Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

УДК 539.3

РОЗВИТОК ТЕОРІЇ І ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ

КОМПЕНСУЮЧИХ НАВАНТАЖЕНЬ ДО РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ

БУДІВЕЛЬНОЇ МЕХАНІКИ

05.23.17 - Будівельна механіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Чан Дик Тінь

Київ-2004

АНОТАЦІЯ

Чан Дик Тінь. Розвиток теорії і застосування методу компенсуючих навантажень до розв'язання задач будівельної механіки. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 05.23.17 - будівельна механіка. - Київський національний університет будівництва і архітектури Міністерства освіти і науки України. - Київ, 2004.

Дисертація присвячена розробці і теоретичному обґрунтуванню методу компенсуючих навантажень і застосуванню його до розв'язання різних задач будівельної механіки. Отримані фундаментальні розв'язки і функції Гріна для цілого ряду граничних задач, а саме: для задач динаміки тонких оболонок різних типів і з граничними умовами загального вигляду, задачі хвильової динаміки для багатошарового середовища з нерегулярною структурою і задачі теплопровідності для шаруватої сфери, задачі термопружності оболонок обертання і циліндра нескінченної довжини з розрізом.

Проведено теоретичне обґрунтування чисельної реалізації методу компенсуючих навантажень, зокрема, отримані оцінки наближених розв'язків бігармонічних задач. Побудовані аналітичні розв'язки для деякого класу задач динаміки оболонок із круглим у плані контуром. а також для вісесиметричної задачі про термопружний стан циліндра нескінченної довжини з кільцевим розрізом.

Розроблено ефективні алгоритми і здійснена їх чисельна реалізація з метою розв'язання всіх розглянутих в дисертації задач. Досліджено вільні і вимушені коливання оболонок зі складною формою границі. Для ряду задач застосований модифікований метод регуляризації з метою розв'язання проблеми сингулярності систем алгебраїчних рівнянь.

Ключові слова: оцінки наближеного розв'язку, фундаментальний розв'язок, модифікований метод регуляризації, сингулярність системи лінійних алгебраїчних рівнянь, граничні інтегральні рівняння, погана обумовленість.

АННОТАЦИЯ

Чан Дык Тинь. Развитие теории и применение метода компенсирующих нагрузок к решению задач строительной механики. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 05.23.17 - строительная механика. - Киевский национальный университет строительства и архитектуры Министерства образования и науки Украины. - Киев, 2004.

Решена научно-техническая проблема, которая состоит в разработке и теоретическом обосновании метода компенсирующих нагрузок и применении его к решению различных задач строительной механики. Полученные в диссертации результаты стали теоретической основой инженерных расчетов различных элементов строительных конструкций типа пластин, оболочек, а также массивов различной конфигурации с произвольными граничными условиями, подвергающихся механическим, температурным и волновым воздействиям.

Во введении сформулирована цель работы, обоснованы ее актуальность, научная новизна и практическое значение, приведены данные об апробации и дана краткая общая характеристика.

В первом разделе проведен анализ состояния проблемы разработки эффективных численных алгоритмов решения прикладных задач строительной механики и приведен краткий обзор литературы по теме исследования. В разделе охарактеризованы два направления развития метода компенсирующих нагрузок (МКН) как варианта метода потенциала. Отмечено, что МКН уменьшает размерность граничной задачи на единицу, что влечет за собой значительное сокращение машинного времени при одинаковой степени точности по сравнению с методами, основанными на дискретизации всей расчетной области.

Во втором разделе приведены некоторые аспекты теоретического развития МКН. Изложен способ построения функции (матрицы) Грина смешанных граничных задач для некоторых дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка эллиптического типа. Приведены также выражения функции (матрицы) Грина для двумерного уравнения Лапласа и уравнений стационарной теплопроводности на поверхности вращения и для слоистых сред. Отмеченный способ основан на применении метода вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

Третий раздел диссертации посвящен вопросам теоретического исследования и математического обоснования численного алгоритма, реализующего метод компенсирующих нагрузок в прикладных краевых задачах строительной механики. В частности получены практические оценки погрешности приближенных решений бигармонических задач. Показана возможность оценки достоверности полученных с помощью МКН приближенных решений.

В четвертом разделе диссертации приведены результаты исследований, направленных на создание теоретических основ применения МКН для анализа волновых процессов в средах с усложненной структурой, а именно в многослойной упругой среде с нерегулярными межслойными границами. Полученные соотношения МКН надежно протестированы путем решения тестовых задач для однослойной модели. Дана формула для оценки погрешности результатов. Для случаев, когда границы препятствий являются гладкими, получены аналитические решения задач Дирихле и Неймана.

Пятый раздел посвящен применению МКН к решению задач статики пологих оболочек, рассматриваемых в рамках технической моментной теории. Получены численные результаты тестовой задачи об изгибе пологой оболочки с круглым защемленным контуром. Оболочка находится под действием сосредоточенной силы, приложенной в центре в вертикальном направлении.

В шестом разделе исследованы установившиеся колебания пологих сферических оболочек, имеющих в плане произвольное очертание краев и произвольные граничные условия. Изучены собственные колебания пологих сферических куполов без и с точечной опорой. Приведены результаты вычисления частот собственных колебаний металлической антенны, изготовленной в виде сегмента пологой сферической оболочки с точечной опорой, расположенной в ее полюсе.

Седьмой раздел посвящен исследованию колебаний пологих оболочек положительной гауссовой кривизны, где в качестве основной системы при использовании МКН выбиралась оболочка конечных размеров, прямоугольная в плане и шарнирно опертая по контуру. Получено численное решение тестовой задачи о частотах собственных колебаний оболочки положительной гауссовой кривизны прямоугольной в плане и шарнирно опертой по контуру.

