Математичне моделювання нелінійного флатера в’язкопружних елементів літального апарату в надзвуковому потоці газу

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ КІБЕРНЕТИКИ ІМ. В.М. ГЛУШКОВА

УДК 539.3: 519.95

Математичне моделювання нелінійного флатера в'язкопружних елементів літального апарату в надзвуковому потоці газу

Спеціальність 01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Худаяров Бахтіяр Алімович

Київ 2008

Дисертацiєю є рукопис.

Робота виконана в Ташкентському інституті іригації та меліорації Міністерства сільського і водного господарства Республіки Узбекистан.

Захист відбудеться «_26_» __вересня __ 2008 р. о _11_ годині на засіданні спеціалізованої ради Д 26.194.02 в Інституті кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України за адресою: 03680, МСП, м. Київ-187, проспект Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитись у науково-технічному архіві Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова за адресою: 03680, МСП, м. Київ-187, проспект Академіка Глушкова, 40.

Автореферат розісланий «_10_» __липня______ 2008 р.

Вчений секретарСинявський В.Ф.

флатер пружний моделювання

АНОТАЦІЯ

Худаяров Б.А. Математичне моделювання нелінійного флатера в'язкопружних елементів літального апарату в надзвуковому потоці газу. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2008.

Дисертація присвячена розв'язанню важливої для теорії і практики наукової проблеми - створення комплексу математичних моделей, чисельних алгоритмів і комп'ютерних програм для розв'язання широкого класу задач про нелінійний флатер в'язкопружних елементів і вузлів літальних апаратів.

Побудована узагальнена математична модель для класу нелінійних задач про флатер в'язкопружних ізотропних і ортотропних пластин, панелей і оболонок, які обтікаються надзвуковим потоком газу. Розроблені і розвинені математичні моделі задач про флатер в'язкопружних тришарових пластин, циліндричних панелей і оболонок з несиметричною по товщині структурою, які обтікаються надзвуковим потоком газу. На основі методу Бубнова-Гальоркіна запропоновано метод наближення узагальнено-просторових математичних моделей флатера у вигляді рівнянь у частинних похідних системами скалярних інтегро-диференціальних рівнянь і еквівалентними їм системами інтегральних, що дозволяє понизити розмірність задач, що розв'язуються. На основі стійких рекурентних схем чисельної реалізації моделей у вигляді систем інтегральних рівнянь Вольтерра ІІ роду і запропонованого способу виключення особливостей слабко-сингулярних інтегральних операторів розроблено ефективний чисельний метод розв'язання задач про нелінійний флатер в'язкопружних пластин, панелей і оболонок, як одношарових, так і тришарових, які обтікаються надзвуковим потоком газу. Розроблені обчислювальні алгоритми і створений комплекс прикладних програм, які забезпечують розв'язання всієї сукупності задач моделювання, що розглядаються. За допомогою розроблених методів і засобів математичного моделювання вперше у повній постановці з дослідженням характерних фізичних ефектів розв'язано широке коло актуальних для практики складних коливальних задач, таких як задачі про нелінійний флатер в'язкопружних пластин, панелей, а також одношарових і тришарових оболонок.

Розроблені моделі, алгоритми і прикладні програми можуть бути використані при вивченні динамічної поведінки, проектуванні і випробуваннях елементів конструкцій літальних апаратів, побудованих з композиційних в'язкопружних ізотропних, ортотропних матеріалів, а також інших технічних конструкцій у різних галузях авіа- і машинобудування.

Ключові слова: математичне моделювання, чисельні методи і алгоритми, інтегро-диференціальні рівняння, флатер, в'язкопружність.

АННОТАЦИЯ

Худаяров Б.А. Математическое моделирование нелинейного флаттера вязкоупругих элементов летательного аппарата в сверхзвуковом потоке газа. - Рукопись.

Диссертация на на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 01.05.02 - Математическое моделирование и вычислительные методы. - Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2008.

Диссертация посвящена решению важной для теории и практики научной проблемы - созданию комплекса математических моделей, численных алгоритмов і компьютерных программ для решения широкого класса задач о нелинейном флаттере вязкоупругих элементов и узлов летательных аппаратов.

В первом разделе приведены дифференциальные и интегральные модели, определяющие связь между напряжениями и деформациями наследственной теории вязкоупругости, по определенным критериям проанализированы их преимущества и недостатки. Обоснован выбор вида ядер релаксации, от которого зависит точность решений. Установлено, что существующие трехпараметрические сингулярные ядра наследственности Колтунова-Ржаницына удовлетворяют всем условиям, налагаемым на ядро ползучести и релаксации, и наилучшим образом аппроксимируют опытные данные в течение большого промежутка времени. Поэтому при решении динамических задач наследственно-деформируемых систем в работе используются интегральные модели Больцмана-Вольтерра, связывающие напряжения и деформации, при сингулярном ядре релаксации Колтунова-Ржаницына.

Во втором разделе на основе интегральных моделей Больцмана-Вольтерра построены обобщенные математические модели нелинейных задач о флаттере вязкоупругих пластин, панелей и оболочек, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа. Математические модели для исследования однослойных пластин и оболочек построены на основе теории пологих оболочек Маргерра применительно к исследованию проблем прочности, жесткости и устойчивости тонкостенных конструкций типа авиационных крыльев. Для построения математических моделей вязкоупругих трехслойных пологих оболочек используется теория пологих оболочек Э.И.Григолюка. Аэродинамическое давление определяется в соответствии с поршневой теорией А.А.Ильюшина. Показано, что при построении дискретной модели нелинейных задач динамики наследственной теории вязкоупругости наиболее эффективным методом является вариационный метод Бубнова-Галеркина, с помощью которого в работе при произвольных граничных условиях получены основные разрешающие системы нелинейных ИДУ динамики вязкоупругих систем с сингулярными ядрами.

В третьем разделе разработан численный метод решения нелинейных обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений динамической задачи наследственной теории вязкоупругости с сингулярными ядрами. Для систем нелинейных ИДУ общего вида предложен численный метод, основанный на исключении особенности в ядре. Показано, что погрешность метода совпадает с погрешностью использованных квадратурных формул и имеет тот же порядок малости относительно шага интерполяции.

