Менеджмент

149. У каждого из четырех предпринимателей есть денежный капитал, размер которого они друг от друга скрывают. Между тем банку, в котором они держат деньги, известно, что, если бы они образовали общий капитал даже втроем, их денег было бы вполне достаточно для создания акционерного предприятия с уставным капиталом 750 тыс. у. д. ед. Ибо их общий капитал без первого предпринимателя составил бы 900 тыс. у. д. ед., без второго - 850, без третьего - 800, без четвертого - 750 тыс. у. д. ед.

Сколько денег на счету у каждого предпринимателя?

150. Знаменитый американский ученый и государственный деятель Бенджамин Франклин завещал жителям города Бостона 1000 фунтов стерлингов на следующих условиях:

- деньги давать под 5 % годовых молодым ремесленникам;

- через 100 лет из накопленных (с учетом процентов на проценты) денег 100 тыс. фунтов стерлингов пустить на постройку общественных зданий;

- оставшиеся после этого деньги отдать под те же проценты еще на 100 лет;

- по истечении этого срока накопленную сумму разделить между бостонскими жителями и правлением Массачусетской общины, которой передать 3 млн фунтов стерлингов.

Сколько денег должно было достаться бостонским жителям через 200 лет после смерти Б. Франклина (он умер в 1790 году)?

151. В семейном предприятии участвуют братья и сестры. У одного из братьев число братьев и сестер одинаково, а у одной из его сестер вдвое меньше сестер, чем братьев.

Сколько в семейном предприятии братьев и сестер?

152. Умирая, муж оставил завещание жене, которая ждала ребенка:

- если она родит сына, то ему будет причитаться 2/3 оставленного имущества, а матери - 1/3;

- если родится дочь, то имущество распределяется между ней и матерью в соотношении 1/3 и 2/3.

Родились близнецы - мальчик и девочка. Как в этом непредвиденном случае распределить по справедливости имущество?

153. М. Е. Салтыков-Щедрин описывает в «Господах Головлевых» такую сцену: «Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой на зубок сто рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего восемьсот рублей». Попробуйте по приведенным цифрам рассчитать, сколько процентов платил в то время ломбард по вкладам. Возраст Порфирия в момент его расчетов примем равным пятидесяти годам.

154. Вы получили в банке ссуду на 1 год в размере 5 млн руб. Ссуда принесла банку годовой доход 100 тыс. руб.

Какому проценту годовых (норме процента) это соответствует?

155. Вы хотите получить годовой доход 1 млн руб. при норме процента 5 % годовых.

Какую ссуду вам необходимо взять на год?

156. Вы получили в банке ссуду 300 тыс. руб. при норме процента 10 % годовых.

Каков будет доход банка?

157. Банк выплачивает своим вкладчикам банковский процент - 4 % годовых и дает ссуды заемщикам под 10 % годовых.

Чему равна банковская прибыль от средств вкладчиков в 10 млн руб. при выдаче ссуд заемщикам на 5 млн руб. на 1 год?

158. Банк выдал ссуду 10 млн руб. из расчета 8 % годовых.

Каков будет доход банка за 3 месяца (без учета процентов на проценты)?

159. Вы располагаете суммой в 100 тыс. руб. Банк дает 8 % годовых. Акционерное общество выпустило 80 привилегированных акций по стоимости 25 тыс. руб. каждая с доходом на акцию 10% годовых и 100 обыкновенных акций стоимостью 20 тыс. руб. каждая. На дивиденды выделено 800 тыс. руб.

Куда лучше вложить деньги на 1 год: 1) в банк, 2) в привилегированные акции, 3) в обыкновенные акции?

160. Предприниматель располагает собственным капиталом в 100 млн руб. и берет взаймы в банке под 10 % годовых еще 50 млн руб. Планируемая прибыль составляет 30 %.

Чему равен доход предпринимателя?

161. Вы располагаете капиталом в 100 млн единиц и рассматриваете альтернативные возможности вложения его либо в производство кинофильма, либо в торговлю.

Вероятность успеха вложения капитала в кинофильм - 0,2, в торговлю - 0,7.

Вероятность неуспеха вложения капитала в кинофильм - 0,8, в торговлю - 0,3.

В случае успеха кинофильм дает 90 % прибыли, торговля - 30 %.

В случае неуспеха кинофильм дает 10 % прибыли, торговля - 20 %.

Куда выгоднее вложить капитал?

162. Сберегательный банк выплачивает проценты по вкладам суммой более 100 тыс. руб. на следующих условиях:

деньги, положенные на срок не менее 1 года, - 150 % годовых,

деньги, положенные на срок не менее 6 месяцев, - 130 % годовых,

деньги, положенные на срок не менее 3 месяцев, - 120 % годовых.

Вы располагаете суммой 100 тыс. руб. в течение года.

Какая форма вклада принесет вам наибольший годовой доход? (Попробуйте вначале решить эту задачу на глаз.)

163. Готовится издание книги, ориентировочная продажная цена которой будет 10 у. д. ед. Совокупные постоянные издержки на издание данной книги (редактирование, оформление, набор, управленческие расходы, налоги и страховые выплаты, аренда помещений и оборудования, амортизационные расходы и др.) составят 200 тыс. у. д. ед. Совокупные переменные издержки на один экземпляр данной книги (бумага, материал на обложку, типографские расходы, переплетные работы, сбыт, авторский гонорар и др.) составят 6 у. д. ед.

Необходимо 1) рассчитать, при каком тираже издание книги будет безубыточным (так называемая точка безубыточности); 2) произвести этот же расчет при условии, что цена книги 11 у. д. ед.

164. Руда добывается на трех шахтах и доставляется на переработку на два металлургических комбината. Количество руды, добываемое на шахтах и потребляемое металлургическими комбинатами, показано на рисунке. Там же приведена таблица стоимости перевозки руды (в у. д. ед.) по разным маршрутам.

Как спланировать перевозку руды наилучшим, наиболее экономичным образом? (Попробуйте вначале решить эту задачу на глаз).

165. Оптовая база приобрела у производственного предприятия партию товара по закупочной цене и продала ее магазину розничной продажи по оптовой цене на 20 % выше закупочной. В свою очередь, магазин розничной продажи установил розничную цену товара на 30 % выше оптовой. В конце сезона розничная цена была снижена на 10 % и составила 100 у. д. ед. за единицу товара.

Чему равна закупочная цена единицы товара?

166. Объем продаж составлял 200 единиц товара в месяц. После снижения цены объем продаж вырос за месяц на 100 единиц и доход составил 600 у. д. ед.

Какова была цена товара до и после ее снижения, если известно, что спрос на товар растет обратно пропорционально снижению цены?

