Системы автоматического регулирования: показатели, анализ, устойчивость

1. Основные показатели САР

Процесс регулирования. Нагрузка на систему автоматического регулирования непрерывно изменяется. С увеличением нагрузки растет рассогласование ДХ. Автоматический регулятор, улавливая это рассогласование, изменяет регулирующее воздействие. При этом оно становится больше нагрузки, а ДХ уменьшается и может принять отрицательные значения. Тогда регулятор снова уменьшит регулирующее воздействие. Даже если наступит равенство М_Р=М_Н, то значение X долго оставаться постоянным не будет, так как нагрузка вновь изменится. Непрерывное изменение регулируемого параметра во времени Х=f(ф) называют процессом регулирования. В действующей системе этот процесс можно наблюдать по измерительным приборам или записывать его на ленте в координатах X, ф. Однако для правильного выбора регулятора и его настройки необходимо заранее знать, как пойдет процесс регулирования, т. е. необходима количественная оценка этого процесса.

Для каждого объекта на основании физических законов можно составить уравнение, показывающее, как изменится регулируемый параметр Х(ф) с изменением нагрузки на объект М_н и регулирующего воздействия М_р. Это уравнение называют уравнением объекта:

Вместе с тем изменение Х(ф), воздействуя на регулятор (обратная связь), вызывает однозначное изменение регулирующего воздействия. Эту зависимость называют уравнением регулятора:

Для системы в целом входным воздействием является только нагрузка (если задающее воздействие X₃ = const, т. е. система стабилизирующая). Поэтому, чтобы найти зависимость Х(ф) от нагрузки, надо из уравнений (1.3) и (1.4) исключить М_Р. В результате получим

(1.5)

Это дифференциальное уравнение системы (сюда могут входить и производные от X и М_н) описывает процесс регулирования. Для решения уравнения его удобнее представить в безразмерной форме

(1.5а)

где х -- безразмерная регулируемая величина;

;

- безразмерная нагрузка;

;

и -- отклонения регулируемой величины и нагрузки от своих начальных значений Х₀ и М_но; за начальные обычно принимают средние расчетные значения.

Чтобы решить уравнение (1.5а), надо задать характер изменения нагрузки и проинтегрировать это уравнение.

Виды нагрузок. Нагрузка изменяется с течением времени произвольно. Однако для изучения влияния нагрузки на процесс регулирования целесообразно рассмотреть три характерных вида нагрузки: ступенчатую, импульсную и синусоидальную (рис. 6).

Ступенчатая нагрузка -- это нагрузка, которая в определенный момент времени (например, ф=0) изменяется скачком от 0 до (рис. 6,а) и остается на этом уровне. Ступенчатая: функция, у которой величина скачка равна 1, называется единичной и обозначается 1. Значению м=1 соответствует увеличение нагрузки в два раза.

(1.6)

Ступенчатую нагрузку применяют для испытания систем, но часто она встречается и в действительных условиях (например, включили и оставили освещение в холодильной камере, открыл» вентиль расхода газа из системы и т. д.).

Импульсная нагрузка -- это ступенчатая нагрузка, которая через короткий промежуток времени исчезает (рис. 6,б). Если продолжительность импульса составляет , а величину его принять равной , то такую импульсную функцию называют единичной (площадь S равна единице). На практике воздействие на систему, близкое к импульсному, встречается очень часто: кратковременное открывание дверей в камере, кратковременное открывание вентиля расхода газа или жидкости и т. д.



Синусоидальной называют нагрузку, меняющуюся по синусоиде. В тех случаях, когда внешнее воздействие на систему периодически меняется по значению и по знаку, его с некоторым приближением можно изобразить в виде синусоиды:, где А -- амплитуда колебания, а щ -- частота колебаний. Примером такой нагрузки могут служить теплопритоки через ограждения крупных холодильников, так как температура наружного воздуха в течение суток меняется примерно по синусоиде.

Переходный процесс. Для изучения свойств систем автоматического регулирования применяют, как правило, ступенчатую нагрузку. Эта нагрузка обычно наиболее тяжелая для системы, и, кроме того, ее легко осуществить. Процесс регулирования, вызванный ступенчатым изменением нагрузки, называют переходным процессом (переходной характеристикой).

Зная переходный процесс (т. е. реакцию системы на ступенчатую нагрузку), можно определить процесс регулирования и при других типах нагрузки, так как с некоторым приближением переменную нагрузку на небольших участках можно заменить ступенчатой. На рис. 7,б--г представлены переходные процессы, вызванные одинаковой ступенчатой нагрузкой, показанной на рис. 7,а. Если воздействие на объект М_p, непрерывно изменяющееся, не превышает величины нагрузки, то регулируемая величина плавно достигает своего нового установившегося значения Х_уст, не превышая его в течение переходного периода. Скорость изменения X (тангенс угла б) уменьшается, не меняя знака. Такой процесс называется апериодическим (рис. 7,б). Когда небольшое отклонение регулируемой величины вызывает резкое изменение регулирующего воздействия и значение его М^/_р оказывается больше нагрузки (пунктир на рис. 7,а), то в системе возникает колебательный (обычно затухающий) процесс (рис. 7,в). С течением времени регулируемая величина принимает новое значение, соответствующее изменившейся нагрузке. Отклонение нового установившегося значения Х_уст от заданного Х₀ называют статической ошибкой

а системы, имеющие статическую ошибку, называют статическими. Если в системе по окончании переходного процесса статическая ошибка исчезает (равна нулю), то такую систему называют астатической (рис. 7,г).

