нормальную циклическую подгруппу и факторгруппа сверхразрешима, то группа сверхразрешима.

2. Если факторгруппа сверхразрешима, то группа сверхразрешима.

3. Нильпотентная группа сверхразрешима.

Т.1.25 1. Максимальные подгруппы сверхразрешимой группы имеют простые индексы.

2. В сверхразрешимой группе каждая минимальная нормальная подгруппа имеет простой порядок.

Т.1.26 (Хупперта) Если в группе все максимальные подгруппы имеют простые индексы, то группа сверхразрешима.

Л.1.27 Пусть -- Класс Шунка и -- нильпотентная нормальная подгруппа группы Если -- -подгруппа, для которой , то содержится в некоторой -покрывающей подгруппе группы . В частности, если -- -максимальная подгруппа группы , для которой , то -- -покрывающая подгруппа группы .

Т.1.28 Любая формация конечных нильпотентных групп замкнута относительно подгрупп.

Л.1.29 Для любого класса групп справедливы следующие утверждения:

а) , т.е. ;

б) , т.е. ;

в) , т.е. ;

г);

д), т.е. .

Глава 2. Формации конечных групп

2.1 Простейшие свойства формаций. Примеры формаций

О.2.1 Класс групп -- это множество групп, которое вместе с каждой своей группой содержит все ей изоморфные группы.

Если ? -- некоторое множество простых чисел и -- класс групп, то через обозначается класс всех ?-групп из . . Группы из класса называют также -группами.

Класс ?? называется наследственным классом или классом, замкнутым относительно подгрупп, если выполняется следующее требование:

(1)

Класс называется замкнутым относительно факторгрупп или гомоморфом, если выполняется требование:

(2)

Класс называется замкнутым относительно прямых произведений, если выполняется требование:

(3)

Класс ?? называется насыщенным, если выполняется требование:

(4)

Класс ?? называется замкнутым относительно подпрямых произведений, если выполняется требование:

(5)

Класс называется примитивно замкнутым, если выполняется требование:

если все примитивные факторгруппы группы принадлежат , то (6)

О.2.2 Формацией называется класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений и обозначается ??.

Другими словами класс групп ?? называется формацией, если:

1) каждая факторгруппа любой группы из ?? также принадлежит ??;

2) если .

Если формации ?? и таковы, что , то называется подформацией формации ??.

По определению пустое множество является формацией (пустая формация).

О.2.2 Класс групп ?? называется формацией, если он является одновременно -замкнутым и -замкнутым.

О.2.3 Формация называется насыщенной, если она является насыщенным классом.

Т.2.1 Класс групп, замкнутый относительно подгрупп, факторгрупп и прямых произведений, является формацией.

Пусть для класса ?? выполняются требования (1),(2), (3). Необходимо проверить, что выполняется требование (5). Пусть . По лемме Ремака факторгруппа изоморфна подгруппе прямого произведения . Так как выполняется требование (3), то

. Поскольку выполняется требование (1), то каждая подгруппа из прямого произведения также принадлежит . В частности, . ?

Примеры формаций:

1. Классу ?? всех абелевых групп присущи следующие свойства: подгруппы и факторгруппы абелевых групп являются абелевыми группами; прямые произведения абелевых групп также являются абелевыми группами. Поэтому условия теоремы 2.1. для класса ?? выполняются. Следовательно ?? -- формация. Эта формация не является насыщенной. Все группы порядка 4 абелевы, поэтому все они принадлежать ??. В неабелевой группе кватернионов порядка 8 подгруппа Фраттини имеет порядок 2 поэтому , но Q не содержится в ??.

2. Для класса ?? выполняются требования теоремы 2.1. Если , то по следствию из теоремы 1.11. Поэтому ?? -- насыщенная формация.

3. Для класса ?? выполняются требования теоремы 2.1, а по следствию из теоремы 1.26, ?? -- насыщенная формация.

