Рациональные уравнения и неравенства
Основные методы решения рациональных уравнений: линейных и их систем, квадратных и сводящихся к ним, возвратных. Формула Виета для многочленов высших степеней. Свойства неравенств, метод интервалов и графическое решение, системы рациональных неравенств.
| Рубрика | Математика |
| Вид | учебное пособие |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 05.03.2010 |
| Размер файла | 353,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
При решении биквадратных и возвратных уравнений мы вводили новые неизвестные (у = х2 для биквадратных уравнений и у = х + 1 / х для возвратных уравнений). Введение новых неизвестных применяется также при решении уравнений иного вида и систем уравнений.
Пример 7.28. Решим уравнение
12 / (х2 + 2х) 3 / (х2 + 2х 2) = 1.
Решение. Если попробовать привести дробь в левой части уравнения к одному знаменателю, то получим уравнение четвёртой степени, которое мы умеем решать. Чтобы решить заданное уравнение, заметим, что в обе дроби входит одно и то же выражение х2 + 2х. Поэтому введём новое неизвестное у, положив, что у = х2 + 2х. Тогда уравнение примет вид
12 / у 3 / (у 2) = 1 или (у2 11у + 24) / (у(у 2)) = 0,
откуда y1 = 3; y2 = 8. Осталось решить уравнения х2 + 2х = 3 (его корни х1 = 1, х2 = 3) и х2 + 2х = 8 (его корни х3 = 2, х4 = 4).
Применённый метод называется методом введения новых неизвестных, и его полезно применять, когда неизвестное входит в уравнение всюду в виде одной и той же комбинации (особенно если эта комбинация содержит степени неизвестного выше первой).
Пример 7.29. Решим систему уравнений
2 / х + 3 / у = 8,
5 / х 2 / у = 1.
Решение. Обозначим 1 / х через U, а 1 / у через V. Тогда система примет вид
2U + 3V = 8,
5U 2V = 1,
т.е. получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными U и V. Из первого уравнения выражаем U через V: U = 4 3V / 2, и подставляя во второе: 5(4 3V / 2) 2V = 1, откуда V = 2. Теперь находим U = 1 и решаем уравнения 1 / x = 1, 1 / y = 2.
Ответ: x = 1, y = 0,5.
Пример 7.30.
(x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680.
Решение.
(x - 4)(x - 7)(x - 5)(x - 6) = 1680, т.е.
(x2 - 11x + 28)(x2 - 11x + 30) = 1680.
Обозначим x2 - 11x + 28 = t, тогда t(t + 2) = 1680, t2 + 2t - 1680 = 0, t1 = - 42; t2 = 40. Поэтому
x2 - 11x + 28 = - 42; x2 - 11x + 70 = 0; D = 121 - 280 < 0 x1,2 .
x2 - 11x + 28 = 40; x2 - 11x - 12 = 0; x1 = 12; x2 = - 1.
Ответ: x1 = 12; x2 = - 1.
Пример 7.31.
2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0.
Решение. Это возвратное уравнение. Разделим обе части уравнения на x2 0, получим
2x2 + 3x - 16 +3 / x + 2 / x2 = 0, т.е.
2(x2 + 1 / x2) + 3(x + 1 / x) - 16 = 0,
обозначим x + 1 / x = t, тогда x2 + 2 + 1 / x2 = t2, т.е. x2 + 1 / x2 = t2 - 2, получаем 2(t2 - 2) + 3t - 16=0, т.е. 2t2 + 3t - 20 = 0, t1 = - 4; t2 = 5 / 2 = 2,5. Следовательно, имеем
x + 1 / x = - 4; x2 + 4x + 1 = 0; x1,2 = -2 3,
x + 1 / x = 2,5; 2x2 - 5x + 2 = 0; x3 = 2; x4 = 1 / 2.
Ответ: x1,2 = -2 3; x3 = 2; x4 = 1 / 2.
Пример 7.32.
(x + 3)4 + (x + 5)4 = 16.
Решение. Сделаем подстановку x = t - 4. Тогда получаем (t - 1)4 + (t + 1)4 = 16, т.е.
t4 - 4t3 + 6t2 - 4t + 1 + t4 + 4t3 + 6t2 + 4t + 1 = 16,
т.е. 2t4 + 12t2 - 14 = 0, или t4 + 6t2 - 7 = 0. Положим t2 = z 0, тогда
z2 +6z - 7 = 0, z1 = - 7; z2 = 1.
