ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

по курсу: ГИДРАВЛИКА

Для всех специальностей механического и строительного направлений

Ташкент 2012

Аннотация

Конспект лекции составлен в соответствии с программой курса «Гидравлика» часть I для механических, транспортных и строительных специальностей высших учебных заведений (ТВФ-В.521400, ЕУТТ-В. 521300, КУ - В.162100, АММ - В.850100 для бакалавриата).

Конспект лекций состоит из следующих частей: Гидравлика, в которой изучаются законы равновесия и движения несжимаемых жидкостей.

В конспекте лекций дополнительно рекомендована основная литература.

Конспект лекций издается по решению кафедры «Химмотология» в помощь студентам.

Объем страниц одобрено и рекомендовано к утверждению на заседании кафедры «Эксплуатационные материалы транспортных средств» Протокол № от «___»_____________ 2012 г.

Зав. кафедрой, к. х. н., доцент З.Х. Алимова

Утверждено на научно-методическом совете Центра кафедр специальных дисциплин Протокол № от «___»___________ 2012 г.

Председатель центра, доцент М.З. Мусаджанов

Составители: к.т.н., ст. преподаватель

Ст. преподаватель Г.Г. Ниязова

Лекция 1

Содержание лекции

Введение. Основные положения

Физические свойства жидкости

Гидростатика

Виды гидростатического давления

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости (Уравнение Эйлера)

Геометрическая и физическая интерпретация основного уравнения гидростатики

Введение. Основные положения

Гидравлика или техническая механика жидкостей - это наука о законах равновесия и движения жидкостей, о способах применения этих законов к решению практических задач

Жидкостью называют вещество, находящееся в таком агрегатном состоянии, которое сочетает в себе черты твердого состояния (весьма малая сжимаемость) и газообразного (текучесть).

На жидкость могут действовать силы, распределение по её массе (объему) называемые массовыми, и по поверхности, называемые поверхностными. К первым относятся силы тяжести и инерции, ко вторым - силы давления и трения.

Различают идеальную и реальную жидкости.

Идеальной (совершенной) жидкостью называют такую жидкость, которая считается совершенно несжимаемой, и не расширяющейся, и обладает абсолютной подвижностью частиц, и в ней отсутствуют силы внутреннего трения (т.е. силы вязкости равны нулю).

Идеальной жидкости не существует. Её применяют для облегчения инженерных расчетов.

Давлением называется отношение силы, нормальной к поверхности площади. При равномерном распределении

где р- давление;

S - площадь

F- сила

Физические свойства жидкостей. Единицы измерения

Основными физическими свойствами жидкостей является плотность, удельный вес, сжимаемость и температурное расширение, вязкость, а для жидкостей, применяемых в гидроприводах, еще смазывающая способность.

Плотностью жидкости называется отношение массы жидкости m к её объему V:

Плотность капельных жидкостей и газов зависит от температуры и давления. Зависимость величины плотности жидкости и газа при температуре отличной от 20 °С определяется по формуле Д.И. Менделеева:

(1)

где: р и р₂₀ - плотности жидкости (газа) при температурах соответственно

Т_о=20°С,

вi - коэффициент температурного расширения.

Исключительными особенностями обладает вода, максимальная плотность которой отмечается при 4 °С

Удельным весом жидкости называется отношение веса жидкости G к её объему V

(2)

измеряют в н/м³

Согласно Закону Ньютона,

(3)

где g - ускорения свободного падения тела,

Тогда равенство (2) можно выразить так:

(4)

а с учетом равенства (1)

(5)

Сжимаемостью называется свойство жидкости изменять cвой объем при изменении давления и температуры. Величина сжатия, зависящая от давления, характеризуется коэффициентом объемного сжатия _р, который показывает изменение объема при увеличении давления на 0,1 н/м²

(6)

Температурное расширение. Температурное расширение характеризуется коэффициентом температурного расширения _t, который выражает относительное увеличение объема при увеличении температуры на 1⁰С и измеряется в 1/⁰С

(7)

Вязкость - это способность жидкости сопротивляться сдвигу. Различают динамическую () и кинематическую () вязкости. Первая входит в закон жидкостного трения Ньютона, выражающим касательное напряжение через поперечный градиент скорости dw/dt:

(8)

Кинематическая вязкость связана с динамической вязкостью соотношением

(9)

Гидростатика

Гидростатическое давление и его свойства

Гидростатикой называется раздел гидравлики, в котором рассматриваются законы равновесия жидкости и их практическое приложение.

(10)

где р_о - давление на какой либо поверхности жидкости, например на свободной поверхности;

h - глубина расположения рассматриваемой точки, отсчитанная от поверхности с давлением (р_о)

Другая форма записи того же уравнения (10) имеет вид

где Z и Z_o - вертикальные координаты произвольной точки и свободной поверхности, отсчитываемые от горизонтальной плоскости вверх p/g - пьезометрическая высота. Полученное уравнение (10) называют основным уравнением гидростатики: по формуле (10) мы можем подсчитать давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление, как видно из уравнения, складывается из двух величин: давление (р_о) на внешней поверхности жидкости и давления, обусловленного весом вышележащих слоев жидкости.

Величина (р_о) является одинаковой для всех точек объема жидкости, поэтому, учитывая свойства гидростатического давления, можем сказать, что давление приложенное к внешней поверхности жидкости передается по всем точкам этой жидкости и по всем направлениям одинаково (закона Паскаля.)

Поверхность во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня. В данном случае поверхностями уровня являются горизонтальные плоскости, а свободная поверхность является одной из поверхностей уровня:

Координата Z называется геометрической высотой.

