Зафиксировав значение функции выбора f_s(у;m) при заданном k_s, можно получить множество точек (у;m), представляющих в пространстве «Риск-Доход» эквивалентные друг другу альтернативы. Такие точки будут лежать на некоторой линии в указанном пространстве. Общим для них будет значение функции выбора (обозначим такое значение через K₁) Действительно, найдем показатель K₁ при известных параметрах (у₁;m₁) из равенства:

f_s(у₁;m₁) = m₁ - k_s?у₁²= K₁.

Здесь K₁ - некоторая константа, отражающая «уровень» соответствующей линии в указанном пространстве при заданных параметрах (у₁;m₁). Понятие «уровня» означает следующее. Все альтернативы, точки которых в пространстве «Риск-Доход» образуют одну кривую, эквивалентны друг другу и тем самым находятся на одном «уровне».

Далее рассмотрим указанную функцию в явном ее представлении (в пространстве «Риск-Доход»):

m = K₁+ k_s?у²._..

Если имеют место равенства

m_i = K₁+ k_s?у_i²,

где (m_i, у_i) координаты некоторой i-той точки, то они представляют эквивалентные по отношению к A₁ альтернативы. Перебирая значения у_i с некоторым шагом (пусть, например, у₀=0, у₁=1 и т.д.) получаем достаточное количество значений m_i, необходимых для построения кривой, отражающей множество альтернатив, эквивалентных A₁ (m₁,у₁). Такая процедура и соответствующая кривая эквивалентности представлена на рис. 5.2. Заметим, что при i=0 имеем у_i = у₀ =0 и получаем:

m₀ = K₁+ k_s?у₀² = K₁+ k_s?0² = K₁ ,

то есть в классе рассматриваемых функций выбора имеет место равенство K₁= m₀. Другими словами, показатель линии уровня (K₁) совпадает с ожидаемым значением (m₀) для так называемого аналога «безрискового эквивалента» анализируемой альтернативы в условиях риска.

Таким образом, удобно идентифицировать указанную кривую как линию уровня K₁, причем K₁ = m₀. Форма кривой предопределена функцией m = K₁+ k_s?у². При положительных K₁ и k_s это парабола с ветвями вверх. При этом точка D(m₀,0) отражает эквивалентную (для точек линий уровня) «безрисковую» альтернативу, поскольку величина риска в этой точке нулевая.

Подчеркнем, что такая альтернатива называется безрисковым эквивалентом дохода для рисковых альтернатив представленных в пространстве «Риск-доход» форматом конкретной линии уровня из заданной системы линий уровня.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Все точки, лежащие на одной кривой, эквивалентны друг другу по определению.

Таким образом, под линией уровня «K» можно понимать геометрическое место точек в пространстве «Риск-Доход», эквивалентных определенной «безрисковой» альтернативе с заданным значением дохода (K = m₀). При построении соответствующего семейства линий уровня, вид которых характеризует отношение к риску, сравнение альтернатив происходит удобнее и очевиднее на основе аппарата линий уровня.

Построение линии уровня, проходящей через точку A₁^**(у₁;m₂), требует построения функции m = K_1а+ k_s?у², где K_1а= m₂ - k_s?у₁². Таким образом, можно получить все необходимые кривые любых уровней.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

На рис. 5.3 видно, что на линии уровня m₀ расположены точки D(0;m₀), B(у_В,m_В), C(у_С;m_С)_, которые эквивалентны исходной точке A₁ (у₁;m₁). При этом для ЛПР более предпочтительными являются точки, лежащие на более высоких линиях уровня, представляющие альтернативы с бульшими значениями функции выбора.

При выраженном отношении к риску на рис. 5.3 также видно, что при фиксированном у₁ любая точка ниже A₁(у₁;m₁) является менее предпочтительной для ЛПР и, соответственно, любая точка, расположенная выше, будет более предпочтительной, поскольку лежит на линии более высокого уровня. В частности, точка A₁^*(у_1;m₀) однозначно менее предпочтительна, чем A₁(у₁;m₁), поскольку лежит на линии уровня 0. Точка A₁^**( у₁;m₂) более предпочтительна для ЛПР, чем A₁(m₁,у₁), так как лежит на линии уровня m₁> m₀.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Очевидно также, что все точки, лежащие на прямой m = m₀ (рис. 5.3) будут заведомо менее предпочтительны, чем безрисковый эквивалент точки A₁, представленный точкой D (0;m₀), поскольку будет иметь место ненулевой риск при сохранении среднего ожидаемого дохода на прежнем уровне. Для того, чтобы достичь безрискового эквивалента, для каждой точки прямой m = m₀ необходимо такое увеличение среднего ожидаемого дохода альтернативы, которое бы компенсировало принимаемый риск. В частности, применительно к точке A₁^* (у_1;m₀) для этого потребуется увеличение среднего ожидаемого дохода на величину m₁ - m₀.

Вернемся к задаче сравнения трех альтернатив A₁ (у₁;m₁), A₂ (у₂;m₂), A₃ (у₃;m₃). Зная, что отношение осторожного к риску ЛПР в пространстве «Доход - Риск» графически определяется функцией m = K+ k_s?у² при k_s = (m₁ - m_а) / (у₁² - у_а²) (см. рис. 5.2.), построим эти кривые (они будут проходить через интересующие нас точки).

Для точки A₁ (у₁;m₁) имеем K = K₁= m₁ - k_s?у₁²= m₀,

для точки A₂ (у₂;m₂) имеем K = K₂= m₂ - k_s?у₂²= m_2а,

для точки A₃ (у₃;m₃) имеем K = K₃= m₃ - k_s?у₃²= m_3а.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Из рис. 5.4 для анализируемой ситуации легко видеть следующее. На основе аппарата линий уровня при осторожном отношении ЛПР к риску с конкретным коэффициентом индивидуальной осторожности k_s , как видим, наиболее предпочтительной является точка A₂ (у₂;m₂), поскольку она лежит на самой высокой линии уровня:

m_2а> m₀ > m_3а.

