Размещено на http://www.allbest.ru/

Анализ методов определения расчётных максимальных расходов воды

ОГЛАВЛЕНИЕ

• ВВЕДЕНИЕ
• 1. Теоретическая часть
• 1.1 Общие сведения о расчётном максимальном расходе
• 1.2 Кривые распределения расходов
• 1.3 Способы определения расчётного максимального расхода
• 1.3.1. Определение расчётного расхода с использованием фактической кривой обеспеченности
• 1.3.2 Определение расчётного расхода с использованием теоретических кривых обеспеченности
• 1.3.3 Установление расчётного расхода с применением таблицы Фостера - С.И. Рыбкина
• 1.3.4 Определение расчётного расхода методом аналогий
• 1.3.5 Метод наибольшего правдоподобия
• 1.3.6 Метод моментов
• 1.3.7 Графоаналитический метод
• 1.3.8 Определение Qmax p% при отсутствии наблюдений
• 2. Расчетно-практическая часть
• 2.1 Анализ методов определения расчётов максимальных расходов воды
• 3. Экономическая часть
• 4. Охрана труда
• 4.1 Вредные факторы производства
• 4.2. Идентификация опасных и вредных факторов технологического процесса
• 4.3. Безопасность производственного оборудования и технологического процесса
• 4.4. Электробезопасность
• 4.5. Методы защиты от вредных факторов производства
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Расход воды - основная гидрологическая характеристика любого водотока, которая необходима при проектировании различных гидротехнических сооружений; гидроэлектрических станций - для расчета их мощности; оросительных систем - чтобы знать реальную площадь орошаемых земель; эксплуатационным службам для управления и распределения водных ресурсов среди сельскохозяйственных пользователей воды; речного питьевого и промышленного водоснабжения - для расчета количества воды для населенных пунктов и нужд производства без ущерба экологии и т. д.

Расход небольших водотоков (ручья, источника, ключа) можно измерить непосредственно, так называемым объемным способом. Для этого необходимо водоток перекрыть небольшой запрудой, вывести из нее желоб, по которому вода водотока свободно стекала бы в сосуд с известным объемом, и измерять - за сколько секунд сосуд наполнится водой, вытекающей из желоба.

Объемный способ измерения расхода воды предложил древнегреческий философ Герон Александрийский около 100 г. н. э. Он рекомендовал применять для определения продолжительности наполнения сосуда... солнечные часы! Правда, он не брал для измерений сосуд, а выкапывал в русле малой речки целый бассейн. Если расход водотока настолько велик, что собрать воду в мерный сосуд невозможно, его не измеряют, а вычисляют по измеренной скорости течения потока и площади его поперечного сечения (метод «скорость - площадь»).

Любопытно, что, казалось бы, азбучная истина, составляющая ныне основу элементарной гидравлики: расход потока равен площади его поперечного сечения, умноженной на скорость (Q = Fv), вошла в науку лишь после 1628 г., когда она была установлена учеником Галилея итальянцем Бенедетто Кастелли. До этого расход воды потока считался пропорциональным только площади его поперечного сечения. Даже римлянам приходилось строить замечательные акведуки и водопроводы, определяя расход воды в них только по площади поперечного сечения. Правда, до Кастелли положение о том, что расход воды равен площади сечения, умноженной на скорость, установил Герон Александрийский на рубеже 2 в. н. э., но оно не привлекло внимания ученых. В настоящее время, чтобы получить площадь поперечного сечения реки при определении ее расхода, измеряют ширину реки и ее глубину на разных расстояниях от берега.

Измерить скорость течения значительно сложнее, так как в различных точках сечения она неодинакова - у дна и берегов вода течет медленнее (вследствие трения о дно), посредине реки быстрее. Поэтому приходится измерять скорость не в одной точке речного потока, а на разной глубине и на разных расстояниях от берега по поперечному профилю.

Скорость измеряют с помощью основного гидрометрического прибора - гидрометрической вертушки. Изобретение этого прибора в конце XVIII в. немецким инженером-гидротехником Р. Вольтманом составило целую эпоху в истории гидрометрии и гидрологии. Основная часть вертушки - винтовая лопасть (пропеллер, ротор), которая приводится в движение (вращается) текущей водой - чем быстрее течение, тем быстрее крутится лопасть, которая соединена со счетчиком оборотов. В первоначальной вертушке Вольтмана механический счетчик оборотов был прикреплен к оси вертушки и находился под водой, поэтому для каждого отсчета скорости течения вертушку приходилось вытаскивать из воды.

Современные вертушки снабжены электрическим счетчиком, показания которого передаются на мостик, в лодку или катер, где сидит техник-гидрометр, измеряющий расход воды. Электрический счетчик значительно ускорил измерение расхода воды вертушкой, но все же метод «скорость - площадь» остается еще очень громоздким и трудоемким, в особенности на больших реках, где одно измерение занимает много часов. Например, первое измерение расхода воды Амазонки заняло трое суток, в нем участвовали военные корабли бразильского флота и, не считая бразильских специалистов, работали четыре инженера-гидролога гидрологической службы США. Расход Амазонки был измерен впервые в 1963 г., лишь через 463 года после открытия ее В. Пинсоном!

Измерялся расход не в устье, где ширина реки достигает многих километров и определить его почти невозможно, а на суженном участке русла около города Обидус, в нижнем течении (площадь бассейна около 5 млн. км 2 ). Здесь ширина Амазонки составляет «всего» 2,3 км, средняя глубина около 45 м (максимальная превышает 60 м). Средний расход воды у этого города оказался равным 170 тыс. м 3 /с, а отнесенный к устью реки - 220 тыс. м 3 /с Это примерно в 2 раза больше, чем считали до 1963 г., по ориентировочным измерениям поплавками.