Величина Р/g имеет линейную размерность и называется пьезометрической высотой.

СУММА: Z+p/g - называется гидростатическим напором

Гидростатический напор есть величина постоянная для всего объема неподвижной жидкости.

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости Уравнение Эйлера) можно написать

(а)

(а`)

Полученные уравнения (а и а`) являются дифференциальным уравнением равновесия жидкости (уравнение Эйлера).

Виды гидростатического давления

Гидростатическое давление подразделяют на:

1. Полное, или абсолютное, гидростатическое давление,

(10)

2. Весовое гидростатическое давление - Р_в, равное полному за вычетом давления на свободной поверхности. Весовое гидростатическое давление определяется по формуле

(11)

т.е. весовое гидростатическое давление, создаваемое самой жидкостью

3. Манометрическое (Р_м), или избыточное (Р_изб), гидростатическое давление, равное разности полного гидростатического давление Р и атмосферного Р_а

(12)

В частном случае, когда Р_о=Р_а (открытый сосуд), водоем и т.д.

т.е. манометрическое давление в данной точке равно весовому давлению.

Вакуумное давление - это давление не достающее до атмосферного

Геометрическая и физическая интерпретация основного уравнения гидростатики

Пусть в открытом сосуде с жидкостью (см. рисунок) на свободной поверхности внешнее давление Р_о = Р_атм. В точке А, расположенной на глубине h под свободной поверхностью, полное гидростатическое давление определяется по формуле (10), а манометрическое - зависимостью (12).

Высота столба h жидкости в трубке зависит от манометрического давления Р_м, т.к. из (12)

Высота называется пьезометрической высотой, а трубка с помощью которой можно измерить эту высоту, называется пьезометром.

Если к сосуду подсоединить трубку с запаянным концом (см. рисунок) и откачать из нее воздух, т.е. создать в ней абсолютный вакуум (Р_о=0, Р_вак=Р_ат), то жидкость в этой трубке поднимется на большую высоту, величину которой можно вывести из следующих рассуждений.

Полное гидростатическое давление в точке А определяем выражением (10). С другой стороны, из условия равновесия, обозначая высоту столбы жидкости в запаянной трубке h_п, можно записать:

Следовательно, полное гидростатическое давление в точке соответствует высоте столба жидкости h_п, которое будем называть приведенной высотой.

Таким образом, пьезометрическая высота выражает величину манометрического давления, приведенная высота - величина полного гидростатического давления.

Рис. 3

Если внешнее давление на свободной поверхности в сосуде больше атмосферного Р_о>P_ат, то в открытом пьезометре жидкость поднимется выше уровня в сосуде на высоту столба жидкости, уравновешивающего разность давлений (). Следовательно, эта высота измеряет манометрическое давление на свободной поверхности в сосуде, а пьезометрическая высота h - манометрическое давление в точке А.

Если давление на свободной поверхности жидкости меньше атмосферного (вакуум), то в открытом пьезометре уровень установится ниже, чем в сосуде.

Разность давлений на свободной поверхности в сосуде (Р_о<Р_а) и в трубке Р_ат уравновешивается столбом жидкости высотой h. Эта величина выражает вакуум на свободной поверхности.

Лекция 2

Понятие о напоре

Различают: 1) гидростатический напор H_S и 2) пьезометрический напор Н_р.

Гидростатический напор

Сосуд закрыт, частично заполнен жидкостью (см. рисунок 4) внутри жидкости наметим точку (А). Подключим к этой точке закрытый пьезометр; при этом мы получим приведенную высоту (h_пр) для точки (А). Гидростатический напор Н_S равен

где Z - координата точки (А) при направлении оси Z вверх

Рис. 4

Как видно, гидростатический напор (H_S) в данной точке (в точке А) по отношению к плоскости сравнения 0-0 называется сумма двух линейных величин; соответствующей приведенной высоты (h_пр) и координаты Z при направлении оси (Z) вверх.

Выше мы рассматривали чисто геометрические определения (H_S) с физической, энергетической точки зрения.

Для объяснения этого выделим у точки (А) некоторый объем жидкости весом G. После этого приставим к точке (А) пустую трубку (П_о). Ясно, что под давлением (Р) действующим в точке (А), объем жидкости весом (G) поднимется на высоту (h_пр) над плоскостью (MN) и на высоту (H_S) над плоскостью сравнения 0-0. Как видно потенциальная энергия этого объема относительно плоскости 0-0 будет равна

Отнесем эту потенциальную энергию единице веса жидкости, при этом получим

=

Отсюда видно, что (H_S) есть мера потенциальной энергии, содержащейся в единице веса жидкости. Поэтому величину (H_S) называют также удельной потенциальной энергией (удельной в том смысле, что П.Э. отнесена к единице веса). Таков энергетический смысл (H_S).

Величина (H_S) во всех точках покоящейся жидкости одинакова.

(по всему объему)

где Z - удельная потенциальная энергия положения

р/ - удельная потенциальная энергия давления

H_S - полная удельная потенциальная энергия

Пьезометрический напор

Для определения взаимного высотного расположения отдельных точек в жидкости используется горизонтальная плоскость (О-О), проводимая на произвольной высоте и называемая плоскостью сравнения

Пьезометрический напор выражается зависимостью:

Как видно, , т.е. (Н_р) является также одинаковым для всех точек покоящейся жидкости. (1,2,3,4)

0_р-0_р - называется плоскостью пьезометрического напора (или пьезометрической линией). (Н_р) также является мерой удельной потенциальной энергии в различных точках жидкости, но при противодавлении со стороны атмосферы.

