Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»

Кафедра экономики

Финансовая математика

Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе для студентов направлений

230100.62 Информатика и вычислительная техника

230200.62 Информационные системы

• Томск 2012
• Содержание
• 1. Простые ссудные ставки
• 2. Простые учетные ставки
• 3. Сложные ссудные ставки
• 4. Сложные учетные ставки
• 5. Эквивалентные и эффективные ставки
• 6. Замена и консолидация платежей
• 7. Начисление процентов в условиях инфляции
• 8. Налоги и начисление процентов
• 9. Финансовые ренты
• 10. Определение параметров ренты
• 11. Конверсия и замена рент
• 12. Практическое приложение финансовых вычислений

ставка платеж инфляция рента

1. Простые ссудные ставки

Денежные ресурсы, участвующие в финансовой операции, имеют временную ценность, смысл которой может быть выражен следующим утверждением: одна денежная единица, имеющаяся в распоряжении инвестора в данный момент времени, более предпочтительна, чем та же самая денежная единица, но ожидаемая к получению в некотором будущем. Эффективность любой финансовой операции, предполагающей наращение исходной суммы P до ожидаемой в будущем к получению суммы F (F>P), может быть охарактеризована ставкой.

Простая ссудная ставка рассчитывается отношением наращения (F-P) к исходной (базовой) величине P.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление.

В финансовых вычислениях базовым периодом является год, поэтому обычно говорят о годовой ставке. Вместе с тем достаточно широко распространены краткосрочные операции продолжительностью до года. В этом случае за основу берется дневная ставка, причем в зависимости от алгоритмов расчета дневной ставки и продолжительности финансовой операции результаты наращения будут различными. Используются три варианта расчета: а) точный процент и точное число дней финансовой операции - обозначение 365/365 ; б) обыкновенный процент и точное число дней финансовой операции -обозначение 365/360; в) обыкновенный процент и приблизительное число дней финансовой операции- обозначение 360/360.

Математическое дисконтирование является процессом, обратным к наращению первоначального капитала. При математическом дисконтировании решается задача нахождения такой величины капитала (так называемой «приведенной стоимости»), которая через заданное время при наращении по данной процентной ставке будет равна сумме, ожидаемой к получению (уплате) через заданное время.

Возможно финансовое соглашение, предусматривающее изменение во времени ссудной ставки.

Любая финансовая операция предусматривает участие, как минимум, двух сторон: кредитора (инвестора) и заемщика (получателя финансовых ресурсов); это обстоятельство является существенным для вынесения суждения об эффективности некоторой операции. Так, экономическая интерпретация ставки вообще и ее значения в частности зависит от того, с чьих позиций - кредитора или заемщика она дается. Для кредитора ставка характеризует его относительный доход; для заемщика - его относительные расходы. Поэтому кредитор всегда заинтересован в высокой ставке или в повышении ставки; интересы заемщика - прямо противоположны.

Цель проведения занятия - научиться проводить расчеты по схеме простых ссудных процентов, используя формулы финансовых вычислений.

Основные формулы

(1.1)

(1.2)

F=P•(1+rt /T)(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6)

P - вложенная сумма;

F - наращенная сумма;

n - количество периодов продолжительности финансовой операции;

r- простая ссудная ставка;

Типовые задачи с решениями

Задача 1. Вы поместили в банк вклад 100 тыс. руб. под простую процентную ставку 6% годовых. Какая сумма будет на счете через 3 года? Какова величина начисленных процентов?

Решение

По формуле (1.1.) при Р=100 тыс. руб., n=3, r =0,06 получаем :

F=100 (1+30,06)=118 тыс. руб.

Через три года на счете накопится 118 тыс. рублей.

Величина начисленных за три года процентов составит:

118 -100=18 тыс. руб.

Задача 2. На какой срок необходимо поместить денежную сумму под простую процентную ставку 8% годовых, чтобы она увеличилась в 2 раза?

Решение

Искомый срок определяем из равенства множителя наращения величине 2 :

1+n0,08=2, поэтому

n=1/0,08=12,5 лет.

Сумма, размещенная в банке под 8% годовых, в два раза увеличится через 12,5 лет.

Задача 3. Ссуда в сумме 3000 долл. предоставлена 16 января с погашением через 9 месяцев под 25 % годовых (год не високосный). Рассчитайте сумму к погашению при различных способах начисления процентов : а) обыкновенный процент с точным числом дней; б) обыкновенный процент с приближенным числом дней; в) точный процент с точным числом дней .

Решение

а) По формуле (1.3), используя обыкновенный процент с точным числом дней, рассчитанным по финансовым таблицам (t=289-16=273 дня), получим:

F=3000•(1+0,25273/360=3568,75 долл.

Сумма к погашению равна 3568,75 долл.

б) По формуле (1.3), используя обыкновенный процент с приближенным числом дней, рассчитанным по финансовым таблицам (t=930=270 дня), получим:

F=3000• (1+0,25270/360)=3562,5 долл.

Сумма к погашению равна 3562,5 долл.

в) По формуле (1.3), используя точный процент с точным числом дней, рассчитанным по финансовым таблицам (t=289-16=273 дня), получим:

F=3000• (1+0,25273/365)=3560,96 долл.

Сумма к погашению равна 3560,96 долл.

Задача 4. В финансовом договоре клиента с банком предусмотрено погашение долга в размере 8,9 тыс. руб. через 120 дней при взятом кредите в размере 8 тыс. руб. Определить доходность такой сделки для банка в виде годовой процентной ставки при использовании банком простых обыкновенных процентов.

Решение

По формуле (1.5) при F=8,9 тыс. руб., P= 8 тыс. руб., t= 120 дней, T=360 дней, получим :

r=360(8,9-8)/ (8120)= 0,3375=33,75%.

Доходность банка составит 33,75 процентов годовых.

Задача 5. Господин Х поместил 160 тыс. руб. в банк на следующих условиях: в первые полгода процентная ставка равна 8% годовых, каждый следующий квартал ставка повышается на 1%. Какая сумма будет на счете через полтора года, если проценты начисляются на первоначальную сумму вклада? Какую постоянную ставку должен использовать банк, чтобы сумма по вкладу не изменилась?

Решение

Применяя формулу (1.4), получим :

F=160(1+0,50,08+0,250,09+0,250,1+0,250,11+0,250,12)= 183,2

Через полтора года на счете накопится 183 200 руб.