4. Для класса ?? выполняются условия теоремы 2.1, а из леммы 1.18, следует, что выполняется требование (4).

Поэтому ?? -- насыщенная формация.

5. Класс всех -групп является насыщенной формацией, поскольку он замкнут относительно подгрупп, факторгрупп и прямых произведений. Если по теореме 1.8, поэтому и -- насыщенная формация.

6. Поскольку пересечение насыщенных формаций является насыщенной формацией, то насыщенными формациями являются следующие классы групп:

-- класс всех разрешимых -групп;

-- класс всех сверхразрешимых -групп;

-- класс всех нильпотентных -групп;

Л.2.2 Пересечение любого множества формаций также является формацией.

Пусть -- некоторое множество формаций и . Покажем, что ?? является формацией. Пусть и -- гомоморфный образ группы . Так как для любого , то учитывая, что является формацией по определению 2.2, получим для любого и значит . Отсюда следует, что ?? является классом групп и класс ?? Q-замкнут.

Пусть Покажем, что . Так как , то для любого и значит , т.е. . Следовательно, по определению 2.2 ?? является формацией. ?

О.2.4 Пусть ?? -- некоторое множество групп. Пусть -- пересечение всех тех формаций, которые содержат ??. Класс называется формацией, порожденной множеством групп ??. Если то пишут вместо причем в этом случае называют формацией, порожденной группой .

Обозначим через -- класс групп, состоящий из всех тех и только тех групп, которые изоморфны группе . Тогда справедливо следующее утверждение.

Л.2.3

Пусть , где ?? -- формация групп. Так как ?? есть класс групп, то с каждой группой , принадлежащей ??, в ?? содержатся и все группы, изоморфные с , т.е.

Обратно: Пусть Так как , то . Отсюда следует, что формация тогда и только тогда содержит группу , когда она содержит класс . А значит в пересечении формаций для получения и участвуют одни и те же формации, поэтому ?

Рассмотрим еще один пример формаций -- многообразие групп.

О.2.5 Многообразием групп называется класс всех групп, каждая из которых удовлетворяет данному некоторому множеству тождеств. Другими словами -- класс групп замкнутый относительно подгрупп и гомоморфных образов.

Л.2.4 Многообразие групп является формацией.

Пусть ?? является многообразием групп. Тогда класс ?? является одновременно гомоморфом и замкнутым относительно поддекартовых произведений. Пусть . Покажем, что подпрямое произведение групп принадлежит ??. Отметим, что в случае конечного числа групп декартово (поддекартово) произведение групп совпадает с прямым (подпрямым) произведением групп. Так как класс ?? замкнут относительно поддекартовых произведений, то подпрямое произведение групп принадлежит ?? и значит, класс ?? является замкнутым относительно подпрямых произведений. Тогда по определению 2.2 ?? является формацией групп. ?

2.2 Произведение формаций

О.2.6 Пусть -- непустая формация и -- группа. Пересечение всех нормальных подгрупп группы , факторгруппы по которым принадлежат ??, обозначается через и называется -корадикалом группы . Таким образом

.

Другими словами -корадикалом группы называется пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых .

Отметим, что -корадикал конечной группы обозначают иначе через и называют -корадикалом; ??-корадикал, ??-корадикал, -корадикал называются соответственно нильпотентным, разрешимым, -разрешимым корадикалом. -корадикал -- абелев корадикал -- это коммутант группы .

В следующей лемме рассмотрим ряд свойств -корадикала группы .

Л.2.5 Пусть ?? -- формация и -- группа. Тогда:

1) если и то ;

2) ;

3) - наименьшая нормальная подгруппа группы , для которой ;

4) тогда и только тогда, когда .

? 1. Если и , то по определению -корадикала .

2. Из определения формации следует, что

3. Из 1 и 2 следует, что -- единственная нормальная подгруппа группы , для которой

4. Если , то . Если , то ?