В восьмом разделе изучены колебания замкненых цилиндрических оболочек с различными граничными условиями на их торцах. В качестве основной системы была выбрана оболочка, радиально опертая по торцам. Получены численные результаты решения задачи о собственных колебаниях шарнирно опертой по торцам оболочки с отверстием.

В девятом разделе для задач стационарной и нестационарной теплопроводности одно- и многослойной полос, ослабленных отверстиями произвольного очертания, построен алгоритм, базирующийся на непрямом методе граничных элементов, как одном из вариантов МКН. В качестве ядер интегральных представлений решения задачи использовались функции Грина для соответствующей области без отверстия. Эта функция, а для составного тела матрица Грина, была построена методом разделения переменных. Получены решения задач о стационарной теплопроводности неодносвязных слоистых тел, имеющих сложную конфигурацию и отверстие. Решена также задача о температурном состоянии трехмерного тела с отверстием.

Десятый раздел посвящен расчету напряженно-деформированного состояния неравномерно нагретой оболочки, который сводится к задаче о ее упругом равновесии с учетом дополнительной (компенсирующей) температурной нагрузки. Последняя известным образом определяется распределением температуры, которое, в свою очередь, также является решением граничной задачи для дифференциального уравнения в частных производных. В этом разделе показана возможность использования МКН для решения задач термоупругости замкненых оболочек вращения, подверженных тепловым воздействиям. Решена также осесимметричная задача о термоупругом равновесии цилиндра бесконечной длины с разрезом.

В основных результатах и выводах подведены итоги исследования и обобщены приведенные в диссертации новые научные результаты теоретических и численных изысканий.

Ключевые слова: оценки приближенного решения, фундаментальное решение, модифицированный метод регуляризации, сингулярность системы линейных алгебраических уравнений, граничные интегральные уравнения, плохая обусловленность.

SUMMARY

Tran Duc Chinh. Development of the method of compensating loads theory and its application to structural mechanics. - Manuscript.

Dissertation for the degree of Doctor of Science (Engineering) by speciality 05.23.17 - Structural Mechanics. - Kyiv National University of Construction and Architecture, Department of Education and Science of Ukraine. Kyiv, 2004.

The scientific and technical problem solved in the dissertation is development and theoretical substantiation of a method of compensating loads as well as its application to numerous tasks of a structural mechanics. Fundamental solutions and Green's functions for a lot of the boundary problems such as dynamic deforming of thin shells of a various types, wave propagation in a multilayered medium with irregular structure, thermal analysis of a stratified medium, thermal loading of the shells and long cylinder with a ring slit were obtained.

The functional of errors was constructed and evaluations of an approximate solution for the first time were obtained with the help of its minimization. The theoretical generalization of a numerical approach to the method of compensating loads was carried out. Analytical solutions for some problems such as vibrations of shells with circular boundaries, scattering of elastic waves by smooth holes and thermal loading of a long cylinder with a ring slit were obtained.

For all considered problems the effective algorithms and computing programs were developed. Free and forced vibrations of shells with boundaries of arbitrary shape were analysed numerically. The obtained numerical results were in good agreement with those obtained by other authors in analytical or numerical way. With the help of the modified regularization method the problem of the singularity of the linear algebraic equations system, which is the analog of a boundary integral equation, is solved.

Key words: evaluations of an approximate solution, fundamental solution, modified method of a regularization, singularity of the linear algebraic equations system, boundary integral equations, badly conditioned system.

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті будівництва і архітектури Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант - доктор технічних наук, професор Баженов Віктор Андрійович, Київський національний університет будівництва і архітектури, перший проректор, завідувач кафедри будівельної механіки.

Офіційні опоненти:доктор технічних наук, професор Верюжський Юрій Васильович, Національний авіаційний університет, завідувач кафедри комп'ютерних технологій будівництва;

доктор технічних наук, професор Піскунов Вадим Георгійович, Національний транспортний університет, завідувач кафедри опору матеріалів і машинознавства;

доктор фізико-математичних наук, ст.наук.співр. Галанов Борис Олександрович, Київський університет економіки і технологій транспорту, професор кафедри вищої математики.

Провідна установа - Донецький національний університет, кафедра теорії пружності і обчислювальної математики, Міністерство освіти і науки України, м. Донецьк.

Захист відбудеться “4” червня 2004 р. о 13⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.056.04 у Київському національному університеті будівництва і архітектури за адресою 03037, м. Київ, Повітрофлотський пр., 31.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету будівництва і архітектури за адресою 03037, м. Київ, Повітрофлотський пр., 31.

Автореферат розісланий “26” квітня 2004 p.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради кандидат технічних наук, старший науковий співробітник В.Г.Кобієв

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Прискорення науково-технічного прогресу обумовлює раціональне використання ресурсів у багатьох галузях техніки і вимагає створення принципово нових, більш досконалих інженерних конструкцій, в яких високі експлуатаційні якості оптимально поєднуються зі зниженням матеріалоємності і трудомісткості виготовлення. Для одержання надійних оцінок несучої здатності таких конструкцій необхідно підвищити вимоги до адекватності розрахункових схем і методів розрахунку, що повинні найбільшою мірою відповідати реальним умовам експлуатації досліджуваних конструкцій. Уточнення розрахункових схем дає можливість відмовитися від досить наближених припущень, які спотворюють картину роботи конструкції, і сприяє підвищенню їхньої надійності і довговічності поряд зі зниженням вартості. Проте вибір ефективних розрахункових схем реальних об'єктів, які, як правило, відрізняються досить складною структурою, приводить до істотних ускладнень у постановці і розв'язанні відповідних граничних задач будівельної механіки.