Постоянную ставку, которую должен использовать банк, для того чтобы сумма, накопленная на счете, не изменилась, находим из уравнения:

r=0,096667=,9,67%

Постоянная ставка, которую должен использовать банк, для того чтобы сумма, накопленная на счете, не изменилась, равна 9,67 % годовых.

Задача 6. Кредит выдается под простую ссудную ставку 24 % годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, полученную заемщиком, и сумму процентных денег, если необходимо возвратить 3500 тыс. руб.

Решение.

По формуле (1.2) при F = 3500; n=250/365; r=0,24 получаем:

P = 3500 /(1 + 0,24 ·250/365) =3017, 2

Сумма, получаемая заемщиком, составит 3 017 200 руб.

Сумма процентных денег равна (3500000 - 3017 200) = 482 800 тыс. руб.

2. Простые учетные ставки

Учетная ставка рассчитывается отношением наращения (F-P) к ожидаемой в будущем к получению, или наращенной, величине F.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление.

Банковское (коммерческое) дисконтирование применяется в ситуации предварительного начисления простого процента, например, при операции по учету векселя, заключающейся в покупке банком векселя у владельца до наступления срока оплаты по цене, меньшей той суммы, которая должна быть выплачена по векселю на дату его погашения. Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя.

Банковское дисконтирование нельзя осуществить во всех ситуациях, например, по достаточно большой учетной ставке и задолго до срока платежа.

Возможно финансовое соглашение, предусматривающее изменение во времени учетной ставки.

При применении наращения по простой учетной ставке величина начисляемых процентов с каждым годом увеличивается. Простая учетная ставка обеспечивает более быстрый рост капитала, чем такая же по величине процентная ставка.

Цель проведения занятия - научиться проводить расчеты по схеме простых учетных процентов, используя формулы финансовых вычислений.

Основные формулы

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

D=F-P=Fnd(2.5)

(2.6)

(2.7.)

(2.8)

P- вложенная сумма (сумма, которую получает владелец векселя при его учете) ;

F - наращенная сумма (номинальная стоимость векселя);

n- количество периодов продолжительности финансовой операции;

d-простая учетная ставка;

t -продолжительность финансовой операции в днях;

количество дней в году;

D- дисконт.

Типовые задачи с решениями

Задача 1. В банк 6 мая предъявлен для учета вексель, на сумму 140 тыс. руб. со сроком погашения 10 июля того же года. Банк учитывает вексель по учетной ставке 40% годовых, считая, что в году 365 дней. Определить сумму, получаемую векселедержателем от банка, и комиссионные, удерживаемые банком за свою услугу. За какое время до срока платежа операция учета векселя имеет смысл?

Решение

По формуле (2.1) при F = 140.; n = 65/365, d = 0,4 получим:

Р = 140(1-0,4 65/365)=129, 89

Векселедержатель получит от банка 129,89 тыс. руб.

Комиссионные банка ( или дисконт) определяются по формуле D= F - P

D= F - P= 140-129, 89=10, 11 тыс. руб.

Комиссионные, удерживаемые банком за свою услугу, равны 10,11 тыс. руб.

Учет векселя по учетной ставке имеет смысл при n<1/d, для этой задачи при n< 2,5 года. При n>2,5 года сумма Р, которую должен получить владелец векселя при его учете, становится отрицательной.

Задача 2. Кредит в размере 400 тыс. руб. выдан по простой учетной ставке 25% годовых. Определить срок кредита, если заемщик планирует получить на руки 350 тыс. руб.

Решение

По формуле (2.7. ) при F =400 ; Р=350; d=0,25 получаем:

n = (400-350)/(4000,25)=0,5

Срок кредита равен 0,5 года.

Задача 3. Вексель на сумму 900 тыс. руб. учитывается по простой учетной ставке за 120 дней до погашения с дисконтом 60 тыс. руб. в пользу банка. Определить величину годовой учетной ставки при временной базе 360 дней в году.

Решение.

По формуле (2.6) при F=900; F-P=60; t=120; T=360 дней, получим :

d= 60360/(900120)=0,20=20%

Годовая учетная ставка при временной базе 360 дней в году равна 20% годовых.

Задача 4. В банк предъявлен вексель на сумму 500 тыс. руб. за полтора года до его погашения. Банк согласен учесть вексель по переменной простой учетной ставке, установленной следующим образом: первые полгода - 30% годовых, следующие полгода- 36% годовых, затем каждый квартал ставка повышается на 2%. Определите дисконт банка и сумму, которую получит векселедержатель.

Решение.

По формуле (2.8) вычислим множитель наращения:

1- ( 0,5 0,30 +0,5 0,36 + 0,25 0,38 + 0,25 0,4) = 0, 475

Р = 500 0,475 = 237,50

Сумма, полученная владельцем векселя равна 237500 руб.

По формуле 1.11 дисконт равен D = 500- 237,5 = 262,5

Дисконт банка равен 262500 руб.

Задача 5. Банк 1 января учел два векселя со сроками погашения 6 февраля и 14 марта того же года. Применяя учетную ставку 10% годовых, банк удержал комиссионные в размере 1000 руб. Определить номинальную стоимость векселей, если номинальная стоимость второго векселя в 2 раза больше, чем номинальная стоимость первого векселя.

Решение

Обозначим номинальную стоимость первого векселя через F, тогда номинальная стоимость второго векселя составит 2•F.

По таблице порядковых дней в году определим, что первый вексель учтен за 36 дней до срока погашения, а второй вексель учтен за 72 дней до срока погашения.

По формуле (2.5) величина дисконта для первого векселя равна

По формуле (2.5 ) величина дисконта для второго векселя равна

Учитывая, что комиссионные банка за учет двух векселей составили 1000 руб., запишем:

Номинальная стоимость первого векселя составит 20 тыс. руб., номинальная стоимость второго векселя составит 40 тыс. руб.

3. Сложные ссудные ставки

Схема сложных процентов предполагает их капитализацию, т.е. база, с которой происходит начисление, постоянно возрастает на величину начисленных ранее процентов. Более частое начисление сложных процентов обеспечивает более быстрый рост наращиваемой суммы.

Для кредитора более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода). Для кредитора более выгодна схема сложных процентов, если срок суды превышает один год (проценты начисляются ежегодно). Обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

При начислении процентов за дробное число лет может использоваться схема сложных процентов, либо смешанная схема, предусматривающая начисление сложных процентов за целое число лет и простых процентов за дробную часть года.

