Кинематика рычажных механизмов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кинематика рычажных механизмов

Кинематический анализ механизмов в общем случае предусматривает решение следующих задач: 1) определение положений звеньев и построение траекторий движения точек; 2) определение скоростей ? точек и угловых скоростей ? звеньев; 3) определение ускорений аточек и угловых ускорений ? звеньев; 4) определение передаточных отношений i.

Эти задачи могут быть решены аналитическим, графоаналитическим и графическим методами. Выбор метода зависит от требуемой точности решения и целевого назначения расчета. Последние два метода уступают по точности первому, однако они наглядны и сравнительно просты.

Аналитические методы кинематического анализа

Для достижения высокой точности кинематического исследования применяют аналитические методы, которые в общем случае сложны и требуют громоздких вычислений. Для этих целей составляют условия замкнутости всех контуров механизма, рассматриваемых как векторные многоугольники. Исходными данными для реализации решения служат структурная схема механизма, представленная в прямоугольной системе координат, и аналитическая зависимость изменения обобщенной координаты, определяющая положение входного звена. Например, при равномерном вращении кривошипа (=const) .Используя геометрические соотношения замкнутой цепи, получают зависимость положения выходного звена в функции обобщенной координаты входного звена. Например, для составления уравнения движения точки B кривошипно-ползунного механизма (рис. 1.8) выберем систему координат с началом в точке В_о, соответствующей крайнему левому положению ползуна (когда точка В удалена от центра вращения кривошипа на максимальное расстояние). За переменный параметр примем угол поворота кривошипа от крайнего левого положения (от точки А_о).

Рис. 1.8. Определение перемещения точки В механизма

Перемещение s_B точки В, соответствующее повороту кривошипа на угол ?:

(1.5)

Из треугольников BAD и OAD имеем

,

Откуда

,

, (1.6)

где - параметр кривошипно-ползунного механизма.

Решая совместно выражения (1.5) и (1.6), получим

. (1.7)



Дифференцируя полученное выражение по времени, определяют скорость ?, а дифференцируя его дважды - ускорение точки Вмеханизма.

Графические методы кинематического анализа

В графических методах исследований все построения выполняются в масштабе, для этого физическую величину изображают в виде отрезка определенной длины и соответствующего направления. Масштабный коэффициент ?_х физической величины х представляет собой отношение истинного значения физической величины х (длина , скорость ?, ускорение , сила F и др.) к длине отрезка , который изображает ее на чертеже. Масштабный коэффициент имеет размерность, равную отношению размерности физической величины к длине отрезка, ее изображающего, в мм.

Графический метод кинематического анализа механизмов основан на графическом дифференцировании и интегрировании.

Например, для поступательно движущегося выходного звена (рис. 1.8) строят график изменения перемещения s_B ползуна (точки В) по времени. Этот график можно получить экспериментально, измеряя перемещения точки В через равные промежутки времени, начиная с крайнего левого положения точки В_о, или теоретически [см. формулу (1.7)].

График перемещения точки В: s_B = s_B(t) строят с учетом масштабных коэффициентов пути и времени . По оси абсцисс (рис. 1.9, а) откладывают отрезок , изображающий время t одного полного оборота кривошипа. Масштабный коэффициент времени: , с/мм. Этот отрезок делят на равное количество долей i (например, двенадцать) и по оси ординат откладывают перемещение точки В_i (i=0;1; … ; 12) в масштабе:
= s_B/, м/мм, соответствующее данному промежутку времени i (положению кривошипа в рассматриваемый момент).

Для построения кинематического графика изменения скорости: рассматриваемой точки B используют метод графического дифференцирования, суть которого заключается в том, что скорость точки - есть первая производная пути точки В по времени. Если зависимость s_B = s_B(t) изображена графически, то первая производная пути по времени равна тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс в рассматриваемом положении.

В точках пересечения ординат в рассматриваемых промежутках времени i с кривой s_B = s_B(t) проводим касательные - (рис. 1.9, б). Тангенсы углов , которые составляют эти касательные с осью абсцисс, являются скоростями точки В в рассматриваемые моменты времени. Если взять прямоугольные треугольники с общим катетом h, то длины других катетов будут пропорциональны тангенсам углов, т.е. будут представлять собой скорости, м/(с?мм), изображенные с учетом масштабного коэффициента: .

На рис. 1.9, б приведен пример графического дифференцирования зависимости перемещения точки В в положении кривошипа I = 3.

График ускорений точки В: строится аналогично - методом графического дифференцирования кривой: .

Для вращательного или качательного движения выходного звена графики ? = ?(t), ? = ?(t) и ? = ?(t) строятся аналогично.



Рис. 1.9. Кинематические диаграммы перемещения и скорости ползуна

Графоаналитические методы кинематического анализа

Графоаналитическим методом производят определение скоростей и ускорений путем построения планов на основе последовательного составления векторных уравнений для всех структурных групп, входящих в механизм, начиная с входного звена.