Рис. 5

Манометр

Механические манометры - пружинные и мембранные - используются для измерения больших избыточных давлений (более 3-4 ат.)

Рис. 6

Градуировка шкал манометров производится на заводах, где они изготовляются. Пружинные манометры должны периодически проверяться, так как с течением времени пружины (трубки) деформируются, изменяя свою первоначальную форму.

Вакуумметры

Вакуумметрами называются приборы, служащие для измерения величины разряжения (вакуума). Принцип действия механических и жидкостных вакуумметров и описанных выше манометров одинаковая, а поэтому их конструкция полностью повторяет конструкцию манометров.

Гидростатический парадокс

Предположим, что мы имеем три сосуда А, В и С с плоским днищем (рис. 7). При этом форма сосудов различна, но площадь дна и глубина воды Н во всем сосудах одинаковы.

Определим силу давления жидкости, действующую на дно сосудов. Согласно зависимости , сила давления на плоскую фигуру, которой является дно сосуда равно площади фигуры умноженной на гидростатическое давление ив ее центре тяжести. Значит сила давления на дно каждого сосуда будет соответственно равна:

и .

а² а² а²

Рис. 7

Таким образом, сила давления на дно сосуда зависит не от его формы, а только от площади дна и глубины жидкости в сосуде. Это положение носит в гидравлике название «Гидростатического парадокса.

Давление жидкости на вертикальную и наклонную стенку. Эпюра гидростатического давления. Центр давления

Для построения эпюры гидростатического давления воспользуемся основным уравнением гидростатики.

Избыточное давление на поверхности жидкости равно нулю, т.к. (Р_абс=Р_о). У дна резервуара избыточное давление равно (h).

Приняв за начало координат точку (О) и отложив в выбранном масштабе из точки (В) величину (h) перпендикулярно стенке (согласно первому свойству гидростатического давления), соединяем полученную точку (С) и (О) прямой линией. Прямоугольный треугольник ОВС называется эпюрой избыточных давлений на плоскую вертикальную стенку. Полное гидростатическое давление на стенку равно

Например, дано вертикальная стенка АВ шириной (b) на которую давит жидкость с объемным весом и высотой h.

Основное уравнение гидростатики характеризует распределение гидростатического давления по глубине и является уравнением прямой, следовательно, для построения эпюры гидростатического давления, действующего на стенку, необходимо знать две точки (рис. 8)

где - площадь стенки

h_e - центр тяжести стенки

Точка приложения равнодействующей гидростатического давления на плоские поверхности называется центром давления. Центр давления не совпадает с центром тяжести. А находится ниже его на величину равную отношению момента инерции площади стенки относительно центральной оси к статическому моменту этой площади.

На рис. 9, в приведены примеры избыточного гидростатического давления для открытых сосудов.

Рис. 8

Рис. 9

На рис. 9 рассмотрен случай наклонной стенки Эпюра избыточного гидростатического давления имеет вид прямоугольного треугольника (АВС), катеты которого равны (где - угол наклона стенки к горизонту). В этом случае не следует забывать, что ординаты h откладываются перпендикулярно к стенке, в (h) берется по вертикали. На рис. в рассмотрен случай действия одинаковой жидкости с двух сторон. Треугольник (АВС) изображает эпюры избыточного гидростатического давления на стенку слева. А треугольник ДМС - справа.

Рис. 10

С учетом давления слева и справа. Эпюра имеет вид трапеции АС/К. На рисунке вычитание эпюр сделано геометрическим и дополнительных пояснений не требует

Лекция 4

Определение силы гидростатического давления на цилиндрические стенки

Представим цилиндрическую стенку (поверхность) АВ шириной В поддерживающую жидкость слева (рис. 13а и 13б).

Образующие этой поверхности горизонтальны и перпендикулярны плоскости чертежа.

Стенка симметрична относительно вертикальной оси.

Проведем вспомогательную произвольную плоскость MN.

Рассмотрим равновесие объема жидкости, ограниченного сверху и снизу горизонтальными плоскостями, проходящими по свободной поверхности (оси х) и нижний кромке стенки (через точку В), слева плоскостью MN, справа - стенкой АВ. Длина объема (по перпендикуляру к плоскости чертежа) равна ширине стенки В. на выделенный объем действуют силы

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

б)

Рис. 13 а) горизонтальная составляющая силы - сила гидростатического давления на вертикальную плоскость MN

(а)

б) вертикальные составляющие силы: W - сила давления, направленная снизу вверх на плоскостьNB

(б)

G - cила тяжести объема жидкости в пределах поперечного сечения MNBC

(г)

P_y - сила тяжести объема жидкости в пределах поперечного сечения САВ.

(г)

Все эти силы можно привести к одной равнодействующей Р, которая и будет искомой силой гидростатического давления на цилиндрическую стенку, приложенную в центре давления ( точка D).

Равнодействующая сила Р уравновешивается силой реакции стенки R, которая равна силе Р по величине, но противоположна по направлению (см. рисунок 13б, показана пунктиром). Составляющими силы R на координатные оси являются силы R_x и R_y.

Выделенный объем жидкости под действием активных и реактивных сил находится в равновесии: поэтому используем известные из механики уравнения равновесия плоской системы сил.

Сумма проекций всех сил на оси ОХ равна нулю

отсюда Р_x=R_x или учитывая соотношение (а) имеем

(25)

где Р_х - горизонтальная составляющая силы гидростатического давления на цилиндрическую стенку.

