Кинематика рычажных механизмов

Толщина зуба по окружности вершин зависит от смещения, с увеличением смещения она уменьшается. Может возникнуть заострение зуба, когда толщина зуба по окружности вершин s_a = 0. Заострение нежелательно из -за недостаточной прочности зуба - вершина заостренного зуба совершенно неспособна воспринимать нагрузку. Обычно принимают s_a > 0.25m - для кинематических передач и s_a > 0.4m - для силовых передач. Толщину зуба по окружности вершин можно проверить по приводимой далее формуле.

ПОСТРОЕНИЕ КАРТИНЫ ЗАЦЕПЛЕНИЯ

Для построения картины зацепления необходимо по известным формулам определить параметры зубчатых колес: d₁, d₂, d_a1, d_a2, d_f1, d_f2, d_b1, d_b2,s₁, s₂, p. Межосевое расстояние вычисляется по формуле:

а_W = (d_W! + d_W2) / 2 (5.2)

В частном случае a_W = a, где а - делительное межосевое расстояние, a = (d₁ + d₂) / 2. Отложим межосевое расстояние a_W, отметим центры вращения колес О₁ и О₂, построим для каждого колеса окружности вершин, впадин, делительную, основную (5.15). Проведем общую нормаль касательно к основным окружностям, Она пересечет межосевое расстояние в точке Р - полюсе зацепления, через который проходят начальные окружности. Используя общую нормаль как производящую прямую, построим эвольвентный участок профиля зуба первого колеса. Способ построения эвольвенты описан ранее. Переходная кривая условно оформляется как радиальная прямая, сопряженная с окружностью впадин галтелью радиусом с = 0.4 m. Отложим половину толщины зуба по делительной окружности и проведем ось симметрии зуба. Для этого удобно воспользоваться шаблоном. Откладывая угловой шаг ф₁ = 2р / z₁ и используя шаблон зуба, строим 3 - 4 зуба. Точно так же строятся зубья второго колеса.

На картине зацепления можно отметить следующие элементы:

АВ - теоретическая линия зацепления, геометрическое место точек касания профилей зубьев.

ав - активная линия зацепления, часть теоретической линии, ограниченная окружностями вершин.

mn - активная часть профиля зуба, непосредственно участвующая в зацеплении. Для ее определения нужно перенести точку, а радиусом оа на профиль зуба.

б_W - угол зацепления, угол между линией зацепления и общей касательной Т - Т. Угол зацепления равен углу профиля эвольвенты б_y в точке, лежащей на начальной окружности.

КОЭФФИЦИЕНТ ПЕРЕКРЫТИЯ

Одной из важнейших качественных характеристик зацепления является коэффициент перекрытия. Он характеризует плавность зацепления колес. Коэффициент перекрытия равен отношению угла перекрытия ц_б к угловому шагу ф:

е_б= ц_б / ф (5.3)



Угол перекрытия есть угол поворота зубчатого колеса от положения входа зуба в зацепление до положения выхода из зацепления. Его можно определить, рассмотрев два положения зуба - в момент входа и в момент выхода из зацепления (рис. 5.16).

Угол перекрытия должен быть больше углового шага. Благодаря этому первая пара зубьев еще не успевает разомкнуться (придти в точку в) как вторая пара зубьев входит в зацепление. Таким образом, существуют периоды двухпарного зацепления. Это обеспечивает непрерывность зацепления. Чем больше е_б, тем плавнее работает передача.

Установим зависимость е_б от параметров зацепляющихся колес. Умножим числитель и знаменатель формулы (5.3) на r_b - радиус основной окружности. С учетом 4 - го свойства эвольвенты ц_б r_b1 = ab, кроме того, ф₁ r_b1 = p_b - шаг зубьев по основной окружности, следовательно, получим формулу:

е_б = ав / p_b (5.4)

Формулу (5.4) можно использовать, если построена картина зацепления, на которой можно замерить длину активной линии зацепления ав.

Для получения аналитической зависимости следует представить длину активной линии зацепления в функции от параметров колес.

Из построения на рис.5.15 следует:

Ав = Рв = аР,

Рв = Ав - рА,

АР = Ва - РВ.

Из треугольников О₁Ав и О₁АР следует:



ав = r_b1 tg б_a1 РА = r_b1 tg б_W

Из треугольников О₂Ва и О₂ВР следует

Ba = r_b2 tg б_a2 PB = r_b2 tg б_W

Произведя подстановку полученных выражений в формулу (5.4) и выполнив необходимые преобразования, получим:

е_б = (z₁ (tg б_a1 - tg б_W) + z₂ (tg б_a2 - tg б_W)) / 2р

Здесь

а_a1 = arccos (d_b1 / d_a1) б_a2 = arccos (d_b2/ d_a2)

Как вычисляется б_W будет показано в дальнейшем.