Расход воды крупнейшей реки Европы - Волги был впервые определен в августе 1700 г. английским инженером Джоном Перри, приглашенным Петром I на работу в Россию. Скорость течения измерялась поплавками. Перри получил величину расхода, близкую к действительной (средней за август), - 6360 м 3 /с. На территории Европы измерения расхода воды крупнейших рек были начаты в 1800-1810 гг., в Северной Америке, Азии и Австралии - в середине 19 в., в Африке и Южной Америке - только в первой четверти 20 в. Вертушку опускают в реку на тросе или на штанге с лодки или катера, установленных на якоре или удерживаемых на натянутом поперек реки тросе.

На небольших и очень быстрых реках (например, горных), на которых трудно работать с вертушкой с лодки или вброд, часто применяют гидрометрическую люльку - легкий передвигающийся по тросу, натянутому через реку, подвесной ящик, в котором помещаются один или два наблюдателя-гидрометра с вертушкой.

1. Теоретическая часть

1.1 Общие сведения о расчётном максимальном расходе

Осадки, выпадающие на земную поверхность в виде дождя, или вода, образуемая при таянии снега, дают начало достаточно быстрому поверхностному стоку и весьма медленному подземному стоку. По мере слияния отдельных струек вода собирается в углублениях земной поверхности и образует водотоки - реки.

Сток реки круглогодичен, но при этом в годовом цикле стока наблюдается существенная неравномерность. Гидрограф стока (график изменения расхода Q в течение года) для рек со снеговым питанием выглядит следующим образом (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Гидрограф стока

Максимальный (пиковый) расход во время половодья Qmax изменяется из года в год, и закономерность его изменения пока не выявлена, т.е. величина Qmax является случайной для каждого года. Сооружения мостового перехода подвергаются опасности разрушения при прохождении именно максимального расхода - Qmax.

Мостовые переходы должны выполнять свои функции в течение долгого срока службы (обычно более столетия). За это время на реке могут появиться не только малые, но и большие половодья, в том числе превышающие те, которые были зафиксированы гидрометеостанцией на данном водотоке.

Чтобы сооружения перехода были запроектированы правильно и нормально эксплуатировались в течение всего срока службы, необходимо расчёт размеров сооружений основывать на достаточно точном прогнозе возможных величин Qmax. До 30-х годов за расчётный принимался максимальный расход, соответствующий самому высокому из наблюдаемых уровней воды, который назывался высоким историческим горизонтом (ВИГ). В настоящее время прогноз величин максимальных расходов рек выполняется на основе статистических данных о режиме водного сто- ка реки (публикуется в гидрологических ежегодниках) за период, предшествующий постройке мостового перехода, с использованием теории вероятности.

Применение методов теории вероятности и математической статистики в решении гидрологических задач получило широкое распространение. Максимальный расчётный расход для сооружений мостового перехода характеризуется вероятностью его превышения ещё большими расходами.

Чем больше максимальный расход, тем меньше вероятность его превышения ещё большими расходами. Например, максимальный расход вероятностью превышения p = 1%, Qmax 1% - это такой максимальный расход, который будет превышен ещё большим расходом в среднем 1 раз за каждые 100 лет; Qmax 2% будет превышен в среднем 2 раза за 100 лет или 1 раз за 50 лет и т.д. Чем выше класс водопропускных сооружений и категория дороги, тем меньший процент случаев превышения расчётного максимального расхода допускается по нормам проектирования (табл. 1.1).

Таблица 1.1 Нормы вероятности превышения расчётного максимального расхода

Чтобы построить сооружения, которым не угрожает потеря устойчивости ни при каких высоких половодьях, необходимо принять в качестве расчётного максимального расхода физически возможный предельный расход Qmax 0,01%, так называемый максимум максиморум, частота превышения которого практически равна нулю. Однако сооружения будут весьма дороги, поэтому более экономично ограничивать максимальные расчётные расходы значениями реально превышающими, допуская необходимость восстановления или ремонта отдельных сооружений на дорогах после пропуска расхода, превышающего расчётный.

Проектирование гидротехнических и других инженерных сооружений на склонах и в первичной гидрографической сети требует ответа на вопрос о расчетных значениях характеристик склонового стока, в частности, о максимальных расходах. При этом согласно [1], под расчетным расходом воды понимается расход воды заданной вероятности превышения (обеспеченности), принимаемый в качестве исходного значения для определения размеров проектируемого сооружения. Поэтому гидрологический расчет характеристик стока, имеющих вероятностную природу колебаний во времени, приобретает законченный вид, когда каждому возможному значению определяемой характеристики будет поставлена в соответствие ежегодная вероятность превышения этого значения.

Повторяемость максимальных расходов дождевого склонового стока в большинстве существующих инженерных методов расчета, в том числе нормативных [1], принимается равной повторяемости максимальной интенсивности осадков за интервал времени, равный времени склонового добегания. В зависимости от положения этого интервала внутри периода выпадения дождя, а также в зависимости от начального увлажнения почвы, потери стока, учитываемые в существующих формулах коэффициентом стока («сборным коэффициентом стока»), будут непостоянными, в общем случае представляя случайную величину с определенным законом распределения. Поэтому использование на практике максимальной интенсивности осадков различной повторяемости приводит к утрате представлений об обеспеченности вычисленных максимальных расходов. Другими допущением при оценке обеспеченности максимальных дождевых расходов является предположение, что в формировании расчетного максимального расхода всегда (с вероятностью, равной единице) участвует вся площадь водосбора (длина склона), или же ее определенная постоянная часть, учитываемая весьма условно с помощью коэффициентов «редукции» стока или осадков. Такое допущение нуждается в статистическом обосновании.