Статическая характеристика системы. Меняя величину ступенчатой нагрузки, можно получить различные переходные процессы (рис. 8,а). При этом в статической системе каждой нагрузке будет соответствовать свое значение статической ошибки. Можно построить график (рис. 8,б, кривая 1), показывающий зависимость установившегося значения выходной величины от нагрузки. Такой график называется статической характеристикой системы. Зная пределы действительных значений нагрузки (от М_н._мин до М_{н макс}), по графику можно определить пределы изменения регулируемой величины при установившихся значениях; при этом важно, чтобы значения Х_макс и Х_мшн не выходили за допустимые пределы. Астатическая система представляет собой на графике горизонтальную прямую 1: при любой нагрузке Х_уст=Х₀. Однако надо иметь в виду, что в переходных процессах рассогласование у астатических систем обычно больше, чем у статических, и процесс дольше не затухает (см. рис. 7).

Статическую характеристику можно получить из уравнения (1.5), если принять, что все производные равны нулю. Поскольку при как нагрузка, так и регулируемая величина постоянны, то скорость их изменения (первая производная) равна нулю. Статическую характеристику системы можно построить и графически, если известны статические характеристики объекта и регулятора.

Качество регулирования (Устойчивость. Переходная (динамическая) характеристика системы). Установив основные характеристики автоматических систем регулирования, рассмотрим теперь, по каким показателям можно судить о качестве регулирования.

Свойство системы возвращать регулируемую величину к заданному значению при воздействии импульсной нагрузки называют устойчивостью. Так, температура в холодильной камере, несмотря на периодическое открывание дверей или включение лампочек (импульсная нагрузка), возвращается к начальному значению. Неустойчивая система не может обеспечить регулирование. Большинство систем имеет ограниченную устойчивость, т. е. система устойчива, если нагрузка не выходит за допустимые пределы.

Поясним понятие устойчивости примером из механики (рис. 9,а). Импульсная нагрузка (легкий удар) выведет шарик из состояния равновесия, но под действием тангенциальной составляющей веса шарика М_р он после нескольких колебаний относительно Х₀ займет начальное положение. Однако, если нагрузка достигнет значения, при котором отклонение шарика станет больше Х_А, то, выйдя из вогнутой поверхности, он будет лишь удаляться от центра. Другими словами, эта система устойчива для нагрузок, не выводящих шарик за пределы точек А и Б. О степени устойчивости системы можно судить по отношению максимальной нагрузки, возникающей при эксплуатации, к нагрузке, выводящей систему из зоны устойчивости, или по отношению соответственных значений Х_макс и Х_а.

О качестве регулирования обычно судят по переходной (динамической) характеристике системы (рис. 9,б). Процесс регулирования должен удовлетворять трем главным техническим требованиям:

отклонение регулируемой величины ДХ не должно превышать заданных пределов (±ДХ_В);

время регулирования ф_рег (с момента ступенчатого изменения нагрузки до входа в заданные пределы) не должно быть слишком большим (допустимое время регулирования обычно также указывается в технических условиях);

максимальное отклонение регулируемой величины от начального значения ДХ_макс в течение времени регулирования не должно выходить за допустимые пределы Х_А и Х_Б.

Последнее требование может быть связано с необходимостью обеспечить прочность прибора или аппарата и устойчивость системы, а также с технологическими условиями. Иногда его вообще не оговаривают, тогда наиболее важным является первое требование, т. е. основное значение имеют свойства системы в установившемся состоянии.

Для определения характеристики системы надо знать динамические и статические характеристики объекта и регулятора.

1.1 Статический и динамический анализ САР

Самовыравнивание и статическая характеристика объекта

Для изучения основных свойств объекта рассмотрим простой объект (рис. 10), в котором требуется поддерживать уровень жидкости X в заданных пределах (от Х_а до Х_Б). Это может быть сосуд или водоем, который наполняется атмосферными осадками (М_н). Во избежание переполнения водоема предусмотрено регулирующее воздействие М_р -- расход жидкости через вентиль В, открытый на определенное проходное сечение f.

При средней расчетной нагрузке, например М_н0 = 100л/мин, вентиль В открыт так, чтобы и начальный расход М_ро был равен 100л/мин. Начальное значение уровня при этом равно Х₀. При увеличении нагрузки, например, до М_Н1 = 104л/мин уровень начнет повышаться. При этом скорость повышения уровня

(1.7)

где С -- площадь поперечного сечения сосуда.

С увеличением уровня X (высоты столба) расход жидкости через вентиль В возрастает. Как известно из гидравлики,

(1.8)

где К -- коэффициент, учитывающий форму отверстия, свойства жидкости и размерность физических величин;

f -- площадь проходного сечения.

Влияние изменения регулируемого параметра X на регулирующее воздействие М_р или на нагрузку М_н называют самовыравниванием. Это весьма важное свойство объекта.

