Общая теория измерений

. (2)

4. Вычисляют среднее квадратическое отклонение среднего арифметического значения:

. (3)(2)

5. Задают доверительная вероятность Р_д.

6. Вычисляют размах доверительного интервала через коэффициент Стьюдента t_np:

. (4)(3)

Значения коэффициента Стьюдента t_np выбирают из табл. 1.

Таблица 1

n-1	Рд =0,95	Рд =0,99	n-1	Рд =0,95	Рд =0,99
3	3,182	5,841	16	2,120	2,921
4	2,776	4,604	18	2,101	2,878
5	2,571	4,032	20	2,086	2,845
6	2,447	3,707	22	2,074	2,819
7	2,365	3,499	24	2,064	2,797
8	2,306	3,355	26	2,056	2,779
10	2,228	3,165	28	2,048	2,763
12	2,179	3,055	30	2,043	2,750
14	2,145	2,977	?	1,960	2,576

7. Определяем относительную погрешность:

. (5)

Результат записывают в виде:

Х= при P_д=К, =К %. (6)

Задания

Задание. Значения x_i взять из табл. 2 в соответствии с номером варианта и занести их в табл. 3.

Таблица 2

Число измер.	№ варианта
	1	2	3	4	5	6	7	8
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	90,3	94	64	74	54	54	84	14
2	90	94,25	64,23	74,25	54,25	54,5	84,25	14,25
3	89,8	94,3	64,3	74,3	54,3	54,23	84,3	14,3
4	89,9	94,4	64,4	74,4	54,4	54,45	84,4	14,4
5	90,4	95	65	75	55	55,2	85	15
6	90	94,5	64,5	74,5	54,5	45,5	84,5	14,5
7	90,3	94,9	64,9	74,9	54,9	54,9	84,9	14,9
8	89,1	93,7	63,7	73,7	53,7	53,7	83,7	13,7
1	2	3	4	5	6	7	8	9
9	90,5	94,8	64,8	74,8	54,8	54,9	84,8	14,8
10	90,4	95,5	65,5	75,5	55	55	85	15
11	90,35	93,5	63,5	73,5	53,5	53,5	83,5	13,5
12	90,5	94,5	64,5	74,5	54,5	53	84,5	13,3
13	90	93	63	73	53	53,6	83	13
14	90,05	95	65	75	55	53,45	85	15
15	89,9	94	64	74	54	54	84	14

Определить значения величин: , (x_i-), (x_i-)², , S, . Выполнить расчеты по формулам. Результат занести в табл. 3.

Таблица 3

№	xi		(xi-)	(xi-)2	S		,%
1
…
…
15

Результат записать в виде при Р_д = К, = К %. Расчеты сделать для двух значений вероятности Р_д.

Пример. Составить таблицу для записи в нее результатов наблюдений и расчетных значений (табл. 4).

Таблица 4

n	xi		(xi-)	(xi -)2	S		,%
1	2	3	4	5	6	7	8
1	99		-0,6	0,36
2	101		1,4	1,96
3	99,5		-0,1	0,01
4	98		-1,6	2,56
5	100,5		0,9	0,81
6	98,5		-1,1	1,21		1: 0,45	1: 0,45
7	99,6	99,6	0	0	0,21
1	2	3	4	5	6	7	8
8	99		-0,6	0,36		2: 0,63	2: 0,63
9	99,3		-0,3	0,09
10	99,7		0,1	0,01
11	100,6		1	1
12	100,3		0,7	0,49
13	100,2		0,6	0,36
14	99		-0,6	0,36
15	99,8		0,2	0,04

По формуле (1) вычисляем .

По формуле (3) вычисляем S = 0,21.

Р₁ = 0,95, n = 15, следовательно t_np1 = 2,145;

Р₂ = 0,99, n = 15, следовательно t_np2 = 2,977.

По формуле (4) вычисляем и : = 0,45; = = 0,63.

По формуле (5) вычисляем и : = 0,45 %; = = 0,63 %.

Записываем результат:

Х₁ = 99,60,45, Р_д = 0,95, =0,45 %.

Х₂ = 99,60,63, Р_д = 0,99, =0,63 %.

Контрольные вопросы

1. Какие результаты многократных измерений называются равноточными?

2. Привести схему статистической обработки результатов наблюдений.

3. Как определяется оценка среднего квадратического отклонения среднего арифметического?

4. Как определяется коэффициент Стьюдента?

5. Как определяется оценка среднего квадратического отклонения результата измерения?

Практическая работа № 6.

Обработка результатов прямых измерений

с многократными наблюдениями

Цель работы: изучить методику обработки результатов прямых измерений с многократными наблюдениями.

Теоретические сведения

В измерительной практике для повышения качества измерений часто обращаются к измерениям с многократными наблюдениями, т.е. к повторению одним и тем же оператором однократных наблюдений в одинаковых условиях с использованием одного и того же средства измерения. В результате соответствующей обработки полученных данных удается уменьшить влияние случайной составляющей погрешности на результат измерений. При этом могут быть использованы различные процедуры обработки. Ниже кратко описана стандартная методика выполнения прямых измерений с многократными независимыми наблюдениями и основные положения по обработке результатов наблюдений и оцениванию погрешностей результатов измерений.

Исключение систематических погрешностей из результатов наблюдений проводится либо расчетным путем (см. практическую работу № 2), либо по результатам поверки. После исключения систематических погрешностей все дальнейшие вычисления проводятся для исправленного ряда наблюдений.