Генетический подход к определению параметров склонового стока предполагает определение расчетных характеристик случайного процесса водоотдачи склонов, таких как средняя интенсивность за конкретные промежутки времени, продолжительность, суммарный слой и т.п. Под интенсивностью водоотдачи понимается разность между интенсивностью дождя i и интенсивностью суммарных потерь K (на впитывание и поверхностное задержание) при образовании склонового стока, то есть . Случайность процесса водоотдачи склонов прямо связана со случайным характером выпадения дождевых осадков во времени. Однако это не исключает наличия детерминированных взаимосвязей между его отдельными составляющими - интенсивностью осадков и интенсивностью потерь, несмотря на их вероятностную природу. Это диктует необходимость рассматривать водоотдачу склонов как детерминированно-стахастический процесс [2].

При подходе к изучению и расчетам стокообразующих процессов следует учитывать качественное их своеобразие в различных физико-географических условиях. В настоящей работе рассматривается классический случай формирования стока, вызванного превышением интенсивности дождя над интенсивностью потерь и происходящего поверхностным путем. Этот вид стока («подвешенный» [3]) широко распространен на слабопроницаемых поверхностях с глубоким залеганием уровня грунтовых вод, в зонах недостаточного и неустойчивого увлажнения с повышенной эрозионной деятельностью дождевых вод.

На основании анализа экспериментальных данных по искусственному дождеванию была получена необходимая для расчета водоотдачи обобщенная модель интенсивности суммарных потерь при образовании поверхностного стока на склонах

(1)

где К - интенсивность потерь, мм/мин; - интенсивность дождя, мм/мин; - инфильтрационная способность (максимально возможная интенсивность потерь для данной интенсивности дождя).

Величина инфильтрационной способности конкретного вида стокообразующей поверхности в произвольный момент времени от начала дождя , входящая в (1), определяется по уравнению

(2)

где К₀ - коэффициент фильтрации при неограниченной интенсивности поступления осадков (), мм/мин; - начальная влажность почвы, характеризуемая влагозапасом в верхнем 10-сантиметровом слое, мм; - слой впитавшихся к моменту времени t осадков, мм; , b, c - параметры, зависящие от генетического типа почвы, степени ее эродированности и характера сельскохозяйственного использования; e - основание натуральных логарифмов.

В уравнении (2) величина представляет собой предельный минимум впитывания, устанавливающийся при длительном течении процесса инфильтрации или при инфильтрации в исходно насыщенную почву, когда основную роль играют гравитационные силы. Фактор отражает влияние интенсивности дождя на установившийся коэффициент фильтрации и по смыслу характеризует относительную величину инфильтрующей площади при капельном поступлении на увлажненный до состояния насыщения верхний слой почвы [4].

Второй член уравнения (2) учитывает уменьшение во времени инфильтрационной способности почвы по мере ее насыщения вследствие уменьшения капиллярно-сорбционного потенциала, значение которого для данного типа поверхности косвенно характеризуется влажностью почвы и слоем впитавшихся к рассматриваемому моменту времени осадков .

В свете выполненных полевых экспериментов, а также анализа теоретических моделей инфильтрации как главного элемента потерь стока, качественная картина процесса впитывания во время дождя представляется следующей. В начальный период дождя, после завершения в основном процесса перехвата осадков растительным покровом, очагами инфильтрации являются места падения капель на поверхность. В этих местах происходит мгновенное насыщение почвы и быстрое (до попадания в это же место следующей капли) поглощение и перераспределение влаги из-за громадных градиентов влажности в тонком поверхностном слое. Инфильтрационная способность в этот начальный момент чрезмерно велика и, как правило, превышает реальные значения интенсивности дождя; поэтому фактическая интенсивность впитывания ограничена и равна интенсивности дождя. Средняя влажность на поверхности при этом меньше влажности насыщения и тем больше, чем больше интенсивность дождя. До тех пор, пока влажность поверхности остается меньше насыщения, скорость впитывания определяется интенсивностью дождя (), и поверхностный сток возникнуть не может, то есть наблюдается фаза свободной инфильтрации.

Как только средняя влажность на поверхности становится равной влажности насыщения (по мере развития процесса или в результате увеличения интенсивности дождя), возникают условия для образования стока за счет превышения интенсивности дождя над инфильтрационной способностью, которая, в свою очередь, определяется градиентом влажности на поверхности, уменьшающимся по мере насыщения почвы.

При длительном течении процесса инфильтрации (или при выпадении дождя на сильно увлажненную почву) градиент влажности на поверхности становится бесконечно малым, основную роль играет не капиллярно-сорбционные, а гравитационные силы, вследствие чего процесс приобретает стационарный характер, определяемый соотношением интенсивности дождя и коэффициента влагопроводности верхнего насыщенного слоя почвы в соответствии с первым слагаемым в правой части уравнения (2).

Значения параметров , b, c в уравнении (2) для некоторых видов поверхностей склонов приведены в работе (2).

Модель интенсивности водоотдачи a, учитывая (1), имеет следующий вид

(3)

Зная значение начальной влажности для определенного вида поверхности, а также динамику конкретного дождя, представленную в результате обработки плювиограммы последовательностью осредненных за малый интервал времени интенсивностей , можно, используя выражения (1…3), получить гидрограф водоотдачи . При этом все или часть значений могут иметь нулевые значения, то есть гидрограф водоотдачи в общем случае имеет разрывной характер, состоящий из r тактов. Располагая гидрографом водоотдачи, легко определить по нему такие элементы, как слой и продолжительность -го такта водоотдачи - и , суммарные значения продолжительности и слоя водоотдачи за время дождя - и , максимальные за заданный интервал времени значения интенсивности водоотдачи и ряд других характеристик, представляющих интерес при расчетах стока.