При склонности к риску функция выбора имеет вид f_s(у;m) = m + k_r?у², что определяет и явную форму соответствующих линий уровня m = K - k_r?у². При этом, если, допустим, ЛПР сочтет альтернативы A₁ (у₁;m₁) и A₃ (у₃;m₃) эквивалентными, то представляющие их точки будут лежать на одной линии уровня m_1b, как показано на рис. 5.5.

Как видно на рис.5.5., наиболее предпочтительной окажется точка A₂ (у₂;m₂) как лежащая на наивысшей линии уровня. Однако, рассуждения в общем виде дают лишь общую схему решения задачи выбора наилучшей альтернативы при заданном отношении к риску, определяющем форму линий уровня. В каждом случае решения и их точные графические представления зависят от конкретных значений параметров рассматриваемых альтернатив.

Пример 5.3 В условиях примера 5.1. требуется выбрать наилучшую среди семи альтернатив с использованием аппарата линий уровня.

Представим на рис. 5.6. рассматриваемые альтернативы А₁(50;40), А₂(40;50), А₃(70;40), А₄(90;60), А₅(60;50), А₆(30;30), А₇ (20;40) в пространстве «Риск-Доход».

Как следует из рис 5.6., при нейтральном отношении к риску наилучшей является альтернатива А₄(90;60), поскольку имеет наибольшее значение среднего ожидаемого дохода.

При осторожном отношении к риску, как известно из примера 5.1., ЛПР счел эквивалентными А₃ (70;40) и А₄ (90;60), при этом коэффициент индивидуальной осторожности составил k_s=0,00625. Соответственно, была получена функция выбора f_s(у;m) = m -0,00625?у²_.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Найдем показатель для линии уровня, на которой будут лежать точки А₃ (70;40) и А₄ (90;60) как представляющие эквивалентные друг другу альтернативы. Найдем значения K₃ и K₄ (они должны совпадать между собою по определению) по формулам:

K₃ = f_s(m₃, у₃),

K₄ = f_s(m₄, у₄).

В формате найденной функции выбора имеем:

K₃= 40-0,00625?70²=9,375

K₄= 60-0,00625?90²=9,375.

Как видим, равенство K₃=K₄ выполняется.

Искомая кривая описывается функцией m = 9,375+ 0,00625?у²_. Зная значения функций выбора из табл. 5.2., которые совпадают со значениями уровней линий, проходящих через остальные точки, легко построить семейство линий уровня при осторожном отношении к риску данного ЛПР (см. табл. 5.9).

Таблица 5.9

Соответствие функций выбора и функций для графического представления линий уровня при осторожности ЛПР к риску

Точки	Функции выбора	Функции для графического представления
А1(у 1, m1)	fs(у 1, m1) = 24,375	m = 24,375 + 0,00625?у2
А2(у2, m2)	fs(у2, m2)= 40	m = 40 + 0,00625?у2
А3(у 3, m3)	fs(у 3, m3) = 9,375	m = 9,375+ 0,00625?у2
А4(у 4, m4)	fs(у 4, m4) = 9,375	m = 9,375+ 0,00625?у2
А5(у5, m5)	fs(у5, m5)= 27,5	m = 27,5 + 0,00625?у2
А6(у6, m6)	fs(у6, m6)= 24,375	m = 24,375 + 0,00625?у2
А7(у 7, m7)	fs(у 7, m7)= 37,5	m = 37,5 + 0,00625?у2

Линии уровня, построенные с использованием этих функций, представлены на рис. 5.7.

Как видно на рис.5.7., наилучшей при таком отношении к риску является альтернатива А₂(40;50) как лежащая на наивысшей из построенных линии уровня (показатель этой линии уровня составляет 40).

При склонности к риску на основании мнения ЛПР (в примере 5.1). А₂ (40;50) и А₃ (70;40) признаны эквивалентными, склонность к риску формализована соответствующим коэффициентом k_r=0,00303. Функция выбора при этом представлена как f_r(у;m) = m +0,00303?у²_. Линии уровня в явном виде описываются функцией вида m = К- 0,00303?у²

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аналогично построим линии уровня для всех рассматриваемых точек на основе значений функций выбора (в табл. 5.3) при склонности к риску данного ЛПР (см. табл. 5.10).

Таблица 5.10

Соответствие функций выбора и функций для графического представления линий уровня при склонности ЛПР к риску

Точки	функции выбора	функции для графического представления
А1(у 1, m1)	fr(у1, m1)= 47,576	m = 47,576 - 0,00303?у2
А2(у2, m2)	fr(у 2, m2)= 54,848	m = 54,848 - 0,00303?у2
А3(у 3, m3)	fr(у3, m3)= 54,848	m = 54,848 - 0,00303?у2
А4(у 4, m4)	fr(у4, m4)= 84,545	m = 84,545 - 0,00303?у2
А5(у5, m5)	fr(у 5, m5)= 60,909	m = 60,909 - 0,00303?у2
А6(у6, m6)	fr(у 6, m6)= 32,727	m = 32,727 - 0,00303?у2
А7(у 7, m7)	fr(m7, у7)= 41,212	m = 41,212 - 0,00303?у2

Линии уровня, построенные с использованием этих функций, представлены на рис. 5.8.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Как следует из рис.5.8., наиболее предпочтительной для ЛПР при такой склонности к риску является альтернатива А₄(90;60), поскольку она принадлежит наивысшей из построенных линии уровня (показатель линии уровня составляет К = 84,545).