167. Вы располагаете 100 млн руб., которые решаете израсходовать на организацию и проведение лотереи. По условиям лотереи выигрыши определенной крупной суммы денег выплачиваются на часть билетов выпуска. Количество выпущенных лотерейных билетов - 10 млн. Стоимость одного лотерейного билета - 1 тыс. руб. Величина выигрыша на счастливый билет - 10 млн руб. Какова будет вероятность выигрыша при покупке одного билета лотереи с учетом того, что вы рассчитываете на прибыль от вложения, равную 30 %?

168. В условиях предыдущей задачи проанализируйте, какие изменения должны произойти, если вы решите поднять вероятность выигрыша до 1 %? (Количество выпущенных билетов, их стоимость и ожидаемая прибыль остаются неизмененными.)

169. Вероятность выигрыша на один билет равна 1 %.

Сколько нужно приобрести билетов, чтобы с вероятностью 0,7 хотя бы один (не менее, чем один) из них выиграл?

170. Автомобиль с прицепом стоит 1,5 млн у. д. ед., причем автомобиль дороже прицепа на 1,3 млн у. д. ед.

Сколько стоят автомобиль и прицеп по отдельности? (Попробуйте вначале решить эту задачу на глаз.)

171. Выручка от реализации продукции равна 100000 у. д. ед. Материальные затраты - 50 000 у. д. ед. Накладные расходы - 10 000 у. д. ед. Затраты на зарплату - 10 000 у. д. ед. Налог на прибыль принят равным 32 %.

Чему равны прибыль, налог на прибыль, чистая прибыль (исходя из налога на прибыль, равного 32 %)?

172. Продажная цена основных фондов равна 100 000 у. д. ед. Первоначальная стоимость основных фондов - 10 000 у. д. ед. Процент износа основных фондов за год - 10 %. Срок использования основных фондов - 4 года. Индекс инфляции - 10.

Чему равны остаточная стоимость и прибыль от реализации основных фондов?

173. Выручка от продажи продукции составила 200 у. д. ед. Торговые издержки - 60 у. д. ед.

Оплата труда рабочих - 50 у. д. ед. Материальные затраты - 20 у. д. ед. Накладные расходы - 10 у. д. ед.

Необходимо рассчитать: 1) прибыль, 2) рентабельность продукции.

174. В промтоварный отдел магазина зашел покупатель и попросил подобрать ему шапку. Подошла шапка за 6000 у. д. ед. Покупатель протянул продавцу десятитысячную купюру. Сдачи у продавца не оказалось, и он пошел разменять эту купюру в продовольственный отдел. Вернувшись с разменянными деньгами, он дал покупателю сдачу и вручил ему покупку. Покупатель ушел. Через несколько минут в промтоварный отдел влетел разгневанный продавец-продовольственник, который разменивал деньги. В руках у него была десятитысячная купюра, оказавшаяся фальшивой.

На какую сумму пострадал продавец промтоварного отдела? (Не забудьте учесть, что ему придется уплатить за шапку и возвратить деньги продавцу-продовольственнику.)

175. Вы взяли в банке в кредит 1 млн руб. на 10 месяцев при ежемесячной кредитной ставке 30 %. Процент начисления простой.

Сколько вам придется уплатить за кредит?

176. Вы положили в банк 10 тыс. руб. на срочный вклад при процентной ставке 10 % годовых (с учетом выплаты процентов на проценты).

Сколько денег вы получите через два года?

177. Через сколько лет вклад, равный 10000 руб., при срочной процентной ставке 10 % годовых (с учетом выплаты процентов на проценты) превратится в 1 млн руб.? (Попробуйте вначале решить эту задачу на глаз.)

178. Товар хороший, но дорогой - 300 у. д. ед. за штуку. Поэтому покупали его редко, и товар стал залеживаться. Если продавать его подешевле, наверняка бы раскупили. Вот как это можно сделать. Надо установить цену товара, в три раза меньшую - по 100 у. д. ед. за штуку. Но каждого покупателя обязать оплатить помимо стоимости товара еще два талона на право его приобретения стоимостью 100 у. д. ед. каждый. Покупателям можно объяснить, что, поскольку товар очень хороший и дешевый, эти талоны легко будет реализовать - всегда найдутся двое желающих купить талоны с правом приобретения на них дешевого товара. Не успеете вы и оглянуться, как ваш залежалый товар буквально расхватают.

В этом замечательном предложении есть одна неувязка: вы продаете единицу товара за 300 у. д. ед., а покупатель тратит на нее 100 у. д. ед. Кто оплачивает разницу?

179. Вам предлагается заключить следующий договор:

- в течение одного месяца (30 дней) вам будет ежедневно выплачиваться по 100 тыс. долларов;

- в течение этого же времени вы будете платить в первый день 1 цент, а в каждый следующий день удваивать то, что платили в предыдущий, т. е. во второй день - 2 цента, в третий - 4 и т. д.

Согласитесь ли вы на такие условия?

180. Оплачивая чек клиенту, работник банка ошибся и выплатил сотнями тысяч рублей сумму, указанную в чеке в тысячах рублей, и наоборот - тысячами рублей сумму, указанную в сотнях тысяч. Клиент обнаружил ошибку, лишь истратив 350 тыс. руб. В этот момент оставшаяся у клиента сумма вдвое превышала ту, которую он указал в чеке.

На какую сумму был выписан чек? (Вначале попытайтесь определить на глаз, на сколько ошибся работник банка.)

181. Вам предложили сделку:

- вы кладете деньги в банк, где они каждый месяц удваиваются (к концу первого месяца их становится в два раза больше, к концу второго - в четыре раза и т. д.);

- за это вы платите банку ежемесячно 2400 руб., которые банк изымает из ваших денег после каждого их удвоения.

Выгодна ли для вас эта сделка?

182. У меня 25 тыс. руб., у вас 50 тыс. руб.

1) На сколько процентов у меня денег меньше, чем у вас? 2) На сколько процентов у вас денег больше, чем у меня?

183. Попытаемся с помощью математики сравнить стоимость килограммового слитка золота и одной копейки. Обозначим стоимость слитка золота буквой х, а вес копейки - буквой у. Тогда

У нас получилось, что стоимость килограммового слитка золота равна стоимости одной копейки.

Где мы допустили ошибку в расчетах?

184. В результате износа цена товара снизилась на столько же рублей, на сколько и процентов.

Сколько первоначально стоил товар?

185. Цены на товары повысились в 150 раз, а заработная плата в - 100 раз.

На сколько процентов упала реальная заработная плата?

186. Во внешнеэкономическом объединении в 60 % многосторонних международных операций участвуют США, в 80% - Великобритания, в 85 % - Япония, в 90 % - Германия.

Какой процент операций охватывает все эти страны вместе?

187. Разделить 25 руб. на две части так, чтобы одна была в 49 раз больше другой.

188. Вероятность получить высокую прибыль в некоторой коммерческой операции равна 30 % (из опыта).

