Министерство сельского хозяйства и продовольствия республики Беларусь

Белорусский государственный аграрный технический университет

Факультет: Технический сервис в АПК

_{Кафедра ТМ и ТММ}

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

Исследование механизмов МТЗ-80

По дисциплине

«Теория механизмов и машин»

Исполнитель: Щербакова Е.А.

Группка 4 пб III курса

Руководитель: Т.А. Рубинова

Минск 2007



РЕФЕРАТ

Данный курсовой проект состоит из 35 страниц печатного текста (расчётно-пояснительной записки), из 4-х листов чертежей формата А1. Состоит из трёх частей.

В курсовом проекте проводится анализ основных механизмов применяемых в сельскохозяйственном машиностроении аналитическим и графическим методами.



СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Структурный анализ механизма

2. Кинематическое исследование механизма

2.1 Построение плана положений механизма

2.2 Построение планов скоростей.

2.3. Построение планов ускорений

2.4. Построение кинематических диаграмм для точки D

3. Кинематическое исследование механизма двигателя. Исследование движения механизма

3.1 Построение планов механизмов, индикаторных диаграмм и нахождение сил для расчётного положения действующих на звенья механизма

3.2 Силовой расчёт группы из звеньев 4 и 5

3.3 Силовой расчёт группы из звеньев 2 и 3

3.4 Силовой расчёт начального звена

3.5 Определение уравновешивающей силы по методу Н.Е. Жуковского

3.6 Определение мгновенного коэффициента полезного действия

4. Исследование движения механизма и определение момента инерции маховика

5. Проектирование кулачкового механизма

5.1 Проектирование кулачкового механизма

5.2 Проектирование эвольвентного внешнего зацепления прямозубых цилиндрических колёс

5.3 Кинематическое исследование планетарного зубчатого механизма.

Заключение

Список используемых источников



ВВЕДЕНИЕ

Целью данного курсового проекта является приобретение навыков исследования и проектирования механизмов и машин. Полученные в результате выполнения курсового проекта навыки применения основных положений и выводов теории позволяют решать конкретные технические задачи. В данной работе был проведён анализ проектирования наиболее широко применяемых в сельскохозяйственном машиностроении типовых элементов, которые используются в качестве конструктивных элементов сельскохозяйственных машин.

Механизмы двигателей осуществляют преобразование различных видов энергии в механическую работу. Механизмы преобразователей осуществляют преобразование механической работы в другие виды энергии. К основным видам двигателей относятся: двигатели внутреннего сгорания, электродвигатели, паровые машины. К механизмам преобразователей - механизмы насосов, компрессоров, гидроприводов.

Важнейшей характеристикой любого механизма является коэффициент полезного действия, который определяет режим работы. Механическим коэффициентом полезного действия называют отношение работы сил сопротивления к работе всех движущих сил за цикл установившегося движения. Ещё одной важной характеристикой механизма, влияющий на долговечность изделия, является коэффициент неравномерности движения.



1. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМА

Число степеней свободы механизма W определяется по формуле академика П.Л. Чебышева

W=3n-2p₅-p_4, (1.1)

где n- число подвижных звеньев;

p₅- число кинематических пар пятого класса;

р₄- число кинематических пар четвёртого класса.

В исследуемом механизме n=5, р₅=7, р₄=0, то есть

W=3*5-2*7-0=1

Следовательно, исследуемый механизм имеет одно начальное звено и все звенья совершают вполне определённые движения.

Определим класс механизма. Класс механизма определяется высшим классом группы Ассура, входящей в состав механизма. Отделение групп начинается с самой удалённой от начального звена. Отделяем группу второго класса второго вида со звеньями 4 и 5.

Затем отделяем группу второго класса второго вида со звеньями 2 и 3

В результате отделения остаётся механизм первого класса, в состав которого входит начальное звено 1 и стойка 0.

Формула строения механизма имеет вид

I(0,1)>II(2,3) >II(4,5)

Таким образом, механизм относится ко II классу.



2. КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЗМА

2.1 Построение плана положений механизма

План положений механизма является основой для построения кинематических диаграмм линейного перемещения ползуна, или углового перемещения звена. Построение плана положений механизма выполняется в масштабе _l. Схема механизма выполнена в масштабе М 1:2, следовательно, _l=0.002 м/мм. В этом масштабном коэффициенте вычерчивается кинематическая схема механизма. На траектории точки D ползуна 3 находим её крайнее положение. Для этого из точки О радиусом OD₀=OA+AD делаем одну засечку на линии х-х и определяем правое крайнее положение, а радиусом OD₆=AD-AD другую засечку - левое крайнее положение. Точки В₀ и В₆ будут крайними положениями ползуна 3. За нулевое положение принимается левое крайнее положение, а вращение кривошипа - против часовой стрелки. Начиная с нулевого положения кривошипа детали делим траекторию точки А на 12 равных частей и методом засечек находим остальные положения звеньев механизма. Для каждого положения находим точки S₂ и S₄, соединив последовательно все положения точки S, мы получим шатурные кривые.

2.2 Построение планов скоростей

Определение скоростей, указанных на кинематической схеме точек звеньев механизма звеньев механизма, производим методом планов в последовательности, определённой строением механизма. Вначале определим линейную скорость точки А.

V_А=*L_OA=*n₁*L_ОА / 30; (2.1)



где - угловая скорость звена ОА ;

L_OA - длина звена ОА, м;

n₁ - частота вращения звена ОА.

Подставим значения из задания :

=3.14*1900/30=198.9 рад/с (2.2)

V_А=198.9*0.11=21.9 м/с

Скорость точки А будет одинаковой для всех положений механизма. Масштабный коэффициент плана скоростей выбираем стандартным . Вектор ра, изображающий скорость точки А, был длиной не менее 50-70 мм.

Ра=21.9/0.5=43.8 мм (2.3)

м_v=0.5 м*с^-1

Вектор Ра перпендикулярен звену ОА и направлен в сторону его вращения.

Определим скорость точки D, принадлежащей группе Ассура (2,3). Рассмотрим движение точки В по отношению к точке А, а затем по отношению к точке D₀ (принадлежащей неподвижному звену). Запишем векторные уравнения, которые решаются графически.

V_D=V_А+V_DA

V_D=V_D0+V_DD0

Согласно первому уравнению, через точку а на плане скоростей проводим прямую перпендикулярную АD, а согласно второму - через точку P (т.к. V_D0=0) проводим прямую параллельную направляющей х-х.

