Рациональные уравнения и неравенства

1) Простейшие: решаются путём обычных упрощений - приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и так далее. Квадратные уравнения ax2 + bx + c = 0 решаются по выведенной нами формуле

Также используется теорема Виета: x1 + x2 = - b / a; x1x2 = c / a.

2.1 Свойства равносильных неравенств

При решении неравенств используют свойства равносильности.

Неравенства с одной переменной называются равносильными, если множества их решении совпадают.

Например, неравенства 3х > 6 и х - 2 > 0 имеют одинаковые множества решении х[2; +]. Эти неравенства - равносильные.

Неравенства х > 0 и х² > 0 - неравносильные, так как решение первого неравенства есть множество х[0; +], а решение второго неравенства есть множество х[-; 0][0; +]. Эти множества не совпадают.

При решении неравенств выполняются только такие преобразования, при которых получаются более простые равносильные неравенства. Эти преобразования возможны при выполнении следующих свойств равносильных неравенств.

Свойство 1. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число или одно и то же выражение, которое имеет смысл при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.

Дано. Р(х) > Q(x) - неравенство, Т(х) - выражение, которое имеет смысл при всех действительных значениях х, хR.

Доказать. Неравенства Р(х) > Q(x) и Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x) - равносильные.

Доказательство.

а) Пусть при х = а неравенство Р(а) > Q(a) - верное числовое равенство, т.е. х =а - одно из решении неравенства Р(х) > Q(x), Т(а) - значение Т(х) при х =а. По свойству числовых неравенств Р(а) + Т(а) > Q(a) + T(a) - верное числовое неравенство. Следовательно, х = а - одно из решений неравенства Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x). Поэтому, если х =а есть решение первого неравенства, то это значение есть также решение второго неравенства.

б) Пусть х = b - одно из решений неравенства Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x), т.е. P(b) + T(b) > Q(b) + T(b) - верное числовое неравенство. По свойству числовых неравенств P(b) > Q(b) - тоже верное числовое неравенство. Следовательно, х = b - решение неравенства P(x) > Q(x). Так как множества решений неравенства P(x) > Q(x) и P(x) + T(x) > > Q(x) + T(x) совпадают, то эти неравенства равносильные.

Свойство 2. Если в неравенстве любое слагаемое, которое имеет смысл при вех хR, перенести из одно части в другую с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильно данному.

Дано. P(x) + T(x) > Q(x) - неравенство, Т(х) - слагаемое, которое имеет смысл при всех хR.

Доказать. Неравенства P(x) + T(x) > Q(x) и P(x) > Q(x) - T(x) - равносильные.

Доказательство. По свойству 1 можно к обеим частям неравенства P(x) + T(x) > Q(x) прибавить слагаемое (-Т(х)), так как это слагаемое имеет смысл при всех хR; получим равносильное неравенство:

P(x) + T(x) - T(x) > Q(x) - T(x), отсюда P(x) > Q(x) - T(x).

Свойство 3. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число или на одно и то же выражение, положительное при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.

Дано. P(x) > Q(x) - неравенство (1), T(x) > 0, xR, P(x)T(x) > Q(x)T(x) - неравенство (2).

Доказать. Неравенства (1) и (2) равносильные.

Доказательство. Пусть при х = а P(a) > Q(a) - верное числовое неравенство, т.е. х = а - одно из решении первого неравенства. T(a) - значение Т(х) при х = а Т(а) > 0. По свойству числовых неравенств P(a)T(a) > Q(a)T(a) - тоже верное числовое неравенство, т.е. х = а -одно из решении первого неравенства. Следовательно, если х= а - решение первого неравенства, то х = а - также решение второго неравенства.

Пусть при х = b неравенство P(b)T(b) > Q(b)T(b) - верное числовое неравенство, т.е. х = b - одно из решении второго неравенства.

По свойству числовых неравенств P(b) > Q(b) - тоже верное числовое неравенство, так как T(b) > 0. Следовательно, х = b - одно из решении первого неравенства.

Поскольку множества решении первого и второго неравенств совпадают, то они равносильные.