Математическим дисконтированием (дисконтированием по сложной процентной ставке) называется задача нахождения такой величины первоначального капитала, которая через заданное количество времени при наращении по сложной процентной ставке обеспечит получение планируемой суммы.

Начисления сложных процентов могут быть дискретными и непрерывными. Уменьшая период начисления и увеличивая частоту начисления процентов переходят к так называемому непрерывному проценту, при котором наращенная сумма (при схеме сложных процентов) увеличивается максимально. Формулы для вычисления наращенной суммы при начислении ссудных и учетных процентов совпадают, т.к. при уменьшении периода начисления разница между начислением процентов в начале и в конце периода исчезает. Непрерывную ставку начисления процента обозначают и называют силой роста.

Цель проведения занятия - научиться проводить расчеты по схеме сложных ссудных процентов, используя формулы финансовых вычислений; провести сравнение финансовых операций при использовании простых и сложных ставок.

Основные формулы

F=P• (1 + r)(3.1)

P = F /(1 + r)ⁿ(3.2)

F = P (1 + r/m)^nm(3.3)

F = P (1 + r)^w+f(3.4)

F=P(1+r)^w.(1+f•r)(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

F - наращенная сумма;

P- вложенная сумма;

n- количество лет;

r- сложная процентная ставка;

m- количество начислений процентов в году;

w- целая часть периода финансовой операции;

f- дробная часть периода финансовой операции.

Типовые задачи с решениями

Задача 1. На вашем счёте в банке 15 млн. руб. Банковская ставка по депозитам равна 12% годовых. Вам предлагают войти всем капиталом в организацию совместного предприятия, обещая удвоение капитала через 5 лет. Принимать ли это предложение?

Решение.

Для решения задачи используем формулу (3.1.).

Если мы вложим деньги в банк, то через 5 лет получим следующую сумму:

F = 15•(1 + 0,12)⁵ = 26,43 млн.руб.

Если мы войдем всем капиталом в организацию совместного предприятия, то наш капитал удвоится:

F = 15 2 = 30 млн. руб.

Следует принять данное предложение и не вкладывать деньги в банк.

Задача 2. Через 2 года ваш сын будет поступать в университет на коммерческой основе. Плата за весь срок обучения составит 5600 долл., если внести её в момент поступления в университет. Вы располагаете в данный момент суммой в 4000 долл. Под какую минимальную ссудную ставку нужно положить деньги, а банк, чтобы накопить требуемую сумму?

Решение.

Для решения задачи используем формулу (3.7) при m=1:

r = (5600 / 4000 )^1/2 - 1 = 0,1832 = 18, 32%

Для того чтобы накопить нужную сумму, минимальная ссудная сложная ставка должна составлять 18,32 % годовых.

Задача 3. За выполненную работу предприниматель должен получить 600 тыс. руб. Заказчик не имеет возможности рассчитаться в данный момент и предлагает отложить срок уплаты на 2 года, по истечении которых он обязуется выплатить 730 тыс. руб. Выгодно ли это предпринимателю, если приемлемая норма прибыли составляет 10%? Какова минимальная ставка, которая делает подобные условия невыгодными для предпринимателя?

Решение.

Для решения задачи используем формулу (3.1).

Будущая стоимость 600 тыс.руб. через 2 года при норме прибыли 10% составит:

F = 600 тыс.руб. (1 + 0,1)² = 720,6 тыс.руб.

Это меньше, чем 730 тыс. руб., поэтому предпринимателю выгодно ждать расчета 2 года.

Для расчета минимальной ставки, которая делает условия невыгодными, воспользуемся формулой (2.6) при m=1:

r = (730 /600)^1/2 - 1 = 0,1030 =10,3 %

Минимальная ставка, которая делает условия невыгодными для предпринимателя, равна 10,3 % годовых.

Задача 4. Банк предоставил ссуду в размере 5000 долл. на 39 месяцев под 10% годовых на условиях полугодового начисления процентов. Рассчитайте возвращаемую сумму при различных схемах процентов: 1) схема сложных процентов; 2) смешанная схема.

Решение

Для решения воспользуемся формулами для вычисления наращенной суммы, если продолжительность финансовой операции не равна целому числу лет.

1) Схема сложных процентов - формула (3.4), считая полугодие базовым периодом;

w=6; f = 3,252-6=0,5; r=5%:

F =5000 (1+0,05)^6+0,5=6865, 9

По схеме сложных процентов возвращаемая сумма равна 6865, 9 долл.

2) Смешанная схема - формула (3.5), считая полугодие базовым периодом;

w=6; f = 3,252-6=0,5; r=5%:

F = 5000 ·(1+0,05)^6.(1+0,50,05) = 6867,99

По смешанной схеме возвращаемая сумма равна 6867,99 долл.

Задача 5. 1 августа 2010 г. должник обязан уплатить кредитору 400 тыс. руб. Какую сумму необходимо иметь должнику, если он вернет деньги : 1) января 2010 г.; 2) 1 января 2011 г.; 3) 1 августа 2010 г.? Деньги взяты в долг под сложную ссудную ставку 34% годовых.

Решение.

1) используем формулу (3.2) при r=0,34; n=7/12:

1 января 2010 г. должник должен иметь 337220 руб.

2) используем формулу (2.1) при r=0,34; n=5/12:

1 января 2011 г. должник должен иметь 451870 руб.

3) 1 августа 2010 г. должник должен иметь 400000 руб.

4. Сложные учетные ставки

Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется в ситуации предварительного начисления сложного процента, т.е. когда сложный процент (например, за кредит) начисляется в момент заключения финансового соглашения. В этом случае в начале каждого периода начисления проценты начисляются не на одну и ту же величину (как при дисконтировании по простой учетной ставке), а каждый раз на новую, полученную в результате дисконтирования, осуществленного в предыдущем периоде.

Для лица, осуществляющего предварительное начисление процентов более выгода сложная учетная ставка, если срок учета менее одного года; более выгодна простая учетная ставка, если срок учета превышает один год.

Если продолжительность финансовой операции не равна целому числу лет, то при определении стоимости учетного капитала используют либо сложную учетную ставку, либо смешанную схему (сложная учетная ставка для целого числа лет и простая учетная ставка для дробной части года). Стоимость учетного капитала больше при использовании смешанной схемы.

