Рациональные уравнения и неравенства
Основные методы решения рациональных уравнений: линейных и их систем, квадратных и сводящихся к ним, возвратных. Формула Виета для многочленов высших степеней. Свойства неравенств, метод интервалов и графическое решение, системы рациональных неравенств.
| Рубрика | Математика |
| Вид | учебное пособие |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 05.03.2010 |
| Размер файла | 353,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
СОДЕРЖАНИЕ
1 Рациональные уравнения
1.1 Линейные уравнения
1.2 Системы линейных уравнений
1.3 Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним
1.4 Возвратные уравнения
1.5 Формула Виета для многочленов высших степеней
1.6 Системы уравнений второй степени
1.7 Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем уравнений
1.8 Однородные уравнения
1.9 Решение симметрических систем уравнений
1.10 Уравнения и системы уравнений с параметрами
1.11 Графический метод решения систем нелинейных уравнений
1.12 Уравнения, содержащие знак модуля
1.13 Основные методы решения рациональных уравнений
2 Рациональные неравенства
2.1 Свойства равносильных неравенств
2.2 Алгебраические неравенства
2.3 Метод интервалов
2.4 Дробно-рациональные неравенства
2.5 Неравенства, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины
2.6 Неравенства с параметрами
2.7 Системы рациональных неравенств
2.8 Графическое решение неравенств
3 Тест
1 РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Функция вида
P(x) = a0xn + a1xn - 1 + a2xn - 2 + … + an - 1x + an,
где n - натуральное,
a0, a1,…, an - некоторые действительные числа, называется целой рациональной функцией.
Уравнение вида
P(x) = 0,
где P(x) - целая рациональная функция, называется целым рациональным уравнением.
Уравнение вида
P1(x) / Q1(x) + P2(x) / Q2(x) + … + Pm(x) / Qm(x) = 0,
где P1(x), P2(x), … ,Pm(x), Q1(x), Q2(x), …,
Qm(x) - целые рациональные функции, называется рациональным уравнением.
Решение рационального уравнения
P (x) / Q (x) = 0,
где P (x) и Q (x) - многочлены (Q (x) 0), сводится к решению уравнения P (x) = 0 и проверке того, что корни удовлетворяют условию Q (x) 0.
1.1 Линейные уравнения
Уравнения вида
ax+b=0,
где a и b - некоторые постоянные, называется линейным уравнением.
Если a0, то линейное уравнение имеет единственный корень: x = -b /a.
Если a=0; b0, то линейное уравнение решений не имеет.
Если a=0; b=0, то, переписав исходное уравнение в виде ax = -b, легко видеть, что любое x является решением линейного уравнения.
Уравнение прямой имеет вид:
y = ax + b.
Если прямая проходит через точку с координатами X0 и Y0, то эти координаты удовлетворяют уравнению прямой, т. е. Y0 = aX0 + b.
Пример 1.1. Решить уравнение
2x - 3 + 4(x - 1) = 5.
Решение. Последовательно раскроем скобки, приведём подобные члены и найдём x:
2x - 3 + 4x - 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,
6x = 12, x = 2.
Ответ: 2.
Пример 1.2. Решить уравнение
2x - 3 + 2(x - 1) = 4(x - 1) - 7.
Решение.
2x + 2x - 4x = 3 +2 - 4 - 7, 0x = - 6.
Ответ: .
Пример 1.3. Решить уравнение.
2x + 3 - 6(x - 1) = 4(x - 1) + 5.
Решение.
2x - 6x + 3 + 6 = 4 - 4x + 5,
- 4x + 9 = 9 - 4x,
-4x + 4x = 9 - 9,
0x = 0.
Ответ: Любое число.
1.2 Системы линейных уравнений
Уравнение вида
a1x1 + a2x2 + … + anxn = b,
где a1, b1, … ,an,
b - некоторые постоянные, называется линейным уравнением с n неизвестными x1, x2, …, xn.
Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Если система из n неизвестных, то возможны следующие три случая:
1) система не имеет решений;
2) система имеет ровно одно решение;
3) система имеет бесконечно много решений.