Примеры корадикалов:

1. Для класса абелевых групп -корадикал является коммутантом группы .

2. Пусть ?? -- класс всех элементарных абелевых -групп. По теореме 2.1 класс ?? -- формация. По лемме 1.9, для каждой -группы подгруппа совпадает с подгруппой Фраттини группы .

Л.2.6 Пусть ?? -- формация, -- группа и . Тогда:

1) .

2) если ?? -- эпиморфизм , то ;

3) если , то ;

4) если и ,то ;

5) если -- непустая подформация формации ??, то ;

1. Пусть . Тогда и по лемме 2.5 поэтому . С другой стороны,

( так как и ?? -- гомоморф. По лемме 2.5, т.е.

2. Пусть ?? -- эпиморфизм и . Тогда и

3. Пусть и ?? -- эпиморфизм группы на , т.е. , для всех . Так как , и , то Поскольку , то , следовательно, = и = .

4. Если .

5. Пусть -- непустая подформация формации ?? и -- произвольная группа. Так как -- пересечение всех тех нормальных подгрупп группы , для которых , и значит, то для каждой нормальной подгруппы с указанным свойством, а значит, содержится и в пересечении всех таких нормальных подгрупп , т.е. . ?

О.2.7 Пусть ?? -- класс групп и ?? -- формация. Корадикальным произведением ?? и ?? называется класс состоящий из всех групп, у которых ?? -корадикал принадлежит ??.

В частности, пусть и -- некоторые формации. Если , то положим, что . Если , . Класс называется произведением формаций.

Л.2.7 Пусть ?? -- класс групп, ?? -- формация. Тогда:

1) если ?? -- нормально наследственный класс, то ;

2) если ?? содержит единичную группу (например, ?? -- непустой гомоморф), то ;

3) если ?? и ?? -- формации, то группа тогда и только тогда, когда .

1) Если и ?? -- нормально наследственный класс, то и , т.е. .

2) Если , то и , т.е. .

3) Пусть ?? и ?? -- формации. Допустим, что . Тогда и по лемме 2.5 и обратно если, , то. ?

Т.2.8 1) Если ?? -- гомоморф, а ?? -- формация, то -- гомоморф.

2) Если ?? и ?? -- формации, то -- формация.

3) Если ?? и ?? -- наследственные формации, то -- наследственная формация.

4) Если ?? и ?? -- нормально наследственные формации, то -- нормально наследственная формация.

1) Пусть и .

Тогда

т.к. и ?? -- гомоморф. Поэтому b -- гомоморф.

2) Пусть ?? и ?? -- формации. По утверждению 1) произведение -- гомоморф. Пусть , . Тогда . Так как ?? -- формация, то и . Итак, -- формация.

3) Пусть ?? и ?? -- наследственные формации, и . Тогда . Так как , то . Но , поэтому и .

4) Пусть ?? и ?? -- нормально наследственные формации. Пусть и . Тогда . Рассмотрим подгруппу . Ясно, что . Поскольку, , то и , т.е. . Так как и ?? -- нормально наследственная формация, то . Но нормальна в поэтому . ?

Т.2.9. Пусть ??, ?? и ? -- формации. Тогда:

1) для любой группы ;

2)

? 1) По теореме 2.8 произведение -- формация. Пусть -- -корадикал группы . Так как , то

, поэтому .

Рассмотрим факторгруппу . Поскольку , то и Таким образом, .

2) Из утверждения 1) следует, что для любой группы . Теперь если, то и . Следовательно

Обратно, если , то Значит, и . ?

2.3 Проекторы конечных групп

О.2.8 Пусть -- группа и -- класс групп. Если -- подгруппа группы и , то называют -подгруппой. -максимальной подгруппой группы называется такая -подгруппа из , которая не содержится ни в какой большей -подгруппе. Таким образом, подгруппа -максимальна в , если и из условий следует, что .