В данном примере параметр X влияет только на регулирующее воздействие. На нагрузку изменение уровня здесь не влияет. Но бывают объекты и с самовыравниванием на стороне нагрузки.

При ступенчатом увеличении нагрузки до 104 л/мин уже в первую минуту в сосуде прибавится 4 л воды, уровень ее возрастет и расход через вентиль В станет больше, например 101 л/мин. В следующую минуту прибавится только 1л (104-- 101л/мин) и скорость повышения уровня будет меньше [см. формулу (1.7)]. Когда высота уровня возрастет настолько, что расход через вентиль станет равным 104 л/мин, т. е. окажется равным нагрузке M_p1=M_H1, дальнейшее повышение уровня прекратится и он станет равным какому-то значению Х₁.

С увеличением ступенчатой нагрузки уровень жидкости примет более высокое установившееся значение. Зависимость установившегося значения регулируемого параметра Х_уст от величины нагрузки М_н является статической характеристикой объекта (рис. 10,б).

Для поддержания заданного уровня (см. рис. 10,а) оператор при повышении уровня X увеличит расход М_р, приоткрыв вентиль В. Так же будет действовать и автоматический регулятор (например, поплавковый регулятор уровня). Объект, обладающий самовыравниванием, действует таким же образом -- с повышением уровня увеличивается расход жидкости через вентиль В. Таким образом, самовыравнивание -- это, по существу, автоматический регулятор, заложенный в конструкции объекта. Нужно ли регулирование, если объект обладает самовыравниванием? Чтобы ответить на этот вопрос, надо знать:

1) требуемую точность регулирования;

1) статическую характеристику объекта;

3) максимальные и минимальные значения нагрузки, возникающие при длительной эксплуатации.

В нашем примере (см. рис. 10) значения уровня Х_макс и Х_мин (при максимальной и минимальной нагрузках) выходят за допустимые значения Х_б и Х_а. Поэтому, несмотря на самовыравнивание, требуется регулирование. При частых изменениях нагрузки -- лучше автоматическое.

Степень влияния регулируемого параметра X на М_р или М_н оценивают коэффициентом самовыравнивания с.

Коэффициентом самовыравнивания на стороне регулирующего воздействия с_р называют отношение ДМ_р/ДХ. Аналогично на стороне нагрузки: с_н = ДМ_н/ДХ. Общий коэффициент самовыравнивания

(1.9)

Для объекта на рис. 10 значение с=с_р=ДM_Р/ДX, так как на стороне нагрузки с_н=0 (изменение ДХ на нагрузку не влияет). Иногда увеличение коэффициента самовыравнивания путем изменения конструкции объекта позволяет обойтись без регулирования.

Рассмотрим несколько объектов с различной степенью самовыравнивания (рис. 11).

При отводе жидкости из объекта центробежным насосом (рис. 11,а) самовыравнивание в объекте отсутствует, так как расход жидкости через насос М_р постоянный -- не зависит от высоты уровня X. Поэтому при малейшем нарушении равенства М_р=М_н уровень начинает непрерывно повышаться или понижаться, пока сосуд не переполнится или не окажется пустым. Для объектов без самовыравнивания регулирование всегда необходимо.

Для увеличения степени самовыравнивания в объекте, показанном на рис. 10, можно по высоте сосуда сделать отверстия (рис. 11,б). Тогда с повышением уровня не только увеличится расход через вентиль М'_Р, но и появится дополнительное регулирующее воздействие -- расход через отверстия M''_р. При этом новое установившееся значение при максимальной нагрузке Х_макс будет ниже, чем в объекте без отверстий, и регулирование может не потребоваться.

Объект с полным самовыравниванием показан на рис. 11,в. Чем больше нагрузка, тем больше жидкости переливается через край, т. е. при любой нагрузке М_Р=М_Н. Начальный уровень Х₀ при этом не изменяется. Такой объект называют стабилизатором уровня. Если перелив жидкости не нарушает нормальной работы всей установки, то с точки зрения автоматизации такой объект наилучший -- никакого регулирования здесь не требуется.

1.2 Холодильная камера как объект с самовыравниванием

Температура в охлаждаемой камере неравномерно распределена по объему камеры -- около испарителя температура воздуха всегда ниже, чем в удаленных от него точках. Такие объекты называют объектами с распределенными параметрами. Для упрощения расчетов в большинстве случаев за регулируемый параметр можно принять среднее его значение, например температуру в середине камеры. Объект с одним регулируемым параметром называют одноемкостным. В шкафах домашних холодильников испаритель обычно отделяют от остальной емкости перегородкой, которая представляет собой тепловое сопротивление. Тогда средняя температура в морозильном отделении (у испарителя) будет значительно ниже средней температуры остальной части шкафа. Объект с двумя регулируемыми параметрами называют двухъемкостным. Холодильник, имеющий несколько камер с разными температурами, рассматривают как многоемкостный объект.

Рассмотрим холодильную камеру (рис. 11,а) с испарителем, в который непрерывно подается жидкий хладагент с постоянной температурой кипения t₀, как одноемкостный объект с регулируемым параметром t_об.

Нагрузка -- теплоприток в камеру через ограждения:

(1.10)

где -- коэффициент теплопередачи через ограждения;

-- площадь поверхности ограждения.