Прерсечение этих прямых определяем положение точки d , изображающей конец вектора V_D и V_AD. Из плана скоростей имеем :

V_D=V_DD0=pв* м_v=43*0.5=21 м/с (2.5)

V_АD=ad* м_v=22*0.5=11 м/с (2.6)

Скорость точек S₂ и В определяем по теории подобия:

А S₂/AD=as₂/ad (2.7)

Откуда

ав=as₂= ad*А S₂/AD=22*(1/3)=7.3 мм

Следовательно

V_S2=V_В=ps₂* м_v=3.6 м/с (2.8)

Скорости точек, точек принадлежащих группе Ассура (2,3) определены.

Переходим к построению плана скоростей для группы (4,5). Рассмотрим движение точки С относительно точки В, а затем по отношению к точке С₀, принадлежащей неподвижной направляющей. Запишем два векторных уравнения, которые решим графически:

V_С=V_В+V_СВ (2.9)

V_С=V_Со+V_ССо

Согласно первому уравнению через точку b плана скоростей проводим прямую перпендикулярную к ВС, а для решения второго уравнения необходимо через полюс р провести прямую параллельную направляющей у-у. На пересечении этих линий будет находиться точка С. Величины скоростей определим, умножая длины векторов на м_v, получим:

V_C=V_Cco=pc* м_v=5*0.5=2.5 м/с (2.10)

V_BC=bc* м_v=45*0.5=22.5 м/с (2.11)

Скорость центра масс S₄ звена 4 определим по теореме подобия.

ВS₄/ВС=bs₄/bc (2.12)

Откуда

bs₄= bc*BS₄/BC=45*(1/3)=15 мм

Следовательно,

Vs₄=рs₄* м_v=25*0.5=12.5 м/с (2.13)

В указанной последовательности производятся построения планов для всех 12 положений механизма. Причём векторы, выходящие из полюса р, изображают абсолютные скорости точек, а отрезки соединяющие концы этих векторов - относительные скорости точек.

Вычисленные таким образом значения заносим в таблицу 1.

Определим угловые скорости звеньев из уравнений:

щ₂=V_DА/L_DА=ad* м_v/ L_АD=23*0.5/0.506=22.72 рад/с (2.14)

щ₄=V_CB/L_CB=cb* м_v/ L_CB=45*0.5/0.506=44.47 рад/с (2.15)

Таблица 2.1.

Данные графических построений планов скоростей.

Номер положения	VА	VDА	VВ, VS2	VD	VС	VСВ	Vs4	щ 2	щ4
М/с	Рад/с
0	21.5	21.5	14.5	0	14.5	0	14.5	29	29
1	21.5	19	18	12.5	18.5	13.5	16.5	36	33
2	21.5	11	21	20.5	16.5	21	16.5	42	33
3	21.5	0	21.5	21.5	8	23	15	43	30
4	21.5	11	19	16.5	3	18	13.5	38	27
5	21.5	19	16.5	9.5	11	10	15	33	30
6	21.5	21.5	14.5	0	14.5	0	14.5	29	29
7	21.5	19	16.5	9.5	14	10	15	33	30
8	21.5	11	19.5	16.5	11	18	16.5	39	33
9	21.5	0	21.5	21.5	8	23	15	43	30
10	21.5	11	21	20.5	3	22	13.5	42	27
11	21.5	19	18	12.5	7	13.5	13.5	36	27

Направление угловой скорости звена АD определится, если вектор ad скорости точки D относительно точки А параллельно самому себе в точку D на схеме механизма и установить направление вращения звена АD относительно точки А под действием этого вектора. Направление угловой скорости шатуна 4 определяет вектор сb, если его перенести из плана скоростей в точку С на схеме механизма.

2.3 Построение планов ускорений

Последовательность построения плана ускорений также определяется строением механизма. Вначале найдём ускорение ведущей точки А.

При щ₁ = const начального звена ОА точка А имеет только нормальное ускорение:

_{а А = щ1²* LOA = (р*n1/30)²* LOA=(3.14*1900/30)²*0.11=4350.3 м/с² (2.16)}

Ускорение точки А изобразим на плане ускорений вектором ра, который направлен по звену ОА от точки А к точке О. Масштабный коэффициент выбираем стандартным и таким, чтобы длина вектора ра была в пределах 50 - 80 мм.

М_а=а _А/ ра=100 м*с^-2_/мм (2.17)

Вектор ра и есть план ускорений начального звена ОА. Теперь построим план ускорений группы 2,3. Здесь известны ускорения точек А и D. Запишем два векторных уравнения, рассматривая движение точки D относительно точки А и по отношению к точке Do.

а_D=а_А+ а_DAⁿ + а_DA^ф (2.18)

а_D=а_Do+ а_Ddo^отн

а_DAⁿ - Нормальное ускорение в относительном движении точки D по отношению к точке А;

а_DA^ф- тангенсальное ускорение в относительном движении точки D по отношению к точке А;

а_Do-ускорение точки Do направляющей х-х;

а_Ddo^отн - ускорение точки D ползуна относительно точки Do направляющей.

Вектор нормального ускорения а_DAⁿ направлен параллельно АD от точки D к точке А. Величина этого ускорения:

а_DAⁿ = щ₂²* L_AD=V_DA² /L_AD=42²/0.506=3528 м*с^-2 (2.19)

На плане ускорений через точку а проводим прямую, параллельную звену АD и откладываем на ней в направлении от точки D к точке А вектор аn₁, представляющий в масштабе м_а ускорение а_DAⁿ.

аn₁= а_DAⁿ/ м_а=3528/50=70.56 мм (2.20)



Через точку n₁ проводим прямую в направлении вектора тангенциального ускорения а_DA^ф перпендикулярно звену DA.

В соответствии со вторым уравнением через полюс р и совпадающую с ним точку Do проводим прямую в направлении ускорения а_Ddo параллельно направляющей х-х. Точка пересечения этих прямых даст точку b, определяющую конец вектора абсолютного ускорения точки D.

А_D= рd* м_а=40*50=2000 м*с^-2_; (2.21)

Величина тангенциального ускорения

а_DA^ф= n₁d* м_а=38*50=1900 м*с^-2_; (2.22)

Ускорение центра масс S₂ звена АD и точки В определяются с помощью теоремы подобия.