Кинематический анализ механизма начинают с построения плана механизма (кинематическая схема), который представляет собой структурную схему, выполненную с учетом длин звеньев и значений обобщенных координат входных звеньев для заданного промежутка времени t. Построение выполняют в масштабе длин ?_?, м/мм, который назначают из условия обеспечения наглядности изображения и удобства выполнения расчетов.

Построение плана механизма начинают с нанесения координат всех неподвижных элементов: центров неподвижных шарниров и линий перемещения поступательно движущихся звеньев. Затем вычерчивают входное звено в заданном положении. Зная положения внешних кинематических пар первой группы Асура и используя метод засечек, определяют положение внутренней пары.

При необходимости построения траектории движения какой-либо точки звена механизма строят последовательно планы механизма для других значений обобщенных координат входных звеньев. Соединив положения исследуемой точки на всех планах механизма плавной кривой, получают траекторию движения точки.

Построение планов скоростей

Планы скоростей и ускорений механизма дают наглядное представление о скорости и ускорении любой точки звеньев в заданном положении механизма.

Для определения скорости любой точки звена необходимо знать скорость какой-либо одной точки звена полностью (величину и направление) и направление скорости второй. Пусть известна скорость точки А звена, а скорость точки В - только по направлению (на рис. 1.10 это направление показано штриховой линией). Абсолютная скорость любой точки твердого тела, совершающего плоскопараллельное движение, может быть представлена в виде геометрической суммы двух скоростей: скорости точки, принятой за полюс (например, точки А), и скорости исследуемой точки (точка В) относительно полюса. Так как точки А и В принадлежат одному звену, то направление скорости точки В в относительном движении вокруг точки А перпендикулярно отрезку АВ, соединяющему эти точки, и скорость точки В будет равна

. (1.8)

Из произвольной точки р? (полюса плана скоростей) откладываем вектор произвольной длины, из конца которого (точки а) проводим прямую, параллельную направлению относительной скорости , т.е. перпендикулярно прямой ВА, а через полюс р? - прямую, параллельную абсолютной скорости . Эти прямые пересекаются в точке b - конце вектора абсолютной скорости точки В.

Рис. 1.10. План скоростей звена	Рис. 1.11. План скоростей механизма

Так как скорости точек изображены отрезками прямых определенной длины, то построение выполнено в масштабе, :

?_? = . (1.9)

Скорость точки С находится аналогично:

Для графического решения этой системы уравнений из конца вектора проводим прямую, параллельную направлению относительной скорости (перпендикулярно прямой СА), а из конца вектора - прямую, параллельную относительной скорости (перпендикулярно прямой СВ). На пересечении этих прямых (точка с) и находится конец вектора абсолютной скорости точки С.

Полученное графическое изображение, представляющее собой плоский пучок, лучи которого изображают векторы абсолютных скоростей точек звена, а отрезки, соединяющие концы этих векторов - векторы относительных скоростей соответствующих точек при данном положении звена, называется планом скоростей звена.

План скоростей звена имеет следующие свойства:

? векторы абсолютных скоростей точек звена своим началом имеют полюс плана;

? векторы относительных скоростей соединяют на плане концы векторов абсолютных скоростей соответствующих точек;

? свойство подобия: фигура на плане скоростей, образованная векторами относительных скоростей точек звена (треугольник аbc), подобна фигуре на звене, образованной отрезками, соединяющими соответствующие точки (треугольник АВС), но повернутой на угол 90?относительно положения звена;

? план скоростей дает возможность находить угловую скорость ? звена. Для этого нужно скорость любой точки относительно другой, принадлежащей этому звену, разделить на расстояние между этими точками, например

? = , (1.11)

где - длина вектора, изображающего относительную скорость , мм; - расстояние между точками А и В на плане звена, мм; ?_? - масштабный коэффициент плана скоростей, м/(с?мм); ?_? - масштабный коэффициент длин, м/мм.

Планом скоростей механизма называется совокупность планов скоростей всех звеньев механизма с одним общим полюсом.

Построение плана скоростей механизма начинают с определения скорости центра кинематической пары входного звена, к которой присоединена первая структурная группа Ассура, а затем переходят к определению скоростей точек звеньев этой группы. Так как скорости конечных элементов звеньев группы известны, то для построения полной картины скоростей звеньев, входящих в группу, необходимо выбрать общую для звеньев группы точку и записать два уравнения связи скорости этой точки с известными скоростями точек звеньев.

Рассмотрим методику построения плана скоростей на примере кривошипно-ползунного механизма, в который входит группа Ассура второго класса второго вида (рис. 1.11).

Точка А кривошипа ОА совершает вращательное движение с угловой скоростью ?₁, поэтому вектор скорости точки А направлен перпендикулярно звену 1 в сторону вращения и определяется зависимостью:

= ?₁ , (1.12)

где - длина звена ОА, м.