Среднее арифметическое ряда наблюдений (результатов наблюдений) рассчитывают по формуле

,

где x_i - i-й исправленный результат наблюдения; x - среднее арифметическое исправленного ряда наблюдений; n - число результатов наблюдений.

Среднее квадратическое отклонение ряда наблюдений рассчитывают по формуле

.

Среднее квадратическое отклонение является основной характеристикой размера случайных погрешностей результатов наблюдений.

Для расчета среднего квадратического отклонения результата измерения используется формула

.

Среднее квадратическое отклонение является основной характеристикой размера случайных погрешностей результата измерений.

Чтобы установить принадлежат (или не принадлежат) результаты наблюдений тому или иному распределению, необходимо сравнить экспериментальную функцию распределения с предполагаемой теоретической. Сравнение осуществляется с помощью критериев согласия.

В случае проверки принадлежности результатов наблюдений к нормальному распределению предпочтительным, при числе результатов n > 50, является один из критериев: ч² Пирсона или щ² Мизеса - Смирнова. В работе используется критерий Пирсона.

При числе результатов наблюдений 50 < n < 15 производят приближенную проверку их принадлежности к нормальному распределению путем оценки коэффициента асимметрии и эксцесса.

При n ? 15 гипотеза о принадлежности результатов наблюдений к какому-либо распределению не проверяется. Если при этом имеется априорная информация о том, что нет причин, которые могли бы вызвать заметное отклонение распределения результатов от нормального закона, для обработки результатов наблюдений используется распределение Стьюдента.

Для проверки принадлежности результатов наблюдений к нормальному распределению с помощью критерия согласия Пирсона необходимо сначала построить гистограмму.

Построение гистограммы включает в себя следующие этапы.

1. Исправленные результаты наблюдений располагаются в порядке возрастания x₁, x₂,…, x_n, где x_i <= x_i + 1.

2. Вычисляется диапазон изменения значений результатов наблюдений: R_n = x_n ? x_1.

3. Весь этот диапазон разбивается на r интервалов одинаковой длины (оценить необходимое количество интервалов можно по правилу: r =1+3,32Чlgn с последующим округлением в большую сторону до ближайшего целого нечетного числа). Обычно r лежит в диапазоне от 7 до 15.

4. Определяется ширина интервала:

.

5. Определяются границы интервалов [x_j - 1, x_j] так, чтобы верхняя граница j-го интервала x_jв = j ? Д, а его нижняя граница совпадала с верхней границей (j - 1)-го интервала: x_jн = x (j ?1)в

6. Для каждого j-го интервала (j = 1, 2,..., r) вычисляются числа n_j - частость попадания результата наблюдений в интервал.

7. Строится гистограмма. Для этого по оси результатов наблюдений в порядке возрастания номеров откладываются интервалы Дj, и на каждом интервале строится прямоугольник высота которого, пропорциональна n_j.

По результатам анализа гистограммы высказывается гипотеза о виде закона распределения экспериментальных данных и о численных характеристиках этого закона (для нормального распределения такими характеристиками являются математическое ожидание и дисперсия). После этого используют критерий согласия для проверки гипотезы.

Критерий согласия ч² Пирсона имеет вид:

,(1)

где r - число интервалов;

- частота i-го интервала;

n - число испытаний;

- теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-й интервал.

Определяют теоретическую вероятность попадания случайной величины Х в каждый интервал

Или

.

По таблицам ч² - распределения находят критическое значение критерия согласия ч²_кр. В технической практике обычно задаются уровнем значимости б = 0,05. Значения ч²_кр, для этого уровня значимости, приведены в приложении, табл.6.

Если ч² < ч²_кр принимают гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, характеризующемуся математическим ожиданием и дисперсией, в противном случае - гипотеза отвергается.

Доверительные границы е (без учета знака) случайной погрешности результата измерения находят по формуле

?

где t - квантиль распределения Стьюдента, который зависит от доверительной вероятности P и числа наблюдений n. Значения величины t при Р = 0,95 и 0,99 приведены в приложении, табл. 4).

Hеисключенная систематическая погрешность результата измерения образуется из составляющих, которыми могут быть неисключенные систематические погрешности метода, средств измерения и другие. За границы составляющих неисключенной систематической погрешности принимают, например, пределы основных и допoлнительных погрешностей средств измерений. При суммировании составляющие неисключенной систематической погрешности рассматриваются как случайные величины с равномерными законами распределения. Границы неисключенной систематической погрешности и результата измерения рассчитывавют по формуле

,

где и_i - граница i-ой неисключенной систематической погрешности, K - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при Р = 0,95 полагают к = 1,1).

Доверительная граница погрешности результата измерения устанавливается в зависимости от соотношения .

Если , то неисключенными систематическими погрешностями пренебрегают и принимают, что доверительная граница погрешности результата измерения Д = е.

Если , то случайной погрешностью пренебрегают и принимают, что доверительная граница погрешности результата измерения Д = и.

Если , то доверительные границы погрешности результата измерения вычисляются по формуле

,

где К - коэффициент, зависящий от соотношения случайной погрешности и неисключенной систематической погрешности;

- оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.

Коэффициент К рассчитывается по формуле

.

Оценка осуществляется по формуле

.

Результат измерения записывается в виде х = x ± Д при доверительной вероятности P, где x - собственно результат измерения. Отметим, что числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности Д.

Если данные о виде функции распределения случайной и неисключенного остатка систематической составляющих погрешности результата измерения отсутствуют то, результаты измерения представляют в виде x; ; n; и.

Задание

Задание 1. В соответствии с этой методикой обработку ряда наблюдений следует выполнять в следующей последовательности:

1. Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений.

2. Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения.

3. Вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата наблюдения.

4. Вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата измерения.

5. Проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению.

6. Вычислить доверительные границы случайной составляющей погрешности результата измерения.

7. Вычислить границы неисключенной систематической погрешности результата измерения.

8. Вычислить доверительные границы погрешности результата измерения.

9. Представить результат измерения в соответствии с установленными требованиями.

При выполнении этой последовательности действий руководствуются следующими правилами:

? проверку гипотезы о принадлежности результатов наблюдений нормальному распределению проводят с уровнем значимости б, выбираемым в диапазоне от 0,02 до 0,10.

? при определении доверительных границ погрешности результата измерения доверительную вероятность Р принимают равной 0,95.

? в тех случаях, когда измерение нельзя повторить, помимо границ, соответствующих доверительной вероятности Р = 0,95, допускается указывать границы для Р = 0,99 .

Варианты для расчета представлены в практической работе № 5.

Контрольные вопросы

1. Каковы требования к совокупности операций, чтобы их можно было назвать измерением?

2. Дайте определение и назовите составляющие систематической погрешности.

3. Возможно ли для случайной погрешности, распределенной по нормальному закону, ввести понятие «пределы максимально допустимой погрешности»?

4. Разъясните термин «доверительные границы». Объясните выражение «доверительные границы погрешности составляют 0,2 мм с вероятностью 0,95».

5. В соответствии с разделом 3 МИ 1317-2004 запишите правильно результат измерения: U = (12,234500±0,054292) В, P = 0,95.

6. Каков правильный результат измерения, если среднее значении по 20 наблюдениям 109,23 А, оценка среднего квадратического отклонения результата измерения 0,94, а необходимая доверительная вероятность 0,99?

7. С какой целью и в каких случаях выполняют многократные равноточные измерения?

8. Перечислите и дайте краткую характеристику основным этапам обработки результатов многократных равноточных измерений.

9. На какой закономерности случайной погрешности основаны критерии обнаружения грубых погрешностей?

10. Справедливо ли утверждение «Проведение многократных равноточных измерений позволяет исключить из результата случайную погрешность»? Дайте пояснение.

11. Что такое систематическая погрешность?

12. По какому алгоритму объединяют границы случайной и систематической погрешности измерений? Почему арифметическое сложение погрешностей является неправильным? Ответ поясните примером.

Практическая работа №7.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ

ПРИ СОВОКУПНЫХ И СОВМЕСТНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Цель работы: изучить обработку результатов наблюдений совокупных и совместных измерений.

Теоретические сведения

При изучении темы необходимо особо обратить внимание на следующее:

- отличие cовокупных и совместных измерений от прямых и косвенных;

- примеры совокупных и совместных измерений;

- метод наименьших квадратов.

Решение типовых задач

Задача 1. Совокупные измерения углов трехгранной призмы выполнены с трехкратным повторением наблюдений. Результаты наблюдений следующие:

₁ = 8955;₁ = 455;₁ = 4457;

₂ = 8959;₂ = 456;₂ = 4455;

₃ = 8957;₃ = 455;₃ = 4458.

Найти с доверительной вероятностью Р_д = 0,95 результаты совокупных измерений углов , , .

Решение. Если найти каждый из углов как среднее арифметическое результатов соответствующих наблюдений, то получим:

₀ = = 8957;₀ = = 455.33;

₀ = = 4456,67.

Сумма углов треугольника должна удовлетворять условию + + = 180. У нас же получилось ₀ + ₀ + ₀ = 17959. Это несовпадение - результат погрешностей измерений. Необходимо изменить полученные значения ₀, ₀, и ₀ с тем, чтобы точно известное условие было выполнено.

Примем = ₀ + ; = ₀ + ; = ₀ + , и будем искать значения поправок , , .

Получаем:

₁ = _{1 0} = 2;₁ = ₁ - ₀ = 0.33;₁ = ₁ - ₀ = +0.33;

₂ = _{2 0} = +2;₂ = _{2 0} = +0.67;₂ = ₂ - ₀ = 1.67;

₃ = _{3 0} = 0; ₃ = _{3 0} = 0.33;₃ = ₃ - ₀ = +1.33.

Уравнение связи имеет вид ₀ + + ₀ + + ₀ + = 180.

Следовательно, + + = 180 17959 = 1.

Исключим из исходных уравнений , пользуясь соотношением =1 , и в каждом уравнении укажем оба неизвестных. Получаем следующую систему исходных уравнений:

A₁ + B₁ = ₁;A₄ + B₄ = ₁;

A₂ + B₂ = ₂;A₅ + B₅ = ₂;

A₃ + B₃ = ₃;A₆ + B₆ = ₃;

A₇ + B₇ = 1 ₁; A₈ + B₈ = 1 ₂;

A₉ + B₉ = 1 ₃,

где

A₁ = 1;B₁ = 0;A₄ = 0;B₄ = 1;A₇ = 1;B₇ = 1;

1 ₁ = +0,67;

A₂ = 1;B₂ = 0;A₅ = 0;B₅ = 1;A₈ = 1;B₈ = 1;

1 ₂ = +2,67;

A₃ = 1;B₃ = 0;A₆ = 0;B₆ = 1;A₉ = 1;B₉ = 1;

1 ₃ = 0,33,

т.е.

1 + 0 = 2;0 + 1 = 0,33;

1 + 0 = +2;0 + 1 = +0,67;

1 + 0 = 0;0 + 1 = 0,33;

1 + 1 = +0,67;1 + 1 = +2,67;

1 + 1 = 0,33.