Сумма проекций всех сил на ось ОУ равна нулю

(26)

Подставляя значения W, G, P_y из соотношений (б, в, г) в уравнение 26 получим:

отсюда

или (27)

где Р_у - вертикальная составляющая силы гидростатического давления на цилиндрическую стенку, V_o - объем жидкости.

Правая часть уравнения (26) выражает силу тяжести жидкости над цилиндрической поверхностью. Объем этой жидкости называется телом давления (смотри рисунок (заштрихован))

Таким образом получены уравнения (25) и (26), которые позволяют определить горизонтальную и вертикальную составляющие силы гидростатического давления на цилиндрическую стенку.

Полная сила гидростатического давления на цилиндрическую стенку З определяется как геометрическая сумма Р_х и Р_у.

(28)

Направление силы гидростатического давления определяется углом наклона ее к горизонту, тангенс которого находится из силового треугольника (см. рисунок 13)

Равновесие и остойчивость тел, погруженных в жидкость. Закон Архимеда

Рассмотрим силы давления жидкости на тело, погруженное в жидкость (см. рисунок 14)

Тело призматической формы, имеет высоту h и площадь верхнего и нижнего основания . Верхнее основание погружено в жидкость на глубину h₁, нижнее - на глубину h₂. На погруженное тело со стороны жидкости действуют силы:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 14

а) сила гидростатического давления жидкости на верхнее основание (действует сверху вниз)

б) сила гидростатического давления жидкости на нижнее основание (действует снизу вверх)

в) силы давления жидкости на боковые поверхности, которые не учитываются, т.к. они взаимно уравновешиваются

Равнодействующая сил гидростатического давления на рассматриваемый объем равна разности Р₂ и Р₁ и направлены вверх (в сторону большей силы):

Так как h₂-h₁=h- объем тела; - удельный вес жидкости, тогда

(29)

Здесь W - сила тяжести жидкости в объеме жидкости. Формула (29) читается так:

На тело, погруженное в жидкость действует выталкивающая сила, равная силе тяжести жидкости в объеме этого тела.

Это положение носит названия закона Архимеда.

Равновесие тел погруженных в жидкость

На тело, погруженное полностью или частично в жидкость, действуют две силы: 1) сила тяжести (G), приложенная в его центре тяжести (С), действует сверху вниз; 2) выталкивающая (подъемная) сила (Р), приложенная в центре давления или, как его будем называть ещё, в центре водоизмещения (D), которая направлена снизу вверх (смотри рисунок 15)

Центром водоизмещения является центр тяжести вытесненного объема жидкости. В зависимости от соотношения сил (G) и (P) могут быть три состояния тела погруженного в жидкость:

G>P - тело тонет;

G = P - тело плавает в погруженном состоянии, т.е. находится внутри жидкости без различном состоянии;

G<P - тело всплывает до тех пор, пока сила тяжести вытесненной жидкости не станет равна силе тяжести тела (G).

Уравнение плавучести тел

Для равновесия тела, плавающего на свободной поверхности, условия G = P недостаточно.

Из рисунка 9 видно, что в случае, если центр тяжести тела и центр давления не лежат на одной вертикале (Н:Р при наклоне т.е. крена тела), появляется пара сил (P`) и (G), которая стремится вращать тело.

Поэтому условий равновесия плавающего тела будет два:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 16

1)центр тяжести тела и центр давления (водоизмещения) должны лежать на одной вертикале (см. рисунок 15)

2)G = P

Введем следующие понятия. Линия пересечения свободной поверхности жидкости (см. рисунок 15) с поверхностью плавающего тела называется ватерлинией. Глубина погружения самой низкой точки под уровень свободной поверхности называется глубиной погружения или осадкой (смотри рисунок 15, 16).

Объем жидкости, вытесненный телом, называется объемным водоизмещением, а сила тяжести этого объема - весовым водоизмещением (которое равно выталкивающей силе Р).

Лекция

Основные понятия гидродинамики. Уравнение Бернулли

Гидродинамика - раздел гидравлики в котором изучаются законы движения жидкости и ее взаимодействия с неподвижными и подвижными поверхностями.

Гидродинамика является основным по значению и по объему изучаемого материала разделом гидравлики и ему будет уделено в дальнейшем большое внимание.

Основные элементы движения жидкости. Причинами движения жидкости являются действующие на нее силы: объемные или массовые силы (сила тяжести, инерционные силы) и поверхностные силы (давление, трение). В отличие от гидростатики, где основной величиной характеризующей состояние потока жидкости, является гидростатическое давление, которое определяется только положением точки в пространстве, т.е. р=f(x, y, z), в гидродинамике основными элементами характеризующими движения жидкости, будут два: гидродинамическое давление и скорость движения (течения) жидкости.

Гидродинамическое давление Р - это внутреннее давление, развивающееся при движении жидкости. Скорость движения жидкости в данной точке U - это скорость перемещения находящейся в данной точке частицы жидкости, определяемая длиной пути l, пройденного этой частицей за единицу времени t.

Таким образом, основные элементы движения жидкости Р и U для данной точки зависит от ее положения в пространстве (координат точки) и могут изменяться во времени.

Виды движения. Движение жидкости бывает установившимся и неустановившимся.

Установившееся движение - это такое движение, при котором в каждой точке скорость и гидродинамическое давление с течением времени не изменяются, но в разных точках они могут быть различными, т.е. U и Р зависят только от координат рассматриваемых точек.