Из уравнения (1.10) видно, что при постоянной температуре наружного воздуха t_H с увеличением температуры в объекте t_об, разность t_н--t_об становится меньше, т. е. нагрузка уменьшается. Следовательно, камера обладает самовыравниванием на стороне нагрузки.

Имеется самовыравнивание и на стороне регулирующего воздействия. Теплота, отводимая испарителем,

(1.11)

где -- коэффициент теплопередачи испарителя;

-- площадь теплопередающей поверхности.

При постоянной температуре кипения t₀ с увеличением температуры в объекте t_0б разность t_об--t₀ возрастает, и холодопроизводительность испарителя увеличивается.

График зависимости регулирующего воздействия Q_p и нагрузки Q_H от температуры объекта показан на рис. 11,б. Эти зависимости легко построить по уравнениям (1.10) и (1.11), представляющим собой уравнения прямых. Для построения прямой Q_p зададимся точкой с t_об=t₀ при этом по уравнению (1.11) Q_P=0. Через эту точку с координатами t_об=t₀ и Q_p=0 (точка 3) нужно провести прямую под углом б. Тангенс б равен коэффициенту при t_об, т. е. . В то же время

,

т. е. коэффициенту самовыравнивания на стороне регулирующего воздействия (по определению). Аналогично строится прямая Q_H для начальной наружной температуры t_н0. Для нее угол наклона в определяется коэффициентом самовыравнивания

.

При Q_н0=Q_p0 (точка пересечения прямых) в объекте держится температура t_об0. При отклонении от этой температуры на величину Дt_об значение Q_p возрастает на ДQ_P, а нагрузка Q_H снижается на ДQ_H. Возникающая разность Q_p--Q_н (равная ДQ_p+ДQ_н) заставляет t_об вернуться в начальное положение t_oб0. Из графика видно: чем больше угол б+в, тем больше общий коэффициент самовыравнивания объекта

[см. формулу (1.9)].

В данном объекте нагрузка Q_H определяется температурой наружного воздуха t_н. Этот параметр называют нагрузочным. Если принять, что нагрузка зависит только от t_н, то статическую характеристику целесообразно построить в координатах t_н, t_об (рис. 11,в). Поскольку в установившихся режимах Q_н=Q_p, то, приравняв правые части уравнений (1.10) и (1.11) и заменив произведения k_oгF_ог и k_иF_и соответствующими коэффициентами самовыравнивания с_н и с_р, получим

(1.11)

Чтобы выявить, как влияет отклонение t_н от начального значения t_н0, надо записать уравнение (1.11) для начальной точки (t_об0, t_н0) и вычесть его из (1.11). В результате получим

(1.11а)

где --коэффициент усиления объекта.

Отношение установившегося отклонения регулируемого параметра к отклонению нагрузочного параметра, выраженного в тех же единицах, что и регулируемый, называют коэффициентом усиления объекта.

Для камеры с испарителем с_р3с_н. Поэтому в уравнении (1.11а) К1/4. Следовательно, изменение температуры наружного воздуха на 8°С вызовет изменение температуры в камере на 1°С. Зная пределы изменения наружной температуры, по статической характеристике [см. уравнение 1.11а] или графику легко проверить, не выходят ли значения температуры объекта за допустимые пределы, т. е. требуется ли регулирование.

Статическую характеристику (см. рис. 11,в) можно построить и графическим методом. Прямые Q_H для различных значений t_н (t_н0, t_н1 t_н1) пересекают прямую Q_p в точках 0, 1, 1, которые и определяют установившееся значение t_об0, t_oб1 и t_об1. По этим данным строим зависимость t_об от t_н на отдельном графике (рис. 11,в).

Графическое построение целесообразно применять, когда зависимость Q_p или Q_H от регулируемого параметра имеет нелинейный характер и задана в виде экспериментального графика.

1.3 Уравнение регулируемого объекта САР

Переходные характеристики объектов

Ступенчатое изменение нагрузки вызывает в объекте переходный процесс. При этом в объектах без самовыравнивания регулируемый параметр будет изменяться с определенной скоростью, беспредельно увеличиваясь (рис. 13,б). В объектах с самовыравниванием, как мы видели, скорость постепенно уменьшается и становится равной нулю, т. е. регулируемый параметр принимает новое установившееся значение (рис. 13,в).

Для правильного выбора автоматического регулятора надо знать не только установившиеся значения регулируемого параметра (статическую характеристику), но и переходную (динамическую) характеристику X = f(ф): скорость изменения параметра, время перехода из одного установившегося состояния в другое и значения параметра X в переходном процессе. Чтобы найти переходную характеристику, надо составить дифференциальное уравнение объекта и, проинтегрировав, решить его.

Составим дифференциальное уравнение для одноемкостного объекта без самовыравнивания (см. рис. 11,а). Нарушение равновесия между нагрузкой и регулирующим воздействием (например, М_н>М_р) приводит к тому, что за небольшой промежуток времени dф в объекте накапливается жидкость (М_н--M_p)dф, которая займет дополнительный объем CdX, где С -- площадь поверхности жидкости в сосуде, a dX -- повышение уровня. Приравнивая количество поступившей жидкости к изменению объема, получим дифференциальное уравнение одноемкостного объекта

(М_н--M_p) dф = CdX. (1.13)

Интегрирование этого уравнения позволяет найти зависимость изменения параметра X от времени. После ступенчатого изменения, нагрузки М_н и М_р останутся постоянными, поскольку они не зависят от уровня X. Площадь поверхности цилиндра С также постоянна. Поэтому, интегрируя уравнение (1.13), получим

Х=(М_н-М_р) ф /С+Х₀, (1.14)

где Х₀ -- постоянная интегрирования.

В начальном положении (при M_н0=M_р0) Х=Х₀. При ступенчатом изменении нагрузки (М_н>М_p) высота уровня неограниченно возрастает со скоростью (X--Х₀)/ф, равной (М_н--M_р)/C.

Решение дифференциального уравнения (1.13) объекта с самовыравниванием (см. рис. 10,а) несколько сложнее, так как М_р зависит от X. Если записать уравнение (1.13) для начальной точки (M_н=M_н0, М_р=М_р0 и Х=Х₀) и вычесть его из уравнения (1.13), получим

. (1.15)

Зависимость расхода жидкости М_р от высоты уровня определяется уравнением (1.8). Однако для небольших отклонений параметра вблизи точки Х₀ с некоторым приближением нелинейную зависимость можно заменить линейной (линеаризация). Из определения коэффициента самовыравнивания

ДМ_р = сДХ . (1.16)

Значение можно найти из уравнения (1.8), взяв производную от М_р по X, считая другие параметры постоянными, и подставив в нее вместо X значение Х₀. Подставив значение ДМ_Р из уравнения (1.16) в уравнение (1.15) и разделив на с и на dф с учетом того, что dx=dДX, получим

(1.17)

Чтобы привести это уравнение к безразмерной форме, разделим все члены на Х₀, а правую часть умножим и разделим на М_н0. Приняв во внимание, что ДХ/Х₀=х и ДM_н/M_н0 = м (безразмерные координаты), получим

(1.18)

где -- величина, имеющая размерность времени и называемая постоянной времени; k=M_н0/сX₀ -- коэффициент усиления объекта в безразмерной форме.

Для получения переходной характеристики надо задать определенную ступенчатую нагрузку м₁ (рис. 13,а) и решить дифференциальное уравнение (1.18). После интегрирования получим

, (1.19)

где -- новое установившееся значение регулируемого параметра, так как при ф= второй член уравнения обращается в нуль; е -- основание натуральных логарифмов (е=1,718).

Кривая, построенная по этому уравнению, является экспонентой (см. рис. 13,в). Задаваясь значениями времени ф=T, ф =1Т, ф = 3T и т. д., мы видим, что соответствующие значения регулируемого параметра очень быстро приближаются к своему установившемуся значению. Практически время перехода из одного установившегося состояния в другое ф_пер, называемое переходным или инерционным запаздыванием («время разгона»), не превышает 4Т: ф_пер (3..4)Т, так как при этом х(0,95..0,98)х_ст, где х_ст -- статическая ошибка в безразмерных координатах.

Значение постоянной времени Т можно определить также по экспериментально снятой характеристике переходного процесса. Экспонента обладает следующим свойством: проекции касательных, проведенных к любой точке кривой, на линию установившегося значения равны между собой и имеют значение постоянной времени. Следовательно, если провести касательную в точке ф=0, то постоянную времени можно определить как время, через которое регулируемая величина достигнет своего установившегося значения, если она будет изменяться с начальной скоростью.

Для определения по кривой разгона коэффициента усиления k надо взять отношение х_ст1 к м₁. Зная k и Т, можно найти уравнения объекта (1.18) и (1.19).

Любой объект или другой элемент системы, описываемый дифференциальном уравнением (1.18), называют инерционным звеном, так как переход из одного установившегося состояния в другое происходит не мгновенно, а за некоторое время (инерционное запаздывание). Такое звено называют еще апериодическим, поскольку переход из начального в новое установившееся состояние происходит плавно, без колебаний.

Двухъемкостный объект описывается дифференциальным уравнением второго порядка. Например, холодильная камера (см. рис. 11,а) с массивной изоляционной конструкцией относится уже не к одноемкостному объекту, а к двухъемкостному (вторым параметром является средняя температура изоляции t_из). При ступенчатом увеличении нагрузки (наружной температуры t_н) начинает прогреваться изоляция, а температура объекта t_об (на рис. 13,г безразмерный параметр х) почти не повышается. Затем изоляция отдает свою теплоту воздуху камеры и скорость возрастания t_об увеличивается. В точке А (точка перегиба) скорость достигает максимума и далее уменьшается; так, разность t_из--t_об уже небольшая.

Переходный процесс (см. рис. 13,г) можно получить и экспериментально: резко повысив наружную температуру, снимают далее показания t_об.

Для упрощения расчетов апериодический процесс второго порядка с некоторым приближением можно заменить инерционным звеном с начальным запаздыванием t₀ (рис. 13,д). Для этого в точке перегиба А проводят касательную. Отрезок 0--1 на оси ф определяет время начального запаздывания ф₀ (его называют чистым, или транспортным запаздыванием), т. е. время с момента ступенчатого изменения нагрузки до начала изменения регулируемого параметра. При этом отрезок 1'--1 на линии установившегося значения представляет собой постоянную времени Т.

