Формации конечных групп

Достаточность. Пусть и . Тогда является формацией нильпотентных групп и значит по теореме 1.28 -замкнута. Следовательно, каждая подформация Гашюца из является

-замкнутой. ?

О.3.2 Группа называется формационно критической, если конечна и формация, порождённая теми собственными секциями, из , которые лежат в , не содержит .

Л.3.9 Формационно-критическая группа монолитична.

Допустим, что формационно критическая группа содержит две различные минимальные нормальные подгруппы и . Так как , то и . Тогда Так как и и , то , но это противоречит тому, что является формационно критической группой. Значит, является монолитической группой. ?

Л.3.10 Конечная простая группа является формационно критической.

Пусть -- конечная простая группа. Если -- абелева группа, то единственной собственной секцией в является единичная группа. Так как , то является формационно критической группой. Пусть -- неабелевая простая группа. Так как по теореме 3.2 каждая неединичная группа из является прямым произведением групп из то единственной собственной секцией из , содержащейся в , является единичная секция. Так как , то является формационно критической группой. ?

Т.3.11 Формация конечных групп порождается своими формационно критическими группами.

Пусть -- формация конечных групп и -- подформация из , порожденная всеми формационно критическими -группами. Допустим, что . Пусть группа и -- наименьшего порядка с таким свойством. Если -- простая группа, то по лемме 3.10 является формационно критической, и значит , что невозможно. Следовательно, -- непростая группа. Пусть -- собственная секция группы такая, что . Так как , то и значит . Далее, и, значит, . Так как , то не принадлежит формации, порождённой теми собственными секциями из , которые лежат в . Следовательно, является формационно критической группой. Но тогда , что невозможно. Следовательно, , и, значит, формация порождается своими формационно критическими группами. ?

Следствие. Формация Гашюца порождается своими формационно критическими группами.

Пусть -- формация Гашюца. Тогда , где -- конечная группа. Так как , то, и, значит, является формацией конечных групп. Тогда по теореме 3.11 порождается своими формационно критическими группами. ?

Т.3.12 Конечная группа принадлежит формации, порождённой всеми формационно критическими секциями группы .

Допустим, что группа -- минимального порядка. Если -- простая группа, то по лемме 3.10 является формационно критической группой. Так как и -- формационно критическая секция группы , то принадлежит формации, порождённой всеми формационно критическими секциями группы . Значит, -- непростая группа, и не является формационно критической группой. Тогда, где -- множество всех собственных секций группы , таких, что . Пусть . Так как то по индукции принадлежит формации, порождённой всеми формационно критическими секциями группы . Пусть -- формационно критическая секция группы . Тогда , и из следует , и, значит, является формационно критической секцией группы . Отсюда следует, что принадлежит формации, порождённой формационно критическими секциями группы . Получили противоречие. ?

3.3 Практические примеры

В данном параграфе мы рассмотрим несколько примеров на нахождение , а так же на нахождение -корадикалов и - проекторов групп для конкретных формаций и конкретных групп. Напомним, что .

Возьмем группу и рассмотрим, что представляет формация .

Т.к. =5 -- простое число, то группа имеет только тривиальны нормальные подгруппы и саму себя. Тогда по определениям 2.2 и 2.4. получаем:

Аналогичным образом рассмотрим и , получим:

Исходя из рассмотренных примеров можем предположить, что любая циклическая группа простого порядка порождает формацию вида:

, где -- простое число. Действительно, по теореме Лагранжа порядок группы делится на порядок своей подгруппы. Следовательно, в будут только тривиальные нормальные подгруппы. По определению 2.4. -- пересечение всех тех формаций, которые содержат .

Теперь рассмотрим формацию порожденную группой , . В группе нормальными подгруппами являются, , , они будут нормальными потому, что группа абелева. Находим факторгруппы и , рассмотрим , , , , , тривиальные случаи в дальнейшем рассматривать не будем, ясно, что они тоже будут принадлежать формации. По определению формации будет иметь следующий вид:

Рассмотрим формацию порожденную группой , . В группе нормальными подгруппами являются, , . Фактор группа . Формация примет следующий вид:

.

Мы рассмотрели примеры формаций порожденных циклическими абелевыми группами. Теперь рассмотрим неабелевы формации порожденные группами и . Напомним, что .

Так как перечислить все группы входящие в формацию, порожденную достаточно трудно, то мы вывешим ряд подформаций:

Можно видеть, что ряд подформаций формации порожденной группой имеет вид:

при является простой группой.

Рассмотри строение формации порожденной . Так как является простой группой, то нормальными в ней будут являться и . Следовательно, формация будет иметь вид:

.

Мы рассмотрели строение формаций порожденных некоторыми группами. Теперь рассмотрим примеры корадикалов.

Пусть

Найти -корадикал группы .

Группа группа представима в виде полупрямого произведения , где -- четверная группа Клейна порядка 4.

В нормальными подгруппами являются , и .

Рассмотрим факторгруппу .

Рассмотрим факторгруппу .

Рассмотрим факторгруппу .

Делаем вывод, что .

Рассмотрим аналогичный пример. С той лишь разницей, что . Найдем . Как и в предыдущем примере нам нужно рассмотреть 3 случая:

Рассмотрим факторгруппу .