Пример 2.4. решить систему уравнений
2x + 3y = 8,
3x + 2y = 7.
Решение. Решить систему линейных уравнений можно способом подстановки, который состоит в том, что какого-либо уравнения системы выражают одно неизвестное через другие неизвестные, а затем подставляют значение этого неизвестного в остальные уравнения.
Из первого уравнения выражаем:
x= (8 - 3y) / 2.
Подставляем это выражение во второе уравнение и получаем систему уравнений
x = (8 - 3y) / 2,
3(8 - 3y) / 2 + 2y = 7.
Из второго уравнения получаем y = 2. С учётом этого из первого уравнения x = 1.
Ответ: (1; 2).
Пример 2.5. Решить систему уравнений
x + y = 3,
2x + 2y = 7.
Решение. Система не имеет решений, так как два уравнения системы не могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения x + y = 3, а из второго x + y = 3,5).
Ответ: Решений нет.
Пример 2.6. решить систему уравнений
x + y = 5,
2x + 2y = 10.
Решение. Система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение получается из первого путём умножения на 2 (т.е. фактически есть всего одно уравнение с двумя неизвестными).
Ответ: Бесконечно много решений.
Пример 2.7. решить систему уравнений
x + y - z = 2,
2x - y + 4z = 1,
-x + 6y + z = 5.
Решение. При решении систем линейных уравнений удобно пользоваться методом Гаусса, который состоит в преобразовании системы к треугольному виду.
Умножаем первое уравнение системы на - 2 и, складывая полученный результат со вторым уравнением, получаем
-3y + 6z = -3.
Это уравнение можно переписать в виде
y - 2z = 1.
Складывая первое уравнение с третьим, получаем 7y = 7, или y = 1.
Таким образом, система приобрела треугольный вид
x + y - z = 2,
y - 2z = 1,
y = 1.
Подставляя y = 1 во второе уравнение, находим z = 0. Подставляя y =1 и z = 0 в первое уравнение, находим x = 1.
Ответ: (1; 1; 0).
Пример 2.8. при каких значениях параметра a система уравнений
2x + ay = a + 2,
(a + 1)x + 2ay = 2a + 4
имеет бесконечно много решений?
Решение. Из первого уравнения выражаем x:
x = - (a / 2)y + a / 2 +1.
Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем
(a + 1)( - (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.
Далее умножим обе части уравнения на 2 и упростим его:
(a + 1)(a + 2 - ay) + 4ay = 4a + 8,
4ay - a(a + 1)y = 4(a + 2) - (a + 1)(a + 2),
ya(4 - a - 1 ) = (a + 2)(4 - a - 1),
ya(3 - a) = (a + 2)(3 - a).
Анализируя последнее уравнение, отметим, что при a = 3 оно имеет вид 0y = 0, т.е. оно удовлетворяется при любых значениях y.
Ответ: 3.
1.3 Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним
Уравнение вида
ax2 + bx + c = 0,
где a, b и c - некоторые числа (a0);
x - переменная, называется квадратным уравнением.
Формула решения квадратного уравнения.
Сначала разделим обе части уравнения
ax2 + bx + c = 0
на a - от этого его корни не изменятся. Для решения получившегося уравнения
x2 + (b / a)x + (c / a) = 0
выделим в левой части полный квадрат
x2 + (b / a) + (c / a) = (x2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a)2) - (b / 2a)2 + (c / a) =
= (x + (b / 2a))2 - (b2) / (4a2) + (c / a) = (x + (b / 2a))2 - ((b2 - 4ac) / (4a2)).
Для краткости обозначим выражение (b2 - 4ac) через D. Тогда полученное тождество примет вид
x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 - (D / (4a2)).
Возможны три случая:
1) если число D положительно (D > 0), то в этом случае можно извлечь из D квадратный корень и записать D в виде D = (D)2. Тогда
D / (4a2) = (D)2 / (2a)2 = (D / 2a)2,
потому тождество принимает вид
x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 - (D / 2a)2.
По формуле разности квадратов выводим отсюда:
x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) - (D / 2a))(x + (b / 2a) + (D / 2a)) =
= (x - (( -b + D) / 2a)) (x - (( - b - D) / 2a)).