В уравнении инерционного звена с запаздыванием в отличие от уравнения (1.19) аргумент заменен на (ф--ф₀):

, (1.10)

где для теплового объекта

х -- безразмерный регулируемый параметр;

;

м₁-- безразмерная нагрузка;

;

k -- коэффициент усиления;

Т -- постоянная времени объекта;

m·с -- теплоемкость объекта (при охлаждении нескольких тел с различной массой m_i и удельной теплоемкостью c_i вместо т·с берут сумму ) с_р и с_н -- коэффициенты самовыравнивания, которые определяются по статической характеристике (см. рис. 11,б).

Влияние запаздывания особенно сказывается, когда нагрузка носит колебательный характер (рис. 13,е). В этом случае регулируемый параметр не только отстает по фазе на величину запаздывания ф₃, следуя за колебаниями нагрузки, но имеет максимальные отклонения х₁, значительно меньшие, чем при ступенчатой нагрузке такой же величины (рис. 13,ж).

Например, при цикличной работе компрессора температура испарителя (нагрузочный параметр) колеблется от --18 до 0°С (примерно по синусоиде). Температура в камере (регулируемый параметр) меняется от -5 до -1°С. При непрерывной же работе компрессора (ступенчатая нагрузка) температура в камере будет ниже (примерно --8°С).

1.4 Устойчивость систем автоматического регулирования и управления

1.4.1 Понятие об устойчивости системы

Система автоматического регулирования или управления, как любая динамическая система, характеризуется переходным процессом, возникающим в ней при нарушении ее равновесия каким-либо воздействием; это могут быть сигналы управления, настройки, помехи и т. п.

Переходный процесс x(ф) зависит как от свойств системы, так и от вида возмущения. В переходном процессе всегда следует различать две составляющие. Первая составляющая-- это свободные движения системы x_c(ф), определяемые начальными условиями и свойствами самой системы; вторая составляющая -- вынужденные движения x_B(ф), определяемые возмущающим воздействием и свойствами системы. Таким образом можно написать:

x(ф)=x_с(ф)+x_B(ф). (1.11)

Одной из основных динамических характеристик системы регулирования является ее устойчивость (или неустойчивость). Для выполнения практических задач регулирования система прежде всего должна быть устойчива. Под устойчивостью понимается свойство системы возвращаться к состоянию установившегося равновесия после устранения возмущения, нарушившего указанное равновесие. Неустойчивая системa не возвращается к состоянию равновесия, из которого она по тем или иным причинам вышла, а непрерывно удаляется от него или совершает около него недопустимо большие колебания. Очевидно, что неустойчивые системы регулирования применяться для работы не могут. Поэтому, для того чтобы система могла правильно реагировать на сигнал управления, настройки или изменения нагрузки, в переходном процессе свободная составляющая с течением времени должна стремиться к нулю, т. е

(1.11)

следовательно, характер свободного движения системы определяет ее устойчивость или неустойчивость.

Аналитическая формулировка условия устойчивости определяется выражением (1.11); при невыполнении условия (1.11) система считается неустойчивой.

В вопросах суждения об устойчивости систем автоматики имеют большое практическое значение общие теоремы устойчивости, сформулированные А.М.Ляпуновым и приводимые ниже без аналитического доказательства. Эти теоремы позволяют установить значение и сферу применения линеаризации нелинейных уравнений, т. е. правомерность отнесения к линейным системам большинства реальных систем. Теоремы формулируются следующим образом:

Нелинейная система устойчива в «малом» (т. е. при малых начальных отклонениях), если отрицательны все вещественные корни характеристического уравнения системы, составленного для ее линейного приближения.

Нелинейная система неустойчива в «малом», если хотя бы один корень характеристического уравнения линейного приближения имеет положительную вещественную часть.

При наличии чисто мнимых корней указанного уравнения вопрос об устойчивости системы требует в каждом случае дополнительного исследования.

Для нелинейных систем устойчивость «в малом» еще не решает вопроса об устойчивости системы в любых обстоятельствах: нелинейные системы могут быть устойчивы «в малом», т. е. при небольших начальных отклонениях от устойчивого состояния, и в то же время неустойчивы «в большом», когда начальное отклонение велико. Следовательно, устойчивость нелинейных систем зависит и от величины возмущения.

В линейных и линеаризированных системах в отличие от нелинейных устойчивость не зависит от величины возмущения.

Возможные виды кривых переходного процесса свободной составляющей x_c(ф) для устойчивой линейной системы приведены на рис 6.1,а, а для неустойчивой системы-- на рис. 6.1,б.

При аналитическом исследовании динамических свойств системы регулирования необходимо найти ее дифференциальное уравнение и затем его проинтегрировать. Это означает, что тем самым будет найден закон изменения во времени интересующей нас величины.

Однако решение дифференциальных уравнений высоких порядков, даже для линейных систем, сопряжено с значительными трудностями.

Поэтому приобретают существенное значение признаки, по которым оказывается возможным судить об устойчивости систем регулирования без непосредственного интегрирования дифференциального уравнения, определяющего анализируемую систему.

Эти признаки получили название критериев устойчивости. Критерии устойчивости позволяют, не прибегая к решению дифференциального уравнения системы, установить, является ли система устойчивой. Кроме того, такие критерии позволяют выяснить характер влияния того или иного параметра и структуры системы на ее устойчивость.