Начисления сложных процентов могут быть дискретными и непрерывными. Уменьшая период начисления и увеличивая частоту начисления процентов переходят к так называемому непрерывному проценту, при котором наращенная сумма (при схеме сложных процентов) увеличивается максимально. Формулы для вычисления наращенной суммы при начислении ссудных и учетных процентов совпадают, т.к. при уменьшении периода начисления разница между начислением процентов в начале и в конце периода исчезает. Непрерывную ставку начисления процента обозначают и называют силой роста.

Цель проведения занятия - научиться проводить расчеты по схеме сложных ссудных процентов, используя формулы финансовых вычислений; провести сравнение финансовых операций при использовании простых и сложных ставок.

Основные формулы

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

(4.10)

F - наращенная сумма;

P- вложенная сумма;

n- количество лет;

d- сложная учетная ставка;

непрерывная ставка

m- количество начислений процентов в году;

w- целая часть периода финансовой операции;

f- дробная часть периода финансовой операции.

Типовые задачи с решениями

Задача 1. Вексель на сумму 70 тыс. руб. со сроком погашения через 4 года учтен за 32 месяца по сложной учетной ставке 24% годовых. Определить суммы, которые получит предъявитель векселя при различных способах учета.

Решение

1) При применении схемы сложных процентов воспользуемся формулой (4.4) при n = 32/12= 8/3, F = 70 тыс. руб., d = 0,24, поэтому

Владелец векселя получит 33 672 руб.

2) При применении смешанной схемы воспользуемся формулой (4.4) при w = 2, f = 2/3:

Владелец векселя получит 33 672 руб.

Задача 2. Долговое обязательство на выплату 46 тыс. руб. учтено за 4 года до срока погашения. Определите сумму, полученную при учете этого обязательства, если производилось 1) полугодовое; 2) поквартальное; 1) ежемесячное дисконтирование по сложной учетной ставке 24% годовых.

Решение

1) Используем формулу (4.3) при F = 46; d = 0,24; n = 4; m = 2

Сумма, полученная при учете обязательства, равна 16543 руб.

2) Используем формулу (4.3) при F =46; d = 0,24; n = 4; m = 4:

Сумма, полученная при учете обязательства, равна 17092 руб.

3) Используем формулу (4.3) при F = 46; d = 0,24; n = 4; m = 12:

Сумма, полученная при учете обязательства, равна 17443 руб.

Сравнивая полученные результаты, делаем вывод, что с ростом числа осуществлений операций дисконтирования в году сумма, полученная при учете обязательства, возрастает.

Задача 3. Вексель был учтен за 2,5 года до срока его погашения, при этом владелец векселя получил четверть от написанной на векселе суммы. По какой годовой учетной ставке был учтен этот вексель, если производилось 1) поквартальное дисконтирование; 2) ежемесячное дисконтирование.

Решение

1) по формуле (4.7) при P=0,25F; n=2,5; m=4, получим :

Вексель был учтен по сложной учетной ставке 51,78% годовых.

2) по формуле (4.7) при P=0,25F; n=2,5; m=12, получим :

Вексель был учтен по сложной учетной ставке 54,19 % годовых.

Задача 4. Клиент имеет вексель на 100 тыс. руб., который он хочет учесть 01.03.2010 в банке по сложной учетной ставке равной 7% годовых. Какую сумму он получит, если срок погашения векселя 01.08.2010 г.?

Решение

Срок даты учета до даты погашения векселя равен 153 дня, число дней в году 365. По формуле (4.1) при F=100; d=0,07; n=153/365

=97,038

Владелец векселя получит 97038 руб.

Задача 5. Вклад в размере 20 тыс. руб. помещен в банк на 5 лет, причем предусмотрен следующий порядок начисления сложных процентов по плавающей годовой учетной ставке : в первые 2 года -16%, в следующие 2 года - 19%, в оставшийся год- 23%. Определить наращенную сумму. При использовании какой постоянной сложной учетной ставки можно получить такую же сумму?

Решение

По формуле (4.6) при d1 = 16%, d2 = 19%, d3 = 23% получаем:

Наращенная сумма равна 56106 руб.

Постоянную годовую учетную ставку d, дающую тот же результат, находим из равенства:

d = 0,1864

Постоянная ставка, которая дает тот же результат, равна 18,64% годовых.

5. Эквивалентные и эффективные ставки

Один и тот же финансовый результат можно получить различными способами, используя различные ставки.

Две ставки называются эквивалентными, если при замене одной ставки на другую финансовые отношения сторон не меняются.

Эффективная процентная ставка позволяет сравнивать финансовые операции с различной частотой начисления и неодинаковыми процентными ставками. Именно эта ставка характеризует реальную эффективность операции, однако во многих финансовых контрактах речь чаще всего идет о номинальной ставке, которая в большинстве случаев отличается от эффективной.

Меняя частоту начисления процентов или вид ставки, можно существенно влиять на эффективность операции. В частности, оговоренная в контракте ставка может при определенных условиях вовсе не отражать истинный относительный доход (относительные расходы). Например, 6% годовых при условии ежедневного начисления процентов соответствуют на самом деле 8,21%, начисляемых ежегодно. Отмеченная особенность исключительно значима в условиях высоких номинальных ставок. При составлении финансовых договоров данный прием нередко используется для сокрытия истинных расходов. Поэтому, заключая контракт, целесообразно уточнять, о какой ставке (процентной, учетной, эффективной и др.) идет речь или, по крайней мере, отдавать себе отчет в этом.

Цель проведения занятия - научиться проводить расчеты по замене ставок и условий финансовых контрактов, используя формулы финансовых вычислений; сравнивать эффективность различных финансовых операций.

Основные формулы

r_e=(1 + r/m)^m - 1(5.1)

r_e=e - 1(5.2)

(5.3)

(5.4)

(5.5)

(5.6)

(5.7)

(5.8)

(5.9)

(5.10)

(5.11)

(5.12)

эффективная ставка,

сила роста,

r - простая процентная ставка,

d - простая учетная ставка,

r_с - сложная ссудная ставка,

d_с - сложная учетная ставка,

r(m ) -сложная процентная ставка с начислением процентов m раз за период,

d(m) -сложная учетная ставка с начислением процентов m раз за период,

n - продолжительность финансовой операции в годах

Типовые задачи с решениями

Задача 1. Какие условия предоставления кредита и почему более выгодны банку: 1) 28% годовых с ежеквартальным начислением процентов; 2) 30% годовых с полугодовым начислением процентов?