и

Неустановившееся движение - такое при котором в каждой данной точке пространства скорость движения и гидродинамическое давление с течением времени изменяется, т.е. можно записать, что U и Р зависят не только от местонахождения, но и от времени в течение которого рассматривается движение

и

Установившееся движение подразделяется на равномерное и неравномерное.

Равномерным называют такое установившееся движение жидкости, при котором «живые сечения» и средняя скорость потока не меняются по его длине.

Неравномерным называют такое установившееся движение жидкости, при котором «живые сечения» и средняя скорость потока изменяются по его длине.

Основные понятия струйчатого движения. Линия и трубка тока. Элементарная струйка и ее свойства. Поток

При решении практических задач предполагают, что поток движущейся жидкости состоит из отдельных элементарных струек не меняющих своей формы, т.е. поток мысленно разбивают на ряд элементарных струек (трубок) как показано на рис. 17.а

Рассмотрим поток жидкости, находящийся в установившемся движении (рис. 17.б)

а б

Рис. 17

В точках 1, 2, 3,……. Этого потока взятых на расстоянии dS друг от друга проведем векторы , , ,….. показывающие величину и направление скоростей движения частиц жидкости в данный момент времени. Касательная кривая к эти векторам называется линией тока; она характеризует направление движения ряда последовательно расположенных частиц жидкости в данный момент времени.

Если в движущейся жидкости выделить б6есконечно малый замкнутый контур и через все его точки провести линию тока, соответствующие данному моменту времени, получится как бы трубчатая непроницаемая поверхность, называемая трубкой тока, масса жидкости, движущейся внутри трубки тока, образует элементарную струйку.

При решении многих задач практической гидродинамики делается предположение о том, что поток движущейся жидкости состоит из отдельных элементарных струек, которые в случае установившегося движения не меняют (во времени) своей формы. Далее мы и будем рассматривать поток как совокупность элементарных струек.

Гидравлические элементы потока: площадь живого сечения, расход потока, смоченный периметр, гидравлический радиус, средняя скорость

Живым сечением потока называют поперечное сечение потока, перпендикулярное направлению движения и ограниченное его внешним контуром.

Расходом потока Q называется количество жидкости, протекающее через площадь живого сечения потока в единицу времени.

Смоченным периметром называют длину контура живого сечения, на который жидкость соприкасается с твердыми стенками.

Гидравлическим радиусом R называют отношение площади живого сечения потока к смоченному периметру .

Средней скоростью потока V называют частное от деления расхода потока Q на площадь его живого сечения

Уравнение Д. Бернулли для струйки невязкой (идеальной) жидкости

Дифференциальное уравнение устанавливает связь между скоростью V, давлением Р и силовой функцией U для любого сечения струйки движущейся жидкости.

(вдоль струйки) (Е)

Координатные оси расположим так, чтобы ось Z была направлена вверх. Тогда силовая функция, соответствующая силе тяжести может быть представлена в виде

Подставляя значение U в уравнение (Е), получим

(Ж)

Все слагаемые уравнения (Ж) отнесены к единице массы жидкости. Отнесем эти слагаемые к единице веса жидкости (вес единицы массы равен g). Разделив уравнение (Ж) на g, получим:

или для двух сечений:

(З)

Уравнение (З) является уравнением Д. Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости, оно устанавливает связь между скоростью движения, давлением и геометрическим положением сечений струйки.

Геометрический, физический (энергетический) и Механический смысл уравнения Д. Бернулли

Все члены уравнения Д. Бернулли имеют линейную размерность и каждый из них может называться высотой, например: Z - геометрическая высота или высота положения, Р - пьезометрическая высота, V²/2g - высота скоростного напора.

Таким образом, геометрический смысл уравнения Д. Бернулли может быть сформулирован так: при установившемся движении сумма трех высот (высоты положения, пьезометрической высоты, высоты скоростного напора) остается неизменной вдоль элементарной струйки, физический, (энергетический) смысл уравнения Бернулли в том, что при установившемся движении жидкости элементарной струйки суммы трех удельных энергий (Z - потенциальная энергия положения, P/ - потенциальная энергия давления, V/2g - кинетическая энергия) остается неизменной вдоль элементарной струйки.

Механический смысл уравнения Бернулли выражает закон сохранения энергии для единицы веса жидкости.

Уравнение Д. Бернулли для элементарной струйки и потока реальной жидкости

Ранее нами была сказано: в реальной жидкости жидкость создает сопротивление движению жидкости в трубе или канале, которое обуславливает появление дополнительных потерь давления (h_пот). С учетом эти потерь уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости во всех ее сечениях запишется в виде:

(А`)

При переходе от уравнения Бернулли для элементарной струйки (А`) к уравнению потока реальной жидкости необходимо учитывать распределение скоростей элементарных струек жидкости в пределах живого сечения потока. Поскольку распределение скоростей потоке известно, то в гидравлике принимают эти скорости одинаковыми, но в слагаемое V²/2g вводят поправочный коэффициент , учитывающий изменение кинетической энергии вследствие неравномерности распределения скоростей в живом сечении потока. Коэффициент называется коэффициентом кинетической энергии или коэффициентом Кориолиса. Тогда уравнение Д. Бернулли для потока реальной жидкости будет иметь вид:

Графическое представление уравнения Д. Бернулли

Если в каком-либо сечении потока жидкости установить две трубки: пьезометрическую 1 и трубку Пито 2, нижний изогнутый конец которой направлен против течения, то в трубке Пито создается дополнительное давление от воздействия скорости движущейся жидкости. Высота подъема жидкости в трубке Пито будет больше высоты подъема жидкости в пьезометрической трубке на величину (V²/2g) скоростного напора.