Преобразование гидрографа водоотдачи в гидрограф стока (притока к сооружению) под влиянием бассейнового регулирования осуществляется с помощью простого оператора скользящего осреднения по максимальному времени бассейннового (склонового) добегания

(4)

где и - расчетные расходы стока и водоотдачи в j-м интервале времени ( - площадь водосбора).

Количественная оценка точности методик расчета слоев стока (водоотдачи) H_a и максимальных расходов воды за паводок , произведенная для 37 паводков на 3-х водотоках с помощью критерия применимости и качества метода , где - средняя квадратическая ошибка расчета, - среднее квадратическое отклонение от нормы, позволяют считать методику хорошей ( = 0,18… 0,40).

Описанная модель преобразования осадков в водоотдачу относится к классу детермистических моделей, поскольку она содержит условия, определяющие численный результат (начальная влажность почвы, продолжительности и динамика дождя), который заранее известны. Поскольку указанные условия имеют вероятностный смысл, наибольший практический интерес представляет получение статистических характеристик отдельных элементов случайного процесса водоотдачи.

Аналитическое описание нестационарного случайного процесса выпадения дождей и преобразование его с помощью модели (1…3) в случайный процесс водоотдачи встречает серьезные затруднения. Поэтому предлагается численный подход, суть которого состоит в следующем.

Случайные факторы, определяющие динамику отдельных реализаций процесса водоотдачи, такие как начальная влажность почвы , слой H и продолжительность T дождя многократно моделируются методом Монте-Карло, исходя из совместной плотности распределения , где и - нормализованные значения величин H и T. При этом рассматриваются лишь «стокообразующие» дожди с 10 мм. В качестве нормализующих функций для H и T использованы следующие соотношения и . Параметр a изменется в пределах 7,0… 8,5. Величина имеет двусторонне ограниченный закон распределения с плотностью вероятностей

, (5)

где - плотность нормального распределения начальных влагозапасов на интервале (); - символ дельта-функции; C₁ и C₂ - параметры, характеризующие степень ограничения в точках и ;

.

Пределы колебания можно принимать на основании водно-физических свойств почвы, то есть положить , а = (0,90…0,95) для необрабатываемых поверхностей и - для обрабатываемых, (здесь _, , - соответственно, запасы влаги в 10-см слое почвы при максимальной гигроскопичности, полной влагоемкости и наименьшей влагоемкости. По ориентировочным подсчетам степень усечения составляет примерно 0,5… 3,0 %, то есть лишь это количество значений относится к предельным влагозапасам.

Сведения об Н, Т и могут быть получены по данным наблюдений на ближайших метеостанциях. При отсутствии данных наблюдений за влагозапасами накануне дождя с мм без больших погрешностей можно использовать (условия глубокого залегания грунтовых вод) следующие соотношения для определения параметров :

а) луговая поверхность (пастбища и сенокосы)

б) обрабатываемая поверхность под с/х культурами

Динамика дождей описывается с помощью достаточно большого набора (равного числу зарегистрированных плювиографами данного района дождей с ) хранящихся в памяти ЭВМ безразмерных реализаций случайного процесса нарастания слоя дождя во времени:

(6)

где - слой осадков за время Н - суммарный слой дождя.

Кривые (6), являясь моделями реально наблюденных гиетограмм, автоматически учитывают как нестационарность процесса , так и стохастическую связь между значениями интенсивности дождя в отдельных интервалах времени.

После генерирования случайных величин , Н и Т случайным образом производится выбор реализации (6) (из группы, соответствующей разыгранным значениям Н и Т, так как между Н и Т имеется стохастическая связь) и ее пересчет в последовательность . Процедура перехода от к осуществляется с помощью модели (2),(3).

Описанная имитационная схема моделирования дает возможность получить достаточно большое число реализаций случайного процесса водоотдачи . В результате статистической обработки этих реализаций получаются вероятностные характеристики отдельных элементов процесса водоотдачи, используемые при расчетах склонового стока.

Решение одномерной гидравлической модели кинематической волны с сосредоточенными параметрами [5] приводит к различным функциональным выражениям для определения максимального расхода воды с единицы ширины склона на расстоянии L от водораздела, вызванного отдельным стокообразующим дождем

, (7)

где k - коэффициент пропорциональности; - поправочный коэффициент, учитывающий неравномерность и несимметричность гидрографа водоотдачи ; - максимальная интенсивность водоотдачи, осредненная за время добегания волны стока; H_a - слой водоотдачи за общую продолжительность водоотдачи; n и c₁ = m₀I^и - параметры уравнения скорости (y - глубина склонового потока); - путь добегания волны стока, определяемый при переменной интенсивности водоотдачи по уравнению

. (8)

При постоянной во времени интенсивности водоотдачи путь добегания волны равен

. (9)

Для решения практических задач значения параметров n и и в формуле скорости склонового стекания = приняты в соответствии с СП 33-101-2003 [1] по Г.А. Алексееву: n = 1, и = 0.5.

Выполненные по результатам моделирования гидрографов водоотдачи расчеты величины , являющейся случайной, показали, что с 95%-ой доверительной вероятностью имеет равномерное распределение в интервале 0,8….1,2, то есть без больших систематических погрешностей в практических расчетах можно принять . Это допущение значительно упрощает определение по модели (1), так как позволяет принимать осредненные значения интенсивности водоотдачи за интервалы времени или .