В четвертом разделе исследованы задачи о нелинейном флаттере вязкоупругих пластин. Рассмотрена нелинейная задача о флаттере вязкоупругой прямоугольной пластины. Исследовано влияние вязкоупругих свойств материала пластинки на критические значения скорости флаттера. Математическая модель задачи, описываемая системой нелинейных ИДУ, после применения метода Бубнова-Галеркина, решается с использованием численного метода, изложенного в работе. В этом разделе также рассмотрены задачи о флаттера вязкоупругих ортотропных пластин, подробно изучены вязкоупругие свойства и нелинейные эффекты. Благодаря предложенному численному методу в работе впервые в вязкоупругой постановке удалось сравнить результаты различных теорий - Бергера; Кирхгоффа-Лява без учета распространения упругих волн) и Кирхгоффа-Лява с учетом распространения упругих волн.

В пятом разднле исследованы нелинейные задачи о флаттере вязкоупругих панелей и оболочек, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа. Рассмотрены задачи о флаттере вязкоупругих изотропных и ортотропных цилиндрических панелей и оболочек. Математическая модель задачи сводится к решению систем нелинейных ИДУ в частных производных. После применения метода Бубнова-Галеркина при заданных граничных условиях полученные системы нелинейных ИДУ с сингулярном ядром исследованы с помощью численного метода, предложенного в работе.

В шестом разделе исследован нелинейный флаттер вязкоупругих трехслойных пластин и пологих оболочек с несимметричной по толщине структурой, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа. Изучено влияние изгибной жесткости несущих слоев трехслойных пластин. Исследовано влияние продольных и поперечных растягивающих усилий на поведение трехслойной вязкоупругой пластины. Также исследован флаттер вязкоупругих трехслойных цилиндрических панелей и оболочек с жестким, сопротивляющимся поперечному сдвигу заполнителем, обтекаемых с внешней стороны сверхзвуковым потоком.

Ключевые слова: математическое моделирование, численные методы и алгоритмы, интегродифференциальные уравнения, флаттер, вязкоупругость.

ABSTRACT

Khudayarov B.A. Mathematical modeling of nonlinear flutter of viscoelastic elements of aircraft in supersonic flow of a gas. Manuscript.

Dissertation for a doctor's degree in technical sciences by specialty 01.05.02 - Mathematical modeling and computational methods. - Glushkov Institute for Cybernetics, NAS of Ukraine, Kiev, 2008.

The dissertation is devoted to the solution of the important for theory and practice scientific problem - development of the complex of mathematical models, numerical algorithms and computer programs for solving a wide class of problems about nonlinear flatter of viscoelastic elements and units of aeronautical vehicles.

The generalized mathematical model for a class of problems about nonlinear flatter of viscoelastic isotropic and orthotropic plates, panels and shells slipped by supersonic gas flow is developed. Also the mathematical models of flatter of viscoelastic three-layered plates, cylindrical panels and shells with non-symmetric structure slipped by supersonic gas flow are developed. On the basis of the Bubnov-Galerkin technique a method for approximation of generalized space models of flatter given in the form of partial difference equations by systems of scalar integro-differential equations and equivalent systems of integral equations is proposed. This approach allows to decrease a dimension of solving problems. On the basis of stable recurrent formulae of numerical realization of the models in the form of Volterra integral equations of the 2nd kind and a proposed method for the singularity of weakly-singular operators elimination the effective numerical method for solving nonlinear supersonic flatter problems for both one- and three-layered viscoelastic plates, panels and shells is developed. The numerical algorithms was developed and a complex of applied programs provided solving the whole set of considered problems was built. Using the developed mathematical modelling methods and tools a wide range of practically important vibration problems such as problems of nonlinear flatter of viscoelastic plates, panels, one- and three-layered shells are solved firstly in full formulation with investigation of character physical effects.

The developed models, algorithms and applied programs can be used for investigation of dynamical behaviour, developing and testing of elements of aeronautical vehicles manufactured of the composite viscoelastic isotropic and orthotropic materials and other technical structures in different branches of the aircraft and machinery building.

Key words: mathematical modelling, numerical methods and algorithms, integro-differential equations, flatter, viscoelasticity.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Однією з найбільш широких областей застосування сучасних методів і засобів моделювання є створення об'єктів нової техніки. Постійне ускладнення і вдосконалення технічних конструкцій, розвиток матеріалознавства і промисловості матеріалів є могутнім джерелом і стимулом розвитку теорії і практики математичного моделювання. Характерним прикладом даної ситуації є вдосконалення технологічних процесів проектування, виробництва і експлуатації конструкцій літальних апаратів (ЛА), призначених для функціонування в умовах великих висот і швидкостей. Значний прогрес у цьому напрямку забезпечується створенням і використанням нових видів матеріалів, у тому числі композиційних. Однак сама по собі поява матеріалів з новими якісними характеристиками є недостатньою для виготовлення складних технічних виробів. Необхідними подальшими етапами є розрахунок, проектування і побудова конструктивних елементів цих об'єктів, дослідження поведінки різних видів і форм елементів і вузлів складних конструкцій в широкому діапазоні зовнішніх фізичних умов і внутрішніх навантажень. Висока трудомісткість вказаних технологічних процесів приводить до необхідності застосування в цих задачах методів математичного моделювання як основного засобу розв'язання проблеми. Таким чином, успішне розв'язання технологічних задач створення елементів і вузлів конструкцій ЛА і подібних їм інших технічних об'єктів залежить від наявності адекватних математичних моделей відповідних фізичних процесів, ефективних чисельних методів, алгоритмів і програмних засобів для реалізації моделей.

Основою дослідження процесів деформації композиційних матеріалів є спадкова теорія в'язкопружності, конкретне застосування якої залежить від параметрів матеріалів, форми виробу і діапазону зміни умов зовнішнього середовища. При цьому істотні труднощі отримання «хороших» моделей виникають у зв'язку з урахуванням властивостей в'язкопружності та нелінійних ефектів. Слід зазначити, що використовування традиційних матеріалів в літакобудуванні дозволяло застосовувати математичні моделі, які вже зараз можна називати спрощеними, які не враховували повною мірою властивостей в'язкопружності і більшості видів нелінійних ефектів. Дані ефекти в найбільшій мірі виявляються в умовах надзвукових потоків повітря або рідини, тобто при високих швидкостях, які призводять до виникнення флатера.

Таким чином, отримані раніше наукові результати в області моделювання процесів поведінки елементів ЛА в умовах високих швидкостей не можуть бути безпосередньо застосовані в даних задачах, що свідчить про актуальність проблеми отримання і комп'ютерної реалізації адекватних математичних моделей динаміки елементів і вузлів літальних апаратів, побудованих з матеріалів з явно вираженими істотно в'язкопружними і нелінійними властивостями і функціонуючих в режимах флатера.