Аs₂=АS₂*ad/АD=76*1/3=25.3 мм; (2.23)

Тогда ускорение точки S₂ найдём по формуле:

а_S2= рS₂*м_а=64*50=3200 м*с^-2_; (2.24)

А сейчас определим ускорения точек звеньев 5 и 4. Рассмотрим движение точки С относительно В и точки С относительно Со.

Ускорение точки С определяется графическим решением следующих двух уравнений:

а_С=а_В+ а_СВⁿ + а_СВ^ф (2.25)

а_С=а_Сo+ а_Ссo^отн



В первом уравнении нормальное ускорение а_СВⁿ направлено по шатуну ВС (от точки С к В). Величина ускорения

а_СВⁿ= щ₄²* L_СВ=V_СВ² /L _СВ=54²*0.506=1475.5 (2.26)

Тангенциальное ускорение а_СВ^ф перпендикулярно к звену и определяется из построения плана ускорений.

Ускорение а_Со=0, а относительное ускорение С_Ссо^отн точки С ползуна относительно точки Со направляющей определяется построением плана ускорений.

В соответствии с первым уравнением на плане ускорений через точку В проводим прямую, параллельную звену СВ, и откладываем на ней в направлении от точки С к точке В вектор аn₂, представляющий в масштабе м_а ускорение а_СВⁿ_.

Аn₂= а_СВⁿ/ м_а=1475.5/50=29.2 мм (2.27)

Через точку n₂ проводим прямую в направлении вектора тангенциального ускорения а_СB^ф перпендикулярно звену СВ.

В соответствии со вторым уравнением через полюс р и совпадающую с ним точку Сo проводим прямую в направлении ускорения а_Ссo параллельно направляющей у-у. Точка пересечения этих прямых даст точку С, определяющую конец вектора абсолютного ускорения точки С.

а_С= рс* м_а=51*50=2550 м*с^-2_; (2.28)

Величина тангенциального ускорения

а_СB^ф= n₂с* м_а=12*50=600 м*с^-2_; (2.29)



Ускорение центра масс S₄ звена ВС определяется с помощью теоремы подобия.

А_S4=ВS₂*cb/CB=24*1/3=8мм; (2.30)

Тогда ускорение точки S₄ найдём по формуле:

а_S4= рS₄*м_а=58*50=2900 м*с^-2_; (2.31)

Определим величины угловых ускорений звеньев:

Е₂= а_DА^ф / L_АС=1900/0.506=3755 рад/с; (2.32)

Е₄= а_СB^ф / L_ВС=600 / 0.506=1186 рад/с; (2.33)

Направление углового ускорения Е₂ шатуна 2 определим, если перенесём вектор n₁d , из плана ускорений в точку D звена AD. Под действием этого вектора звено вращаться вокруг точки А по(против) часовой стрелки. Направление углового ускорения Е₄ шатуна 4 определит вектор n₂с , перенесённый в точку с на схеме механизма.

В такой же последовательности определим ускорения и для второго заданного ускорения. Результаты построения планов ускорений занесены в таблицу 2.2.

Таблица 2.2

Данные графических построений планов ускорений

Номер положе ния	аА	аDАn	аDАф	аDА	аВ,aS2	aС	aСВф	aСВn	aСВ	as4	е 2	е 4
М/с2	Рад/с2
9	4350	0	4450	4450	2900	1550	850	1150	1350	2400	8794	1670
10	4350	3528	1900	2000	3200	2550	600	1475	1200	2900	3755	1186



2.4 Построение кинематических диаграмм для точки D

Диаграмма перемещений

На оси абсцисс откладываем отрезок L , изображающий время одного оборота кривошипа, делим его на 12 частей и в соответствующих точках откладываем перемещения точки D от начала отчета из плана положений механизма.

Масштаб по оси ординат

м_S= м_L =0.002 м/мм

Масштаб по оси абсцисс

м_t =Т/n*L=60/1900*159=0.0002 с/мм (2.34)

Диаграмма скоростей

Диаграмма ускорений точки D построена по данным планов скоростей. Масштаб по оси ординат м_V принят равным масштабу м_V планов скоростей.

М_V=0.5 м*с^-1/мм

Диаграмма ускорений

Диаграмма ускорений построена графическим дифференцированием диаграммы скорости. Полюсное расстояние принято Н=25 мм. Масштаб по оси ординат

м_а= м_V/ (м_t*Н)=0.5/(0.0002*25)=100 м*с^-2/мм (2.35)



3. _{КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЗМА ДВИГАТЕЛЯ. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЗМА}

3.1 Построение планов механизмов, индикаторных диаграмм и нахождение сил для расчётного положения действующих на звенья механизма

_{Выполняем построение планов механизма и кинематическую схему в масштабе}

_l =0.004м/мм, плана скоростей в масштабе _v=0.5м*с^-1/мм, план ускорений в масштабе

_а=0.5м*с^-2/мм и индикаторной диаграммы в масштабе _р=0.5МПа/мм.

По индикаторной диаграмме определяется удельное давление на поршень в каждом положении механизма. Проводя из каждого положения прямые параллельные оси Р получим на диаграмме разметку положений точек С и В. При нумерации положений следует учитывать, что порядок положений на диаграмме должен соответствовать направлению рабочего и холостого хода ползуна.

Масштаб индикаторной диаграммы по оси Р:

_р=Рмах / h =0.05МПа/мм. (3.1)

Где Рмах - максимальное удельное давление на поршень, равное 3.1 Мпа

h - принятая высота диаграммы, равная 62 мм.

Сила давления газа на поршень:

Q=P*S=Pd ²/4 (3.2)

Где Р - удельное давление газа на поршень в Па (1 Па=1 Н/м)

D - диаметр поршня в м.

Найдём значения сил для расчётного десятого положения.

Вычислим силы давления газа на поршень по формуле (3.2). Удельное давление газа на поршень определяется по формуле:

P=y*_р (3.3)

Для точки С:

Pc=0*0.05=0

Qc=0*3.14*0.09²/4=0

Для точки D:

Р_D=7*0.05=0.35 Мпа

Q_D=0.35*10 ⁶ *3.14*0.09²/4=2225.5 Н

Силы тяжести приложены к центрам массы звеньев. Они вычисляются по формуле:

G=mg (3.4)

Где m - масса звена в кг.