С учётом t2 = z 0 отбрасываем z1. Итак, z = 1, т.е. t2 = 1, отсюда t1 = -1; t2 = 1. Следовательно, x1 = - 1 - 4 = - 5 и x2 = 1 - 4 = - 3.
Ответ: x1 = - 5 и x2 = - 3.
Пример 7.33.
13x / (2x2 + x +3) + 2x / (2x2 - 5x + 3) = 6.
Решение. Разделим числитель и знаменатель дробей на x 0:
13 / (2x + 1 + 3 / x) + 2 / (2x - 5 +3 / x) = 6,
обозначим 2x + 3 /x = t. Получаем 13 / (t + 1) + 2 / (t - 5) = 6, т.е.
13t - 65 + 2t + 2 = 6t2 - 24t - 30, т.е.
6t2 - 39t + 33 = 0, т.е. 2t2 - 13t + 11 = 0, t1 = 1; t2 = 5,5.
Следовательно:
2x + 3 / x = 1; 2x2 - x + 3 = 0; D = 1 - 24 < 0 x .
2x + 3 / x = 5,5; 4x2 - 11x + 6 = 0; x1 = 2; x2 = 0,75.
Ответ: x1 = 2; x2 = 0,75.
Пример 7.34.
x4 - 2x3 + x - 0,75 = 0.
Решение. Выделим полный квадрат, прибавив и вычтя в левой части уравнения x2:
x4 - 2x3 + x2 - x2 + x - 0,75 = 0, т.е.
(x2 - x)2 - (x2 - x) - 0,75 = 0.
Пусть x2 - x = t, тогда t2 - t - 0,75 = 0, x1 = - 0,5; x2 = 1,5.
Возвращаясь к старой переменной, получаем:
x2 - x = - 0,5; x2 - x + 0,5 = 0; D = 1 - 2 < 0 x .
x2 - x = 1,5; x2 - x - 1,5 = 0; x1,2 = (1 7) / 2.
Ответ: x1,2 = (1 7) / 2.
Пример 7.35.
x2 + 81x2 / (9 + x)2 = 40.
Решение. Воспользуемся формулой: a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab ((a b)2 = a2 2ab + b2 a2 + b2 = (a b)2 + 2ab).
Получаем:
(x - 9x / (9 + x))2 + 2x9x / (9 + x) = 40, или
(x2 / (9 + x))2 + 18x2 / (9 + x) = 40.
Пусть: (x2 / (9 + x)) = t. Тогда t2 + 18t - 40 = 0, t1 = - 20; t2 = 2.
Получаем два уравнения:
(x2 / (9 + x)) = 2; x2 - 2x - 18 = 0; x1,2 = 1 19,
(x2 / (9 + x)) = - 20; x2 + 20x + 180 = 0; D = 400 - 720 < 0, x .
Ответ: x1,2 = 1 19.
1.8 Однородные уравнения
Пример 8.36. Решим систему уравнений
8х2 6ху + у2 = 0,
х2 + у2 = 5.
Решение. заметим, что для решения системы выполняется условие у 0. В самом деле, из первого уравнения следует, что если у = 0, то и х = 0, а числа х = 0 и у = 0 не удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим первое уравнение на у2. Получится уравнение
8х2 / у2 6ху / у2 + у2 / у2 = 0 или 8х2 / у2 6х / у + 1 = 0.
Введём вспомогательное неизвестное U = х / у. Уравнение примет вид
8U2 6U + 1 = 0.
Это квадратное уравнение, имеющее корни U1 = 0,5; U2 = 0,25. Таким образом, из первого уравнения мы получаем что либо x / y = 1 / 2, либо x / y = 1 / 4. Осталось подставить выражения у =2х и у = 4х (рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получается уравнение 5х2 = 5, откуда х1 = 1, х2 = 1; соответственно у1 = 2, у2 = 2. Во втором случае получается уравнение17х2 = 5, откуда х3 = (5 / 17), x4 = (5 / 17); соответственно y3 = 4(5 / 17), y4 = 4(5 /17).
Первое уравнение системы нам удалось представить как уравнение относительно x / y благодаря тому, что степень всех членов, входящих слагаемыми в это уравнение (8x2, 6xy, y2), одна и та же - она равна двум. Поэтому после деления на y2 каждое слагаемое выразилось через x / y.