Коэффициент перекрытия для прямозубых колес должен находиться в пределах 1.2 < е_б < 1.98.

ТОЛЩИНА ЗУБА НА ОКРУЖНОСТИ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАДИУСА

Определим толщину зуба s_y на окружности диаметра d_y. Из построений на рис. 5.16 следует:

S_y = ш_y d_y (5.5)

Ш_y = ш + и - и_y где и = inv 20?, и_y = inv б_y

Для определения б_y рассмотрим треугольник ОВY

б_y = arccos (d_b / d_y)



Угол ш находится из соотношения ш = s/d, где s - толщина зуба на делительной окружности. Используя формулу (5.5), получим

Ш = р/ 2z + 2 x tg 20?/ z

Тогда

Ш_y = р/ 2z + 2x tg20? + inv20? - inv б_y

Толщина зуба и ширина впадины определяются из следующих выражений

s_y = d_y (р /2z + 2x tg20? + inv20? - invб_y)

е_y = d_y(р / 2z - 2x tg20? - inv20? + inv б_y)

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ЗУБЧАТОЙ ПЕРЕДАЧИ

При построении картины зацепления межосевое расстояние О₁О₂ определяется по формуле (5.2). Диаметры начальных окружностей можно найти, рассмотрев треугольники О₁АР и О₂ВР:

d_W1 = mz₁ (cos20? / cos б_W) (5.6)

d_W2 = mz₂ (cos 20? / cos б_W)

В таком случае начальное межосевое расстояние рассчитывается по формуле

a_W = 0.5 m (z₁ + z₂) (cos20? / cos б_W) (5.7)



Как уже указывалось, при работе зубчатой передачи начальные окружности перекатываются друг по другу без скольжения. В случае беззазорного зацепления толщина зуба на начальной окружности одного колеса равна ширине впадины на начальной окружности другого колеса

s_W1 = e_W2

Выполнив подстановку соответствующих выражений для толщины зуба и ширины впадины и произведя соответствующие преобразования, получим:

inv б_W = 2 tg20? (x₁ + x₂₎ / (z₁ + z₂) + inv20? (5.8)

Полученное выражение называется уравнением зацепления, оно позволяет определить угол зацепления, исходя из заданных чисел зубьев и коэффициентов смещений.

Формулы (5.6). (5.7), (5.8) образуют основу для геометрического расчета зубчатой передачи. В зависимости от сочетания коэффициентов смещений различают четыре варианта передач, представленных в таблице

x1 = x2 = 0	?x = 0	бW = 20?	dW = d	aW = a	нулевая передача
x1 = - x2	?x = 0	бW = 20?	dW = d	aW = a	равносмещенная передача
x1 ? 0, x2 ? 0	?x > 0	бW > 20?	dW > d	aW > a	положительная передача
x1 ? 0, x2 ? 0	?x < 0	бW < 20?	dW < d	aW < a	отрицательная передача

Иногда формулу (5.6) представляют в виде:

а_W = a + y m

Где y - коэффициент воспринимаемого смещения:



y = 0.5 (z₁ + x₂) (cos 20? - cos б_W) / cos б_W

Кроме того, вводится обозначение

? y = ? x - y

где ?y - коэффициент уравнительного смещения.

Согласно ГОСТ 16132- 72 расчет геометрических параметров зубчатой перeдачи следует вести с использованием этих коэффициентов.

БЛОКИРУЮЩИЕ КОНТУРЫ

Как уже было показано, коэффициенты смещения существенно влияют на качественные показатели зубчатой передачи и ее геометрию. Использование колес со смещением позволяет вписаться в заданное межосевое расстояние. При увеличении x растет контактная и изгибная прочность. Смещение влияет на скорость скольжения профилей, а значит на их износ. Помимо благоприятного влияния увеличение смещения ведет к заострению, интерференции, к снижению коэффициента перекрытия. Невозможно назначить смещение, оптимальное со всех точек зрения. Для каждой отдельной передачи следует рассмотреть всю совокупность эффектов, вызываемых смещением, что представляет весьма трудоемкую задачу.

С целью облегчения практического использования колес со смещением разработан метод блокирующих контуров. Результаты расчетов представлены в виде диаграмм, так называемых блокирующих контуров. Они позволяют обоснованно назначать коэффициенты смещения, не прибегая к трудоемким расчетам.