Графическое представление альтернатив в пространстве «Доход - Риск» дает простой и наглядный инструмент для ЛПР. При этом, с одной стороны, линия определенного уровня ясно показывает геометрическое месторасположение всех теоретически допустимых альтернатив, эквивалентных заданной. Это позволяет более широко оценивать ситуацию, принимая во внимание возможные варианты любого решения при различных сочетаниях доходов потерь при сохранении их эквивалентности при заданном отношении к риску. С другой стороны, каждой альтернативе наглядно поставлен в соответствие ее безрисковый эквивалент, что позволяет оценивать снижение ожидаемого дохода при сведении принимаемых рисков к нулю.

Замечание. Приведенное графическое представление процедур выбора наилучшего решения в условиях риска на основе аппарата линий уровня в пространстве «Риск-доход» является удобной формой их иллюстрации. При реализации реальных процедур выбора, разумеется, менеджеру по логистике не потребуется рисовать указанные линии. Выбор будет осуществляться на основании показателя «уровня K», то есть только на основании соответствующих расчетов, суть которых представлена выше.

Глава 6. Выбор наилучшей альтернативы в условиях риска на основе дерева решений

6.1 Аналитическое описание метода дерева решений

Как правило, на практике ЛПР имеет дело не с набором альтернатив, для которых уже известны их параметры, а с постановкой задачи в условиях риска, заданной в развернутой форме на содержательном уровне и нуждающейся в формализации. При этом требуется формализовать не только сами альтернативы, но и различные возможные варианты для сочетания доходов и потерь при реализации определенных случайных событий, не зависящих от ЛПР. Иными словами, содержание задачи включает в себя структуру взаимосвязанных между собой альтернатив и возможных случайных событий, которую необходимо описать формально для нахождения наилучшего решения при заданном отношении ЛПР к риску.

Такая формализация и структуризация задачи, а также поиск наиболее предпочтительной для ЛПР альтернативы с учетом его отношения к риску могут быть реализованы на основе метода дерева решений. Данный метод позволяет синтезировать имеющиеся альтернативы и случайные события с учетом конкретных параметров и представить их структуру в виде графа специального вида, называемого деревом решений (то есть граф без циклов). Развернутая графически и конкретизированная численными значениями параметров структура задачи позволяет при оптимизации решения использовать критерии выбора наилучшей альтернативы, соответствующие выраженному ЛПР отношению к риску, с использованием процедур свертки и блокировки.

Процедура построения дерева решений на основе постановки задачи на содержательном уровне требует разграничения доступных ЛПР альтернатив и предполагаемых случайных событий, сопутствующих каждой из них в процессе развития рассматриваемой ситуации. Альтернативы зависят от ЛПР и должны быть ясно сформулированы как на содержательном уровне, так и формально с указанием параметров и конкретных их значений. Случайные события не зависят от ЛПР и должны быть сформулированы в виде полной группы событий с известными вероятностями их наступления.

Граф состоит из вершин и соединяющих их ребер (либо дуг). Он строится следующим образом. Для его начальной (корневой) вершины существует набор различных цепей (каждая из которых характеризует определенную возможную траекторию развития рассматриваемого процесса), приводящих к концевой вершине. Концевая вершина отражает экономический результат такой отдельной траектории цепи. Различают вершины прямоугольного и круглого типов.

Вершина прямоугольного типа отражает ситуацию, обусловливаемую необходимостью выбора одной альтернативы непосредственно самим ЛПР из некоторого множества имеющихся альтернатив (например, выбор типа транспорта, выбор конкретного маршрута и т.д.). Ребра, исходящие из такой вершины, отражают возможности такого выбора в виде определенных альтернатив (например, морской транспорт, автотранспорт и т.д.). При этом альтернативы могут и должны быть представлены с указанием конкретных значений параметров, значимых для расчетов при реализации такой траектории развития процесса.

Вершина круглого типа представляет собой определенный фактор, воздействие которого на рассматриваемый процесс имеет случайный характер и не зависит от ЛПР. Исходящие из такой вершины ребра соотносятся с набором рассматриваемых случайных сценариев, влияющих на конечный экономический результат, вероятности реализации которых должны быть известны.

Каждая траектория (цепь от корневой вершины к концевой вершине дерева решений) приводит к конечной вершине, которая может быть представлена как конкретное числовое значение экономического результата, либо как его случайная величина с известным законом распределения.

Для иллюстрации рассмотрим некоторое простейшее дерево решений, состоящее из одной вершины прямоугольного типа, двух вершин круглого типа и четырех концевых вершин. Его структура представлена на рис 6.1.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Как видно на рис. 6.1., исходящие из прямоугольной вершины ребра оканчиваются однотипными вершинами (круглого типа), имеющими по две концевые вершины. Такая идентичность связана с тем, что при реализации каждой из двух альтернатив (рассматриваемого множества) необходимо всякий раз учитывать воздействие случайного фактора отмеченного типа Т, характеризуемого двумя сценариями. Подчеркнем, что общем случае число рассматриваемых сценариев может быть произвольным. Соответственно, это определит и число концевых вершин. При этом конкретные значения для показателя конечного экономического результата концевых вершин в общем случае будут различными.

Процедура параметризации дерева решений подразумевает соотнесение параметров альтернатив и случайных сценариев исходной задачи с соответствующими вершинами и ребрами построенного графа.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

На рис. 6.2. представлено дерево решений после реализации процедуры параметризации, причем отражено следующее. Рассматриваются альтернативы А₁ и А₂, случайный фактор имеет два сценария реализации Т₁ и Т₂. Здесь T₁ наступает с вероятностью p₁, а T₂ - с вероятностью p₂. Соответственно, концевые вершины отражают конкретные числовые значения дохода:

· D₁₁ - при выборе первой альтернативы и реализации первого случайного сценария (при А₁ и Т₁),

· D₁₂ - при выборе первой альтернативы и реализации второго случайного сценария (А₁ и Т₂),

· D₂₁ - при выборе второй альтернативы и реализации первого случайного сценария (А₂ и Т₁),

· D₂₂ - при выборе второй альтернативы и реализации второго случайного сценария (А₂ и Т₂).