О.2.9 Подгруппа группы называется -проектором группы , если -- -максимальная подгруппа группы для любой нормальной подгруппы группы .

Пусть , -- класс всех -групп и -- силовская -подгруппа в . Так как и индекс в группе не делится на , то -- -максимальная подгруппа группы . Для любой нормальной подгруппы группы по теореме 1.6, факторгруппа -- силовская -подгруппа в , поэтому является-максимальна в и -- -проектор группы . Таким образом, -проектор группы совпадает с силовской -подгруппой группы .

Л.2.10 Пусть -- класс групп. Если -- -проектор группы и , то -- -проектор факторгруппы .

Пусть . Тогда . Так как -- -проектор группы , то является

-максимальной в . Поэтому -максимальна в и -- -проектор группы . ?

Л.2.11 Пусть -- класс групп. Подгруппа группы является

-проектором тогда и только тогда, когда является -максимальной в и для любой минимальной нормальной подгруппы группы подгруппа -- -проектор группы .

Если -- -проектор группы , то будет -максимальной в и по лемме 2.10 подгруппа -- -проектор группы для любой минимальной нормальной подгруппы группы .

Обратно, пусть -максимальна в и -- -проектор группы для каждой минимальной нормальной подгруппы группы . Пусть -- произвольная нормальная неединичная подгруппа группы и пусть -- минимальная нормальная подгруппа группы, содержащаяся в . По условию леммы -- -проектор группы , поэтому будет -максимальной в . Следовательно, -- -проектор группы . ?

Л.2.12 Пусть -- гомоморф, , и . Если -- -проектор факторгруппы , то каждый -проектор подгруппы является -проектором группы .

Пусть -- -проектор подгруппы . Тогда -максимальна в , а так как -- -проектор группы , то .

Пусть . Тогда . Поскольку -- гомоморф, то и , т.е. . Из -максимальности подгруппы в следует, что и будет -максимальной в .

Предположим, что подгруппа не является -проектором группы . Это означает, что существует нормальная подгруппа в группе такая, что не -максимальна в , т.е. существует подгруппа и . Поскольку -- -проектор группы и , то -максимальна в и -максимальна в . Кроме того, , а так как , то из -максимальности в получаем, что . Теперь , а так как -- -проектор подгруппы , -максимальна в . Но , где . Поэтому , что противоречит допущению. ?

О.2.10 Пусть -- класс групп. Подгруппа называется

-покрывающей подгруппой группы , если является -проектором каждой подгруппы группы , в которой содержится.

В знакопеременной группе степени 5 силовская 2-подгруппа является -проектором, но не является -покрывающей подгруппой.

Действительно, в имеется подгруппа, изоморфная . Пусть -- подгруппа группы , содержащая , и изоморфная . Тогда нормальна в и , т.е. подгруппа не является -проектором подгруппы . Значит, подгруппа не является ??-покрывающей подгруппой группы . Так как -- простая группа и -- ??-максимальна в , то будет ??-проектором в . Отметим, что подгруппа является -покрывающей подгруппой группы . ?

Л.2.13 Пусть -- гомоморф. Подгруппа является -покрывающей подгруппой группы тогда и только тогда, когда и из условий: , , (*) следует, что .

Пусть -- -покрывающая подгруппа группы и пусть выполняются условия (*). Так как -- -проектор подгруппы , то является -максимальной в . Но , поэтому и .

Обратно, пусть и для всех подгрупп и , удовлетворяющих условиям (*) следует, что . Предположим, что подгруппа не является -покрывающей подгруппой группы . Тогда подгруппа не является -проектором некоторой подгруппы . Это означает, что для некоторой нормальной подгруппы группы подгруппа не -максимальна в . Пусть -- -максимальная подгруппа в , содержащая . Тогда , а так как и -- гомоморф, то .