Общей точкой для звеньев группы Ассура является центр вращательной пары В. Так как точка В принадлежит звену 2, то ее скорость равна векторной сумме абсолютной скорости точки А и скорости точки В относительно точки А:

. (1.13)

Уравнение (1.13) содержит два неизвестных: величины скоростей и и может быть решено графически. Направление вектора абсолютной скорости параллельно неподвижной направляющей ползуна 3, а вектора - скорости точки В относительно точки А - перпендикулярно звену ВА.

Для построения плана скоростей выбираем на плоскости произвольную точку р_? - полюс плана, которая является началом отсчета, и откладываем отрезок , перпендикулярно звену АО в направлении движения точки А.

Следовательно, масштабный коэффициент ?_? (м·с^-1/мм) плана скоростей

?_? = / . (1.14)

В соответствии с уравнением (1.13) на плане скоростей из конца вектора (точка а) проводим прямую, перпендикулярную звену ВА(направление вектора ), а из полюса р_? - линию, параллельную неподвижной направляющей ползуна (направление вектора скорости ). Точка b пересечения этих прямых является концом вектора скорости . Вектор изображает в масштабе относительную скорость .Направление векторов проставляют в соответствии с правилами их сложения по уравнению (1.13).

Для определения скоростей других точек звеньев используют свойство подобия плана скоростей. Например, вектор скорости центра масс шатуна заканчивается в точке s₂ плана скоростей, положение которой определяется из пропорции:

; . (1.15)

Для определения действительной величины скорости любой точки достаточно умножить длину соответствующего вектора на масштабный коэффициент ?_?:

= ?_? ; = ?_? ; = ?_? . (1.16)

Модуль угловой скорости вращения звена АВ в рассматриваемом положении, с^-1, определяется соотношением

= / ?_АВ. (1.17)

Для определения направления необходимо мысленно перенести вектор скорости точки В относительно точки А в точку Вмеханизма. В рассматриваемом примере направление вектора скорости показывает, что в данном положении точка В относительно точки А вращается по ходу движения часовой стрелки (показано круговой стрелкой на плане механизма).

Построение планов ускорений

Для определения ускорения любой точки звена необходимо знать ускорение (величину и направление) одной какой-либо точки и направление ускорения второй. Пусть известно ускорение точки А звена (рис. 1.12) по величине и направлению и ускорение точки В - по направлению (показано штриховой линией). Полное ускорение точки В:

. (1.18)

Рис. 1.12. План ускорений звена	Рис. 1.13. План ускорений механизма

Разложив ускорение точки В в движении относительно точки А на составляющие, получим:

, (1.19)

где , - соответственно нормальная и касательная составляющие ускорения точки В в движении относительно точки А.

В уравнении (1.19) известны по направлению , и , а также величина нормальной составляющей относительного ускорения :



= ?² ?_АВ = / ?_АВ. (1.20)

Значение относительной скорости и угловой скорости ? звена определены ранее (см. подпункт 1.2.3.1).

Выбрав на поле чертежа в произвольном месте полюс плана ускорений р_а, откладываем вектор ускорения в выбранном масштабе ?_а. От конца этого вектора (точки а) откладываем вектор (в том же масштабе) нормальной составляющей относительного ускорения , величина которой вычислена по формуле (1.20), в направлении от точки В к точке А параллельно отрезку ВА на звене. Из конца этого вектора (точки ) проводим перпендикуляр (направление касательной составляющей относительного ускорения), а из полюса р_а - прямую, параллельную известному направлению абсолютного ускорения точки В. На пересечении этих двух прямых (точка b) находится конец вектора абсолютного ускорения точки В. Для нахождения ускорения точки С записывают зависимости этого ускорения через известные ускорения двух точек звена:

где величины нормальных составляющих относительных ускорений:

= ?² ?_АС = / ?_АС; = ?² ?_ВС = / ?_ВС,

а их направление параллельно соответствующим отрезкам СА и СВ на звене.

Таким образом, система (1.21) состоит из двух уравнений с четырьмя неизвестными: величин ускорений , , , а также направления вектора ускорения и может быть решена графически.

В соответствии с первым уравнением системы (1.21) откладываем на плане ускорений от конца вектора вектор (в выбранном масштабе) нормальной составляющей относительного ускорения : =/?_а. Из конца этого вектора проводим перпендикуляр к нему (направление касательной составляющей относительного ускорения ). Аналогично поступаем и со вторым уравнением системы (1.21). На пересечении линий двух направлений касательных составляющих относительных ускорений и (точка с) и будет находиться конец вектора абсолютного ускорения точки С.

Свойства плана ускорений аналогичны свойствам плана скоростей (см. подпункт 1.2.3.1). Различие заключается в том, что план ускорений звена повернут относительно звена не на прямой угол, а на угол (180?-?) в направлении мгновенного углового ускорения:

tg? = / = ? / ?². (1.22)

Совокупность планов ускорений звеньев механизма с одним общим полюсом называется планом ускорений механизма.

Методику построения плана ускорений механизма изложим на примере ранее рассматриваемого (подпункт 1.2.3.1) кривошипно-ползунного механизма. Порядок построения плана ускорений тот же, что и при построении плана скоростей механизма (рис. 1.11).