Процедура свертки предусматривает для вершин круглого типа «замену» исходящих из них ребер, отражающих распределение вероятностей конечного результата, на определенный набор параметров, соответствующих критерию выбора при заданном отношении ЛПР к риску.

Представим основные критерии, которые используют для выбора наилучшей альтернативы. В теории риска такими критериями являются EVC - критерий и MVC - критерий.

При нейтральном отношении к риску при оптимизации решения используют EVC - критерий ожидаемого значения (the expected value criterion). Тогда менеджеру необходимо найти только математическое ожидание рассматриваемых вероятностных распределений, причем наилучшей признается альтернатива с наибольшим математическим ожиданием дохода.

При осторожном отношении к риску применяют MVC - критерий значимой дисперсии (the mean variance criterion). Он требует определения как математического ожидания, так и дисперсии распределения конечного экономического результата. Показатель критерия, который требуется определить, совпадает со значением функции выбора f_s(у;m) = m - k_s?у². Наилучшей при этом критерии признается альтернатива с наибольшим значением указанной функции.

Аналогично, при склонности к риску также используется критерий MVC, показатель которого при таком отношении к риску равен значению функции выбора f_r(у;m) = m + k_r?у². Наилучшей также является альтернатива с наибольшим значением указанной функции.

Отмеченные выше для использования в формате метода дерева решений критерии формулируются следующим образом:

Критерий EVC: f_n(у;m) = m max - для нейтральных к риску ЛПР;

Критерий MVC: f_s(у;m) = m - k_s?у² max - для осторожных к риску ЛПР;

Критерий MVC: f_r(у;m) = m + k_r?у² max - для склонных к риску ЛПР.

Соответственно, процедура свертки подготавливает параметры для выбираемых ЛПР критериев. При этом, в формате заданного отношения к риску в вершину круглого типа вписывается значение соответствующей функции выбора f(у;m). Для этого рассчитываются необходимые параметры, конкретизирующие расположение альтернативы в пространстве «Риск-Доход».

Заметим, что при нейтральном отношении к риску в формате процедуры свертки менеджеру достаточно сразу вписывать в вершины круглого типа значения математического ожидания распределения конечного экономического результата, как это представлено на рис. 6.3.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

На рис. 6.3. представлено дерево решений после процедуры свертки при нейтральном отношении к риску, где по формулам теории вероятности найдены соответствующие математические ожидания:

m₁ = p₁·D₁₁+ p₂·D₁₂,

m₂ = p₁·D₂₁+ p₂·D₂₂.

Заметим, что при произвольном количестве (n) концевых вершин, исходящих из рассматриваемой вершины круглого типа, указанные формулы имели бы вид

m₁ = p₁·D₁₁+ p₂·D₁₂ + …+ p_n·D_1n = ;

m₂ = p₁·D₂₁+ p₂·D₂₂ + …+ p_n·D_2n = .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Соответственно, на рис. 6.4. представлено дерево решений после реализации процедуры свертки при осторожном отношении к риску. Здесь

· f_s(m₁,у₁)= m₁ - k_s?у₁²,

где m₁ = p₁·D₁₁+ p₂·D₁₂,

у₁² = m₁⁽²⁾ - (m₁)² = p₁·(D₁₁)²+ p₂·(D₁₂)² - (p₁·D₁₁+ p₂·D₁₂)²,

· f_s(m₂,у₂)= m₂ - k_s?у₂²

где m₂ = p₁·D₂₁+ p₂·D₂₂,

у₂² = m₂⁽²⁾ - (m₂)² = p₁·(D₂₁)²+ p₂·(D₂₂)² - (p₁·D₂₁+ p₂·D₂₂)².

Подчеркнем, что количество концевых вершин (см. рис. 6.2) в формате одного случайного фактора может любым. Поэтому приведем формулы, например, для определения показателя уровня f_s(m₁,у₁) в таком случае.

В случае n концевых вершин для расчета показателя f_s(m₁,у₁)= m₁ - k_s?у₁² имеем:

m₁ =

у₁² = m₁⁽²⁾ - (m₁)² = - ()².

Формулы для определения f_s(m₂; у₂) аналогичны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Наконец, на рис. 6.5. представлено дерево решений после процедуры свертки для склонных к риску ЛПР. Здесь

· f_r(m₁,у₁)= m₁ + k_r?у₁²

где m₁ = p₁·D₁₁+ p₂·D₁₂,

у₁² = m₁⁽²⁾ - (m₁)² = p₁·(D₁₁)²+ p₂·(D₁₂)² - (p₁·D₁₁+ p₂·D₁₂)²,

· f_r(m₂,у₂)= m₂ + k_r?у₂²

где m₂ = p₁·D₂₁+ p₂·D₂₂,

у₂² = m₂⁽²⁾ - (m₂)² = p₁·(D₂₁)²+ p₂·(D₂₂)² - (p₁·D₂₁+ p₂·D₂₂)².

Процедура блокировки требует для вершин прямоугольного типа зачеркнуть (заблокировать) на графе те исходящие из них ребра, которые ведут к заведомо неоптимальным (в формате предпочтений ЛПР) последующим вершинам графа, то есть не имеющим наибольшего значения соответствующей функции выбора. Тем самым исключаются из рассмотрения худшие варианты для траектории развития процесса. Таким образом, после реализации всех указанных процедур остается альтернатива с наибольшим значением функции выбора. Она и является наилучшей для ЛПР при заданном отношении к риску. Процедуры свертки и блокировки проводятся от концевых вершин к начальной вершине.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

После завершения процедур свертки и блокировки дерево решений уже будет представлено в таком виде, при котором оптимальное решение становится очевидным. Как следует из рис. 6.6. при нейтральном отношении к риску будет выбрана альтернатива А₁, поскольку m₁> m₂ (она выделена жирным шрифтом).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Как следует из рис. 6.7. при осторожном отношении к риску выбор попадает на альтернативу А₁, поскольку f_s(у₁,m₁) > f_s(у₂,m₂). Аналогично, при склонности к риску после процедуры блокировки также останется альтернатива с наибольшим значением f_r(у,m).