Слід відмітити значний внесок у теорію в'язкопружних систем та аеропружнісь робіт Работнова Ю.М., Ільюшина О.А., Ржаніцина О.Р., Победрі Б.Ю., Вольміра А.С., Ішлінського О.Ю., Болотіна В.В., Бадалова Ф.Б., Григолюка Е.І., Карнаухова В.Г., Новічкова Ю.М., Ешматова Х., Бісплінгоффа Р.Л., Ешлі Х., Дауела Е., Куртіса Г. та багатьох інших вчених.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційне дослідження виконано в рамках науково-дослідної роботи «Розв'язання інтегро-диференціальних рівнянь і їх застосування до задач механіки деформівного твердого тіла в суцільних середовищах», номер держреєстрації № 6.17, Ташкентський інститут іригації та меліорації (ТІІМ), а також відповідно до теми науково-дослідної роботи «Поведінка в'язкопружних пластин і циліндричних оболонок у газовому потоці», виконаної ТІІМ спільно з Інститутом механіки і сейсмостійкості споруд АН Республіки Узбекистан у 2000-2003 рр.

Мета і завдання дослідження. Метою дослідження є створення комплексу математичних моделей, чисельних алгоритмів і комп'ютерних програм для розв'язання широкого класу задач про нелінійний флатер в'язкопружних елементів і вузлів ЛА.

Для досягнення поставленої мети необхідно розв'язати наступні дослідницькі задачі:

- обгрунтування можливості використання фундаментальних положень спадкової теорії в'язкопружності для формування математичного опису флатера основних видів елементів конструкцій літальних апаратів з урахуванням істотних в'язкопружних і нелінійних властивостей, притаманних композиційним матеріалам;

- аналіз можливості і доцільності застосування традиційних моделей флатера, що відображають поведінку елементів з пружних матеріалів, у випадку врахування в'язкопружних і нелінійних властивостей композиційних матеріалів;

- систематизація, аналіз і вибір видів ядер спадковості для формування інтегральних моделей, що забезпечують принципово допустиму адекватність відображення залежності між напруженнями і деформаціями у матеріалах з в'язкопружними властивостями;

- розробка узагальнено-просторових математичних моделей задачі флатера в'язкопружних елементів літального апарату в надзвуковому потоці газу;

- розробка методу спрощення просторових моделей з метою зниження розмірності і отримання розв'язних моделей, що забезпечують їх ефективну чисельну реалізацію при проведенні інженерних розрахунків;

- розробка методу дискретизації розв'язних моделей і чисельних алгоритмів їх реалізації, що забезпечують стійкий обчислювальний процес, який враховує особливості моделей;

- розробка алгоритмів реалізації розв'язних моделей даних задач флатера, що забезпечують необхідну точність і стійкість обчислювального процесу з урахуванням особливостей моделей, притаманних спадковій теорії в'язкопружності; розробка комплексу програм, що реалізують алгоритми розв'язання даного класу задач;

- математичне і комп'ютерне моделювання задач флаттера елементів у формі в'язкопружних ізотропних і ортотропних пластин, панелей і оболонок;

- математичне моделювання задач флатера елементів у формі в'язкопружних тришарових пластин, панелей і оболонок з несиметричною по товщині структурою.

Об'єкт дослідження. Об'єктом дослідження є коливальні процеси, що виникають в елементах технічних тонкостінних об'єктів, що рухаються у надзвуковому потоці газу.

Предмет дослідження. Математичні моделі нелінійних задач флатера в'язкопружних елементів тонкостінних конструкцій літальних апаратів (і інших подібних технічних об'єктів), а також чисельні методи і програмні засоби для комп'ютерної реалізації моделей.

Методи дослідження. Методи спадкової теорії в'язкопружності; математичні методи теорії пологих оболонок; методи апроксимаційних перетворень складних динамічних моделей; чисельні методи розв'язання інтегральних рівнянь; методи побудови комплексу прикладних програм і організації обчислювальних експериментів.

Наукова новизна отриманих результатів.

1. Побудована узагальнена математична модель для класу нелінійних задач про флатер в'язкопружних ізотропних і ортотропних пластин, панелей і оболонок, які обтікаються надзвуковим потоком газу.

2. Розроблені і розвинені математичні моделі задач про флатер в'язкопружних тришарових пластин, циліндричних панелей і оболонок з несиметричною по товщині структурою, які обтікаються надзвуковим потоком газу.

3. На основі методу Бубнова-Гальоркіна запропоновано метод наближення узагальнено-просторових математичних моделей флатера у вигляді рівнянь у частинних похідних системами скалярних інтегро-диференціальних рівнянь і еквівалентними їм системами інтегральних рівнянь типу Вольтера ІІ роду, що дозволяє понизити розмірність задач, що розв'язуються.

4. На основі стійких рекурентних схем чисельної реалізації моделей у вигляді систем інтегральних рівнянь Вольтера ІІ роду і запропонованого способу виключення особливостей слабко-сингулярних інтегральних операторів розроблено ефективний чисельний метод розв'язання задач про нелінійний флатер в'язкопружних пластин, панелей і оболонок, як одношарових, так і тришарових, які обтікаються надзвуковим потоком газу.

5. Розроблені обчислювальні алгоритми і створений комплекс прикладних програм, які забезпечують розв'язання всієї сукупності задач моделювання, що розглядаються.

6. За допомогою розроблених методів і засобів математичного моделювання вперше у повній постановці з дослідженням характерних фізичних ефектів розв'язано широке коло актуальних для практики складних коливальних задач, таких як задачі про нелінійний флатер в'язкопружних пластин, панелей, а також одношарових і тришарових оболонок.

Практичне значення отриманих результатів. Розроблені моделі, алгоритми і прикладні програми можуть бути використані при вивченні динамічної поведінки, проектуванні і випробуваннях елементів конструкцій літальних апаратів, побудованих з композиційних в'язкопружних ізотропних, ортотропних матеріалів, а також інших технічних конструкцій у різних областях авіа- і машинобудування.

Сукупність запропонованих методів математичного і комп'ютерного моделювання може бути використана у ряді учбових курсів вищих технічних навчальних закладів, у тому числі: «Математичне моделювання», «Опір матеріалів», «Основи машинобудування», «Теорія пружності» та ін.

