План 2: делать ежегодный вклад в размере 10000 долл. на условиях 9% годовых при ежегодном начислении процентов.

Ответьте на следующие вопросы:

Какая сумма будет на счёте через 10 лет при реализации каждого плана? Какой план более предпочтителен?

Изменится ли ваш выбор, если процентная ставка в плане 2 будет повышена до 10%?

Решение

План 1:

Принимая за базовый период полгода, воспользуемся формулой (9.1 ) при А=5000; r=5%; n=20:

FV₁=0,5FM3(5%,20)=500033, 066= 165330

План 2:

Принимая за базовый период год, воспользуемся формулой (9.1 ) при А=10000; r=9%; n=10:

FV₂=10000FM3(9%,10)=1000015, 193=151930

В данной задаче более предпочтительным является план 1, так как в этом случае будущая стоимость денежного потока выше. Если процентная ставка в плане 2 будет снижена до 8%, то будущая стоимость денежного потока будет равна:

FV₂=10000FM3(10%,10)=1000015, 937=159370

то и в этом случае решение не изменится, то есть выгоднее план 1.

Задача 2. Предприниматель в результате инвестирования в некоторый проект будет получать в конце каждого квартала 8 тыс. долл. Определить возможные суммы, которые через три года получит предприниматель, если можно поместить деньги в банк под сложную процентную ставку 24% годовых с ежеквартальным начислением процентов.

Решение

Используем формулу (9.2), считая базовым периодом квартал, тогда А=8; n=12; r=6% :

FV=8FM3(6%,12)=816,8699=134959

Через три года в банке на счете предпринимателя будет 134 959 000 долл.

Задача 3. Какую сумму необходимо поместить в банк под сложную процентную ставку 6% годовых, чтобы в течение 6 лет иметь возможность в конце каждого года снимать со счета 100 тыс. руб., исчерпав счет полностью, если банком ежегодно начисляются сложные проценты?

Решение

Для ответа на поставленный вопрос необходимо определить приведенную стоимость аннуитета постнумерандо. По формуле (9.2) при А =100; r=6%; n=6:

PV=100FM4(6%,6)=1004,917=491,7

В банк на счет необходимо положить 491700 руб.

Задача 4. Клиент в конце каждого года вкладывает 300 тыс. руб. в банк, ежегодно начисляющий сложные проценты по ставке 10% годовых. Определить сумму, которая будет на счете через 7 лет. Если эта сумма получается в результате однократного помещения денег в банк, то какой величины должен быть взнос?

Решение

По формуле (9.1) при A=300; r=10%; n=7:

FV=300FM3(10%,7)=3009,487=2846,1.

Через 7 лет на счете накопится 2846100 руб.

Величину однократного взноса в начале первого года находим по формуле (3.2, Занятие Сложные ссудные ставки) при F=2846,1; r=10%; n=7:

P=2846,1FM2(10%,7)=2846,1•0.51 =1450,44

Взнос равен 1450440 руб.

Задача 5. Фирме предложено инвестировать 200 млн. руб. на срок 4 года при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 50 млн. руб.); по истечении четырех лет будет выплачено дополнительное вознаграждение в размере 25 млн. руб. Примет ли она это предложение, если можно депонировать деньги в банк из расчета 8% годовых?

Решение

По формуле (3.1) (Занятие Сложные ссудные ставки) при Р=200000; r=0,08; n=4 определим сумму, которая накопится на счете, если положить деньги в банк:

F1=200 •(1+0,08)⁴⁼ 272,098

По формуле (9.1) при А=50000; r=8%; n=4 определим будущую стоимость аннуитета постнумерандо:

FV = 50•FM3(8%,4)=50•4,5061= 225,305

С учетом дополнительного вознаграждения в 25 млн. руб., при условии инвестирования 200 млн., на конец четвертого года на счете фирмы будет сумма, равная

F2=225,305+25=250,305

F1>F2, поэтому фирме выгодно положить деньги в банк и не принимать данное предложение.

10. Определение параметров ренты

Постоянный аннуитет (финансовая рента) описывается набором основных параметров - платеж аннуитета, процентная ставка, срок действия аннуитета. Зная эти параметры, можно решать прямую и обратную задачи оценки аннуитета - определить его будущую и приведенную стоимость. При разработке финансовых контрактов и условий финансовых операций могут возникнуть случаи, когда задаются будущая или приведенная стоимость ренты, и необходимо рассчитать значения ее параметров.