Согласно (7), в зависимости от соотношения и (или и ) максимальный расход на склоне длиной L, вызванный конкретным стокообразующим дождем (со слоем мм, определяется по различным функциональным выражениям. При наблюдается полный сток (по терминологии А.Н. Бефани), когда в формировании максимального расхода участвует вся длина склона (весь водосбор). В противном случае при имеет место неполный сток, и в формировании максимального расхода участвует не вся длина склона (весь водосбор), а только его часть, равная пути добегания волны за время Т_а.

Эти обстоятельства следует иметь в виду при оценке обеспеченности , так как в общем случае она определяется не только вероятностными характеристиками водоотдачи и Н_а, но также и вероятностью возникновения самого вида стока (полного или неполного), поскольку величина , являясь функцией произведения случайных величин , сама является случайной.

Вероятность полного стока определяется вероятностью осуществления события , то есть

, (10)

где - обеспеченность значения среди всей совокупности гидрографов водоотдачи. Практически для вычисления q необходимо иметь кривую обеспеченности величины , получаемую по результатам моделирования водоотдачи, и по ней для ( для конкретного водосбора является постоянной величиной) определить искомую вероятность полного стока.

Поскольку полный сток и неполный образуют полную группу несовместных событий, вероятность неполного стока (включая и нулевой) равна .

Применяя формулу полной вероятности к вычислению обеспеченности (среди всей совокупности максимумов) конкретного рассматриваемого значения , определяемого выражением (1), при = 1 будет иметь

+. (11)

Время добегания (наступления установившегося режима стекания) при известном определяется по формуле

, (12)

где в мин; L в м; I в %₀; в мм/мин.

Значения параметра шероховатости склонов , колеблющиеся для различных видов поверхности (сельскохозяйственных угодий) в пределах 0,2…….0,3, приведены в СП 33-101-2003 [1]. При принятых размерностях , L, I, , и в л/(с·м) значение коэффициента пропорциональности k в (7) и (11) равно 0,0167.

Для вычисления на практике необходимо иметь помимо кривой , определяющей вероятность возникновения полного стока на данном водосборе, также и серии условных функций (кривых) обеспеченности и для различных видов поверхности склонов в рассматриваемом районе.

Определение вероятностных характеристик максимальных расходов склонового стока среди всей совокупности стокообразующих дождей представляет интерес при использовании современных методов расчета водной эрозии.

При проектировании гидротехнических сооружений в настоящее время нормативным критерием служит вероятность ежегодного превышения P_I наибольшего за годовой отрезок времени значения рассматриваемой гидрологической характеристики. В рассматриваемом случае это - P_I. При переходе от обеспеченности среди всей совокупности значений к ежегодной вероятности превышения годовых максимумов можно воспользоваться подходом, изложенном в работе Ю.Б. Виноградова [4], для определения обеспеченности годовых суточных максимумов по всей совокупности суточных осадков. Кроме того, следует учитывать, что рассматриваемое конкретное значение в течение года может быть превышено как при полном стоке, так и при неполном стоке. Поэтому на основе теоремы сложения вероятностей для двух совместных событий с учетом выражения (11) будем иметь

, (13)

где - ежегодная вероятность превышения среди случаев полного стока;

- ежегодная вероятность превышения среди случаев неполного стока; - среднее годовое число гидрографов водоотдачи, получаемое по результатам имитационного моделирования.

Выполненные на основе выражения (13) расчеты показали, что годовые максимумы при на коротких склонах с L<250 м и при уклонах 250%₀ (14⁰) образуются исключительно при полном стоке, то есть за счет наибольшей ежегодной интенсивности водоотдачи за время склонового добегания . Это обстоятельство существенно упрощает расчеты максимальных расходов для небольших эрозионно опасных водосборов. В качестве расчетного для этих водосборов может служить известное выражение

, (14)

где - максимальный расход (л/c) с ежегодной вероятностью превышения ; - максимальная интенсивность водоотдачи (мм/мин) за время добегания (мин) обеспеченностью ; - средняя ширина склонов, (м).

Расчеты модулей максимальных дождевых расходов различной обеспеченности для склонов, не охватываемых формулой (8), показали, что получаемые по действующим нормам [1] результаты завышены при 5% на 10….62% для различных видов поверхности из-за неучета реальной («действующей») длины склона, участвующей в формировании расчетного максимума.

Полученные моделированием кривые обеспеченности решают вопрос и о расчете максимального годового объема дождевого стока обеспеченностью ; м³

(15)

где - максимальный годовой слой водоотдачи обеспеченностью ,мм; - площадь водосбора, га.

1.2 Кривые распределения расходов

Расход воды, вычисленный по измеренным скоростям течения при разных уровнях, заносят на каждом гидрометрическом створе в ведомость измеренных расходов.

По данным этой ведомости для каждого гидрометрического створа строят график зависимости расхода от уровня, называемый кривой расходов воды (рис.13.9). На горизонтальной оси этого графика размечается шкала расходов, а на вертикальной - шкала уровней над нулем графика или отметки горизонтов воды.

Измеренные расходы воды наносят на график точками, обведенными кружками, с указанием номера расхода или даты его измерения. Посредине полосы этих точек проводят плавную линию, которая и представляет собой кривую расходов.

На одном и том же графике вместе с кривой расходов Q = f(H) часто наносят кривые площадей живых сечений щ = f(Н) и средних скоростей течения v = f(H).

Кривую щ = f(Н) строят по способу, изложенному в п. 12.3, а кривую v = f(H) - по средним скоростям (v = Q/щ).

Масштабы уровней, расходов, площадей и средних скоростей назначаются с таким расчетом, чтобы кривая Q = f(H) расположилась к оси абсцисс под углом 40-45є, а кривые щ = f(Н) и v = f(H) - под углом 55-60°.