6.2 Иллюстрация процедур метода

Для применения метода дерева решений на практике менджеру необходимо структурировать рассматриваемую ситуацию таким образом, чтобы стала возможной реализация представленных выше процедур метода. Такой подход иллюстрирует следующий пример 6.1.

Пример 6.1 Для приведенной ниже ситуации в формате соответствующих цепей поставок требуется построить дерево решений и выбрать наилучшую альтернативу с учетом отношения ЛПР к риску.

Ситуация. Компании, специализирующейся в области производства лекарственных средств, предложен контракт на сумму 150 тыс. у.е. на изготовление нового лекарства. Необходимое фармакологическое сырье (далее субстанция) предполагается закупить в Китае (при условиях доставки до российской таможни за счет китайских партнеров). Стоимость данной субстанции составляет 100 тыс. у.е.

Необходимо учитывать, прежде всего, что при длительном пребывании в среде с температурой ниже нормативной субстанция теряет требуемые свойства. Сохранение свойств зависит от условий транспортировки и термостойкости упаковки. Субстанция для хранения и транспортировки может быть упакована:

· в картонную тару;

· в специальные деревянные ящики.

При температуре выше 10⁰С свойства субстанции сохраняются 90 суток. При температуре от 0 до 10⁰ С субстанция, упакованная в картонную тару, сохраняет требуемые свойства в течение 18 суток, а субстанция, упакованная в специальном деревянном ящике,- в течение 25 суток. При температуре ниже 0⁰С субстанция, упакованная в картонную тару, сохраняет свойства в течение 10 суток, а в деревянных ящиках,- 17 суток. При упаковке в специальные деревянные ящики стоимость субстанции возрастает на 5% и составляет уже 105 тыс. у.е.

По условиям контракта в соответствии с технологическим процессом субстанция будет поставляться ранней весной. Поэтому для фактора температуры выделены два сценария, с учетом температуры:

· либо в пределах от 0 до 10⁰ С с вероятностью 0,6 (60%);

· либо ниже 0⁰ С - с вероятностью 0,4 (40%).

Нормативное время доставки субстанции железнодорожным транспортом составляет 17 суток. Требуется учесть также фактор возможных случайных задержек субстанции в пути. На основе статистических данных выделены три сценария:

· в 75 % случаев задержек не бывает;

· в 20 % случаев задержка в пути составляет одни сутки;

· в 5 % случаев задержка в пути составляет двое суток.

Задержки груза в пути отражаются не только на сохранно-сти свойств субстанции (в зависимости от типа упаковки), они обусловливают штрафы, которые для компании составляют 1% от стоимости контракта за каждые сутки опоздания изготовления готовой продукции (то есть 1,5 тыс. у.е.). Если субстанция теряет требуемые свойства, то в дополнение к указанным штрафам компания платит неустойку в размере 20 % от стоимости контракта (то есть 30 тыс. у.е.).

Рассматриваются следующие способы доставки субстанции:

· отправка железнодорожным транспортом в обычном вагоне, причем:

а) в специализированных деревянных ящиках;

б) в картонной таре;

· отправка железнодорожным транспортом в картонной таре и в отапливаемом вагоне с постоянной температурой выше 10⁰С.

При этом известно, что доставка железнодорожным транспортом в обычном вагоне обой-дется в 10 тыс. у. е., а в отапливаемом вагоне -- 25 тыс. у. е.

Процедура построения дерева решений.. Прежде всего, необходимо сформировать структуру дерева решений, определяемую числом взаимосвязанных вершин прямоугольного и круглого типа и концевых вершин.

Вершины прямоугольного типа удобно представить следующим образом. Будет представлена одна начальная вершина «Выбор вагона» и две из нее исходящие «Выбор упаковки». Далее из каждой вершины «Выбор упаковки» исходит по одной вершине круглого типа «Фактор температуры внешней среды» (далее «Фактор Т»). При этом из каждой такой вершины далее исходят по две вершины круглого типа «Фактор задержек в пути» (далее «Фактор L»). Это объясняется тем, что «Фактор Т» имеет две реализации: Т₁: 0 < t⁰ < 10 и Т₂: t⁰ < 0.

Таким образом, в формате дерева решений имеем три вершины прямоугольного типа и девять вершин круглого типа. Далее из каждой вершины «Фактор L» исходят по три концевые вершины, соответствующие трем сценариям реализации L₁: задержек нет; L₂: задержка одни сутки; L₃: задержка двое суток. Итого 18 концевых вершин.

Структура такого дерева решений представлена на рис 6.8. При этом для ЛПР очевидно, что альтернатив всего три: А₁ - (отапливаемый вагон, картонная тара); А₂ - (обычный вагон, картонная тара); А₃ - (обычный вагон, деревянные ящики).

Процедура параметризации дерева решений. Ребрам, исходящим из вершин круглого типа и отражающим реализации случайных факторов, необходимо приписать соответствующие вероятности. Из каждой вершины «Фактор Т» исходит дуга/сценарий Т₁ с вероятностью 0,6 и дуга/сценарий Т₂ с вероятностью 0,4. Из каждой вершины «Фактор L» исходит дуга/сценарий L₁ с вероятностью 0,75; дуга/сценарий L₂ с вероятностью 0,2; дуга/сценарий L₃ с вероятностью 0,05.