В більшості випадків дослідження складних об'єктів можливе тільки з використанням чисельних підходів. В той же час, незважаючи на велику кількість чисельних методів розв'язання задач будівельної механіки для багатьох з них спостерігається розрив між теорією і можливостями застосування. Це зумовлюється великими труднощами, що виникають при чисельній реалізації деяких методів, недостатньою обґрунтованістю окремих розрахункових підходів, а також недоступністю в ряді випадків математичного апарату для інженерної практики. Тому актуальною є проблема розробки надійних і ефективних чисельних методів, створення на їх основі універсальних програмних комплексів, орієнтованих на сучасну комп'ютерну техніку, і впровадження останніх у практику інженерних розрахунків.

Багатьом вимогам, які висуває до чисельних методів будівельна механіка, відповідає метод компенсуючих навантажень (МКН), що забезпечує достатню універсальність, ефективність і простоту реалізації, а також дозволяє виконувати побудову розв'язків у найбільш простій і зрозумілій для інженерів формі. До цього часу метод компенсуючих навантажень використовувався як варіант відомого методу потенціалу. В даний час назріла необхідність побудови єдиної методики розв'язання різних класів граничних задач будівельної механіки на основі комплексного і систематичного дослідження методу компенсуючих навантажень і розвитку його теорії, необхідної для обґрунтування схем чисельної реалізації і встановлення оцінки похибки отриманих розв'язків.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами: роботу виконано у відповідності з тематикою і загальними планами досліджень Науково-дослідного інституту будівельної механіки Київського національного університету будівництва і архітектури (КНУБА) і кафедри будівельної механіки КНУБА, зокрема, з темою 2ДБ-2002 “Теорія і методи дослідження динамічних хвильових процесів деформування, механізмів руйнування і втрати стійкості просторових конструкцій”. Номер державної реєстрації 0102U000928. Автор брав безпосередню участь у виконанні цієї науково-дослідної роботи як виконавець.

Метою роботи є: тривимірний будівельний механіка

- побудова і обґрунтування на базі розвитку і теоретичного узагальнення МКН ефективних схем чисельної реалізації методу, що дозволяють з єдиних позицій забезпечити розв'язання двовимірних і тривимірних лінійних граничних задач, розглянутих у класичній постановці (задачі згину і гармонічних коливань пластин і оболонок складної форми з урахуванням анізотропії матеріалу, задачі теплопровідності і термопружності для різних двовимірних і тривимірних середовищ, задачі дифракції хвиль для анізотропних середовищ, задачі термопружності для пластин і оболонок), а також при використанні різних наближених теорій будівельної механіки;

- створення на цій основі робочих алгоритмів і програмних комплексів, що відрізняються компактністю вихідної інформації і високим рівнем автоматизації всіх етапів обчислювальних процесів, а також можливістю оцінки вірогідності отриманих результатів;

- застосування і впровадження їх в інженерну практику в Науково-дослідному інституті будівельної механіки КНУБА для розрахунку і дослідження за допомогою комп'ютерів різних двовимірних об'єктів з урахуванням ускладненої структури середовища (шаруватості з нерегулярною структурою і т.п.).

Об'єктом дослідження є напружено-деформований стан тонких оболонок різного типу, а також двовимірних і тривимірних об'єктів під дією механічних і температурних навантажень або хвильових джерел.

Предметом дослідження є типові елементи інженерних конструкцій у вигляді тонких пластинок і оболонок, а також масивів, що відрізняються довільною формою границь області, яка може бути і неоднозв'язною, при змішаних граничних умовах. Для таких об'єктів у дисертації формулюються і розв'язуються в рамках технічної теорії згину лінійні граничні задачі про коливання тонких пластинок з урахуванням анізотропії матеріалу та з урахуванням контакту з пружною основою, задачі динаміки моментної теорії пологих оболонок, а також різного роду задачі теплопровідності і термопружності.

Методи дослідження. Метод дослідження, що застосовується у дисертаційній роботі, є теоретичним. В основу дослідження покладені поняття, закономірності і методи будівельної механіки, у тому числі і метод компенсуючих навантажень як основний метод розв'язання складних крайових задач для оболонок і інших двовимірних об'єктів дослідження. Математичні дослідження базуються на сполученні аналітичних та чисельних методів. Використовуються розділи математики, що відносяться до рядів Фур'є, інтегралів Фур'є, бесселевих функцій, інтегральних перетворень, розв'язання погано обумовлених систем алгебраїчних рівнянь, а також розв'язання трансцендентних рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів, що захищаються в роботі, зводиться до наступного:

- здійснений теоретичний розвиток МКН на основі узагальнення кратних потенціалів шарів і за допомогою доказу раціональності потенціалів простого і подвійного шарів. Ці теоретичні аспекти дозволили розробити і обґрунтувати єдину методику чисельного розв'язання основних і змішаних лінійних граничних задач, розглянутих у загальній постановці та при використанні деяких класичних наближених теорій будівельної механіки, запропонувати спрощений варіант МКН;

- розглянуті питання, пов'язані з одержанням фундаментальних розв'язків деякого класу крайових задач і з особливостями застосування регулярних інтегральних рівнянь першого роду як робочого апарату МКН у задачах будівельної механіки;

- доведена збіжність функціональних рядів, що входять у загальний розв'язок задачі динаміки пологих оболонок з довільними граничними умовами;

- запропоновані, обґрунтовані і досліджені способи урахування особливостей при чисельному розв'язанні граничних задач згину пластинок з довільною формою краю і з природними граничними умовами;

- розроблена загальна процедура розв'язання задач на власні значення, яка базується на використанні інтегральних рівнянь першого і другого роду, та розглянуто застосування цієї процедури до різного роду задач динаміки тонких пружних оболонок;

- створені та апробовані стійкі, ефективні алгоритми, які реалізують розроблену методику. Ці алгоритми покладені в основу програмних комплексів, що забезпечили одержання достовірних результатів обчислень власних частот і різних величин (прогинів, кутів повороту, зусиль і т.п.) при проходженні оболонки через резонанс;

- обґрунтований метод компенсуючих навантажень. Цей метод застосований для аналізу напружено-деформованого стану пологих оболонок у задачах динаміки і термопружності.