Теперь составим систему нормальных уравнений:

A₁₁ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6; A₁₂ = 1 + 1 + 1 = 3;

A₂₁ = 1 + 1 + 1 = 3;A₂₂ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6;

C₁ = 2 + 2 +0.67 + 2,67 0,33 = +3;

C₂ = 0,33 + 0,67 0,33 + 0,67 + 2,67 0,33 = +3.

Следовательно, нормальные уравнения примут вид

6 + 3 = 3;

3 + 6 = 3.

Вычислим определители Д, и :

;

;

и находим .

Следовательно, и .

Подставляя полученные оценки в исходные уравнения, вычислим невязки:

₁ = 2,33;₄ = 0,67 ;₇ = 0;

₂ = -1,67;₅ = -0,33;₈ = -2;

₃ = 0,33;₆ = 0,67;₉ = 1.

Вычислим оценки СКО результатов совокупных измерений: Д₁₁ =6; Д₂₂ = 6 (алгебраические дополнения элементов определителя Д):

.

Ввиду равноточности исходных уравнений и равенства оценок , , , можно не делать повторных вычислений, а записать, что .

Оценим доверительные границы погрешностей измерения для Р_д = 0,95 и t_p = 1,96:

.

Окончательно можно записать результаты измерения:

= 8957,3 1,4; = 455,7 1,4; = 4457 1,4; P_д = 0,95.

Задача 2. Найти с доверительной вероятностью Pд = 0,95 значения коэффициентов A, B, C в уравнении, связывающем сопротивление платинового термометра гр. 22 с его температурой

R(t) = R₀ (1 + A t + B t² + C t³).

При этом для t₀ = 0 C, R₀ = 100,00 Oм; t₁ = минус 50 C, R₁ = 80,00 Oм; t₂ = 30 C, R₂ = 111,85 Oм; t₃ = 60 C, R₃ = 123,60 Oм; t₄ = 90 C, R₄ = 135,24 Oм; t₅ = 120 C, R₅ = 146,78 Oм.

Решение. Данные измерения являются совместными. Запишем систему исходных уравнений в виде

A t_i + B t_i² + C t_i³ = F_i ;i =1,5,

Где

F_i = R_i / R₀ 1;

A (50) + B (50)² + C (50)³ = 0,210;

A 30 + B 30² + C 30³ = 0,118;

A 60 + B 60² + C 60³ = 0,236;

A 90 + B 90² + C 90³ = 0,352;

A 120 + B 120² + C 120³ = 0,468.

Систему исходных уравнений можно преобразовать в систему нормальных уравнений:

R₁₁ A + R₁₂ B + R₁₃ C = P₁;

R₂₁ A + R₂₂ B + R₂₃ C = P₂;

R₃₁ A + R₃₂ B + R₃₃ C = P₃,

где

R₁₁ = = 2,9500 10⁴; R₁₂ = R₂₁ = = 2,5750 10⁶;

R₁₃ = R₃₁ = R₂₂ = = 2,9299 10⁸; R₂₃ = R₃₂ = = 3,127710¹⁰;

R₃₃==3,580410¹²; P₁ = ; P₂== 1,004710⁴; P₃ = F_i = 1,1444 10⁶.

Систему можно записать в матричной форме [R] [X] = [P],

где X₁ = A; X₂ = B; X₃ = C.

Отсюда [X] = [P] [R]^-1,

и, решая, получим

= 3,9690410^-3 1/град.;

= 6,09710^-7 (1/град)²;

= 1,7010^-10 (1/град)³ .

Найдем определитель Д матрицы [R]:

Д = 3,899810²³.

Затем находим алгебраические дополнения матрицы [R]:

Д₁₁ = 1,075010¹⁹; Д₂₂ = 1,978010¹⁶; Д₃₃ = 2,012610¹².

Определим невязки уравнений связи:

_i = P_i A t_i + B t_i² + C t_i³; i =1,5;

₁ = 2,331810^-6; ₂ = -2,725410^-5; ₃ = 1,518910^-5;

₄ = -3,379210^-7; ₅ = 1,498810^-6.

Теперь можно найти оценки СКО результатов совместных измерений

(1/град);

(1/град)²;

(1/град)³.

Оценим доверительные границы погрешностей измерения. Для P_д = 0,95, t_р = 1,96

= 1,962,9810^-7 5,810^-7 (1/град);

= 1,964,9910^-9 9,810^-9 (1/град)²;

= 1,965,0310^-11 9,910^-11 (1/град)³.

Окончательно можно записать

A = (3,969040,00058) 10^-3 (1/град);P_д = 0,95;

B = (6,0970,098) 10^-7 (1/град)²;P_д = 0,95;

C = (1,700,99) 10^-10 (1/град)³;P_д = 0,95.

Задания

Задача 1. Проведены совокупные измерения емкости двух конденсаторов. Получены следующие результаты: С1 = 0,2071 мкФ;

С2 = 0,2056 мкФ; C1+ C2 = 0,4111 мкФ; C1C2/(C1+C2) = 0,1035 мкФ, найти с доверительной вероятностью Рд = 0,99 результаты совокупных измерений емкостей C1 и C2.

Задача 2. Найти с доверительной вероятностью Pд = 0,95 значения коэффициентов A, B, C в уравнении, связывающем сопротивление платинового термометра гр. 21 с его температурой

R(t) = R₀ (1 + A t + B t² + C t³).

При этом для t₀ = 0 C, R₀ = 46,00 Oм; t₁ = минус 20 C, R₁ = 42,34 Oм; t₂ = 20 C, R₂ = 49,64 Oм; t₃ = 40 C, R₃ = 53,26 Oм; t₄ = 60 C, R₄ = 58,86 Oм; t₅ = 100 C, R₅ = 63,99 Oм.

Контрольные вопросы

1. Что такое совокупные измерения?

2. Чем совместные измерения отличаются от совокупных?

3. Что собой представляет система исходных уравнений?

4. Что такое невязка уравнений связи?

5. Какова суть метода наименьших квадратов?

6. Каким образом составляется система нормальных уравнений и какие известны методы ее решения?

Практическая работа № 8.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ

ПОГРЕШНОСТЕЙ

Цель работы: изучить систематические погрешности результатов наблюдений.

Теоретические сведения

Исключение известных систематических погрешностей из результатов наблюдений или измерений выполняем введением поправок к этим результатам. Поправки по абсолютному значению равны этим погрешностям и противоположны им по знаку. Введением поправок исключаем:

погрешность, возникающую из-за отклонений действительной температуры окружающей среды при измерении от нормальной;

погрешность, возникающую из-за отклонений атмосферного давления при измерении от нормального;

погрешность, возникающую из-за отклонений относительной влажности окружающего воздуха при измерении от нормальной;

погрешность, возникающую из-за отклонений относительной скорости движения внешней среды при измерении от нормальной;

погрешность, возникающую вследствие искривления светового луча (рефракции);

погрешность шкалы средства измерения;

погрешность, возникающую вследствие несовпадения направлений линии измерения и измеряемого размера.

Поправки по указанным погрешностям вычисляем в соответствии с указаниями табл. 1.

Таблица 1

Наименование поправок	Указания по определению поправок
1. Поправка на температуру окружающей среды	иXкор t = -L[б1(t1 -20 °C) - б2(t2 - 20 °C)]*
2. Поправка на атмосферное давление	Определяется при применении электронно-оптических средств измерений в соответствии с эксплуатационной документацией
3. Поправка на относительную влажность окружающего воздуха	иXкор,w определяется: а) при применении электронно-оптических средств измерений в соответствии с эксплуатационной документацией; б) при измерении объектов, изменяющих размеры в зависимости от влажности воздуха в соответствии со свойствами материала
4. Поправка на относительную скорость внешней среды
5. Поправка на длину шкалы средства измерения
6. Поправка на несовпадение направлений линии измерения и измеряемого размера
7. Поправка на рефракцию	определяется при применении оптических или электронно-оптических приборов в зависимости от условий измерения по специальной методике

^*L - непосредственно измеряемый размер, мм; l_ном - номинальная длина мерного прибора, мм; l_i - действительная длина мерного прибора, мм; Дl = l_i -l_ном; б₁, б₂ -коэффициенты линейного расширения средства измерения и объекта, 10^-6 град-¹; t₁,t₂ - температура средства измерения и объекта, °С; h - величина отклонения направления измерения от направления измеряемого размера, мм; Q - предельное значение допустимой силы ветра, Н; Р - сила натяжения мерного прибора (рулетки, проволоки), Н.

Поправки могут не вноситься, если действительная погрешность измерения не превышает предельной.

Задание

Задание. Определить систематические погрешности и записать результат с учетом различных параметров. Данные результатов измерений приведены в приложении, табл. 12.

Пример. Определить систематические погрешности и записать результат с учетом различных параметров.

Получен результат измерения длины стальной фермы x_i = 24003 мм. Измерение выполнялось трехметровой рулеткой из нержавеющей стали при t = минус 20 °С. При этом б₁ = 20,5·10-⁶, б₂ = 12,5·10^-6, t₁ = t₂= минус 20 єC, l_ном = 3000 мм, l_i = 3002 мм, h = 35 мм, P = 9 Н, Q = 1,2 Н.

Поправка на температуру окружающей среды

Действительную длину x_i фермы с учетом поправки на температуру окружающей среды принимаем равной

.

Поправка на относительную скорость внешней среды

Действительную длину x_i фермы с учетом поправки на относительную скорость внешней среды принимаем равной

.

Поправка на длину шкалы среднего измерения

Действительную длину x_i фермы с учетом поправки на длину шкалы средства измерения принимаем равной

Поправка на несовпадение направлений линии измерения и измеряемого размера

Действительную длину x_i фермы с учетом поправки несовпадения направлений линии измерения и измеряемого размера принимаем равной

Действительную длину x_i фермы с учетом всех поправок принимаем равной

Контрольные вопросы

1. Каковы основные признаки, по которым классифицируются погрешности измерений?

2. Какие существуют методы обнаружения и оценки систематических погрешностей?

3. Каковы правила суммирования систематических погрешностей.

Практическая работа № 9.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ВИДА

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ

Цель работы: изучить предварительную оценку вида распределения результатов измерений.

Теоретические сведения

Для предварительной оценки вида распределения по полученным данным строят гистограмму распределений или полигон распределения. Вначале производится группирование - разделение данных от наименьшего до наибольшего на r интервалов. Для количества измерений от 30 до 100 рекомендуемое число интервалов 7-9. Ширину интервала выбирают постоянной для всего ряда данных, при этом следует иметь в виду, что ширина интервала должна быть больше погрешности округления при записи данных. Ширину интервала вычисляют по формуле

.

Вычисленное значение h обычно округляют. Например, при h = 0,0187 это значение округляют до h = 0,02. Установив границы интервалов, подсчитывают число результатов измерений, попавших в каждый интервал. При построении гистограммы или полигона распределения масштаб этих графиков рекомендуется выбирать так, чтобы соотношение высоты графика к его основанию было примерно 3:5.

Задания

Задание. Построить гистограмму и полигон распределения по полученным экспериментальным данным ?????.КАКИМ

Пример. Построить гистограмму и полигон распределения по полученным экспериментальным данным, приведенным в табл. 1.

Определить ширину интервала

мм.

Построить гистограмму распределений (рис. 1), подсчитав число экспериментальных данных, попавших в каждый интервал.

Таблица 1

№ п/п	xi	№ п/п	xi
1	2	3	4
1	25,04	21	25,04
2	25,05	22	25,05
3	25,04	23	25,06
4	25,06	24	25,03
5	25,05	25	25,06
6	25,01	26	25,05
7	25,07	27	25,05
8	25,05	28	25,04
9	25,03	29	25,06
10	25,05	30	25,05
11	25,03	31	25,04
12	25,06	32	25,05
13	25,07	33	25,06
14	25,05	34	25,05
15	25,06	35	25,05
16	25,03	36	25,04
1	2	3	4
17	25,07	37	25,06
18	25,08	38	25,05
19	25,06	39	25,06
20	25,05	40	25,05

Далее построить полигон распределения (рис. 2), который представляет собой кусочно-линейную аппроксимацию искомой функции плотности распределения результатов измерения.

Контрольные вопросы

1. Как рассчитывается доверительная погрешность при прямых многократных измерениях?

2. Почему при записи окончательного результата необходимо указывать доверительную вероятность?

3. Доверительная вероятность результата . Что это означает?

Практическая работа № 10

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Цель работы: проверить гипотезу о нормальном распределении результатов измерений.

Теоретические сведения

Нормальный закон распределения, называемый часто распределением Гаусса, описывается зависимостью

,

где - параметр рассеивания распределения, равный среднему квадратическому отклонению.

Широкое использование нормального распределения на практике объясняется теоремой теории вероятностей, утверждающей, что распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдений формируются под действием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.

При количестве измерений n < 10 проверить гипотезу о виде распределения результатов измерения невозможно.

При числе данных 10 < n < 50 также трудно судить о виде распределения. Поэтому для проверки соответствия распределения данных нормальному распределению используют составной критерий. Если гипотеза о нормальности отвергается хотя бы по одному из критериев, считают, что распределение результатов измерения отлично от нормального.

Критерий 1. Вычисляют значение d по формуле

,

где S* - смещенное СКО;

.

Гипотеза о нормальности подтверждается, если

,

где и - процентные точки распределения значений d, которые находятся по табл. 1.

Таблица 1

Значения процентных точек q для распределения d

Уровень значимости q, %	Число результатов измерений
	11	16	21	26	31	36	41	46

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1- q/2	99,0	0,67	0,68	0,69	0,70	0,71	0,72	0,72	0,72
	95,0	0,72	0,72	0,73	0,74	0,74	0,74	0,75	0,75
	90,0	0,74	0,74	0,75	0,75	0,76	0,76	0,76	0,76
q/2	10,0	0,89	0,87	0,86	0,86	0,85	0,85	0,84	0,84
	5,0	0,91	0,89	0,88	0,87	0,86	0,86	0,85	0,85

Критерий 2. Гипотеза о нормальности распределения результатов измерения подтверждается, если не более m разностей превзошли значения .

Здесь ; - верхняя 100 • Р/2 - процентная точка нормированной функции Лапласа. Значения доверительной вероятности P выбирают из табл. 2.

Таблица 2

n	10	11-14	15-20	21-22	23	24-27	28-32	33-35	36-49
m	1	1	1	2	2	2	2	2	2
q/2 · 100 %	1,00	0,98	0,99	0,99	0,98	0,98	0,98	0,99	0,99	0,99
	2,00	0,98	0,98	0,99	0,97	0,98	0,98	0,98	0,98	0,99
	5,00	0,96	0,97	0,98	0,96	0,96	0,97	0,97	0,98	0,98

Задание. Произвести проверку нормальности распределения измерений по данным, приведенным в прил. табл. 15.

Пример. В табл. 3 приведены результаты измерения угла одним оператором, одним и тем же теодолитом, в одних и тех же условиях. Проверить, можно ли считать, что приведенные в табл. 3 данные принадлежат совокупности, распределенной нормально.

Таблица 3

xi	xi ? x	(xi ? x)2
17?56ґ45,00Ѕ	4,301Ѕ	18,498601
17?56ґ36,25Ѕ	- 4,449Ѕ	19,793601
42,50Ѕ	1,801Ѕ	3,243601
45,00Ѕ	4,301Ѕ	18,498601
37,50Ѕ	- 3,199Ѕ	10,233601
38,33Ѕ	- 2,369Ѕ	5,612161
37,50Ѕ	- 3,199Ѕ	10,233601
43,33Ѕ	2,631Ѕ	6,922161
40,63Ѕ	- 0,069Ѕ	0,004761
36,25Ѕ	- 4,449Ѕ	19,793601
42,50Ѕ	1,801Ѕ	3,243601
39,17Ѕ	- 1,529Ѕ	2,337841
45,00Ѕ	4,301Ѕ	18,498601
40,83Ѕ	0,131Ѕ	0,017161

Оценка измеряемой величины равна

Средние квадратические отклонения S и S* найдем по формулам

,

.

Оценка параметра d составит

.

Уровень значимости критерия 1 примем q = 2 %. Из табл. 1 находим = 0,92 и = 0,68. При определении и использовалась линейная интерполяция ввиду того, что значение n = 14 в таблице отсутствует. Критерий 1 выполняется, так как . В нашем случае 0,68 < 0,88 < 0,92.

Применим критерий 2. Выбрав уровень значимости q = 0,05 для n =14 из табл. 2, найдем Р = 0,97. Из табл. 4 определим = 2,17. Тогда = 3,245 • 2,17 = 7,042.

Таблица 4

Р ??100 %	90	95	96	97	98	99
zp/2	1,65	1,96	2,06	2,17	2,33	2,58

Согласно критерию 2, не более одной разности может превзойти 7,042. Из данных табл. 21 следует, что ни одно отклонение не превосходит 7,042. Следовательно, гипотеза о нормальности распределения данных подтверждается. Уровень значимости составного критерия: 0,02+0,05=0,07, т. е. гипотеза о нормальности распределения результатов измерения подтверждается при уровне значимости не более 0,07.

Контрольные вопросы

1. Как определяют точечные оценки истинного значения измеряемой величины и среднеквадратического отклонения результатов измерений?

2. Как проверяют нормальность распределения результатов измерения?

3. Как находят доверительные границы результата измерений и доверительный интервал для среднего квадратического отклонения измерений?

4. Каким образом определяют наличие грубых погрешностей и если последние обнаружены?

Практическое занятие № 11

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ

МНОГОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Цель работы: изучить последовательность обработки результатов прямых многократных измерений.

Теоретические сведения

Последовательность обработки результатов прямых многократных измерений состоит из ряда этапов.

1. Определение точечных оценок закона распределения результатов измерений

На этом этапе определяются среднее арифметическое значение x измеряемой величины, СКО результата измерений .

В соответствии с критериями грубые погрешности исключаются, после чего проводится повторный расчет оценок среднего арифметического значения и его СКО.

2. Определение закона распределения результатов измерений или случайных погрешностей

Здесь по результатам измерений и проведенным расчетам строится гистограмма или полигон. По виду построенных зависимостей может быть оценен закон распределения результатов измерений.

3. Оценка закона распределения по статистическим критериям

При числе измерений n > 50 для идентификации закона распределения используется критерий Пирсона. При 50 > n > 15 для проверки нормальности закона распределения применяется составной критерий.

При n < 15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется.

4. Определение доверительных границ случайной погрешности

Если удалось идентифицировать закон распределения результатов измерений, то с его использованием находят квантильный множитель при заданном значении доверительной вероятности Р. В этом случае доверительные границы случайной погрешности . Здесь - СКО среднего арифметического значения. При n < 30 часто используют распределение Стьюдента, при этом доверительные границы случайной погрешности .

Величина - коэффициент Стьюдента, приведенный в табл. 1, n - количество измерений.

Таблица 1

n	Уровень значимости
	0,2	0,1	0,05	0,02	0,01	0,005	0,002	0,001
2	3,08	6,31	12,71	31,82	63,66	127,32	318,30	636,61
3	1,84	2,92	4,30	6,96	9,99	14,09	22,33	31,60
4	1,64	2,35	3,18	4,54	5,84	7,45	10,21	12,92
5	1,53	2,13	2,78	3,75	4,60	5,60	7,17	8,61
6	1,48	2,02	2,57	3,36	4,03	4,77	5,89	6,87
7	1,44	1,94	2,45	3,14	3,71	4,32	5,21	5,96
8	1,41	1,89	2,36	3,00	3,50	4,03	4,74	5,41
9	1,40	1,80	2,31	2,90	3,36	3,83	4,50	5,04
10	1,38	1,83	2,26	2,82	3,25	3,64	4,30	4,78
11	1,37	1,81	2,23	2,76	3,17	3,50	4,14	4,59

5. Определение границ неисключенной систематической погрешности результата измерения

Под этими границами понимают найденные нестатистическими методами границы интервала, внутри которого находится неисключенная систематическая погрешность. Границы неисключенной систематической погрешности принимаются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если их случайные составляющие пренебрежимо малы.

6. Определение доверительных границ погрешности результата измерения

Данная операция осуществляется путем суммирования СКО случайной составляющей и границ неисключенной систематической составляющей в зависимости от соотношения /.

7. Запись результата измерения

Результат измерения записывается в виде при доверительной вероятности Р = Рд.

Задание. Используя данные в табл. 16, произвести обработку результатов прямых многократных измерений.

Пример. Произвести обработку результатов измерений, данные которых представлены в табл. 2.

Таблица 2

№ п/п	xi	xi ? x	(x ? x )2 i
1	2	3	4
1	36,008	- 0,001	0,000001
2	36,008	- 0,001	0,000001
3	36,008	- 0,001	0,000001
4	36,008	- 0,001	0,000001
5	36,010	0,001	0,000001
6	36,009	0	0
7	36,012	0,003	0,000009
8	36,009	0	0
9	36,011	0,002	0,000004
10	36,007	- 0,002	0,000004
11	36,012	0,003	0,000009
12

1. Определение точечных оценок закона распределения результатов измерений

Определяем среднее арифметическое значение результатов измерений:

.

Среднее квадратическое отклонение результатов измерения

.

Производим проверку на наличие грубых погрешностей в результатах измерения по критерию Диксона.

Составим вариационный возрастающий ряд из результатов измерений: 36,007; 36,008; 36,009; 36,010; 36,011; 36,012.

Найдем расчетное значение критерия для значения 36,012:

.

Как следует из табл. 5, по этому критерию результат 36,012 не является промахом при всех уровнях значимости.

2. Предварительная оценка вида распределения результатов измерений или случайных погрешностей

При числе измерений меньше 15 предварительная оценка вида распределения результатов наблюдений не производится.

3. Оценка закона распределения по статистическим критериям

При n < 15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется.

4. Определение доверительных границ случайной погрешности

При числе измерений n = 11 используем распределение Стьюдента, при этом доверительные границы случайной погрешности .

Коэффициент Стьюдента при доверительной вероятности Рд = 0,95 и при n = 11 равен 2,23.

Тогда доверительные границы случайной погрешности

.

5. Определение границ неисключенной систематической погрешности результата измерения

Границы неисключенной систематической погрешности принимаются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средства измерения. Для рычажного микрометра допускаемая погрешность равна ± 0,7 мкм.

6. Определение доверительных границ погрешности результата измерения

Погрешность результата измерения определяется по следующему правилу. Если границы неисключенной систематической погрешности < 0,8 Sx, то следует пренебречь систематической составляющей погрешности и учитывать только случайную погрешность результата. В нашем случае = 1,4 мкм, а = 2 мкм, т. е. соотношение < 0,8 выполняется, поэтому систематической погрешностью пренебрегаем.

7. Запись результата измерения

Результат измерения: при доверительной вероятности Р = 0,95.

Контрольные вопросы

1. Как определить доверительные границы случайной погрешности?

2. Перечислите последовательность обработки результатов прямых многократных измерений.

3. Перечислите правила построения графиков.

4. Каким образом проводится проверка на наличие грубых погрешностей в результатах измерения по критерию Диксона?

Практическая работа № 12

Проверка гипотезы о согласованности эмпирического и теоретического распределения по составному критерию

Цель работы: изучить гипотезу о согласованности эмпирического и теоретического распределения по составному критерию.

Теоретические сведения

Для проверки нормальности закона распределения результата измерения по составному критерию рассчитывается соотношение

и проверяется выполнение условия

d_min ? d ? d_max,

где d_min и d_max зависят от вероятности Р, с которой принимается решение.

Значения d_min и d_max находим по таблице.

Таблица

	Р* =0,90	Р* =0,95	Р*=0,99
	dmin	dmax	dmin	dmax	dmin	dmax
11	0,7409	0,8899	0,7153	0,9073	0,6675	0,9359
16	0,7452	0,8733	0,7236	0,8884	0,6829	0,9137
21	0,7495	0,8631	0,7304	0,8768	0,6950	0,9001
26	0,7530	0,8570	0,7360	0,8686	0,7040	0,8901
31	0,7559	0,8511	0,7404	0,8625	0,7110	0,8827
36	0,7583	0,8468	0,7440	0,8578	0,7167	0,8769
41	0,7604	0,8436	0,7470	0,8540	0,7216	0,8722
46	0,7621	0,8409	0,7496	0,8508	0,7256	0,8682
51	0,736	0,8385	0,7518	0,8481	0,7291	0,8648

Если условие выполняется, то дополнительно проверяются “хвосты” теоретического и эмпирического законов распределения вероятности. При 10 ? n ? 20 считается допустимым отклонение одного из независимых значений результата измерения х_i от х больше, чем на 2,5S, а при 20 < n < 50 допускается не более двух отклонений, т. е. проверяется условие допускается не более 2-х отклонений, т. е. проверяется условие

.

При выполнении обоих условий гипотеза о согласованности эмпирического и теоретического распределения принимается с вероятностью

Р Р* + Р*^х - 1,

где Р* - вероятность, с которой определяются d_min и d_max Р* = =0,98.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то гипотеза не принимается.

Задание 1. Проверить гипотезу о нормальности закона распределения вероятности результата измерения по составному критерию. Повторные измерения силы тока дали следующие результаты, представленные в табл. 15 приложения, массив экспериментальных данных взять в соответствии со своим вариантом.

Задание 2. Проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения результатов прямых измерений приведённых в табл. 1 приложения с теоретическим. Для проверки использовать критерий Пирсона. Результаты вычислений занести в таблицу.

Таблица

Границы интервала xi - xi+1	Середина интервала xoi	Частота попадания в интервал mi	ti	f (ti)	Pi	n•Pi	mi - n•Pi	(mi - n•Pi)2	(mi -n•Pi)2/ n•Pi
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Пример: проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения результатов прямых измерений приведённых в табл. 1 с теоретическим для уровней значимости q = 1 - P = = 0,1; 0,05; 0,01.

Решение

Так как число измерений n не превышает 50, для проверки гипотезы о виде закона распределения будем использовать составной критерий d, рекомендованный ГОСТ 8.207 - 76 “ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения”.

1) Результаты наблюдений (см. приложение табл. 2) группируем в интервальный вариационный ряд;

2) строим гистограмму или полигон;

3) исходя из вида гистограммы выдвигаем гипотезу о нормальном законе распределения результатов;

4) по формулам (1) и (3) вычисляем оценки среднего арифметического и среднего квадратического отклонения ? (см. пример 1, практическая работа №2);

5) смещенная оценка среднеквадратического отклонения результатов наблюдений S определяется по формуле

,

S = 1,79;

6) определяем значение составного критерия d по формуле

;

7) гипотеза о принадлежности эмпирического распределения нормальному справедлива, если выполняется условие:

,

где , - квантили распределения .

По табл. 2 приложения для числа опытов n = 50 находим: ; .

Поскольку 0,7518 < 0,7650 < 0,8481, гипотеза о принадлежности эмпирического распределения нормальному справедлива с вероятностью 95 %.

Контрольные вопросы

1. Сущность и виды проверки статистических гипотез.

2. Выбор критериев для проверки статистических гипотез.