Теорема: Если выполняется тождество
ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2),
то квадратное уравнение
ax2 + bx + c = 0
при X1 X2 имеет два корня X1 и X2, а при X1 = X2 - лишь один корень X1.
В силу этой теоремы из, выведенного выше, тождества следует, что уравнение
x2 + (b / a)x + (c / a) = 0,
а тем самым и уравнение ax2 + bx + c = 0, имеет два корня:
X1=(-b + D) / 2a; X2= (-b - D) / 2a.
Таким образом:
x2 + (b / a)x + (c / a) = (x - x1)(x - x2).
Обычно эти корни записывают одной формулой: где b2 - 4ac = D.
2) если число D равно нулю (D = 0), то тождество
x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 - (D / (4a2))
принимает вид
x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2.
Отсюда следует, что при D = 0 уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет один корень кратности 2: X1 = - b / 2a
3) Если число D отрицательно (D < 0), то - D > 0, и потому выражение
x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 - (D / (4a2))
является суммой двух слагаемых, одно из которых неотрицательно, а другое положительно. Такая сумма не может равняться нулю, поэтому уравнение
x2 + (b / a)x + (c / a) = 0
не имеет действительных корней. Не имеет их и уравнение
ax2 + bx + c = 0.
Таким образом, для решения квадратного уравнения следует вычислить дискриминант
D = b2 - 4ac.
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственное решение:
X=-b / (2a).
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня:
X1=(-b + D) / (2a);
X2= (-b - D) / (2a).
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.
Если один из коэффициентов b или c равен нулю, то квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта:
1) b = 0; c ? 0; c / a <0; X1,2 = ??(-c / a )
2) b ? 0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.
Корни квадратного уравнения общего вида ax2 + bx + c = 0 находятся по формуле
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x2 равен 1, называется приведённым. Обычно приведённое квадратное уравнение обозначают так:
x2 + px + q = 0.
Теорема Виета.
Мы вывели тождество
x2 + (b / a)x + (c / a) = (x - x1)(x - x2),
где X1 и X2 - корни квадратного уравнения ax2 + bx + c =0.
Раскроем скобки в правой части этого тождества.
x2 + (b / a)x + (c / a) = x2 - x1x - x2x + x1x2 = x2 - (x1 + x2)x +x1x2.
Отсюда следует, что X1 + X2 = - b / a и X1X2 = c / a. Мы доказали следующую теорему, впервые установленную французским математиком Ф. Виетом (1540 - 1603):
Теорема 1 (Виета). Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при X, взятому c противоположным знаком и делённому на коэффициент при X2; произведение корней этого уравнения равно свободному члену, делённому на коэффициент при X2.
Теорема 2 (обратная). Если выполняются равенства
X1 + X2 = - b / a и X1X2 = c / a,
то числа X1 и X2 являются корнями квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.
Замечание. Формулы X1 + X2 = - b / a и X1X2 = c / a остаются верными и в случае, когда уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет один корень X1 кратности 2, если положить в указанных формулах X2 = X1. Поэтому принято считать, что при D = 0 уравнение ax2 + bx +c = 0 имеет два совпадающих друг с другом корня.
При решении задач, связанных с теоремой Виета, полезно использовать соотношения
(1 / X1) + (1/ X2)= ( X1 + X2)/ X1X2 ;
X12 + X22 = (X1 + X2)2 - 2 X1X2;
X1 / X2 + X2 / X1 = (X12 + X2 2) / X1X2 = ((X1 + X2)2 - 2X1X2) / X1X2;
X13 + X23 = (X1 + X2)(X12 - X1X2 + X22) =
= (X1 + X2)((X1 + X2)2 - 3X1X2).
Пример 3.9. Решить уравнение 2x2 + 5x - 1 = 0.
Решение.
D = 25 - 42(- 1) = 33 >0;
X1 = (- 5 + 33) / 4;
X2 = (- 5 -33) / 4.
Ответ: X1 = (- 5 + 33) / 4; X2 = (- 5 -33) / 4.