Особистий внесок здобувача. Основний зміст дисертаційної роботи і її результати повністю відображені в опублікованих наукових роботах автора. У всіх опублікованих роботах у співавторстві особистий внесок автора складає: у роботі [5] побудована математична модель флатера в'язкопружних ортотропних панелей, участь у розробці обчислювального алгоритму і прикладних програм; у [8] побудована математична модель нелінійної динамічної задачі спадкової теорії в'язкопружності з сингулярними ядрами і чисельно досліджені розглянуті задачі; у [12] проаналізовано властивості інтегральних моделей з ядрами релаксації спадкової теорії в'язкопружності; здійснено порівняння чисельних результатів, отриманих при розв'язанні динамічних задач спадково-деформівних систем з використанням експоненціальних і слабко-сингулярних ядер спадковості; у [13] на основі інтегральної моделі Больцмана-Вольтерра посбудована математична модель нелінійної динамічної задачі спадкової теорії в'язкопружності, чисельно досліджені розглянуті задачі; у [14] побудована математична модель флатера в'язкопружних циліндричних оболонок з урахуванням пограничного шару і розроблені прикладні програми; у [15] - на основі метода Бубнова-Гальоркіна з використанням квадратурних формул і способів виключення слабко-сингулярних операторів розроблено ефективний чисельний метод, який дозволяє досліджувати задачі про флатер в'язкопружних пластин і панелей; у [16] побудована математична модель, розроблено обчислювальний алгоритм і розв'язані задачі про флатер в'язкопружних пластин; у [19] - розроблено метод розв'язання нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь динамічної задачі спадково-деформівних систем з сингулярними ядрами; у [20] побудована математична модель в'язкопружних пластин и оболонок, розроблено алгоритм розв'язання нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь динамічної задачі спадкової теорії в'язкопружності з сингулярними ядрами; у [21] проаналізовано властивості інтегральних моделей з ядрами релаксації спадкової теорії в'язкопружності, їх переваги і недоліки; порівняно чисельні результати, одержані при розв'язанні динамічних задач спадково-деформівних систем з використанням експоненціальних і слабко-сингулярних ядер спадковості; у [22] розроблено обчислювальний алгоритм для розв'язання задачі флатера; у [23] розроблено обчислювальний алгоритм розв'язання нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь динамічної задачі спадково-деформівних систем зі слабко-сингулярними ядрами і прикладні програми для вивчення динамічної поведінки спадково-деформівних елементів конструкцій; у [25] розроблено ефективний чисельний алгоритм і програма для дослідження в'язкопружних властивостей матеріала конструкцій; у [26] - здійснена розробка програм.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідалися та обговорювалися:

на Міжнародній науково-практичній конференції «ИННОВАЦИЯ - 99» (Термез, 1999);

на Міжнародній конференції «Современные проблемы механики» (Алмати, 2001);

на науковій конференції «Современные проблемы алгоритмизации и программирования» (Ташкент, 2001);

на VI Міждародній науково-технічній конференції по динамиці технологічних систем «ДТС - 2001» (Ростов-на-Дону, 2001);

на IV Російській національній конференції по сейсмостійкому будівництву і сейсмічному районуванню з міжнародною участю (Сочі, 2001);

на науковій конференції «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент» (Ташкент, 2002);

на Міжнародній конференції «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Усть-Каменогорськ, 2003; Алмати, 2004);

на Міжнародній конференції «Инфокоммуникационные и вычислительные технологии в науке, технике и образовании» (Ташкент, 2004);

на Міжнародній конференції «Проблемы механики и сейсмодинамики сооружений» (Ташкент, 2004);

на республіканській науковій конференції «Современные проблемы механики машин» (Ташкент, 2004);

8th World Multiconference on Systemics, Cybernetics and Informatics (SCI-2004) (Orlando, Florida, USA, 2004);

46th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics & Materials Conference (Austin, Texas, USA, 2005);

ASME International Mechanics Engineering Congress & Exp. (IMECE2005-80156) (Orlando, Florida, USA, 2005);

на IX Міжнародній конференції «Интеллектуальные системы
и компьютерные науки» (Москва, 23-27 октября 2006 года. МГУ
им. М.В. Ломоносова);

на 5-й міжнародній конференції «Авиация и космонавтика - 2006». Москва, 23-26 октября 2006 года. Московский авиационный институт (МАИ);

на науковому семынары «Проблемы механики деформируемого твердого тела и динамики машин» МАИ (Москва, 2006);

на науковому семінарі кафедри «Вища математика та інформатика» ТашДАІ (Ташкент, 2006).

на Міжнародній науково-технічній конференції «Новые рубежи авиационной науки» ASTEC'07, ЦАГИ (Москва, 19-22 август 2007 года).

Публікації. За результатами виконаних теоретичних і обчислювальних досліджень опубліковано 49 наукових робіт, з них 25 журнальних статей. Отримано три авторські свідоцтва на програмний продукт у Державному Патентному Відомстві Республіки Узбекистан.

Структура і обсяг дисертації. Робота складається із вступу, шести розділів, висновку, додатку і списку цитованої літератури із 315 найменувань. Повний обсяг дисертації 323 машинописних сторінок, включаючи 133 рисунки і 27 таблиць.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність тематики дисертації, сформульовані цілі і задачі дослідження. Дано опис об'єкту дослідження, проводиться аналіз стану проблеми, дається короткий огляд попередніх робіт, обговорюється наукова новизна, практична значущість результатів і викладається короткий зміст роботи.

У першому розділі наведені диференціальні та інтегральні моделі, що визначають зв'язок між напруженнями і деформаціями спадкової теорії в'язкопружності, за певними критеріями проаналізовано їх переваги і недоліки.

У даний час композиційні матеріали, що мають яскраво виражені в'язкопружні властивості, широко застосовуються в авіаційній промисловості і багатьох інших галузях машинобудування. Ці галузі отримали легкі, витончені і економічні тонкостінні конструкції, для яких роль розрахунків на стійкість і у загальному циклі розрахунків на міцність різко зросла. У зв'язку з цим спадкова теорія в'язкопружності привертає до себе всю більшу увагу дослідників. Про це свідчать численні дослідження провідних учених світу.

Для опису процесів деформації в'язкопружних матеріалів використовуються різні моделі спадкової теорії в'язкопружності. Необхідність урахування в'язкопружних властивостей матеріалів в інженерних розрахунках відобразилась у появі великої кількості більш-менш простих теорій. Як приклади найбільш простих моделей зв'язку між напруженнями і деформаціями та швидкостями їх зміни для одноосного напруженого стану можна навести модель Максвела, модель Фойгта і модель стандартного в'язкопружного тіла (табл. 1).