Для удобства пользования кривой расходов ее нижнюю ветвь часто вычерчивают отдельно в более крупном масштабе.

Рис. 1.2. Кривые расходов, площадей живого сечения и средних скоростей течения.

Разброс точек измеренных расходов на графике Q = f(H) обусловлен, помимо неизбежно допускаемых погрешностей при их определении, рядом природных факторов: неустойчивостью русла реки, изменчивостью уклона водной поверхности в течение года, наличием ледяного покрова в зимнее время и др.

Средние скорости течения, а следовательно, и расходы воды в реках, зависят от уклонов водной поверхности. Последние же нередко подвержены существенным колебаниям. Например, в период весеннего подъема уровней уклоны водной поверхности больше, чем при спаде уровней. Поэтому расходы воды, измеренные при одинаковых горизонтах в периоды подъема и спада паводка, оказываются разными, что вызывает значительный разброс точек на графике Q = f(H) при высоких уровнях. В таких случаях верхний участок кривой расходов строят в виде двух ветвей - одной для периода подъема паводка и второй для периода спада.

Зимние расходы воды, измеренные под ледяным покровом, оказываются значительно меньше летних при тех же уровнях. Объясняется это тем, что ледяной покров создает дополнительное сопротивление, обусловливающее уменьшение скоростей течения. Поэтому для зимнего периода следует строить самостоятельную кривую расходов. Наконец, при неустойчивом русле кривая расходов может ежегодно менять свое очертание и поэтому должна систематически корректироваться.

Часто измеренных расходов воды бывает недостаточно для построения кривой Q = f(H), охватывающих всю амплитуду колебания уровней. В таких случаях возникает необходимость в ее продолжении (экстраполяции) до высоких горизонтов воды.

Существует несколько способов экстраполяции кривых расходов, простейшими из которых являются следующие:

1. Если экстраполируемый участок кривой расходов охватывает интервал уровней, не превышающий 10-15% общей амплитуды их колебания, и река не выходит при высоких горизонтах на пойму, кривую Q = f(H) можно продлить «на глаз», сохраняя общую тенденцию ее направления на предшествующем участке.

2. Когда кривая Q = f(H), построенная по измеренным расходам, охватывает 65-75% амплитуды колебания уровней, и река имеет одно устойчивое русло, экстраполяцию кривой расходов проводят по трем-четырем расходам, вычисленным при высоких уровнях воды по формуле Q = щv.

Значения площадей живых сечений для определения этих расходов устанавливают по кривой щ = f(H), а средних скоростей течения - путем экстраполяции кривой v = f(H). Участки кривых Q= f(H) и v = f(H), полученные путем экстраполяции, наносят на график пунктиром.

3. Если имеется всего несколько измеренных расходов, но известны сведения о живых сечениях и уклонах поверхности воды при разных уровнях, включая высокие горизонты воды, кривую расходов можно построить по формулам гидравлики .

4. При наличии на реке опорного створа, для которого кривая Q = f(H) построена до наибольших уровней, можно произвести перенос кривой расхода с опорного створа на изучаемый створ. Перенос кривой расходов с одного створа на другой возможен при соблюдении следующих условий:

между створами должна иметься кривая связи соответственных уровней;

участок реки между створами не должен иметь значительных притоков;

площади водосбора реки в опорном и изучаемом створах не должны отличаться друг от друга более чем на 25-30%.

Перенос кривой расходов с одного поста на другой производится следующим образом.

На кривой расходов опорного створа намечают ряд точек с координатами (H₀₁, Q_0l ); (H₀₂, Q₀₂); (H₀₃, Q₀₃) и т. д. Уровни с опорного на изучаемый створ переносятся по кривой связи соответственных уровней, а расходы - умножением на постоянный коэффициент б, равный отношению площадей водосбора этих постов (б = F/F₀).

Q₁ = бQ₀₁ ; Q₂ = бQ₀₂; Q₃ = бQ₀₃ и т. д.

По координатам (H₁, Q₁); (H₂, Q₂); (H₃, Q₃) и т. д. строят кривую расхода для изучаемого створа.

Кривые расходов и таблицы ежедневных уровней воды по опорным гидрометрическим створам служат исходными материалами для определения ежедневных расходов, которые в свою очередь предназначены для расчета объема стока и всех его характеристик.

1.3 Способы определения расчётного максимального расхода

1.3.1 Определение расчётного расхода с использованием фактической кривой обеспеченности

Длительный период наблюдений за водотоком даёт непрерывный ряд годовых максимальных расходов:

Qmax1 Qmax 2 Qmax n ; ......... за “n” лет.

Чем более длительный ряд наблюдений за гидрологической характеристикой, тем надёжнее может быть определён расчётный максимальный расход Qmax p%. Значительная длительность ряда наблюдений (при n > 50 лет) позволяет построить плавную и полную фактическую кривую вероятности превышения. Для этого весь ряд наблюдений располагают в убывающем порядке. Первое место займёт самый большой из наблюдаемых годовых расходов, последнее - самый маленький.

Далее рассуждают следующим образом. Например, член ряда, занявший 8 место, один раз наблюдался и семь раз превышался, т.е. был 8/n частей всех случаев. Или в процентах вероятность превышения (обеспеченность) составит P = 100·8/n, %.

Для любого члена ряда под номером “m” обеспеченность

p 100m/ n, %.