_{Найдём значения сил тяжести для каждого звена}

G₂= G₄=7*10=70 Н

G₃= G₅=4*10=40 Н

Силы инерции определяются по формуле:



Fи= - m*a_s (3.5)

где а_s - ускорение центра масс звена в м/с².

Направление сил инерции Fи противоположно направлению векторов ускорения центра масс звена. Для первого звена сила инерции равна 0, так как центр масс звена лежит на оси его вращения и его ускорение равно нулю. Найдём силу инерции для остальных звеньев:

Fи₂ = m₂*а_S2=7*3200=22400 Н

Fи₃ = m₃*а_S3=4*1700=6800 Н

Fи₄ = m₄*а_S4=7*2900=20300 Н

Fи₅ = m₅*а_S5=4*2550=10200 Н

Момент сил инерции (инерционные моменты) звеньев определяются по формуле:

Ми= - Js*е (3.6)

_{Где е - угловое ускорение звена в рад/с², Js - момент инерции масс звеньев относительно оси , проходящей через центр масс перпендикулярно к плоскости движения. Единицы измерения Кг*м².}

_{Момент сил инерции первого звена равна нулю, так как его угловая скорость постоянна.}

Js₂=Js₄=0.17*m*l² (3.7)

Js₂=Js₄=0.17*7*0.506²=0.304 кг*м²

Ми₂=0.304*3755=1141,5 Н*м

Ми₄=0.304*1186=360,5 Н*м

Направления моментов сил инерции противоположны направлениям угловых ускорений.

_{3.2 Силовой расчёт группы из звеньев 4 и 5}

Группу из звеньев 4 и 5 вычерчиваем в масштабе длин м_l =0.004 м/мм и в соответствующих точках прикладываем все действующее на звено силы и момент инерции. Отброшенные связи заменяем реакциями R₂₄ и R₀₅ . Под действием внешних сил, сил инерции и реакций группа будет находиться в состоянии равновесия.

Определим значение R₀₅ из уравнения моментов всех сил, приложенных к звеньям 4 и 5, относительно точки В.

((G₅-Q₅-Fи₅)*h₃+R₀₅*h₄+G₄*h₂+Fи₄*h₁)* м_l -M₄=0 (3.8)

R₀₅=[{(-G₅+Q₅+Fи₅)*h₃-G₄*h₂-Fи₄*h₁}* м_l +M₄]/ h₄

R₀₅=[{(-40+0+10200)*54-70*18-20300*3}*0.004+360.5] / [110*0.004]=5241.2 Н

Составим условие равновесия группы, приравняв нулю сумму всех сил, действующих на группу:

G₅+Q₅+Fи₅+R₀₅+G₄+Fи₄+R₂₄=0 (3.9)

_{Для определения реакции R24 строим план сил в масштабе мF=200 Н/мм}

Из точки а отложим отрезок аb параллельный силе Fи₄ :

Ab= Fи₄ / м_F =20300 / 200=101.5 мм (3.10)

Из конца вектора ba откладываем вектор bc в направлении силы Qс:

bc=Fи₅/ м_F =10200 / 200=51 мм (3.11)

Из точки с проводим отрезок сd в направлении силы R₀₅

сd= R₀₅/ м_F=5241.2/200=26.2 мм (3.12)

Силы G₄, G₅ и Q₅ в масштабе м_F на плане сил изображаются точками. Соединив точку d c точкой а получим вектор da соответствующий силе R₂₄, по величине равной:

R₂₄=(ad)* м_F=157*200=31400 Н (3.13)

_{3.2 Силовой расчёт группы из звеньев 2 и 3}

Группу из звеньев 2 и 3 вычерчиваем в масштабе длин м_l =0.004 м/мм и в соответствующих точках прикладываем все действующее на звено силы и момент инерции. Отброшенные связи заменяем реакциями R₀₃ и R₁₂ . Под действием внешних сил, сил инерции и реакций группа будет находиться в состоянии равновесия.

Определим значение R₀₃ из уравнения моментов всех сил, приложенных к звеньям 4 и 5, относительно точки В.

((R₀₃-G₃)*h₄+(F_И3-Q_С)*h₅+F_И2*h₂+R₄₂*h₁-G₂*h_3M )*м_l -Ми₂ =0 (3.14)

R₀₃ ={ [(G₃*h₄- (F_И3-Q_С)*h₅-F_И2*h₂-R₄₂*h₁+G₂*h_3M ]*м_l+Ми₂}/{h₄* м_l}

R₀₃ ={[(40*122 - (6800 - 2225.5)*27 - 22400*35-1400*40 +70*40] *0.004+1141,5}/ {122 *0.004}= - 8906 Н

Знак минус говорит о том, что сила направлена в сторону, противоположную выбранному первоначально направлению.

Составим условие равновесия группы, приравняв нулю сумму всех сил, действующих на группу:



G₃+Q_С+Fи₃+R₄₂+G₂+Fи₂+R₀₃+ R₁₂=0 (3.14)

_{Для определения реакции R24 строим план сил в масштабе мF=200 Н/мм}

Из точки а отложим отрезок аb параллельный силе Fи₄ :

ab= R₀₃ / м_F =8906 / 400= 22 мм (3.15)

Из конца вектора ba откладываем вектор bc в направлении силы Qс :

bc=Q_С/ м_F = 2225.5/ 400=5.5 мм (3.16)

Из точки с проводим отрезок сd в направлении силы F_И3

сd= F_И3/ м_F=6800/400=17 мм (3.17)

Из точки d проводим отрезок de в направлении силы F_И2

сd= F_И2/ м_F=22400/400=56 мм (3.18)

Из точки e проводим отрезок ef в направлении силы R₄₂

сd= R₄₂/ м_F=31400/400=78.5 мм (3.19)

Силы G₃, G₂ в масштабе м_F на плане сил изображаются точками. Соединив точку f c точкой а получим вектор fa соответствующий силе R₁₂, по величине равной:

R₁₂=(fa)* м_F=122*400=48 800 Н (3.20)



3.4 Силовой расчёт начального звена

Вычерчиваем начальное звено в масштабе м_l =0.004 м/мм и в соответствующих точках прикладываем действующие силы: в точке А реакцию R₁₂ и уравновешивающую силу Fу перпендикулярную звену ОА.

Векторное уравнение равновесия начального звена имеет вид:

R₁₂+Fу+ R₀₁=0 (3.21)

Величину уравновешивающей силы определим из уравнения моментов всех сил относительно точки О.