Рассмотрим факторгруппу .

Рассмотрим факторгруппу .

Получаем, что

Найдем -корадикал группы .

Рассмотрим три случая:

Рассмотрим факторгруппу .

Рассмотрим факторгруппу .

Рассмотрим факторгруппу .

Получаем, что

Найдем -корадикал группы ,. В группе нормальными подгруппами будут , и .

Рассмотрим три случая:

Рассмотрим факторгруппу .

Рассмотрим факторгруппу .

Рассмотрим факторгруппу .

Получаем, что

Найдем -корадикал группы .

Рассмотрим три случая:

Рассмотрим факторгруппу . Так как и мы знаем, что нильпотентные группы разрешимы, отсюда делаем вывод, что

Рассмотрим факторгруппу .

Рассмотрим факторгруппу .

Получаем, что

Перейдем к рассмотрению проекторов.

В найдем -проектор.

По определению подгруппа группы называется -проектором группы , если -- -максимальная подгруппа группы для любой нормальной подгруппы группы .

При -- максимальная -подгруппа в . Допустим, что , пусть . следовательно не является ?? -проектором группы .

Допустим , пусть Рассмотрим она будет - максимальной в . Отсюда следует, что -- -проектор группы .

В найдем -проектор.

. В нормальными нильпотентными подгруппами будут являться и .

При -- максимальная -подгруппа в . Допустим, что , пусть . следовательно не является ?? -проектором группы .

Допустим , пусть Рассмотрим она будет -максимальной в . Отсюда следует, что -- -проектор группы .

В найдем -проектор.

Нормальными в будут и но не является нильпотентной. Выпишем все неединичные нильпотентные подгруппы в . Это будут подгруппы порядков 8, 4, 3, 2.

Допустим, что , пусть . следовательно является ?? -проектором группы .

Допустим, что , пусть . следовательно является ?? -проектором группы .

Допустим, что , пусть . не является подгруппой в следовательно не является ?? -проектором группы .

Допустим, что , пусть . не является подгруппой в , следовательно, не является ?? -проектором группы .

Заключение

формации теорема корадиал гашюц

В дипломной работе в первой главе представлены основные обозначения, определения и теоремы, необходимые для понимания работы. При этом мы старались излагать все факты последовательно, так, чтобы читателю не пришлось обращаться к другим источникам.

Во второй главе мы рассмотрели основные позиции теории формаций. В первом параграфе мы дали определение формации. Во втором параграфе рассматривается произведение формаций. В третьем параграфе мы рассмотрели проекторы.

Третья глава посвящена однопорожденным формациям. В конце главы рассматриваются конкретные примеры по всему вышеизложенному материалу, поясняющие и дополняющие его. Мы находим строение формаций порожденных группой, ?? -корадикалы и проекторы групп.

Все поставленные цели и задачи были достигнуты. Работа изложена понятным математическим языком. Любой студент, получающий математическое образование и достигший третьего курса, сможет разобраться в работе. Работа так же может помочь учителям, проводящим элективные курсы по теории групп.

Библиография

Белоногов В.А. Задачник по теории групп [Текст] / В.А. Белоногов.- М.: Наука, 2000.- 239 с.

Богопольский О.В. Введение в теорию групп [Текст] / О.В. Богопольский.- М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002.- 148 с.

Ведерников В.А. Элементы теории классов групп [Текст] : Учебное пособие по спецкурсу / В.А. Ведерников.- Смоленск: Смоленский гос. пед. ин-т, 1988.- 95 с.

Винберг Э.Б. Курс алгебры [Текст] / Э.Б. Винберг.- М.: Факториал, 1999.- 528 с.

Горенстейн Д. Конечные простые группы [Текст] : Введение в их классификацию / Д. Горенстейн.- М.: Мир, 1985.- 352 с.

Каморников С.Ф. Подгрупповые функторы в теории классов конечных групп [Текст] / С.Ф. Каморников, М.В. Селькин.- Гомель: Гомельский гос. ун-т, 2001.- 238 с.

Каргаполов М.И. Основы теории групп [Текст] / М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков.- М.: Наука, 1982.- 288 с.

Кострикин А.И. Конечные группы [Текст] / А.И. Кострикин // Алгебра. Топология. Геометрия / АН СССР. ВИНИТИ.- М., 1964.- (Итоги науки. Математика).- М., 1966.- С. 7-46.

Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов [Текст] / В.С. Монахов.- Минск: Вышэйшая шк., 2006.- 207 с.

Скиба А.Н. Алгебра формаций [Текст] / А.Н. Скиба.- Минск.: Беларуская навука, 1997.- 240 c.

Шеметков Л.А. Формации конечных групп [Текст] / Л.А. Шеметков.- М.: Наука, 1978.- 272 с.

Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем [Текст] / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба.- М.: Наука, 1989.- 253 с.

Фадеев Д.К. Лекции по алгебре [Текст] / Д.К. Фадеев.- М.: Наука, 1984.- 415 с.

Guo, W. The Theory of Classes of Groups [Текст] / W. Guo.- Beijing; New York; Dordrecht; Boston; London: Science Press-Kluwer Academic Publishers, 2000.- 258 p.

Размещено на Allbest.ru