Цель проведения занятия - научиться определять параметры аннуитетов, используя формулы финансовых вычислений.

Основные формулы

(10.1)

(10.2)

(10.3)

(10.4)

(10.5)

(10.6)

Типовые задачи с решениями

Задача 1.Работник заключает с фирмой контракт, согласно которому в случае его постоянной работы на фирме до выхода на пенсию (в 60 лет) фирма обязуется в начале каждого года перечислять на счет работника в банке одинаковые суммы, которые обеспечат работнику после выхода на пенсию в конце каждого года дополнительные выплаты в размере 30 00 руб. в течение 10 лет. Какую сумму ежегодно должна перечислять фирма, если работнику 40 лет и предполагается, что банк гарантирует годовую процентную ставку 10% ?

Решение

Выплаты работнику после выхода на пенсию представляют собой аннуитет постнумерандо.

По формуле (10.2) при A=30 000; r=10%; n=10 найдем приведенную стоимость этого аннуитета :

PV=30000FM4(10%,10) =30 0006,145 = 184350

Таким образом, если иметь на счете в момент выхода на пенсию 184 350 руб. можно ежегодно снимать с него 30 000 руб. и через 10 лет исчерпать счет полностью.

Теперь необходимо выяснить, какую сумму фирма должна в начале года перечислять на счет работника, чтобы за 20 лет ( 60 - 40 = 20) накопить 184350 руб.

Размер вклада можно найти из формулы (11.1), полагая FV_pre=184350:

A=184350 / [FM3(10%,20) (1+ r)] =184350/(57,2741,1)= 2926,125

Таким образом, фирме достаточно перечислять на счет работника 2916 руб.13 коп.

Задача 2. Иванов должен Петрову 200 тыс. руб. Он предлагает вернуть долг равными ежегодными платежами в 50 тыс. руб. Через какое время долг будет погашен, если на него ежегодно начисляются сложные проценты по ставке 12% годовых?

Решение

По формуле (11.4) при А=50; r=0,12; PV_pst=200

n=5,77

Долг будет погашен через 5,77 года

Задача 3.Господин Х выплатил жене при разводе 1 млн. руб. Жена после развода планирует получать ежегодно одинаковые суммы в течение 20 лет. Какую сумму она будет получать, при условии, что процентная ставка по вкладам в банк равна 10% годовых?

Решение

1 млн. руб. - это приведенная стоимость срочной ренты постнумерандо, срок ренты- 20 лет, выплаты по ренте - ежемесячные. Величину неизвестного платежа находим из формулы (11.2) при PV =1000000 ; n=20; r=0,1

A=1000000/FM4(10%,20)

A=1000000/ 8,5136= 117 459,1

Ежегодно жена будет получать 117 459 руб.10 коп.

Задача 4.Некоторая фирма хочет создать фонд в размере 3500 тыс. руб. С этой целью в конце каждого года фирма предполагает вносить по 600 тыс. руб. в банк под 8% годовых. Найти срок, необходимый для создания фонда, если банк начисляет сложные проценты ежегодно.

Решение

По формуле (10.3) при FV=3500; A=600; r=0,08:

n=4,976443

Для создания фонда потребуется 5 лет.

11. Конверсия и замена рент

На практике часто сталкиваются со случаями, когда на этапе разработки условий контракта или в ходе его выполнения необходимо изменить условия выплаты ренты. Простейшими случаями конверсии являются: замена ренты разовым платежом (выкуп ренты); или наоборот: замена разового платежа рентой (рассрочка платежей). К более сложному случаю относится объединение нескольких рент в одну - консолидация рент.

Цель проведения занятия - научиться рассчитывать характеристики заменяющих рент, используя формулы финансовых вычислений.

Основные формулы

Выкуп ренты. Этот вид конверсии сводится к замене ренты единовременным платежом, поэтому для вычисления размера разового платежа выбирается формула для нахождения приведенной стоимости аннуитета постнумерандо или пренумерандо:

(11.1)

(11.2)

Рассрочка платежей. Рассрочка платежей - обратная задача к задаче выкупа ренты. Обязательство по уплате некоторой суммы заменяется равными платежами в рассрочку. Для решения задачи приравнивают современную стоимость ренты, с помощью которой проводится рассрочка, к сумме долга. Задача может заключаться в определении параметров этой ренты - члена ренты или ее срока, при условии, что остальные параметры заданы. Подобные задачи рассматриваются в лабораторной работе № 12.