Решение

Рассчитаем эффективную годовую процентную ставку для каждого варианта.

1) По формуле (5.1) при r=0,28; m=4

r_e = (1 + 0.28/4)⁴ - 1 =0,3107= 31,1%

2) По формуле (5.1) при r=0,32; 2=4

r_e = (1 + 0.3/2)² - 1 =0,3225= 32,25%

Для банка выгоднее предоставлять кредит по варианту 2), так как в этом случае эффективная годовая ставка выше (предоставлять кредит под 32,25% годовых выгоднее, чем под 31,1%).

Задача 2. Cрок уплаты по долговому обязательству - полгода, простая учетная ставка - 18% годовых . Какова доходность этой операции, измеренная в виде простой ставки ссудного процента?

Решение

По формуле (5.7) при d=0,18; n=0,5

r = 0,18 / (1-0,50,18) =0, 198.

Доходность операции, выраженная в виде простой ставки ссудного процента, равна 19,8% годовых.

Задача 3. Определить, под какую ставку ссудных процентов выгоднее поместить капитал в 10 млн. руб. на пять лет - под простую ставку 14% годовых или под сложную ставку 12% при ежеквартальном начислении процентов?

Решение.

В данном случае можно не считать наращенную сумму, поэтому не важна величина первоначального капитала. Достаточно, например, найти простую процентную ставку, эквивалентную данной сложной ставке, воспользовавшись формулой эквивалентности по формуле (5.11) при r(m)=0,12; n=5; m=4:

=0,1612

Так как простая процентная ставка 16,12% , которая дала бы одинаковый результат с данной сложной процентной ставкой больше предложенной ставки в 14%, ясно, что предпочтительнее использовать сложную процентную ставку. Чтобы убедиться, насколько сложная ставка выгоднее, определим наращенные суммы:

F (14%) = 17

F (16,12%) = 22,04

Владелец капитала в 10 млн. руб. за 5 лет может накопить 17 млн. руб. с использованием простой ставки 14% годовых; с использованием сложной ставки 12% годовых при ежеквартальном начислении процентов можно накопить 22,04 млн. руб.

Задача 4. На капитал в сумме 500 тыс. руб. ежегодно начисляются сложный проценты по ставке 8% годовых в течение 5 лет. Определить эквивалентную ставку непрерывного начисления процентов (силу роста).

Решение.

По формуле (5.2) при r=0,08; m=1

0,077

Таким образом, ежегодное начисление процентов по ставке 8% эквивалентно непрерывному начислению процентов по ставке 7,7 %.

Задача 5. Определить номинальную ставку, если эффективная ставка равна 9 % и сложные проценты начисляются ежемесячно.

Решение.

По формуле (5.4) при r(e) =0,09; m=12

r = 12 [(1 + 0,09)^1/12 - 1 ] = 0,086

Таким образом, ежегодное начисление сложных процентов по ставке 9% годовых дает тот же результат, что и ежемесячное начисление сложных процентов по ставке 8,6 %.

6. Замена и консолидация платежей

На практике часто возникают ситуации, когда участники сделки вынуждены изменять условия ранее заключенного финансового соглашения. В результате изменений условий контракта ни один из его участников не должен терпеть убытков, поэтому в таких ситуациях также составляется уравнение эквивалентности.

Согласно уравнению эквивалентности сумма нового и старого платежей приводится к одному моменту времени. Для краткосрочных контрактов процесс приведения осуществляется, как правило, на основе простых ставок. При использовании сложных ставок время приведения контрактов не имеет значения.

При консолидации платежей возникают две задачи: 1) определение величины консолидированного платежа при известном сроке, когда этот платеж должен быть сделан; 2) определение срока известного консолидированного платежа.

Обе задачи решаются с использованием уравнения эквивалентности контрактов. Два контракта считаются эквивалентными, если потоки платежей по этим контрактам, приведенные к одному моменту времени, одинаковы.

При замене или объединении платежей используется принцип эквивалентности: ни одна из сторон финансовой сделки не должна казаться в убытке или получить дополнительную прибыль.

Цель проведения занятия - научиться проводить расчеты по замене ставок и условий финансовых контрактов, используя формулы финансовых вычислений и электронные таблицы EXCEL.

Основные формулы

Рассмотрим ситуацию, когда платеж Р₁ со сроком уплаты n ₁ заменяется на платеж Р₀ со сроком уплаты n ₀

Простые ссудные ставки

Формула для нахождения величины нового платежа при использовании простой ссудной ставки:

Формула для нахождения срока нового платежа, если

Формула для нахождения срока нового платежа, если

Формула для определения величины консолидированного платежа при использовании простой ссудной ставки

Формула для определения срока консолидированного платежа при использовании простых ссудных ставок

Сложные ссудные ставки

Формула для нахождения величины нового платежа при использовании сложной ссудной ставки:

Формула для нахождения срока нового платежа

Формула для определения величины консолидированного платежа

Формула для определения срока консолидированного платежа

Типовые задачи с решениями

Задача 1. Согласно новому финансовому соглашению платеж в 100000 руб. со сроком уплаты через 1 год заменяется платежом со сроками уплаты 1) через полгода;

2) через два года. Определить величину нового платежа, если используется простая ставка 20 % годовых.

Решение

1) Так как срок нового платежа меньше года, то его величина -- это дисконтированная стоимость 100000 руб., срок дисконтирования -- 0,5 года, поэтому величина нового платежа равна:

100 000 / (1 + 0,5 ·0,2) = 90 909 руб.

2) Так как срок нового платежа больше года, то его величина -- это будущая стоимость 100000 руб., наращение происходит один год по ставке 20 % годовых, поэтому величина нового платежа равна:

100 000 · (1+1·0,2)= 120 000 руб.

Задача 2. Найти величину нового срока, если платеж в 100000 руб. с уплатой через 250 дней заменяется платежом в 95000 руб. Используется простая ставка 10 % годовых.

Решение

Так как сумма нового платежа меньше 100000 руб., поэтому новый срок должен быть также меньше 250 дней.

Графически это можно показать следующим образом:

Рис. 1

Будем приводить потоки платежей по новому и старому контракту к моменту времени 250 дней.

