Теория и расчет лопаточных машин

Размещено на http://www.allbest.ru/

Московский государственный авиационный институт

(технический университет)

Дисциплина

«Теория и расчет лопаточных машин»

Составил доцент кафедры 201

Митрофанов А.А.

Москва 2003

Аннотация

В основу данного учебного пособия положены материалы курса лекций, поставленного в Московском государственном авиационном институте (МАИ) профессором К.В. Холщевниковым, составляющие основу учебника [1] того же автора. Некоторые изменения в содержание и построение второго издания [2] внесены в связи с тем, что в течение периода, прошедшего со времени выхода учебника [1] (1970г.) изменилась трактовка некоторых понятий и методы решения ряда задач. Получено много новых данных по математическому описанию процессов, происходящих в турбомашинах, широкое распространение получили персональные ЭВМ, что позволило существенно расширить применение при проектировании компрессоров и турбин математических моделей, учитывающих такие эффекты, как сжимаемость и вязкость газа, а также пространственный характер течения в полостях турбомашин.

Учебное пособие предназначено для студентов факультета двигателей летательных аппаратов и энергетических установок МАИ. Оно дополняет материалы, изложенные в [8], [9] и вместе с ними отражает содержание курса лекций по дисциплине «Теория и расчёт авиационных лопаточных машин».

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. НАЗНАЧЕНИЕ, КЛАССИФИКАЦИЯ, СХЕМЫ, ПАРАМЕТРЫ ТУРБОМАШИН

1.1 Назначение турбомашин в различных газотурбинных установках

1.2 Классификация турбомашин

1.3 Схемы и основные параметры турбомашин, подводящих энергию к газу. (Компрессоры)

1.4 Лопаточные машины, отводящие энергию от газа. (Турбины)

2. ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ТУРБОМАШИН

2.1 Основные допущения и упрощения, применяемые в теории турбомашин

2.2 Влияние вида движения на параметры потока

2.3 Расчетные модели турбомашин

2.4 Уравнение расхода

2.5 Уравнение энергии

2.5.1 Уравнение энергии в тепловой форме

2.5.2 Уравнение энергии в механической форме (обобщённое уравнение Бернулли)

2.5.3 Уравнение энергии для рабочего колеса турбомашины с учётом потерь вне контрольного пространства

2.5.4 Уравнение энергии для ступени турбомашины

2.6 Уравнение момента, мощности и удельной работы для рабочего колеса турбомашин

2.6.1 Уравнение Эйлера в 1-й форме

2.6.2 Учёт влияния радиального зазора на удельную работу рабочего колеса

2.6.3 Частные случаи записи уравнения момента, мощности и удельной работы

3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ТУРБОМАШИНАХ И ИХ ИЗОБРАЖЕНИЕ В P-V, T-S И i-s диаграммах

3.1 Компрессор

3.1.1 Изображение процесса сжатия в компрессоре в P-V диаграмме

3.1.2 Изображение процесса сжатия в компрессоре в T-S диаграмме

3.1.3 Изображение процесса сжатия в компрессоре в I-S диаграмме

3.2 Турбина

3.2.1 Процесс расширения в турбине в P-Vдиаграмме

3.2.2 Процесс расширения в турбине в T-S диаграмме

3.2.3 Изображение процесса расширения в турбине в i-S диаграмме

4. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ ЛОПАТОЧНЫХ машин

4.1. Коэффициенты полезного действия компрессоров

4.2. Коэффициенты полезного действия турбин

4.3 Связь КПД многоступенчатой лопаточной машины и её отдельных ступеней

4.3.1 Компрессор

4.3.2 Турбина

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ

Дисциплина "Теория и расчет турбомашин транспортных и стационарных ГТУ" изучает рабочий процесс, характеристики и регулирование турбомашин различного назначения. Эти агрегаты являются основными элементами энергетических установок, являющихся силовым двигателем для транспортных систем (самолетов, вертолетов, наземных транспортных средств гражданского и военного применения) и главным узлом газотурбинных установок энергетического машиностроения (тепловых электростанций, газоперекачивающих станций автономного функционирования и т.д.).

Столь широкий спектр применения турбомашин не позволяет иметь единую методику проектирования этих агрегатов, т.к. требования к ним, в частности, связанные с условиями эксплуатации различны. Поэтому при общности рабочего процесса, типов и схем турбомашин специфика применения диктует ряд различий в вопросах газодинамического проектирования и конструктивного воплощения машин разного назначения.

Например, для авиационных двигателей важнейшими требованиями являются:

минимальные габариты и масса,

высокая надежность конструкции,

широкий диапазон рабочих режимов,

высокая эффективность преобразования энергии (КПД), что непосредственно связано с дальностью полета.

Нетрудно заметить, что эти естественные требования в принципе противоречивы. Так, для повышения надежности работы обычно увеличивают толщину стенок элементов конструкции, в частности лопаток, составляющих основу ступеней турбомашин, а это приводит, с одной стороны к повышению массы двигателя, с другой - к снижению КПД и т.д. Для стационарных газотурбинных установок главным является требование высокой эффективности при длительной работоспособности, а такие параметры как масса агрегата интересуют разработчиков с точки зрения металлоёмкости, возможности транспортировки узлов и монтажа.

Приведенные примеры показывают, что подход к выбору схем и параметров элементов турбомашин должен быть во многом различным.

ТУРБОМАШИНАМИ называют такие машины, в которых подвод энергии к рабочему телу (жидкости, газу) или отвод энергии от рабочего тела осуществляется в результате взаимодействия потока рабочего тела с деталями специальной формы расположенными на ободе колеса, называемыми лопатками. Поэтому ТУРБОМАШИНЫ часто называют ЛОПАТОЧНЫМИ МАШИНАМИ.

Предметом изучения в рассматриваемой дисциплине являются турбомашины, в которых рабочим телом является газ. Как известно, газ изменяет объём при изменении давления, поэтому турбомашины, в которых энергия подводится к газу называются КОМПРЕССОРАМИ, а те, в которых энергия отводится от газа принято называть ГАЗОВЫМИ ТУРБИНАМИ.

В основу данного пособия положены материалы курса лекций, читавшегося в Московском государственном авиационном институте (МАИ) профессором К.В.Холщевниковым, составляющие основу учебника [1] того же автора. Некоторые изменения в содержание и построение второго издания [2] внесены в связи с тем, что в течение периода, прошедшего со времени выхода учебника [1] (1970г.) изменилась трактовка некоторых понятий и методы решения ряда задач. Получено много новых данных по математическому описанию процессов, происходящих в турбомашинах, широкое распространение получили персональные ЭВМ, что позволило существенно расширить применение при проектировании компрессоров и турбин математических моделей, учитывающих такие эффекты, как сжимаемость и вязкость газа, а также пространственный характер течения в полостях турбомашин.