Сколько нужно провести таких операций, чтобы получить эту прибыль с вероятностью 90%?

189. Доход предприятия от реализации продукции, работ, услуг составил за год 100 млн руб. Доход от внереализационных операций - 150 млн руб. за год. Затраты предприятия по этим реализационным и внереализационным операциям составили 90 млн руб., в том числе на оплату труда - 50 млн руб.

Необходимо рассчитать: 1) валовый доход, 2) облагаемую прибыль, 3) налог на прибыль (из расчета 35 %), 4) чистую прибыль, 5) взносы в бюджет из фонда оплаты труда (из расчета 39%).

190. Предприятие приобрело у поставщика (производителя) продукцию за 240 млн руб. Эта продукция будет реализована предприятием за 300 млн руб.

Какой налог на добавленную стоимость (из расчета НДС = 20 %) уплатят в бюджет: 1) поставщик. 2) предприятие-покупатель?

191. При найме менеджера на работу в контракте было указано, что за год ему будет выплачиваться зарплата в размере 500 тыс. у. д. ед. и премия в виде телевизора или другой вещи подобной стоимости, которая выдается авансом в начале года. Менеджер разорвал контракт, проработав 7 месяцев. При увольнении он получил 240 тыс. у. д. ед.

В какую сумму была оценена выданная ему в начале года премия?

192. Известный адвокат взял себе в обучение ученика на следующих условиях. Обучение будет вестись без текущей оплаты. Всю сумму оплаты ученик отдаст лишь после того, как учеба окончится и он выиграет в суде свое первое дело. Однако все пошло по-другому. После того как закончилась учеба, ученик не стал вести дел в суде, уклоняясь тем самым от уплаты. В ответ на это учитель пригрозил, что подаст на ученика в суд и поставит его, таким образом, в безвыходное положение: если ученик в суде дело проиграет, то ему придется уплатить учителю по решению суда, а если он дело выиграет, то уплатит по условию соглашения с учителем (как выигравший свое первое дело в суде). Ученик, однако, не растерялся - он был достоин своего учителя - и выдвинул встречные соображения: «Если я проиграю в суде это дело, то не заплачу по условию нашего соглашения; если же дело будет мною выиграно, то не заплачу по решению суда».

Есть ли из создавшейся ситуации какой-нибудь выход?

193. По договору работнику в первый день работы выплачивается одна тысяча рублей, во второй - две, в третий - три и т. д.

Сколько денег он заработает за сто дней? (Попробуйте решить эту задачу устно и быстро.)

194. В результате умелого стимулирования труда 80 % рабочих предприятия стали работать на 25 % производительнее.

На сколько процентов вырос выпуск продукции на предприятии?

195. Я поставил свои часы по часам сослуживца и через некоторое время, сверив с ним часы, увидел, что мои отстали ровно на три четверти часа. Сослуживец сказал, что его часы спешат примерно на 12 минут в сутки. Мои же, я знал, за то же время отстают примерно в три раза больше.

Сколько времени прошло с момента постановки до сверки часов?

196. Участок, предназначенный для проведения ярмарки, имеет форму квадрата и разбит на 36 одинаковых квадратных участков, образующих 6 продольных и 6 поперечных рядов. В двух противоположных углах установлены павильоны для администрации ярмарки. Остальные павильоны решено разместить таким образом, чтобы в каждом продольном и поперечном ряду, а также по двум диагоналям оказалось по два сооружения (включая административные павильоны).

Какое количество павильонов можно расположить на ярмарочной площади?

197. Предприятие А проводит с партнерами Б и В коммерческие операции. Вот их некоторые итоги. Два месяца назад предприятие А выплатило партнерам Б и В по определенной сумме, в результате начальные капиталы каждого из них уравнялись. Месяц назад предприятия А и Б получили от предприятия В суммы, удвоившие их текущие капиталы. И наконец, в этом месяце предприятия А и В получили от предприятия Б такие суммы, которые удвоили их текущие капиталы. В результате проведенных операции капиталы всех трех участников уравнялись, причем предприятие А потеряло 60 тыс. у. д. ед.

Какими начальными капиталами располагали партнеры?

198. Предприниматель решил вложить 8 млн у. д. ед. в сопряженные с риском операции А и Б на следующих условиях:

- вложение в операцию А больше, чем в операцию Б;

- при любом исходе операций вложения теряются;

- в случае успеха операции вложение увеличивается в число раз, равное величине вложения.

После успешного проведения обеих операций предприниматель увеличил свой первоначальный капитал в 4 раза.

Чему равны вложения в операции А и Б?

199. Сооружение А в три раза старше, чем сооружение Б; сооружение В в пять раз старше, чем А; сооружению Г, что и Б, но все вместе уступают по возрасту на десять лет сооружению Д, которому сегодня исполнилось 70 лет.

Каков возраст каждого сооружения?

200. Предприниматель заключил со своим лечащим врачом следующий оригинальный договор: за те дни, когда предприниматель здоров, он выплачивает врачу по 30 тыс. у. д. ед., а за те дни, когда он нездоров, врач платит ему по 20 тыс. у. д. ед. По истечении некоторого срока врачу пришлось отказаться от продолжения договора: оказалось, он задолжал предпринимателю 100 тыс. у. д. ед.

1) Сколько дней предприниматель был здоров и сколько нездоров? 2) Сколько времени продолжалось действие договора?

201. Спрос на товар составляет несколько тысяч штук в месяц и ежемесячно растет на 6 %.

Сколько потребуется времени, чтобы спрос примерно удвоился, полагая, что существующая тенденция будет продолжаться?

202. Универмаг решил довести продажу некоторого товара до 1000 штук в день.

Сколько ему для этого примерно понадобится времени, если ежедневное увеличение продаж составляет 50 %, а сейчас он продает в день 2000 штук товара?

203. Торговая фирма стоит перед выбором размера закупаемых партий товара: 1000 единиц товара по цене 80 у. д. ед. за штуку или 2000 единиц по цене 60 у. д. ед. за штуку.

1) Сколько денег целесообразно выделить на изучение покупательского спроса, если продажная цена товара равна 100 у. д. ед. за штуку, а непроданный товар может быть реализован лишь по цене меньшей, чем закупочная? (Вероятность продажи каждой из партий примем равной 0,5.) 2) На каком размере закупочных партий товара следует остановиться, как более прибыльной?

204. Большой арбуз стоит на 1 у. д. ед. больше за килограмм, чем маленький. Некто купил один большой и один маленький арбуз общим весом 14 кг. При этом большой арбуз обошелся в 20 у. д. ед., а маленький - в 4 у. д. ед.

Сколько весил каждый арбуз?

205. Если к акционеру А от акционера Б перейдет количество акций на 1 млн руб., его акционерный капитал станет вдвое больше, чем капитал Б. С другой стороны, если акционер Б увеличит свой акционерный капитал за счет А на 1 млн руб., то стоимость акций А и Б уравняется.

Какими акционерными капиталами обладают А и Б?

206. В уставном капитале фирмы по учредительному договору доля участника А составляет половину, доля участника Б - одну треть, доля участника В - одну девятую часть. В текущем году было решено всю прибыль израсходовать на покупку для этих участников 17 автомобилей.

Как поделить автомобили между участниками?

207. Фирма А вдвое старше фирмы Б. Известно, что, когда фирма Б просуществовала 8 лет, фирма А отметила свое 31-летие.

Сколько лет фирмам?

208. Половина уставного фонда предприятия А составляет одну треть уставного фонда предприятия Б.

Чей уставной фонд больше и во сколько раз?

209. На собрании акционерного общества отсутствовала 1/5 часть акционеров. После того как пришел один из опоздавших, доля отсутствующих составила 1/6 часть от всех акционеров.

Сколько акционеров в обществе?

210. На собрании акционеров общества доля отсутствующих акционеров составляла 20 % от числа присутствующих.

Какой процент от общего числа составляли присутствующие акционеры?

211. При образовании акционерного общества первый из четырех его участников внес в уставной фонд половину суммы, внесенной остальными; второй - треть суммы, внесенной остальными; третий - четверть суммы, внесенной остальными участниками. Четвертый же внес 6500 тыс. руб.

Сколько внес каждый из участников в уставной фонд и чему этот фонд равен?

212. Председательствующий на общем собрании акционеров на вопрос, какая часть дня миновала, ответил: «Трижды две трети того, что прошло, еще остается».

В какое время был задан вопрос?

213. Наше предприятие отметит свой столетний юбилей тогда, когда пройдет еще половина срока его существования, плюс еще треть, плюс четверть этого срока.

Сколько лет сейчас нашему предприятию?

214. Акционерное общество выделило из прибыли на оплату дивидендов по акциям 100 млн руб. Эти деньги распределяются между 6-ю привилегированными акциями с фиксированным доходом в 5 % годовых на каждую акцию и 28-ю обыкновенными.

Какой дивиденд выплачивается по привилегированным и обыкновенным акциям?

215. По курсовой стоимости продана 1000 акций. Номинал акции 10 тыс. руб., дивиденд - 15 %, ссудный процент - 5 % годовых.

Рассчитать: 1) курс акций; 2) учредительскую прибыль.

216. Предприятие производит и продает в день 10 единиц продукции одного рода общей стоимостью 30 тыс. руб.

Как изменится стоимость единицы продукции и всей ее массы при 1) росте производительности труда в три раза; 2) увеличении интенсивности труда в два раза?

217. Общая выручка предприятия за год 250 млн руб., норма прибыли - 25 %, ссудный процент - 4 % годовых. Решено выпустить 100 привилегированных акций с годовым доходом 100 тыс. руб. на каждую.

Определить: 1) сумму эмиссии; 2) сколько можно выпустить обыкновенных акций при годовом доходе 500 тыс. руб. на каждую?

218. Номинал акции равен 100 тыс. руб. Дивиденд по ней - 20 тыс. руб. Ссудный процент - 10 % годовых.

Чему равен: 1) курс акций; 2) прибыль от продажи 1000 акций?

219. Двое партнеров по товариществу, Семенов и Федоров, договорились иметь общий счет в банке, с которого будут снимать в течение каждого месяца по определенной постоянной сумме. Рассчитано, что если счетом станет пользоваться только Семенов, то он исчерпает его за год, а если и Семенов и Федоров вместе - за 8 месяцев.

За сколько времени израсходовал бы деньги один Федоров?

220. Два каменщика за 2 часа выкладывают 2-метровую стену.

Сколько каменщиков за 5 часов выложат стену длиной 5 метров?

221. Вот несколько смелых проектов:

- предлагается добывать пресную воду, растапливая под солнечными лучами айсберги, прибуксированные к берегу жаркой страны из Антарктиды или Гренландии;

- предлагается использовать в качестве холодильника обычный ящик, поднятый на аэростате на высоту, где температура окружающего воздуха ниже нуля;

- предлагается сажать картошку на заглубленную в землю металлическую ленту с отверстиями. При уборке урожая достаточно будет намотать эту ленту на барабан; все клубни будут выбраны быстро и без потерь.

Реальны ли проекты? Какой из них, по вашему мнению, мог бы быть реализован уже в наши дни?

222. При объеме книги 20 печатных листов и тираже 100 тыс. экземпляров ее выпуск требует следующих расходов:

Необходимо определить:

1) Какую следует установить розничную цену книги (с учетом налога на добавленную стоимость, равного 20 %), чтобы при тираже 100 тыс. экземпляров получить чистую прибыль (прибыль минус налог на прибыль, равный 32 % от прибыли), составляющую 1 млн руб.?

2) Чему равен авторский гонорар?

3) Сколько можно выделить денег на бумагу, картон, пленку и другие материалы?

4) Какую сумму составят типографские и издательские расходы?

5) Сколько будет выплачено торговым организациям?

6) Чему равны расходы на маркетинг, включая рекламу?

7) Чему будет равна чистая прибыль, если цена книги установлена равной 300 руб.?

223. Рабочий каждый час отрезает от медного бруса длиной 20 метров по куску длиной 2 метра.

Сколько времени пройдет, прежде чем весь брус будет израсходован?

224. Три работника внесли рационализаторские предложения по экономии ресурсов: первое экономит 35 % ресурсов, второе - 50 %, третье - 15%.

Сколько ресурсов экономят все три предложения?

225. Три компаньона совместно приобрели оборудование на 450 тыс. руб. и собираются использовать его на равных. При этом первый компаньон заплатил 230 тыс. руб., второй - 220 тыс. руб., а третий не заплатил ничего и остался должен компаньонам. Свой долг - 150 тыс. руб. он им вернул.

Как первый и второй компаньоны должны разделить эти деньги?

226. Три предприятия строят сооружение на равных долевых началах. Для строительства потребовалось 110 каменных блоков. Первое предприятие в счет своей доли внесло 70 блоков, второе - 40, а третье решило свою долю блоков оплатить деньгами, выделив для этого 110 тыс. у. д. ед.

Как разделить эти деньги между первым и вторым предприятиями?

227. Как из емкости в 12 литров налить ровно 6 литров вина в сосуды емкостью 5 и 8 литров?

228. Фермер обычно распахивает свой участок за 10 дней. Но в этом году он обзавелся новой техникой, поднажал и стал ежедневно вспахивать на 2 гектара больше, чем обычно. Благодаря этому работа была выполнена на 2 дня раньше.

Определить: 1) сколько гектаров фермер вспахивал ежедневно? 2) какова величина его участка?

229. Предприятие за 10 дней выпускало партию автобусов. После реконструкции предприятия дневной выпуск автобусов увеличился на единицу. В связи с этим на 3 дня раньше предприятие стало производить на 4 автобуса больше.

Сколько автобусов в день выпускалось до реконструкции предприятия и после нее?

230. Предприятие ежедневно выпускает сверх нормы 3 изделия, и поэтому за 5 дней сверх семидневного задания появляется еще 11 изделий.

Сколько изделий в день фактически производит предприятие?

231. При сушке яблок половина потерянного ими веса оказалась в полтора раза больше веса сушеных яблок.

Сколько весят 4 тонны яблок после сушки?

232. (Задача И. Ньютона). Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что с учетом подрастания травы 70 коров поели бы ее за 24 дня, а 30 коров - за 60 дней.

Сколько коров поело бы всю траву за 96 дней?

233. В бочку с зеленой и желтой краской добавили столько желтой краски, сколько было зеленой (по объему). Затем добавили столько зеленой краски, сколько первоначально было желтой (по объему).

Какой процент по объему стал приходиться на зеленую и на желтую краски?

234. Лабораторный анализ установил, что влажность (процентное содержание воды) сахарного песка равна 15 %. Тонну сахарного песка подвергли сушке, и вес его уменьшился на 80 кг.

Какова теперь влажность высушенного товара?

235. Изделие до сушки весило 60 кг и содержало 10 % влаги. После просушивания процентное содержание влаги уменьшилось в 10 раз.

Чему равен вес изделия после сушки? (Попробуйте сначала решить эту задачу на глаз.)

236. До переработки сырье содержит 70 % жидкости.

Сколько тонн сырья нужно переработать, чтобы получить 1 тонну продукта? (Попытайтесь вначале решить эту задачу на глаз.)

237. Опреснение морской воды, содержание соли в которой составляет 6 % (по весу), производится путем добавления к ней пресной воды. Опресненная вода должна содержать 1 % соли (по весу).

Сколько тонн пресной воды нужно добавить к 100 тоннам морской для опреснения? (Попытайтесь вначале решить эту задачу на глаз.)

238. Сплав золота с серебром содержит 40 % золота.

Сколько килограммов золота нужно добавить к слитку сплава весом в 10 кг, чтобы в образовавшемся новом сплаве золота стало 80 %? (Попытайтесь вначале решить эту задачу на глаз.)

239. Мешок сахара подмок и увеличил свой вес на 30 %. Затем его сушили до тех пор, пока вес подмоченного товара не уменьшился на 30 %.

Вернулся ли вес товара к первоначальному?

240. Брак на предприятии составляет 5 %. После ряда принятых технико-экономических и организационных мер брак снизился до 1 %.

На сколько процентов снизился брак?

241. Количество единиц продукции, выпускаемых в единицу времени, в результате повышения производительности труда выросло на 50%.

На сколько процентов сократилось время, необходимое для изготовления единицы продукции?

242. В партии из девяти изделий два бракованных.

Какова вероятность того, что при случайной выборке из четырех изделий окажутся браком: 1) одно; 2) два; 3) не менее одного (хотя бы одно)?

243. Два экскаватора, имеющие разную производительность, способны вырыть котлован за 8 часов. Фактически сначала 4 часа работал первый экскаватор, а затем 8 часов - второй. Они выполнили лишь 60 % работы по рытью котлована.

За сколько часов каждый экскаватор может вырыть котлован самостоятельно?

244. Работая на общий наряд, две бригады выполняют строительное задание за 10 часов. Подсчитано, что производительность труда у бригады № 1 на 30 % выше, чем у бригады № 2.

За сколько времени данную работу бригады № 1 и № 2 смогли бы выполнить каждая самостоятельно?

245. На сколько процентов увеличится площадь квадратного садового участка, если его периметр вырастет на 20 %?

246. На сколько процентов увеличится площадь прямоугольного садового участка, если каждая из его сторон вырастет на 40 %?

247. Как изменится площадь прямоугольника садового участка, если его ширину увеличить на 30 %, а длину на столько же процентов уменьшить?

248. На строительство типового здания строительное предприятие № 1 тратит 3 года, предприятие № 2 - 2 года, предприятие № 3 - 4 года, а предприятие № 4 - 1 год.

За какое время построят дом четыре предприятия совместно?

249. Золотые коронки для зубов делают из золотых дисков: по одному диску на зуб. Из отходов, получающихся при этом от девяти дисков, можно сделать еще один диск.

Сколько с учетом этого можно сделать коронок из 81 диска?

250. (Задача Я. И. Перельмана). Эйфелева башня в Париже сделана целиком из железа и весит около 8 тыс. тонн. Высота башни 300 метров.

Какой высоты должна быть точная копия башни весом в 1 кг? (Попробуйте вначале решить эту задачу на глаз.)

251. Имеются две емкости для горючего из одинакового материала, со стенками равной толщины и одинаковой формы. Одна из емкостей в 27 раз вместительнее другой.

Во сколько раз большая емкость тяжелее?

252. Строительный блок весит 6,25 тонны. Сколько весит блок из того же материала, все размеры которого в 5 раз меньше?

253. В емкости находилось 100 литров чистого спирта. Часть спирта отлили в канистру, а емкость дополнили водой до прежнего объема. Затем из емкости вновь отлили в канистру столько же образовавшейся смеси, сколько отливали спирта в первый раз, и дополнили емкость водой до первоначального объема. В результате в емкости оказался 49-процентный раствор спирта.

Сколько литров жидкости было отлито из емкости в первый и во второй раз?

254. (Задача Л. Я. Толстого). Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный одним косцом в течение следующего рабочего дня.

Сколько косцов было в артели?

255. Нужно сделать коктейль из двух крепких напитков, один из которых содержит 50 % спирта, а второй - 20 %. Необходимо смешать их так, чтобы получить 30-процентный раствор.

В какой пропорции должны быть напитки в коктейле? (Попробуйте вначале решить эту задачу на глаз.)

256. После того как из бака грузового автомобиля «КамАЗ» перелили в бак автобуса «Икарус» 40 литров дизельного топлива, у «КамАЗа» осталось топлива в 6 раз меньше, чем стало у «Икаруса». Кстати, если бы вместо этого «Икарус» отдал «КамАЗу» 10 литров топлива, то они имели бы его поровну.

Какое количество топлива было в баках «КамАЗа» и «Икаруса» первоначально?

РЕШЕНИЯ

1. Рассчитать прибыль можно, лишь зная затраты - в данном случае себестоимость квартиры как разность между выручкой (доходом) и затратами при каждой сделке. Скажем, если квартира обошлась в свое время Марку в 1 млн, то при первой сделке он заработал:

1,2- 1,0 = 0,2 млн у. д. ед.