Для того чтобы лучше уяснить, от чего зависит устойчивость или неустойчивость системы регулирования, рассмотрим общее дифференциальное уравнение линейной системы автоматического регулирования.

В соответствии с определением устойчивости системы последняя характеризуется свободными движениями системы. Так как свободное движение линейной системы описывается однородным дифференциальным уравнением, т. е. уравнением без правой части, то, следовательно, для определения устойчивости линейной системы и надлежит исследовать такое однородное уравнение.

Уравнение свободного движения линейной системы автоматического регулирования, разрешенное относительно исследуемой величины, обычно относительно отклонения регулируемого параметра от заданного значения, может быть записано так:

,(1.13)

где С₀, С₁,…, С_n--постоянные коэффициенты, определяемые параметрами системы регулирования. В операторной форме это же уравнение запишется:

.

Отсюда характеристическое уравнение будет иметь вид:

.(1.14)

Решение дифференциального уравнения (1.13) при всех вещественных корнях, как известно, имеет следующий вид:

, (1.15)

где А_i -- постоянные интегрирования, определяемые параметрами системы и начальными условиями;

р_i--корни характеристического уравнения (1.14);

ф -- время.

При наличии пары комплексных корней уравнения (1.14) в правую часть формулы (1.15) будет входить слагаемое

, (6.6)1.16

где А_i -- начальная амплитуда;

ц_i -- начальная фаза.

Из (1.15) и (1.16) следует, что динамические свойства системы регулирования определяются значениями р_i, и A_i,.

Если все корни характеристического уравнения (1.14) будут отрицательные вещественные или комплексные с отрицательной вещественной частью, то каждое слагаемое правой части выражения (1.15) будет с течением времени уменьшаться и при , будет стремиться к нулю. Но если каждое слагаемое правой части этого выражения стремится к нулю при ф, стремящемся к бесконечности, то и сумма их будет также стремиться к нулю и условие (1.11) будет удовлетворяться.

Графическое представление изменения каждого слагаемого, соответствующего вещественному отрицательному корню, приведено на рис. 6.1,а, а для каждой пары комплексных корней с отрицательной вещественной частью -- на рис. 6.1,б.

Система с такими корнями будет устойчивой, ибо отклонение параметра регулирования от заданного значения с течением времени уменьшается до нуля.

Если среди корней характеристического уравнения (6.4) будет хотя бы один вещественный положительный корень или если это уравнение будет иметь хотя бы одну пару сопряженных комплексных корней с положительной вещественной частью, то одно из слагаемых правой части формулы (6.5) или слагаемое, определяемое выражением (6.6), соответствующее этому корню (или паре корней), с течением времени будет неограниченно расти и при ф, стремящемся к бесконечности, будет само стремиться к бесконечности.



Переходный процесс для одного слагаемого правой части выражения (1.15), показатель степени в котором является вещественным положительным корнем, приведен на рис. 6.3,а, а переходный процесс для слагаемого, соответствующего паре комплексных сопряженных корней с положительной вещественной частью,-- на рис. 6.3,б.

Это означает, что при наличии хотя бы одного такого слагаемого правая часть выражения (1.15) с течением времени будет неограниченно расти. Такая система, очевидно, уже не будет устойчивой, ибо отклонение параметра регулирования от заданного значения с течением времени неограниченно возрастает.

Если среди корней характеристического уравнения (1.14) будет хотя бы одна пара комплексных корней с вещественной частью, равной нулю, то появится составляющая вида (1.16), у которой показатель степени бi, будет равен нулю, и переходный процесс для нее будет иметь вид незатухающих колебаний. Пример такого переходного процесса приведен на рис. 6.4.

В этом случае система будет находиться на границе устойчивости и неустойчивости, но так как в переходном процессе такой системы раз возникшие колебания не будут затухать, то систему следует считать неустойчивой.

Таким образом, необходимым и достаточным условием устойчивости системы регулирования является соблюдение того, чтобы все корни характеристического уравнения системы имели отрицательную вещественную часть.

Если представить корни характеристического уравнения на комплексной плоскости, то для устойчивой системы требуется, чтобы все корни лежали в левой полуплоскости, как это показано на рис.6.5.

Очевидно, что при изменении параметров системы будут изменяться и коэффициенты С_i характеристического уравнения (1.14), а изменение коэффициентов уравнения будет вызывать перемещение корней на комплексной плоскости. При определенных значениях коэффициентов уравнения часть корней может оказаться расположенной на мнимой оси.

Совокупности значений коэффициентов характеристического уравнения, при которых по крайней мере одна пара комплексных корней находится на мнимой оси, а все остальные корни расположены левее ее, определяют точки границы устойчивости. Такому случаю, например, и соответствует переходный процесс, изображенный на рис. 6.4.

Граница устойчивости делит все совокупности значений коэффициентов характеристического уравнения на две области -- одна из них соответствует устойчивости системы, а другая -- ее неустойчивости.

1.4.1 Критерии устойчивости

Для суждения об устойчивости системы регулирования, очевидно, достаточно лишь иметь представление о знаках всех корней характеристического уравнения.