Свойство 4. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число или на одно и то же выражение, отрицательное при всех значениях переменной, и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Это свойство доказывается аналогично 3 свойству.

2.2 Алгебраические неравенства

Линейными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида

ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b 0, ax + b 0, a 0,

решениями которых будут: при a > 0

x(- ; ), x( -; - ), x[ - ; ), x( -; - ],

при а < 0

x( -; - ), x( - ; ), x( -; - ], x[ - ; ).

Квадратными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида

ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0,

ax² + bx + c 0, ax² + bx + c 0,

где a, b, c некоторые действительные числа и а 0.

Квадратное неравенство ax² + bx + c > 0 в зависимости от значении своих коэффициентов a, b и c имеет решения:

при а > 0 и D = b² - 4ac 0

x( -; )(; );

при а > 0 и D < 0 x любое действительное число;

при а < 0 и D 0

x( ; );

при а < 0 и D < 0

x = (т. е. решении нет ).

Решение неравенства ax² + bx + c < 0 сводится к решению рассмотренного неравенства, если обе части неравенства умножить на (-1).

2.3 Метод интервалов

Пусть Р_n(x) - многочлен n-й степени с действительными коэффициентами, а c₁, c₂, , c_i - все действительные корни многочлена с кратностями k₁, k₂, , k_i соответственно, причем с₁ > c₂ > > c_i.

Многочлен P_n(x) можно представить в виде

Р_n(x) = (x - c₁) ^k1(x - c₂) ^k2 (x - c_i)^ki Q_m(x),

где многочлен Q_m(x) действительных корней не имеет и либо положителен, либо отрицателен при всех хR.

Положим для определенности, что Q_m(x) > 0. Тогда при х > c₁ все сомножители в разложении (3) положительны и Р_n(х) > 0. Если с₁ - корень нечетной кратности (k₁ - нечетное), то при х(с₂; с₁) все сомножители в разложении (3), за исключением первого, положительны и Р_n(х)<0.

В этом случае говорят, что многочлен Р_n(х) меняет знак при переходе через корень с₁. Если же с₁ - корень четной кратности (k₁ - четное), то все сомножители (в том числе и первый) при х(с₂; с₁) положительны и, следовательно, Р_n(х) > 0 при х(c₂; с₁). В этом случае говорят, что многочлен Р_n(х) не меняет знак при переходе через корень с₁.

Аналогичным способом, используя разложение (3), нетрудно убедится, что при переходе через корень с₂ многочлен Р_n(х) меняет знак, если k₂ - нечетное, и не меняет знака, если k₂ - четное. Рассмотренное свойство многочленов используется для решения неравенств методом интервалов. Для того чтобы найти все решения

Р_n(х) > 0,

достаточно знать все действительные корни многочлена Р_n(х) их кратности и знак многочлена Р_n(х) в произвольно выбранной точке, не совпадающей с корнем многочлена.

Пример: Решить неравенство

х4 + 3х3 - 4х > 0. (*)

Решение. Разложим на множители многочлен Р₄(х), стоящий в левой части неравенства (*). Вынося множитель х за скобку, получаем

Р₄(х) = х(х³ + 3х² - 4).

Второй сомножитель, представляющий собой кубический многочлен, имеет корень х = 1. Следовательно, он может быть представлен в виде

х³ + 3х² - 4 = (х-1)(х² + 4х + 4) = (х-1)(х + 2) ².

Таким образом, Р₄(х) = х(х - 1)(х + 2) ² и неравенство (*) может быть записано в виде

х(х -1)(х + 2)² > 0. (**)

Решим неравенство (**) методом интервалов. При х > 1 все сомножители, стоящие в левой части неравенства, положительны.

Будем двигаться по оси О_х справа налево. При переходе через точку х = 1 многочлен Р₄(х) меняет знак и принимает отрицательные значения, так как х = 1 - просто корень (корень кратности 1); при переходе через точку х = 0 многочлен также меняет знак и принимает положительные значения, так как х = 0 - также простой корень; при переходе через точку х = -2 многочлен знака не меняет, так как х = -2 - корень кратности 2. Промежутки знакопостоянства многочлена Р₄ (х) схематически представлены на рис 1.