Далее требуется рассчитать значения экономических результатов для концевых вершин D₁ - D₁₈ , каждая из которых отражает итог определенной траектории развития рассматриваемого процесса. В частности, при выборе альтернативы А₁ траектория при сочетании событий/сценариев T=Т₁ и L=L₁ (то есть траектория A₁>T₁>L₁) завершится следующим результатом:

D₁ = 150 - 100 - 25 = 25 тыс. у.е.

Представленный экономический результат для D₁ обусловлен тем, что при транспортировке субстанции в отапливаемом вагоне возможность потери свойств исключена при любой температуре внешней среды. В качестве случайного фактора рассматривается лишь возможность задержек в пути. Поскольку при сценарии L₁ задержек нет, то при расчете экономического результата D₁ и не учитываются соответствующие штрафы.

Далее рассматриваются экономические результаты для остальных траекторий, «начинающихся с A₁ и проходящих через T₁» :

· для траектории A₁>T₁>L₂ находим D₂ =150-100-25-1,5 = 23,5 тыс. у.е.

· для траектории A₁>T₁>L₃ находим D₃ =150-100-25-3 = 22 тыс. у.е.

Для траекторий, «начинающихся с A₁ и проходящих через T₂» экономические результаты составят:

· для траектории A₁>T₂>L₁ находим D₄ =150-100-25 = 25 тыс. у.е.

· для траектории A₁>T₂>L₂ находим D₅ =150-100-25-1,5 = 23,5 тыс. у.е.

· для траектории A₁>T₂>L₃ находим D₆ =150-100-25-3= 22 тыс. у.е.

Характерно, что экономические результаты D₁ - D₃ совпадают с результатами D₄ - D₆, соответственно. Такое совпадение обусловлено тем, что в связи с исключением влияния внешней среды (фактор T) при транспортировке в отапливаемом вагоне сценарии T₁ и T₂ рассматриваются формально, но не влияют на экономический результаты соответствующих траекторий

Для траекторий, «начинающихся с A₂ и проходящих через T₁ и T₂» экономические результаты составят:

· для траектории A₂>T₁>L₁ находим D₇ =150-100-10 = 40 тыс. у.е.

· для траектории A₂>T₁>L₂ находим D₈ =150-100-10-1,5 = 38,5 тыс. у.е.

· для траектории A₂>T₁>L₃ находим D₉ =150-100-10-3-30 = 7 тыс. у.е.

· для траектории A₂>T₂>L₁ находим D₁₀ =150-100-10-30 = 10 тыс. у.е.

· для траектории A₂>T₂>L₂ находим D₁₁ =150-100-10-1,5-30=8,5тыс. у.е.

· для траектории A₂>T₂>L₃ находим D₁₂ =150-100-10-3-30 = 7 тыс. у.е.

Экономические результаты D₇ - D₁₂ отличаются от полученных результатов D₁ - D₆ из-за того, что транспортировка в картонной таре обходится на 10 тыс. у.е. дешевле. Кроме того, надо учесть также то, что в таком случае при сочетании сценариев T₁ и L₃, сочетании сценариев T₂ и всех сценариев L₁- L₃ происходит потеря свойств перевозимой субстанции, что приводит к неустойке в 30 тыс. у.е.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Соответствующие расчеты для всех траекторий приведены в табл. 6.1., дерево решений после процедуры параметризации представлено на рис. 6.9.

Таблица 6.1

Расчет экономического результата для концевых вершин

Траектория	Концевая Вершина	Потеря свойств товара	Задержка, суток	Конечный результат, тыс. у.е.
A1>T1>L1	D1	нет	0	=150-100-25 = 25
A1>T1>L2	D2	нет	1	=150-100-25-1,5 = 23,5
A1>T1>L3	D3	нет	2	=150-100-25-3 = 22
A1>T2>L1	D4	нет	0	=150-100-25 = 25
A1>T2>L2	D5	нет	1	=150-100-25-1,5 = 23,5
A1>T2>L3	D6	нет	2	=150-100-25-3 = 22
A2>T1>L1	D7	нет	0	=150-100-10 = 40
A2>T1>L2	D8	нет	1	=150-100-10-1,5 = 38,5
A2>T1>L3	D9	да	2	=150-100-10-3-30 = 7
A2>T2>L1	D10	да	0	=150-100-10-30= 10
A2>T2>L2	D11	да	1	=150-100-10-1,5-30=8,5
A2>T2>L3	D12	да	2	=150-100-10-3-30 = 7
A3>T1>L1	D13	нет	0	=150-105-10 = 35
A3>T1>L2	D14	нет	1	=150-105-10-1,5 = 33,5
A3>T1>L3	D15	нет	2	=150-105-10-3 = 32
A3>T2>L1	D16	нет	0	=150-105-10 = 35
A3>T2>L2	D17	да	1	=150-105-10-1,5-30 = 3,5
A3>T2>L3	D18	да	2	=150-105-10-3-30 = 2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Как следует из табл. 6.1. и рис. 6.9., на первый взгляд, наиболее рискованной может показаться транспортировка в обычном вагоне в картонной таре, а наиболее надежной - в отапливаемом вагоне. Тем не менее, при различном отношении к риску выбираемые ЛПР решения могут различаться. Приведем соответствующую иллюстрацию в формате рассматриваемой модели оптимизации звена цепи поставок в условиях риска.

Процедуры свертки и блокировки дерева решений. При нейтральном отношении к риску используется критерий EVC, для нахождения значений функции выбора которого необходимые расчеты представлены в табл. 6.2.