Для подгруппы выполняются условия (*), поэтому . Получили противоречие. Следовательно, допущение неверно, подгруппа -- -проектор подгруппы , а так как -- произвольная подгруппа группы , содержащая , то -- -покрывающая подгруппа группы . ?

Лемма 2.13 позволяет дать следующее определение -покрывающей подгруппы, эквивалентное исходному.

О.2.10 Пусть -- класс групп. Подгруппа называется -покрывающей подгруппой группы , если выполняются следующие требования:

1)

2) Из условий , , следует, что .

Л.2.14 Для любого гомоморфа и любой группы справедливы следующие утверждения:

1) если -- -проектор группы и максимальна в ,то -- -покрывающая подгруппа группы ;

2) если -- -покрывающая подгруппа в группе и , то -- -покрывающая подгруппа в ;

3) если -- -покрывающая подгруппа группы и , то -- -покрывающая подгруппа факторгруппы ;

4) если и -- -покрывающая подгруппа факторгруппы , то каждая -покрывающая подгруппа из является -покрывающей подгруппой группы .

Утверждения 1) и 2) непосредственно вытекают из определения -покрывающей подгруппы.

3) По лемме 2.10 подгруппа -- -проектор факторгруппы . Пусть -- произвольная подгруппа группы , содержащая . Тогда , а так как -- -проектор подгруппы , то вновь по лемме 5.10 подгруппа -- -проектор . Поэтому -- -покрывающая подгруппа группы .

4) Пусть -- -покрывающая подгруппа в . Тогда

-максимальна в . Но , значит . По лемме 2.12 подгруппа -- -проектор группы . Пусть , , . Докажем, что , тогда по лемме 2.13 подгруппа будет -покрывающей подгруппой группы .

Так как -- -покрывающая подгруппа группы , то -- -покрывающая подгруппа в . Но и , поэтому , откуда получаем, что . По тождеству Дедекинда, , а поскольку Тогда , а так как -- -покрывающая подгруппа из , то = , и . ?

О.2.11 Классом Шунка называется класс групп, который одновременно замкнут относительно факторгрупп, и является примитивно замкнутым классом. Т.о. для класса Шунка выполняются требования (2) и (6) определения 2.1.

Л.2.15 Пусть -- класс Шунка. В каждой разрешимой группе

-проектор самонормализуем тогда и только тогда, когда .

Пусть в каждой разрешимой группе -проектор совпадает со своим нормализатором. Предположим, что не содержится в . Тогда существует группа . Пусть -- -проектор группы . Так как , то . Но в нильпотентных группах собственные подгруппы отличны от своих нормализаторов, поэтому , получили противоречие. Значит допущение неверно и .

Обратно, пусть и существует разрешимая группа , в которой

-проектор -- собственная подгруппа в своем нормализаторе. Пусть простое число делит порядок . Тогда в существует подгруппа порядка . Так как , то не будет -проектором подгруппы , т.е. получили противоречие.

О.2.12 Картеровой подгруппой называют нильпотентную самонормализуемую подгруппу группы.

Л.2.16 В любой разрешимой группе множество ?? -проекторов совпадает с множеством картеровых подгрупп.

Пусть -- ??-проектор группы. Тогда нильпотентна и по лемме 2.15 совпадает со своим нормализатором, т.е. является картеровой подгруппой группы .

Обратно, пусть -- картерова подгруппа группы . Воспользуемся индукцией по порядку группы. Так как в нильпотентных группах собственные подгруппы отличны от своих нормализаторов, то --

?? -максимальная подгруппа группы . По лемме 1.27, существует нильпотентная нормальная подгруппа группы такая, что -- собственная подгруппа.

По индукции -- ??-проектор группы . Пусть . Тогда -- картерова подгруппа группы и по индукции подгруппа -- ??-проектор группы . Поэтому подгруппы и сопряжены в , т.е. существует элемент такой, что . Тогда . Таким образом, -- самонормализуемая нильпотентная подгруппа группы . По индукции подгруппа -- ??-проектор группы , а по лемме 2.14, подгруппа -- ??-проектор группы . ?