Объединение (консолидация) рент. Объединение рент заключается в замене нескольких рент с заданными параметрами новой рентой, параметры которой необходимо определить. В этом случае из принципа финансовой эквивалентности следует равенство современных стоимостей заменяющих и заменяемых (консолидированных) рент, что соответствует равенству:

(11.3)

где PV- современная стоимость заменяющей ренты;

PV_i - современная стоимость i-той заменяемой ренты.

Замена немедленной ренты на отсроченную. Пусть имеется немедленная рента с параметрами A, n, r. Необходимо отсрочить выплаты на t лет. В этом случае из принципа финансовой эквивалентности равенство приведенных стоимостей запишется следующим образом:

(11.4)

где PV₁ - современная стоимость немедленной ренты;

PV₂ - современная стоимость отложенной ренты.

Пусть срок отложенной ренты не изменяется, тогда неизвестный платеж отложенной ренты находится из уравнения:

(11.5)

Где А₁ - платеж исходной ренты

А ₂ - неизвестный платеж отложенной ренты

t - время отложения ренты

Пусть платеж отсроченной ренты не изменяется, тогда новый срок отложенной ренты находится из уравнения:

(11.6)

где n₂ - неизвестный срок отложенной ренты

n₁ - срок исходной ренты

t - время отложения ренты

в общем случае, когда из равенства следует:

(11.7)

Типовые задачи с решениями

Задача 1. Пусть немедленная рента постнумерандо с условиями А=2 млн. руб. и сроком 8 лет откладывается на 2 года без изменения срока ренты. Сложная процентная ставка составляет 20% годовых. Необходимо найти платеж отложенной ренты.

Решение

По формуле (11.4) при А₁ =2; t=2; r=0,2

А ₂=2•(1+0,2)²

А ₂ =2,88

Отказ от немедленной выплаты ренты приводит к увеличению платежа до 2,88 млн.руб.

Задача 2. Рента с ежегодными платежами в 2 млн. руб. и сроком 5 лет откладывается на три года без изменения сумм выплат. Найти новый срок ренты при условии, что на поступающие платежи ежегодно начисляются сложные проценты по ставке 8% годовых.

Решение

В соответствии с (11.5) при n₁ =5; t=3; r=0,08; A=2

Отказ от немедленной выплаты ренты увеличивает ее срок до 6,689 года, т.е. на 1,689 года.

Пусть продолжительность новой ренты в целых годах равна 6. тогда приведенная стоимость новой ренты составит

Современная стоимость исходной ренты составит

Разность в сумме 0,6458 млн. руб. необходимо уплатить в начале действия контракта.

Задача 3. Пусть немедленная рента постнумерандо с условиями А=2 млн. руб. и сроком 8 лет откладывается на 2 года с изменением срока ренты до 11 лет. Сложная процентная ставка составляет 20% годовых. Необходимо найти платеж отложенной ренты.

Решение

По формуле (11.6) при А₁ =2; t=2; r=0,2; n₁=8; n₂=11

Платеж отложенной ренты равен 2,5539 млн.руб.

Задача 4. Банк предлагает ренту постнумерандо на 15 лет с полугодовой выплатой 100 тыс. руб. Годовая процентная ставка в течение всего периода остается постоянной, сложные проценты начисляются по полугодиям. По какой цене можно приобрести эту ренту, если выплаты будут осуществляться 1) через 3 года; 2) немедленно, а сложная процентная ставка равна 4% годовых?

Решение.

1) используем формулу (11.3), считая полугодие базовым периодом, при t=6

PV=100FM2(2%,6)FM4(2%,30)=1000,88822,3965=1988,809

Ренту можно приобрести за 1 988 809 руб.

2) используем формулу (11.3), считая полугодие базовым периодом при t=0

PV=100FM4(2%, 30)=10022,3965=2239,65

Ренту можно приобрести за 2239650 руб.