Таблица 6.2

Расчет значений критерия EVC (f_n(у,m) = m max )

Траектория	Концевые вершины в формате процедур свертки	Расчет значения критерия EVC
A1>T1>L	D1, D2, D3	=25*0,75+23,5*0,2+22*0,05 = 24,55
A1>T2>L	D4, D5, D6	=25*0,75+23,5*0,2+22*0,05 = 24,55
A2>T1>L	D7, D8, D9	=40*0,75+38,5*0,2+7*0,05 = 38,05
A2>T2>L	D10, D11, D12	=10*0,75+8,5*0,2+7*0,05 = 9,55
A3>T1>L	D13, D14, D15	=35*0,75+33,5*0,2+32*0,05 = 34,55
A3>T2>L	D16, D17, D18	=35*0,75+3,5*0,2+2*0,05 = 27,05
A1>T	(D1, D2, D3), (D4, D5, D6)	=24,55*0,6+24,55*0,4= 24,55
A2>T	(D7, D8, D9), (D10, D11, D12)	=38,05*0,6+9,55*0,4= 26,65
A3>T	(D13, D14, D15), (D16, D17, D18)	=34,55*0,6+27,05*0,4= 31,55

В обозначении траектории цепи последний символ соответствует вершине, для которой реализуется операция свертки.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Как следует из табл. 6.2. и рис. 6.10., при нейтральном отношении к риску наилучшей является альтернатива А₃ - (обычный вагон, деревянные ящики), поскольку она имеет наибольшее значение функции выбора по критерию EVC (остальные альтернативы заблокированы).

При осторожном отношении к риску для каждой вершины круглого типа необходимо рассчитать значения для показателя критерия MVC f_s(у;m) = m - k_s?у². Зная величины математических ожиданий, которые совпадают со значениями критерия EVC и представлены в табл. 6.2., необходимо получить дополнительно величины дисперсий для каждой вершины круглого типа и знать коэффициент индивидуальной осторожности к риску. Чтобы формализовать его значение воспользуемся рекомендациями главы 5. Предположим, что ЛПР считает для себя эквивалентными некоторые предложения А₁(90;50) и А₁(200;60). Тогда коэффициент индивидуальной осторожности к риску ЛПР можно определить из равенства:

k_s = (m₂ - m₁) / (у₂² - у₁² ).

Подставив известные параметры, имеем:

k_s = (200 - 90) / (60² - 50² ) =0,1.

Соответственно функция выбора будет иметь вид:

f(у;m) = m -0,1?у².

Соответствующие расчеты приведены в табл. 6.3. и 6.4, решение показано на рис 6.11.

Таблица 6.3

Расчет величин дисперсий для вершин круглого типа

Траектория	Концевые вершины для свертки	Расчет вторых моментов (m(2))	Расчет дисперсий (у2)
A1>T1>L	D1, D2, D3	=25^2*0,75+ 23,5^2*0,2+ 22^2*0,05=603,4	=603,4- 24,55^2 = 0,697
A1>T2>L	D4, D5, D6	=25^2*0,75+ 23,5^2*0,2+ 22^2*0,05=603,4	=603,4- 24,55^2 = 0,697
A2>T1>L	D7, D8, D9	=40^2*0,75+ 38,5^2*0,2+ 7^2*0,05=1498,9	=1498,9- 38,05^2= 51,098
A2>T2>L	D10, D11, D12	=10^2*0,75+ 8,5^2*0,2+ 7^2*0,05=91,9	= 91,9- 9,55^2 = 0,697
A3>T1>L	D13, D14, D15	=35^2*0,75+ 33,5^2*0,2+ 32^2*0,05=1194,4	= 1194,4 - 34,55^2 = 0,698
A3>T2>L	D16, D17, D18	=35^2*0,75+ 3,5^2*0,2+ 2^2*0,05 = 921,4	=921,4- 27,05^2 =189,698
A1>T	(D1, D2, D3), (D4, D5, D6)	= 603,4*0,6+ 603,4*0,4 = 603,4	=603,4 - 24,55^2 = 0,697
A2>T	(D7, D8, D9), (D10, D11, D12)	= 1498,9*0,6+ 91,9*0,4 = 936,1	=936,1- 26,65^2 = 225,878
A3>T	(D13, D14, D15), (D16, D17, D18)	= 1194,4 *0,6+ 921,4*0,4 = 1085,2	=1085,2- 31,55^2 = 89,798

Таблица 6.4

Расчет значений критерия МVC (f_s(у;m) = m - 0,1?у² max ) при осторожном отношении к риску

Траектория	Концевые вершины в формате процедур свертки	Расчет значения критерия МVC
A1>T1>L	D1, D2, D3	=24,55-0,1*0,697 = 24,48
A1>T2>L	D4, D5, D6	=24,55-0,1*0,697 = 24,48
A2>T1>L	D7, D8, D9	=38,05-0,1*51,097 = 32,94
A2>T2>L	D10, D11, D12	= 9,55 -0,1*0,697 = 9,48
A3>T1>L	D13, D14, D15	=34,55 -0,1*0,698 = 34,48
A3>T2>L	D16, D17, D18	=27,05 -0,1*189,698 = 8,08
A1>T	(D1, D2, D3), (D4, D5, D6)	=24,55-0,1*0,698 = 24,48
A2>T	(D7, D8, D9), (D10, D11, D12)	=26,65-0,1*225,878= 4,06
A3>T	(D13, D14, D15), (D16, D17, D18)	=31,55- 0,1*89,798= 22,57

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Как видно из рис. 6.11 при осторожном отношении к риску наилучшим решением будет альтернатива А₁ - (отапливаемый вагон).

При склонности к риску в формате критерия MVC для функции выбора используем представление f_s(у;m) = m + k_r?у² max. Зная величины математических ожиданий, представленные в табл. 6.2., и величины дисперсий, представленные в табл. 6.3., найдем результаты для процедур свертки. При допущении, что коэффициент индивидуальной склонности к риску равен 0,1, необходимые расчеты приведены в табл. 6.5 .

Таблица 6.5.

Расчет значений критерия МVC (f_s(у;m) = m +0,1?у² max ) при осторожном отношении к риску

Траектория	Концевые вершины в формате процедур свертки	Расчет значения критерия МVC
A1>T1>L	D1, D2, D3	=24,55+0,1*0,698 =24,62
A1>T2>L	D4, D5, D6	=24,55+0,1*0,698 = 24,62
A2>T1>L	D7, D8, D9	=38,05+0,1*51,098 = 43,16
A2>T2>L	D10, D11, D12	= 9,55 +0,1*0,698 = 9,62
A3>T1>L	D13, D14, D15	=34,55 +0,1*0,698 = 34,62
A3>T2>L	D16, D17, D18	=27,05 +0,1*189,698 = 46,02
A1>T	(D1, D2, D3), (D4, D5, D6)	=24,55+0,1*0,698 = 24,62
A2>T	(D7, D8, D9), (D10, D11, D12)	=26,65+0,1*225,878= 49,24
A3>T	(D13, D14, D15), (D16, D17, D18)	=31,55+ 0,1*89,798= 40,53

Таким образом, как показывает рис 6.11. при указанной склонности ЛПР к риску наилучшим решением является альтернатива А₂ - (обычный вагон, картонная тара).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Метод дерева решений имеет ряд важных для ЛПР особенностей/преимуществ. Отметим их.

1) Во-первых, менеджер может структурировать рассматриваемую задачу и самостоятельно выбрать наиболее значимые для ЛПР альтернативы и сопутствующие им случайные факторы, влияющие на конечный экономический результат анализируемого процесса.

2) Во-вторых, метод позволяет менеджеру учитывать отношение ЛПР к риску на основе использования функций выбора, которые могут быть формализованы ранее или скорректированы в связи с новыми условиями бизнеса или с учетом соответствующего нового опыта в таком бизнесе.

Глава 7. Методы перераспределения рисков

7.1 Управление рисками на основе перераспределения доли участия ЛПР в предложении бизнеса

При заданном отношении к риску ЛПР может не только сравнивать имеющиеся предложения рынка, но и предпринимать активные шаги по изменению баланса между риском и ожидаемым доходом в формате конечного предложения бизнеса. Одним из наиболее доступных и эффективных действий для ЛПР в этом направлении является перераспределение риска. Такое перераспределение риска можно реализовать различными способами. Например, - на основе специальным образом оговоренных контрактных условий. Кроме того, перераспределение рисков может осуществляться за счет специально оговоренного лишь частичного участия в реализации предложения рынка. А также, - за счет привлечения партнеров. В этом параграфе рассмотрен подход к управлению рисками в цепях поставок на основе именно частичного участия ЛПР в предложении рынка.

Рис. 7.1 дает графическое представление ситуации, когда предложение в условиях риска (точка А₀) может быть преобразовано в другое предложение. Кстати, такое другое предложение может оказаться либо менее предпочтительным, либо более предпочтительным для ЛПР, чем исходное. А именно, пусть точка А₀ представляет в пространстве «Риск-Доход» некоторое предложение рынка с параметрами (у₀;m₀). Если баланс между риском и доходом для данного предложения не устраивает ЛПР, то можно изменить ситуацию следующим образом. А именно, можно перейти к анализу другого предложения, представленного новой точкой А₁, расположенной на прямой, соединяющей точку А₀ с началом координат в пространстве «Риск-Доход». Например, если такая точка расположена на середине отрезка 0А₀ (иллюстрируется рис. 7.1 и 7.2), то указанный переход означает следующее. Рассматривается участие в исходном предложении на условиях 50:50 (т.к. точка А₁ расположена на середине отрезка 0А₀).

При этом разделение ответственности за риск (в формате условия 50:50) позволяет:

1) сократить вдвое показатель риска (то есть в формате нового предложения вместо показателя у₀ перейти к показателю у₀/2);

2) при этом, однако, сократится вдвое и ожидаемый доход (то есть в формате нового предложения вместо показателя m₀ перейти к показателю m₀/2).

Если баланс между риском и ожидаемым доходом при таком долевом участии будет для ЛПР менее предпочтительным, то точка А₁ окажется расположенной на более низкой линии уровня (см. рис. 7.1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Если баланс между риском и ожидаемым доходом при таком долевом участии будет для ЛПР более предпочтительным, то точка А₁ окажется расположенной на более высокой линии уровня (см. рис. 7.2).

Кстати, рис. 7.1 и 7.2 иллюстрируют, что один и тот же «переход» к новому предложению, но для разных ЛПР, может восприниматься по-разному.

Если рассматривается иное долевое участие в рассматриваемом предложении, например, с долей 25%, то такая ситуация будет представлена в указанном пространстве новой точкой и т.д. Заметим, что при этом для конкретного ЛПР такая новая точка может снова оказаться как на линии более низкого уровня, так и на линии более высокого уровня. Это зависит от коэффициента индивидуальной осторожности ЛПР к риску (в формате осторожного отношения к риску).

Частичное участие в анализируемом предложении может потребовать привлечения партнеров, которые будут разделять риски, т.е. последствия неблагоприятных /благоприятных событий. Указанное разделение рисков может оказаться пропорциональным или непропорциональным долям своего участия в сделке. Это может определяться контрактными условиями. Кроме того, перераспределение рисков не обязательно подразумевает двух участников в качестве партнеров. Привлечение дополнительных участников формально можно анализировать такими же методами. Это позволяет перераспределять риски между всеми участниками с целью достижения приемлемого индивидуального баланса между риском и доходом для каждого из них. Такие постановки задач будут проиллюстрированы в следующем параграфе. Здесь же представим возможности перераспределения риска в формате следующих ситуаций.