Пример 3.10. Решить уравнение
x3 - 5x2 + 6x = 0
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители
x(x2 - 5x + 6) = 0,
отсюда x = 0 или x2 - 5x + 6 = 0.
Решая квадратное уравнение, получаем X1 = 2 , X2 = 3.
Ответ: 0; 2; 3.
Пример 3.11.
x3 - 3x + 2 = 0.
Решение. Перепишем уравнение, записав
-3x = - x - 2x,
x3 - x - 2x + 2 = 0,
а теперь группируем
x(x2 - 1) - 2(x - 1) = 0,
(x - 1)(x(x + 1) - 2) = 0,
x - 1 = 0, x1 = 1,
x2 + x - 2 = 0, x2 = - 2, x3 = 1.
Ответ: x1 = x3 = 1, x2 = - 2.
Пример 3.12. Решить уравнение
Решение. Найдём область допустимых значений x:
X + 2 0; x - 6 0; 2x - 7 0 или x - 2; x 6; x 3,5.
Приводим уравнение к виду
(7x - 14)(x2 - 7x + 12) = (14 - 4x)(x2 - 4x - 12), раскрываем скобки.
7x3 - 49x2 + 84x - 14x2 + 98x - 168 + 4x3 - 16x2 - 48x - 14x2 + 56x + 168 = 0,
11x3 - 93x2 + 190x = 0,
x(11x2 - 93x + 190) = 0,
x1 = 0
11x2 - 93x + 190 = 0,
т.е. x1 = 5; x2 = 38 / 11.
Найденные значения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: x1 = 0; x2 = 5; x3 = 38 / 11.
Пример 3.13. Решить уравнение
x6 - 5x3 + 4 = 0
Решение. Обозначим y = x3, тогда исходное уравнение принимает вид
y2 - 5y + 4 = 0,
решив которое получаем Y1 = 1; Y2 = 4.
Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений: x3 = 1 или x3 = 4, т. е. X1 = 1 или X2 = 34
Ответ: 1; 34.
Пример 3.14. Решить уравнение
(x3 - 27) / (x - 3) = 27
Решение. Разложим числитель на множители (по формуле разности кубов):
(x - 3)(x2 + 3x + 9) / (x - 3) = 27 . Отсюда:
x2 + 3 x + 9 = 27,
x - 3 0;
x2 + 3 x - 18 = 0,
x 3.
Квадратное уравнение x2 + 3 x - 18 = 0 имеет корни X1 = 3; X2 = -6 (X1 не входит в область допустимых значений).
Ответ: -6
Пример 3.15. Решить уравнение
(x2 + x -5) / x + (3x) / (x2 + x - 5) = 4.
Решение. Обозначим
y= (x2 + x - 5) / x,
тогда получаем уравнение
y + 3 / y = 4.
Преобразуем его:
y + 3 / y - 4 = 0, (y2 - 4y + 3) / y = 0,
отсюда
y2 - 4y + 3 = 0,
y 0
Квадратное уравнение y2 - 4y + 3 = 0 имеет корни Y1 = 1; Y2 = 3 (оба корня входят в область допустимых значений).
Таким образом корни, исходное уравнение эквивалентно (равносильно) совокупности уравнений
(x2 + x - 5) / x = 1 или (x2 + x - 5) / x = 3.
Преобразуем их:
(x2 + x - 5) / x - 1 = 0 или (x2 + x - 5) / x - 3 = 0;
x2 - 5 = 0,
x 0
или
x2 - 2x - 5 = 0,
x 0;
X1 = 5; X2 = - 5 или X3 = 1 + 6; X4 = 1 - 6
(все найденные корни уравнения входят в область допустимых значений).
Ответ: 5; - 5; 1 + 6; 1 - 6 .
Пример 3.16. Решить уравнение
x(x + 2)(x + 3)(x + 5) = 72.
Решение. Перегруппируем сомножители и преобразуем полученное уравнение
(x + 2)(x + 3)(x + 5)x = 72,
(x2 + 5x + 6)(x2 + 5x) = 72.
Обозначим y = x2 + 5x, тогда получим уравнение (y + 6)y = 72, или
y2 + 6y - 72 = 0.