Fу*АО - R₁₂*h₁*м_l =0 (3.22)

Fу= R₁₂*h₁*м_l / АО

Fу=48 800*10*0.004/0.11=17 745 Н

В масштабе м_F=400 Н/мм строим план сил начального звена, из которого определяем реакцию R₀₁ в шарнире О. Величина реакции:

R₀₁=(са)* м_F=44800 Н (3.23)

3.5 Определение уравновешивающей силы по методу Н.Е. Жуковского

Более простым методом определения уравновешивающей силы является метод Н.Е. Жуковского.

В произвольном масштабе строим план скоростей, повёрнутый на 90^_ по часовой стрелке, и в соответствующих точках прикладываем силы давления газа на поршни, силы тяжести звеньев, силы инерции звеньев и момент сил инерции (заменяя парой сил), уравновешивающую силу.

Момент сил инерции представляем Ми₂ парой сил Fи₂“ и Fи₂`,приложенных в точках А и D с плечом пары l_AD. Величина этих сил:

Fи₂“= Fи₂`=Ми₂/ l_AD=1141,5/0.506=2256 Н (3.24)

Момент сил инерции представляем Ми₄ парой сил Fи₄“ и Fи₄`,приложенных в точках С и В с плечом пары l_СВ. Величина этих сил:

Fи₄“= Fи₄`=Ми₄/ l_СВ=360,5 / 0.506=711 Н (3.24)

Повёрнутый план скоростей рассматриваем как жёсткий рычаг с опорой в полюсе. Он находится в равновесии.

Составляем уравнение моментов всех сил относительно полюса плана скоростей, взяв плечи по чертежу в мм:

Мр(Fi)=Fy*(pa)+F_И2'*h₁₀ - F_И4'*h₈ - G₂*h₃ - F_И2*h₅+(Q₃-F_И3)*h₆ + F_И2”*h₉ - F_И4” *h₇+G₃*0 - F_И4*h₄ - G₄*h₂+(G₅ - F_И5 - Q₅)*h₁=0 (3.25)

Fy= - [F_И2'*h₁₀ - F_И4'*h₈ - G₂*h₃ - F_И2*h₅+(Q₃-F_И3)*h₆ + F_И2”*h₉ - F_И4” *h₇+G₃*0 -F_И4*h₄ - G₄*h₂+(G₅ - F_И5 - Q₅)*h₁] / ра;

Fу= - [2256*43 - 711*175 - 70*55 - 22400*59_+ (2225.5 - 6800)*166 + 2256*40 - 711*12+0 -20300*34 - 70*32 +(40 - 10200 - 0)*26) / 111=16501 Н

Величина уравновешивающей силы, полученной при кинетостатическом расчёте

Fу=17745 Н

Расхождения результатов определения уравновешивающей силы методом планов сил и Н.Е. Жуковского



?Fу=(17745 - 16501)/16501=7.54 % (3.26)

3.6 Определение мгновенного коэффициента полезного действия механизма

Мгновенный коэффициент полезного действия механизма определяем для 10 расчётного положения 10.

При расчёте будем считать, что диаметры цапф равны 20 мм, коэффициент трения в шарнирах и направляющих ползунов заданы и равны f = f '=0.1.

Предположим, что все сопротивления в механизме сводятся к сопротивлению трения.

Для данного положения:

R₀₁=44800 Н, R₀₃=8906 Н, R₁₂=48806 Н, R₂₄=31400 Н, R₂₃=10800 Н, R₄₅=10400 Н, R₀₅=5241 Н.

Для определения мощностей, расходуемых на трение в различных кинематических парах, необходимо найти относительные угловые скорости в шарнирах и относительные скорости в поступательных парах.

Относительная угловая скорость звена 1 относительно стойки равна угловой скорости начального звена, так как вал вращается в неподвижном подшипнике. Для определения относительных угловых скоростей в остальных шарнирах используем данные кинематического исследования механизма. Величина относительной угловой скорости равна сумме величин угловых скоростей звеньев в случаях угловых скоростей разного положения, в случаях угловых скоростей одного направления величин относительной угловой скорости определяются вычитанием меньшей величины из большей.



щ₁₀ = щ₁ =199 рад/с

щ₂₁ = щ₂ + щ₁ = 199+42=241 рад/с

щ₂₄ = щ₄ = 27 рад/с

щ₃₂ = щ₂ = 42рад/с

щ₄₅ = щ₄ = 27 рад/с

V_Dпост =V_D=20.5 м/с

V_Спост =V_С=3 м/с

Мощности, затрачиваемые на трение в кинематических парах в данный момент времени, определяются по формуле:

Р=f*R*r*щ (3.27)

Они равны:

Рo=f*R₀₁*r₀₁*щ₁=0.1*44800*0.02*199=17 830 Вт

Р₂₁=f*R₁₂*r_А*щ₂₁=0.1*48806*0.02*241=23524 Вт

Р₂₃=f*R₂₃*r_D*щ₂₃=0.1*10800*0.02*42=907.2 Вт

Р₄₅=f*R₄₅*r_С*щ₄₅=0.1*10400*0.02*27=561.6 Вт

Р _Dпост = f ' *R₀₃ *V _Dпост=0.1*8906*20.5=18257 Вт

Р _Спост = f ` *R₀₅ *V _Спост =0.1*5241*3=1572 Вт

Общая мощность сил трения равна:

Рт= Рo +Р₂₁ +Р₂₃ +Р₄₅ +Р _Dпост +Р _Спост (3.28)

Рт=17830+23524+907.2+561.6+18257+1572=62652 Вт

Мощность движущих сил в данный момент вращения:

Рд=QcVc+Q_D*V_D (3.29)

Рд=0*3 + 2225.5*20.5=45623 Вт

Мгновенный коэффициент полезного действия равен

?=1 - Рт / Рд (3.30)

?=1 - 62652/45623=-37% .

Знак минус говорит о том, что в данный момент времени двигатель тормозит.



4. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЗМА И ОПРЕДЕЛЕННИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВИКА

Так как внутри цикла установившегося движения машин не наблюдается равенства движущих сил и работы сил сопротивления и постоянства приведённого момента инерции механизма, то угловая скорость ведущего звена оказывается переменной. Величина колебаний скорости оценивается коэффициентом неравномерности хода.