При второй сделке его затраты составили также 1,0 млн (цена покупки), следовательно, здесь прибыль равна:

1,1 - 1,0 = 0,1 млн у. д. ед.

И общая прибыль составляет:

0,2 + 0,1 =0,3 млн у. д. ед.

Однако если себестоимость квартиры перед первой сделкой иная, то изменится, естественно, и прибыль.

2. Бриллиант весом в 4 карата стоит:

Это соответствует стоимости натурального рубина в х карат:

Откуда

3. 1) Литр дорогого молока продавался за 1 у. д. ед., а литр дешевого - за у. д. ед. Литр смеси стоил:

а фактически продавался за у. д. ед.

2) Таким образом, торговец на каждом литре терял:

3) Поскольку всего он потерял 50 у. д. ед., значит, было продано 50 : = 600 литров смеси, в которой каждого вида молока было 600 : 2 = 300 литров.

4) За 300 литров дорогого молока можно было выручить

300 х 1 = 300 у.д.ед.,

а за 300 литров дешевого -

300 х = 150 у.д.ед.

Фактически за 300 литров смеси было получено

300 х = 200 у.д.ед.

5) Следовательно, на дорогом молоке потеряно

300 - 200 = 100 у.д.ед.

а на дешевом приобретено

200- 150 = 50 у. д. ед.

4. Обозначим через х количество двухрублевых монет, а через у - пятирублевых. При этом количество однорублевых монет составит 12х, и условие задачи можно математически выразить так:

1 х 12x + 2x + y = 100руб.

где х и у - целые числа (количество монет не может быть дробным числом).

Из последнего варианта следует: для того чтобы у был целым числом, разность 100 - 14х должна быть кратна 5; для этого, в свою очередь, произведение 14х должно быть кратным 5 и меньшим, чем 100.

Этим условиям удовлетворяет только 14x = 70,

Подставим значение x в (*), получим

Итак, количество однорублевых монет равно 12x = 60, двухрублевых - х = 5, пятирублевых - у = 6.

5. Вопреки распространенной глазомерной оценке первый вариант, уже начиная со второго года, существенно выгоднее второго. Общая сумма выигрыша составляет 1350 у. д. ед. (около 13 %). Все дело в том, что, хотя прибавка к зарплате по второму варианту происходит в два раза чаще, чем по первому, сумма прибавки при этом значительно меньше: 50 у. д. ед. относится не к полугодовой, а к годовой зарплате. Причем, чем дальше, тем расчет по первому варианту выгоднее. Это наглядно видно из следующей таблицы:

Первый вариант	Второй вариант
1-й год 1200 у.д.ед.	1-е полугодие 600 у. д. ед. 2-е полугодие 625 «
2-й год 1400 у.д.ед.	3-е полугодие 650 у. д. ед. 4-е полугодие 675 «
3-й год 1600 у. д. ед.	5-е полугодие 700 у. д. ед. 6-е полугодие 725 «
4-й год 1 800 у. д. ед.	7-е полугодие 750 у. д. ед. 8-е полугодие 775 «
5-й год 2000 у. д. ед.	9-е полугодие 800 у. д. ед. 10-е полугодие 825 «
6-й год 2200 у. д. ед.	11-е полугодие 850 у. д. ед. 12-е полугодие 875 «
Всего: 10200 у. д. ед.	Всего: 8850 у. д. ед.

6. Обозначим сестер начальными буквами их имен: А, Б, В. Племянника Анны обозначим А1, сына Белы - Б1, мужа Веры - В1. Из условия задачи следует, что в деле участвуют шесть человек: А, Б, В, А1, Б1, В1, и прибыль в 44 млн у. д. ед. нужно разделить между ними поровну, так чтобы у каждого она выражалась целым числом миллионов у. д. ед. Поскольку это невозможно (44 не делится на 6 без остатка), напрашивается единственное допустимое решение: владельцев капитала должно быть столько, чтобы 44 млн делились между ними без остатка. Условие задачи предоставляет такую возможность. Для этого следует лишь предположить, что А1 не только племянник А, но одновременно и сын Б, и муж В. Иными словами, А1, Б1, В1 - одно и то же лицо, и прибыль следует делить между четырьмя акционерами:

= 11 млн у. д. ед., что отвечает условию задачи.

7. Обозначая через х и у доходы компаний А и Б пять лет назад, можно записать условие задачи следующим образом:

Решая систему из двух уравнений с двумя неизвестными, получим из (1):

х = 6у

Подставляя значение x в (2), будем иметь:

6у + 500 - 2y - 1000 = 0.

Откуда у = 125, х = 6у = 750.

Итак: 1) доход компании А пять лет назад был 750 тыс. у. д. ед.; доход компании Б - 125 тыс. у. д. ед.;

2) доход компании А в настоящее время 750 + 5 х 100 = 1250 тыс. у. д. ед.; доход компании Б - 125 + 5 х 100 = 625 тыс.у.д.ед.

8. Если принять долю компаньона А за единицу, то доля Б составит , а доля В - .

Переходя к целым числам (для этого нужно умножить дробные доли на их общий знаменатель, равный 12), получим долю А равной 15, долю Б-10 и долю В- 18.

1) Исходя из долей, определим суммы, причитающиеся каждому компаньону:

компаньону А причитается

компаньону Б - 20 х 10 = 200 тыс. у. д. ед., компаньону В - 20 х 18 = 360 тыс. у, д. ед.

2) Из условия задачи и полученных долей ясно, что старший компаньон (В) владеет предприятием 6 лет (что в три раза меньше 18). Значит, в соответствии с долями компаньон А владеет предприятием = 5 лет, а компаньон Б - = 3 года и 4 месяца.

9. Обозначим через х сумму кредита, тогда по условиям задачи суммы выплат и остатки будут следующими:

	Выплаты	Остатки
1-й месяц кредита
2-й месяц
3-й месяц
4-й месяц и т. д.

Помятуя, что выплаты заканчиваются в месяце, следующем за тем, в котором остаток на единицу больше, чем номер месяца, прошедшего с момента получения кредита определим, чему может быть равна сумма кредита, исходящая из этого условия.

Для остатка 1-го месяца

Для остатка 2-го месяца

Для остатка 3-го месяца

Для остатка 4-го месяца

x1, х2, х4 (и т. д.) не подходят, потому что по условию задачи сумма кредита должна находиться в пределах 50 - 100 млн у. д. ед. Следовательно:

1) Условию задачи отвечает сумма кредита, равная х3 = 66 млн у. д. ед.

2) Кредит должен быть погашен к концу 4-го месяца.

3) Плата за кредит равна 3 % х 4 месяца, т. е. 12 % от 66 млн у. д. ед., что соответствует 7,92 млн у. д. ед.

10. 1) Обещание было дано в понедельник. 2) Деньги будут отданы в ближайшую пятницу.

11. Обозначим через х капитал игрока, у - сумму ставки на победу, z - сумму ставки на поражение. Тогда условие задачи можно записать так:

Решая совместно (1) и (2), получим:

Далее, из (1) и (2):

Подставляя полученные значения у и z в (3), будем иметь:



Итак: 1) капитал игрока был равен 200 тыс. у. д. ед.;

2) сумма ставки на победу равна 30 тыс. у. д. ед.;

3) сумма ставки на поражение равна 20 тыс. у. д. ед.

12. Обозначив расстояние от Санкт-Петербурга до бензоколонки через а, а от бензоколонки до Верхнениженска через б, сообразим в соответствии с условием задачи, что расстояние от поселка Закат до бензоколонки - а, а от бензоколонки до поселка Рассвет б.

Следовательно, от поселка Закат до поселка Рассвет т. е. две трети пути от Санкт-Петербурга до Верхнениженска, что составляет х 150 = 100 км.

Искомая плата за проезд, таким образом, равна: 100 : 10= 10 у. д. ед.

13. Это возможно.

Разместив участок III так, как показано на рисунке, нетрудно убедиться, что:

III = I - а - в + а + а + б = I + а - в + б.

С другой стороны,

II = а - в + б.

Следовательно, III = I + II.

Кстати, мы только что доказали теорему Пифагора. Стороны квадратов I и II - это катеты, а стороны квадрата III - гипотенуза АБВ: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Просто и наглядно.

14. 1) Обозначая площадь, занимаемую оборудованием из контейнера № 1, через x, условие задачи можно математически записать так:

- площадь, занимаемая оборудованием из контейнера № 2, равна x + 10;

- площадь, занимаемая оборудованием из контейнера № 3, равна х + 20.

х+ (х+ 10) + (x + 20) = 402;

3x + 30 = 402;

x =124м2.

Соответственно, площади, занимаемые оборудованием из контейнеров № 2 и № 3, равны 134м2 и 144м2.

2) Обозначим черз п, т и k число раз, во сколько площади цехов А, Б и В больше, чем площади оборудования из контейнеров № 1, № 2 и № 3. По условию задачи n,m и k могут иметь значения лишь 1, 1,5 и 2 каждое.

При этом должно иметь место равенство:

124 х n + 134 х m +144 х k = 613. (*)

Будем рассуждать так:

- если п = 1,5 или 2, то при любых возможных значениях т и k сумма (*) будет меньше 613; следовательно, п может быть равно только 1, а значит, контейнер № 1 предназначен для цеха Б и для значения т остается только 1,5 или 2;

- при этом если т = 2, то при любых возможных п и k сумма (*) будет меньше 613; следовательно, т может быть равно только 1,5, а значит, контейнер № 2 оказывается предназначен для цеха В;

- для k, таким образом, остается только 2, и контейнер № 3 оказывается предназначенным для цеха А.

15. Обозначая вес контейнера с товаром через х, а вес контейнера через у, можно математически записать условие задачи так:

х + (х + 2) = 8, откуда х = 3 тонны.

3 = y + 0,5y, откуда у = 2 тонны.

Следовательно, вес товара равен: 3 - 2 = 1 тонна.

16. Да, это так. Парное число получается путем деления первого числа (а) на (а - 1). Так, если первый партнер внес 3 млн, то второй должен внести

При этом сложение капитала даст млн, как и его умножение:

17. Необходимо первую бочку ставить строго по центру площадки, а все остальные ставить симметрично от центра по отношению к каждой очередной бочке другого предприятия.

18. Рассмотрим два численных примера.

1) Если ребро малого ящика равно 1 м, то длина, которую занимает груз, равна 1 + 2 x 1 = 3 погонных метра, и стоимость перевозки, исходя из длины груза, составляет 20 х 3 = 60 у. д. ед. При этом объем груза равен 13 +(2 x 1)3 =9м3, и стоимость перевозки, исходя из объема, составляет 20 х 9 = 180 у. д. ед. Следовательно, оплата с погонного метра значительно (в три раза) выгоднее.

2) Если ребро малого ящика равно 0,5 м, то длина, которую занимает груз, равна 0,5 + 2 х 0,5 =1,5 погонных метра, и стоимость перевозки, исходя из длины груза, составляет 20 х 1,5 = 30 у. д. ед. При этом объем груза равен (0,5)3 +(2 x 0,5)3 =1,125м3, и стоимость перевозки, исходя из объема, составляет 20 х 1,125 = = 22,50 у. д. ед. Следовательно, оплата здесь существенно выгоднее с объема (на 25 % дешевле).

Таким образом, ответ на вопрос задачи - какого вида оплата выгоднее - неоднозначен и зависит от размера груза.

Интересно и полезно узнать граничное значение этого размера - то, при котором оба вида оплаты равноценны.

Обозначим через х длину ребра малого ящика, при которой наступит равенство погонного и объемного размеров, учитываемых при оплате. При этом будет иметь место следующее очевидное равенство:

х + 2 х х = х3 + (2 х х) , или 3x =9x3.

Итак, если ребро малого ящика короче 0,5 м, выгоднее платить исходя из объема, а если длиннее - исходя из длины. Проверим это утверждение.

При длине ребра малого ящика 0,58 м длина груза составит 0,58 + 2 х 0,58 = 1,74 погонных метра и стоимость перевозки будет равна 20 х 1,74 = 35 у. д. ед. При этом объем груза будет (0,58)3 +(2 x 0,58)3 = 1,74м3 и стоимость перевозки остается без изменений.

19. Первый шаг: поменять местами контейнеры 2 и 1. Второй шаг: поставить 5-й и 6-й после 7-го. Третий шаг: поставить 1-й и 3-й после 4-го. Четвертый шаг: 6-й и 8-й перенести в начало.

20. Обозначим количество приборов до прохождения ими контроля через х; количество приборов, оставшихся после прохождения 1-й ступени контроля, через х1, второй ступени контроля - х2 и т. д. При этом условие задачи можно математически записать следующим образом:



21. 1) Прежде всего найдем высоту прилегающего к шару цилиндра, равного шару по объему.

Объем шара равен где R - радиус шара.

Объем прилегающего цилиндра, имеющего высоту, равную диаметру шара (так называемый описанный цилиндр), равен R3.

Отношение объема шара и цилиндра будет:

Следовательно, для того чтобы прилегающий к шару цилиндр имел объем, равный объему

2 шара, высота цилиндра должна составлять от диаметра шара, т. е. м.

2) Теперь задача сводится к нахождению суммарной длины того количества отрезков нити длиной по 0,4 м, которое укладывается в цилиндр с диаметром основания 0,6 м (как в пачке вермишели).

Площадь основания цилиндра равна:

Площадь сечения нити - (0,1 мм)2. Количество отрезков нити, укладывающихся в наш цилиндр, равно:

Длина нити равна суммарной длине этих отрезков, т. е. 9 х 106 х 0,4 м = 3 600 000 м, или 3600 км.

