Робастное управление быстрыми термическими процессами при газофазной эпитаксии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Университет ИТМО

Робастное управление быстрыми термическими процессами при газофазной ЭПИТАКСИИ

А. А. КАПИТОНОВ, С. В. АРАНОВСКИЙ

Аннотация

газофазный эпитаксия робастный компенсатор

Рассмотрена задача построения робастного закона управления по выходу для системы со степенной нелинейностью. В качестве практического применения рассматривается задача регулирования температуры в быстрых термических процессах, характерных для газофазной эпитаксии. Решение задачи получено с использованием метода последовательного компенсатора. В работе формулируется ограничение на нелинейность, представляющее собой объединение секторной и степенной нелинейностей. Показано, что полиномиальная нелинейность соответствует введенному ограничению. С использованием аппарата функций Ляпунова доказывается асимптотическая устойчивость замкнутой системы для указанного типа нелинейности, что усиливает ранее известные результаты. Численное моделирование процесса газофазной эпитаксии показало, что с применением предложенного метода удается обеспечить нулевое математическое ожидание ошибки слежения и среднеквадратичную ошибку температуры, не превышающую 1 К.

Введение

В наше время достаточно тяжело представить цифровую технику без транзисторов, диодов и прочих полупроводниковых структур. Процесс получения тонкослойных пленок полупроводниковых материалов, представляет собой осаждение из газовой смеси металлоорганических соединений на подложку из материала, имеющего схожую с выращиваемым слоем структуру. Процесс эпитаксии, закономерного нарастания одного кристаллического материала на другом, проходит в специальной герметичной камере. Для обеспечения протекания необходимой химической реакции, камера заполняется буферным газом, давление во время процесса может быть пониженным или атмосферным. При этом температура, при которой проходит процесс, оказывает значительное влияние на толщину выращиваемого слоя [7]. Чаще всего такие процессы проходят при температуре свыше семисот градусов Цельсия. Процессы такого рода относятся к быстрым термическим процессам и характеризуются большой скоростью изменения температуры, от нескольких единиц до нескольких десятков градусов в секунду.

Динамика температуры в таких процессах описывается сложными нелинейными моделями, включающими степенные нелинейности. Одним из распространенных способов управления нелинейными системами является линеаризация обратной связью, главным недостатком которой являются жесткие требования к точному знанию параметров системы. Другим возможным подходом является алгоритм бэкстеппинга [10]. Недостатком этого метода является существенная сложность расчета и реализации, что снижает его инженерную привлекательность. При наличии неопределенностей в модели системы распространенным подходом является построение робастных систем [3-5,15,16]. Одним из подходов к построению робастных систем стал метод последовательного компенсатора [6], хорошо зарекомендовавший себя простотой реализации.

В данной работе мы рассматриваем систему регулирования температуры подложкодержателя в установке для газофазной металлоорганической эпитаксии.

Постановка задачи

На основе работ [12-14], можно записать следующую модель быстрых термических процессов, протекающих в рассматриваемой установке, построенную на основе уравнения баланса энергии:

, (1)

где - температура подложкодержателя в точке измерения, коэффициент описывает потери тепла за счет излучения, коэффициент описывает потери тепла за счет конвекции, коэффициент описывает потери тепла за счет теплопередачи, - температура, соответствующая переизлучению от внутренних стенок камеры, - температура газа, с которым происходит теплообмен через конвекцию, - температура прилегающих участков, с которыми происходит обмен теплом через теплопередачу, коэффициент описывает приток тепла за счет приведенной мощности индуктора, а - сигнал управления, соответствующий наведенной в индуктор мощности. Так как за счет продува обеспечивается постоянный поток газа, а за счет контура охлаждения обеспечивается постоянный отвод тепла от стенок камеры, величины и в рабочем режиме можно считать постоянными. Модель (1) может быть переписана в виде

, (2)

где а константа описывает совокупный приток тепла от внешней среды.

Ставится задача формирования такого закона управления , который обеспечивает в замкнутой системе

, (3)

где и . Или, что то же, обеспечивает асимптотическую устойчивость положения равновесия .

Традиционно при управлении нелинейными системами рассматривается задача стабилизации нулевого положения равновесия. Для сведения задачи слежения за постоянным заданием к задаче стабилизации перепишем модель (2) в отклонениях, введя в рассмотрение . Система (2) примет вид

, (4)

где , и нелинейная функция

. (5)

Тогда задача управления формулируется как формирования такого закона управления , что нулевое положение асимптотически устойчиво.