=(_мах-_min)/_ср (4.1)

где _мах - максимальная угловая скорость;

_мах - минимальная угловая скорость;

_мах - средняя угловая скорость.

За среднюю угловую скорость можно принять номинальную скорость

₁=*n₁/30 (4.2)

Колебания скорости начального звена механизма должны регулироваться в заранее заданных пределах. Это регулирование обычно выполняется соответствующим побором масс звеньев механизма. Массы звеньев механизма должны побираться так, чтобы они могли накапливать все приращения кинетической энергии при превышении работы движущих сил над работой сил сопротивления и отдавать кинетическую энергию, когда работа сил сопротивления будет превышать работу движущих сил.

Роль аккумулятора кинетической энергии механизма обычно выполняет маховик. Основной задачей расчёта является подобрать массу маховика, такой, что механизм мог осуществлять работу с заданным коэффициентом неравномерности движения =1/54.

Для расчёта маховика используем метод энергомасс. По этому методу момент инерции маховика определяется по диаграмме энергомасс, характеризующей зависимость приращения кинетической энергии механизма от приведённого момента инерции механизма.

Так как приращение кинетической энергии равно разности работы движущих сил и работы сил сопротивления, то для построения этой диаграммы необходимо построить вначале диаграммы приведённых моментов движущих сил и сил сопротивления.

Приведённый к ведущему звену момент движущих сил для каждого положения исследуемого механизма определяется по формуле (4.3).

М_п.д.=Qc*Vc/₁ Qв*Vв/₁ (4.3)

Расчёт приведённого момента движущих сил для всех положений занесём в таблицу 4.1.

Таблица 4.1

Расчёт приведённого момента движущих сил.

№ положения	Рс, Мпа	Qc, Н	Рв ,Мпа	Qв, Н	Мп.д, Н*М
1	1.55	6358	0.2	1271	281
2	0.75	4769	0.35	2225	307
3	0.5	3179	0.85	5404	126
4	0.35	2225	2	12717	376
5	0.25	1590	1.15	7360	483
6	0	0	0.6	3815	278
7	0	0	0.4	2543	179
8	0	0	0.3	1907	105
9	0.25	1590	0.25	1590	-108
10	0.4	2543	0	0	-262
11	0.75	4768	0	0	-299
12(0)	2	12717	0	0	0

Приведённый момент движущих сил имеет отрицательное значение, когда газы в цилиндре препятствуют движению поршня.

На основании данных таблицы построим график изменения движущих сил М п.д. в функции угла поворота начального звена. Масштаб по оси _Mп выбираем равным 5 Н*м/мм, масштаб по оси абсцисс при длине диаграммы l=157 мм составит 0.04 рад/мм.

Так как работа движущих сил:

Ад= Мп.д.* d (4.4)

⁰

то графическим интегрированием приведённых моментов движущих сил строим диаграмму работ движущих сил. Масштаб по оси ординат определим по формуле:

_А=_м**Н (4.5)

где Н - полюсное расстояние.

_А=5*0.04*55=11 Н*м/мм

За один цикл установившегося движения (один оборот ведущего звена) работа движущих сил равна работе сил сопротивления.

Примем постоянным момент работы сил сопротивления. Тогда работа сил сопротивления

Ас= Мп.с.* d (4.6)

⁰

Т.е. представляет собой линейную функцию угла поворота ведущего звена. Соединив начало координат с последней точкой диаграммы работ движущих сил, получим наклонную прямую - диаграмму работы сил сопротивления. Продифференцировав графически полученную прямую получим, на диаграмме приведённых моментов получим горизонтальную прямую, представляющую собой величину постоянного приведённого момента сил сопротивлений.

Так как приращение кинетической энергии равно:

Ек=Ад-Ас=Аизб (4.7)

то для построения диаграммы приращения кинетической энергии или избыточной работы необходимо из ординаты диаграммы работы движущих сил вычесть ординату работы сил сопротивления.

Масштабы по координатным осям остаются теми же, что и для диаграммы работ.

Определим приведённый момент инерции маховика.

Для звена, совершающего поступательное движение (ползу), кинетическая энергия равна:

Ек=mV²/2 (4.8)

Где m - масса звена;

V - скорость поступательного движения.

Для звена, совершающего вращательное движение (кривошип), кинетическая энергия равна:

Ек=J²/2 (4.9)

Где J - момент инерции относительно оси инерции;

- угловая скорость звена.

Кинетическая энергия звена, совершающего сложное движение, равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений.

Ек=J_s²/2+ mV_s²/2 (4.5)

Где Vs - скорость центра масс;

Js - момент инерции звена относительно оси проходящей через центр масс.

Складывая кинетические энергии звеньев, получим кинетическую энергию механизма.

Вычисления приведённого момента приведём в таблице 4.2

Таблица 4.2

Расчёт приведённого момента инерции

№ положе-ния	щ22 J2*----- щ 12	Vs22 m2*----- щ 12	Vs32 m3*----- щ 12	Vs42 m4*----- щ 12	щ 42 J4*----- щ 12	Vs52 m5*----- щ 12	Jп кг*м2
1	0,0197	0,057	0,0157	0,0481	0,0165	0,0346	0,1806
2	0,0268	0,0779	0,0424	0,0481	0,0165	0,0275	0,2391
3	0,0281	0,0817	0,0467	0,039	0,0138	0,0064	0,2157
4	0,022	0,0638	0,0275	0,0322	0,011	0,009	0,1632
5	0,0166	0,0481	0,009	0,039	0,01368	0,0122	0,1385
6	0,0128	0,0371	0	0,0371	0,0128	0,0212	0,1362
7	0,0166	0,0481	0,009	0,0397	0,01368	0,0198	0,1468
8	0,023	0,0481	0,0275	0,0481	0,0165	0,122	0,1754
9	0,0281	0,0817	0,0466	0,0397	0,01368	0,0064	0,216
10	0,0261	0,07428	0,0425	0,0322	0,011	0,009	0,1869
11	0,0197	0,0573	0,0158	0,0322	0,011	0,0049	0,1409
12	0,0128	0,0372	0	0,037	0,128	0,0212	0,121

По данным таблицы строим диаграмму приведённых моментов инерции механизма в функции угла поворота начального звена. Принимаем масштаб м_jp=0.005 Кг*м²/мм.