С тем чтобы для последнего члена ряда не получилась обеспеченность 100%, можно воспользоваться зависимостью Н.Н. Чегодаева

p 100(m 0,3)/(n 0,4), %. (3.1)

Подсчитав процент обеспеченности для всех членов ряда, можно построить график - кривую вероятности превышения (ВП), которую называют также кривой обеспеченности (см. рис. 1.2, кривая 2). Эта кривая, построенная на обычной клетчатке, имеет в своих верхнем и нижнем отрезках весьма крутой подъём и спад, что затрудняет пользование ими. И особенно их экстраполяцию. Поэтому часто используется клетчатка вероятности, значительно спрямляющая концы кривой обеспеченности за счёт неравномерного деления горизонтальной оси (рис. 3.1). По полученной кривой обеспеченности находят расчётный расход Qp заданной вероятности превышения p. При необходимости кривую экстраполируют до заданного значения p.

Рис. 1.3. Построение кривой обеспеченности на клетчатке вероятности

1.3.2 Определение расчётного расхода с использованием теоретических кривых обеспеченности

При ряде наблюдений n 2025 лет фактическая кривая обеспеченности получается неполной (начинается при р=5%), а, главное, ступенчатой из-за разброса точек. Для этого случая предложено строить теоретическую кривую обеспеченности, используя уравнение асимметричной биноминальной кривой Пирсона типа III:

1.3.3 Установление расчётного расхода с применением таблицы Фостера - С.И. Рыбкина

Предположим, что изучается некоторая дискретная или непрерывная случайная величина, закон распределения которой неизвестен. Для оценки закона распределения этой случайной величины или его числовых характеристик производится ряд независимых измерений x1,x2,..., х_п..Статистический материал, полученный в результате измерений, представляют в виде таблицы, состоящей из двух строк, в первой из которых даны номера измерений, а во второй -- результаты измерений.

Таблицу указанного вида называют простым статистическим рядом. Он представляет собой первичную форму представления статистического материала.

i - номер измерения	1	2	3	…	n
Xi - результат измерения	X1	X2	X3	…	Xn

Статистический материал в виде простого статистического ряда при большом числе измерений трудно обозрим, по нему практически невозможно оценить закон распределения исследуемой случайной величины X. Поэтому для визуальной оценки закона распределения исследуемой СВ X производят группировку данных. Если изучается дискретная случайная величина, то наблюденные значения располагаются в порядке возрастания и подсчитываются частоты m_i или частости mi/n-- появления одинаковых значении случайной величины X /

Если изучается непрерывная случайная величина, то группировка заключается в разбиении интервала наблюденных значений случайной величины на k частичных интервалов равной длины [х₀; x₁), [х₁; x₂), [х₂; x₃), ... [х_k-1; x_k] и подсчете частоты m_i,_: или частости mi/n попадания наблюденных значений в частичные интервалы. Количество интервалов выбирается произвольно, обычно не меньше 5 и не больше 15.

Примечание. Для выбора оптимальной длины интервалов, т. е. такой длины частичных интервалов, при которой статистический ряд не будет очень громоздким и в нем не исчезнут особенности исследуемой случайной величины, можно рекомендовать формулу

Закон распределения случайной величины Х

Определение: Перечень наблюденных значений случайной величины X (или интервалов наблюденных значений) и соответствующих им частостей m_i/n называется статистическим законом распределения случайной величины X.

Интервалы наблюденных значений Х				…
Частости				…

Заметим, что в теории вероятностей под законом распределения случайной величины понимают соответствие между возможными значениями (или интервалами возможных значений случайной величины) и их вероятностями, а в математической статистике статистический закон распределения устанавливает соответствие между наблюденными значениями (или интервалами наблюденных значений) случайной величины и соответствующими им частостями.

Статистические законы распределения случайных величин и их графическое изображение позволяют визуально произвести оценку закона распределения исследуемой случайной величины.

Опыт с монетой

Частота и вероятность. Рассмотрим такой простой опыт, как бросание монеты. Он имеет два взаимно исключающих друг друга исхода: выпадение “герба” и выпадение “решетки”. Обозначим эти исходы русскими буквами Г и Р соответственно. Наблюдатель не может проанализировать и учесть те многочисленные факторы, которые влияют на результат рассматриваемого опыта: исход бросания монеты случаен, и заранее нельзя с уверенностью сказать, выпадет ли Г или Р. Но, несмотря на случайность исхода в каждом отдельном испытании, при многократном повторении опыта можно наблюдать замечательную закономерность. Именно, при n-кратном бросании монеты число выпадений “герба” n(Г) таково, что отношение n(Г)/n приблизительно равно 1/2. Ниже в табл. 1 приведены результаты такой серии испытаний, когда монета подбрасывалась в общей сложности 10 000 раз. При этом отдельно рассматривались серии по п *= 100 испытаний и в каждой серии регистрировалось соответствующее количество п (Г) выпадений “герба”.

Указанное число Р(Г)=1/2 является вероятностью выпадения “герба” в каждом отдельном испытании. Определить эту вероятность можно было бы и без длинной серии испытаний, основываясь на том, что по отношению к условиям опыта исходы Г и Р равнозначны, другими словами, они являются равновероятными: Р(Г)= Р(Р)= 1/2.

Что такое вероятность? Какой смысл вкладывается в это понятие?

Накопленные практикой многочисленные наблюдения позволяют следующим образом охарактеризовать вероятность. Предположим, что рассматривается некоторый опыт или явление, в котором в зависимости от случая происходит или не происходит интересующее наблюдателя событие А. Предположим, что условия опыта (условия, при которых происходит рассматриваемое явление) могут быть воспроизведены многократно, так что в принципе осуществима целая серия одинаковых и независимых друг от друга испытаний, в каждом из которых в зависимости от случая происходит или не происходит событие А. Обозначим буквой п число всех опытов в такой серии испытаний, и пусть п (А) -- число тех испытаний, которые привели к наступлению события А. Отношение п(А)/п называется частотой события А в данной серии опытов. Как показывает практика, при больших п частоты п(А)/п в различных сериях испытаний оказываются приблизительно одинаковыми. Существует некоторое значение Р(А), называемое вероятностью события А, около которого группируются указанные частоты п(А)/п:

. В случае, когда рассматриваемый опыт имеет равновероятные исходы, вероятность Р(А) события А, связанного с этим опытом, может быть вычислена по следующей простой формуле:

Число выпадения гербов n(Г) в сериях по n=100 испытаний

Общее число гербов в серии из 10000 испытаний 4979.

Таким образом, вероятность - это теоретическое значение, которое иногда может быть известно точно, если характер процесса известен, как в случае равновероятных событий - выпадения гербов или решки у монеты. При попытке получить это значение эмпирически, мы сталкиваемся с ошибкой его определения и видим, что ошибка его определения тем больше, чем короче ряд наблюдений. Таким образом, аппарат математической статистики прилично работает, если выборка - статистический ряд достаточно представителен, или репрезентативен. В общем случае репрезентативная выборка - это такой ряд, добавление членов к которому не сказывается на статистических характеристиках ряда.

Графическое изображение закона распределения

Для наглядности сгруппированные статистические ряды представляют графиками и диаграммами. Наиболее распространенными графиками являются полигон, гистограмма. Этот график взят из конкретного примера результатов исследования прочности 200 образцов бетона на сжатие.

В результате испытания образцов была получена следующая таблица

Интервалы прочности, кг/см2	Частоты mi	Частости
190-200	10	0,05
200-210	26	0,13
210-220	56	0,28
220-230	64	0,32
230-240	30	0,15
240-250	14	0,07

Для построения гистограммы относительных частот (частостей) на оси абсцисс откладываем частичные интервалы наблюденных значений случайной величины X, на каждом из которых строим прямоугольник, площадь которого равна частости данного частичного интервала. Высота элементарного прямоугольника частостей равна m_ц/nh, где h-- длина интервала.

На рис. 2 изображена гистограмма частостей данного статистического ряда. Если на гистограмме частостей соединить середины верхних сторон элементарных прямоугольников, то полученная замкнутая ломаная образует полигон распределения частостей. Из принципа построения гистограммы и полигона частостей следует, что площадь под гистограммой и полигоном частостей S = l (ед²). В теории вероятностей гистограмме и полигону частостей соответствует график плотности распределения.

Плотность распределения

Как мы только что отмечали, это то же самое, что статистический закон распределения случайной величины, который есть ни что иное, как перечень наблюденных значений случайной величины и соответствующих им частостей. Рассмотрим этот перечень несколько с другой стороны, теперь нас будут интересовать частость событий не внутри каждого интервала, а всех событий, у которых Х<х текущего. Т.е. построим некую интегральную функцию от графика плотности вероятности - это будет функция распределения вероятности.

Значения функции распределения вероятности в точке х равны вероятности всех событий Х, меньших х.

Возвращаясь к примеру с испытанием бетонных образцов. Мы рассмотрели полигон и гистограмму, теперь рассмотрим так называемую кумуляту (рис.1.6).

Рис. 1.6

Для построения кумуляты на оси абсцисс откладывают наблюденные значения случайной величины X, на оси ординат -- накопленные частости. Накопленной частостью в точке х называется суммарная частость членов статистического ряда, значения которых меньше х, т. е. значения накопленных частостей являются значениями эмпирической функции распределения F*(x). В теории вероятностей кумуляте соответствует график функции распределения F(x) = Р(Х<х).

Если при построении кумуляты оси координат поменять местами, т. е. на горизонтальной оси откладывать значения эмпирической функции распределения F*(x), а на вертикальной -- наблюденные значения случайной величины X, то полученная ломаная линия называется огивой (рис 6).

Рис.1.7.

В гидрологии обеспеченность определяется выражением P(x)=1-F(x). И кривая обеспеченности соответственно выглядит, как зеркально отраженная огива.

Теперь перейдем к описанию речного стока как вероятностного процесса, где будем использовать аппарат математической статистики.

Основные характеристики статистики

Средний расход

коэффициент вариации

коэффициент асимметрии

а также дисперсия и стандарт, или среднеквадратическое уклонение

Определение закона распределения вероятностей конкретной гидрологической характеристики сводится к выбору типа кривой распределения и оценке параметров распределения для выбранного типа кривой. Эти задачи являются взаимосвязанными, поскольку применимость отдельных методов оценки параметров зависит от выбранного типа кривой распределения.

При выборе типа кривой распределения необходимо определить область изменения рассматриваемой гидрологической характеристики, например годового стока реки в конкретном створе. Как правило, для гидрологических характеристик эта область ограничивается от нуля до бесконечности.

Ограничение нулем объясняется тем, что теоретически имеется возможность полного пересыхания или же перемерзания реки. Такая возможность для малых рек и рек, протекающих в суровых климатических условиях, подтверждается данными наблюдений.

Ограничение сверху определить сложнее, поскольку нет данных, позволяющих фиксировать возможный в историческом аспекте максимальный расход воды. Неопределенность максимального расхода обычно учитывают применением верхнего предела равным бесконечности с обеспеченностью, равной нулю. Такое допущение не противоречит физической сущности явления.

Для распространения закономерности колебаний речного стока, наблюденных в прошлом, на будущий период эксплуатации, гидроэнергетического объекта случайному процессу, аппроксимирующему колебания, приписывают свойства стационарности и эргодичности.

Стационарность стокового процесса означает, что его вероятностные характеристики не зависят от времени, а корреляционная функция зависит только от разности своих аргументов во времени.