Следствие. В любой разрешимой группе картеровы подгруппы существуют и сопряжены между собой.

Л.2.17 Если в примитивной разрешимой группе примитиватор имеет простой индекс, то группа сверхразрешима.

Пусть -- примитивная группа, -- её примитиватор и -- простое число. Пусть . По теореме 1.23, группа и . Теперь и изоморфна группе автоморфизмов группы , которая является циклической группой порядка, делящего . Поэтому циклическая и группа сверхразрешима по лемме 1.24. ?

О.2.13 Гащюцевой подгруппой группы называется подгруппа группы , удовлетворяющая следующим двум требованиям:

1) сверхразрешима;

2) если , то -- не простое число.

Т.2.18 В любой разрешимой группе множество -проекторов совпадает с множеством гащюцевых подгрупп.

Пусть -- -проектор разрешимой группы . Тогда сверхразрешима. Предположим, что существуют подгруппы и такие, что , -- простое число.

Тогда -- примитивная группа с примитиватором индекса в . По лемме 2.17 группа сверхразрешима. Так как -- ??-проектор , то , т.е. получили противоречие. Поэтому допущение неверно и если, то-- не простое число.

Обратно, пусть выполняются требования 1) и 2) из определения гащюцевой подгруппы. Если и , то -- простое число по теореме 1.25, что противоречит второму условию. Поэтому -- -максимальная подгруппа группы .

По лемме 1.27 существует нильпотентная нормальная неединичная подгруппа группы такая, что -- собственная подгруппа. Рассмотрим факторгруппу . Ясно, что сверхразрешима.

Если , то и не простое число.

Таким образом, -- гащюцева подгруппа факторгруппы . По индукции является -проектором факторгруппы , а по лемме 2.14, подгруппа -- -проектор группы . ?

Следствие. В любой разрешимой группе гащюцевы подгруппы существуют и сопряжены между собой.

Глава 3. Однопорождённые формации

3.1 Простейшие свойства однопорождённых формаций. Примеры однопорождённых формаций

Важное место среди формаций занимают формации , порожденные одной группой , такие формации называют однопоражденными формациями. Однопорожденные формации, порождённые конечной группой, впервые ввёл в рассмотрение основатель теории формаций В. Гашюц. Такие формации были названы формациями Гашюца.

О.3.1 Формация, порождённая конечной группой, называется формацией Гашюца.

Л.3.1 Пусть группа -- прямое произведение простых неабелевых подгрупп Если -- неединичная нормальная подгруппа группы , то для некоторого непустого множества В частности, каждая минимальная нормальная подгруппа группы совпадает с одной из подгрупп и каждая нормальная подгруппа из обладает нормальным дополнением в .

Пусть -- неединичная нормальная подгруппа группы . Допустим, что не содержит нормальную подгруппу для любого . Так как -- простая группа, то для любого . Тогда является подгруппой в и значит для любого . Следовательно, т.е. Так как , то , что невозможно. Следовательно, содержит для некоторого. Пусть, например, . Можем считать, что . Тогда по модулярному тождеству . Так как нормальна в , то нормальна в . Теперь по предположению индукции по числу сомножителей заключаем, что , где . Тогда , где . Пусть Тогда и значит, обладает нормальным дополнением в . ?

Напомним, что обозначает класс групп, состоящий из тех и только тех групп, которые изоморфны группе .

Т.3.2 Если -- простая группа, то каждая неединичная группа, принадлежащая формации , является прямым произведением конечного числа групп из

Пусть -- множество групп, являющихся прямым произведением конечного числа групп из , и . Предварительно покажем, что является классом групп. Пусть . Тогда , где , . Пусть -- изоморфизм группы . Тогда . Так как для любого , то и значит . Следовательно, является классом групп.