При вращательном движении кривошипа ОА ускорение точки А можно представить в виде векторной суммы двух составляющих: нормальной , направленной вдоль звена от точки А к точке О, и тангенциальной , перпендикулярной к нормальной составляющей:

; (1.23)

; . (1.24)

В предварительных расчетах обычно принимают угловую скорость входного звена постоянной (?₁ = const). В этом случае ?₁ = d?₁ / dt = 0, следовательно, полное ускорение точки А определяется только величиной нормальной составляющей . Этот вектор направлен от точки А к точке О параллельно звену АО:

.

Вектор ускорения точки В в рассматриваемом примере параллелен направляющей ползуна 3 и может быть представлен векторной суммой:

. (1.25)

Уравнение (1.25) содержит два неизвестных: величины ускорений и .

Выбрав на плоскости точку р_а - полюс плана ускорений, откладываем отрезок параллельно звену АО в направлении от точки А к точке О (рис. 1.12). Длина отрезка изображает на плане ускорений вектор в масштабе ?_а, м?с^-2/мм:

= / ?_а. (1.26)

Из конца вектора (точка а) откладываем отрезок в направлении от точки В к точке А ( = ). Через точку n₂ проводим перпендикуляр (направление тангенциальной составляющей относительного ускорения ) до пересечения с прямой, проведенной из полюса р_а параллельно направляющей ползуна 3 (направление вектора ускорения точки В). Пересечение этих двух прямых (точка b) является концом вектора ускорения точки В. Направление векторов проставляется в соответствии с правилами сложения векторов согласно уравнению (1.25).

Векторы ускорений любой точки проводят на основании свойства подобия. Например, положение точки s₂ центра масс звена 2 на плане ускорений находят по уравнению (1.15), а вектор изображает ускорение точки S₂.

Действительные значения ускорений точек звеньев получают умножением длин соответствующих отрезков на масштабный коэффициент?_а:

= ; ; = ; = .

Угловое ускорение ?₂, с^-2, звена 2:

?₂ = .

Для определения направления ?₂ углового ускорения звена 2 необходимо вектор тангенциальной составляющей ускорения точки Вотносительно точки А мысленно перенести в точку В механизма. Направление вектора в рассматриваемом примере показывает, что точка В относительно точки А имеет угловое ускорение ?₂, направленное противоположно движению часовой стрелки (показано круговой стрелкой на плане механизма).

Зубчатые механизмы - это самый распространенный и пожалуй самый важный вид механизмов. Трудно найти такую машину, в которой нет зубчатого механизма. Они применяются в станках, в грузоподъемных машинах, автомобилях, разнообразных технологических машинах и т.д. Основные достоинства зубчатых механизмов, определившие их широкое применение, - строго постоянное передаточное отношение, большая передаваемая мощность на единицу массы, компактность, долговечность, высокий к.п.д. Недостаток - сложность изготовления и высокая стоимость.

Зубчатые механизмы предназначены для передачи вращательного движения и преобразования его параметров. Обычно двигатели обладают скоростью и моментом, как правило, не подходящим для использования в технологическом процессе. Преобразование параметров вращательного движения возможно посредством прижатых друг к другу гладких дисков (рис. 5.1), образующих фрикционные передачи. Ее недостаток - ограниченная мощность из-за большой нагрузки на подшипники, неизбежное проскальзывание, износ поверхностей, потери мощности. Практически передаваемая мощность в таких механизмах не превышает 10 - 20 квт.

Чтобы устранить отмеченные недостатки, диски снабжаются чередующимися выступами и впадинами, располагающимися с определенным интервалом. Такие выступы называются зубьями.

Зубчатым колесом называется звено с замкнутой системой зубьев, обеспечивающей непрерывность движения. Различают еще зубчатый сектор, зубчатую рейку.

Зубчатая передача - трехзвенный механизм, состоящий из двух колес и стойки.

Важнейшей характеристикой зубчатой передачи является передаточное отношение - отношение угловых скоростей колес.

Две или более зубчатые передачи образуют зубчатый механизм.

Зубчатые колеса, зубчатые передачи и зубчатые механизмы чрезвычайно разнообразны. Поэтому целесообразно ознакомиться с их простейшей классификацией.

Зубчатые колеса бывают:

а) цилиндрические и конические,

б) прямозубые, винтовые, шевронные,

в) эвольвентные, циклоидальные, цевочные, трохоидальные, круговинтовые,

г) с внешним и с внутренним зацеплением.

Винтовые колеса могут быть с левым и с правым наклоном зуба. Винтовые колеса с винтовой линией постоянного шага называют косозубыми.

Зубчатые передачи бывают:

а) с постоянным и переменным передаточным отношением некруглые колеса),

б) плоские и пространственные,

в) с параллельными, пересекающимися и скрещивающимися осями колес.

По этому признаку различают цилиндрические, конические, гиперболоидные передачи.