Многочлен от двух переменных x и y такой, что степень каждого его члена равна одному и тому же числу k, называется однородным многочленом степени k.
Уравнение вида P (x, y) = 0 называется однородным уравнением степени k относительно x и y, если P (x, y) - однородный многочлен степени k. Однородное уравнение относительно x и y делением на yk (если y = 0 не является корнем уравнения) превращается в уравнение относительно неизвестного x / y. Это свойство однородного уравнения помогает решать многие задачи.
Пример 8.37. Решить систему уравнений
y2 xy = 12,
x2 xy = 28.
Решение. Ни одно из уравнений системы не является однородным. Но если умножить первое уравнение на 7 и прибавить к нему почленно второе уравнение, умноженное на 3, то получится уравнение 7y2 10xy + 3x2 = 0, являющееся следствием исходной системы. Разделим обе части уравнения на x2 и решим уравнение 7U2 10U + 3 = 0 (здесь U = y / x, причём из второго уравнения системы следует, что x 0). Находим, что y = x или y = 3x / 7. Подставляя это выражение во второе уравнение и, рассмотрев оба случая, найдём решения:
x1 = 7, y1 = 3; x2 = 7, y2 = 3.
Ответ: x1 = 7, y1 = 3; x2 = 7, y2 = 3.
Мы получили решения системы путём выведения из заданных уравнений вспомогательного следствия. Такой способ решения систем в некоторых случаях приводит к появлению «посторонних» корней - значений x и y, не удовлетворяющих исходной системе. Поэтому найденные корни надо проверить, подставив их исходную систему и убедившись, что уравнения системы обращаются в верные числовые равенства.
Пример 8.38. Решим уравнение
(x 1)4 + 9(x + 1)4 = 10(x2 1)2.
Решение. Если раскрыть все скобки и привести подобные члены, то получится уравнение четвёртой степени. Попробуем другой путь: введём новые неизвестные U и V:
U = (x 1)2, V = (x + 1)2.
Уравнение примет вид U2 + 9V2 = 10UV.
Это уравнение однородное, и после деления на V2 оно становится уравнением относительно неизвестного W:
W = U / V = (x 1)2 / (x + 1)2.
Решим вспомогательное уравнение
W2 10W + 9 = 0.
Его корни W1 = 1, W2 = 9.
Осталось решить уравнения
(x 1)2 / (x + 1)2 = 1 и (x 1)2 / (x + 1)2 = 9.
Из первого уравнения следует, что либо (x 1) / (x + 1) = 1, либо (x 1) / (x + 1) = 1. Из второго получаем, что либо (x 1) / (x + 1) = 3, либо (x 1) / (x + 1) = 3. Решая получившиеся уравнения, видим, что первое из них не имеет корней, а из трёх остальных получаем x1 = 0, x2 = 2, x3 = 0,5.
Ответ: x1 = 0, x2 = 2, x3 = 0,5.
Пример 8.39.
3(x2 - x + 1)2 - 5(x + 1)(x2 - x + 1) - 2(x + 1)2 = 0.
Решение. Это так называемое однородное уравнение, т.е. уравнение вида
ay2 + byz + cz2 = 0,
где a, b, c, - заданные числа, отличные от нуля;
y = y(x),
z = z(x) - некоторые функции от x.
Разделим обе части уравнения на (x2 - x + 1)2 0:
3 - 5(x + 1) / (x2 - x + 1) - 2((x + 1) / (x2 - x + 1))2 = 0.
Пусть (x + 1) / (x2 - x + 1) = t, тогда 3 - 5t - 2t2 = 0, т.е. t1 = - 3; t2 = 0,5. Следовательно:
(x + 1) / (x2 - x + 1) = 0,5 = 1 / 2; 2x + 2 = x2 - x + 1; x2 - 3x - 1 = 0; x1,2 = (3 13) / 2,
(x + 1) / (x2 - x + 1) = - 3; x + 1 = - 3x2 + 3x - 3; 3x2 - 2x + 4 = 0; D = 4 - 48 < 0, x .
Ответ: x1,2 = (3 13) / 2.
1.9 Решение симметрических систем уравнений
Напомним, что многочлен P (x, y) называется симметрическим, если P (x , y) = P (y, x).