Тогда на сумму в 95 000 руб. должны начисляться простые проценты по ставке 10 % в течение (250 - х) дней и наращенная сумма должна равняться 100 000 руб. Составляем уравнение эквивалентности

95000 (1 +0,1 (250 - х) / 360)) = 100000,

х = 60,5 дней.

Проверим этот результат. Получив через 60,5 дней 95000 руб. и вложив их в банк на срок (250 - 60,5) дней, получим

95000 (1+0,1 (250 - 60,5) /360) = 100000 руб.

Заметим, что платеж в 100000 руб. нельзя заменить любым меньшим по величине платежом. Величина нового платежа не может быть меньше, чем сумма 100000 руб., приведенная к начальному моменту времени, т. е. меньше, чем 100000 / (1+ 0,1 250/360) = 93500 руб.

Задача 3. Два векселя номинальной стоимостью 20000 руб. и 30000 руб. и сроком погашения 1 июня и 1 сентября заменяются одним с продлением срока погашения до 1 октября. При объединении используется простая учетная ставка 10 % годовых. Определить номинальную стоимость нового векселя.

Решение

Поскольку срок погашения нового векселя позже, чем сроки погашения объединяемых векселей, то на сумму 20000 руб. в течение 122 дней (с 1 июня по 1 октября) происходит наращение капитала по простой учетной ставке 10 %; на сумму 30000 руб. в течение 30 дней (с 1 сентября по 1 октября) также происходит наращение капитала по простой учетной ставке 10 % годовых. Поэтому номинальная стоимость нового векселя равна:

Задача 4. Платежи в 6000, 4000 и 10000 руб. должны быть погашены соответственно через 90, 165 и 270 дней. Кредитор и должник согласились заменить три платежа одним через 120 дней. Найти величину консолидированного платежа, если используется простая процентная ставка 38% годовых и в расчет принимаются обыкновенные проценты.

Решение

Приведем все платежи к моменту погашения консолидированного платежа, т.е. к 120 дням. Тогда на платеж в 6000 руб., срок погашения которого меньше 120 дней, будут начисляться простые проценты за период в 120-90=30 дней, платеж в 4000 руб. необходимо дисконтировать на срок в 165-120=45 руб., платеж в 10000 руб. необходимо дисконтировать на срок 270-120=150 дней.

Складывая суммы приведенных платежей, получим уравнение для определения величины консолидированного платежа:

поэтому Х=18642 руб.

Если бы за дату приведения выбрали время выплаты платежа в 6000 руб., то получили бы следующее уравнение:

,

откуда Х=18683 руб.

Приводя все платежи к начальному моменту времени, получим уравнение:

,

откуда Х=18780 руб.

Поэтому при выборе финансового соглашения в случае использования простых процентов необходимо оговорить дату, на которую будет осуществляться приведение всех сумм.

Задача 5. Согласно контракту предприниматель должен выплатить кредитору 100000 руб. через год, 200000 руб. через два года и 400000 руб. через 3 года. Предприниматель планирует выплатить через 2 года 300000 руб., оставшуюся сумму долга вернуть через 4 года. Какую сумму предприниматель должен будет выплатить через 4 года, если в расчетах используется сложная ставка 20% годовых?

Решение.

Изобразим схему выплат на графике. Под осью отметим платежи по старому соглашению, над осью - по новому контракту.



Рис. 2

Величину неизвестного платежа находим из условия эквивалентности контрактов. Приведенные стоимости платежей по старому контракту необходимо приравнять к приведенным стоимостям потоков платежей по новому контракту и из полученного уравнения определить неизвестную величину нового платежа.

Х= 508800 руб.

В случае сложных ставок результат не зависит от момента времени, для которого составляется уравнение эквивалентности контрактов. Действительно, если все платежи приводить к моменту окончания года 4, уравнение примет вид:

Разделив это обе части уравнения на , получим первоначально составленное уравнение.

7. Начисление процентов в условиях инфляции

Для оценки наращенной суммы с учетом ее обесценения полученную величину делят на индекс инфляции за время осуществления наращения. Если множитель наращения равен индексу инфляции, то соответствующее наращение лишь нейтрализует действие инфляции.

При инфляции выделяют следующие виды процентных ставок: номинальную, реальную, положительную. Иногда ставку с поправкой на инфляцию называют брутто-ставкой.

Для обеспечения реального роста стоимости первоначального капитала при инфляции необходимо исходную ставку увеличивать (индексировать). Выбор величины такой индексированной ставки определяется поставленными целями. Для обеспечения реальной доходности согласно исходному коэффициенту наращения необходимо так индексировать исходную ставку (увеличить на инфляционную премию), чтобы новый коэффициент наращения полностью компенсировал потери из-за инфляции.

Формула Фишера определяет значение сложной годовой процентной ставки, обеспечивающей при известном годовом темпе инфляции реальную эффективность кредитной операции. Эта формула по существу показывает ту величину, называемую инфляционной премией, которую необходимо прибавить к исходной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь. При малом темпе инфляции и невысокой процентной ставке (эта ситуация типична для стран с развитой рыночной экономикой) пользуются и приближенным вариантом формулы Фишера.

Цель проведения занятия - научиться рассчитывать доходность финансовых операций в условиях инфляции, используя формулы финансовых вычислений.

Основные формулы раздела

Индекс инфляции

(7.1)

(7.2)

где , -- целое число лет, -- оставшаяся нецелая часть года

Введем следующие обозначения для брутто-ставок:

r _б --простая ссудная ;

d _б--простая учетная

r _сб--сложная ссудная

d _сб--сложная учетная

Вычисление брутто-ставки процентов в условиях инфляции

(7.3)

(7.4)

(7.5)

(7.6)

Формулы для вычисления реальной доходности финансовой операции, когда задан уровень инфляции и брутто ставка

(7.7)

(7.8)

Типовые задачи с решениями

Задача 1. На вклад начисляются сложные проценты: 1) ежегодно; 2) ежеквартально; 3) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если ежемесячный темп инфляции составляет 3%?

Решение

1) Обозначим через ежемесячный (т.е. за 1/12 года) индекс инфляции, тогда и при к=12 находим индекс инфляции за год:

Пусть г - процентная ставка при ежегодном начислении сложных процентов, тогда значение ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, находится из равенства (т.е. множитель наращения за год приравнивается к годовому индексу инфляции). Таким образом:

Реальное наращение капитала будет происходить только при процентной ставке, превышающей 42,58% годовых.