Признаки, позволяющие иметь суждение о знаках корней характеристического уравнения без решения самого уравнения, получили в теории автоматического регулирования название критериев устойчивости.

Естественно, что применение того или иного критерия устойчивости дает возможность судить об устойчивости более просто и эффективно, чем это имеет место при обычном решении уравнения, особенно когда порядок таких уравнений высок.

Кроме того, критерии устойчивости позволяют установить причину неустойчивости и наметить пути и средства достижения устойчивости системы. Если найти соотношения между коэффициентами дифференциального уравнения системы, при которых вещественная часть корней характеристического уравнения меняет знак с минуса на плюс, то тем самым будет сформулировано условие перехода процесса регулирования от устойчивого к неустойчивому режиму, а при обратном изменении знака, наоборот, от неустойчивого к устойчивому режиму.

Впервые задача о нахождении критерия, позволяющего судить об устойчивости линейных систем, была сформулирована в 1868г. Дж.Максвеллом.

В 1876г. проф. И.А. Вышнеградский нашел условия, при соблюдении которых регулируемая система, описываемая дифференциальным уравнением третьего порядка, будет устойчива. Эти условия называют критерием Вышнеградского.

Общий метод суждения о корнях характеристического уравнения любого порядка был предложен в 1877г. Раусом в форме алгоритма, т. е. в виде правила, определяющего последовательность операций, необходимых для решения задачи. Эти правила будем называть критерием Рауса. В 1895г. швейцарский математик Гурвиц по предложению словацкого ученого Стодолы сформулировал условия, при соблюдении которых все вещественные части комплексных корней характеристического уравнения любого порядка будут отрицательны, и выразил эти условия в форме определителей, состоящих из коэффициентов характеристического уравнения. Эти правила будем называть критерием Гурвица.

Все эти условия устойчивости можно назвать алгебраическими критериями.

Алгебраические критерии весьма просты для исследования систем, процессы в которых описываются уравнениями относительно невысокого порядка. Однако уже для уравнений пятого порядка и выше применение критериев Рауса и Гурвица делается затруднительным. Трудности еще больше возрастают, если требуется установить влияние какого-либо параметра на устойчивость процесса. В подобных случаях, а также для систем, характеризуемых уравнениями высоких порядков, оказывается более удобным исследовать устойчивость системы, применяя так называемые частотные критерии, обладающие большой наглядностью, обусловленной тем, что задача сводится к изучению плоской кривой, которая может быть построена сравнительно просто. В 1931г. Найквист, исходя из теоремы Коши, предложил исследовать устойчивость усилителей с обратной связью в радиосхемах, применяя для этого частотные методы (амплитудно-фазовые характеристики). В 1938г. А.В.Михайлов, используя принцип аргумента, применил частотные методы для исследования устойчивости систем автоматического регулирования.

Рассмотрим последовательно указанные критерии устойчивости.

1.4.3 Критерий Вышнеградского

Для систем регулирования, описываемых линейным дифференциальным уравнением третьего порядка, И. А. Вышнеградский сформулировал условия, соблюдение которых соответствует устойчивости системы.

Графическое изображение условий устойчивости можно представить в координатах X, Y. Изображение в указанных координатах двух областей устойчивости (колебательной и апериодической) и области неустойчивости получило название диаграммы Вышнеградского.

Критерий Вышнеградского и его графическое изображение в виде диаграммы позволяют, не решая дифференциального уравнения третьего порядка, судить о характере переходных режимов. Кроме того, диаграмма позволяет наглядно видеть влияние параметров системы на ее динамические свойства.

Диаграмма Вышнеградского послужила в дальнейшем для подобного же рода трактовки условий устойчивости систем, любого порядка. Подробный анализ критерия Вышнеградского ясно показывает условия устойчивости, которые развиваются в последующем для систем высоких порядков.

Критерий Вышнеградского и построение диаграммы основываются на следующих соображениях.

Дифференциальному уравнению системы третьего порядка соответствует характеристическое уравнение следующего вида:

. (1.17)

Полагая

;, (1.18)

получим:

;;.(1.19)

Подставляя (6.9) в характеристическое уравнение (1.17), получим:

. (1.30)

Рассмотрим предельный случай, когда уравнение третьего порядка вида (1.17) будет иметь один действительный отрицательный корень и два комплексных корня с вещественной частью, равной нулю (что соответствует моменту перехода системы из устойчивого в неустойчивое состояние или обратно).

Допустим, что уравнение имеет корни:

; ; .

Найдем соотношения между коэффициентами уравнения, при которых это будет иметь место. При указанных значениях корней левая часть уравнения (6.7) должна разлагаться на множители:

(1.31)

Приравнивая коэффициенты слагаемых, содержащих р в одинаковых степенях в правой и левой частях уравнения (1.31), найдем, что

; ; .

Исключив из этих равенств в¹, найдем, что в разбираемом нами предельном случае должно удовлетворяться равенство

Для выяснения характера этой разности для непредельного случая достаточно рассмотреть любой пример. Положим, что С₃=0. Тогда характеристическое уравнение (6.7) распадается на два:

р = 0 и .

В уравнении второго порядка все корни имеют отрицательную вещественную часть, если С₁>0 и С₁>0. В этом частном случае (при С₃=0) будет иметь место следующее неравенство: