Общая теория измерений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и науки РФ

ФГБОУ ВО

«ВоронежскИЙ государственнЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНЫХ технологиЙ»

практикум

Общая теория измерений

О. П. Дворянинова, Н. Л. Клейменова,

О. А. Орловцева, А.Н. Пегина

ВОРОНЕЖ

2018

Цель изучения дисциплины - подготовка обучающихся к организационно-управленческой, производственно-технической, проектно-конструкторской и научно-исследовательской деятельности, направленной на обеспечение высокого качества выпускаемой продукции.

Для успешного выполнения практических работ обучающиеся должны перед каждым занятием изучить теоретический материал, произвести предварительно расчеты, ответить на контрольные вопросы.

Учебное пособие направлено на формирование у студентов следующих компетенции: ПК-8 - способность участвовать в разработке планов, программ и методик выполнения измерений, испытаний и контроля, инструкций по эксплуатации оборудования и других текстовых инструментов, входящих в состав конструкторской и технологической документации. организационный управленческий конструкторский

Пособие включает 14 практических работ, каждая из которых снабжена краткими теоретическими сведениями, методикой ее выполнения, а также даны контрольные вопросы для проверки полученных знаний.

Практическая работа № 1

Правила записи кратных и дольных единиц,

правила записи единиц физических величин

Цель работы: изучить правила обозначения единиц физических величин.

Теоретические сведения

Когерентная, или согласованная Международная система единиц физических величин (СИ, SI) принята в 1960 г. XI Генеральной конференцией по мерам и весам. По этой системе предусмотрено семь основных единиц (метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, кандела и моль) и две дополнительные (для плоского угла радиан и для телесного угла - стерадиан). Все остальные физические величины могут быть получены как производные основных. Основные и дополнительные единицы системы СИ приведены в таблице.

В качестве эталона единицы длины утвержден метр, который равен длине пути, проходимого светом в вакууме за 1/299792458 долю секунды.

Таблица

Основные и дополнительные единицы системы СИ

Величина	Единица
Наименование	Размерность	Наименование	Обозначение
			международное	русское
Основные
Длина	L	метр	m	м
Масса	м	килограмм	kg	кг
Время	t	секунда	s	с
Сила электрического тока	I	ампер	А	А
Термодинамическая температура	0	кельвин	К	К
Количество вещества	N	моль	mol	моль
Сила света	J	кандела	cd	кд
Дополнительные
Плоский угол		радиан	rad	рад
Телесный угол		стерадиан	сг	ср

Эталон единицы массы - килограмм - представляет собой цилиндр из сплава платины (90 %) и иридия (10 %), у которого диаметр и высота примерно одинаковы (около 30 мм).

За единицу времени принята секунда, равная 9192631770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133.

Эталоном единицы силы тока принят ампер - сила не изменяющегося во времени электрического тока, который, протекая в вакууме по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади круглого поперечного сечения, расположенным один от другого на расстоянии 1 м, создает на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия 2•10^-7 Н.

Единицей термодинамической температуры является кельвин, составляющий 1/273,16 часть термодинамической температуры тройной точки воды.

За эталон количества вещества принят моль - количество вещества системы, содержащей столько же структурных элементов частиц, сколько атомов содержится в 12 г углерода-12 (1 моль углерода имеет массу 2 г, 1 моль кислорода - 32 г, а 1 моль воды - 18 г).

Эталон единицы силы света - кандела - представляет собой силу света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540•10¹² Гц, энергетическая сила света которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср.

Радиан равен углу между двумя радиусами окружности, дуга между которыми по длине равна радиусу.

Стерадиан равен телесному углу с вершиной в центре сферы, вырезающему на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, по длине равной радиусу сферы.

Правила образования когерентных производных единиц СИ (по ГОСТ 8.417-2002)

Когерентные производные единицы Международной системы единиц, как правило, образуют при помощи простейших уравнений связи между величинами (определяющих уравнений), в которых числовые коэффициенты равны 1. Для образования производных единиц величины в уравнениях связи принимаются равными единицам СИ.

Пример. Единицу скорости образуют с помощью уравнения, определяющего скорость прямолинейно и равномерно движущейся точки:

v = s/t,

где v - скорость;

s - длина пройденного пути;

t - время движения точки.

Подставим в формулу вместо s и t единицы СИ:

v = 1 м/1, с = 1 м/с.

Следовательно, единицей скорости является метр в секунду.

Метр в секунду равен скорости прямолинейно и равномерно движущейся точки, при которой эта точка за время t (с) перемещается на расстояние 1 м.

Если уравнение связи содержит числовой коэффициент, отличный от 1, то для образования когерентной производной единицы СИ в правую часть подставляют величины со значениями в единицах СИ, дающими после умножения на коэффициент общее числовое значение, равное 1.

Пример. Если для образования единицы энергии используют уравнение E = 1/2•m•v²,

гдеE - кинетическая энергия;

m - масса материальной точки;

v - скорость движения точки,

то когерентную единицу энергии СИ образуют, например, следующим образом:

или

Следовательно, единицей энергии СИ является джоуль, равный ньютон-метру. В этих примерах джоуль равен кинетической энергии тела массой 2 кг, движущегося со скоростью 1 м/с, или же тела массой 1 кг, движущегося со скоростью м/с.

Правила образования десятичных кратных и дольных

единиц, а также их наименований и обозначений

(по ГОСТ 8.417-2002)

Десятичные кратные и дольные единицы, а также их наименования и обозначения следует образовывать с помощью множителей и приставок (приложение, табл. 1).

Присоединение к наименованию единицы двух (или более) приставок подряд не допускается. Например, вместо наименования единицы микро-микрофарад следует писать пикофарад. В связи с тем что наименование основной единицы -килограмма - содержит приставку «кило», для образования кратных и дольных единиц массы используется дольная единица грамм (0,001 кг), и приставки надо присоединять к слову «грамм», например, миллиграмм (мг) вместо микрокилограмм (мккг).

Дольную единицу массы - грамм - допускается применять и без присоединения приставки.

Приставку или ее обозначение следует писать слитно с наименованием единицы, к которой она присоединяется, или соответственно с ее обозначением.

ПравильноНеправильно

килопаскаль-секунда на метр паскаль-килосекунда на метр

(kP·s/m; кПа·с/м) (Paks/m; Пакс/м)

Если единица образована как произведение или отношение единиц, приставку следует присоединять к наименованию первой единицы, входящей в произведение или в отношение.

Допускается применять приставку во втором множителе произведения или в знаменателе лишь в обоснованных случаях, когда такие единицы широко распространены и переход к единицам, образованным в соответствии с первой частью пункта, связан с большими трудностями, например: тонна-километр

(t-km; т-км), ватт на квадратный сантиметр (W/sm²; Вт/см²), вольт на сантиметр (V/sm; В/см), ампер на квадратный миллиметр (A/mm²; А/мм²).

Наименования кратных и дольных единиц от единицы, возведенной в степень, следует образовывать путем присоединения приставки к наименованию исходной единицы. Например, для образования наименований кратной или дольной единицы от единицы площади - квадратного метра, представляющей собой вторую степень единицы длины - метра, приставку следует присоединять к наименованию этой последней единицы: квадратный километр, квадратный сантиметр и т. д.

Обозначения кратных и дольных единиц от единицы, возведенной в степень, следует образовывать добавлением соответствующего показателя степени к обозначению кратной или дольной от этой единицы, причем показатель означает возведение в степень кратной или дольной единицы (вместе с приставкой).

Примеры.

1. 5км² = 5•(10³ м)² = 5•10⁶ м².

2. 250 см³/с = 250•(10^-2 м)³/(1 с) = 250•10^-6 м³/с.

3. 0,002 см^-1 = 0,002•(10^-2 м)^-1 = 0,002•100 м^-1 = 0,2 м^-1.

Правила написания обозначений единиц (по ГОСТ 8.417-2002)

1. Для написания значений величин следует применять обозначения единиц буквами или специальными знаками (...°, ...', ..."), причем устанавливаются два вида буквенных обозначений: международные (с использованием букв латинского или греческого алфавитов) и русские (с использованием букв русского алфавита).

Международные и русские обозначения относительных и логарифмических единиц следующие: процент (%), промилле (‰), миллионная доля (ppm, млн "1), бел (В, Б), децибел (dB, дБ), октава (--, окт), декада (--, дек), фон (phon, фон).

Буквенные обозначения единиц должны печататься прямым шрифтом. В обозначениях единиц точку как знак сокращения не ставят.

Обозначения единиц следует применять после числовых значений величин и помещать в строку с ними (без переноса в следующую строку).

Между последней цифрой числа и обозначением единицы следует оставлять пробел.

Правильно 100 кВт 80 % 20 °С	Неправильно 100кВт 80% 20° С; 20°С

Исключения составляют обозначения в виде знака, поднятого над строкой (п. 1), перед которыми пробела не оставляют.

ПравильноНеправильно

20° 20 °

При наличии десятичной дроби в числовом значении величины обозначение единицы следует помешать после всех цифр.

Правильно 423,06 м 5,758° или 5°45,48 или 5°45'28,8"	Неправильно 423м, 06 5°, 758 или 5°45', 48 или 5°45'28",8

При указании значений величин с предельными отклонениями следует заключать числовые значения с предельными отклонениями в скобки и обозначения единицы помещать после скобок или проставлять обозначения единиц после числового значения величины и после ее предельного отклонения.

Правильно (100,0 ± 0,1) кг 50 г ± 1 г	Неправильно 100,0 ± 0,1 кг 50 ± 1 г

Допускается применять обозначения единиц в пояснениях обозначений величин к формулам. Помещение обозначений единиц в одной строке с формулами, выражающими зависимости между величинами или между их числовыми значениями, представленными в буквенной форме, не допускается.

Правильно v = 3,6 s/t, где v - скорость, км/ч; s - путь, м; t - время, с.	Неправильно v - 3,6 s/t, км/ч где s - путь, м; t - время, с.

Буквенные обозначения единиц, входящих в произведение, следует отделять точками на средней линии, как знаками умножения.

Правильно Н•м А•м2 Па•с	Неправильно Нм Ам2 Пас

Допускается буквенные обозначения единиц, входящих в произведение, отделять пробелами, если это не приводит к недоразумению.

В буквенных обозначениях отношений единиц в качестве знака деления должна применяться только одна косая или горизонтальная черта. Допускается применять обозначения единиц в виде произведения обозначений единиц, возведенных в степени (положительные и отрицательные).

Правильно Вт•м-2•К-1	Неправильно Вт/м-2/К

При применении косой черты обозначения единиц в числителе и знаменателе следует помещать в строку, произведение обозначений единиц в знаменателе следует заключить в скобки.