2) При ежеквартальном начислении сложных процентов для определения номинальной ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, пользуемся равенством :

, поэтому:

Реальное наращение капитала будет происходить при ежеквартальном начислении процентов по ставке не меньше, чем 37,09% годовых.

3) В случае ежемесячного начисления процентов пользуемся равенством

, откуда:

Реальное наращение капитала будет происходить при ежемесячном начислении сложных процентов по ставке, не меньше, чем 36% годовых. В этом случае ответ можно было дать сразу, поскольку для осуществления реального наращения капитала его относительный рост за месяц должен превышать темп инфляции за это же время. Следовательно, , поэтому

Задача 2. Номинальная процентная ставка, компенсирующая действие инфляции, равна 52% годовых. Определите полугодовую инфляцию, если начисление сложных процентов осуществляется каждый квартал.

Решение

Приравняем годовой индекс инфляции к множителю наращения за год. Полагая , получим :

Поэтому индекс инфляции за полгода (0,5 года) составит :

Темп инфляции б находим из условия .

Темп инфляции за полгода равен 27,69%.

Задача 3. На вклад в течение трех лет будут начисляться непрерывные проценты. По прогнозам инфляция за это время за каждый год последовательно составит 15, 20 и 10 процентов. Какова должна быть сила роста за год, чтобы покупательная способность вклада не уменьшилась?

Решение

Поскольку индекс инфляции за первый год равен 1,15, за второй - 1,2 и за третий - 1,1, то индекс инфляции за 3 года составит:

1,151,121,1=1,518

Пусть - сила роста за год, позволяющая первоначальной сумме только сохранить свою покупательную способность. Приравнивая индекс инфляции за три года к множителю наращения за это же время, получим : , поэтому

Сила роста должна превышать 13,91% за год.

Задача 4. На вклад в течение 15 месяцев начисляются проценты: 1) по схеме сложных процентов; 2) по смешанной схеме. Какова должна быть процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если каждый квартал цены увеличиваются на 8%?

Решение

1) Так как темп инфляции за каждый квартал равен 8%, то индекс инфляции за каждый квартал (0,25 года) равен 1,08. Поэтому индекс инфляции за 15 месяцев (1,25 года, или 5 кварталов) составит:

Обозначим через r искомую годовую процентную ставку и приравняем этот индекс инфляции к множителю наращения при использовании схемы сложных процентов:

(1+r)^1,25 =1,4693.

Отсюда:

Ставка должна превышать 36,05% годовых.

При рассмотрении этого случая можно было рассуждать и таким образом. При инфляции 8% за каждый квартал годовой темп инфляции составит 1,08⁴-1=0,3605=36,05%. Реальное же наращение капитала будет происходить, если годовая процентная ставка превышает годовой темп инфляции, т.е. г > 36,05%.

2) Пусть теперь применяется смешанная схема. Приравнивая индекс инфляции за 1,25 года к множителю наращения, получим квадратное уравнение относительно r :

(1+r).(1+0,25r)= 1,4693

Решая уравнение, определяем корни: r = -5,3508, r =0,3508.

Очевидно, что по смыслу первый корень не подходит. Следовательно, при использовании смешанной схемы ставка должна превышать 35,08% годовых. «Граничное» значение ставки в этом случае получили почти на 1% меньше, чем в предыдущем, что объясняется большей эффективностью смешанной схемы начисления по сравнению со схемой сложных процентов.

Обратим внимание, что для ответа на вопрос в данном случае необходимо фактически решить неравенство:

(1+r)(1+0,25r)>1,4693

Задача 5. На вклад 280 тыс. руб. ежеквартально начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 10%. Оцените сумму вклада через 21 месяц с точки зрения покупательной способности, если ожидаемый темп инфляции - 0,5 % в месяц.

Решение

При наращении сложными процентами при ежеквартальном начислении процентов сумма вклада составит :

Индекс инфляции за 1,75 года при темпе инфляции 2% в месяц составит

Величина вклада с точки зрения ее покупательной способности равна

Вычитая из этой величины первоначальную сумму вклада, найдем реальный доход владельца вклада:

Задача 6. Кредит на сумму 120 тыс.руб. выдается сроком на 3 года при условии начисления сложных ссудных процентов. Индекс цен за указанный период равен 2,5. Какова должна быть процентная ставка по кредиту, чтобы реальная доходность кредитной операции составляла 10% годовых? Рассчитайте сумму к погашению с учетом инфляции.

Решение

По формуле (7.5) при m=1; r=0,1;I=2,5;n=3

=0,4923

Поэтому ставка 49,23% при ежегодном начислении сложных процентов и индексе цен 2,5 обеспечит реальную доходность кредитора 10% годовых.

Сумму к погашению с учетом инфляции находим по формуле (3.1) (Занятие 3) при n=3; r=0,4923;P=121

F=120(1+0,4923)³ =399,3

Сумма к погашению с учетом инфляции равна 399300 руб.

8. Налоги и начисление процентов

Налогообложение играет большую роль в экономике любой страны. Во многих странах налогом облагают проценты, полученные при помещении некоторой суммы на депозит, что уменьшает реальную наращенную сумму и реальную доходность финансовой операции.

Налоги, начисляемые на полученные проценты, уменьшают реальную доходность финансовой операции. Учет налога при определении наращенной суммы приводит к уменьшению ставки.

Введем обозначения:

t- ставка налога на проценты

T - общая сумма налога

F- наращенная сумма до выплаты налога на проценты

F_t - наращенная сумма после выплаты налога на проценты

P - вложенная сумма

n - продолжительность финансовой операции

Пусть r - простые ссудные проценты, тогда величина процентов, начисленных за период n, равна Pnr.

Сумма налога на начисленные проценты равна

Т=Pnrt(8.1)

Наращенная сумма после выплаты налога на проценты равна

F_t = P[(1+r(1-t)n](8.2)

Таким образом, налог на проценты уменьшает процентную ставку и вместо ставки r применяется ставка (1-t)r.

Пусть на сумму Р за период времени n начислялись простые учетные проценты по учетной ставке d. Величина начисленных процентов равна Pnd/(1-nd).