Значительные успехи в области исследования рабочего процесса и разработке методов расчета турбомашин были достигнуты не только за рубежом, но и отечественными учеными, конструкторами и коллективами таких организаций, как ЦИАМ, ЦАГИ, конструкторских бюро "Союз", "Сатурн", КБ им.В.Климова, РКБМ и др., учебных заведений - МАИ, ХАИ, СПбГТУ, МГТУ им.. Э.Баумана, ВВИА им. проф. Н.Е.Жуковского и др. Эти материалы нашли отражение в учебниках [2],[3],[4],[5] и др., а также в многочисленных монографиях, статьях и учебных пособиях.

В последние годы появилась практика конверсионного внедрения достижений и разработок, выполненных в одной из отраслей, в смежные отрасли, что требует освещения этих вопросов в учебных курсах, предназначенных для подготовки специалистов в профильных ВУЗ-ах, в частности в МАИ.

Указанными причинами, главным образом, продиктована необходимость издания данного учебного пособия.

1. НАЗНАЧЕНИЕ, КЛАССИФИКАЦИЯ, СХЕМЫ, ПАРАМЕТРЫ ТУРБОМАШИН

1.1 Назначение турбомашин в различных газотурбинных установках

Будем рассматривать только тот круг применения турбомашин (компрессоров и турбин), когда они работают совместно в едином агрегате. Это позволит оставить за пределами объёма изучения случаи изолированного применения как компрессоров, так и турбин в качестве самостоятельных машин, например компрессорных машин с приводом от электродвигателя, турбин, вращающих электрогенераторы и т.д.

В этом случае целесообразно вспомнить термодинамический цикл тепловой машины со сгоранием при постоянном давлении. На рис.1.1. представлен идеализированный цикл и схема турбореактивного двигателя.

Рис.1.1.

Термодинамические процессы в таких машинах происходят последовательно в разных элементах. Рабочее тело (обычно это воздух) засасывается компрессором. В компрессоре давление повышается за счет подвода энергии к воздуху от вращающихся лопаток. Энергия, затраченная на повышение давления от Рв до Рк в P,V-координатах отображается площадью в-Рв-Рк-к, т.е. слева от линии сжатия в-к.. Далее воздух подается в камеру сгорания, где при постоянном давлении подводится тепло за счет химической реакции горения топлива, при этом удельный объём (V) увеличивается и в точке Г начинается процесс расширения газа, который идет по политропе до точки Т с давлением Рт, причем количество энергии, отведенное от газа, отображаемое площадью Г-Т-Рт-Рг, примерно равно энергии, подведенной воздуху в компрессоре. Процесс расширения продолжается в реактивном сопле до точки с, соответствующей давлению Рс, равному давлению на входе в компрессор. Незаштрихованная площадь внутри диаграммы отображает свободную энергию цикла, которая в ТРД выражается в виде тяги.

На рис.1.2 показаны цикл и схема турбовального двигателя вертолета или газотурбинной установки, вращающей ротор электрогенератора. Здесь свободная энергия используется в виде мощности на валу так называемой свободной турбины, т.е. турбины механически не связанной с ротором турбокомпрессорной части установки.

Рис.1.2.

Существует весьма обширный спектр схем ГТУ, основой которых является турбокомпрессор, часто состоящий из нескольких роторов. Однако в любой схеме ГТУ назначение турбомашин аналогичное.

1.2 Классификация турбомашин

Турбомашины различают по ряду признаков принципиального и частного характера. Так, исходя из ранее приведенного определения, турбомашины делятся на подводящие энергию к газу и отводящие энергию. К первым относятся компрессоры, насосы, ко вторым - турбины.

И те и другие имеют единые признаки и соответственно названия в зависимости от направления потока по расходной составляющей скорости:

а) осевые; б) радиальные; в) диагональные;г)комбинированные.

От уровня скорости в проточной части:

а) дозвуковые; б)сверхзвуковые; в) трансзвуковые.

По числу ступеней:

а) одноступенчатые; б) многоступенчатые.

По величине некоторых параметров характеризующих особенности рабочего процесса, в частности, при степени реактивности равной нулю ступень называется "активная", если степень реактивности не равна нулю - "реактивная". По количеству роторов: одно-двух-трёхвальные. В свою очередь компрессоры могут быть одно-двухкаскадные, комбинированные; турбины - с охлаждаемыми и неохлаждаемыми лопатками рабочих колес, биротативные, парциальные и с полным подводом газа к рабочему колесу и т.д.

Ряд названий компрессоров и турбин связан с другими частными признаками, о чем будет говориться в соответствующих разделах курса.

1.3 Схемы и основные параметры турбомашин, подводящих энергию к газу. (Компрессоры)

Компрессоры характеризуются следующими параметрами:

pк* - степень повышения полного давления ;

uk - окружная скорость на периферии лопатки ;

hк*- полезный эффект (коэффициент полезного действия);

В зависимости от величины степени повышения давления лопаточные машины, подводящие энергию к газу разделяют [3] на:

- вентиляторы, если pк* Ј 1,15 (в двухконтурных ТРД вентилятором называют компрессор низкого давления. У него pк* может быть больше 1.15);

- компрессоры, если pк* более 1,15;

Осевые компрессоры

а) Одноступенчатый осевой компрессор. Ступень осевого компрессора состоит из ряда лопаток рабочего колеса (вращающийся лопаточный венец) и ряда лопаток направляющего аппарата (неподвижный лопаточный венец)-на выходе из компрессора. Этот лопаточный венец называют спрямляющим аппаратом, т.к. по техническим условиям поток из компрессора должен иметь осевое направление такой состав имеет обычно сверхзвуковая ступень (Рис.1.3).



Рис.1.3. Рис.1.4.

В дозвуковом одноступенчатом компрессоре перед рабочим колесом обычно устанавливают дополнительный лопаточный венец, называемый "входным" направляющим аппаратом (ВНА) (Рис.1.4.).

Примерные значения основных параметров одноступенчатых компрессоров приведены в таблице 1.

Таблица 1

	pк*	uk	hк*
Дозвуковая ступень	1.2-1,5	300-360	0,88-0,92
Сверхзвуковая	1,5-2,1	420-470	0,82-0,85
Трансзвуковая	1,4-1,7	360-420	0,85-0,87

Достоинства осевых одноступенчатых компрессоров:

-высокий уровень КПД,

-высокая производительность при малых лобовых габаритах,

-простота компоновки в многоступенчатую схему.

недостатки:

-большое число деталей сложной формы,

-относительно узкий диапазон рабочих режимов,

-высокая чувствительность к попаданию посторонних предметов.

б) Многоступенчатые осевые компрессоры.