Корни этого уравнения: Y1 = 6; Y2 = - 12.
Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений
x2 + 5x = 6 или x2 + 5x = - 12.
Первое уравнение имеет корни X1 = 1; X2 = - 6. Второе уравнение корней не имеет, так как D = 26 - 48 = - 23 < 0.
Ответ: - 6; 1.
Пример 3.17. Решить уравнение
4x2 + 12x + 12 / x + 4 / x2 = 47.
Решение. Сгруппируем слагаемые:
4(x2 + 1 / (x2)) + 12(x + 1 / x) = 47.
Обозначим y = x + 1 / x, при этом заметим, что
y2 = (x +1 / x)2 = x2 +2 + 1 / (x2),
отсюда
x2 + 1 / (x2) = y2 - 2.
С учётом этого получаем уравнение
4(y2 - 2) + 12y = 47, или 4y2 + 12y - 55 = 0.
Это квадратное уравнение имеет корни Y1 = 5 / 2; Y2 = - 11 / 2.
Исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений
x + 1 / x = 5 / 2 или x + 1 / x = - 11 / 2.
Решим их:
x + 1 / x - 5 /2 = 0 или x + 1 / x + 11 / 2 = 0;
2x2 - 5x + 2 = 0,
x 0
или
2x2 + 11x + 2 = 0,
x 0;
X1 = 2; X2 = 1 / 2 или X3 = ( - 11 + 105) / 4; X4 = ( -11 - 105) / 4
(все найденные корни уравнения входят в область допустимых значений).
Ответ: 2; 0,5; ( - 11 + 105) / 4; (-11 - 105) / 4.
Пример 3.18. Решить уравнение
x3 - x2 - 9x - 6 = 0.
Решение. Угадаем хотя бы один корень данного уравнения. «Кандидатами» в целочисленные корни (а только их есть надежда отгадать) являются числа
1, 2, 3, 6.
Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что X = -2 является его корнем.
Разделим многочлен x3 - x2 - 9x - 6 на двучлен x + 2
x3 - x2 - 9x - 6 = (x + 2)(x2 - 3x - 3) = 0.
Решив теперь уравнение
x2 - 3x - 3 = 0,
Получаем
X2 = (3 - 21) / 2, X3 = (3 + 21) / 2.
Ответ: x {-2; (3 - 21) / 2; (3 + 21) / 2}.
Пример 3.19.
x3 - x2 - 8x + 6 = 0.
Решение. Здесь an = 1, a0 = 6. Поэтому, если данное уравнение имеет рациональные корни, то их следует искать среди делителей числа 6: 1, 2, 3, 6. Проверкой убеждаемся, что x = 3, т.к. 27 - 9 - 24 + 6 = 0.
Делим (x3 - x2 - 8x + 6) на (x - 3)
Получаем:
x3 - x2 - 8x + 6 = (x - 3)(x2 + 2x - 2),
т.е. данное уравнение можно представить в виде
(x - 3)(x2 + 2x - 2) = 0.
Отсюда находим, что x1 = 3 - решение, найденное подбором, x2,3 = - 1 3 - из уравнения x2 + 2x - 2 = 0.
Ответ: x1 = 3; x2,3 = - 1 3.
Пример 3.20.
4x4 + 8x3 + x2 - 3x - 1 = 0.
Решение. Здесь an = 4, a0 = -1. Поэтому рациональные корни уравнения следует искать среди чисел: 1; 0,5; 0,25 (делители 4 есть 1; 2; 4, делители (- 1) есть 1). Если x = +1, то 4 + 8 + 1 - 3 - 1 0; если x = - 0,5, то 4 / 16 - 8 / 8 + 1 / 4 + 3 / 2 - 1 = 0, т.е. x = - 0,5 корень уравнения. Делим (4x4 + 8x3 + x2 - 3x - 1) на (x + 0,5).
Данное уравнение можно представить в виде:
(x + 0,5)(4x3 + 6x2 - 2x - 2) = 0.