При решении систем уравнений вида
P1 (x, y) = 0,
P2 (x, y) = 0,
где P1 (x, y) и P2 (x, y) - симметрические многочлены, полезной оказывается такая замена неизвестных: x + y = U, xy = V.
Напомним, что любой симметрический многочлен P (x, y) можно представить как выражение от U и V.
Пример 9.40. Решить систему уравнений
x2 + xy + y2 = 49,
x + y + xy = 23.
Решение. Заметим, что:
x2 + xy + y2 = x2 + 2xy + y2 xy = (x + y)2 xy.
Сделаем замену неизвестных: x + y = U, xy =V.
Система примет вид:
U2 V = 49,
U + V = 23.
Сложив эти уравнения, получим уравнение U2 + U 72 = 0 с корнями U1 = 8, U2 = 9. Соответственно V1 = 15, V2 = 32. Остаётся решить системы уравнений:
x + y = 8,
xy = 15,
x1 = 3, y1 = 5; x2 = 5, y2 = 3.
x + y = 9,
xy = 32.
действительных решений не имеет.
Ответ: x1 = 3, y1 = 5; x2 = 5, y2 = 3.
Пример 9.41. Решить систему
1 / x + 1 / y = 5,
1 / x2 + 1 / y2 = 13.
Решение. Сначала введём неизвестные X и Y:
X = 1 / x, Y = 1 / y,
а затем U и V:
U = X + Y = 1 / x + 1 / y, V = XY = 1 / xy.
Получается система:
U = 5,
U2 2V = 13,
из которой U = 5, V = 6. Далее решая систему
X + Y = 5,
XY = 6,
находим X1 = 2, Y1 = 3; X2 = 3, Y2 = 2, откуда получаем x1 = 1 / 2, y1 = 1 / 3; x2 = 1 /3, y2 = 1 /
U = 5V,
U2 2V = 13V2,
Приводящая к тем же решениям исходной системы.
Ответ: x1 = 1 / 2, y1 = 1 / 3; x2 = 1 /3, y2 = 1 / 2.
Подобные документы
Теоретические сведения о числовых неравенствах и их свойствах. Линейные неравенства с одной переменной. Квадратные и рациональные неравенства. Особенности решения различных неравенств, содержащих знак модуля. Нестандартные методы решения неравенств.
реферат [2,0 M], добавлен 18.01.2011История квадратных уравнений: уравнения в Древнем Вавилоне и Индии. Формулы четного коэффициента при х. Квадратные уравнения частного характера. Теорема Виета для многочленов высших степеней. Исследование биквадратных уравнений. Сущность формулы Кордано.
реферат [75,8 K], добавлен 09.05.2009Абсолютная величина и её свойства. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Графическое решение уравнений и неравенств с модулем. Иные способы решения данных уравнений. Метод раскрытия модулей. Использование тождества при решении уравнений.
курсовая работа [942,4 K], добавлен 21.12.2009Метод интервалов как один из важнейших методов математической деятельности, связанный с вопросами нахождения нулей функции или промежутков ее знак постоянства для неравенства. Алгоритм решения дробно-рационального неравенства методом интервалов.
курсовая работа [630,7 K], добавлен 12.04.2015Стандартные методы решений уравнений и неравенств. Алгоритм решения уравнения с параметром. Область определения уравнения. Решение неравенств с параметрами. Влияние параметра на результат. Допустимые значения переменной. Точки пересечения графиков.
контрольная работа [209,4 K], добавлен 15.12.2011Сведения из истории математики о решении уравнений. Применение на практике методов решения уравнений и неравенств, основанных на использовании свойств функции. Исследование уравнения на промежутках действительной оси. Угадывание корня уравнения.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 07.09.2010Понятие неравенства, его сущность и особенности, классификация и разновидности. Основные свойства числовых неравенств. Методика графического решения неравенств второй степени. Системы неравенств с двумя переменными, с переменной под знаком модуля.
реферат [118,9 K], добавлен 31.01.2009История развития формул корней квадратных уравнений. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне. Решение квадратных уравнений Диофантом. Квадратные уравнения в Индии, в Хорезмии и в Европе XIII - XVII вв. Теорема Виета, современная алгебраическая запись.
контрольная работа [992,3 K], добавлен 27.11.2010Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010Основные определения. Алгоритм решения. Неравенства с параметрами. Основные определения. Алгоритм решения. Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа.
курсовая работа [124,0 K], добавлен 11.12.2002