Покажем, что является формацией. Пусть и -- нормальная подгруппа группы . Если , то является конечной элементарной абелевевой -группой. Тогда -- либо единичная группа, либо конечная элементарная абелева группа, и значит . Пусть -- неабелевая простая группа и , где , . По лемме 3.1 для некоторого множества и , где и . Так как и , то .

Пусть и , где . Докажем, что . Можем считать, что . Если -- простое число, то и являются конечными элементарными абелевыми -группами. Так как изоморфно вкладывается в, то является конечной элементарной абелевой -группой и значит , т.е. в этом случае является формацией.

Пусть -- неабелевая простая группа. Так как является нормальной подгруппой группы , то нормальна в . Тогда по лемме 3.1 является прямым произведением групп из и . Отсюда следует, что и . Тогда и . Так как и является прямым произведением конечного числа групп из то и является прямым произведением конечного числа групп из . Следовательно, и значит является формацией. Так как каждая группа из принадлежит , то . С другой стороны и -- формация, значит . Следовательно, . ?

Каждая формация ?? содержит тривиальные подформации: пустую -- ?? и саму себя ??.

Следствие. Непустая формация ?? из ?? тогда и только тогда содержит лишь тривиальные подформации, когда ?? порождается простой группой.

Достаточность. Пусть порождается простой группой и -- непустая подформация из . Если , то по теореме 3.2 содержит группу , которая является прямым произведением конечного числа групп изоморфных . Тогда содержит нормальную подгруппу , такую, что . Так как , то . Но по лемме 2. Тогда . Следовательно, содержит лишь тривиальные подформации.

Необходимость. Пусть содержит лишь тривиальные подформации. Пусть . Тогда содержит нормальную подгруппу такую, что -- простая группа. Так как , то является подформацией из . Тогда . ?

Т.3.3 Пусть является простой неабелевой группой для любого . Тогда каждая неединичная группа, принадлежащая формации , является прямым произведением конечного числа групп из .

Пусть -- множество групп, являющихся прямым произведением конечного числа групп из , и . Предварительно покажем, что является классом групп. Пусть . Тогда , где , . Пусть -- изоморфизм группы . Тогда . Так как для любого то и значит . Следовательно, является классом групп.

Покажем, что является формацией. Пусть и -- нормальная подгруппа группы . -- неабелевая простая группа и , где , , . По лемме 3.1 для некоторого множества и , где и . Так как и , то .

Пусть и , где . Докажем, что . Можем считать, что . -- неабелевая простая группа. Так как является нормальной подгруппой группы , то нормальна в . Тогда по лемме 3.1 является прямым произведением групп из и . Отсюда следует, что и . Тогда и . Так как и является прямым произведением конечного числа групп из то и является прямым произведением конечного числа групп из . Следовательно, и значит является формацией. Так как каждая группа из принадлежит , то . С другой стороны и -- формация, значит . Следовательно, . ?

Т.3.4 Пусть является простой абелевой группой для любого . Тогда каждая группа, принадлежащая формации , является прямым произведением клнечного числа групп из .

Пусть -- множество групп, являющихся прямым произведением конечного числа групп из , и . Предварительно покажем, что является классом групп. Пусть . Тогда , где , . Пусть -- изоморфизм группы . Тогда . Так как для любого то и значит . Следовательно, является классом групп.

Покажем, что является формацией. Пусть и -- нормальная подгруппа группы . И , то является конечной элементарной абелевевой -группой. Тогда -- либо единичная группа, либо конечная элементарная абелева группа, и значит .

Пусть и , где . Докажем, что . Можем считать, что . Если -- простое число, то и являются конечными элементарными абелевыми -группами. Так как изоморфно вкладывается в, то является конечной элементарной абелевой -группой и значит , т.е. в этом случае является формацией. Так как каждая группа из принадлежит , то . С другой стороны и -- формация, значит . Следовательно, . ?