Задача 5. Три ренты постнумерандо - немедленные, годовые, заменяются одной отложенной на три года рентой постнумерандо. Согласно договоренности заменяющая рента имеет срок 10 лет, включая отсрочку. Характеристики заменяемых рент:

А₁ =100; А₂ =120; А₃ =300 (тыс. руб.); n₁=6; n₂=11; n₁=8 лет. Необходимо:

1) Определить платеж заменяющей ренты при использовании сложной ставки 20% годовых:

2) Определить срок заменяющей ренты при условии, что размер платежа равен 1500 тыс. руб.

Решение

Данные для определения приведенных стоимостей заменяемых рент занесем в таблицу:

Таблица 2

№ ренты	Платеж ренты	Срок ренты	FM4(r,n)	PV
1	100	6	3,32551	332,551
2	120	11	4,32706	519.472
3	300	8	3.83716	1151,148
Итого				2002,946

1) Платеж заменяющей ренты находим из уравнения:

Платеж заменяющей ренты равен 960189 руб.

Если бы заменяющая рента была бы немедленной, ее платеж находим из уравнения:

2) Определим современную стоимость заменяющей немедленной ренты:

PV=2002,946•(1+0,2)³ =3461,091

Неизвестный срок ренты находим из формулы (10.4) (Занятие № 10):

при А=1500; r=20%; PV=3461,091

Установим срок заменяющей ренты 4 года. При этом приведенная стоимость ренты равна

PV=1500•FM4(20%,4)=1500•2,5887=3883,05

Излишек в сумме 3883,05-3461,091=421,959 компенсируем в начале финансовой операции.

12. Практическое приложение финансовых вычислений

Рассмотрим практическое приложение финансовых вычислений на примере планирования погашения задолженности и ипотечных кредитов.

На практике часто применяются способы погашения долга равными платежами или равными выплатами долга через равные промежутки времени. Каждый из способов имеет свои преимущества. При равных платежах заемщик до конца договора выплачивает одни и те же суммы, включающие в себя проценты и погашающие части долга, которые не равны между собой. При равных выплатах долга платежи не одинаковы, но легко определяются остатки долга.

Цель проведения занятия -рассмотреть способы практических приложений финансовых вычислений, научиться выбирать оптимальную схему погашения задолженности и ипотечных кредитов, используя формулы финансовых вычислений и электронные таблицы EXCEL.

Типовые задачи с решениями

Пусть заем в сумме Р выдан под r простых ссудных процентов на n периодов. К концу финансовой операции величина займа составит величину

.

Если предполагается возвращать займ одним платежом в конце срока финансовой операции, то величина F и есть размер возвращаемого платежа.

Задача 1. Погашение займа одним платежом.

Ссуда в сумме 5 млн. руб. выдана на 5 лет под 10% годовых. Определить размер платежа, если ссуда возвращается одним платежом в конце срока финансовой операции и начисляются простые проценты.

Решение

Величину платежа находим по формуле

при Р=5; r = 0,1; n =5:

Размер платежа равен 7500 000 руб.

Пусть заем в сумме Р выдан под r сложных ссудных процентов на n периодов. К концу финансовой операции величина займа составит величину

.

Если предполагается возвращать займ одним платежом в конце срока финансовой операции, то величина F и есть размер возвращаемого платежа.

Задача 2. Погашение займа одним платежом.

Ссуда в сумме 5 млн. руб. выдана на 5 лет под 10% годовых. Определить размер платежа, если ссуда возвращается одним платежом в конце срока финансовой операции и начисляются сложные проценты.

Решение

Величину платежа находим по формуле

при Р=5; r = 0,1; n =5:

Размер платежа равен 8052 550 руб.

Сам заем называется основным долгом, а наращиваемый добавок -процентными деньгами. Пусть заем в сумме Р выдан под r сложных ссудных процентов на n периодов. За первый год процентные деньги составят величину rP. Если эти деньги выплатить, то останется только основной долг в размере Р. Таким же образом в конце каждого года (кроме последнего) выплачивается одна и та же величина rP. В конце n-ного, последнего года, выплаты составят величину rP+Р, процентные деньги и сумму основного долга.

Общая сумма выплат за n периодов составит величину Р+ rPn=P(1+nr), т.е. операция погашения займа способом погашения основного долга одним платежом в конце эквивалентна наращению долга по схеме простых процентов по ставке r.

Задача 3. Погашение основного долга одним платежом.

Ссуда в сумме 5 млн. руб. выдана на 5 лет под 10% годовых. Определить общую сумму выплат, если ссуда возвращается способом «погашение основного долга одним платежом в конце срока финансовой операции».

Решение

Величина процентных платежей за 8 лет составит rPn=0,155=2,5

Общая сумма выплат составит 2,5 млн.+ 5 млн. =7,5 млн.руб.

Пусть заем в сумме Р выдан под r сложных ссудных процентов на n периодов. При погашении основного долга равными годовыми выплатами в конце каждого года выплачивается n-ная доля основного долга и проценты, начисленные на сумму долга, которой пользовались в течение года.

В конце первого года выплачивается доля основного долга, равная величине P/n и выплачиваются проценты с суммы Р, которой пользовались в течение года, равные величине rP. Общий платеж в конце первого года равен величине P/n+ rP.

В конце второго года выплачивается доля основного долга, равная величине P/n и выплачиваются проценты с суммы (Р- P/n), которой пользовались в течение года, равные величине r (Р- P/n). Общий платеж в конце второго года равен величине P/n+ r (Р- P/n).

В общем случае в конце года k+1 общий платеж равен величине P/n+ r (Р- kP/n).

Платежи каждого года образуют арифметическую прогрессию с разностью

d=rP/n, первым членом a₁ =P/n+ rP и последним членом a_n =P/n+ rP/n.

Сумма n членов арифметической прогрессии равна

Величина выплат составит

Задача 4. Погашение основного долга равными годовыми выплатами

Ссуда в сумме 5 млн. руб. выдана на 5 лет под 10% годовых. Определить ежегодные выплаты и общую сумму выплат, если ссуда возвращается способом «погашение основного долга равными годовыми выплатами».

Решение

Найдем сумму арифметической прогрессии

при Р=5000; r=0,1; n=5:

5000+5000•0.1(1+5) / 2=6500

Сумма ежегодных выплат представлена в таблице.

Таблица 3

Год	1	2	3	4	5
Основной долг	1000	1000	1000	1000	1000
Проценты	500	400	300	200	100
Сумма к выплате	1500	1400	1300	1200	1100	6500

Пусть заем в сумме Р выдан под r сложных ссудных процентов на n периодов. При погашении займа равными годовыми выплатами ежегодные платежи можно рассматривать как годовую ренту (аннуитет) с продолжительностью n периодов и неизвестным платежом, равным А. Неизвестный платеж ренты можно найти, приравнивая современную стоимость этой ренты сумме займа.

Тогда платеж А находим из уравнения: , поэтому

Общая сумма выплат при этом составит величину nA

Задача 5. Погашение займа равными годовыми выплатами

Ссуда в сумме 5 млн. руб. выдана на 5 лет под 10% годовых. Определить общую сумму выплат, если ссуда возвращается способом «погашение займа равными годовыми выплатами».

Решение

Величину ежегодного платежа находим из уравнения при Р=5; r = 0,1; n =5; FM4(10%,5)=3,791

A=1318,913

Общая сумма выплат составит 51318,913= 6594566 руб.

Взятый заем может погашаться различными способами. Например, заемщик может создать специальный погасительный фонд и накапливать в нем средства, чтобы погасить заем одним платежом в конце срока финансовой операции. Очевидно, что это возможно только в том случае, если у заемщика есть возможность накапливать деньги в некотором фонде под более высокий процент.

Пусть заем в сумме Р выдан под r₁ сложных ссудных процентов на n периодов. Тогда к конце срока финансовой операции финансовой операции величина займа составит величину . Платежи в погасительный фонд составляют годовую ренту с ежегодным платежом, равным А и процентной ставкой r₂ > r₁, будущая стоимость этой ренты равна величине . Тогда величину ежегодного платежа в погасительный фонд находим из уравнения:

Задача 6. Создание погасительного фонда

Ссуда в сумме 5 млн. руб. выдана на 5 лет под 10% годовых. У заемщика есть возможность создать накопительный фонд в банке, начисляющим по вкладам 12% годовых. Найти величину ежегодного платежа в погасительный фонд.

Решение

Величину ежегодного платежа в погасительный фонд находим из формулы при P=5; r₁=0,1;r₂=0,12;n=5

A=1267550

Величина ежегодного платежа в погасительный фонд равна 1267550 руб.

Общие расходы по погашению займа составят (1267550 •5)= 6337749 руб.

Размещено на Allbest.ru