Ці прості моделі є окремими випадками диференціальних моделей, і вони можуть бути використані лише для якісного опису окремих явищ у в'язкопружних середовищах. Усі перераховані вище прості моделі мають недолік, що полягає у достатньо грубій апроксимації процесів релаксації і повзучості в початковій стадії деформації, який виявляється істотним у задачах динамічного типу. Модель Сорокіна носить формальний характер і не має експериментального підтвердження.

Таблиця 1 Моделі спадкової теорії в'язкопружності, які визначають зв'язок між напруженнями і деформаціями

№	Види моделей	Назви моделей
1	P() = Q() Р, Q - лінійні диференціальні оператори:	Диференціальна
2		Максвела
3		Фойгта
4		Стандартного в'язкопружного тіла
5		Сорокіна
6		Больцмана- Вольтерра
7	, - нелінійний інтегральний оператор	Нелінійна інтегральна
8		Кубічна нелінійна (Каудерера)

Основними критеріями вибору моделі на основі запропонованого методу моделювання задачі спадкової теорії в'язкопружності є:

- адекватність інтегральних моделей, що зв'язують напруження і деформації в реальних умовах;

- адекватність математичних моделей на основі різних теорій;

- ефективність чисельно-аналітичних методів розв'язання нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь (ІДР) із сингулярними ядрами, що забезпечують високу точність;

- ефективність пакету прикладних програм, який дозволяє досліджувати клас нелінійних динамічних задач, що розглядається.

У даний час численними провідними дослідниками визнано, що інтегральна модель зв'язку між напруженнями і деформаціями у в'язкопружних тілах адекватно описує спадкову теорію Больцмана-Вольтерра із слабкосингулярними ядрами спадковості. Інтегральна модель Больцмана-Вольтерра вибрана для задачі спадкової теорії в'язкопружності, виходячи з наступних міркувань: вона з високим рівнем адекватності описує реальні фізичні процеси; має властивість універсальності, тобто є прийнятною для широкого класу нелінійних динамічних задач спадкової теорії в'язкопружності.

Інтегральну модель Больцмана-Вольтерра, яка характеризує закон зміни між напруженнями і деформаціями у серединній поверхні, запишемо в інтегральному вигляді

(1)

де Е - модуль пружності; - коефіцієнт Пуассона; - інтегральний оператор з ядром релаксації R(t); t - час спостереження; - час, що передує моменту спостереження.

У багатьох роботах при розв'язанні інженерних задач часто застосовують експоненціальні ядра або ядра у вигляді сум експонент (табл. 2). Вибір ядра релаксації у вигляді експоненціальних функцій або сум експонент дозволяє звести інтегральну модель (1) до первинної моделі зв'язку між напруженнями і деформаціями, яка визначена у диференціальній формі. В початковий момент часу (t=0) ці ядра релаксації мають скінченні значення (рис. 1), оскільки при цьому не відображаються особливості, які спостерігаються на початку процесів релаксації, а численні дослідження показують, що R(0) .

Таблиця 2 Ядра релаксації спадкової теорії в'язкопружності

№	Види ядер	Назви ядер
1	,	Експоненціальне
2	,	У вигляді сум експонент
3		А.Р. Ржаніцина
4	, - гамма-функція Ейлера	Ю.М. Работнова
5		Колтунова-Ржаніцина

Від «правильного» вибору ядра релаксації залежить адекватність моделі. Точність апроксимацій ядер повинна бути перевірена шляхом зіставлення їх з експериментальними кривими. Існуючі трьохпараметричні сингулярні ядра спадковості Колтунова-Ржаніцина задовольняють всім умовам, що накладаються на ядро повзучості і релаксації, і найкращим чином апроксимують дослідні дані протягом великого проміжку часу. Тому при розв'язанні динамічних задач для систем, що спадково деформуються, в роботі використовуються інтегральні моделі Больцмана-Вольтерра, які зв'язують напруження і деформації, із застосуванням сингулярного ядра релаксації Колтунова-Ржаніцина.

У другому розділі на основі інтегральних моделей Больцмана-Вольтерра побудовані узагальнені математичні моделі нелінійних задач про флатер в'язкопружних пластин, панелей і оболонок, які обтікаються надзвуковим потоком газу. Математичні моделі для дослідження одношарових пластин і оболонок побудовані на основі теорії пологих оболонок Маргерра стосовно дослідження проблем міцності, жорсткості і стійкості тонкостінних конструкцій типу авіаційних крил (рис. 2-4). Для побудови математичних моделей в'язкопружних тришарових пологих оболонок використовується теорія пологих оболонок Е.І. Григолюка. Аеродинамічний тиск визначається відповідно до поршневої теорії О.А. Ільюшина.

Геометричний зв'язок між деформаціями у серединній поверхні і переміщеннями u, v, w у напрямках x, y, z для оболонок представимо у нелінійному вигляді

(2)

де kx, ky - параметри кривизни.

Рівняння руху в'язкопружної пологої оболонки, яка обтікається надзвуковим потоком газу мають вигляд:

(3)

де , - нелінійні диференціальні оператори; , - інтегральні оператори з ядром релаксації ; - густина матеріалу; h - товщина оболонки; q - аеродинамічний тиск.

Аеродинамічний тиск визначається за поршневою теорією О.А. Ільюшина

(4)

де V - швидкість потоку; - показник політропи газу; - відповідно тиск і швидкість звуку у незбуреному потоці газу.

Система рівнянь (3) за відповідних граничних і початкових умов є математичною моделлю задачі про флатер в'язкопружної пологої оболонки. Вона є достатньо загальною, з неї в окремому випадку можна отримати рівняння для пластинки при kx=0, ky=0, для кругової циліндричної оболонки
при kx =0, ky =1/R (R - радіус оболонки), і для сферичної оболонки при
kx=1/R, ky=1/R.

Математична модель задачі флатера в'язкопружної ортотропной пологої оболонки (панелі), отримана на основі інтегральних моделей Больцмана-Вольтерра, в геометрично нелінійній постановці має наступний вигляд:

(5)

,

де - диференціальні оператори; , , , , і - інтегральні оператори з ядрами релаксації відповідно R(t) і ; b, bij - пружні постійні ().

У роботі також розроблені і розвинені математичні моделі в'язкопружних тришарових пологих оболонок на основі інтегральних моделей Больцмана-Вольтерра з використанням теорії пологих оболонок Е.І. Григолюка і П.П. Чулкова.

Системи рівнянь (3) і (5) з відповідними граничними і початковими умовами є математичними моделями задач про нелінійний флатер в'язкопружних елементів тонкостінних конструкцій типу пластин, панелей і оболонок.

Розв'язання систем нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь у частинних похідних (3), (5) при різних граничних умовах і при наявності сингулярних ядер спадковості пов'язане зі значними математичними труднощами. Тому природним способом розв'язання цих систем є дискретизація по просторових змінних і отримання системи розв'язних нелінійних ІДР відносно функцій часу.

У роботі показано, що при побудові дискретної моделі нелінійних задач динаміки спадкової теорії в'язкопружності найбільш ефективним є варіаційний метод Бубнова-Гальоркіна. Переваги цього методу:

- дозволяє розв'язувати складні задачі при будь-яких граничних умовах, для яких відомі координатні функції;

- придатний як для лінійних, так і нелінійних задач спадкової теорії в'язкопружності;

- забезпечує збіжність розв'язків у вигляді функціонального ряду.

У дисертаційній роботі за допомогою методу Бубнова-Гальоркіна при довільних граничних умовах отримані основні розв'язні системи нелінійних ІДР динаміки в'язкопружних систем з сингулярними ядрами виду

(6)

де unm=unm(t), vnm=vnm(t), wnm=wnm(t) - шукані функції часу; , 1, N1klnm, N2klnm, N3klnm; Asklnm, Bsklnm, Csklnm (); D1klnm, D2klnm, Pklnmir, klnm, klnmir - безрозмірні постійні коефіцієнти.

У роботі також за допомогою методу Бубнова-Галеркина отримані основні розв'язні системи нелінійних ІДР задачі про флатер в'язкопружних тришарових елементів конструкцій літального апарату, які мають важливе практичне значення.

У третьому розділі розроблений чисельний метод розв'язання нелінійних звичайних інтегро-диференціальних рівнянь динамічної задачі спадкової теорії вязкопружності з сингулярними ядрами.

Динамічні задачі для в'язкопружних систем типу стержнів, пластин і оболонок після застосування методів Бубнова-Гальоркіна (скінченних елементів, скінченних різниць і т.п.) у загальному випадку зводяться до розв'язання наступних систем ІДР:

(7)

де unm=unm(t), vnm=vnm(t), wnm=wnm(t) - невідомі функції часу; ikl, ikl - неперервні функції в області аргументів; Niklnm, nm, ikl - задані постійні величини ().

У роботі для систем нелінійних ІДР (7) загального вигляду запропоновано чисельний метод, що грунтується на виключенні особливості в ядрі. Інтегруючи систему (7) двічі по t, отримуємо її інтегральну форму у вигляді нелінійних інтегральних рівнянь Вольтера ІІ роду. Покладаючи потім t=ti, ti=it, i=1, 2. (t=const - крок інтерполяції) і замінюючи інтеграли деякими квадратурними формулами, для обчислення uinm=unm(ti), vinm=vnm(ti), winm=wnm(ti) отримаємо рекурентні вирази:

(8)

де Aj, Bs (j=0, 1,, р; s=0, 1,, j) - вузли інтерполяційної формули.

Показано, що похибка методу відповідає похибкці застосованих квадратурних формул і має той же порядок малості відносно кроку інтерполяції (для формули трапеції похибка методу відносно кроку інтерполяції другого порядку, для формули Сімпсона - третього порядку і т.д.).

Далі до системи (6), що описує нелінійні задачі про флатер в'язкопружних систем, застосований чисельний метод, викладений вище. Наступним етапом чисельного методу є регуляризація системи нелінійних ІДР (6) з сингулярними ядрами. За допомогою заміни змінних

, (0<б<1)

інтеграл при ядрі Колтунова-Ржаніцина з особливістю наступного виду

A

приймає вигляд

.

Відмітимо, що після заміни змінних підінтегральна функція відносно z стає регулярною.

Покладаючи потім t=ti, ti=it, i=1, 2. (t=const - крок інтерполяції) і замінюючи інтеграли деякими квадратурними формулами (зокрема, по формулі трапеції), маємо

,

На основі цього методу отримано алгоритм чисельного розв'язання системи (6). Числові значення шуканої функції unm=unm(t), vnm=vnm(t), wnm=wnm(t) при ti=it, i=1, 2. (t=const) знаходяться з рекурентних формул:

(9)

де Aj, Bs - коефіцієнти квадратурної формули трапецій:

Завдяки запропонованому підходу в алгоритмі для чисельного розв'язання задачі у формулі (9) множник при j=p приймає нульове значення, тобто останній доданок суми рівний нулю. Тому сумування здійснюється від нуля до р-1 ().

Таким чином, у відповідності до розглянутого чисельного методу відносно невідомих отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь. Для розв'язання системи використовується метод Гауса.

В роботі також отриманий обчислювальний алгоритм для дослідження задачі нелінійного флатера в'язкопружних тришарових пластин і оболонок.

Перевірка працездатності запропонованого чисельного методу і програм, заснована на розв'язанні тестових прикладів, є необхідним етапом, пов'язаним з підтвердженням достовірності результатів дослідження, отриманих при розв'язанні конкретних задач. Як тестові приклади розглядаються задачі, для яких відомий точний розв'язок. Згідно даним, що наведені у табл. 3, має місце задовільне співпадіння отриманих наближених розв'язків з точними розв'язками, що свідчить про достовірність і високу точність результатів розрахунку.

Тестовий приклад. Тепер розглянемо характерний приклад, що описує окремий випадок системи нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь виду

(10)

з початковими умовами

, (11)

де - відомі функції часу;

Система рівнянь (10) має точний розв'язок , , , який задовольняє початкові умови (11).

Після цього здійснюється регуляризація системи нелінійних ІДР (10) з сингулярними ядрами. Рекурентна залежність (9) для даного прикладу приймає вид

, (12)

,

Тут - коефіцієнти формули квадратури трапецій.

Результати розрахунку за залежностями (12) наведені у табл. 3. З таблиці слідує, що похибка розрахунків, виконаних описаним методом, співпадає з похибкою використаних квадратурних формул і має той же порядок малості відносно кроку інтерполяції.

Працездатність даного чисельного методу і комп'ютерних програм показана і в інших тестових прикладах.

У четвертому розділі дисертації досліджені задачі про нелінійний флатер в'язкопружних пластин. Розглядається нелінійна задача про флатер в'язкопружної прямокутної пластини. Хай пластина із сторонами а і b і товщиною h шарнірно оперта по всьому контуру і обтікається з одного боку надзвуковим потоком газу (рис. 3).