кинематический рычажный механизм зацепление

В гиперболоидных передачах звенья выполняются в форме гиперболоида вращения. Гиперболоид - линейчатая поверхность, образуемая при вращении произвольно расположенной в пространстве прямой линии относительно некоторой оси. Таким образом, образующей поверхности гиперболоида является прямая линия. Два сопряженных гиперболоида перекатываются друг по другу без скольжения и касаются по прямой линии. Если их снабдить зубьями, образуется точная гиперболоидная передача (рис. 5.2). На практике используется приближенная гиперболоидная передача, образованная из цилиндрических и конических колес. В таком случае касание их происходит не по линии, а в точке. Различают винтовые, червячные и гипоидные передачи (рис. 5.2). Различают также понижающие и повышающие частоту вращения передачи (редукторы и мультипликаторы), передачи внешнего, внутреннего зацепления, реечные передачи.

Зубчатые механизмы бывают: а) с неподвижными осями колес (рядовые) и с подвижными осями (планетарные), б) предназначенные для передачи большой мощности (силовые) и для преобразования параметров движения (кинематические), в) с одной степенью подвижности и зубчатые дифференциалы.

ПОНЯТИЕ О ЦЕНТРОИДНЫХ МЕХАНИЗМАХ

Зубчатые механизмы относятся к разряду центроидных механизмов, в основе образования которых лежит центроида. Из теоретической механики известно, что мгновенное плоское движение твердого тела можно привести к одному мгновенному вращению вокруг оси, точка пересечения которой с плоскостью сечения твердого тела называется мгновенным центром вращения (МЦС). При непрерывном движении твердого тела мгновенная ось вращения описывает линейчатую поверхность (цилиндр), называемую аксоидом. В зависимости от того, к какой системе отсчета (неподвижной или движущейся вместе с телом) отнесена мгновенная ось вращения, получаются различные поверхности. Поэтому различают подвижный и неподвижный аксоиды. Аксоиды пересекаются с плоскостью сечения твердого тела по двум кривым, называемым центроидами.



В теоретической механике доказывается, что непрерывное движение твердого тела в плоскости можно представить как качение без скольжения подвижной центроиды по неподвижной, причем подвижная центроида считается жестко связанной с твердым телом, а неподвижная - с системой отсчета. Таким образом, любое плоское движение можно осуществить, подобрав надлежащие центроиды. Сказанное хорошо иллюстрируется на модели шарнирного антипараллелограмма. В этом случае центроидами являются эллипсы (рис.5.3). Снабдив их зубьями, получим эллиптическую зубчатую передачу, в которой при равномерном движении ведущего звена ведомое вращается неравномерно. Такие передачи используются, например, в текстильных машинах. На рис. 5.3 представлены и другие центроидные зубчатые механизмы, применяемые в технике. Но наибольшее применение получили механизмы, в которых центроидами служат окружности.



ОСНОВНОЙ ЗАКОН ЗАЦЕПЛЕНИЯ

Простейшие зубчатые механизмы применялись еще в древнейшие времена, например, для передачи движения с водяного колеса на жернов. Профиль зубьев мог быть любым, выдерживался только постоянный шаг. Увеличение быстроходности передачи потребовало соответствующего профилирования зубьев. При случайном выборе профиля зубьев мгновенное передаточное отношение переменно, что недопустимо, т. к. колебания скорости выходного звена вызывают инерционные нагрузки, удары в передаче. Профиль зубьев должен быть таким, чтобы угловая скорость выходного звена была строго постоянной. Чтобы ответить на вопрос, каким должен быть профиль, вначале познакомимся с основным законом зацепления.

Нормаль, проведенная через точку касания двух профилей, делит межосевое расстояние на части, обратно пропорциональные угловым скоростям этих профилей.

Требуется доказать, что O₁P / O₂ P =щ₂ / щ₁ (рис.5.4)

Через точку А проведем нормаль N - N и касательную Т - Т и разложим скорости точек А₁ и А₂ на эти направления. Заметим, что v₁ = щ₁ r_1, v₂ =щ₂ r₂. Кроме того, v₁ⁿ = v₂ⁿ - из условия отсутствия вдавливания профилей или их размыкания. Тангенциальные составляющие v₁^ф ? v₂^ф, что обусловливает скольжение профилей. Из подобия треугольников AV₁V₁ⁿ и



O₁B₁A следует:

V₁ⁿ/V₁ = r_b1 / r₁ откуда V₁ⁿ = щ₁ r_b1. Из подобия треугольников AV₂V₂ⁿ и O₂B₂A следует: V₂ⁿ / V₂ = r_b2 / r₂ откуда V₂ⁿ = щ₂ r_b2. Учитывая, чтоV₁ⁿ = V₂ⁿ, получим щ₁ r_b1 = щ₂ r_b2.

Из подобия треугольников O₁B₁P и O₂B₂P следует r_b1 / r_b2 = O₁P / O₂P. С учетом записанных выше соотношений получим щ₁ / щ₂ = O₂P / O₁P, что и требовалось доказать.