Правильно м/с Вт/(м•К)	Неправильно Вт/м • К

При указании производной единицы, состоящей из двух (и более) единиц, не допускается комбинировать буквенные обозначения и наименования единиц, т. е. для одних единиц приводить обозначения, а для других - наименования.

Правильно 80 км/ч 80 километров в час	Неправильно 80 км/час 80 км в час

Допускается применять сочетания специальных знаков ...°, ...' ...", % и ‰ с буквенными обозначениями единиц, например, ...°/с и т. д.

Задания

Задание 1. Переведите из одной единицы измерения в другую, с учетом обозначения кратных и дольных единиц путем возведения в степень:

1.	45 км в см.
2.	10 км2 в мм2.
3.	300 мм3/с в см3/с.
4.	25 МПа в мПа.
5.	15 фм в дм.
6.	0,05 дм в км.
7.	0,001 мкм в мм.
8.	20 MB в мВ.

Задание 2. Образуйте когерентные производные единиц в системе СИ, если даны следующие уравнения:

1. В = ?•?_0•H,

где В - магнитная индукция, Тл;

Н - напряженность магнитного поля, А/м;

??? ? - магнитная проницаемость вещества - безразмерная величина;

?₀ - магнитная константа (4•?•10^-7), Гн/м.

2. Второй закон Ньютона: F = m•a. Определить размерность и единицу силы.

3. Закон импульса: р = m•v. Определить размерность и единицу импульса материальной точки.

4. Атомы, ионы и молекулы под действием внешнего электрического поля способны приобретать электрический момент. В слабых полях этот момент пропорционален напряженности электрического поля Е и в СИ выражается формулой:

р = = ?•?₀•Е,

где ? - коэффициент, называемый поляризуемостью атома (иона, молекулы); ?₀ - электрическая постоянная.

Выразить ?, найти размерность и единицу поляризуемости.

Контрольные вопросы

1. Что такое эталон единицы массы?

2. Что относят к основным и дополнительным единицам СИ?

3. Что такое когерентные производные величины?

4. Какие правила образования десятичных кратных и дольных единиц, а также их наименований и обозначений (по ГОСТ 8.417-2002) вам известны?

Практическая работа № 2

Определение статистических параметров

распределения на основе построения гистограммы

Цель работы: определить характеристики дискретной случайной величины и выравнивание статистических распределений; определить интервальные оценки параметров распределения

Теоретические сведения

1. Характеристика дискретной случайной величины. Числовые характеристики. Среднее арифметическое п случайных величин определяется по формуле

Или

,

где х_i - значение измеряемой величины в середине интервала;

- частость появления значения х_1;

n - число измерений.

Несмещенной оценкой дисперсии является среднеквадратическое отклонение:

.

Смещенная оценка среднеквадратического отклонения результатов наблюдений определяется по формуле

,

где - статистическая вероятность попадания i-го результата в интервал.

Кроме определения числовых характеристик, для достижения наглядности строят различные графики статистического распределения, из которых чаще всего используют полигон, гистограмму и кумулятивную кривую.

Отношение частоты к общему числу наблюдений n называют частостью и обозначают .

Частость представляет собой эмпирическую оценку вероятности попадания результатов наблюдений x_i в i-й интервал. Очевидно, что

.

Для наглядности эмпирическое распределение можно представить графически в виде полигона или гистограммы распределения, а также ступенчатой функции распределения.

Полигон строят следующим образом: на оси абсцисс откладывают интервалы значений измеряемой величины, в серединах интервалов отмечают ординаты, пропорциональные частотам или частостям, и ординаты соединяют прямыми линиями, таким образом, он представляет собой ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами (х_i,; m_i).

Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки, изображающие интервалы вариационного ряда, а вычеты равны частотам или частостям соответствующих интервалов, деленным на ширину интервала. При различных значениях высота прямоугольника будет пропорциональна эмпирической плотности вероятностей

.

Ступенчатую функцию распределения строят следующим образом: в середине каждого интервала по оси абсцисс ордината возрастает скачком на значение, соответствующее , и оттуда проводят горизонтальную прямую до середины следующего интервала, где она возрастает. Высота ординаты в каждой точке соответствует эмпирической интегральной функции распределения

.

Значение называют кумулятивной частотой.

2. Выравнивание статистических распределений. При использовании вероятностных методов оценки полученных результатов важной задачей является нахождение функции распределения по данному статистическому ряду. Такая операция называется выравниванием статистического распределения, а искомую функцию распределения или плотность распределения называют выравнивающими.

Вид полигона или гистограммы позволяет сделать вывод о возможности выравнивания с помощью того или иного закона распределения.

Выравнивание статистического распределения проводится в следующем порядке:

1) выбирают теоретический закон распределения;

2) вычисляют параметры распределения;

3) строят графики выравнивающей функции распределения F(х) или плотности f(х) = р(х) для значений , где - середина интервала (для интервального вариационного ряда );

4) сравнивают графики теоретической функции распределения F(х) и эмпирической F^/(х) или f(х) = р(х) и гистограммы.

Сравнение графиков показывает, насколько теоретический закон распределения удовлетворительно отражает экспериментальные данные. Если расхождение между F(х) и F^/(х) невелико, можно считать, что F(х) определено правильно.

Выравнивающая функция распределения сглаживает все те случайные отклонения, свойственные F^/(х), которые происходят из-за ограниченного объема наблюдений.