Если соединим уровни жидкости в пьезометрах, то получим пьезометрическую линию, распложенную на расстоянии (Z+P) от плоскости сравнения. Падение этой линии на единицу длины называется пьезометрическим уклоном (J_p).

Соединив уровни жидкости в трубках Пито, получим линию давления или напорную линию. Падение давления на единицу длины называется гидравлическим уклоном (J) и характеризует величину потерь давления на единицу длины.

Уравнение Д. Бернулли применимо только к установившемуся плавно изменяющемуся движению жидкости.

Практическое применение уравнения Д. Бернулли

На основании равнения Бернулли сконструирован ряд приборов, таких как водомер Вентури, водоструйный насос, эжектор и т.д.

На рис. 6 представлен водомер Вентури

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 22

За плоскость сравнения примем ось трубопровода. Для сечения 1-1 и 2-2 можем записать уравнение Д. Бернулли в следующем виде:

Из разности показаний пьезометров, зная диаметры D и d, можем определить расход.

Примечание. Из формулы Д. Бернулли следует, что с увеличением скорости движения (V) давление должно уменьшаться и, наоборот, с увеличением скорости давление должно увеличиваться.

Лекция 7

Гидравлические сопротивления. Потери давления

При движении жидкости различают два вида сопротивлений и соответственно два вида потерь напора:

потери напора (давления) по длине h_l (cопротивления по длине)

местные потери напора h_м (местные сопротивления)

Потери напора (давления) по длине трубопровода обычно определяют по формуле Дарси-Вейсбаха.

а местные потери по формуле Вейсбаха

где - коэффициент Дарси (коэффициент гидравлического трения)

l - длина трубопровода

d - диаметр трубопровода

V - средняя скорость потока

- коэффициент местного сопротивления

Коэффициенты и безразмерны. Исследованиями доказано, что эти коэффициенты зависят от многих факторов, в частности от режима движения и шероховатости ограждающих поверхностей.

Два режима движения вязкой жидкости

В зависимости от рода жидкости, скорости ее движения и характера стенок ограничивающих поток, различают два основных режима движения: ламинарный и турбулентный. Ламинарным (от латинского lamino- слой) называют упорядоченное движение, когда отдельные слои жидкости скользят друг по другу, не перемешиваясь.

Рис. 23

Ламинарный режим движения можно наблюдать чаще всего в вязких жидкостях, таких как нефть, масла и т.д.

Турбулентный (от латинского turbulenyus - беспорядочный) называют режим, при котором наблюдается беспорядочное движение, когда частицы жидкости движутся по сложным траекториям и слои жидкости постоянно перемешиваются.

Рис. 24

На рис.25 представлена установка Рейнольдса. Сосуд (А) заполняется испытуемой жидкостью. К сосуду (А) в нижней его части присоединена стекляная трубка (1) с краном 2, которым регулируется скорость течения в трубке. Над сосудом (А) расположен сосуд (Б) с раствором краски. От сосуда (Б) отходит трубка (3) с краном (4). Конец трубки (3) заведен в стеклянную трубку (1). Для наполнения сосуда (А) служит трубка (5) с запорным устройством (6)

Рис. 25

При ламинарном режиме движения жидкости по трубке (1) струйка раствора краски, истекающей из трубки (3), имеет вид четко вытянутой нити вдоль трубки (1).

По мере открытия крана 2 увеличивается скорость движения жидкости и режим движения переходит в турбулентный, при этом струйка краски приобретает волнообразный характер, а при еще большей скорости совсем размывается и смешивается с жидкостью в трубке. При постепенно закрытии крана эти явления протекают в обратном порядке, т.е. турбулентный режим сменяется ламинарным.

Опыты показали, что переход от турбулентного режима к ламинарному происходит при определенной скорости (эта скорость называется критической), которая различна для разных жидкостей и диаметров труб; при этом критическая скорость растет с увеличением вязкости жидкости и уменьшением диаметра труб.

Рейнольдсом и рядом других ученых опытным путем было установлено, что признаком режима движения является некоторое безразмерное число, учитывающее основные характеристики потока.

(1)

где V - скорость, м/сек;

R - гидравлический радиус, м

- кинематический коэффициент вязкости, м²/сек это отношение называется числом Рейнольдса. Значение числа Re при котором турбулентный режим переходит в ламинарный, называют числом Рейнольдса Re_кр.

Если фактическое значение числа Re, вычисленного по формуле (1), будет больше критического Re>Re_кр - режим движения турбулентный; когда Re<Re_кр - режим ламинарный.

Для напорного движения в цилиндрических трубах удобнее число Рейнольдса определять по отношению к диаметру d, т.е.

(2)

где d - диаметр трубы.

В этом случае Re_кр получается равным 2300. Если в формуле (2) для трубопровода круглого сечения d выразить через гидравлический радиус R=d/4, то получим Re_кр=575. Для других трубопроводов и каналов не круглых сечений (лотковых, трапециидальных и т.д. ) можно принимать значение критического числа Re_кр = 300 (при вычислении Re через гидравлический радиус).

Потери напора по длине

Рассмотрим характер распределения скоростей в сечении потока при ламинарном и турбулентном режимах движения жидкости. Как показали опыты при ламинарном режиме движения жидкости в круглой трубе, скорости в поперечном сечении распределяются по параболе (см. рис. 26), скорости у стенки трубы равны нулю и, плавно увеличиваясь, достигает максимума на оси потока.

V_,max

Рис. 26

При ламинарном режиме движения существуют лишь продольные составляющие скоростей. В этом случае силы сопротивления движению возникают вследствие трения слоями жидкости, т.е. зависят от вязкости жидкости и не зависят от состояния стенок.

При турбулентном режиме (рис. 27) закон распределения скоростей по живому сечению более сложен, в большей части сечения скорости близки к средней и резко падают в тонком слое у стенок, доходя до нуля.

Ядро течения

Пристенные силы

Рис. 27

После перехода от ламинарного режима к турбулентному потери напора растут пропорционально скорости в степени, большей единицы (кривой участок 2-3). Переход от ламинарного режима к турбулентному может происходить и при числах Рейнольдса, больших критического. Обратный же переход от турбулентного к ламинарному осуществляется при почти одинаковом значении Re = Re_кр, которое и считается критическим.

Потери напора на трение по длине потока, возникающие при равномерном напорном движении жидкости в трубах, определяют по уравнению:

(3)

где l - длина участка трубы, м

d - внутренний диаметр трубопроводов, м

V - средняя скорость потока, м/с

g - ускорение свободного падения, м/сек²

- безразмерный коэффициент гидравлического трения

Формула (3) была получена экспериментальным путем и названа формулой Дарси-Вейсбаха.

В уравнении (3) остается невыясненным смысл безразмерного коэффициента . Для выяснения физического смысла коэффициента при равномерном напорном движении жидкости в трубах как при ламинарном, так и при турбулентном режимах движения используем уравнение Д. Бернулли, не забывая, что при равномерном напорном движении средняя скорость и распределение истинных скоростей по сечениям должны быть неизменными по длине трубопровода и составляя уравнение Д. Бернулли для двух сечений, можем написать:

; (4)

При горизонтальном расположении трубы Z₁ = Z₂ и тогда

(5)

Для уточнения вопроса о потерях напора выделим в трубопроводе между сечениями 1-1- и 2-2 соосный цилиндр с радиусом (а) и длиной (е) (см. рис. 29)

_о

III

Р₁ Р₂

III

Рис. 29

Ранее нами было сказано, распределение скоростей в сечениях I-I и II-II одинаково, частицы жидкости двигаются без ускорений.

Напишем уравнения динамического равновесия рассматриваемого цилиндра

где - касательное напряжение (трения) на поверхности цилиндра.

Поделив обе части уравнения на а², получим

Подставляя из уравнения (5) значение (Р₁-Р₂)/ имеем

(6)

или

(7)

Выразим (из уравнения (7)) (т.к. а = r-y)

У стенки трубы, где у=0 значение равно

(9); (10)

Уравнение (10) есть общее выражение потерь напора при равномерном движении жидкости в трубах. Подставляя в уравнение (10) значения = g,

и

Получим

(11)

Отметим, что _о/ имеет размерность квадрата скорости.

Обозначим

(12)

где U_ж = - называют скоростью касательного напряжения на стенке, или динамической скоростью.

Тогда уравнение (11) примет вид:

(13)

Из уравнения (13) находим:

Таким образом коэффициент прямо пропорционален отношению квадратов динамической и средней скоростей.

Лекция 8

Ключевые слова

Формула Пуазейля - Гагена, уравнение Дарси Вейсбаха, мгновенная скорость, осредненная скорость, шероховатость стенок, относительная шероховатость, абсолютная шероховатость, эквивалентная шероховатость.

Контрольные вопросы

Дайте определение ламинарного режима течения жидкости

Дайте определение турбулентного режима течения жидкости

Что такое осредненная местная скорость

Каков физический смысл коэффициента сопротивления на трение?

Чем обусловлены потери на трение?

Дайте определение эквивалентной шероховатости

От чего зависит эквивалентная шероховатость?

Что такое эквивалентная шероховатость? Что такое гидравлически гладкие трубы? Как определяют потери по длине при турбулентном режиме движения жидкости?

Виды местных сопротивлений. Методы определения местных сопротивлений и потерь напора.

Потери напора при ламинарном движении

На основе вышеизложенного для потери напора по длине при ламинарном режиме движения жидкости в трубе получено следующее уравнение:

(13)

где - абсолютный коэффициент вязкости жидкости, кг сек/м^2;

l - длина трубопровода

V - средняя скорость, м/сек

- удельный вес жидкости кгс/м³

d - диаметр трубопровода, м.

Учитывая, что , то вместо формулы (13) получим

(14)

Формулу (14) называют формулой Пуазейля - Гагена. Формула (14) показывает, что при ламинарном режиме движения потери напора пропорциональны средней скорости и не зависят от состояния стенок трубопровода.

Приравнивая правые части уравнения Дарси-Вейсбаха (3) и выражение (14) получим:

(15)

Таким образом, коэффициент гидравлического трения при ламинарном режиме обратно пропорционален числу Рейнольдса.

Потери напора при турбулентном режиме движения жидкости

На практике часто встречается турбулентный режим движения жидкости в трубах, который труднее исследовать теоретически. Этот вопрос исследован многими учеными мира. Из-за сложности процессов, протекающих при турбулентном режиме, до сих пор не создана окончательная теория, которая вытекала бы из основных уравнений гидродинамики и согласовывалась с опытом. Напомним, что при турбулентном режиме наблюдается интенсивное вихреобразование, частицы жидкости описывают сложные траектории, местные скорости меняются во времени даже при постоянном расходе. Это явление называется пульсацией скорости. Часть кинетической энергии жидкости переходит в тепловую. Установившегося движения вообще нет. Поэтому введено понятие об осредненной скорости.