Блокирующий контур строится для каждой пары чисел зубьев z₁ и z₂. На координатных осях откладываются значения x₁ и x₂ так, что точка Асоответствует передаче, составленной из колес с положительным смещением, точка В - с отрицательным смещением, точка 0 - для нулевых колес (рис. 5.17). Таким образом, каждой точке координатного поля соответствует вариант передачи. Однако не все точки этого поля можно использовать. Некоторые неприемлемы по условию существования передачи: интерференции, подрезания, заострения, малого коэффициента перекрытия. Предельно допустимому значению каждого этого параметра соответствуют безусловные границы, эти границы в виде линий в совокупности образуют блокирующий контур. Для каждой пары чисел зубьев формы контура будут разными. Внутри контура могут быть нанесены условные границы, например, е_б = 1.2, s_a = 0.25 m, x = x_min и т. д. Блокирующие контуры для различных сочетаний чисел зубьев колес содержаться в соответствующих справочниках.

КОСОЗУБЫЕ КОЛЕСА

Винтовые колеса с постоянным шагом винтовой линии называются косозубыми. Боковая поверхность зуба образуется чертящей прямой АВ, лежащей в производящей плоскости Р при обкатывании ее вокруг основного цилиндра Q. Если чертящая прямая параллельна образующей основного цилиндра, получается прямозубое колесо, если она составляет с образующей угол в_b - косозубое. Каждая точка прямой описывает эвольвенту. Косозубое колесо можно рассматривать как множество прямозубых колес бесконечно малой толщины, сдвинутых друг относительно друга. Боковая поверхность зуба пересекает основной цилиндр по винтовой линии с углом подъема 90? - в_b Угол подъема винтовой линии, измеренный на поверхности делительного цилиндра, находится на основании зависимости tg в = (r/r_b) tg в_b.

Рассмотрим развертку делительного цилиндра на плоскости + рис.(5.18).На ней можно указать три шага зубьев: нормальный p_n, торцевой p_t, осевой p_a. Соответственно этому имеется три модуля: нормальный m_n, торцевой m_t, осевой m_a. Из построения на рис. следует, что

P_t = p_n cos в, следовательно m_t = m_n cos в.

Косозубые колеса изготавливаются тем же инструментом, что и прямозубые. Заготовка разворачивается относительно инструмента на угол в. В нормальном сечении зуб получается таким же, как у соответствующего прямозубого колеса. Размеры зубьев в торцевом сечении рассчитываются по приведенным выше формулам, но модуль принимается торцевой, выраженный через стандартный модуль инструмента.

Основная особенность косозубых колес состоит в том, что зубья входят в зацепление не по всей длине зуба, как это происходит в прямозубых колесах, а по контактной линии, параллельной образующей основного цилиндра, длина которой непрерывно изменяется. Благодаря этому увеличивается продолжительность контакта пары зубьев, что находит выражение в увеличении коэффициента перекрытия. Для косозубых колес коэффициент перекрытия

е_г = е_б+ е_в

где е_б - коэффициент перекрытия соответствующего прямозубого колеса,

е_в- добавочный коэффициент перекрытия из-за наклона линии зуба:

е_в = ц_в / ф, где ф - угловой шаг.

Из построения на рис. 5.19 следует:

ц_в = b tg в / r



Достоинство косозубых колес - плавность работы, бесшумность, недостаток наличие осевого усилия на подшипники. Для устранения этого усилия применяют шевронные колеса.

ДРУГИЕ ВИДЫ ЗАЦЕПЛЕНИЯ

Помимо эвольвентного ограниченное распространение получили другие виды зацепления. В прошлом было широко распространено циклоидальное (циклоидное) зацепление. Если чертящую точку взять не на прямой, а на производящей окружности, и перекатывать ее по основной окружности, чертящая точка будет описывать кривую, называемую циклоидой. Причем, если производящая окружность катится снаружи основной, будет эпициклоида, если внутри - гипоциклоида. В циклоидальном зубчатом колесе профиль головки зуба выполняется по эпициклоиде, а профиль ножки зуба - по гипоциклоиде. Преимущество циклоидального зацепления - контакт выпукло- вогнутых поверхностей и, как следствие, уменьшение контактных напряжений. Недостаток - нельзя изменять межцентровое расстояние и вообще менять колеса в парах.

Разновидностью циклоидального является часовое зацепление, в этом зацеплении эпициклоида головки зуба заменена дугой окружности, а гипоциклоида - прямой (циклоида превращается в прямую, если r_n = 0.5 r_b (рис. 5.20)). Достоинства зацепления, большие передаточные отношения и уменьшенный износ по сравнению с эвольвентным зацеплением.

Другой разновидностью циклоидального зацепления является цевочное зацепление. Боковой профиль зуба шестерни выполняется по эпициклоиде, зуб другого колеса - в виде цилиндрического ролика, называемого цевкой (рис. 5.20 б). При соответствующем выборе параметров профили будут сопряженными. Такое зацепление применяется там, где большое колесо по технологическим соображениям выполнить невозможно, его собирают из дисков, снабженных цевками. Такие колеса применяются, например, для привода поворотных платформ больших экскаваторов.