3) Количество катушек, необходимое, чтобы смотать эту нить, равно:

22. 1) Обозначим через х количество дней, за которое подразделение П1 смогло бы самостоятельно израсходовать весь складской запас, если бы он состоял только из цемента марки Б. При этом условие задачи можно записать так:

Откуда 140 + х = 5х; х = = 35 дней.

Поскольку фактически количество цемента Б на складе равно половине возможного запаса, подразделение П1 израсходует имеющийся цемент Б за половину срока:

2) Обозначим через у количество дней, за которое подразделение П2 смогло бы самостоятельно израсходовать весь складской запас, если бы он состоял только из цемента марки А. При этом:

Откуда 210 + 2у = 7у; у = 42 дня.

А фактически - половина этого запаса - за 21 день.

Но поскольку подразделения берут цемент совместно, то подразделение П2 к моменту, когда подразделение П1 выберет весь свой цемент Б, не успеет получить полностью свой цемент А. И то, что останется, они будут брать в дальнейшем сообща. Сколько же на это потребуется времени?

3) За те 17 дня, что подразделение П1 выберет весь цемент Б, подразделение П2 успеет выбрать

17: 42 = всего складского запаса (если бы он состоял только из цемента А).

Но так как фактически запас цемента А равен половине складского, то после истечения 17 дня на складе останется всего складского запаса цемента А.

Известно, что оба подразделения способны израсходовать весь складской запас цемента

марки А за 30 дней, следовательно, этого запаса за 30 : = 2 дня.

А всего оба подразделения выберут весь цемент за 17 + 2 = 20 дней.

23. Обозначая через х и у возраст первого и последнего филиала соответственно, запишем условие задачи следующим образом:

Решая систему из двух уравнений с двумя неизвестными, получим:

х = 5у; 5у - у = 8,

откуда х = 2, у = 10.

24. Скорость судна при движении в реке по течению равна км/мин (20 км/ч). Скорость

против течения - км/мин (12 км/ч).

1) Скорость судна при движении в море (без течения) равна средней скорости движения по течению и против него (то, что течение в одном случае добавляет, в другом отнимает):

25. Обозначим общее число работников через х, тогда условие задачи можно записать так:

количество электриков равно ,

количество механиков .

Откуда:

8 х 2(х - 1) + 3 х 3 (х - 1) = 8 х 3 х х; х = 25.

Количество электриков равно:

Количество механиков равно:

(включая головного сборщика).

26. Из второго условия задачи следует, что панели А и Б весят одинаково, а также что веса каждой из этих панелей равна 200 кг.

Следовательно, панели А и Б весят по 200 х 3 = 600 кг.

27. Обозначим через х стоимость обыкновенной акции. Тогда условие задачи можно записать так:

Решая уравнение, получим:

Всего по условию задачи 250 х 4 = 100 акций.

Из них обыкновенных 1000 - 250 = 750.

Следовательно, на 1 обыкновенную акцию предполагается выплатить

Количество привилегированных акций 250, следовательно, на 1 привилегированную акцию

предполагается выплатить

28. Обозначим через х общее количество стиральных машин четырех модификаций, собранных всеми двенадцатью предприятиями, и равные ему количества электронных и механических элементов, необходимых для их создания. Тогда количество электронных элементов четырех модификаций, необходимых для сборки машин на одном предприятии, будет равно , а количество элементов одной модификации При этом количество этих элементов, производимых на каждом из трех электронных предприятий, должно быть равно,

Интересующее нас минимальное количество этих элементов (xmin) будет иметь место при равенстве:

А на всех трех электронных предприятиях должно производиться 144 х 3 = 432 элемента каждой модификации, что дает возможность собрать 432 стиральные машины всех четырех модификаций. При этом на каждом предприятии будет производиться по 432 : 12 = 36 стиральных машин всех четырех модификаций.

Проследим последовательность действий при кооперации предприятий от начала до конца:

- каждое из трех электронных предприятий производит 432 : 3 = 144 электронных элемента четырех модификаций (36 х 4);

- каждое из девяти механических предприятий производит 432: 9 = 48 механических элементов;

- затем каждое электронное предприятие передает каждому механическому предприятию по 12 электронных элементов четырех модификаций (3 х 4), оставляя у себя 36 электронных элементов;

- а каждое механическое предприятие передает каждому электронному предприятию по 4 механических элемента, оставляя у себя 36 таких элементов;

- в результате на каждом из двенадцати электронных и механических предприятий оказывается по 36 электронных и по 36 механических элементов, из которых производится по 36 стиральных машин четырех модификаций.

Общее же количество стиральных машин равно 36 x 12 = 432.

29. Обозначим через хn общее количество производственных помещений, предназначенных для распределения очередной n-й паре, а через Нn и Чn - количество помещений, выделенных предприятиям этой пары соответственно нечетных и четных номеров. Тогда по условиям задачи будут иметь место следующие очевидные соотношения:



По условиям задачи для последней пары

(так как каждой очередной паре достается равное количество ресурсов, а Н следующей пары на единицу больше, Ч должно быть на единицу меньше). Следовательно, из (2) следует:

По условиям задачи это равенство должно иметь место для любой пары, поэтому с учетом

а также

Поскольку для последней пары, где Чn = 0, Нn = 6 - 0 = 6, а для первой пары Н1 может быть минимально равно 0, при этом Ч1 = 6 - 0 = 6.

По условиям задачи от пары к паре количество производственных помещений для нечетных предприятий увеличивается на единицу, в распределении может участвовать всего 7 пар (имеющих Нn от 0 до 6, включая 0), т. е. 7 х 2 = = 14 малых предприятий. При этом в соответствии с (*):

Итак:

1) Ресурсы могут распределяться между 14 малыми предприятиями.

2) Всего распределяется 42 производственных помещения. Торговых точек для уравнивания возможностей МП должно быть столько, чтобы у каждого предприятия было по 6 единиц ресурсов, т. е. каждая пара предприятий должна получить по 6 торговых точек, а всего 6 x 7 пар предприятий = 42 торговые точки.

3) Количество ресурсов обоих видов, полученных каждым предприятием, будет следующим:

30. Оказывается, это довольно просто. Дело в том, что, к счастью аудитора, суммы цифр в обоих слагаемых оказались кратны 9, а значит - слагаемые делятся на 9. Естественно, делились на 9 они и до перестановки в них цифр. При сложении же чисел, делящихся на 9, сумма также делится на 9. Это означает, что сумма цифр результата сложения должна быть кратна 9. Сложив цифры суммы (кроме подделанной), получим 30. Ближайшее большее число, кратное 9, это 36. Нам не хватает 36 - 30 = 6. Следовательно, исправленная цифра - это 6.