3. Определение интервальных оценок параметров распределения. Определение интервальной оценки параметров распределения состоит в том, чтобы построить интервал значений, в котором с заданной вероятностью будет находиться параметр распределения. Такой интервал называется доверительным. а его границы - верхними и нижними доверительными границами. С вероятностью Р = 1 - б доверительный интервал содержит известное значение параметра.

Вероятность Р называют доверительной, а б - уровнем значимости. Порядок получения интервальной оценки параметров распределения может быть следующий:

1) определяют оценку среднего значения результата измерения

;

2) определяют оценку среднего квадратического отклонения результата измерения;

;

3) устанавливают закон распределения результата измерения и проверяют согласованность эмпирического распределения с теоретическим;

4) если закон распределения результата измерения нормальный, то определяют стандартное отклонение по формуле

;

5) если закон распределения результата измерения отличный от нормального, то определяют стандартное отклонение по формуле

;

6) задают доверительную вероятность Р = 1 - б;

7) для определения доверительного интервала используют соотношение

,

где - полуширина доверительного интервала;

- аргумент функции Лапласа, отвечающий вероятности (1 + Р) / 2, который в литературе называют квантилью нормального распределения, если закон распределения нормальный. Если эмпирическое распределение подчинится закону распределения вероятности Стьюдента, то - аргумент интегральной функции распределения Стьюдента.

Если эмпирическое распределение подчиняется иному закону, то - аргумент, входящий в неравенство П.Л. Чебышева.

Значение аргумента определяют по таблицам функции Лапласа, Стьюдента и неравенства Чебышева.

При нормальном распределении определяют (приложение, табл. 5).

В то же время , поэтому доверительной вероятности Р отвечает интервал, равный

.

Задания

Задание 1. Произведено 50 измерений напряжения радиосигнала одним и тем же прибором. Результаты измерений приведены (приложение, табл. 2).

Вычислить среднее арифметическое, выборочную дисперсию и построить полигон распределения, гистограмму и статистическую функцию распределения.

Массив экспериментальных данных взять в соответствии с вариантом, заданным преподавателем или в соответствии с шифром зачетной книжки студента.

Количество интервалов определяется по формуле Старджесса:

.

Ширина интервала определяется по формуле

.

Для удобства вычисления значения границ интервала, частоту попадания в интервалы и середину интервалов свести в табл. 1.

Таблица 1

Номера интервалов	Границы интервалов	Середина интервалов	Частота попадания в интервалы	Частость	Эмпирическая плотность вероятности

Для построения статистической функции распределения можно воспользоваться формулой

,

где .

Пример 1. Даны результаты прямых измерений напряжения некоторых физических величин (табл. 2).

Таблица 2

Результаты прямых измерений напряжения
11,12	10,64	11,05	10,09	8,62	12,08	11,75	13,11	16,38	13,61
10,48	13,39	11,63	10,71	10,55	10,96	13,11	11,51	12,17	14,52
13,97	10,58	13,72	12,00	13,83	14,21	13,34	13,78	9,91	6,19
12,13	7,68	11,73	14,03	12,36	13,02	13,47	11,96	12,55	12,32
12,41	10,76	9,60	12,19	13,54	12,61	12,02	10,47	11,18	10,65

Требуется вычислить среднее арифметическое значение, выборочную дисперсию, среднее квадратическое отклонение, построить гистограмму и статистическую функцию распределения.

Решение.

1) Размах экспериментальных данных:

,

В.

2) Среднее арифметическое

В.

3) Несмещенная оценка дисперсии

В.

4) Несмещенная оценка среднего квадратического отклонения

В.

5) Число интервалов

.

6) Ширина интервала

В.

7) Рассчитать границы интервалов, середины интервалов, подсчитать число результатов, попавших в каждый интервал, для каждого интервала определяем статистическую вероятность. Полученные результаты занести в табл. 3.

8) По данным табл. 3 построить гистограмму и статистическую функцию распределения (рис. 1).

Таблица 3

Номера интервалов	Границы интервалов	Середина интервалов	Частота попадания в интервалы	Частость	Эмпирическая плотность вероятности
1	6,19 - 7,6457	6,918	1	0,02	0,01
2	7,6457 - 9,1014	8,374	2	0,04	0,03
3	9,1014 - 10,5571	9,829	6	0,12	0,08
4	10,5571 - 12,0128	11,285	15	0,30	0,21
5	12,0128 - 13,4686	12,741	15	0,30	0,21
6	13,4686 - 14,9243	14,196	10	0,20	0,14
7	14,9243 - 16,38	15,652	1	0,02	0,01

Рис. 1. Гистограмма и статистическая функция распределения

Задание 2. Произведено 50 измерений напряжения радиосигнала одним и тем же прибором. Результаты измерений приведены в приложении табл. 2. Выравнять статистический ряд.

1. Построить гистограмму. По виду гистограммы (определить) выбрать теоретический закон распределения.

Если закон распределения нормальный, то его плотность равна:

.

2. Вычислить и .

3. Вычислить f(х) для середин интервалов.

Для этого вводим переменную и, используя свойство нормального распределения f(х), по приложению, табл. 3 находим значения f(t).

В случае использования интервалов применить зависимость f(х), где h - ширина интервала.

Для удобства вычисления свести в табл. 4.

Таблица 4

Середина интервалов	Нормированный параметр	Дифференциальная функция нормированного нормального распределения f(t)	Значения дифференциальной функции	Нормированная интегральная функция
1	2	3	4	5

- значения теоретической функции распределения, найденное по таблицам функции Лапласа (приложение, табл. 4).