Сравнительно недавно было предложено круговинтовое зацепление (зацепление Новикова). Если в обычном эвольвентном зацеплении зубья касаются по контактной линии, которая перемещается по высоте зуба, то в круговинтовом зацеплении контакт происходит в точке, которая перемещается вдоль зуба. В качестве профилей зубьев здесь используются дуги окружностей (рис. 5.20 в). Так как разница радиусов кривизны невелика, контактные напряжения малы. Поскольку точка контакта перемещается вдоль зуба, высоту зуба можно делать небольшой, тем самым, увеличивая прочность зубьев. Зубчатые колеса с круговинтовыми зубьями, несмотря на их достоинства, нашли ограниченное применение в связи со сложностью изготовления инструмента для их нарезки.

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ

Винтовая передача - передача между цилиндрическими колесами со скрещивающимися осями. (рис. 5.21а). Передача образована обычными косозубыми колесами, у которых углы наклона зубьев в₁ и в₂ и угол скрещивания осей в находятся в соотношении в = в₁ + в₂.



Здесь имеет место точечное касание, что является недостатком передачи. Передаточное отношение колеблется в пределах 1 -- 5. При передаточном отношении U ? 5 винтовая передача переходит в червячную (рис.5.21 в).

Червячные передачи находят широкое применение в технике. Ее достоинства - большое передаточное отношение, плавность, бесшумность, в большинстве случаев свойство самоторможения. Недостатки - низкий к.п.д., большие осевые усилия на подшипники, повышенный износ червячного колеса.

Червяк представляет собой винтовое зубчатое колесо малого диаметра и большой ширины, с большим наклоном зуба червяка, как и винты, могут быть одно- и многозаходными. Под числом заходов понимается число зубьев червяка. Червячное колесо представляет косозубое эвольвентное колесо с углом наклона зуба в = 90? - г, где г - угол подъема винтовой линии на делительной окружности червяка. Для повышения долговечности передач, улучшения смазки колеса делают не цилиндрическими и придают им специальную форму. Червяк делают глобоиным (рис. 5.21 в), червячному колесу придают форму, показанную на рис. 5.21г.

Передаточное отношение червячной передачи определяется по формуле:



U = Uk / Uч

Где Uк - число зубьев колеса, Uч - число зубьев (заходов) червяка.

Для однозаходного червяка передаточное отношение равно числу зубьев червячного колеса, что и объясняет большое передаточное отношение червячных передач.

Коническая передача образована коническими зубчатыми колесами с пересекающимися осями(рис. 5.22). В основе передачи лежат начальные конусы, перекатывающиеся друг по другу без скольжения. Часть зуба, выступающая за начальный конус, является головкой, а часть, лежащая внутри - ножкой зуба. Высота головки и ножки, а также остальные размеры зубьев, в том числе и модуль, уменьшаются при переходе от наружного торца колеса к внутреннему. За модуль колеса принимается наибольший, относящийся к делительной окружности наружного торца колеса. Размеры зубьев подсчитываются по тем же формулам, что и для прямозубых колес. Нарезание конических колес с прямыми зубьями возможно только на специальных зубострогальных станках. Применяются также конические колеса с криволинейными зубьями.



ПЕРЕДАТОЧНОЕ ОТНОШЕНИЕ И ПЕРЕДАТОЧНОЕ ЧИСЛО

Важнейшей характеристикой всякого зубчатого механизма является передаточное отношение. Передаточным отношением называется отношение угловых скоростей колес. Передаточное отношение принято обозначать буквой Uи снабжать индексами, указывающими номера зубчатых колес, например U₁₂ = щ₁ ? щ₂. Из рассмотрения зубчатой передачи на рис.5.23 следует:

V_A1 = щ₁ r₁ V_A2 = щ₂ r₂ V_A1 = V _A2

Тогда

U₁₂ = щ₁ / щ₂ = r₂ / r₁ = m z₂ / m z₁ = z₂ / z₁ (5.10)

Передаточному отношению присваивается знак +, если входное и выходное колеса вращаются в одном направлении, и знак -, если они вращаются в разном направлении. Для зубчатой передачи внешнего зацепления U₁₂ отрицательно, для внутреннего зацепления - положительно. При передаточном отношении больше единицы имеем редуктор (замедление скорости), при передаточном отношении меньше единицы - мультипликатор (происходит увеличение скорости вращения). В подавляющем большинстве случаев механизмы являются редукторами. Их назначение - уменьшать частоту вращения двигателя до той, которая необходима для нормальной работы исполнительного органа машины. Одновременно с уменьшением частоты вращения повышается крутящий момент. Так как к.п.д. зубчатой передачи очень высок (0.95 - 0.98), то можно считать, что мощности N₁ = N₂, где N₁ = M₁ щ_1,N₂ = M₂ щ₂, отсюда следует, что M₂ = M₁ U₁₂.