Таблиця 3 Порівняння точних і наближених розв'язків ІДР

t	Розв'язок
	Точний	Наближений
0	1,000000	1,000000	-
1	0,941764	0,941615	1,410-4
2	0,8869420	0,886728	1,910-4
3	0,835270	0,834953	3,110-4
4	0,786627	0,786412	2,110-4
5	0,740818	0,740587	2,310-4
6	0,697676	0,697529	1,410-4
7	0,657046	0,656781	2,610-4
8	0,618783	0,618364	4,110-4
9	0,582748	0,582359	3,810-4
10	0,548811	0,548486	3,210-4

У цьому випадку математична модель задачі являє собою систему нелінійних ІДР виду (4) при kx=0, ky=0. Після використання методу Бубнова-Гальоркіна отримаємо основну розв'язну систему інтегро-диференціальних рівнянь відносно безрозмірних переміщень ukl=ukl(t), vkl=vkl(t) і wkl=wkl(t). Для розв'язання цих систем використовуємо чисельний метод, викладений у роботі. В якості ядра релаксації використано ядро Колтунова-Ржаніцина. Результати обчислень представлені у вигляді таблиць і графіків, які наведено в роботі.

У табл. 4 наведені критичні значення швидкості флатера у залежності від фізико-механічних і геометричних характеристик пластини.

При цьому основна задача полягає у знаходженні критичної швидкості флатера Vкp. Для знаходження критичної швидкості флатера застосовуються різні критерії. В якості критерія, що визначає критичну швидкість флатера, приймаємо умову про те, що при цій швидкості амплітуда коливань змінюється по гармонічному закону. При швидкості V>Vкр відбувається коливальний рух з інтенсивно наростаючими амплітудами, який може призвести до руйнування конструкції. Якщо швидкість потоку менша критичної (V<Vкр), то амплітуда коливань пластинки затухає.

Досліджений вплив в'язкопружних властивостей матеріалу пластинки на критичні значення швидкості флатера. Результати обчислень, представлені у таблиці 4, показують, що розв'язки пружних (А=0) і в'язкопружних (А>0) задач істотно відрізняються між собою. Наприклад, при збільшенні параметра А від нуля до значення 0,1 критична швидкість флатера зменшується на 44,7%.

Таблиця 4 Залежність критичної швидкості флатера від фізико-механічних і геометричних параметрів пластинки

А			?			Vкр(м/с)
0 0,005 0,01 0,1	0,25	0,05	200	1	1	750 602 523 415
0,01	0,1 0,4 0,6	0,05	200	1	1	412 528 563
0,01	0,25	0,1 0,01	200	1	1	520 525
0,01	0,25	0,05	150 180 220	1	1	830 616 410
0,01	0,25	0,05	200	1,8 2,2 2,5	1	552 605 653
0,05	0,25	0,05	120	3	0 1	1285 1540

Із даних табл. 4 видно, що вплив параметра затухання ядра спадковості на швидкість флатера пластинки у порівнянні з іншими реологічними параметрами А і є незначним, що ще раз підтверджує, що експоненціальне ядро релаксації нездатне описати спадкові властивості матеріалу конструкцій. Відзначимо також, що результати розв'язання задачі у в'язкопружному випадку при експоненціальному ядрі релаксації не відрізняються від результатів у пружному випадку.

У табл. 4 також показано вплив геометричних і аеродинамічних нелінійностей на швидкість флатера в'язкопружних пластин. Порівняння отриманих результатів показує, що критична швидкість пластини у лінійній постановці (=0) складає 1285 м/с, а для тієї ж пластини у нелінійній постановці (=1) критична швидкість флатера відповідно дорівнює 1540 м/с. Швидкість флатера з урахуванням нелінійних властивостей у порівнянні з лінійними збільшується на 20%.

На рис.5 наведена залежність прогину w від часу t для різних значень реологічного параметра А при швидкості потоку менше критичної. З цього рисунку також видно, що із збільшенням параметра А амплітуда і частота коливань пластини зменшуються.

Далі у новій постановці досліджена задача про флатер гнучких спадково-деформівних пластинок, які обтікаються у надзвуковому потоці газу під довільним кутом (рис. 6).

Вивчено вплив кута обтікання на поведінку в'язкопружної пластини. Аналіз отриманих результатів показує, що величина критичної швидкості в'язкопружної пластини при збільшенні кута обтікання збільшується. Відзначимо, що при =20 критична швидкість флатера пластинки зростає на 11,14%, а при =36 і 45 цей показник збільшується відповідно на 27,66% і 46,9%.

Досліджено вплив граничних умов, що мають виключно велике практичне значення, на швидкість флатера в'язкопружної пластини. Швидкість флатера при шарнірному опиранні по всіх краях (G1) пластини складає 536, а при шарнірному опиранні по двох краях і защемленні по двох інших (G2) і жорсткому защемленні по всіх краях (G3) ці показники відповідно рівні 871 і 915. Порівняння різних випадків закріплення пластинки показує, що із збільшенням кількості защемлених сторін пластинки критична швидкість і критичний час флатера збільшуються.

Ці результати у пружній постановці при граничних умовах (G1), (G2) і (G3) відповідно дорівнюють 969, 1537 і 1542 (ці значення були отримані у відомих роботах А.А.Мовчана, К.К.Ліванова). Порівняння результатів, отриманих у роботі у в'язкопружній постановці, з результатами у пружній постановці ще раз показують, що в'язкопружні властивості матеріалу приводять до зменшення критичної швидкості флатера.

У всіх розглянутих випадках досліджена чисельна збіжність методу Бубнова-Гальоркіна. При цьому показаний вплив форми прогину пластинки на критичні швидкості флатера. При N=5 критична швидкість складає 1540 м/с (N - число форми прогину пластини), а при N=6 ця швидкість рівна 1595 м/с. Різниця між ними складає 3,5%. Подальше збільшення номера форми прогину пластинки не спричиняє істотного впливу на критичну швидкість флатера.

У цьому розділі також розглянуті задачі про флатер в'язкопружних ортотропних пластин, а також детально досліджені в'язкопружні властивості і нелінійні ефекти.