Простота компоновки осевых ступеней в многоступенчатую схему обусловило широкое распространение осевых многоступенчатых компрессоров в различных газотурбинных и иных установок.

Число ступеней диктуется заданной величиной степени повышения давления. Значение pкS* получают перемножением pкi* в каждой ступени. Многоступенчатым компрессорам присущи достоинства и недостатки одноступенчатых, причем основным недостатком является большое число деталей сложной формы (лопаток). Улучшение характеристик получают применением двухкаскадных схем и средств регулирования.

Радикальные компрессоры

В радиальных компрессорах газ выходит из рабочего колеса от центра в радиальном направлении, поэтому их называют центробежными (ЦБК). Одна из схем, применяемых в авиационных ГТД приведена на рис.1.5.

Рис.1.5.

Видно, что в ступени центробежного компрессора больше составных частей и поток при движении по колесу изменяет направление.

Однако разница окружных скоростей между входом и выходом из колес позволяет получать большие значения pк* одной ступени ЦБК, чем в осевой ступени компрессора. Так, при U к=450-500 м/с можно получить pк* = 5-6.

Поскольку скорость газа на выходе из рабочего колеса очень большая приходится за ним ставить несколько ярусов устройств-диффузоров для того, чтобы снизить кинетическую энергию и преобразовать её в давление. Наличие большого количества элементов не позволяет получать высокие значения КПД в ступени ЦБК. Кроме того, этот компрессор уступает осевому по параметру лобовой производительности.

НЕДОСТАТКОМ центробежного компрессора является трудность компоновки многоступенчатых схем. В этом случае его эффективность резко снижается. В стационарных и наземных установках этот недостаток в значительной степени парируется постановкой промежуточных газоохладителей.

Диагональные компрессоры

Этот тип ступени компрессора занимает по параметрам промежуточное положение между осевой и центробежной.

Схема диагональной ступени компрессора представлена на рис.1.6. Чаще всего такие ступени променяют в сочетании с другими типами, о чём будет сказано ниже.

Рис.1.6

Комбинированные компрессоры

В ряде случаев недостатки и достоинства разных типов ступеней компрессоров можно снивелировать применяя их в разных комбинациях. На рис.1.7 показана схема осецентробежного компрессора, в которой центробежная ступень выполняет роль так называемой дожимной ступени.

Рис.1.7.

Такие решения дают положительные результаты в тех случаях когда, например, в осевом компрессоре при не больших расходах газа и высокой степени повышения давления лопатки последних ступеней становятся соизмеримы с величиной радиального зазора между торцами лопаток и корпусом. КПД компрессора резко снижается и замена нескольких осевых ступеней одной центробежной, при наличии резерва лобового габарита, позволяет повысить суммарный КПД компрессора и уменьшить число лопаток в нём. Такие схемы широко применяются в вертолётных ГТД, а также получают распространение в маршевых авиационных ТВД и ТРДД.

Известны примеры применения этих компрессоров в системах получения сжиженного газа и других промышленных установках

1.4 Лопаточные машины, отводящие энергию от газа. (Турбины)

Рабочий процесс в турбине характеризуется следующими параметрами:

pт* - степень расширения;

Uт ср - окружная скорость на среднем диаметре;

hт* - коэффициент полезного действия;

Тг* - температура газа перед турбиной.

Осевые турбины

а) Одноступенчатые осевые турбины.

Ступень осевой турбины состоит из неподвижного ряда лопаток (соплового аппарата) и рабочего колеса (вращающийся лопаточный венец). Схема ступени турбины представлена на рис.1.8.

Рис.1.8.

Вследствие высокой температуры перед турбиной числа Маха на входе в лопатки рабочего колеса меньше 1,0, несмотря на высокий уровень скорости потока, поэтому турбины ГТУ, как правило дозвуковые.

В лопаточных венцах ступени турбины течение конфузорное, поэтому могут быть реализованы большие, чем в компрессоре степени расширения. Так, в одной ступени турбины pт* достигает значений 2...3,5 при КПД до 0,88...0,92 и Uт ср порядка 320...400 м/с. Температура газа перед турбиной в ГТУ с неохлаждаемыми лопатками рабочего колеса находится в пределах 1100...1350 К, а с охлаждением лопаток рабочего колеса 1400...1700 к.

Достоинства одноступенчатых турбин:

- малые диаметральные габариты при больших расходах

рабочего тела;

- высокий КПД;

простота компоновки в многоступенчатую схему.

Недостатки

- большое число деталей (лопаток) сложной формы;

- высокая стоимость материала и изготовления лопаток из

жаропрочных материалов.

б). Многоступенчатые осевые турбины.

По разным причинам турбины ГТУ и ГТД многоступенчатые. Это объясняется необходимостью срабатывания больших теплоперепадов, простотой компоновки осевых турбин в многоступенчатую схему. В ряде схем ГТУ, например с двухкаскадным компрессором турбина становится, как минимум, двухступенчатой. Кроме того известно, что КПД многоступенчатой турбины, как правило больше, чем в одноступенчатой и может достигать 94%.

Достоинства и недостатки многоступенчатых турбин совпадают с одноступенчатыми.

Радиальные турбины

К радиальным относятся: а)центростремительные, б)центробежные турбины. Схемы таких турбин показаны на рис.1.9.

Рис.1.9

Эти турбины получили распространение в маломощных агрегатах, например, в пневмоинструментах, вспомогательных силовых установках (ВСУ) и турбонасосных агрегатах (ТНА) жидкостных ракетных двигателей (ЖРД), т.е. при ограниченных расходах газа.

а). Центростремительные турбины. Схема центростремительной турбины представлена на рис.1.9а. Видно, что внешне она схожа со схемой центробежного компрессора, но газ течет от периферии рабочего колеса к центру и выходит в осевом направлении. Центростремительные турбины имеют большие габариты, чем осевые, а поскольку газ движется против действия центробежных сил, работа центростремительной ступени практически не превышает работу осевой.

б). Центробежные турбины. На рис 1.9б видно, что лопатки статора и ротора расположены на торцах дисков. Турбина имеет значительные диаметральные габариты, но окружная скорость в них ограничена по изгибным напряжениям в лопатках. Тем не менее такие турбины имеют преимущества перед осевыми при ограниченном расходе газа, когда КПД осевых становится недопустимо низким из-за малой высоты лопаток и очень сильного влияния радиального зазора. Радиальные турбины имеют меньшее число деталей, чем осевые.

2. ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ТУРБОМАШИН

2.1 Основные допущения и упрощения, применяемые в теории турбомашин

В общем случае поток в полостях турбомашины имеет сложный пространственный характер, на который влияет сжимаемость и вязкость газа. Параметры, определяющие физические характеристики газа, такие как показатель изоэнтропы, коэффициент вязкости меняются по мере изменения давления и температуры. Определенное влияние на процесс энергообмена оказывает неравномерность потока в окружном и радиальном направлении, его турбулентность, пульсации, неустановившийся характер течения (нестационарность) и т.д. Кроме того, процесс передачи энергии в турбомашинах подчиняется закономерностям термо-газодинамических процессов и условий сохранения энергии, массы, количества движения и др. В то же время движение частиц газа происходит по законам механики.

Задача комплексного учета перечисленных и других факторов, влияющих на процесс в турбомашине, в настоящее время решена в виде, близком к реальному, для ряда частных случаев ( т.е. получены "точные решения"), в частности, для конфузорных течений в некоторых турбинах, низконагруженных ступеней вентиляторов и т.д. Это стало возможным в связи с внедрением в практику научно-исследовательских и ряда конструкторских бюро мощных современных ЭВМ.

Однако и в этих случаях не обходится без внесения в математическую модель некоторых упрощений и эмпирических данных. Поскольку особенностью рассматриваемой дисциплины является сочетание изучения рабочего процесса в турбомашинах с овладением навыками их газодинамического проектирования, вопросы теории турбомашин рассматриваются с учетом некоторых допущений и упрощений, применяемых при разработке инженерных методов расчета. С другой стороны, за длительный период создания турбомашин ГТУ накоплен значительный теоретическо-экспериментальный материал, обобщение которого существенно сократило и облегчило процесс разработки как турбин, так и компрессоров, параметры и характеристики которых согласуются с техническими условиями с достаточной для практических целей точностью.

Итак, при создании математических моделей инженерных методов расчета при газодинамическом проектировании и методов расчета характеристик обычно принимают следующие допущения:

1) течение в полостях турбомашины осесимметричное;

2) поток газа (жидкости) в полостях турбомашины установившийся.

ПЕРВОЕ допущение подразумевает, что во всех точках на окружности рассматриваемого радиуса с центром на оси вращения ротора параметры потока одни и те же. Это значит, что фактически не учитывается "загромождение" сечения опорами-пилонами и лопатками, а учет аэродинамических следов за телами в определенных математических моделях отсутствуют. На этом допущении основана математическая модель, позволяющая определять проточную часть турбомашины в меридиональном сечении и некоторые методы расчета характеристик. В таких математических моделях используются параметры, осредненные по сечению с соблюдением принятых условий соответствия реального (неравномерного) и осредненного (равномерного) потоков.

ВТОРОЕ допущение требует более обстоятельного рассмотрения. Предварительно следует обратить внимание на то, что в разных элементах кинематические характеристики потока различны. Так, в неподвижных элементах имеет место только абсолютное движение частиц или элементарных масс потока.

Рассмотрим это с использованием рис.2.1, где приведена схема диагональной ступени компрессора.



Рис.2.1.

Частица А, двигаясь по линии тока проходит через различные полости:

- в межлопаточном канале неподвижного направляющего аппарата (НА);

- в осевом зазоре между лопатками НА и рабочего колеса (РК);

межлопаточные каналы рабочего колеса, двигаясь вдоль оси и вращаясь вместе с колесом;

- в осевом зазоре между рабочим колесом и неподвижным лопаточным аппаратом за ним;

- в межлопаточном канале выходного аппарата.

Рассмотрим векторную диаграмму для частицы А в осевом зазоре за НА. В меридиональной плоскости частица движется по криволинейной траектории, наклонной к оси. Следовательно меридиональная скорость Сm 0будет иметь осевую Сa и радиальную Сr составляющие скорости, т.е. Сm2 =(Сa2 + Сr2 ), причем вектор скорости Сm направлен по касательной к линии тока.

Если рассечь НА цилиндрической поверхностью, на которой расположена точка А, можно видеть сечение лопаток, отклоняющих поток в окружном (тангенциальном) направлении, а скорость имеет составляющую Сu. Векторная диаграмма в плоскости, касательной к цилиндру представлена на рис. 2.1 б).

Совмещая векторные диаграммы на рис. 2.1а, 2.1б, получается пространственная векторная диаграмма, отражающая мгновенную кинематическую картину для точки А (рис. 2.2). Таким образом результирующая скорость С частицы А является диагональю параллелепипеда.

В межлопаточном канале рабочего колеса частица продолжает двигаться по поверхности тока и одновременно вращается вместе с колесом, что приводит к появлению движения относительно лопаток.

Рис.2.2.

В этом случае абсолютная скорость является суммой переносной (окружной) и относительной (по отношению к колесу) скоростей, С = U + W.

Это равенство можно отобразить в виде плана скоростей для частицы, участвующей в сложном движении ( см. рис. 2.3)

Рис.2.3.

План скоростей пространственной мгновенной картины будет расположен в диагональной плоскости параллелепипеда, как это показано на рис. 2.4.



Рис.2.4.

Следует отметить, что проекции разных компонент скорости имеют некоторые особенности, в частности,

Cm = Wm; Cr = Wr ; Ca = Wa , а Cu = U + Wu, где U = wr.

Учитывая вышесказанное, рассмотрим насколько подробнее допущение об установившемся характере течения в полостях лопаточной машины

В ОТНОСИТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ в межлопаточном канале при равномерном вращении колеса независимо от времени частицы движутся по своим линиям тока определяемым положением линии тока по отношению к поверхностям лопаток, следовательно течение -УСТАНОВИВШЕЕСЯ.

Примечание1: по ширине канала в различных точках на данном радиусе частицы движутся с разными скоростями, однако в расчетах часто пользуются осредненными значениями скоростей.

В ПЕРЕНОСНОМ ДВИЖЕНИИ на рассматриваемом радиусе при равномерном вращении течение также УСТАНОВИВШЕЕСЯ.

В АБСОЛЮТНОМ ДВИЖЕНИИ частицы переходят с одной линии тока на другую поэтому движение - НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ.

На рис.2.5 схематично показаны траектории частиц в разных видах движения в решётке рабочего колеса осевой турбины.



Рис.2.5.

Примечание 2: в действительности через неподвижную точку пространства в абсолютном движении параметры потока колеблются с частотой прохождения межлопаточных каналов. Обычно параметры в пределах одного периода колебаний осредняют и тогда можно считать течение в абсолютном движении установившимся, что существенно упрощает решение многих практических задач. В теории тепло-энергообмена показывается, что если бы в действительности абсолютное движение было установившимся, то не было бы передачи энергии от лопаток к газу и наоборот.

2.2 Влияние вида движения на параметры потока

лопаточный турбомашина компрессор

Статические давление, температура и плотность - термодинамические параметры, т.е. скалярные величины и поэтому их величина не зависит от вида движения. В адиабатическизаторможенном потоке значения указанных параметров будут различаться в зависимости от рассматриваемого вида движения.

Обозначая заторможенные параметры с верхним индексом (*), а относящиеся к относительному и абсолютному движению нижними индексами (w) и (c) соответственно можно записать:

Тс* = Т + С2/2ср ь

Тw* = Т + W2/2ср ю

Решая относительно Т, можно получить связь температуры в абсолютном и относительном движениях:

Тс* = Тw* + (C2-W2) /2cр или Тw* = Тс* - (C2-W2) /2cр ,

откуда видно, что С № W и Тc* № Т*w .

2.3 Расчетные модели турбомашин

В зависимости от задач, решаемых при проектировании турбомашин, рабочий процесс рассматривается с разной степенью детализации. Например, если необходимо решать вопросы энерго и массообмена в комплексе определения и выбора параметров ГТУ, то нет необходимости рассматривать обтекание лопаток в отдельных лопаточных венцах. Турбомашина в данном случае является "черным ящиком", через который проходит некоторая масса рабочего тела (жидкость или газ), к которой подводится или отводится энергия в результате чего заданное изменение параметров на границах происходит с некоторой потерей энергии в процессе взаимодействие потока рабочего тела и лопаток. Здесь нет необходимости привязывать процесс к каким-либо координатам и такую модель можно назвать "НОЛЬМЕРНОЙ".

При газодинамическом проектировании и расчете характеристик турбомашин также целесообразно различать уровень детализации рабочего процесса. Причем, теорию турбомашин в принципиальном смысле составляют закономерности, изученные ранее в механике и термо-газодинамике сплошной среды, со всеми, характерными для этих наук гипотезами и выводами. В частности, подразумевается, что рабочее тело состоит из материальных тел, которые непрерывно и сплошным образом заполняют все пространство проточной части турбомашины, для него справедливы принципы сохранения, равновесия и т.д. Поэтому в теории турбомашин, также как и в указанных задачах различают уровни математических моделей по числу координат, использующихся на рассматриваемой стадии проектирования и оценки свойств турбомашин.

В "ОДНОМЕРНЫХ" расчетных (математических) моделях принято использовать параметры потока, осредненные определенным образом в поперечных сечениях (как правило вдоль оси вращения машины), так что параметры потока зависят только от одной координаты z(a). В рамках одномерной модели определяется соотношение термодинамических параметров при движении потока газа (жидкости) от входа к выходу, например, оценивается изменение давления, температуры, плотности и т.д., с применением термодинамических процессов и связей, диаграмм и с учетом изменения теплофизических свойств среды. Здесь же возможна оценка эффективности рабочего процесса (КПД) турбомашины. В пределах одномерной модели можно провести сравнение и выбрать тип турбомашины для конкретных целей. Для решения этих задач будут использоваться уравнения:

1.) неразрывности (расхода);

2.) энергии в тепловой форме;

3.) энергии в механической форме (уравнение Бернулли),

4.) количества движения (для определения осевых сил,

действующих на опоры ротора турбомашины).

ПРИМЕР: С помощью известного уравнения неразрывности,

записанного с использованием осредненных значений скорости

движения газа вдоль оси компрессора и плотности газа в

контрольных сечениях можно оценить высоту лопатки на выходе из

многоступенчатого компрессора при заданном расходе и степени

повышения давления.

Gв=Gк= rв ср Сав ср Fв = rк ср Сак ср Fк .

Если принять Сав ср= Сак ср, то Fk = (rв ср Сав ср Fв)/ (rк ср Сак ср).

Т.к. давление на выходе из компрессора больше, чем на входе и, следовательно rк ср > rв ср , то Fk < Fв . Если у компрессора средний диаметр постоянный, то

hk=Fk/p Dср [м].

При проектировании лопаточной машины и рассмотрении вопросов, связанных с исследованием путей совершенствования рабочего процесса одномерная модель неприемлима. Тогда рассматривают ДВУМЕРНУЮ МОДЕЛЬ взаимодействия потока с лопатками. В этом случае течение рассматривается между осесимметричными поверхностями тока (S), располагающимися на расстоянии Dr, причем эта величина изменяется в направлении движения в соответствии с изменением параметров потока в связи с энергообменом в пределах данного элемента ступени и, строго говоря, следует учитывать изменение толщины слоя.

Поверхность тока, в общем случае, имеет произвольную форму. Для осевых ступеней поверхность тока близка к цилиндрической.

Принимая Dr®0, и разворачивая сечение, например, для ступени осевого типа на плоскость получают вид лопаточных венцов ступени на данном радиусе, причем число лопаток становится бесконечным и ступень представляется в виде нескольких рядов лопаток, в каждом из которых течение можно считать зависящим от двух координат (рис.2.6).



Рис.2.6

В двумерной постановке течение становится плоским, появляется возможность рассмотрения кинематических характеристик потока, анализировать процесс взаимодействия потока с лопатками и искать форму лопаток и комплекс геометрических параметров решеток, обеспечивающих энергообмен с минимальными потерями при заданной нагрузке на решетку. Используя известные уравнения, например, о моменте количества движения может быть получена связь величины подведенной (или отведенной) энергии в элементарной ступени, с кинематическими параметрами потока. В то же время соотношения, полученные при использовании двумерной модели справедливы только для данной поверхности тока, но не дают представления о связи течения в отдельных сечениях между собой. Картину течения по высоте лопатки можно получить, если считать, что лопаточный венец является совокупностью бесконечного количества элементарных сечений от корня лопатки до периферийного сечения. В этом случае пространственный характер взаимодействия потока и лопаток представляется в виде КВАЗИТРЕХМЕРНОЙ модели .В реальном пространственном потоке слои рабочего тела связаны между собой достаточно сложными процессами, учет которых возможен при рассмотрении взаимодействия потока с лопатками в ТРЁХМЕРНОЙ модели течения, с учетом инерционных, вязкостных и других эффектов. Очевидно, что трехмерная модель наиболее полно отражает реальный процесс и ей следует отдавать предпочтение при решении задач проектирования турбомашин.

В то же время это самая громоздкая и трудоёмкая модель, позволяющая получить данные о пространственном облике лопаточного венца, вплоть до рабочего чертежа лопатки, что не всегда требуется.

Упрощенный подход к решению задач пространственного течения в ступени турбомашины предложил Н.Е.Жуковский. В соответствии с его идеей реальное течение сводится к двум двухмерным задачам о течении в слоях, образуемых поверхностями тока S1 и S2 [2], схематически представленых на рис. 2.7.

Рис. 2.7

На практике принято рассматривать «прямую» и «обратную» задачи.

Прямая задача - определение параметров потока при заданной геометрии лопаточного венца (в двух- или трёх-мерном представлении).

Обратная задача - определение геометрических параметров лопаточного венца при заданных параметрах потока.

Поскольку на начальной стадии газодинамического проектирования геометрические параметры лопаточных венцов не известны, то задачу как в двухмерной, так и в трёхмерной модели обычно решают методом последовательных приближений.

При разработке турбомашин широко используются различные расчетные модели. Применение ЭВМ позволило раздвинуть область применения двух- трехмерных моделей, однако при оценочных расчетах и при формировании облика турбомашин нередко обходятся одно- двухмерными моделями.

2.4 Уравнение расхода

Уравнение расхода (неразрывности) для струйки тока рассматривается в фундаментальных курсах механики жидкости и газа. Применительно к турбомашинам это условие сохранения массы при движении жидкости (газа) применяется как при рассмотрении всей турбомашины, так и при анализе течения в элементах.

При установившемся течении секундный массовый расход газа через поперечное сечение элементарной струйки постоянный.

Если сечения нормальны к оси струйки то уравнение неразрывности запишется следующим образом:

DG= r1С1DF1n= r2 C2 DF2n , (2.1)

где DF1n и DF2n - площади элементарной струйки, нормальные к оси струйки. Если сечения не перпендикулярны оси струйки, то нужно рассматривать нормальную составляющую скорости в этом сечении

Cn = C sin a, а уравнение неразрывности запишется:

DG= r1C1nDF1=H=r2C2nDF2 (2.2)

В турбомашинах нормальная составляющая скорости есть проекция на ось машины, тогда в (2.2) C1n=C1a ;C2n=C2a .

Используя осредненные параметры, (2.2) можно записать в виде

G = r1C1aF1 = r2C2aF2 (2.3)

При известных эпюрах изменения параметров по площади сечения уравнение неразрывности записывается в интегральной форме:

G = ( тF rCadF)1 = (тF rCadF)2 (2.4)

Выше рассматривалось, как с использованием уравнения неразрывности можно оценить высоту лопатки на выходе из осевого компрессора, т.е. применяя одномерную модель машины. В этом случае применяют самые простые способы осреднения параметров в контрольных сечениях и задача решается достаточно просто.

В двумерных, а особенно в трёхмерных моделях параметры, входящие в уравнение расхода, записанное в той или иной форме, должны осредняться с учетом специфики конкретной задачи и с выполнением более полных требований теории осреднения параметров .

При расчетах турбомашин широко применяют уравнение расхода, записанное в заторможенных параметрах с использованием газодинамической функции плотности тока q(l):

G = m P* q(l)sin aF/ Ц`T* (2.5)

2.5 Уравнение энергии

2.5.1 Уравнение энергии в тепловой форме

Рассмотрим энергетический баланс потока входящего и выходящего из некоторого элемента, расположенного между сечениями 1-1 и 2-2, (рис.2.8).



Рис.2.8

Обозначая полный запас энергии газа в сечении 1-1 через Е1, а в сечении 2-2 через Е2, предположим, что к газу подведена (или отведена) внешняя энергия Евн в механической (Lвн) и тепловой (Qвн) форме.

Примем, что Евн подведена, т.е. имеет знак «+», тогда:

Е1 + Евн = Е2 (2.6)

При установившемся движении расходы газа через сечение 1-1 и 2 равны, тогда все члены уравнения сохранения энергии можно представлять отнесенными к 1 кг газа. Полная энергия 1 кг газа в каждом сечении состоит из внутренней энергии CvT, потенциальной энергии p/r и энергии положения gH, следовательно:

Е = СvT+ P/r + C2/ 2 + gH (2.7)

Пренебрегая изменением энергии положения, запишем уравнение

(2.6) с учетом (2.7):

CvT1 + P1/r1 + C12/2 + Lвн + Qвн = CvT2 + P2/ r2 + C22/2 (2.8)

Поскольку P/r = RT, а СvT + RT = CpT , (2.8) можно записать, решая относительно Lвн:

Lвн = Сp ( T2 - T1) + ( C22 - C12 )/2 + Qq (2.9)

Т.к. Ср Т = i (i- энтальпия газа), то после преобразований получаем

Qвн = (i2 - i ) + (C22- - C12)/2 + Qq (2.10)

Это выражение называют УРАВНЕНИЕМ ЭНЕРГИИ В ТЕПЛОВОЙ ФОРМЕ, или в ФОРМЕ ТЕПЛОСОДЕРЖАНИЙ.

Уравнение (2.10) соответствует случаю, когда энергия подводится к газу, что имеет место в компрессоре.

Тогда Lвн = Нт ,

где Нт - удельная работа, подведенная к газу, называемая ТЕОРЕТИЧЕСКИМ НАПОРОМ.

Согласно (2.10) Hт =( i2- i1 ) + ( C22 - C12)/2 + Qq , (2.11)

или Нт= Ср(Т2 - Т1) + ( С22 - С12)/2 + Qq .(2.12)

Применяя заторможенные параметры можно записать:

Нт = Ср (Т*2 - Т*1) + Qq = ( i*2 - i*1) + Qq (2.13)

Для турбины уравнение энергии в форме теплосодержаний имеет вид:

Lu = Cp(T1 - T2) + ( C12 - C22)/2 - Qq (2.14)

или в заторможенных параметрах:

Lu = Cp (T*1 - T*2) - Qq = ( i*1 - i*2) - Qq (2.15)

Lu называют ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ РАБОТОЙ ТУРБИНЫ.

2.5.2 Уравнение энергии в механической форме. (Обобщённое уравнение Бернулли)

Согласно 1 закона термодинамики тепло, которым обладает выделенная масса соответствует внутренней энергии и тепла, соответствующего работе сил давления, т.е.

Q = Cp( T2 - T1) - т12 dP/r , (2.16)

с другой стороны тепло, сообщенное газу складывается из тепла, выделенного в результате потерь трения минус тепло, отведенное во вне,

т.е. Q = QRk- Qq, а т.к. QRk = LRk , то

Q = LRk - Qq (2.17)

Сопоставляя (2.16) и (2.17) можно записать:

Q = Lrk - Qq = Cp(T2 - T1) - т12dP/r , (2.18)

Из уравнения энергии в форме теплосодержаний

СP(T2- T1) = Hт - Qq - ( C22 - C12)/2 (2.19)

Приравнивая правые части и решая относительно Нт получим:

Нт = т12 dP/ r + (C22- C12)/2 + LRk - для компрессора (2.20)

Lu = т21 dP/ r + (C12- C22)/2 - LRk - для турбины (2.21)

Эти выражения называют уравнением энергии в механической форме

(форма Б) или обобщенным уравнением Бернулли.

Применим эту форму уравнения к насосу.

Для жидкости

т12dP/r = (P2 - P1)/r , т.к.. r1 = r2= r (2.22)

тогда НТ = (Р2 - Р1)/r + (C22 - C12)/2 + LRK (2.23)

Если переписать это выражение в виде:

P1/r + C12/2 = P2/r + C22 /2 + LRk - HT ,

т.е. получено известное в гидродинамике уравнение Бернулли.

2.5.3 Уравнение энергии для рабочего колеса турбомашины с учетом потерь вне контрольного пространства

Теоретическая работа не является идеализированной величиной. Она учитывает потери LRk, сопровождающие течение реального рабочего тела внутри выделенного контрольного пространства, т.е. при обтекании лопаток . Однако, в рабочем колесе всегда существует радиальный зазор, а лопатки располагаются на ободе диска, поэтому в уравнение энергии необходимо включить потери в радиальном зазоре Lзаз и на трение о диск Lf.

Обозначая, в частности в компрессоре, через Lk всю работу, затраченную на сжатие и гидравлические потери и полагая, что Lзаз и Lf равномерно распределяются между линиями тока по всей высоте лопаточного венца получим:

Lk = НT + Lзаз + Lf = т12 dP/r + (С22 - С12)/2 + LRK + Lзаз + L f (2.24)

Для осредненных значений параметров потока на среднем радиусе лопаточного венца* уравнение энергии для рабочего колеса совпадает с его видом для струйки тока, но это требует написание параметров с индексом «ср». В дальнейшем этот индекс будем опускать.

В многоступенчатом компрессоре

L k = 1Sz L k i(2.25)

* ПРИМЕЧАНИЕ: средним радиусом лопаточного венца компрессора по ГОСТ-у является радиус окружности, делящей площадь кольцевого сечения на две равные части, а в турбине - радиус, делящий высоту лопатки пополам. Однако, для простоты, будем считать и в компрессоре средний радиус также , как в турбине.

В ТУРБИНЕ с учетом потерь вне контрольного пространства

уравнение энергии примет вид:

LT = т12dP/r + (C12-C22)/2 - LRk - Lf - Lзаз (2.26)

2.5.4 Уравнение энергии для ступени лопаточной машины

а) ОСЕВОЙ КОМПРЕССОР

Поскольку ступень осевого компрессора включает в себя два элемента: рабочее колесо, расположенное между сечениями 1 и 2 (рис.2.6) и направляющий аппарат (НА) между сечениями 2 и 3, то следует выяснить роль НА в работе сжатия ступени.

Уравнение энергии для НА запишется в виде:

Нт на = 0 = т23dp/r + (C32 - C22)/2 + LR на (2.27)

Отсюда можно найти изменение статического давления в НА, произошедшее за счет изменения кинетической энергии:

(С22 - С32)/2 = т23dP/r + LR на (2.28)

Взяв уравнение энергии для рабочего колеса компрессора (2.20), прибавим и вычтем из него отношение С32 :

Нт = т12dP/r + LR k + C22/2-C12/2+C32/2 -C3/2 ,

перегруппируя члены, получим:

Нт= т12dP/r+ LRk +(C32-C12)/2+(C22-C32)/2 ,

заменяя последний член из (2.28) получим:

Нт=т12dP/r+LRk+(C32-C12)/2+т23dP/r+LRна ,

объединяя интегралы и обозначая Lrk + LR на = LR запишем:

Н= т13 dP/r + LR + (C32-C12) (2.29)

Уравнение энергии в форме теплосодержаний будет иметь вид:

Нт = Ср (Т3 - Т1) + Qq + (C32-C12)/2 (2.30)

б) Для ОСЕВОЙ турбины в механической форме:

L u= т20 dP/r - LR + (C02-C22)/2 (2.31)

В форме теплосодержаний:

L u = Cp (T0 - T2) - Qq + (C02-C22)/2 (2.32)

2.6 Уравнение момента, мощности и удельной работы для рабочего колеса турбомашины

2.6.1 Уравнение Эйлера в 1-й ФОРМЕ

Ранее отмечалось, что сообщение энергии газу,или отбор её в турбомашинах осуществляется за счет взаимодействия потока с лопатками, расположенными на ободе диска, который врашается вокруг оси . К валу подводится или отводится мощность. Её величина может дыть определена, если известна угловая скорость вращения и момент, приложенный к валу:

N = w M (2.33)

Момент, переданный массе газа, или отведенный от него можно определить рассматривая силовое взаимодействие потока и лопаток с использованием теоремы Н.Е .Жуковского о подъёмной силе крыла или системы крыльев (решетки), что требует точных данных о геометрических параметрах лопаток, которых на стадии проектирования обычно ещё нет.

С другой стороны, его можно определить, если иметь возможность сравнить момент количества движения массы газа (жидкости), протекающий через некоторый контур.

Применительно к элементарной массе, согласно теореме о моменте количества движения, производная по времени от момента количества движения частицы массой Dm относительно какой-либо оси равна равнодействующей моментов всех внешних сил, приложенных к данной массе, т.е. :

 (2.34)

Если применить эту теорему ко всей массе жидкости, находящейся в каналах рабочего колеса,то её можно сформулировать следующим образом: «Изменение момента количества движения жидкости, протекающей через выделенный контур равно сумме всех моментов внешних сил, приложенных к жидкости, находящейся в межлопаточных каналах рабочего колеса.»

Проведем контрольную поверхность эквидистантно контуру рабочего колеса так, чтобы она плотно прилегала к нему, как это показано на рис. 2.9.

Рис.2.9

Для твердых частиц, составляющих конструкцию колеса момент количества движения можно записать в виде:

тв DMтв , (2.35)

где u = wr , а w - угловая скорость вращения колеса.

Суммируя момент количества движения всех частиц, находящихся в выделенном контуре, получим:

Sm+SSDM (2.36)

В правой части сумма моментов внешних сил состоит из момента, подведенного к валу ( Мz) на участке d-d и из момента сил трения на поверхности диска и бандажа рабочего колеса ( М f), действующего против направления вращения. В эту сумму не входят силы внутреннего трения и давления, т.к. при сложении они взаимоуничтожаются.

Учитывая вышесказанное и обозначив S DM = М, запишем:

М = М z - М f (2.37)

Момент, приложенный к валу компрессора имеет положительный знак

М = М z - Мf (2.38)

в турбине, где момент отводится от вала - он отрицательный, т.е.

- M = - M z + M f , (2.39)

но поскольку в турбине Mz >M f, (M f » 10% Mz), суммарный момент внешних сил также всегда отрицательный. Рассмотрим левую часть уравнения (2.36). Поскольку принято, что движение установившееся, w = const, то

S= 0 (2.40)

Таким образом получаем, что момент внешних сил равен изменению момента количества движения частиц, находящихся в межлопаточных каналах рабочего колеса

S D M= SDm (2.41)

Момент количества движения изменяется:

1. потому, что частицы в мгновенной картине течения двигаются по определённой линии тока (конвективное изменение);

2. из-за неустановившегося течения в абсолютном движении, что отображается производной по времени момента количества движения.

Имея ввиду, что за некоторое время масса жидкости, находящаяся между поверхностями а-а/ и b-b/ изменит момент количества движения. Разность момента количества движения жидкости, проходящей через входное и выходное сечение рабочего колеса может быть записана в интегральной форме (с учётом осредненных по сечениям параметров) в виде:

М = Сu2 r2 dG - Сu1 r2dG , (2.42)

где dG = Dm1/ dt = Dm2 / dt при Dm1= Dm2 .

Переходя к суммарному расходу через колесо и имея ввиду осредненные по высоте лопаток значения Сu1 и Сu2, можно записать для компрессора

В компрессоре момент количества движения частиц газа M = Mкт называют ТЕОРЕТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ, сообщенным газу, а Mz=Mk моментом, подведенным к валу и затраченному на сообшение газу теоретического момента с учетом потерь на трение газа о диск ,

тогда

M k = Mкт + M f . (2.43)

Мкт = G(Сu2 r2 - Cu1r1) (2.44)

В турбине момент количества движения жидкости протекающей через выделенный контур уменьшается, тогда по выражению (2.37) величина М будет отрицательна. её называют ТЕОРЕТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ, отобранным от газа в ТУРБИНЕ, тогда - М = - Мu и выражение (2.42) в осредненных параметрах для турбины будет :

- M u = G(C u2r2 - Cu1r1), (2.45)

но т.к. в турбине Сu1 > Cu2 , то в скобке будет отрицательная величина.

Тогда минусы в обоих частях равенства сократятся, а для того , чтобы в скобках получившаяся разность стала положительной, условились считать В ТУРБИНАХ проекцию абсолютной скорости на окружную, направленную против окружной скорости - положительной, тогда выражение (2.48) записывается в виде:

Мu = G(Cu1r1+ Cu2r2) (2.46)

У турбин обычно a2< 900 ( см. план скоростей на рис.1.8), поэтому принятое положительное направление Сu2 позволяет правильно определять величину в скобках.

Таким образом, на основании уравнения о моменте количества движения получены выражения, связывающие удельную работу, затраченную на сжатие газа в компрессоре (2.44) и отобранную у газа в турбине (2.46) в результате взаимодействия потока с лопатками.

Известно, что момент связан с мощностью на валу через угловую скорость:

Мw = N [вт ], (2.49)

тогда с учётом того, что wr = u

в компрессоре:

Nкт = Nk + Nf = G(Сu2 u2 - Cu1 u2) ь

в турбине: Nu = Nт + Nf = G(Cu1u1+ Cu2u2). ю

Отношение мощности к расходу называют удельной мощностью или работой, подведенной или отведенной от одного килограмма рабочего тела.

В компрессоре её называют ТЕОРЕТИЧЕСКИМ НАПОРОМ и обозначают соответствии с ГОСТ-ом Нт

Н т= Lk - Lf = Сu2 u2 - Cu1 u1, (2.51)

где Lk - удельная работа, затраченная на сжатие газа в компрессоре.

В ТУРБИНЕ удельную теоретическую работу обозначают Lu:

Lu= L т + L f = C u1u1+ Cu2u2 , (2.52)

где L т - удельная работа переданная от газа валу турбины.

Размерность удельной работы : Дж/кг, или в основных единицах м2/с2.

В теории турбомашин выражения (2.51) и (2.52) называют уравнениями Эйлера в 1-й форме..

Видно, что уравнения Эйлера позволяют вычислять теоретическую работу по компонентам планов (треугольников) скоростей (рис. 1.3, 1.8).

ПРИМЕЧАНИЕ 1. «Теоретическая» работа не идеализированное понятие. В неё входят все гидравлические потери внутри контрольного пространства.

ПРИМЕЧАНИЕ 2. В приведенных выше формулах величины Сu1 и Cu2 являютсяя осредненными по шагу решетки на рассматриваемом радиусе, но без учёта полей скоростей по высоте лопаток. Влияние неравномерности полей параметров по высоте лопаток принято учитывать введением поправки W, называемой в компрессоре коэффициентом затраченной работы, а в турбине - коэффициентом уменьшения работы, т.е. в действительности

в компрессоре HктW = Hкт

в турбине Hu W = Hu

Величина W < 1 и @ 0,97-0,98.

2.6.2 Учёт влияния радиального зазора на удельную работу рабочего колеса

Поскольку между торцом лопаток рабочего колеса и статором всегда есть радиальный зазор, то часть газа проходит за пределами контрольного пространства и не участвует в получении полезного эффекта, т.е. является потерянной.

В КОМПРЕССОРЕ течение схематически показано на примере осевой ступени (рис.2.10а).



Рис.2.10

Видно, что энергию нужно подводить к расходу Gk, причем,

Gk = Gв+Gзаз ,(2.54)

т.е. если Gв - расход, идущий потребителю, то энергия подводится к расходу, превышающему его за счет того, что часть расхода возвращается на вход в колесо через зазор из-за того, что давление за рабочим колесом компрессора больше, чем на входе.

Имея ввиду, что удельная работа есть Nк / Gв , то обозначая Nк' действительную мощность, затраченную на создание напора в компрессоре запишем:

Nк'=Gк Н т W + Nf , или с учетом (2.54):

Nк' /Gв= Lк'= (Gв+Gзаз)/ Gв)НтW + Nf/ Gв ,

следовательно получаем:

 Lк `= Нт' + (Gзаз / Gв)НтW + Lf = Hт' + Lзаз + Lf ,(2.55)

где Lзаз = (Gзаз / Gв)НтW ,

т.е. действительная мощность, затраченная на вращение колеса компрессора больше мощности , затраченной на повышение давления газа с расходом Gв , на величину Lзаз .

В ТУРБИНЕ в соответствии со схемой течения в осевой ступени, приведённой на рис. 2.9б расход газа, у которого отобрана энергия в лопаточном венце рабочего колеса,

G т = Gг - G заз(2.56)

Поскольку действительная мощность, полученная на валу турбины, с учётом неравномерности поля скоростей по высоте лопатки , получим:

Nт'= GтLu' - Nf .

Разделив на расход газа через турбину Gг, запишем

Nт' / Gг= Lт'= (Gт Lu' W )/ Gг - Nf / Gг =[(Gг - Gзаз) Lu' W ] / Gг - Lf

Lт' = Lu' - Lзаз - Lf , (2.57)

где (Gзаз Lu' W ) / Gг = Lзаз.