Передаточное отношение не следует путать с передаточным числом, под которым понимается отношение угловой скорости большего колеса к угловой скорости меньшего, называемого обычно шестерней. Передаточное число всегда больше единицы и знака не имеет.

Рядовой зубчатой передачей (зубчатым рядом) называется зубчатый механизм, образованный зубчатыми колесами с неподвижными осями. Зубчатый ряд состоит из одной или нескольких зубчатых передач. Рассмотрим механизм на рис. 5.24. Он составлен из трех зубчатых передач, образованных колесами z₁, z₂, z₃, z₄, z₅, z₆. Запишем их передаточные отношения:

U₁₂ = щ₁./ щ₂, U₃₄ = щ₃ / щ_4, U₄₅ = щ₄ / щ_5,

откуда

Щ₂ = щ₁ / U₁₂, щ₄ = щ₃ / U_34, щ₅ = щ₄ / U₄₅



Производя последовательную подстановку выражений для щ₂, щ₄, щ₅, получим

Щ₅ = щ₁ / U₄₅ U₃₄ U₁₂,

откуда

U₁₅ = U₁₂ U₃₄ U₄₅

Полученная формула является частным случаем общего правила, формулируемого следующим образом:

Передаточное отношение рядовой зубчатой передачи равно произведению передаточных отношений входящих в нее зубчатых передач, при этом следует учитывать знаки передаточных отношений составляющих зубчатых передач.

Передаточное отношение также можно выразить через числа зубьев:

U₁₅ = Z₂ Z₄Z₅ / Z₁ Z₂ Z₄ (5.11)

Отсюда следует второе правило:

Передаточное отношение рядовой зубчатой передачи равно дроби, в числителе которой стоят числа зубьев выходных колес, а в знаменателе - входных. Знак берется согласно указанному выше правилу знаков. В формуле колесо Z₄ не влияет на численное значение передаточного отношения, но влияет на знак. Такое колесо называется паразитным

РАСЧЕТ РЯДОВОЙ КОРОБКИ ПЕРЕДАЧ

В качестве примера рассмотрим коробку передач легкового автомобиля, в основе которой рядовой зубчатый механизм (рис. 5.24).

Она состоит из входного вала 1, выходного вала 2 и промежуточного вала 3. На промежуточном валу жестко закреплены колеса с числом зубьев Z₁ = 29, Z₂ = 24, Z₃ = 20, Z₄ = 15, Z₅ = 15, на входном валу - колесо Z₆ = 17. На выходном валу подвижно установлены колеса Z₇ = 24, Z₈ = 27, Z₉ = 33. Для включения передачи 1 рычагом переключения передач передвигается кулачковая муфта М₁ направо так, что она кулачками сцепляется с колесомZ₉. Передвигая муфту влево, включаем передачу II, аналогично посредством муфты М₂ происходит включение передач III IY. При указанных числах зубьев колес рассчитаем передаточные отношения на I II III IY передачах:

U^I = 29 33 / 17 15 = 3.75

U^II ₌ 29 27 / 17 20 = 2.303

U^III = 29 21/ 17 24 = 1.49

U^IY = 1

Вводя в зацепление с колесами Z₅ и Z₁₀ = 34 паразитное колесо Z₁₁, получаем передачу заднего хода с передаточным отношением

U_зх = - 29 34 / 17 15 = - 3.88.



ПЛАНЕТАРНЫЕ ЗУБЧАТЫЕ МЕХАНИЗМЫ

Планетарным называется зубчатый механизм, содержащий колеса с подвижными осями. Планетарные зубчатые механизмы широко распространены в технике, особенно транспортной, так как, обладая большим передаточным отношением, имеют малые габариты и вес. Иногда эти механизмы называют эпициклическими, так как траектории точек колес с подвижными осями при внешнем зацеплении представляют эпициклоиды. Простейший планетарный механизм представлен на рис. 5.25. Колесо 2 с подвижной осью называется сателлитом, центральное колесо 1 - солнечным, звено, несущее ось сателлита, называется водилом, его принято обозначать буквой Н.

Если колесо 1 подвижно, степень подвижности механизма, рассчитанная по формуле Чебышева, равна 2, Если остановить колесо 1, получим механизм с W = 1 (рис. 5.25б) Механизмы, у которых W>1, называются дифференциальными (зубчатыми дифференциальными). Если у планетарного механизма остановить водило, оставив колеса свободными, получим рядовую передачу.