Практичне значення результатів даної роботи полягає в тому, що:

- розроблені в дисертації методика, алгоритми та обчислювальний комплекс дозволяють проводити розрахунок і дослідження міцності, термопружності і коливань елементів конструкцій типу пластин і оболонок (панелі житлових будинків, антени для космічних досліджень і т.п.), здійснювати контроль якості бетону і надійності основ споруд, побудованих у зонах землетрусів чи у зонах з підвищеною і змінною температурою, а також виявляти дефекти типу тріщин у конструкціях та матеріалах;

- отримані наукові результати, пов'язані з дослідженням і обґрунтуванням МКН, можуть знайти застосування при використанні інших методів, які базуються на інтегральних представленнях шуканих розв'язків;

- дослідження по темі дисертації знайшли застосування при виконанні держбюджетної науково-дослідної роботи з теми 2ДБ-2002 “Теорія і методи дослідження динамічних хвильових процесів і деформування, механізмів руйнування і втрати стійкості просторових конструкцій” у Науково-дослідному інституті будівельної механіки КНУБА.

- розроблений у дисертації метод розв'язання інженерних задач деяких класів конструкцій використовується в навчальному процесі Ханойського державного будівельного університету при виконанні науково-дослідних робіт і в дипломному проектуванні.

Достовірність основних наукових положень роботи підтверджується:

- за допомогою отриманих і використаних у роботі практичних оцінок похибок наближених розв'язків різних граничних задач будівельної механіки;

- шляхом співставлення чисельних результатів тестових задач, отриманих у дисертації, з наявними в літературі точними розв'язками і порівнянням практичних результатів, отриманих з використанням розробленого в дисертації програмного комплексу, з даними, обчисленими за допомогою методу скінченних елементів (МСЕ).

Особистий внесок здобувача: автор безпосередньо побудував усі нові фундаментальні розв'язки для ряду розглянутих у дисертації граничних задач будівельної механіки, розробив ефективні алгоритми і застосовував їх для чисельної реалізації розглянутих задач, одержав вперше оцінки похибки для наближеного розв'язання бігармонічних задач, розв'язав проблему сингулярності системи лінійних алгебраїчних рівнянь, отриманих у процесі дискретизації системи граничних інтегральних рівнянь першого роду, розробив чисельну процедуру для розв'язання задачі на власні значення.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що включені в дисертацію, доповідалися та обговорювалися на наступних науково-технічних конференціях: Національній конференції по механіці твердого тіла (Ханой, В'єтнам, 1991); Третій національній конференції з будівельної технології і будівельних конструкцій (Ханой, В'єтнам, 1994); П'ятій національній конференції по механіці твердого тіла (Ханой, В'єтнам, 1996); Шостому національному конгресі по механіці (Ханой, В'єтнам, 1997); Шостій національній конференції по механіці (Ханой, В'єтнам, 1999); Міжнародній науково-технічній конференції “Інтегровані комп'ютерні технології в машинобудуванні. ІKTM'2002” (Харків, ХАІ); 23-й Міжнародній науковій конференції по методах граничних елементів, квітень, 2000 (BEM-23, Англія); першій, другій, третій Всеукраїнських наукових конференціях "Математичні проблеми технічної механіки" (Дніпродзержинськ, 2001, 2002, 2003); 61-й, 62-й, 63-й, 64-й Науково-практичних конференціях КНУБА ( 2000, 2001, 2002, 2003 рр.). Робота в цілому доповідалась та була схвалена на науковому семінарі з будівельної механіки в КНУБА (2004 р.).

Публікації. Матеріали дисертації опубліковані у 36-х наукових працях: 14 статей у наукових фахових журналах і збірниках України, 12 статей в іноземних провідних фахових виданнях і 10 - у матеріалах конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, десяти розділів, загальних висновків і двох додатків. Обсяг дисертації становить 322 сторінки, 56 рисунків і графіків, 12 таблиць, 28 сторінок списку використаних джерел, що містить 343 найменувань, і 8 сторінок додатків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми та обраного напрямку досліджень, сформульовані мета і задачі роботи, описаний об'єкт і метод дослідження, розкриті наукова новизна та обґрунтована вірогідність отриманих результатів, установлена практична цінність виконаних досліджень і описана структура роботи.

Перший розділ присвячений огляду сучасного стану проблеми. Тут проводитися аналіз літератури, присвяченій розробці ефективних чисельних методів розв'язання різних інженерних задач; огляд методів розв'язання статичних і квазістатичних задач, задач теорії оболонок і огляд робіт з теорії термопружності і теплопровідності для областей довільної форми з граничними умовами загального вигляду.

Серед сучасних чисельних методів для розв'язання складних крайових задач пластин і оболонок найбільш ефективними та універсальними є метод скінченних елементів і метод граничних елементів (МГЕ). Близькими по ідеї до останнього є метод компенсуючих навантажень, запропонований Б.Г.Коренєвим і метод розширення заданої системи (МРЗС), запропонований О.В.Лужиним. Три останні методи мають перевагу, яка полягає у зменшенні на одиницю розмірності вихідних задач, що дозволяє зменшити машинний час у порівнянні з МСЕ при близькій точності розв'язання двох- і тривимірних задач в чотири-десять разів.