Отсюда x1 = - 0,5 (решение, найденное подбором) и 4x3 + 6x2 - 2x - 2 = 0, т.е. 2x3 + 3x2 - x - 1 = 0. Аналогично находим корень этого уравнения: x = - 0,5. Снова делим. Имеем: (x + 0,5)(2x2 + 2x - 2) = 0. Отсюда x2 = - 0,5 и x3,4 = (- 1 5) / 2.
Ответ: x1 = x2 = - 0,5; x3,4 = (- 1 5) / 2.
Замечание: зная, что x = - 0,5, можно не заниматься делением, а просто выделить за скобки множитель (x + 0,5). Из 2x3 + 3x2 - x - 1 = 0 следует:
2x3 + 3x2 - x - 1 = 2x3 + x2 +2x2 + x - 2x - 1 = 2x2(x + 0,5) + 2x(x + 0,5) - 2(x+0,5) =
= (x +2)(2x2 + 2x - 2) = 0.
x1 = - 0,5; x3,4 = (- 1 5) / 2.
1.4 Возвратные уравнения
Уравнение вида
anxn + an - 1 xn - 1 + … +a1x + a0 = 0
называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, то есть если
an - 1 = ak, при k = 0, 1, …, n.
Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0,
где a, b и c - некоторые числа, причём a 0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:
- разделить левую и правую части уравнения на x2. При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при a 0;
- группировкой привести полученное уравнение к виду
a(x2 + 1 / x2) + b(x + 1 / x) + c = 0;
- ввести новую переменную t = x + 1 / x, тогда выполнено
t2 = x2 + 2 + 1 / x2, то есть x2 + 1 / x2 = t2 - 2;
в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным:
at2 + bt + c - 2a = 0;
- решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.
Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения.
Возвратное уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подстановкой
x + 1 / x = t.
Возвратное уравнение нечётной степени обязательно имеет корень x= -1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен x + 1, приводится к возвратному уравнению чётной степени.
Пример 4.21. Рассмотрим, например, возвратное уравнение пятой степени
ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0
Легко видеть, что x = - 1 является корнем этого уравнения, а потому по теореме Безу многочлен в левой части уравнения делится на x + 1. В результате такого деления получится возвратное уравнение четвёртой степени.
Довольно часто в процессе решения задач вступительных экзаменов возникают рациональные уравнения степени выше второй, которые не удаётся решить с помощью очевидной замены переменной. В этом случае попытайтесь отгадать какой-нибудь корень уравнения. Если попытка окажется успешной, то Вы воспользуетесь следствием 1 теоремы Безу и понизите на единицу степень исходного уравнения. «Кандидатов» в корни многочлена с целочисленными коэффициентами следует искать среди делителей свободного члена этого многочлена. Если же попытка угадать корни не удалась, то, возможно, Вы избрали «не тот» метод решения, и существует иной метод, реализация которого не требует решения уравнения третьей или большей степени.
1.5 Формулы Виета для многочленов высших степеней
Пусть многочлен
P (x) = a0xn + a1xn - 1 + … + an
имеет n различных корней X1, X2, …, Xn. В этом случае он имеет разложение на множители вида
a0xn + a1xn - 1 + … + an = a0(x - x1)(x - x2)…(x - xn).
Разделим обе части этого равенства на a0 0 и раскроем скобки. Получим равенство
Xn + (a1 / a0)xn - 1 + … + (an / a0) =
= xn - (x1 + x2 + … +xn)xn - 1 + (x1x2 +x1x3 + … +xn-1xn)xn - 2 +
+ … + (-1)nx1x2…xn.
Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняются равенства
x1 + x2 + … + xn = -a1 / a0,
x1x2 + x1x3 + … + xn - 1xn = a2 / a0,
x1x2 … xn = (-1)nan / a0.
Пример 5.22. Напишем кубическое уравнение, корни которого являются квадратами корней уравнения
x3 - 3x2 + 7x + 5 = 0.
Решение. Обозначим корни заданного уравнения через x1, x2 и x3. Тогда по формулам Виета имеем
1 = x1 + x2 +x3 = 3,
2 = x1x2 + x1x3 + x2x3 = 7,
3 = x1x2x3 = - 5.