На основі запропонованого чисельному методу вперше у в'язкопружній постановці вдалося порівняти результати різних теорій (Б - Бергера; К-Л1 - Кірхгофа-Лява (без урахування поширення пружних хвиль); К-Л - Кірхгофа-Лява (з урахуванням поширення пружних хвиль) (табл. 5). Використання моделей Кірхгофа-Лява (без урахування поширення пружних хвиль) і Бергера хоча і дозволяє отримати достатньо точні розв'язки ряду практичних задач, проте у більшості випадків вони є недостатньо повними. У зв'язку з цим виникає необхідність визначення межі застосовності різних теорій при розв'язанні задачі про флатере в'язкопружних пластин у геометрично нелінійній постановці. Порівняння розв'язків проводиться шляхом визначення критичної швидкості флатера пластин (табл. 6). З цієї таблиці видно, що у разі в'язкопружної квадратної пластини результати, отримані з використанням вказаних вище теорій, співпадають. Проте при певних геометричних параметрах пластини результати, отримані по цих теоріях, істотно відрізняються один від одного. У даній постановці задачі найприйнятнішою теорією є класична теорія Кірхгофа-Лява (з урахуванням поширення пружних хвиль).

Таблиця 5 Математичні моделі за різними теоріями

№	Найменування теорії спадкової в'язкопружності	Види конструкції
1	Лінійна	Прямокутна пластина Полога і циліндрична панель Кругова циліндрична оболонка
2	Бергера
3	Кірхгофа-Лява

У роботі також при широких діапазонах зміни геометричних і фізичних параметрів в'язкопружних ортотропних пластин детально вивчено їх вплив на швидкість флатера.

У п'ятому розділі досліджені нелінійні задачі про флатер в'язкопружних панелей і оболонок, які обтікаються надзвуковим потоком газу. Розглядаються задачі про флатер в'язкопружних ізотропних і ортотропних циліндричних панелей і оболонок (рис. 3). Математична модель задачі зводиться до систем нелінійних ІДР у частинних похідних для в'язкопружних ізотропних оболонок виду (3), а для ортотропних, відповідно, (5). Після застосування методу Бубнова-Гальоркіна при заданих граничних умовах для цих систем отримані основні розв'язні рівняння відносно безрозмірних переміщень ukl=ukl(t), vkl=vkl(t) і wkl=wkl(t). Отримані таким чином системи нелінійних ІДР з сингулярними ядрами досліджуються за допомогою чисельного методу, запропонованого в роботі. Проведено розрахунки для в'язкопружних ортотропних панелей стосовно шести марок склопластику:

==5,0129;

g==1,1088,

1=0,3, 2=0,012 (марка 1); =4,8482, g=0,0226, 1=0,26, 2=0,017 (марка 2); = 3,0976; g=0,1549; 1=0,02; 2=0,32 (марка 3); =2,2761; g=0,1398; 1=0,15; 2=0,01963 (марка 4); =2,1467; g=0,1356; 1=0,13; 2=0,023 (марка 5); =1,2389; g=0,1272; 1=0,142; 2=0,0925 (марка 6). Результати розрахунків показують, що критична швидкість флатера (при постійних і ) істотно залежить від властивостей материалу панелі. Тут Е1, Е2 - лінійні модулі пружності, G - модуль зсуву, 1, 2 - коефіцієнти Пуассона.

Далі розглядається в'язкопружна полога прямокутна у плані оболонка, яка обтікається із зовнішньої сторони надзвуковим потоком газу із швидкістю V, серединна поверхня якої є еліптичним параболоїдом (рис. 7). Рівняння цієї поверхні записується таким чином:



де - стріла підйому оболонки.

Таблиця 6 Порівняння результатів, отриманих за різними теоріями

А				?	Vкр
					Б	К-Л1	К-Л
0,0 0,1	0,25	0,05	1	220	1003 537,2	1009 542	1025 549
0,1	1 0,5 0,15	0,05	1	220	993,14 697,34 412,42	997 705 420	1012 719 434
0,001	0,2	0,1 0,2	2,2	250	952,5 944,5	971 964	1043 1036
0,1	0,25	0,05	3,2 2,5 2,2	300	1288 1017 724	1302 1030 736	1575 1196 829
0,001	0,2	0,05	2,2	300 350	826 651	839 709	941 752

Досліджено вплив параметрів f1 і f2. Розрахунки показали, що зі збільшенням стріли підйому оболонки критична швидкість флатера збільшується. Відзначимо, що збільшення значень параметрів f1 і f2 від нуля до 0,04 призводить до зростання Vкр відповідно на 11,4% і 14%.

Далі в роботі розглядається шарнірно оперта, замкнута в'язкопружна кругова циліндрична оболонка з радіусом кривизни R серединної поверхні і довжиною L, яка обтікається із зовнішньої сторони надзвуковим потоком газу зі швидкістю V, яка направлена вздовж твірних (рис. 8).

Слід зазначити, що мінімальній критичній швидкості флатера для кругової циліндричної оболонки відповідає число хвиль в окружному напрямі, рівне шести. При m=6 критична швидкість становить 555 м/с. Число хвиль m залежить також від розмірів і характеристик матеріалу оболонки. Аналогічні дослідження проводилися також для в'язкопружних ортотропних оболонок.

В реальних умовах між поверхнею обшивки літального апарату і оточуючим її надзвуковим потоком є в'язкий пограничний шар. Вивчено вплив пограничного шару на флатер в'язкопружної циліндричної оболонки. Визначені критичні швидкості флатера. У табл. 7 наводяться результати розрахунків для циліндричних оболонок з урахуванням пограничного шару, які обтікаються надзвуковим потоком газу. Досліджено вплив товщини пограничного шару і швидкості течії у дозвуковій зоні на критичну швидкість флатера.

Таблиця 7 Критична швидкість флатера в'язкопружної циліндричної оболонки з урахуванням пограничного шару

А				M	Vкр
0 0,007 0,1	0,25	0,05	0,009	0,4	1180 996 575
0,07	0,12 0,75	0,05	0,009	0,4	661 787
0,1	0,25	0,05	0,001 0,08	0,15	485 753
0,1	0,25	0,05	0,009	0,5 0,8	700 912

У шостому розділі досліджується нелінійний флатер в'язкопружних тришарових пластин і пологих оболонок з несиметричною по товщині структурою, які обтікаються надзвуковим потоком газу (рис. 9). Вивчено вплив параметра , що характеризує згинну жорсткість несучих шарів тришарових пластин. Збільшення цього параметра призводить до зростання критичної швидкості флатера. В окремому випадку швидкість флатера для пружної пластини (А=0) співпадає із результатами роботи А. Смирнова. Цей факт ще раз підтверджує працездатність і ефективність запропонованих методів і комп'ютерних програм.