Значний внесок у застосування і розвиток МГЕ, МКН і МРЗС для розв'язання задач теорії пластинок і оболонок внесли закордонні і вітчизняні вчені P.K.Banerjee, R.Butterfield, Y.Niwa, D.A.Newton, H.Tottenham, Б.Г.Коренєв і його учні, О.В.Лужин і його співробітники. Слід зазначити, що одними з перших проблемами чисельної реалізації методу потенціалу стосовно задач будівельної механіки почали займатись київські вчені з Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України і Київського національного університету будівництва і архітектури: Д.В.Вайнберг, М.О.Кільчевський, О.Л.Синявський, Г.Б.Ковнеристов, Ю.В.Верюжський, Й.З.Ройтфарб та інші.

В другому розділі вивчаються деякі аспекти теоретичного розвитку методу компенсучих навантажень.

Нехай потрібно розв'язати наступну крайову задачу.

Lu (x) = f (x); x(x₁,x₂)G, GR², (1)

lu (x)|_Г=, (2)

де L- еліптичний оператор порядку 2m, для якого відомий фундаментальний розв'язок K (x,y); l=( l₁,l₂,.........l_m ) - диференціальний оператор граничних умов;

=(₁,₂,....._m) - задані на контурі Г вектор-функції;

d(Г, Г`)=inf |x-y|=d₀>0, (3)

xГ, yГ` ; Г` - допоміжний контур.

Наближений розв'язок задачі (1)-(2) шукається у вигляді

u_q(x)=u₀+u_k , (4)

де - основний розв'язок, що відповідає дії заданих навантажень; - компенсуючий розв'язок, що відповідає дії компенсуючих навантажень; ny - нормаль до допоміжного контуру Г` в точці y; q(y) - вектор-функція шуканих компенсуючих навантажень, визначений на Г`.

Підпорядковуючи загальний розв'язок (4) граничним умовам (2), одержуємо систему розв'язуючих граничних інтегральних рівнянь крайової задачі (1)-(2):

розв'язання якої дає вектор-функцію шуканих компенсуючих навантажень.

Слід зазначити, що загальний розв'язок (4) отриманий не для заданої системи, а для еквівалентної їй системи - основної системи, отриманої шляхом розширення області, яку займає задана система. Основна система може бути як скінченною, так і нескінченною. Відзначимо також, що компенсуючі навантаження розташовуються на особливих лініях (поверхнях), рівновіддалених від границі заданої системи на визначену відстань d, підпорядковану умові (3).

Далі в дисертації викладається методика побудови матриці Гріна крайової задачі (1)-(2). Ця методика базується на застосуванні методу варіації довільних сталих Лагранжа і використана для одержання ряду функцій Гріна змішаних граничних задач. При цьому викладений матеріал відноситься до двовимірного рівняння Лапласа і рівняння стаціонарної теплопровідності для оболонок обертання. Отримано матрицю Гріна для задачі стаціонарної теплопровідності шаруватих середовищ, що розглядаються у дисертації як фізично неоднорідні. Побудовано функцію Гріна для одного класу рівнянь із змінними коефіцієнтами.

У випадку бігармонічної задачі для ряду оболонок при граничних умовах загального типу за допомогою перетворення Фур'є знайдені динамічні функції Гріна . При цьому розрахункова область мала складну конфігурацію, але деякі ділянки її границі збігалися з границею області більш простої форми, для якої функція Гріна вже відома.

Третій розділ присвячений розробці принципових питань теорії МКН у його найбільш загальній постановці, пов'язаних з теоретичним обґрунтуванням чисельного підходу. Ці питання розглядаються і досліджуються в задачах згину пластинок, проте отримані результати, пов'язані з особливістю застосування регулярних інтегральних рівнянь першого роду, носять більш загальний характер.

МКН дає можливість одержати ефективні оцінки похибки. У дисертації запропонований досить загальний підхід, за допомогою якого в явному вигляді отримані відповідні оцінки похибки наближених розв'язків бігармонічних задач. Останні є узагальненням принципу максимуму для гармонічних функцій.

Отримано відповідні вирази для постійних c_i (), які залежать від геометрії області G і деяких інших характеристик крайової задачі.

Подання розв'язку крайової задачі (6), (7) у вигляді потенціалу простого шару з щільностями (компенсуючими навантаженнями), розташованими на особливій лінії Г`, що охоплює область, зайняту тілом, природним чином приводить задачу до регулярних інтегральних рівнянь першого роду. При дослідженні і розв'язанні цих рівнянь необхідно враховувати наступні дві обставини: по-перше, їх розв'язання є істотно некоректною задачею; по-друге, вони можуть не мати точного розв'язку. Проте відсутність такого точного розв'язку не є перешкодою для практичного застосування МКН. Особливістю методу в розглянутій постановці є та обставина, що визначення самих компенсуючих навантажень є допоміжною задачею, а сам розв'язок крайової задачі представляється у вигляді інтеграла від цих компенсуючих навантажень. У цьому зв'язку має сенс шукати не точний, а наближений розв'язок інтегральних рівнянь

, (11)

де - матриця інтегрального оператора, l,m=1,2, , - вектор компенсуючих навантажень, - задана на Г вектор-функція, .

При цьому вважається, що для будь-якого >o існує такий контур , на якому справедлива нерівність

, (12)

.

Тоді для контура під наближеним розв'язком інтегральних рівнянь (11) розуміється будь-яка вектор-функція , яка мінімізує норму нев'язки

. (13)

За допомогою наближений розв'язок w (x1, x2) визначається за формулою

У силу існування та єдиності розв'язку крайової задачі (6), (7), а також умов стійкості розв'язку (8) при малих в (13) похибка знайденого наближеного розв'язку буде малою.

Таким чином, наближене розв'язання крайової задачі (6)-(7) зводиться до побудови мінімізуючої послідовності функціоналу

. (14)

Чисельні дослідження показують, що не всяка послідовність , мінімізуюча норму різниці при довільній послідовності апроксимуючих даних і довільному n, буде мінімізуючою послідовністю функціоналу (14). І навіть можливо, що . Це пов'язано з тим , що при сукупність у силу некоректності задачі мінімізації функціоналу (14) може бути необмеженою. Ця обставина підтверджує необхідність створення алгоритму побудови послідовності з використанням методу регуляризації, яка задовольняє умові

, (15)

.

Знайдений з системи (11) розподіл компенсуючих навантажень , що задовольняє умові (12), не є єдиним, але розв'язок, побудований за допомогою методу регуляризації, має норму, мінімальну з усіх можливих, тому він є оптимальним.

Четвертий розділ присвячений проблемі розповсюдження хвиль зсуву в пружному масиві та в багатошаровому середовищі з нерегулярною структурою. В процесі досліджень побудована система інтегральних співвідношень для аналізу за МКН хвильових процесів у багатошаровому середовищі з нерегулярними міжшаровими границями. Переміщення в сумарному полі, як в задачах дифракції, представляються у вигляді суми двох переміщень - переміщень у падаючій хвилі (відома величина) і переміщень у відбитій хвилі (невідомий розв'язок, що відповідає дії компенсуючих навантажень та задовольняє рівнянню Гельмгольца). Необхідно відзначити, що замість дискретних компенсуючих навантажень для визначення переміщень можуть бути використані джерела, безперервно розподілені вздовж границі.

В межах розробленого єдиного підходу вводяться так звані допоміжні поверхні , що дозволяє уникнути проблем, пов'язаних з обчисленням сингулярних інтегралів, ядрами яких є функції Гріна. Невідомі компенсуючі навантаження визначаються умовами повного контакту, яким повинні задовольняти переміщення і напруги на сполучених поверхнях. У результаті дискретизації граничних інтегральних рівнянь (ГІР) отримана система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) відносно невідомих компенсуючих навантажень. СЛАР розв'язується за методом найменших квадратів з використанням QR-декомпозиції .

В дисертації дана оцінка похибки визначення поверхневих переміщень (Е_r). Визначення розташування допоміжних поверхонь і кількості дискретних компенсуючих навантажень здійснюється шляхом мінімізації функціоналу похибки Е_r. При проведенні тестових розрахунків кількість точок спостереження для обчислення похибки Е_r обиралась рівною 40. МКН успішно протестований на одношаровій моделі (рис. 1). Вертикальна координата поверхні контакту шару і півпростору, змінювалась за законом косинуса. Результати розрахунків, що відповідають вертикально падаючій хвилі, представлені на рис.2. На рисунку видно, що при Х_n=2 спостерігається найкраща збіжність результатів. Аналогічні результати отримані також і при інших значеннях параметрів навантажень (табл. 1). Аналіз отриманих чисельних результатів дозволяє зробити такі висновки:

- розв'язання задачі про прозорий об'єкт дозволяє визначити первісні значення параметрів моделі;

- погонна кількість точок колокації на довжині падаючої хвилі повинна дорівнювати щонайменше десяти, крім того, ця кількість зростає одночасно зі збільшення частоти коливань;

- довжина контактної ділянки повинна бути вдвічі більшою за довжину ділянки з перемінним поглибленням.

Дані про мінімальну кількість точок колокації, необхідну для того, щоб відносна похибка Е_r була меншою за 0,001, наведені в таблиці 1.

Порівняння чисельних результатів, отриманих за допомогою розробленої методики, з даними інших авторів (Акі і Ларнер), підтверджує точність і надійність методики, побудованої на основі МКН.

У дисертації досліджені фундаментальні розв'язки і на їх основі побудовані інтегральні рівняння методу компенсуючих навантажень, що описують розповсюдження в масивних тілах і дифракцію на перешкодах пружних зсувних хвиль високочастотного діапазону. Для випадків, коли границі перешкод є гладкими, отримані аналітичні розв'язки задач Дирихле і Неймана.

Отримані результати складають теоретичну основу для створення ефективних алгоритмів дослідження хвильових процесів у земній корі, а також можуть бути застосовані при створенні засобів неруйнуючого контролю.

У п'ятому розділі приведена постановка задач визначення компонентів напружено-деформованого стану сферичних оболонок. Системи диференціальних рівнянь рівноваги для згаданих об'єктів записані в переміщеннях з використанням технічної моментної теорії пологих оболонок. Для задач пологих оболонок компенсуючі навантаження представляються у вигляді чотирьохкомпонентного вектора q(y)=(q_i (y)), і=1,2,3,4; y=(y₁,y₂) Г', де q₁(y) і q₂(y) - поверхневі складові, а q₃(y)=m(y) і _ нормальні складові компенсуючих навантажень. Фундаментальні розв'язки систем диференціальних рівнянь для пологої оболонки визначаються як частинні розв'язки, що відповідають дії в довільній точці нескінченної пологої оболонки одиничних зосереджених навантажень.

Використовуючи стандартну процедуру МКН, приведені вище крайові задачі можна звести до регулярних інтегральних рівнянь першого роду відносно компенсуючих навантажень. У дисертації приведений алгоритм чисельного розв'язання таких рівнянь і побудови шуканих розв'язків. В якості ілюстрації у даному розділі наведений розрахунок сферичної оболонки із затисненим круговим контуром, яка зазнає дії зосередженої сили, прикладеної в центрі у вертикальному напрямку. Нормовані значення прогинів в центрі оболонки, обчислені для випадку R=50 м, , Р=32,4 т, h=0,15 м, представлені в таблиці 2. Отримано картину розподілу радіальних переміщень при різних значеннях параметра . Результати розрахунків добре узгоджуються з аналітичним розв'язком, отриманим О.О.Назаровим.

Шостий розділ присвячений дослідженню за МКН усталених коливань пологих сферичних оболонок, що мають довільну форму країв, при довільних граничних умовах.

Розглянуто нескінченну пологу сферичну оболонку, що деформується під дією гармонічної зосередженої сили. Така система в подальшому використовується як основна при розв'язанні за МКН складних крайових задач. .

Фундаментальний розв'язок рівняння (16) має вигляд

, (18)

де z - відстань між точками х та у; Y₀ , K₀ - функція Бесселя і модифікована функція Бесселя другого роду нульового порядку.

За допомогою (18) і співвідношень теорії пологих сферичних оболонок отримані динамічні функції Гріна для амплітуд переміщень і внутрішніх сил, які виникають у довільно орієнтованих перерізах оболонки під дією зосереджених сил і моментів .

При дослідженні за МКН гармонічних коливань оболонок вздовж замкненої особливої лінії, розташованої поза контуром вихідної оболонки, прикладаються компенсуючі навантаження - погонна нормальна сила і погонний нормальний момент , причому останній діє в площині, котра містить нормаль до особливої лінії. Загальний розв'язок поставленої крайової задачі згідно МКН подається у формі

Спрямовуючи точку області х до точки її контуру, з (19) одержуємо рівняння відносно невідомих компенсуючих навантажень

Підпорядковуючи (20) граничним умовам, одержуємо розрахункове рівняння. Розв'язуючи останнє, знайдемо компенсуючі навантаження, за допомогою яких визначається НДС оболонки.

Дослідження власних коливань оболонок при однорідних граничних умовах вимагає розгляду наступного рівняння

Вивчені власні коливання пологих сферичних куполів з точковою опорою і без неї. За допомогою (21), розкладаючи компенсуючі навантаження у ряд Фур'є та використовуючи формули теорії бесселевих функцій, отримуємо формули для визначення характеристик частот і форм власних коливань розглянутих куполів при різних граничних умовах.

Проведені за допомогою виведених формул чисельні обчислення частот власних коливань металевої антени, виготовленої у вигляді пологого купола з точковою опорою, розташованою в його полюсі. Отримані результати для перших часто добре узгоджуються з експериментальними даними.

Розглянуті на основі рівнянь (20) гармонічні коливання пологих сферичних оболонок, які мають у плані довільну форму і довільні граничні умови. Тут особлива лінія вибирається геометрично подібною до форми краю оболонки. Інтегральні рівняння МКН розв'язуються наближено. Для цього особлива лінія замінюється набором з контурних елементів, компенсуюче навантаження в межах кожного елемента апроксимується деякою функцією, а виконання граничних умов вимагається в обмеженій множині точок контура. У першому наближенні граничні елементи вибираються прямолінійними, а апроксимуючі функції - кусково-сталими. В результаті для кожної колокаційної точки записується дискретний аналог рівняння (20) у вигляді

У роботі наведені формули для чисельного визначення компонент напружено-деформованого стану і форм власних коливань розглянутої оболонки.

Складено за допомогою розроблених алгоритмів програмний комплекс мовою ФОРТРАН для дослідження коливань оболонок з урахуванням довільності форми і умов закріплення країв. При цьому використана квадратурна формула Гаусса для обчислення інтегралів вигляду (23), а також алгоритми Деккера-Брента, що поєднують безвідмовність бісекції з асимптотичною швидкістю методу січних при розв'язанні трансцендентного рівняння (25). Для розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (24), яка, як правило, є погано обумовленою через те, що утворюється шляхом дискретизації інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду (20), використовується алгоритм регуляризації А.М.Тихонова.

За допомогою складених програм розв'язані тестові задачі про власні і вимушені гармонічні коливання пологої сферичної оболонки, що має в плані квадратну форму і шарнірно опирається по контуру. Власні значення задачі про коливання пологої сферичної оболонки, затисненої по контуру, приведені в таблиці 3. Значення частот власних коливань антени, що розглядається у дисертації як сектор пологої сферичної оболонки з вільним контуром і з точковою опорою, наведені у таблиці 4. Власні значення коливань пологої сферичної оболонки, що має у плані L- подібну форму з віссю симетрії по діагоналі представлені в таблиці 5.

Сьомий розділ присвячений дослідженню коливань пологих оболонок позитивної гауссової кривизни. Розглянуто прямокутну в плані і шарнірно оперту по контуру оболонку під дією гармонічної зосередженої сили. При застосуванні МКН така система обирається в якості основної. Диференціальні рівняння коливань цієї оболонки, записані відносно амплітудних функцій, мають вигляд

(26)

де w - нормальне переміщення оболонки; - функція напруги; , - радіуси кривизни оболонки; - частота гармонічних коливань; х=(х₁, х₂) - координати точок спостереження; у=(у₁, у₂) - координати точки прикладення сили.

За допомогою функції (27) побудовані динамічні функції Гріна для всіх компонентів переміщень і внутрішніх сил у довільно орієнтованих перерізах оболонки.

Розглянуто задачу про гармонічні коливання пологих оболонок позитивної гауссової кривизни, що мають у плані довільну форму границі S і довільні граничні умови. В якості особливих ліній використані дві замкнені криві С¹ і С², що не перетинаються між собою і лежать поза вихідною системою, а в якості компенсуючих навантажень обрані погонні нормальна сила і момент , причому останній діє в площині, нормальній до лінії С.

Крайова задача для розглянутої оболонки зведена до інтегральних рівнянь типу (20), де С=С¹+С².

Отриманий чисельний розв'язок тестової задачі про частоти власних коливань оболонки позитивної гауссової кривизни, прямокутної в плані і шарнірно опертої по границі, що добре узгоджується з аналітичним розв'язком. Результати розрахунків наведені в таблиці 6. Максимальна похибка складає 1,03 %.

Восьмий розділ присвячений дослідженню сталих коливань замкнених циліндричних оболонок.

Розглянуто радіально оперту на торцях оболонку, навантажену зосередженою силою, що змінюється за гармонічним законом. В подальшому така система була використана як основна. Диференціальне рівняння для амплітудних функцій коливань оболонки в цьому випадку можна записати наступним чином:

, (28)

де , - деяка скалярна функція, що зв'язана з тангенціальними і нормальними w переміщеннями оболонки співвідношеннями

- координати точок поверхні оболонки, віднесені до її радіуса, у напрямках твірної і дуги відповідно; ,координати точки прикладення сили.

Розв'язок рівняння (28) має вигляд причому, де

- довжина оболонки.

За допомогою (30) отримані динамічні функції Гріна від дії зосередженої сили і зосередженого моменту для всіх складових переміщень і внутрішніх сил основної системи.

Розглянуті за допомогою МКН гармонічні коливання замкнених циліндричних оболонок з довільними умовами закріплення країв. За особливі лінії обрані з кожної сторони торців оболонки дві замкнені криві, що знаходяться поза торцями і не перетинаються. Уздовж особливої лінії прикладені погонні нормальні компенсуючі навантаження: сила і момент .

Крайова задача для розглянутої оболонки зведена до інтегральних рівнянь типу (20), причому S=S₁+S₂, C=C¹¹+C¹²+C²¹+C²². Тут індекси при S і перші індекси при C вказують на торці оболонки.

Отримано чисельні результати розв'язання задачі про власні коливання шарнірно опертої по торцях циліндричної оболонки з отвором (рис. 4), що добре узгоджуються з відомими результатами (табл. 7).

У дев'ятому розділі на прикладах задач стаціонарної і нестаціонарної теплопровідності для одно- і багатошарових смуг, послаблених періодично розташованими отворами довільної форми, показано застосування побудованого алгоритму, що базується на непрямому методі граничних елементів, який є одним з варіантів МКН. Використовуються інтегральні представлення, ядрами яких є функція Гріна відповідної області без отвору. Ця функція, а для складеного тіла матриця Гріна, була побудована методом розділення змінних з наступною варіацією довільних сталих (метод Лагранжа).

При розв'язанні задачі нестаціонарної теплопровідності перехід до відповідних рівнянь еліптичного типу здійснювався за допомогою методу прямих із заміною похідної за часовою змінною в рівнянні Фур'є кінцево-різницевими співвідношеннями. В результаті було отримано наступну крайову задачу

, (31)

де - шукана температура, та - задані інтенсивності теплових джерел в області розрахунку та на границі отвору відповідно.

Щільність компенсуючих теплових джерел визначається з інтегрального рівняння

, (33)

Де , - основний розв'язок, - побудована функція Гріна.

На рис. 5,а наведено чисельні результати реалізації побудованого алгоритму для задачі про теплопровідність одношарової смуги з отворами еліптичної та трапецієвидної форми при наступних параметрах граничних умов:

.

Результати розв'язання задачі про теплопровідність смуги, послабленої отворами тунельної форми, при розривних граничних умовах на контурі отвору зображені лініями рівня на рис. 5,б.

На рис. 6 показані результати дослідження теплопровідності одношарової смуги з двома рядами отворів трапецієвидної форми.

Розподіли температури в двошарових смугах, послаблених отвором еліптичної форми та круговою виїмкою, наведені на рис. 7.

Далі в дисертації отримані розв'язки задачі стаціонарної теплопровідності для неоднозв'язних шаруватих тіл, що мають складну конфігурацію та отвір. Система рівнянь з відповідними граничними умовами перетворюється на систему звичайних диференціальних рівнянь за допомогою інтеграла Фур'є. Знайдено розв'язок задачі про температурний стан двошарової смуги з отвором тунельної форми (рис.8), причому в кожному з шарів діє свій закон теплопровідності.

Зазначимо, що обчислювальний алгоритм даної задачі побудований за допомогою непрямого методу граничних елементів.

Тривимірна задача була приведена до двовимірної за допомогою розвинення в ряд Фур'є в напрямку координати z, що не викликало принципових ускладнень.

Десятий розділ присвячений дослідженню напружено-деформованого стану нерівномірно нагрітих об'єктів. Задача зводиться до розрахунку пружної рівноваги під дією температурного компенсуючого навантаження. Останнє відомим образом визначається розподілом температури, яке, у свою чергу, є розв'язком відповідної граничної задачі.

Показано використання методу компенсуючих навантажень для розв'язання вісесиметричної задачі про термопружну рівновагу циліндра нескінченної довжини з кільцевим розрізом (рис. 10, 11).

На частині розрізу () діють рівномірно розподілені теплові джерела інтенсивності . Бокова поверхня циліндра теплоізольована, вільна від дотичних напружень і закріплена таким чином, що її точки не мають радіальних переміщень. Функція температури задовольняє рівнянню

,, (35)

де - коефіцієнт теплопровідності.

Розв'язок (36), побудований в дисертації, має вигляд

. (36)

Після визначення за МКН знайдені нормальні напруження в площині z=0, за допомогою яких були отримані залежності нормованого коефіцієнту інтенсивності напружень від при різних значеннях . Результати, наведені на рис. 11, свідчать про те, що при деяких співвідношеннях і можливе виникнення стискаючих () нормальних напружень.

Далі, алгоритм МКН був застосований для аналізу НДС тороїдальної конструкції, схематично показаної на рисунку 12.а, яка зазнавала температурного впливу (нерівномірного нагріву середнього шару конструкції при збереженні постійної температури на внутрішньому шарі). Розподіл температури вздовж середнього шару показаний на рисунку 12.б.

На рисунку 13 наведені результати розрахунку НДС зовнішньої оболонки, причому в лівому нижньому куті показані тангенціальні переміщення.

Було розглянуто також НДС тороїдальної конструкції, який виникає при локальному нагріві середнього шару конструкції біля чотирьох рівновіддалених точок та збереженні постійної