Рисунок 1

Используя этот рисунок, легко выписать множество решений исходного неравенства.

Ответ. х (-; -2) (-2; 0) (1; ).

Пример: Решить неравенство

(х² - 3х - 2)(х² - 3х + 1) < 10.

Решение: Пусть х² - 3х - 2 = y. Тогда неравенство примет вид y(y +3) < 10, или y² + 3y - 10 < 0, откуда (y + 5)(y - 2) < 0. Решением этого неравенства служит интервал -5<y<2. Таким образом, получаем систему неравенств

x² - 3x - 2 < 2,

x² - 3x -2 > -5,

x² - 3x - 4 < 0,

x² - 3x + 3 > 0,

откуда

(x - 4)(x + 1) < 0,

(x + )² + > 0.

Поскольку второе неравенство выполняется при всех х, решение этой системы есть интервал (-1; 4).

Ответ: (-1; 4).

Пример: Решить неравенство

х⁴ - 34х² + 225 < 0.

Решение. Сначала решим биквадратное уравнение х⁴ - 34х² + 225 < 0. Полагая х² = z, получаем квадратное уравнение z² - 34z + 225 = 0, из которого находим: z₁ = 9 и z₂ = 25. Решая уравнения х² = 9 и х² = 25, получаем 4 корня биквадратного уравнения: -3, 3, -5, 5. Значит,

х⁴ - 34х² + 225 = (х + 5)(х + 3)(х - 3)(х - 5),

и поэтому заданное неравенство имеет вид:

(х + 5)(х + 3)(х - 3)(х - 5) < 0.

Изображаем на координатной прямой точки -5, -3, 3, 5 и проводим кривую знаков.

Решение неравенства является объединение интервалов (-5; -3) и (3; 5).

Ответ: (-5; -3)(3; 5).

Пример: Решить неравенство

х⁴ - 3 < 2х(2х² - х - 2).

Решение. Дано целое рациональное неравенство. Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем многочлен к стандартному виду. Получим равносильное неравенство

х⁴ - 4х³ + 2х² + 4х - 3 < 0.

Решая уравнение х⁴ - 4х³ + 2х² + 4х - 3 = 0, находим корни х₁ = -1, х_2,3 = 1, х₄ = 3. Тогда неравенство можно переписать в виде

(х - 1) ²(х + 1)(х - 3) < 0.

Найденные корни разбивают числовую ось на четыре промежутка, на каждом из которых левая часть неравенства, а значит, и исходного неравенства сохраняет знак. Выбирая пробные точки в каждом из промежутков (достаточно значения х подставлять только в последний два сомножителя), получаем знаки, указанные на рисунке. Видим, что неравенство выполняется на промежутках (-1; 1) и (1; 3).

Так как неравенство строгое, то числа -1, 1, 3 не входят в решение неравенства.

Ответ: (-1; 1)(1; 3).

2.4 Дробно-рациональные неравенства

Решение рационального неравенства:

 > 0 (5)

где Р_n(х) и Q_m(х) многочлены, сводится к решению эквивалентного неравенства (4) следующим образом: умножив обе части неравенства (5) на многочлен [Q_m(x)]², который положителен при всех допустимых значениях неизвестного х (т.е. при тех х, при которых Q_m(x) 0), получим неравенство

Р_n(х) Q_m(x) > 0,

эквивалентное неравенству (5).

Дробно-линейным называется неравенство вида

> k (6)

где a, b, c, d, k - некоторые действительные числа и с 0, (если с = 0, то дробно-линейное неравенство превращается в линейное, неравенство (6) не содержит аргумента).

К дробно-линейным неравенствам относятся и неравенства вида (6), где вместо знака > стоят знаки <, , . Решение дробно-линейного неравенства сводится к решению квадратного неравенства. Для этого необходимо умножить обе части неравенства (6) на выражение (сх + d)², положительное при всех хR и x -d/c.

Пример: Решить неравенство

< -1.

Решение: Прибавляя к обеим частям неравенства 1, получим неравенство вида (5).

< 0,

которое эквивалентно неравенству

х²(х² - х - 2) < 0.

Множество решений последнего неравенства находится методом интервалов: х( -1;0)(0;2).

Ответ: х(-1;0)(0;2).

Пример: Решить неравенство

.

Решение: Перенеся все члены неравенства в левую часть, получим

- - 0, или 0, откуда 0.

Пользуясь методом интервалов и учитывая знак неравенства, заключаем, что решением неравенства является объединение полуинтервалов: [-4; -3)(-1; 1].

Ответ: [-4; -3)(-1; 1].

Пример: Решить неравенство:

0.

Решение: Полагая х 0 и х 3, разделим обе части неравенства на положительную дробь и получим и сразу заметим, что х = 0 удовлетворяет заданному неравенству, а х = 3 не удовлетворяет. Кроме того, множители с нечетными показателями степени заменим соответствующими множителями первой степени (ясно, что при этом знак выражения в левой части неравенства не изменится). В результате получим более простое неравенство, равносильное заданному для всех х0 и х3:

0.

Начертив кривую знаков, заштрихуем промежутки удовлетворяющие этому неравенству, и отметим на той же оси точки х = 0 и х = 3. Учитывая, что значение х = 0 является решением заданного неравенства, но не принадлежит заштрихованному промежутку, его следует дополнительно включать в ответ. Значение х = 3 не является решением неравенства, но принадлежит заштрихованному промежутку; следовательно, это значение нужно исключить. Итак, получаем ответ: (-; -4)[1; 3) (3; 4,5]U0.

Ответ: (-; -4)[1; 3)(3; 4,5]U0.

Пример: Решить неравенство

< 0.

Решение. Разлагая числитель и знаменатель на множители, переписываем данное неравенство в виде

< 0.

Точками, в которых множители меняют знаки, являются -5, 1, 2, 6. Они разбивают числовую ось не интервалы (-; -5), (-5; 1), (1; 2), (2; 6),(6; +).

С помощью кривой знаков находим интервалы, где выполняется неравенство: (-5; 1) и (2; 6). При этом из (-5; 1) надо удалить точку 0, так как в этой точке выражение обращается в нуль. Итак, получаем ответ в виде (-5; 0)(0; 1)(2; 6).

Ответ: (-5; 0)(0; 1)(2; 6).

Пример: Решить неравенство

< 0.

Решение. Разлагая числитель и знаменатель на множители, перепишем данное неравенство в виде

< 0.

Нанесем числа 0, 1, 2, 5, при которых числитель и знаменатель обращаются в нуль, на числовую ось. Они разбивают числовую ось на пять промежутков.

С помощью «пробных» точек найдем знак выражения в каждом промежутке.

Выпишем интервалы, где выполняется неравенство: (-; 0), (0; 1), (2; 5).

Ответ: (-; 0)(0; 1)(2; 5).

2.5 Неравенства, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины

При решении неравенства, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величены, используется тот же прием, что и при решении уравнении, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величены, именно: решение исходного неравенства сводится к решению нескольких неравенств, рассматриваемых на промежутках знакопостоянства выражений, стоящих под знаков абсолютной величены.

Пример: Решить неравенство

х² - 2 + х < 0. (*)

Решение: Рассмотрим промежутки знакопостоянства выражения х² - 2, стоящего под знаком абсолютной величены.

1) Предположим, что

х² - 2 0,

тогда неравенство (*) принимает вид

х² + х -2 < 0.

Пересечение множества решений этого неравенства и неравенства х² -2 0 представляет собой первое множество решений исходного неравенства (рис 1): х(-2; -].

2) Предположим, что х² - 2 < 0, тогда согласно определению абсолютной величены имеем х² - 2= 2 - х², и неравенство (*) приобретает вид

2 - х² + х < 0.

Пересечение множества решений этого неравенства и неравенства х² - 2 < 0 дает второе множество решений исходного неравенства (рис. 2): х(-; -1). Объединяя найденные множества решений, окончательно получаем х(-2; -1)

Ответ: х(-2; -1).

В отличие от уравнений неравенства не допускают непосредственной проверки. Однако в большинстве случаев можно убедиться в правильности полученных результатов графическим способом. Действительно, запишем неравенство примера в виде

х - 2 < -х.

Построим функции y₁ =х² - 2 и y₂ = -х, входящие в левую и правую часть рассматриваемого неравенства, и найдем те значения аргумента, при которых y₁<y₂.

На рис. 3 заштрихованная область оси абсцисс содержит искомые значения х. Решение неравенств, содержащих знак абсолютной величены, иногда можно значительно сократить, используя равенство х²= х².

Рисунок 3

Пример: Решить неравенство

> 1. (*)

Решение: Исходное неравенство при всех х -2 эквивалентно неравенству

х - 1> х + 2. (**)

Возведя обе части неравенства (**) в квадрат, после приведения подобных членов получаем неравенство

6х < -3, т.е. х < -1/2.

Учитывая множество допустимых значений исходного неравенства, определяемого условием х -2, окончательно получаем, что неравенство (*) выполняется при всех х(-; -2)(-2; -1/2).

Ответ: (-; -2)(-2; -1/2).

Пример: Найти наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству:

> 1.

Решение: Так как х +1 0 и, по условию, х +1 0, то данное неравенство равносильно следующему: 2х + 5 > х +1. Последнее в свою очередь, эквивалентно системе неравенств -(2х + 5) < х + 1 < 2х + 5,

откуда

х > -4,

x > -4/3.

-(2х + 5) < х + 1

2х + 5 > х +1,

Наименьшим целым числом х удовлетворяющей этой системе будет неравенств, является 0. Заметим, что х -1, иначе выражение в левой части данного неравенства не имеет смысла.

Ответ: 0.

Пример: Решить неравенство:

х - 2 .

Решение: Пусть х = y. Заметим далее, что х + 1 > 0. Поэтому данное неравенство эквивалентно следующему: -2 (y -2)(y + 1), или y² - y 0, или 0 y 1, или 0 х 1. Отсюда -1 х 1.

Ответ: [-1; 1].

Пример: Решить неравенство

х² - 3х + 2+ 2х + 1 5.

Решение. х² - 3х + 2 отрицателен при 1 < x < 2 и неотрицателен при остальных х, 2х + 1 меняет знак при х = -Ѕ. Следовательно, нам надо рассмотреть четыре случая.

1. х < -Ѕ. В этом случае х2 - 3х + 2 > 0, 2х +1 < 0. Получаем неравенство х2 - 3х + 2 - 2х - 1 ? 5, х2 - 5х - 4 ? 0. С учетом условия х < -Ѕ находим 5 - 41 2 ? х ? -Ѕ.

2. - Ѕ ? х ? 1. Имеем неравенство х2 - х - 2 ? 0. Его решение -1 ? х ? 2. Следовательно, весь отрезок -Ѕ ? x ? 1удовлетворяет неравенству .

3. 1 < x < 2. Получаем х2 - 5х + 6 ? 0; х ? 2 или х ? 3. Вновь подходит весь интервал.

4. х ? 2. Неравенство то же, что и в случае 2. Подходит лишь х = 2.

Ответ: 5 - 41 2 ? х ? 2.

Пример: Решить неравенство.

х³ + х - 3- 5 х³ - х + 8.

Решение. Решим это неравенство не стандартным образом.

х³ + х - 3 - 5 х³ - х + 8,

х³ + х - 3 - 5 -х³ + х - 8

х³ + х - 3 х³ - х + 13

х³ + х - 3 - х³ + х - 3

х³ + х - 3 х³ - х + 13,

х³ + х - 3 -х³ + х - 13,

х³ + х - 3 -х³ + х - 3,

х³ + х - 3 х³ - х + 3

х 8,

х³ -5,

х³ 0,

х 3

- х 8,

х - любое

- х 8.

Ответ: - х 8.

2.6 Неравенства с параметрами

Неравенства с параметрами являются наиболее трудными задачами курса элементарной математики. Это объясняется тем, что их решения следует получать при всех допустимых значениях входящих в них параметров.

Пример: Для всех значений а решить неравенство

aх > 1/x.

Решение: Запишем неравенство в виде

> 0,