Формирование закона управления

Если предположить, что все параметры системы (4) известны, то задача может быть легко решена с использованием точной линеаризации обратной связью. Действительно, сигнал управления сводит систему (4) к устойчивой линейной системе. Однако на практике параметры объекта нельзя считать точно известными, так как присутствует модельная неопределенность, связанная с неточной идентификацией или с вариативностью параметров объекта (деградация графитного подложкодержателя, изменение параметров окружающей среды). В силу этих причин будем искать решение задачи в классе робастных законов управления.

В работах [6], [7] был рассмотрен объект управления вида

(6)

где , - измеряемый выходной сигнал, - входной сигнал, - действующее на систему возмущение, - некоторая известная нелинейная функция. Коэффициенты полиномов , , , неизвестны, , относительная степень объекта известна. Для рассматриваемого объекта (6) была решена задача стабилизации положения равновесия с использованием метода последовательного компенсатора [4] в предположении, что для нелинейной функции выполняется секторное [15] или степенное ограничение [16]

, (7)

где и натуральное число . Не смотря на тот факт, что для многих распространенных в инженерной практике нелинейностей указанное соотношение выполняется, налагаемое на ограничение остается достаточно консервативными. Так, легко показать, что для нелинейности (5) ограничение (7) не выполнятся.

Для решения поставленной задачи и достижения цели (3) рассмотрим расширение результатов, представленных в работах [15], [16], на случай более общего и менее консервативного ограничения:

, (8)

где , . В частности, покажем, что для полиномиальной нелинейности вида (5) неравенство (8) выполняется.

Лемма 1. Для функции

для любых постоянных параметров , существуют такие и , что неравенство (8) выполняется для всех .

Для приведения модели (4) к форме (6) далее будем рассматривать постоянное возмущение

. (9)

Рассмотрим закон управления

, (10)

где - Гурвицев полином степени , , константа выбрана такой, что передаточная функция

(11)

является строго вещественно положительной (СВП). Сигнал формируется следующим образом:

(12)

где и параметры выбираются так, что система (12) устойчива.

Прежде, чем представить основной результат работы, проведем некоторые предварительные преобразования, иллюстрирующие компенсацию возмущения и приводящие систему к форме вход-состояние-выход. Подстановка (10) в (6) приводит к

где . Это выражение может быть приведено к форме

или

(13)

где передаточная функция определена в (11), а сигнал задан как

(14)

Очевидно, что, так как передаточная функция устойчива и в силу наличия нулевого корня числителя в передаточной функции в (14), сигнал является экспоненциально затухающим. Пренебрегая экспоненциально затухающим членом , систему (13) можно переписать в виде

(15)

где вектор является вектором состояния системы (15), , , и - вектора и матрицы соответствующих размерностей, полученные при переходе от системы (13) к системе(15). Представим выражение (12) также в форме вход-состояние-выход:

(16)

где , и - матрица управляемого канонического представления.

Теорема 1. Пусть выполняется (8). Тогда для любых , таких, что передаточная функция (11) строго вещественно положительна, и для любых существует такое , что в замкнутой системе (15), (16) положение равновесия асимптотически устойчиво для всех начальных условий .

Результаты экспериментов

Представим систему (4) в форме (6):

, (17)

где определено в (9), а в (5). Относительная степень системы равна единице и, следовательно, вместо (12) запишем . Выберем полином в (10) как . Закон управления (10) примет вид

, (18)

а передаточная функция (11)

. (19)

Передаточная функция (19) является СВП для всех . Выберем и .

Целевая температура составляет T*=1020 ^oC. Начальная температура T(t=0)=1000 ^oC, выход в окрестность рабочей температуры на практике осуществляется в специальном режиме работы системы управления и здесь не рассматривается. Измерение температуры осуществляется оптическим пирометром с частотой 10 Гц, шум измерений представляет собой нормально распределенный сигнал с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 0,02 ^oC ². График переходного процесса в системе представлен на рисунке. Установившееся значение равно 1020 ^oC, среднеквадратичное отклонение составляет 0,33 ^oC.

Рис. 1 Переходный процесс в системе (17) с законом управления (18) при и

Заключение

Рассмотрена задача построения робастного закона управления по выходу для системы с нелинейностью, удовлетворяющей неравенству (8). Решение задачи получено с использованием метода последовательного компенсатора. С использованием метода функций Ляпунова доказывается асимптотическая устойчивость замкнутой системы для указанного типа нелинейности, что усиливает ранее известные результаты [15, 16]. Полученный закон управления предлагается использовать для построения системы регулирования температуры в процессе газофазной эпитаксии. Приведена математическая модель термического процесса и показано, что задача поддержания постоянной температуры может быть сведена к задаче стабилизации нулевого положения с сопутствующим переходом от степенной нелинейности к полиномиальной. Показано, что полиномиальная нелинейность удовлетворяет неравенству (8), следовательно, предложенный в работе метод может быть использован для решения задачи регулирования температуры.Численное моделирование процесса газофазной эпитаксии показало, что с применением предложенного метода удается обеспечить следующие точностные характеристики: нулевое математическое ожидание ошибки слежения и среднеквадратичную ошибку, не превышающую 1 К, что сопоставимо с промышленными установками.

Литература

1. Арановский С.В., Капитонов А.А., Ортега Р. Робастное регулирование систем с полиномиальной нелинейностью на примере быстрых термических процессов.

2. Бесюлькин А.И., Заварин Е.Е., Лундин В.В., Сахаров А.В., Сизов Д.С. Фомин А.В., Цацульников А.Ф. Выращивание эпитаксиальных слоев AlGaN и сверхрешеток AlGaN/GaN методом газофазной эпитаксии из металлоорганических соединений // Физика и техника полупроводников. 2004. Т. 38. № 6. С. 705-709.

3. Бобцов А.А., Никифоров В.О. Адаптивное управление по выходу: проблематика, прикладные задачи и решения // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2013. № 1 (83). С. 1-14.

4. Бобцов А.А., Капитонов А.А., Николаев Н.А. Управление по выходу нелинейными системами с неучтенной динамикой // Автоматика и телемеханика. 2010. № 12. С. 3-10.

5. Бобцов А.А., Пыркин А.А. Алгоритм управления по выходной переменной для линейного объекта с неизвестными параметрами и динамической размерностью // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2011. № 4 (74). С. 160-161.

6. Бобцов А.А. Робастное управление по выходу линейной системой с неопределенными коэффициентами // Автоматика и телемеханика. 2002. № 11. С. 108-117.

7. Ивонин И.В., Новиков В.А., Преображенский В.В., Влияние температуры роста на статистические параметры морфологии поверхности GaN // Физика и техника полупроводников. 2014. Т. 48. № 7. С. 898-901.

8. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000. 549 с.

9. Фуртат И.Б., Цыкунов А.М. Адаптивное управление объектами с неизвестной относительной степенью // Автоматика и телемеханика. 2010. № 6. С. 109-118.

10. Arcak M., Kokotoviж P. Constructive nonlinear control: a historical perspective // Automatica. 2001. V. 37. N 5. P. 637-662.

11. Astolfi A., Ortega R. Immersion and invariance: a new tool for stabilization and adaptive control of nonlinear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2003. V. 48. N 4. P. 590-606.

12. Balemi S., Schaper C.D., Cho Y.M., Park P., Norman S.A., Gyugyi P., Hoffmann G., Boyd S.P., Franklin G., Kailath T., Saraswat K.C. Modeling and control of rapid thermal processing // Proc. SPIE - The International Society for Optical Engineering. 1992. V. 1595. P. 2-17.

13. Ebert J., De Roover D., Porter L.L., Lisiewicz V.A., Ghosal S., Kosut R.L., Emami-Naeini A. Model-based control of rapid thermal processing for semiconductor wafers // Proceedings of the American Control Conference. 2004. V 5. P. 3910-3921.

14. Moslehi M.M., Schaper C.D., Saraswat K.C., Kailath T. Modeling, identification, and control of rapid thermal processing systems // Journal of the Electrochemical Society. 1994. V. 141. N 11. P. 3200-3209.

15. Pyrkin A.A., Bobtsov A.A., Kolyubin S.A., Faronov M.V., Shavetov S.V., Kapitanyuk Y.A., Kapitonov A.A. Output control approach `consecutive compensator' providing exponential and L?-stability for nonlinear systems with delay and disturbance // Proc. IEEE International Conference on Control Applications, CCA 2011. Denver, USA, 2011. P. 1499-1504.

16. Pyrkin A. A., Bobtsov A. A., Kolyubin S. A. Simple output controller for nonlinear systems with multisinusoidal disturbance. // Proc. 21^st Mediterranean Conference on Control and Automation, MED 2013. Platanias-Chania, Crete, Greece, 2013. P. 1087-1091.

Размещено на Allbest.ru