Следствие основного закона зацепления: для постоянства передаточного отношения необходимо, чтобы нормаль, проведенная через точку касания двух профилей, пересекала межосевую линию в постоянной точке (полюсе зацепления). Иными словами требуется неизменность положения полюса.

В качестве профилей зубьев могут использоваться кривые, для которых выполняется указанное требование, Такие кривые называются сопряженными. К ним, в частности, относится эвольвента окружности.



ЭВОЛЬВЕНТА ОКРУЖНОСТИ, ПОСТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА

Геометрическое место центров кривизны какой-либо кривой называют инволютой, а саму кривую - эвольвентой (рис. 5.5). При профилировании зубьев в качестве эволюты используется окружность, называемая в дальнейшем основной, а сам зуб очерчивается эвольвентой окружности. Единственным параметром, отличающим одну эвольвенту от другой, является радиус основной окружности.

Можно указать следующий способ образования эвольвенты. Выбирается основная окружность r_b, касающаяся ее производящая прямая и чертящая точка на ней. Перекатывая производящую прямую по окружности без скольжения, получаем траекторию чертящей точки, которая является эвольвентой, т.к. мгновенные радиусы кривизны ее лежат на основной окружности. Эвольвенту можно получить, наматывая нить с чертящей точкой на диск (рис. 5.5). Две чертящие точки дадут две эквидистантные (равноотстоящие) эвольвенты.

Приближенное графическое построение эвольвенты как кривой, составленной из множества дуг окружностей, представлено на рис.5.5 б.

Из определения эвольвенты и из указанных выше способов ее построения вытекают следующие очевидные свойства:

1. Нормаль эвольвенты касается основной окружности.

2. Радиус кривизны эвольвенты равен длине нормали.

3. Длина нормали эвольвенты равна длине соответствующей дуги основной окружности

4. Расстояние между эквидистантными эвольвентами равно длине соответствующей дуги основной окружности

УРАВНЕНИЕ ЭВОЛЬВЕНТЫ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

Наиболее удобная форма записи уравнения эвольвенты - в полярных координатах в параметрической форме. В качестве параметра принимается угол профиля эвольвенты. Углом профиля эвольвенты б_y называется угол между направлением радиус-вектора к текущей точке Y и направлением касательной Т - Т. Он изменяется в пределах 0 - 90?, практически используется участок эвольвенты, где б_y = 0 - 30?.

Полярные координаты r_y и и_y укажут положение точки Y. Установим зависимость r_y и и_y от параметра б_y.

Проведем из точки Y нормаль N -N, которая по 1-му свойству эвольвенты коснется основной окружности в точке В. Заметим, что угол BOY равен углу профиля эвольвенты в данной точке. Из треугольника OBY следует

r_y = r_b / cos б_y

Введем угол н_y, тогда н_y = б_y + и_y, откуда следует и_y = н_y - б_y.

Из построений на рис. 5.6 и в силу 3-го свойства эвольвенты длина дуги ВА₀ равна BY. Из треугольника BYOследует BY/r_b = tg б_y. На основании приведенных зависимостей нетрудно установить, что центральный угол н_y = tgб_y. Функция и_y = tg б_y - б_y получила название эвольвентной функции или инволюты. Иногда используется условное обозначение и_y = - inv б_y.

ЭВОЛЬВЕНТНОЕ ЗАЦЕПЛЕНИЕ

На рис. 5.7 представлено зацепление эвольвентных профилей. Общая нормаль N - N. Проведенная через точку касания двух профилей, обязана согласно 1-му свойству эвольвенты, коснуться основных окружностей. Поскольку таких окружностей две, положение нормали единственно и неизменно. Тем самым подтверждается выполнение следствия основного закона зацепления. В процессе зацепления точка касания профилей не может сойти с общей нормали N - N, т.к. в противном случае нарушилось бы 1-ое свойство. Установлено, что при эвольвентном зацеплении профилей точка касания движется по общей нормали с постоянной скоростью.

Введем две окружности, проходящие через полюс зацепления. Такие окружности называются начальными. Они перекатываются друг по другу без скольжения и служат центроидами зубчатых колес.

Эвольвентное зацепление получило широкое распространение благодаря ряду достоинств:

1. Эвольвентное зацепление нечувствительно к небольшому изменению межосевого расстояния, что удешевляет изготовление корпусных деталей.

2. Для нарезания эвольвентных зубчатых колес можно применять простой инструмент с прямолинейной режущей кромкой.

3. При изготовлении колес путем простого смещения инструмента можно добиваться новых положительных свойств.

ИЗГОТОВЛЕНИЕ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС

Существуют два способа изготовления зубчатых колес: способ копирования и способ обкатки. Способом копирования дисковой или пальцевой фрезой на обычном фрезерном станке вырезается впадина между зубьями (рис.5.7) Поскольку в зависимости от числа зубьев размеры впадины при одном и том же модуле изменяются, нужно иметь очень много фрез. На практике одной фрезой нарезаются колеса в некотором диапазоне чисел зубьев, указанном на фрезе, что не очень точно. Неточность может быть исправлена последующей шлифовкой.