Схема планетарных механизмов могут быть очень разнообразными. Практическое применение нашло, в основном, только несколько схем. Наиболее распространенные схемы представлены на рис. 5.26.

Механизм по схеме а получил название механизма Джеймса, а механизм по схеме в - механизм Давида. Наибольшее распространение получила схема а. Она характеризуется высоким к.п.д., практический диапазон передаточных отношений U = 3 - 8. Механизмы по схемам в и г могут иметь очень большие передаточные отношения, но у них низкий к.п.д. По схеме е выполняются мотор - редукторы, представляющие в одном агрегате двигатель и редуктор. Особенно перспективна схема д, здесь всего два колеса, высокий к.п.д., большое передаточное отношение.

АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕДАТОЧНОГО ОТНОШЕНИЯ И УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ ПЛАНЕТАРНЫХ МЕХАНИЗМОВ

Кинематический расчет планетарных механизмов значительно более сложен, чем рядовых механизмов. Он основан на методе обращения движения. Рассмотрим его на примере механизма на рис. 5.27. Считаем, что заданы числа зубьев колес Z₁, Z₂, Z₃, Z₄, угловая скорость входного колесащ₁. Требуется определить передаточное отношение U_1н, угловую скорость выходного звена Н и угловую скорость колеса 2.

Сущность метода обращения движения состоит в следующем: придадим стойке механизма скорость вращения водила щ_н, но в противоположном направлении. Тогда водило окажется неподвижным в абсолютной системе отсчета, а остальные звенья приобретут дополнительную скорость - щ_н. Изобразим обращенный механизм рядом на схеме. Механизм с неподвижным водилом является зубчатым рядом, для него справедливы полученные ранее соотношения:

U₁₄^H = (щ₁ - щ_H) / (щ₄ - щ_H) (5.12)

Здесь верхний индекс Н указывает, что параметры относятся к обращенному механизму. Согласно формуле (5.11) имеем:

U₁₄^H = - Z₂ Z₄ / Z₁ Z₃

Из формулы (5.12) после некоторых преобразований следует:

U_1H = щ₁ / щ_H = 1 - U₁₄^H

Полученная формула справедлива для любой схемы планетарного механизма. Она носит название формулы Виллиса.

Если требуется определить передаточное отношение от водила к колесу 1, то, имея в виду, что U_H1 = 1 / U_1H, получим

U_H1 = 1 / (1 - U₁₄^H)

Зная U_1H, можно найти щ_Н: щ_Н = щ₁ / U_1H. Для определения скорости щ2 следует рассмотреть одну ступень планетарного механизма и изобразить соответствующий ей обращенный механизм (рис.5.28). Для обращенного механизма

U₁₂ = (щ₁ - щ_H) / (щ₂ - щ_H)

Отсюда уже не представляет сложности определить щ₂.



КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ АВТОМОБИЛЬНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Рассмотренный метод кинематического исследования применим также к анализу дифференциальных зубчатых механизмов. Одним из наиболее известных является автомобильный дифференциал (рис.5.29). Его назначение - передача движения от карданного вала к колесам автомобиля. Механизм, представленный на рис.5.29, включает главную передачу, образованную коническими колесами Z₁ и Z₂, корпус дифференциала, являющийся в то же время водилом дифференциального механизма, нескольких сателлитов Z₄ и двух центральных колес Z₃ и Z₅, жестко посаженных на полуоси колес.

Применим к этому механизму принцип обращения движения, сообщив ему скорость - щ_Н. На рис. представлен обращенный механизм. Для него можно записать

U₃₅^H = (щ₃ - щ_H) / (щ₅ - щ_H) = Z₅ / Z₃

Поскольку Z₅ = Z₃, U₃₅^H = -1. Знак минус указывает, что колеса Z₃ и Z₅ в обращенном механизме вращаются в противоположном направлении. Произведя подстановку, получим уравнение автомобильного дифференциала:



Щ₃ + щ₅ = 2 щ_Н (5.13)

Произведем анализ формулы (5.13). При движении по прямому участку дороги щ₃ = щ₅ = щ_Н, следовательно, дифференциал как бы жестко связывает полуоси, происходит кинематическая блокировка дифференциала. Совершенно по другому ведет себя дифференциал при движении по закруглению. Внешнее колесо движется с большой угловой скоростью, чем внутренне, но так, что их средняя скорость равна скорости водила. Если бы колеса были связаны жесткой осью, происходило бы пробуксовка одного или обоих колес, ухудшая эксплуатацию автомобиля. В том случае, когда одно колесо свободно пробуксовывает, второе колесе неподвижно. Скорость буксующего колеса равно 2щ_Н. В таких случаях применят механическую блокировку дифференциала.

ЗАМКНУТЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕХАНИЗМЫ

Замкнутые дифференциальные механизмы позволяют получать огромные передаточные отношения при высоких к.п.д. Схемы таких механизмов чрезвычайно разнообразны. Рассмотрим механизм, построенный на основе трехколесного дифференциала (рис. 5.30). Для получения большого передаточного отношения необходимо, чтобы солнечные колеса Z₁ и Z₃вращались в разные стороны. Это достигается тем, что вводится замыкающая кинематическая цепь, выполненная в виде рядового зубчатого механизма. В отдельных случаях возможно получение передаточного отношения порядка 700 -- 1000. При анализе таких механизмов их надо разделить на рядовую и планетарную ступени и проводить анализ каждой ступени, используя формулы, приведенные выше.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ КОРОБКИ ПЕРЕДАЧ

Дифференциальные коробки передач получили широкое распространение в транспортных машинах, например, тяжелых тракторах, лебедках и т.д. Они представляют дифференциальные механизмы, которые посредством фрикционных муфт можно преобразовать в различные комбинации рядовых и планетарных механизмов, при этом изменяется общее передаточное отношение механизма.

В качестве примера рассмотрим привод тяговой лебедки (рис. 5.31). Привод составлен на основе двух последовательно установленных трехколесных дифференциалов, снабженных ленточными тормозами Т₁ и Т₂ и фрикционными муфтами М₁ и М₂.

Здесь возможны четыре режима передач. При включении тормозов Т₁ и Т₂ дифференциалы работают как последовательно установленные планетарные механизмы, при этом обеспечивается наибольшее передаточное отношение. Для получения второй передачи включается тормоз Т₁ и муфта М₂. Тем самым блокируется второй дифференциал, который ведет себя как одно звено, работает только планетарный механизм первой ступени. Третья передача получается, если включить тормоз и муфту М₁. Четвертая передача получается при включении муфт М₁ и М₂. Это режим прямой передачи без редукции.

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПЛАНЕТАРНЫХ МЕХАНИЗМОВ

В ряде случаев полезно произвести кинематическое исследование планетарного механизма графическим методом. В основе этого метода лежат два положения кинематики:

1. Скорость точки звена, совершающего вращательное движение, является линейной функцией радиуса вращения. В таком случае график зависимости скорости от радиуса есть прямая линия.

2. Любое плоское движение можно рассматривать как мгновенное вращательное движение вокруг МЦС (мгновенного центра скоростей).

В качестве примера рассмотрим механизм, представленный на рис. 5.32. Он включает планетарную и рядовую ступень, составленную колесами Z₅ и Z₆. Схема механизма должна быть построена в масштабе k_l = l_OA / OA. Справа от схемы построена линия полюсов р - р. От этой линии откладываются скорости точек звеньев в масштабе k_V = V_A / pa. Условимся положительные скорости направлять вправо, отрицательные - влево. Точки на линии полюсов находятся в проекционной связи с точками на механизме. Построение плана скоростей начинается с точки А. Скорость точки С равна нулю, эта точка является МЦС для блока сателлитов. Линия са на плане скоростей называется картиной распределения скоростей. Она обладает тем свойством, что на ней находятся концы векторов скоростей точек, лежащих на блоке сателлитов. Это свойство обосновано выше. Тогда, проведя линию проекционной связи, найдем скорость точки В. Соединив точки В и О, получим картину скоростей водила. Дальнейшее построение ясно из рисунка.

Покажем, что угловая скорость звена пропорциональна тангенсу угла наклона соответствующей картины скоростей. Это следует из соотношения:

Щ₁ = V_A / L_OA = tg б k_щ (5.14)

Аналогичные выражения можно записать для угловых скоростей остальных звеньев.

Формула (5.14) позволяет по углу наклона найти угловые скорости. Однако можно избегнуть необходимости этого расчета, если произвести дополнительное построение плана угловых скоростей. Выбирается произвольный вертикальный отрезок sk, из точки к строятся под углами б лучи до пересечения с горизонталью, проведенной через точку s. Из построений следует, что, например, tg б = sa / sk. Следовательно отрезки sa, sc, sb, seвыражают в масштабе угловые скорости щ₁, щ₂, щ_Н, щ₆.

Графическое исследование дифференциального механизма производится аналогично, с той лишь разницей, что скорость точки С принимается равной нулю.



УСЛОВИЯ СООСНОСТИ, СОСЕДСТВА, СБОРКИ ПЛАНЕТАРНЫХ МЕХАНИЗМОВ

В отличие от рядовых механизмов планетарный механизм может существовать только при выполнении определенных соотношений между числами зубьев колес. Прежде всего должно быть выполнено условие соосности. Оно состоит в том, что оси центральных, солнечного и опорного, колес, а также водила должны совпадать. В противном случае механизм заклинит. Из рассмотрения схем на рис.5.33. следует:

а + b = c + d

Поскольку колеса изображены их делительными окружностями, то нетрудно через диаметры делительных окружностей записанное выше равенство представить в виде:

Z₁ + Z₂ = Z₃ + Z₄

Аналогичным образом для механизма по схеме б получено условие:

Z₁ + Z₂ = Z₄ - Z₃



Условие соседства сателлитов выражается в том, что соседние сателлиты не должны касаться друг друга окружностями вершин (рис.5.34) Из геометрических построений соотношение:

2 r_2a < 2 R_H sin р / k

где r_2a - радиус окружности вершин сателлита,

R_H - радиус водила,

k - число сателлитов в механизме.

Выразив радиусы через модули и числа зубьев, и произведя преобразования, получим:

Sin р / k > (Z₂ + 2) / (Z₁ + Z₂) (5.15)

Формула (5.15) позволяет подсчитать максимальное число сателлитов. Впрочем, эту задачу можно решить и чисто графически.



При сборке трехколесного планетарного механизма может оказаться, что после установки первого сателлита остальные сателлиты установить нельзя. Это происходит потому, что поставленный первым сателлит полностью определяет взаимное положение центральных колес. Установим условия, налагаемые на числа зубьев, при которых будет происходить собираемость механизма (рис. 5.35)

Будем считать, что сателлит имеет четное число зубьев, тогда впадины на центральных колесах можно расположить друг против друга. Повернем колесо 1 на целое число Е угловых шагов ц₁^Е = Е ц₁, где ц₁ = 2р/Z₁.Тогда впадины между зубьями расположатся друг против друга и можно поставить следующий сателлит. Подсчитаем угол поворота водила:

Ц₁^Е / ц_H^E = U_1H,

Отсюда

Ц_H ^E = 2р E / Z₁ U_1H

Воспользовавшись формулой Виллиса, выразим U_1H через U₁₃^H и преобразуем вышезаписанную формулу:



Ц_H^E = 2р E / (Z₁ + Z₃)

Таким путем можно установить к сателлитов, если расположить их равномерно:

к = 2р/ ц_H^E = (Z₁ + Z₃) / E

Поскольку к - целое число, Z₁ + Z₃ должно быть кратно числу сателлитов. Аналогичные результаты получены и при нечетном числе зубьев сателлитов. Для передач с двойными сателлитами условие сборки можно получить аналогичным образом.

ПРИМЕР СИНТЕЗА ПЛАНЕТАРНОГО МЕХАНИЗМА

Рассмотрим методику синтеза планетарного механизма, ограничиваясь соблюдением условия заданного передаточного отношения и условия соосности. Пусть выбрана схема механизма (рис.5.36), для которой надо подобрать числа зубьев, обеспечивающие передаточное отношение, например, равное 12.

1. Определяем передаточное отношение соответствующего обращенного механизма:



U₁₄^H 1 - U_1H = - 11

2.Разложим полученное передаточное отношение на множители. Здесь возможны разнообразные варианты, например:

U₁₄^H = Z₂ Z₄ / Z₁ Z₃ = 220 / 20 =4 ? 55 / 4 ? 5

3.Запишем условие соосности и проверим его выполнение для принятых чисел зубьев:

Z₁ + Z₂ = 4 + 4 = 8

Z₄ - Z₃ = 55 - 5 = 50

4.Условие соосности, как правило, не выполняется. Для его выполнения нужно умножить верхнюю формулу на 50, а нижнюю - на 8. Тогда

Z₁ = 200 Z₂ = 200 Z₄ = 440 Z₃ = 40

Полученные числа зубьев можно сократить так, чтобы получились реально выполнимые колеса с числом зубьев в пределах 10 - 100.



ВОЛНОВАЯ ПЕРЕДАЧА

В 1959 году Массер (США) запатентовал зубчатую передачу, которая в настоящее время пользуется большой популярностью. Ее основные достоинства - большое передаточное отношение, высокий к.п.д., способность передавать движение в герметичные полости, многопарность зацепления (до 30% зубьев), малое скольжение и износ. В волновой передаче одно из колес выполняется гибким, способным деформироваться под действием звена, называемого генератором волн. Волновые передачи весьма разнообразны. Чаще всего они выполняются с неподвижным жестким звеном и внутренним гибким колесом. Возможны двухволновые и многоволновые механизмы с генератором в виде эллипсовидного звена с шариковым сепаратором.