Методом исключения параметра ц из диаграмм ДЕк=ДЕк(ц) и Jn=Jn(ц) строим диаграмму энергомасс ДЕк=ДЕк(Jn) .

По данному коэффициенту неравномерности движения д=1/56 и средней угловой скорости

щ_ср=р*n₁/30 (4.6)

Подставив значения, получим:

щ_ср=3.14*1900/30=199 рад/с

Определим углы ш_мах и ш_мin образует касательные к диаграмме энергомасс с осью абсцисс,

tg ш_мах= (м_jp/2м_Ек)* щ_ср² (1+ д) (4.7)

tg ш_мin= (м_jp/2м_Ек)* щ_ср²(1- д) (4.8)

Подставив значения, получим:

tg ш_мах= (0.005/2*11)*199²(1+1/56)=0.916

tg ш_мin= (0.005/2*11)*199²(1-1/56)=0.884

ш_мах= 42.5є

ш_мin= 41.5є

Построив стороны этих углов и перенеся их параллельно самим себе до момента касания с кривой энергомасс, соответственно сверху и снизу, получим на оси ?Ек отрезок mn=58 мм, заключённый между этими касательными.

Из отрезка mn определяем момент инерции маховика.

Jм= [м_Ек*(mn)]/[* щ_ср²] (4.9)

Jм=[11*58]/[0.017857*199²]=0.9 кг*м²

Диаметр маховика, выполненного в виде сплошного диска, определяется по формуле (4.10)



Где =730 Н/м³ - удельный вес материала маховика (чугуна),

=b/Dm - отношение ширины b к диаметру диска.

Примем =0.1. Тогда

Примем Dm=0.6м.

Маховой момент

m*Dm²=4*Jm=4*0.9=3.6 кг/м² (4.11)

Тогда масса маховика

m=4*Jm/Dm² (4.12)

m=3.6/0.6²=10 кг

Ширина обода

b=*Dm (4.13)

b=0.1*0.6=0.06 м



5. ПРОЕКТИРОВАНИЕ КУЛАЧКОВОГО МЕХАНИЗМА

5.1 Проектирование кулачкового механизма

Широкое применение кулачковых механизмов обусловлено тем, что с их помощью легко воспроизводится заданный закон движения ведомого звена, особенно в тех случаях, когда ускорение выходного звена должно изменяться по заранее заданному закону.

Различают следующие законы движения: с жёсткими ударами, с мягкими ударами без ударов. Примером движения с мягкими ударами является движение ведомого звена по параболическому и косинусоидальному законам. При синусоидальном законе движение происходит без ударов (этот закон рекомендуется для проектирования быстроходных кулачковых механизмов) .

Для проектирования кулачкового механизма задаются: максимальное линейное h или угловое перемещение ведомого звена, фазовые углы поворота кулачка (удаления - _у, дальнего стояния - _дс, возвращения - _в), закон движения выходного звена. Для коромысловых кулачковых механизмов задаётся L - длина коромысла. Исходя из условия ограничения угла давления, определяют основные размеры звеньев кулачкового механизма: минимальный радиус кулачка, эксцентриситет, проектируют профиль кулачка графическим либо аналитическим способом.

Построения диаграмм движения толкателя

Строим диаграмму аналога ускорения толкателя , для чего на оси абсцисс откладываем в произвольном масштабе заданные углы _у=140,_дс=140,_в=140. Для принятой длины диаграммы Х=250 мм, величины отрезков, изображающие фазовые углы, будут:

Для построения графика перемещения выходного звена по углу поворота кулачка необходимо выполнить двукратное интегрирование второй производной от перемещения выходного звена по углу поворота кулачка.

В интервале угла удаления _У строим в произвольном масштабе закон равномерно убывающего ускорения, в интервале угла возвращения _в - параболическую зависимость. Для построения аналога скорости интегрируем построенную диаграмму для чего отрезки Ху и Хв делим на 6 равных частей.

Через точки 1,2,3…13 проводим ординаты, которые делят всю площадь заданных диаграмм на ряд участков. Площадь каждого из участков заменяем равновеликим прямоугольником с общим основанием на оси абсцисс. Проецируем высоты полученных треугольников на оси ординат. Точки 1, 2, 3… 13 соединяем с полюсом Р₂ , взятым на произвольном расстоянии Н₂ от начала О осей координат лучами Р₂ 1, Р₂ 2, Р₂3… Р₂13.

Ось абсцисс диаграммы, делим на такое же количество равных частей, как и ось абсцисс диаграммы. Из точки О параллельно лучу Р₂ 1проводим линю до пересечения её в точке 1'' с ординатой 1. Повторяя данные построения, получим точки приближенной интегральной кривой. Соединённые точки образуют функцию.

Диаграмму перемещения толкателя S() также строим методом графического интегрирования кривой.

Вычислим масштабы диаграмм:

Разметку траектории точки В (центра ролика) производят в соответствии с диаграммой S(), для чего слева от оси ординат под произвольным углом проводят прямую и на ней откладывают отрезок ОВ₆ в масштабе _L, равный максимальному перемещению толкателя. Конечную точку 6 соединим с точкой 6' проекции наибольшей ординаты 6 - 6. Через точки 1', 2', 3', … 5' проводим прямые параллельные 6' - В6. Полученные точки В₁, В₂, В₃, … В₆ дают разметку траектории толкателя в интервале удаления.

Аналогично осуществляем разметку траектории точки В для угла возвращения.

Определение минимального радиуса кулачка r_min с поступательно движущимся толкателем.

Для кулачкового механизма минимальный радиус и другие основные параметры определяются по допускаемому углу давления или минимальному углу передачи движения путём графического определения области возможного расположения центра вращения кулачка. При этом следует иметь ввиду, что для кулачковых механизмов с роликовым толкателем при вращении кулачка по направлению часовой стрелки величина dS/d на фазе угла удаления откладывается вправо.

Для определения минимального радиуса и центра вращения кулачка строим диаграмму, для чего откладываем в масштабе _L ход толкателя h, наносим разметку траектории точки В с диаграммы S().

По диаграммеопределяем максимальное значение аналогов скоростей при удалении и возвращении толкателя



Из точки В₃ откладываем отрезок в направлении вращения кулачка, в противоположную сторону откладываем отрезок . Аналогично определяем другие отрезки для остальных положений и строим диаграмму, к которой проводим касательные под углами _мinУ =60 и _minВ=45. Точка пересечения этих касательных определяет положение центра вращения кулачка точку 0 (а заштрихованная зона является областью возможного расположения центра вращения кулачка).

Минимальный радиус кулачка

r_min=OB₀*_S=29*0.003=0.087 м (5.9)

Построения профиля кулачка с поступательно движущимся толкателем.

Главным этапом синтеза кулачкового механизма является построение кулачка, в основу которого положен метод обращённого движения . Суть этого метода заключается в том, что всем звеньям механизма сообщается дополнительное вращение с угловой скоростью, равной угловой скорости кулачка, направленной в обратную сторону. Тогда кулачок остановится, а стойка вместе с толкателем придёт во вращательное движение вокруг центра кулачка 0 с угловой скоростью _к. Кроме того, толкатель будет совершать ещё движение вокруг стойки по закону, который определяется профилем кулачка.

Для построения профиля кулачка для ряда последовательных значений фазового угла значения _у и _В разделяются на 6 равных частей (точки 1',2' … 6'). Строим обращённый механизм и находим в нём положение центра ролика. Траектория центра ролик в обращённом движении определит теоретический профиль кулачка. Для этого необходимо проделать следующие. Проводим окружности радиусами e и r_min, к окружности смещения e проводим касательную, которая пересекаясь с окружность r_min кулачка определит положение центра ролика толкателя точку В₀. От точки В₀ откладываем в масштабе _L=0.003 м/мм ход толкателя h=14 мм и его разметку для фаз удаления и возвращения. Из точек 1',2',3' …проводим касательные к окружности радиусом e и дуги радиусами 01, 02, 03 … до пересечения с соответствующей касательной, отмечаем точки 1'',2'',3''…, соединив которые плавной кривой, получим теоретический профиль кулачка, соответствующий углу удаления. Аналогично строим теоретический профиль кулачка, соответствующий углу возвращения.

Для определения действительного профиля кулачка необходимо определить радиус ролика. Радиус ролика должен быть меньше максимального радиуса кривизны _min центрового (теоретического) профиля кулачка

Из конструктивных соображений радиус ролика не рекомендуется принимать больше половины радиуса

откуда r_р=0.5*0.087 =0.0435 м

Действительный профиль кулачка получим, если построим в масштабе м_L эквидистантную кривую радиусом r_р=0.0435 м.

5.2 Проектирование эвольвентного внешнего зацепления прямозубых цилиндрических колёс

Спроектировать эвольвентную зубчатую передачу внешнего зацепления, колёса которой нарезаны стандартной рейкой. Принимаем, что зубчатые колёса изготовлены без смещения исходного контура (х₁= х₂=0). Тогда угол зацепления равен углу профиля инструмента (==20), делительные окружности являются одновременно начальными окружностями зацепления (r₁= r₁ и r₂₁= r₂).

Рассчитываемая зубчатая передача имеет следующие параметры:

Z₁=23; Z₂=32;m=11.

Радиусы начальных окружностей колёс.

Радиусы основных окружностей колёс

Радиус окружностей вершин зубьев

где =1 - коэффициент высоты головки зуба, а - высота головки зуба (расстояние по радиусу между делительной окружностью и окружностью вершин).

Радиусы окружности впадин колёс.

где С^*=0.25 - коэффициент радиального зазора, а С^**m=С -радиальный зазор.

Шаг по делительной окружности

Р=*m=3.14*11=34.54 мм (5.20)

Окружная толщина зуба по делительной окружности

Межосевое расстояние

Для построения картины зацепления зубчатых колёс выбираем масштаб 2:1.Тогда высота зуба равная

будет отображаться на чертеже отрезком 49.5 мм

Построение зубьев проводим в следующем порядке:

А) Откладываем межосевое расстояние а_w на чертеже (0₁ 0₂ на чертеже)

Б) Радиусами r_w1 и r_w2 проводим начальные окружности колёс. Точка Р - точка их касания.

В) Проводим окружности вершин зубьев, окружности впадин и основные окружности.

Г) Через полюс Р проводим общую касательную t-t к начальным окружностям колёс и линию зацепления n-n, касающуюся в точках А и В основных окружностей. Часть ab линии n-n заключённая между окружностями вершин зубьев называется активной линией зацепления, то есть геометрическим местом действительного касания профилей зубьев.

Д) Строим эвольвенты профилей зубьев, соприкасающиеся в полюсе зацепления Р. Профили зубьев получают путём обкатывания линии зацепления как по одной, так и по другой основной окружности. При обматывании точка Р описывает эвольвенты e₁e₁ и e₂e₂, которые являются искомыми профилями. Для построения эвольвенты зуба первого колеса отрезок АР делим на равные части (на 4). На основной окружности первого колеса вправо и влево от точки А откладываем дуги, длины которых равны этим отрезкам, получаем точки 1', 2', 3'… .Через эти точки проводим касательные к основной окружности радиуса r_в. На касательной, проведённой через точку 1' отложим отрезок ј АР. На касательной , проходящей через точку 2' - отрезок равный 2/4 АР и так далее. Проведя аналогичные построения для каждой из касательных, получим ряд точек 1”, 2”, 3”…7”. Плавная кривая, проведённая через них, является эвольвентным профилем правой части зуба первого колеса. Таким же способом строим эвольвентный профиль второго колеса.

Е) Профиль ножки зуба, лежащий внутри основной окружности, очерчивается по радиальной прямой, соединяющей начало эвольвенты с окружностью впадин закруглением радиуса r =0.4 m.

Ж) По начальной окружности откладываем половину толщины зуба Sw/2, проводим ось симметрии зуба и по законам симметрии строим левый профиль зуба.

З) На каждом колесе вправо и влево от построенного по точкам зуба стоим ещё два зуба.

При вращении первого колеса (допустим в направлении вращения часовой стрелки) Ножка его зуба войдёт в зацепление в точке а с головой второго зуба. В точке b - выйдет из зацепления. Таким образом, точка зацепления перемещается по профилю зуба первого колеса от основания к вершине, а по профилю второго зуба, наоборот, от вершины зуба к основанию.

Участки профилей зубьев, которые в процессе передачи вращения входят в соприкосновение друг с другом, называются активными профилями. Определим эти участки. Точку f₁на профиле зуба первого колеса получим, если из центра описать дугу аf₁ радиусом 0₁а . Точно так же находим точку f₂, описав дугу bf₂ радиусом 0₂b.