Корни искомого уравнения обозначим буквами y1, y2, y3, а его коэффициенты - буквами b1, b2, b3, положив коэффициент при y3 равным 1. По условию должны выполняться равенства y1 = x12, y2 = x22, y3 = x32 и поэтому
b1 = - (y1 + y2 + y3) = - (x12 + x22 + x32),
b2 = y1y2 + y1y3 + y2y3 = x12x22 + x12x32 + x22x32,
b3 = - y1y2y3 = - x12x22x32 .
Но имеем
x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 +x3)2 - 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = 12 - 22 = 32 - 27 = - 5,
x12x22 + x12x32 + x22x32 = (x1x2 + x1x3 + x2x3)2 - 2x1x2x3(x1 + x2 +x3)= 22 - 213 = = 72 - 23(- 5)= 79,
x12x22x32 = (x1x2x3)2 = 32 = 25.
Значит, b1 = 5, b2 = 79, b3 = - 25, и потому искомое уравнение имеет вид
y3 + 5y2 + 79y - 25 = 0.
Ответ: y3 + 5y2 + 79y - 25 = 0.
1.6 Системы уравнений второй степени
В простейших случаях при решении систем уравнений второй степени удаётся выразить одно неизвестное через другое и подставить это выражение во второе уравнение. При решении систем уравнений второй степени часто используется также способ замены переменных.
Пример 6.23. Среди решений (x; y) системы найти то, для которого сумма (x + y) максимальна. Вычислить значение этой суммы.
2x + y = 7,
xy = 6.
Решение. Из первого уравнения получаем y = 7 - 2x. Подставляя значение y во второе уравнение, получаем систему уравнений
y = 7 - 2x,
7x - 2x2 = 6.
Квадратное уравнение - 2x2 + 7x - 6 = 0 имеет корни X1 = 2; X2 = 3 / 2. Из первого уравнения получаем Y1 = 3; Y2 = 4. Решения имеют вид (2; 3) и (1,5; 4). Наибольшая сумма x + y = 1,5 + 4 = 5,5.
Ответ: 5,5.
Пример 6.24. Решить систему уравнений
x + y + 2xy = 7,
xy + 2(x + y) = 8.
Решение. Обозначим a = x + y; b = xy.
Получаем систему уравнений
a + 2b = 7,
b + 2a = 8
или
a = 7 - 2b,
b + 14 - 4b = 8.
Отсюда
a = 3,
b = 2.
Возвращаясь к переменным x и y, получаем
x + y = 3,
xy = 2.
Решив эту систему:
x = 3 - y,
(3 - y)y = 2;
y2 - 3y + 2 = 0,
Y1 = 1; X1 = 2; Y2 = 2; X2 = 1.
Ответ: (2; 1) , (1; 2).
Пример 6.25. Решить систему уравнений
y2 - xy = 12,
x2 - xy = - 3.
Решение. Разложим левые части уравнений на множители:
y(y - x) = 12,
x(x - y) = - 3.
Выразив из второго уравнения (x 0) x - y = - 3 / x, т.е. y - x = 3 / x, и подставив его в первое уравнение, получим
y / x = 4,
x(x - y) = - 3,
откуда
y = 4x,
x(x - y) = - 3.
Подставив значение y во второе уравнение последней системы, имеем
- 3x2 = - 3, X1 = 1; X2 = - 1, тогда Y1 = 4; Y2 = - 4.
Ответ: (1; 4), (- 1; - 4).
Пример 6.26. Решим задачу.
Задача. Найдём длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 16 м, а площадь равна 15 м2.
Решение. Обозначим длины сторон прямоугольника буквами х и у. По условию задачи должны выполнятся равенства 2х + 2у = 16, т.е. х + у = 8 и ху = 15. Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений
х + у = 8,
ху = 15,
т.е. к отысканию значений х и у, подстановка которых в оба уравнения системы обращает их в верные числовые равенства.
Из первого уравнения находим, что у = 8 - у. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем
х(8 у) = 15, т.е. 8х х2 = 15 или х2 8х + 15 = 0.
Решим это уравнение:
D = (8)2 4115 = 64 60 = 4,
Х1,2 = (8 4) / 2 = (8 2) / 2.