4. Построить графики теоретической функции распределения F(х) и эмпирической F^/(х).

5. Для построения значений F^/(х) можно воспользоваться данными первой работы.

6. По виду статистических кривых сделать заключение о нормальности распределения экспериментальных данных.

Пример 2. По данным примера 1 выравнять статистический ряд.

Решение.

1. По виду гистограммы (рис. 2) предполагаем, что закон распределения нормальный.

2. По данным примера 1:= 11,9 и = 1,81.

3. Заполнить табл. 5.

Таблица 5

Середина интервалов	Нормированный параметр	Дифференциальная функция нормированного нормального распределения f(t)	Значения дифференциальной функции	Нормированная интегральная функция
6,918	-2,76	0,0088	0,0071	0,0029
8,374	-1,96	0,0587	0,0473	0,025
9,829	-1,15	0,2052	0,1652	0,1251
11,285	-0,35	0,3755	0,3024	0,3632
12,741	0,46	0,3593	0,2893	0,6772
14,196	1,26	0,1799	0,1448	0,8962
15,652	2,07	0,0471	0,0379	0,9808

4. Построить графики теоретической функции распределения F(х) и эмпирической F^/(х).

Рис. 2. Теоретическая (1) и эмпирическая (2) интегральные функции распределения

5. По виду статистических кривых можно сделать заключение о нормальности распределения экспериментальных данных, хотя для окончательного заключения требуется проверка по критериям согласия.

Задание 3. Произведено 50 измерений напряжения радиосигнала одним и тем же прибором. Результаты измерений приведены (см. приложение, табл. 2). Найти доверительный интервал.

Пример 3.

По данным примера 1 найти доверительный интервал.

Решение.

1) По данным примера 1: = 11,9 и = 1,81.

2) Так как закон распределения результата измерения нормальный, то стандартное отклонение

.

3) Доверительная вероятность Р = 1 - 0,05 = 0,95.

4) По приложению табл. 5, для Р = 0,95 и числа степеней свободы k = 49, = 2,01.

5) Полуширина доверительного интервала

.

6) Доверительный интервал

.

Контрольные вопросы

1. Что такое кумулятивная кривая?

2. В каком случае используется выравнивание статистических распределений?

3. Что представляет собой аргумент ?

4. Что понимают под доверительным интервалом?

5. Какова последовательность определения интервальной оценки параметров распределения?

Практическая работа № 3.

Проверка гипотезы о виде закона распределения

вероятностей результата измерения

Цель работы: провести проверку гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределений с помощью критерия Пирсона и проверку гипотезы о согласованности эмпирического и теоретического распределения по составному критерию.

Теоретические сведения

Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения производится так же, как проверка гипотезы о параметрах распределения, т. е. при помощи специально подобранной случайной величины - критерия согласия.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Среди наиболее известных критериев следует отметить критерий Пирсона ч² , критерий Колмогорова, составной критерий d, критерий Мизеса - Смирнова щ².

Порядок проверки гипотезы о виде закона распределения с помощью критериев согласия может быть следующим:

1) выбирают меру расхождения между теоретическим и эмпирическим законами распределения u;

2) задают уровень значимости критерия б;

3) вычисляют меру расхождения для исследуемого статистического распределения u_э;

4) находят табличное значение u_б , отвечающее заданному уровню значимости б;

5) делают вывод относительно проверяемой гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределений:

если u_э > u_б - гипотеза отклоняется;

если u_э < u_б - гипотеза принимается.

1. Проверка гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределений с помощью критерия Пирсона.

При числе измерений n ? 50 используется критерий согласия Пирсона (критерий ?²):

,(1)

где r - число интервалов;

- частота i-го интервала;

n - число испытаний;

- теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-й интервал.

При случайная величина имеет распределение Пирсона с S = r - k - 1 степенями свободы, где k - число параметров распределения.

Результаты наблюдений группируют в интервальный вариационный ряд; интервалы, в которых m_i < 5, объединяют с соседними; число степеней свободы при этом уменьшается.

Строят гистограмму или полигон и выдвигают гипотезу о виде закона распределения. Вычисляют оценки параметров распределения, (для теоретического нормального распределения такими оценками являются среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение ??.

,

.

Определяют теоретическую вероятность попадания случайной величины Х в каждый интервал

Или

;

По формуле (1) определяют величину расхождения ?²_э.

Задают уровень значимости критерия б. Определяют число степеней свободы k = r - S - 1,

где r - число интервалов выборки;

S - число параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборкам.

Для нормального распределения принимают S = 2, . Рекомендуется, чтобы каждая группа содержала не менее 5-8 частот; малочисленные группы следует объединять в одну, суммируя эмпирические частоты.

Мера расхождения сравнивается с табличной ?²_б, найденной (приложение, табл. 6) по заданному уровню значимости б (q) = = 1 - Р (рекомендуется выбирать q = (0,01 - 0,02) и числу степеней свободы k;

9) делают вывод о проверяемой гипотезе:

если ?²_э >?²_б - гипотезу отвергают;

если ?²_э < ?²_б - гипотезу принимают.

2. Проверка гипотезы о согласованности эмпирического и теоретического распределения по составному критерию.Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения”. При проверке задаются уровнем значимости q_I (б_I) (для критерия I) и q_II (б_II) (для критерия II). Уровень значимости составного критерия должны удовлетворять условию: q ? q_I + q_II · (б ? б_I + б_II).

Гипотеза о согласованности опытного распределения с теоретическим нормальным проверяется следующим образом.

1) Проверяют выполнение критерия I.

Для этого определяют значение d по формуле

(2)

где - смещенная оценка среднего квадратического отклонения результатов наблюдений определяется по формуле

. (3)

Подставляя выражение (3) в формулу (2) получают

.

Нулевая гипотеза о принадлежности эмпирического распределения нормальному справедлива, если выполняется условие:

,

где , - квантили распределения (приложение, табл. 8).

2) Проверяют выполнение критерия II.

Гипотеза о нормальности распределения по критерию II подтверждается, если не более m разностей превзошли значения ,

где - верхняя квантиль интегральной функции нормированного распределения Лапласа; S - несмещенная оценка СКО результата наблюдений определяемая по формуле

.

Верхняя квантиль интегральной функции нормированного распределения Лапласа , отвечающая вероятности Р/2, находится по приложению, табл. 9.

Для нахождения максимально допустимого количества разностей m, задаются уровнем значимости q_II и для известного n (приложение, табл. 10) находят значения P и m.

Результирующий уровень значимости составного критерия: q ? q_I + q_II. Если окажется, что хотя бы один из критериев не выполняется, то считают, что распределение исследуемой совокупности результатов измерений не соответствует нормальному закону.

Задания

Задание 1. Произведено 50 измерений напряжения радиосигнала одним и тем же прибором. Результаты измерений приведены в приложении табл. 2). Проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения с теоретическим. Вычисления свести в табл. 1.

Таблица 1

Границы интервалов	Частота попадания в интервалы
1	2	3	4	5	6	7

Значения функции Лапласа определить по приложению табл. 4). Суммирование чисел в графе 7 дает ?²_э. Сделать вывод о согласованности эмпирического закона распределения с теоретическим.

Пример. По данным практической работы № 2 проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения с теоретическим.

Решение.

1) По данным примера 1: = 11,9 и = 1,81.

2) Заполняем табл. 2.

Таблица 2

Границы интервалов	Частота попадания в интервалы
6,19 - 7,6457	1	-2,76	0,0029	0,0221	1,105	0,009977
7,6457 - 9,1014	2	-1,96	0,025	0,1001	5,005	1,804201
9,1014 - 10,5571	6	-1,15	0,1251	0,2381	11,905	2,92894
10,5571 - 12,0128	15	-0,35	0,3632	0,314	15,7	0,03121
12,0128 - 13,4686	15	0,46	0,6772	0,219	10,95	1,497945
13,4686 - 14,9243	10	1,26	0,8962	0,0846	4,23	7,870662
14,9243 - 16,38	1	2,07	0,9808	0,0192	0,96	0,001667

3) По формуле (1) определить критерий согласия Пирсона ?²_э = 14,15.

4) Для уровня значимости б = 0,05 и числа степеней свободы k = 7 - 3 = 4 в приложении табл. 6 найти ?²_б = 9,488.

5) Так как ?²_э >?²_б - гипотеза о согласованности эмпирического распределения с теоретическим отвергается.

Задание 2. Произведено 50 измерений напряжения радиосигнала одним и тем же прибором. Результаты измерений приведены в приложении табл. 2. Проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения с теоретическим, используя составной критерий.

Пример. По данным практической работы № 2 проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения с теоретическим, используя составной критерий.

Решение. 1) Результаты наблюдений группируем в интервальный вариационный ряд.

2) Построить гистограмму или полигон.

3) Исходя из вида диаграммы выдвинуть гипотезу о нормальном законе распределения результатов.

4) Вычислить оценки среднего арифметического= 11,9 и среднего квадратического отклонения S = 1,81.

5) По формуле (3) найти смещенную оценку среднего квадратического отклонения результатов наблюдений S = 1,79.

6) Определить значение составного критерия d по формуле (2):

.

7) Задать уровень значимости q_I = 0, 05.

По приложению, табл. 8 для числа опытов n = 50 найти: ; .

Поскольку 0,7518 < 0,765 < 0,8481, переходим к проверке по критерию II.

8) Задать уровень значимости q_II = 0, 05.

9) По приложению табл. 10, для q_II = 0, 05 и n = 50 найти

Р = 0,98 и m = 2.

10) По приложению табл. 9, для Р = 0,98, определить значение верхней квантили интегральной функции нормированного распределения Лапласа = 2,33.

11) Рассчитать величину .

12) Число разностей , превышающих значение 4,17, равно 3, что превышает предельно допустимое значение m = 2.

Поскольку критерий II не выполнен, распределение исследуемой совокупности результатов измерений не соответствует нормальному закону. Результирующий уровень значимости составного критерия: q ? 0,05 + 0,05 = 0,1.

Контрольные вопросы

1. Каков порядок проверки гипотезы о виде закона распределения с помощью критериев согласия?

2. Каков порядок проверки гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределений?

3. Чем отличается эмпирическая кривая от теоретической?

Практическая работа № 4.

Обработка равнорассеянных

и неравнорассеянных рядов наблюдений

Цель работы: провести обработку равнорассеянных и

неравнорассеянных наблюдений.

Теоретические сведения

Равнорассеянными называют результаты наблюдений х, которые получены одним или группой наблюдателей с помощью одних и тех же методов и средств измерений в неизменных условиях внешней среды.

Однако во многих случаях результаты измерений могут быть представлены несколькими сериями, которые получены для разных условий, например, с помощью различных средств измерений. В этих случаях необходимо решить две задачи: первая задача - проверка равноточности этих серий, в случае отрицательного заключения вторая задача - обработка полученных неравноточных результатов.

Для проверки гипотезы о равнорассеянности наблюдений применяется распределение Фишера. Распределению Фишера подчиняется отношение

,

где u и - независимые случайные величины, подчиняющиеся - распределению с и степенями свободы соответственно.

Распределение Фишера задается в виде процентных точек в табличной форме в зависимости от числа степеней свободы большей дисперсии и от числа меньшей дисперсии для разных значений доверительной вероятности = 1 - или уровня значимости , априорно принимаемых при проверке гипотезы о равнорассеянности дисперсий (приложение, табл. 7).

Условие принятия гипотезы о равнорассеянности выражается следующим неравенством:

,

т. е. если при выбранном уровне значимости отношение большей дисперсии к меньшей будет меньше значения , полученного из таблицы распределения Фишера, это означает, что различие оценок незначимо, и они являются двумя независимыми оценками одной и той же дисперсии.

Другой способ оценки равноточности дисперсий заключается в нахождении доверительных границ для истинной дисперсии ?^?_X по формуле

.

Нижнюю и верхнюю границы для ?^?_X находим по формуле

.

Задаваясь уровнем значимости = 1 - Р или доверительной вероятностью Р, можно найти предельное значение t_Р вприложении табл. 5, и если , то гипотеза о равенстве математических ожиданий принимается.

Вычисляют величину на основании двух средних арифметических:

.

Если результаты наблюдений распределены нормально, то имеет распределение Стьюдента с степенями свободы, асимптотически переходящее в нормальное при большом числе наблюдений с математическим ожиданием М () = 0 и дисперсией .

Распределением Стьюдента пользуются и в том случае, когда проверка равенства дисперсий в группах дала отрицательные результаты. Тогда необходимо проверить разность всех сочетаний групп, поскольку незначимость различия между Х_max и Х_min в группах еще не означает, что между другими средними различия тоже будут незначительными. Причиной этого является различие дисперсий в отдельных группах наблюдений.

Значимое различие групповых средних говорит о том, что на формирование результатов оказывает влияние сильнодействующая причина или ряд причин (факторов). Следует провести анализ условий измерения, попытаться найти причины систематической погрешности, определить ее значение и ввести поправку в соответствующие результаты.

В том случае когда различие дисперсий значимо, а различие средних арифметических незначимо, группы результатов называются неравнорассеянными.

Ряды получающихся при этом результатов наблюдений называются неравнорассеянными, если оценки их дисперсий значительно отличаются друг от друга, а средние арифметические являются оценками одного и того же значения измеряемой величины.

Если средние неравнорассеянных рядов наблюдений мало отличаются друг от друга, то говорят о высокой воспроизводимости измерений, которая количественно характеризуется параметрами рассеивания результатов.

Рассмотрим некоторые случаи, приводящие к необходимости обработки результатов неравнорассеянных измерений.

1. Если при точных измерениях необходимо убедиться в отсутствии неисключенных систематических погрешностей, то измерения проводятся несколькими исследователями или группами исследователей. Если средние арифметические полученных рядов наблюдений незначительно отличаются друг от друга и ничто не указывает на наличие систематических погрешностей, то заманчиво объединить все полученные результаты и на основе их математической обработки получить более достоверные сведения об измеряемой величине.

2. Аналогичные измерения были выполнены в разных лабораториях различными методами и получены отличающиеся друг от друга результаты. Естественно, и в этом случае, используя все имеющиеся данные, попытаться получить более достоверные значения измеряемых величин.

3. Измерения, относящиеся к образцовым мерам и измерительным приборам, часто повторяются через некоторое время. В конце концов накапливаются ряды наблюдений и возникает необходимость объединить их. Точность рядов наблюдений различна, с одной стороны, из-за того что для впервые проводимых измерений характерно большее рассеивание результатов, а с другой - из-за того что с течением времени средства измерения стареют или заменяются новыми.

Во всех описанных ситуациях приходится прибегать к методам обработки результатов неравнорассеянных рядов наблюдений, задача которых в общем случае заключается в нахождении наиболее достоверного значения измеряемой величины и оценки воспроизводимости измерений.

Для практической обработки результатов неравнорассеянных рядов наблюдений необходимо ввести параметр вес:

,

где n - число наблюдений в ряду;

- средние квадратические (стандартные) отклонения результатов наблюдений в отдельных рядах.

.

Веса характеризуют степень нашего доверия к соответствующим рядам наблюдений. Чем больше число наблюдений в каждом данном ряду и чем меньше дисперсия результатов наблюдений, тем больше степень доверия к полученному при этом среднему арифметическому и с тем большим весом оно будет учтено при определении оценки истинного значения измеряемой величины.

Весовые коэффициенты для трех рабочих термометров определяются по формуле

,

где б_j - безразмерные относительные весовые коэффициенты;

n - число наблюдений.

Среднее взвешенное для трех рабочих термометров определяется по формуле

.

Дисперсия среднего взвешенного для трех рабочих термометров определяется по формуле

.

Среднее квадратичное отклонение определяется по формуле

.

Задания

Задание 1. Даны результаты трех групп наблюдений дециметрового интервала штрихового эталона метра с визированием на штрихи по фотоэлектрическому микроскопу. Каждая группа наблюдений объединяет результаты наблюдений, полученные в течение 10-15 мин в утренние часы после стабилизации температуры. Результаты наблюдений (отклонения в микрометрах), также результаты вычисления представлены в приложении табл. 11. Необходимо оценить равнорассеянность результатов наблюдений.

1. Вычислить оценки дисперсий для каждой группы результатов (СКО).

2. Определить соотношение дисперсий ; ; .

3. Эти отношения имеют распределение Фишера с = 4 и = 4 степенями свободы. Уровень значимости 5 % ( = 0,05), из таблиц распределения Фишера (см. приложение, табл. 7) определить: .

4. Проверить по распределению Стьюдента значимость различий средних арифметических каждой группы и вычислить разности ; ; .

5. По приложению табл. 5 для доверительной вероятности, соответствующей принятому уровню значимости, Р = 1 - = 0,95 и для найти . Сравнить полученные расчетом различия средних t с предельным различием.

Задание 2. Произведены измерение температуры на рабочем и образцовом термометрах для 20 точек (см. приложение, табл. 7). Для трех рабочих термометров в соответствии с заданным законом изменения температуры:

необходимо найти наилучшую оценку для объединенных результатов измерений (весовые коэффициенты для трех рабочих термометров);

определить среднее взвешенное для трех рабочих термометров;

определить дисперсию среднего взвешенного для трех рабочих термометров;

определить среднее квадратичное отклонение;

результаты представить в таблице, сделать выводы.

Пример 2. При испытаниях центробежного насоса на постоянном режиме работы измерялась частота вращения ротора с помощью индуктивного датчика и магнитоиндукционного тахометра. Предварительной обработкой двух рядов наблюдений, объемами 20, установлено, что распределения не противоречат нормальному. Результаты измерений: = 297,3 рад/с, = = 296,9 рад/с; оценки СКО средних: = 0,6 рад/с;

= 1,2 рад/с.

Требуется определить наиболее достоверное значение частоты вращения ротора и оценить погрешность при доверительной вероятности P = 0,95. Прежде чем приступить к совместной обработке рядов наблюдений, необходимо определить значимость различий средних и дисперсий . Допустимость различия оценок дисперсий проверяем по критерию Фишера.

Вычислить отношение дисперсий по формуле

.

По приложению, табл. 7 при принятом уровне значимости q = 0,05 и числах степеней свободы находим квантиль распределения Фишера, она равна:

,

поскольку , то при уровне значимости q = = 0,05 делаем вывод, что гипотеза о равноточности рядов наблюдений отвергается.

Допустимость различия средних определяем по критерию Стьюдента (см. приложение, табл. 5) находим квантиль Стьюдента при вероятности P = 0,95 и числе степеней свободы k = =.

Гипотеза о допустимом различии средних подтверждается, так как

,

;

1,49 < .

Следовательно, два ряда наблюдений относятся к неравноточным измерениям одной и той же величины, так как оценки дисперсий недопустимо различны, а оценки математических ожиданий выборок имеют допустимое различие.

Обрабатываем результаты неравноточных измерений по вышеизложенным правилам.

Определяем вес каждого результата измерения (примем, ) по формуле

.

Вычислить величину среднего взвешенного по формуле

,

Найти оценку СКО среднего взвешенного:

,

Доверительная граница погрешности результата измерения (без учета знака) при вероятности Р = 0,95 будет равна (при k =1,9599; Р = 0,95, см. приложение, табл. 5 найти :S) по

,

рад/с,

где число степеней свободы найдено по формуле

,

.

Результат обработки неравноточных рядов наблюдений должен быть представлен в форме:

рад/с; рад/с; Р = 0,95.

Результата принадлежит интервалу:

294,9 < < 299,5.

Контрольные вопросы

1. Как можно установить соответствие прибора требованиям того или иного класса точности?

2. Что такое неравнорассеянные наблюдения?

3. Какие виды ситуаций, приводящих к необходимости обработки результатов неравнорассеянных измерений, вы можете назвать?

4. Какие требования по точности предъявляют к образцовому прибору?

5. Что понимают под воспроизводимостью и сходимостью результатов наблюдений?

6. К какому виду измерений относят неравнорассеянные наблюдения?

7. Что такое равнорассеянные наблюдения?

8. В каком случае пользуются распределением Стьюдента?

9. Каким образом задается распределение Фишера?

Практическая работа № 5.

Обработка многократных равноточных

результатов измерений

Цель работы: изучить один из методов обработки многократных равноточных измерений; получить навыки обработки многократных равноточных результатов измерений; закрепить полученные навыки обработки многократных равноточных результатов измерений, проведя расчеты по вариантам.

Теоретические сведения

Результаты многократных наблюдений, получаемые при прямых измерениях величины Х, называются равноточными (равнорассеянными), если они являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами. Измерения проводятся одним наблюдателем в одинаковых условиях внешней среды и с помощью одного и того же средства измерения.

Статистическая обработка группы результатов наблюдения при равноточных измерениях, нормальном распределении, выполняется в следующей последовательности.

1. Производят n измерений х_i величины х.

2. Вычисляют среднее арифметическое значение , принимая его за оценку истинного значения измеряемой величины:

. (1)(1)

3. Вычисляют отклонения каждого результата измерения относительно среднего арифметического (абсолютную погрешность):