Способ копирования недостаточно производителен, т.к. в работе находится один зуб, много времени тратится на перестановку заготовки. Поэтому способ применяется в единичном и мелкосерийном производстве, при нарезании неответственных, тихоходных колес.



При способе обкатки инструмент и заготовка совершают относительное движение обкатывания, инструмент своими режущими кромками постепенно внедряется в заготовку, прокладывая себе путь. Таким образом, возникает станочное зацепление, аналогичное обычному зацеплению с той разницей, что одно из звеньев является инструментом. Инструмент выполняется в виде гребенки, червячной фрезы или долбяка. Этот способ требует применения специальных зубофрезерных станков. В одних конструкциях станков инструмент обкатывается вокруг неподвижной заготовки, в других - инструмент движется поступательно, заготовка поворачивается, в третьих - заготовка и инструмент (долбяк) вращаются (рис.5.8).

Способ обкатки получил наибольшее распространение. Он производителен, т.к. обрабатывается несколько зубьев сразу, процесс зубонарезания идет непрерывно. Профиль зуба формируется с учетом числа зубьев колеса, поэтому нарезание точное. По такому же принципу производится чистовая обработка, шлифование зубьев.

ИСХОДНЫЙ КОНТУР

Из описания способов изготовления зубчатых колес ясно, что размеры зуба полностью зависят от профиля инструмента. По ГОСТ профиль инструмента стандартизован путем задания так называемого «исходного контура». На рис.5.9 представлен теоретический исходный контур. Он выполнен в виде рейки с трапециевидными зубьями.

Размеры рейки выражаются через один основной параметр, называемый модулем. Модуль m имеет размерность мм и выбирается из ряда рациональных чисел от 0.05 до 100.

Шаг рейки p - расстояние между одноименными точками двух соседних зубьев. Шаг складывается из толщины зубаs и ширины впадины e. Та единственная прямая, на которой толщина зуба равна ширине впадины, называется делительной прямой рейки., остальные прямые называются начальными. Шаг зубьев рейки p = р m s = e = р m / 2.

Делительная прямая делит зуб на головку и ножку. Высота головки - h_a = 1.25 m, высота ножки - h_f = m, высота всего зуба - h = 2.25 m. Головка закруглена радиусом с = 0.38 m.

Инструмент изготавливается по производящему исходному контуру, отличающемуся от теоретического исходного контура тем, что впадина сделана глубже на 0.25 m и закруглена так же как головка. Это сделано для того, чтобы впадина инструмента не касалась заготовки. Следовательно впадина не участвует в нарезании зуба. Зуб нарезают прямолинейные боковые кромки и скругленная вершина зуба. Рейку можно рассматривать как зубчатое колесо бесконечно большого радиуса. В этом случае эвольвента превращается в прямую линию.

ЭЛЕМЕНТЫ НУЛЕВОГО ЗУБЧАТОГО КОЛЕСА

У нарезаемого зубчатого колеса на различных окружностях различный шаг зубьев. Та единственная окружность, на которой шаг зубьев равен шагу зубьев рейки, называется делительной. Шаг измеряется по дуге окружности. Ее длина l = p z = р d, откуда следует d = pz / р = mz. Исходя из этой формулы, можно дать определение делительной окружности как окружности, на которой модуль зуба равен модулю рейки. Заметим, что в США стандартизован питч, равный отношению числа зубьев к диаметру делительной окружности, выраженному в дюймах.

Инструмент можно устанавливать на различном расстоянии от центра заготовки. Рассмотрим частный случай, когда делительная прямая касается делительной окружности. Нарезаемое таким образом колесо называется нулевым. Основание для такого названия выяснится в дальнейшем.

Поскольку шаги на делительной окружности и на делительной прямой одинаковы, эти линии катятся друг по другу без скольжения. Толщина зуба делительной прямой рейки воспроизводится без искажения на делительной окружности как ширина впадины колеса. Тогда s = р m / 2, аналогично определяется ширина впадины. Остальные размеры колеса также определены размерами рейки:



= 2.25 m

ha = m

h_f = 1.25 m

d_a = m (z + 2)

d_f = m (z - 2.5)

Прямолинейные режущие кромки нарезают эвольвентную часть зуба, которая идет до основной окружности. Для определения диаметра основной окружности проведем через точку Р общую нормаль N - N. Она проходит под углом 20? к делительной прямой. Основная окружность касается общей нормали. Из построения на рис. 5.10 следует, что d_b =m z cos 20?.

Из рис.5.10 следует еще один важный вывод, используемый в дальнейшем: угол профиля эвольвенты в точке, лежащей на делительной окружности, равен углу наклона боковой линии рейки, т.е. 20?.



НАРЕЗАНИЕ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС СО СМЕЩЕНИЕМ

Рассмотрим случай, когда делительная прямая не касается делительной окружности и смещена от нее в направлении от центра колеса на некоторое расстояние X (рис.5.11). Это расстояние называется смещением и выражается через модуль и коэффициент смещения x

X = x m

Делительная окружность касается некоторой начальной прямой. Поскольку на начальной прямой шаг равен шагу на делительной окружности, то можно считать, что начальная прямая перекатывается по делительной окружности без скольжения и отпечатывает на ней толщину зуба и ширину впадины.

Из построения на рис.5.11 следует, что толщина зуба на делительной окружности

s = р m / 2 + 2 mx tg 20°



Ширина впадины

e = р m / 2 - 2 mx tg 20?

Диаметры окружностей вершин и впадин

d_a = m (z - 2.5 + 2x)

d_f = m (z - 2.5 + 2x)

Рассмотренный случай называется положительным смещением. Коэффициент смещения х здесь считается положительным. Если сместить рейку в направлении к центру колеса, то ее делительная прямая пересечет делительную окружность (рис. 5.12). Такой случай называется отрицательным смещением. Нетрудно убедиться, что для него справедливы все выведенные выше формулы, если принять в них коэффициент смещения с отрицательным знаком. Если положить х = 0, то получим формулы для нулевого колеса.

ВЛИЯНИЕ СМЕЩЕНИЯ НА ПРОФИЛЬ ЗУБА

На рис.5.12 представлены профили зубьев колес с одним модулем и числом зубьев, но с различными коэффициентами смещения. Из сравнения их следуют выводы:

1. Диаметры делительной d и основной d_b окружностей не изменяются.

2. При х > 0 диаметры вершин и впадин увеличиваются

3. При х > 0 толщина зуба s увеличивается, ширина впадины уменьшается, ножка зуба становится толще и короче, что увеличивает изгибную прочность зуба.

4. Смещение не изменяет делительного и основного шага, поэтому зацепление колес с различным смещением происходит нормально

5. При х > 0 профиль зуба располагается на участках с меньшей кривизной эвольвенты, что увеличивает контактную прочность зуба

6. При х > 0 толщина зуба по окружности вершин уменьшается

При отрицательном смещении происходят изменения в противоположном направлении и зуб несколько ослабляется. Так как колесо обычно прочнее шестерни, для создания равнопрочной передачи шестерне делают положительное смещение, а колесу - отрицательное, Правильно подобрав смещение, можно значительно повысить прочность передачи.

ПОДРЕЗАНИЕ, ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ, ЗАОСТРОЕНИЕ

Подрезание проявляется в утончении ножки зуба и приводит к уменьшению изгибной прочности зуба и, кроме того, в связи с сокращением эвольвентного участка, к нарушению закона зацепления на части профиля.



Боковой профиль зуба состоит из главной части и переходной кривой, разделенных граничной точкой L (рис.5.13). Положение точки L при заданном числе зубьев зависит от коэффициента смещения. Коэффициент смещения, при котором точка L лежит на основной окружности, называется коэффициентом смещения. Если x < x_min, переходная кривая пересечет главный профиль дальше основной окружности и часть эвольвенты будет срезана, зуб окажется подрезанным (рис. 5.13).

Для установления зависимости коэффициента смещения х от числа зубьев, рассмотрим схему станочного зацепления при нарезании нулевого колеса (рис.5.14). Установлено, что подрезание возникает, если начальная прямая, проходящая через конец прямолинейной части рейки, заходит за точку касания производящей прямой с основной окружностью - точку А. Для устранения подрезания дадим рейке положительное смещение такое, чтобы точки а и в совпали. Рассмотрим вытекающее из геометрических построений соотношения. Из треугольника АТО следует OT = AO cos 20?, из треугольника OPA - AO = OP cos 20?. Тогда OT OP cos² 20?. С другой стороны ОТ = ОР - ТР, где ОР = mz / 2, TP = m - xm. Приравняв обе формулы, получим ОР cos² 20? = OP - TP. После соответствующих подстановок и преобразований окончательно получим

X = (17 - z)/ 17 (5.1)

Коэффициент смещения, определенный по формуле (5.1), представляет минимальный коэффициент смещения, при котором отсутствует подрезание. Минимальное число зубьев, свободное от подрезания, равно 17 - для него х = 0. Все колеса с числом зубьев меньше 17 обычно изготавливаются со смещением. Впрочем, небольшое подрезание допускается и даже полезно с точки зрения уменьшения кромочных ударов при зацеплении. При рассмотрении картины зацепления может обнаружиться, что главный профиль головки зуба, сопрягаясь с переходной кривой, внедряется в нее. Такое явление при изготовлении колес приводит к рассмотренному выше подрезанию, а при их зацеплении - к непроворачиваемости и поломке зубьев. Такое явление носит название интерференции. Интерференции не будет, если эвольвентный профиль сопрягается только с эвольвентным, в теории зацепления установлены условия, при которых будет отсутствовать интерференция. Наиболее часто интерференция возникает при внутреннем зацеплении. Необходимо проектировать внутреннее зацепление так, чтобы разница чисел зубьев колес была не менее 7 - 8.