Мгновенные скорости пульсируют около своего осредненного значения, которое за достаточно длительный промежуток времени остается постоянным, это значение и называется осредненной скоростью. В дальнейшем, говоря о скоростях, рассматривая турбулентное движение, будем подразумевать осредненные скорости.

Опытами установлено, что закон распределения осредненных скоростей по сечению и потери напора зависят от диаметра труб, средней скорости по сечению и потери напора зависят от диаметра труб, средней скорости, вязкости жидкости и шероховатости труб.

Примечание. Характер шероховатости стенок труб зависит от материала стенок труб, степени обработки, а последнее определяет высоту выступов, их густоту и формую Для оценки введено понятие средней высоты (выступов) бугорков шероховатости, так называемой абсолютной шероховатости и обозначается . Очевидно, что чем меньше диаметр, тем быстрее частицы жидкости совершают пробег от центра трубопровода к стенкам и встретятся с бугорками шероховатости, и, отражаясь от них вызовут возмущение в потоке жидкости. Следовательно, частота вихреобразования при малых диаметрах труб больше, и шероховатость той же высоты проявляется сильнее. Поэтому введено понятие относительной шероховатости, т.е. отношение абсолютной шероховатости к диаметру трубы /d.

Опытами установлено, что в формуле Дарси-Вейсбаха, а соответственно и потери напора по длине h_l зависят от числа Re и от относительной шероховатости /d. Было установлено, что при больших числах Re и высокой шероховатости в трубах совсем не зависит от вязкости жидкости (числа Рейнольдса), а зависит только от относительной шероховатости /d ( в этих условиях трубы и русла называют вполне шероховатыми). Трубы же в которых коэффициент зависит только от числа Рейнольдса и не зависит от относительной шероховатости, что бывает при сравнительно малых Re и /d, называют гидравлически гладкими. При этом один и тот же трубопровод в одних условиях может быть гидравлически гладким, а в других - вполне шероховатым. Условия в которых зависит и от числа Рейнольдса и от относительной шероховатости, называют переходной областью. Это объясняется тем, что при малых числах Рейнольдса вблизи стенок сохраняется сравнительно толстый ламинарный слой, и выступы шероховатости обтекаются жидкостью без образования и отрыва вихрей.

С увеличением числа Рейнольдса ламинарный слой становится тоньше и не покрывает выступов шероховатости; при этом от выступов начинают отрываться вихри и свойства поверхности оказывают влияние на сопротивление движению.

Так как на характер сопротивлений оказывает влияние не только относительная шероховатость, но и форма и распределение выступов по поверхности, то в практику расчетов было введено понятие эквивалентной шероховатости _э. Под эквивалентной шероховатостью понимают такую высоту выступов шероховатости, сложенной из песчинок одинакового размера, которая дает при подсчетах одинаковое с заданной шероховатостью значение коэффициента гидравлического трения .

В результате опытов, английским инженером Колбруком в 1939 г. была предложена эмпирическая формула, учитывающая одновременно вязкость и шероховатость, пригодная для всей области турбулентного течения.

(16)

Теоретическое обоснование формулы (16) позднее получило в работах А.Д. Альтшуля, который предложил выразить содержащееся в этой формуле значение в явной форме, а именно: в логарифмической зависимости

(17)

в степенной форме

(18)

Для облегчения расчетов трубопровода на основе формулы (18) построена номограмма

Приведем еще некоторые эмпирические формулы, пригодные в частных случаях

Формула Блазиуса для гидравлически гладких труб

(19)

Формула Б.Л. Шифринсона для вполне шероховатых труб

(20)

Лекция 9

Ключевые слова

Коэффициент местного сопротивления, внезапное расширение, внезапное сужение, коэффициент сжатия, формула Борда, степень сжатия, диафрагма, диффузор,, плавный поворот колена, коэффициент сопротивления системы.

Контрольные вопросы

Что понимается под местным сопротивлением?

Перечислите простейшие местные сопротивления.

Изобразите схематически задвижку, диафрагму, колено и вентиль.

Изобразите схематически характер течения при внезапном расширении потока

Изобразите схематически характер течения при внезапном сужении потока

Напишите формулу Борда.

Напишите формулу коэффициента сопротивления системы.

Потери напора на местных сопротивлениях

При расчете трубопроводов наряду с гидравлическим сопротивлением внутренних стенок следует учитывать местные сопротивления.

Под местными сопротивлениями понимаются такие элементы трубопроводов, в которых вследствие изменения размеров или конфигурации русла происходит изменение скорости потока, отрыв транзитной струи от стенок русла и возникают вихреобразования.

Простейшие местные гидравлические сопротивления можно разбить на: 1 расширение; 2) сужение; 3) поворот русла.

Более сложные случаи местных сопротивлений представляют собой соединения или комбинации перечисленных простейших сопротивлений.

Потери на преодоление местных сопротивлений в наружных сетях водопроводов обычно не превышают 10-15%, во внутренних сетях - 30% от потерь по длине.

Местные потери напора определяются по формуле:

(21)

где - коэффициент местного сопротивления

Рассмотрим один из случаев местных потерь напора, а именно, резкое расширение потока. Этот случай поддается теоретическому обоснованию. Из опытов установлено, что поток жидкости, вытекающий из узкой трубы, не сразу заполняет все сечения трубы.

В результате вихревых движений жидкости между сечениями 1-1 и 2-2 идет постоянный обмен между струей и жидкостью в кольцевом пространстве. В результате этих явлений происходит переход механической энергии в тепловую, что является причиной потерь напора.