Из теоремы 3.2 и 3.3 непосредственно получаем следующее утверждение:

Следствие. Пусть -- простые неабелевые группы. Тогда каждое подпрямое произведение групп изоморфно прямому произведению конечного числа групп из.

Замечание. Если формация порождается конечным числом групп, т.е. то является однопорождённой формацией. В самом деле, , где .

3.2 Формации Гашюца

Т.3.5 Для любого класса групп ?? имеет место равенство .

Доказательство. Если , то . Пусть . По лемме 1.29, б) и значит . Следовательно, класс является -замкнутым. Покажем, что класс является-замкнутым. По лемме 1.29, д) . Далее по лемме 1.29, г) . Так как по лемме 1.29, в) , то . Теперь по лемме 1.29, д) и значит . Следовательно, класс является -замкнутым. Тогда по определению 2.2' класс является формацией групп. По лемме 1.29 имеем . Так как является пересечением всех формаций, содержащих , то .

По определению 1.1' имеем и . Так как то отсюда следует, что и , т.е. . Следовательно,. ?

Следствие.

Л.3.6 Пусть -- группа Шмидта порядка , и . Тогда формация не является -замкнутой.

Пусть , где -- группа Шмидта порядка и. Покажем, что не является -замкнутой. Пусть и -- соответственно прямое и подпрямое произведения групп где. Тогда . По следствию из теоремы 3.5 . Поэтому достаточно показать, что не содержит нормальных подгрупп индекса . Допустим, что в существует нормальная подгруппа индекса . Тогда по лемме 1.8 Фраттини Так как с абелевыми силовскими подгруппами и -замкнута, то абелева. Тогда существует такой, что и . Следовательно, где . Тогда является либо 1, либо элементом порядка из , причём хотя бы для одного имеет порядок . Пусть, например, . Так как -- подпрямое произведение групп , то в существует элемент такой, что , где . Но тогда элементы и не являются перестановочными. Следовательно, ?? не является -замкнутой. ?

Т.3.7 Пусть -- формация конечных разрешимых групп. Тогда и только тогда каждая подформация Гашюца из ?? является -замкнутой, когда .

Необходимость. Пусть -- формация разрешимых групп и каждая подформация Гашюца из ?? -замкнута. Допустим, что . Пусть и наименьшего порядка с таким свойством. Пусть -- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда . Так как , то . Допустим, что . Так как нильпотентна, то и нильпотентна, и значит . Получили противоречие. Следовательно,. Тогда существует максимальная подгруппа в , не содержащая . Следовательно, и . Так как , то нильпотентна. Далее каждая максимальная подгруппа группы , содержащая , нормальна в . Так как является подформацией в , то -замкнута. Теперь имеем и нормальна в , следовательно, . Так как то нильпотентна. Значит, каждая максимальная подгруппа группы нильпотентна. Тогда является группой Шмидта. Далее и по условию -замкнута, что противоречит лемме 3.6. Следовательно, .

Достаточность. Пусть . Так как по теореме 1.28 формация конечных нильпотентных групп S-замкнута, то тем более каждая подформация Гашюца из ?? является -замкнутой. ?

Т.3.8 Пусть ?? -- формация конечных групп. Тогда и только тогда каждая подформация Гашюца из ?? является -замкнутой, когда .

Необходимость. Пусть ?? -- формация конечных групп и каждая подформация Гашюца из -замкнута. Допустим, что . Пусть наименьшего порядка с таким свойством. Так как , то и значит, является -замкнутой. Пусть -- максимальная подгруппа группы . Так как и -замкнута, то . Теперь и . Следовательно, . Значит, все максимальные подгруппы из нильпотентны. Так как , то не является нильпотентной группой и значит -- группа Шмидта. Пусть . Так как , то , и значит . Тогда по условию является -замкнутой, что противоречит лемме 3.6. Следовательно, .