Значит, х1 = 5, х2 = 3. Поскольку у = 8 х, то получаем у1 = 3, а у2 = 5. В обоих случаях получаем один и тот же прямоугольник, длины сторон которого равны 3 м и 5 м. Замечание: уравнение х2 8х + 15 = 0 можно вывести быстрее, используя теорему, обратную теореме Виета: так как сумма чисел х и у равна 8, а их произведение равно 15, то эти числа являются корнями уравнения z2 8z + 15 = 0.
Рассмотрим системы, состоящие из двух уравнений с двумя неизвестными. Если в одно из них какое-нибудь неизвестное входит лишь в первой степени, то из этого уравнения можно выразить это неизвестное через другое и подставить полученное выражение во второе уравнение системы. Получится уравнение с одним неизвестным. Решая его, находим значения этого неизвестного, а потом по ним находим значения оставшегося неизвестного.
Пример 6.27. Решим систему уравнений
2х + у = 11,
х2 + у2 = 53.
Решение. Из первого уравнения находим, что у = 11 2х. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем: х2 + (11 2х)2 = 53. Раскроем скобки и приведём подобные члены:
х2 + 121 44х + 4х2 = 53 и потому 5х2 44х + 68 = 0.
Значит, для нахождения х надо решить уравнение
5х2 44х + 68 = 0.
Решая его, находим
D = (44)2 4568 = 1936 1360 = 576,
Х1,2 = (44 24) / 10.
Итак х1 = 6,8; х2 = 2, у1 = 11 26,8 = 2,6; у2 = 11 22 = 7.
Ответ: х1 = 6,8; у1 = 2,6; х2 = 2; у2 = 7.
1.7 Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем уравнений
Подобные документы
Теоретические сведения о числовых неравенствах и их свойствах. Линейные неравенства с одной переменной. Квадратные и рациональные неравенства. Особенности решения различных неравенств, содержащих знак модуля. Нестандартные методы решения неравенств.
реферат [2,0 M], добавлен 18.01.2011История квадратных уравнений: уравнения в Древнем Вавилоне и Индии. Формулы четного коэффициента при х. Квадратные уравнения частного характера. Теорема Виета для многочленов высших степеней. Исследование биквадратных уравнений. Сущность формулы Кордано.
реферат [75,8 K], добавлен 09.05.2009Абсолютная величина и её свойства. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Графическое решение уравнений и неравенств с модулем. Иные способы решения данных уравнений. Метод раскрытия модулей. Использование тождества при решении уравнений.
курсовая работа [942,4 K], добавлен 21.12.2009Метод интервалов как один из важнейших методов математической деятельности, связанный с вопросами нахождения нулей функции или промежутков ее знак постоянства для неравенства. Алгоритм решения дробно-рационального неравенства методом интервалов.
курсовая работа [630,7 K], добавлен 12.04.2015Стандартные методы решений уравнений и неравенств. Алгоритм решения уравнения с параметром. Область определения уравнения. Решение неравенств с параметрами. Влияние параметра на результат. Допустимые значения переменной. Точки пересечения графиков.
контрольная работа [209,4 K], добавлен 15.12.2011Сведения из истории математики о решении уравнений. Применение на практике методов решения уравнений и неравенств, основанных на использовании свойств функции. Исследование уравнения на промежутках действительной оси. Угадывание корня уравнения.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 07.09.2010Понятие неравенства, его сущность и особенности, классификация и разновидности. Основные свойства числовых неравенств. Методика графического решения неравенств второй степени. Системы неравенств с двумя переменными, с переменной под знаком модуля.
реферат [118,9 K], добавлен 31.01.2009История развития формул корней квадратных уравнений. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне. Решение квадратных уравнений Диофантом. Квадратные уравнения в Индии, в Хорезмии и в Европе XIII - XVII вв. Теорема Виета, современная алгебраическая запись.
контрольная работа [992,3 K], добавлен 27.11.2010Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010Основные определения. Алгоритм решения. Неравенства с параметрами. Основные определения. Алгоритм решения. Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа.
курсовая работа [124,0 K], добавлен 11.12.2002