Сумма налога на начисленные проценты составит

T=Pndt/(1-nd)(8.3)

Наращенная сумма после выплаты налога на проценты равна

F_t = F-T=P(1-ndt)/(1-nd)(8.4)

Пусть r - сложные ссудные проценты, тогда величина процентов, начисленных за период n, равна P[(1+r)ⁿ -1]

Сумма налога на начисленные проценты равна

Т=P[(1+r)ⁿ -1]t(8.5)

Наращенная сумма после выплаты налога на проценты равна

F_t =P[(1+r)ⁿ (1-t)+t] (8.6)

В случае сложных процентов налог на начисленные проценты можно выплачивать как в конце финансовой операции, так и каждый год. При этом общая сумма исчисленного налога не изменяется.

Пусть на сумму Р за период времени n начислялись сложные учетные проценты по учетной ставке d. Величина начисленных процентов равна

Сумма налога на начисленные проценты равна

(8.7)

Наращенная сумма после выплаты налога на проценты равна

(8.8)

Пусть на сумму Р за период времени n начислялись непрерывные проценты по ставке д.

Сумма налога на начисленные проценты равна

T=P(e^д -1)t(8.9)

F_t =P[e^д (1-t)+t](8.10)

Цель проведения занятия - научиться рассчитывать влияние налогов на доходность финансовых операции, используя формулы финансовых вычислений.

Типовые задачи с решениями

Задача 1. На депозит поместили 300 тыс. руб. на полтора года. Банк начисляет простые учетные проценты по ставке под 14% годовых. Определить наращенную сумму с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты составляет 12% годовых.

Решение

Используем формулу (8.4) при P=300; n=1,5; t=0,12; d=0,14

F_t =300(1-1,5•0,14•0,12)/ (1-1,5•0,14)= 370,018

Наращенная сумма с учетом налога на проценты составит 370018 руб.

Задача 2. На депозит поместили 300 тыс. руб. на полтора года. Банк начисляет простые проценты по ставке под 16% годовых. Определить наращенную сумму с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты составляет 12% годовых.

Решение

Используем формулу (8.2) при P=300; n=1,5; t=0,12; r=0,16

F_t =300[1+•0,16 (1-•0,12)1,5]= 360,336

Наращенная сумма с учетом налога на проценты составит 360336 руб.

Задача 3. На вклад в 2 млн. руб. в течение 4 лет каждые полгода начислялись сложные проценты по годовой номинальной ставке 12% годовых. Определить наращенную сумму после уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты составляет 8% годовых.

Решение Запишем формулу (8.6) с учетом полугодового начисления процентов:

F_t =P[(1+r/m)^nm (1-t)+t]

при P=2; r=0,12; n=4; m=2; t=0,08

F_t = 3,09268

Наращенная сумма с учетом налога на проценты составит 3092 680 руб.

Задача 4. Для участия в некотором проекте предпринимателю необходимо 280 тыс. руб. Между тем он располагает суммой 250 тыс. руб. С целью накопления необходимой суммы предприниматель собирается положить 250 тыс. руб. в банк. Предлагаемая банком ставка по вкладам равна 14% годовых. Какое количество дней необходимо для накопления требуемой суммы с учетом уплаты налога на проценты, если банк начисляет простые проценты, использует точный процент с точным числом дней, а ставка налога на проценты равна 1%?

Решение

Обозначим через Х необходимое число дней, тогда формула (8.2) запишется в виде:

F_t = P[(1+r(1-t)Х/ 365]

При F_t =280; Р=250; r=0,14; t=0,01

280=250•[1+0,014•(1-0,01)X / 365]

Решая полученное уравнение относительно Х, получаем:

Х=316,017

Для накопления требуемой суммы необходимо 317 дней.

Задача 5. Клиент положил в банк 60 тыс. рублей под простую процентную ставку 10% годовых и через полгода с учетом налога на проценты получил 62,8 тыс. руб. Определить ставку налога на проценты.

Решение

Из формулы (8.2) выразим ставку налога на проценты

При F_t =62,8; Р=60; r=0,1; n=0,5

t=0,067

Ставка налога на проценты равна 6,7%.

9. Финансовые ренты

Одним из ключевых понятий в финансовом менеджменте является понятие денежного потока как совокупности притоков и/или оттоков денежных средств, имеющих место через некоторые временные интервалы.

Денежный поток, срок действия которого ограничен, называется срочным; если притоки (оттоки) осуществляются неопределенно долго, денежный поток называется бессрочным. Если притоки (оттоки) осуществляются в начале периодов, денежный поток носит название пренумерандо, если в конце периодов - постнумерандо.

Известны две задачи оценки денежного потока с учетом фактора времени: прямая и обратная. Первая задача позволяет оценить будущую стоимость денежного потока; для понимания экономической сущности этой задачи ее легче всего увязывать с процессом накопления денег в банке и оценкой величины наращенной суммы. Вторая задача позволяет оценить приведенную стоимость денежного потока; наиболее наглядная ситуация в этом случае - оценка текущей стоимости ценной бумаги, владение которой дает возможность в будущем получать некоторые платежи.

Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока. Аннуитет - однонаправленный денежный поток, элементы которого имеют место через равные временные интервалы. Постоянный аннуитет имеет дополнительное ограничение, его элементы одинаковы по величине.

Ускоренные методы оценки денежных потоков основаны на применении мультиплицирующих и дисконтирующих множителей, которые табулированы в специальных финансовых таблицах. Таблицы инвариантны по отношению к виду потока - постнумерандо или пренумерандо; оценки для потока пренумерандо отличаются от соответствующих оценок для потока постнумерандо на величину множителя (1+r), где r - ставка в долях единицы.

В финансовой математике разработаны универсальные формулы, позволяющие делать расчеты несовпадениях моментов поступления аннуитетных платежей и начисления процентов.

Цель проведения занятия - научиться решать прямую и обратную задачи оценки аннуитета, используя формулы финансовых вычислений.

Основные формулы

(9.1)

 (9.2)

(9.3)

(9.4)

(9.5)

(9.6)

Типовые задачи с решениями

Задача 1. Анализируются 2 варианта накопления средств по схеме аннуитета пренумерандо, т.е. поступление денежных средств осуществляется в начале соответствующего временного интервала:

План 1: Вносить на депозит 5000 долл. каждые полгода при условии, что банк начисляет 10% годовых с полугодовым начислением процентов: