Валидация целесообразности использования более продвинутых моделей описания процентного риска на развивающихся рынках

Размещено на http://www.allbest.ru

СОДЕРЖАНИЕ

• Введение
• 1. Теоретические основы моделирования процентного риска на развивающихся рынках облигаций
• 1.1 Характеристика развивающихся рынков ценных бумаг
• 1.2 Обзор моделей процентного риска
• 2. Анализ валидационных инструментов моделей процентного риска
• 2.1 Определение VaR подходов к оценке процентного риска
• 2.1.1 Преимущества и недостатки использования VaR подхода
• 2.1.2 Методы оценки VaR
• 2.1.3 Модель RiskMetrics 1994
• 2.1.4 Модель RiskMetrics 2006
• 2.2 Методологические подходы к моделированию процентных ставок
• 2.2.1 Модель на основе многомерного GARCH-процесса
• 2.2.2 Модель Nelson-Siegel'а
• 2.2.3 Модель Vasicek'а
• 2.2.4 Модель Cox-Ingersoll-Ross'а
• 2.2.5 Модель Hull-White'а (однофакторная)
• 2.3 Формирование системной методологии с использованием обратного тестирования при валидации моделей
• 2.3.1 Базельские стандарты
• 2.3.2 Тест Kupiec'а
• 2.3.3 Интервальный прогнозный тест Christoffersen'а
• 2.3.4 Смешанный тест Kupiec'а
• 2.3.5 Тест Haas'а
• 2.3.6 Функция потерь Lopez'а
• 3. Формирование системы анализа моделей процентного риска
• 3.1 Обратное тестирование моделей процентного риска
• 3.1.1 Обратное тестирование на 99% уровне значимости
• 3.1.2 Обратное тестирование на 90% уровне значимости
• 3.2 Валидация моделей и разработка управленческих решений
• Список литературы
• Приложение 1. Таблица эмиссий корпоративных облигаций
• Приложение 2. Код VBA для обработки множественных файлов с временными рядами дневных котировок с сайта cbonds.ru
• Приложение 3. Общий код процедуры Matlab
• Приложение 4. Коды функций Matlab
• Приложение 5. Код функции обратного тестирования Matlab

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Работа посвящена тематике управления рисками в финансовых институтах. Расчет норматива достаточности капитала, на примере банков, является одной из наиболее сложных задач, реализация которой должна осуществляться с вовлечением подразделения по управлению рисками, наряду с управлением торговым и банковским портфелями, в рамках задач по оптимизации маржинальности. Общим для озвученных задач является их тесная зависимость от состава портфеля в смысле подверженности риску. В расчет взвешенного по риску капиталу банка заложены три основные единицы: КРП (величина кредитного риска, рассчитанного на основе ПВР [1]), РР (совокупная величина рыночного риска [2]) и ОР (совокупная величина операционных рисков [3]). В контексте данной работы будут изучены лишь требования к рыночному риску, а именно расчеты, связанные с процентным риском.

В параграфе 1.3 в [2], процентный риск определяется как величина рыночного риска по ценным бумагам и производным финансовым инструментам, чувствительным к изменениям процентных ставок, и срочным сделкам с ценными бумагами, чувствительными к изменению процентных ставок. В настоящей работе, все результаты выводятся из анализа динамики котировок по корпоративным облигациям.

Актуальность работы обусловлена потенциальной возможностью снизить издержки, несомые финансовыми институтами, в частности банками, в рамках подверженности процентному риску. Возможные необязательные издержки могут быть связаны с недооценкой/переоценкой процентного риска, либо с излишними используемыми вычислительными мощностями для его оценки. В работе проверяется гипотеза о том, что продвинутые модели не только обусловлены более высокими издержками, но и дают смещенные результаты в силу неэффективности рынка. Неэффективность рынка, при прочих равных, может означать «недостоверность» информации, содержащейся в наблюдаемых котировках. При условии не отвержения данной гипотезы, продвинутые модели без использования неопределенных способов фильтрации или преобразований данных, которые в модели изначально не заложены, будут давать смещенные результаты, в силу учета случайного блуждания, разброс которого в контексте развивающихся рынков может быть существенно выше.

В соответствии с изложенным, цель работы формулируется как валидация целесообразности использования более продвинутых моделей описания процентного риска на развивающихся рынках. Принципиальной мотивацией такой постановки цели исследования, является не столько потенциальное снижение издержек, сколько необходимость проверки несмещенности получаемых оценок.

В качестве объекта исследования используются дневные котировки корпоративных облигаций, представленные на развивающихся рынках.

Предметом исследования является анализ прогноза срочных процентных ставок, получаемых посредством рассмотрения различных способов их моделирования.

Для реализации поставленной цели, в контексте сформулированных объекта и предмета исследования, необходимо выполнить следующие задачи: рынок ценный бумага риск процентный

· Рассмотреть методологии калибровки параметров для разных моделей и реализовать соответствующие процедуры в среде Matlab;

· Построить прогноз по моделям в рамках подхода VaR;

· Реализовать обратное тестирование несколькими способами и сопоставить результаты;

· Проанализировать целесообразность использования более продвинутых методов моделирования процентных ставок на развивающихся рынках.

Структура работы включает в себя три основные главы, которые подразделены на разделы. Первая глава посвящена обоснованию мотивации объекта и цели исследования, а также введению в используемый инструментарий в качестве методологического ориентира при дальнейшем прочтении работы. В соответствующих разделах и параграфах первой главы приведены ссылки на источники, используемые при описании краеугольных теорий для данной работы.

Во второй главе приведено описание теоретической части используемых инструментов и моделей срочной структуры процентных ставок. Глава разделена на три соответствующих раздела. В первом разделе введено понятие инструмента VaR к оценке риска, а также обсуждены его преимущества и недостатки, подходы к расчету. Второй раздел содержит непосредственно теоретическую основу по моделированию процентных ставок. Описаны подходы к калибровке соответствующих моделей. В третьем разделе описаны подходы к обратному тестированию, используемые в качестве инструмента валидации результатов, а также рассматриваются слабые и сильные стороны разных подходов к обратному тестированию.

Третья глава является заключительной и в ней приведены практические результаты исследования. Данная глава также составлена из трех разделов. Во введении к главе приводится описание используемых данных и вводятся предпосылки для дальнейшего моделирования. Первый раздел посвящен описанию полученных результатов калибровки модели и валидирования результатов расчета VaR при помощи соответствующих инструментов обратного тестирования. Во втором разделе резюмированы полученные результаты и приведены основные выводы по применимости отдельных моделей процентного риска на развивающихся рынках. В заключение, приводятся замечания по возможной дальнейшей исследовательской деятельности в данной области.



1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕНТНОГО РИСКА НА РАЗВИВАЮЩИХСЯ РЫНКАХ ОБЛИГАЦИЙ

В широком смысле, рынки корпоративных облигаций могут быть разделены на первичные рынки, где наличные средства и капитал заимствуются эмитентами у покупателей облигаций, и вторичные рынки, где контракты на облигации торгуются между дилерами и инвесторами.

Мировой рынок корпоративных облигаций продолжает активный рост. Так, с начала 2011 года, например, с 2.4 триллионов долларов рынок достиг 3.5 триллионов долларов к 2014 году, что выше докризисного уровня. Примечательно, что в 2012 году рост практически отсутствовал [4]. В 2015 году наблюдалась корректировка объема рынка до 3.3 триллионов долларов. Данные тенденции отражены на Рис. 1.

Рис. 1. Объемы выпуска корпоративных облигаций в разрезе регионов

При этом, подавляющая доля эмиссий корпоративных облигаций в 2015 году пришлись на долю облигаций с инвестиционной оценкой (88%). По сравнению с 2008 годом, объем эмиссий корпоративных облигаций с инвестиционной оценкой вырос на 60%, а объем высокодоходных корпоративных облигаций возрос почти вчетверо (Рис. 2).

Показатели роста объемов рынка корпоративных облигаций прямо противоположны аналогичному показателю по рынку акций. Этот факт дополнительно подчеркивает важность осуществления исследований, посвященных ценообразованию облигаций и производных от них инструментов. При этом, так как существенно возрос объем рынка высокодоходных облигаций, иными словами, во многом, рынка облигаций с более высокой степенью риска, возрастает и значимость выстраивания устойчивой системы управления рисками.

1.1 Характеристика развивающихся рынков ценных бумаг

Несмотря на развитие электронной системы торговли (которая также порождает ряд рисков [4]), важно разделять рынки корпоративных облигаций развивающихся и развитых стран. Это связано с тем, что определяющие факторы развития рынков существенно различаются, равно как и различаются ряд ключевых характеристик рынков.

Рис. 3. Объемы выпуска корпоративных облигаций в разрезе типа рынков, в триллионах долларов.

Так, на Рис. 3 [5] явно видно, что развивающийся рынок корпоративных облигаций продолжал расти даже в кризисные годы, когда наблюдалось существенное падение объемов эмиссий на развитых рынках.

Другим важным различием между развивающимися и развитыми рынками корпоративных облигаций является региональная активность торговли (Рис. 4). На приведенных графиках видно, что в случае развитых стран наблюдался рост международных эмиссий до отметки в 1.8 триллионов долларов в 2013 году, но, при этом, объем внутренних эмиссий продолжает сокращаться с момента кризиса. В случае развивающихся рынков, объем эмиссий рос как на международные рынки, так и на внутренние рынки. Примечательно, что объем эмиссий корпораций развитых стран почти вчетверо больше на международных рынках нежели на внутренних, в то время как для развивающихся стран динамика ровно противоположна.



Рис. 4. Объемы торгов облигаций на развитых и развивающихся рынках

О существенной разнице между развитым и развивающимся рынками корпоративных облигаций свидетельствуют не только аналитические заметки по рыночным данным, но и ряд научных исследований. Так, в [6] указывается, что доходности по ценным бумагам изменяются более синхронно в развивающихся странах, нежели в развитых. Это, потенциально, может свидетельствовать о том, что рынок неэффективно использует информацию, заложенную в цены. При прочих равных, это также будет означать дополнительную коррелированность ценных бумаг. Гипотезу о меньшей информационной эффективности развивающихся рынков подтверждается в [7]. Более того, автор утверждает, что в постсоциалистических странах наблюдается наименьшая информационная эффективность, приводящая автора к выводу об эффекте отсутствия опыта данных стран в управлении рынками ценных бумаг. Другим отличием между рынками, часто указываемое в статьях, например, [8], являются более высокие премии за риск на развивающихся рынках (более высокие доходности для корпоративных облигаций эмиссий схожих по своей природе).

При всех возможных различиях между развивающимися и развитыми рынками, важно отметить, что некоторые развивающиеся рынки растут с ускоренными темпами. В таких случаях, существующая разница иногда может размываться, и развивающийся рынок получает ряд преимуществ, присущих развитому рынку. В общем виде, хорошо развитый рынок корпоративных облигаций дает ряд преимуществ как эмитентам, инвесторам, так и финансовым регулирующим органам [9] (Табл. 1).

Табл. 1. Преимущества хорошо развитых рынков корпоративных облигаций

С точки зрения эмитента:	· Корпоративные облигации представляют собой дешевый, устойчивый и надежный способ фондирования новых проектов, инноваций и расширения бизнеса; · Корпоративные облигации являются гибким инструментом фондирования: эмиссии могут различаться сроками до погашения, купонными платежами и прочими условиями, подстраиваемыми под потребности бизнеса; · При помощи корпоративных облигаций может реализовать финансирование долгосрочных инвестиций.
С точки зрения инвестора:	· Корпоративные облигации предлагают относительно устойчивый поток доходов; · Корпоративные облигации дают существенные возможности диверсификации портфеля; · При условии текущих низких доходностей, предлагаемых банками по депозитам, корпоративные облигации имеют достаточно привлекательный спрэд относительно первых, при этом, не предполагая такой волатильности как акции.
С точки зрения регулятора:	· Развитый рынок облигаций предполагает эффективный поиск покупателей/эмитентов, при этом существенно снижены издержки на посредников; · Снижается зависимость от банковских ссуд; · Корпоративные облигации представляют собой долгосрочный источник финансирования инвестиций.

Соответствующая задачи финансового института, особенно в контексте развивающихся рынков, определить какие из постулатов, сформулированных в Табл. 1 могут нарушаться и к каким последствиям приводить. В том числе, в связи с этим, важно иметь надежную систему оценки рисков, в рамках которой можно будет оптимизировать маржинальность по торговому портфелю, составленному из ценных бумаг, торгуемых на развивающихся рынках, при этом, имея достаточный контроль над своим портфелем. В следующем разделе рассмотрены модели процентного риска, которые являются основным элементом системы оценки рисков портфеля, чувствительного к колебаниям процентных ставок.

1.2 Обзор моделей процентного риска

Оценка рисков, в частности, процентного риска, является оценкой вмененных (неявных) тенденций, в связи с чем в научных работах и практике либо не встречается, либо практически не встречается применение явных моделей оценки процентного риска. Вместо этого, принято использовать модели процентных ставок и использовать эти модели совместно с набором инструментов, направленных на выявление риска и оценки его объема. В данной работе, в качестве инструментария оценки риска был выбраны подход на основе VaR, а для валидирования результатов будет использовано обратное тестирование. Именно сочетание моделей процентных ставок и инструмента VaR в данной работе будет использовано синонимично моделям процентного риска. Выводы относительно эффективности моделей процентного риска будут сделаны по результатам валидации.

В работе рассматривается семь различных моделей процентных ставок, три из которых основаны на GARCH-процессе. Заметим, что большинство моделей не ограничены в применении моделированием процентных ставок.

· Модель на основе GARCH-процесса. Изначально, ARCH процесс был описан в работе [10], и уже позднее доработан до GARCH процесса. Основополагающей работой является [11]. GARCH процесс и производные от него, являются одними из самых популярных методов прогнозирования волатильности, в силу их относительной простоты и универсальности. Например, модели Risk Metrics основаны на принципе GARCH(1,1), частном случае, EWMA. Подобную популярность данные модели приобрели благодаря тому факту, что в отличие от целевых распределений, волатильности целевых распределений могут быть спрогнозированы с достаточно высокой точностью, что может позволить более точно оценить портфельные риски. В качестве вспомогательных источников для описания и построения модели на основе GARCH процесса использовались статьи [12] и [13].

· Модель Nelson-Siegel'а. Модель была предложена в 1987 году в [14], после чего в свет вышло множество обобщений данной модели таких как модель Nelson-Siegel-Svensson'а, модель Bjork-Christensen'а, модель Bliss'а и прочие. Все модели данной категории были призваны обобщить и уточнить получаемые результаты, однако добавление новых параметров не принесло качественно новых результатов, но при этом существенно осложнило задачу калибровки моделей. Еще в 2007 году в [15] отмечалось, что модель используется 9 из 13 центральных банков, которые предоставляют данные по структуре доходностей в Базельский комитет. Одним из основных вопросов применительно к модели является вопрос калибровки, так как в научной среде в разных работах используются разные методы, как одношаговые, так и двух-шаговые. В данной работе был использован алгоритм, предложенный в [16].

· Модель Vasicek'а. Модель была предложена Oldrich Vasicek'ом в 1977 году [17] и очень быстро приобрела популярность как в научных кругах, так и была активно использована в прикладной деятельности. Основным преимуществом модели Vasicek'а было свойство возврата краткосрочных процентных ставок к среднему значению (к долгосрочному равновесному уровню). Модель будет рассмотрена как в контексте риск-нейтрального измерения, так и с поправкой на рыночную цену риска. Для описания теории по модели, а также подходов к калибровке в рамках данного текста дополнительно были рассмотрены работы [18] и [19], а также, в том числе, учебное пособие [20].

· Модель Cox-Ingersoll-Ross'а. Модель была предложена группой авторов John C. Cox'ом, Jonathan E. Ingersoll'ом и Stephen A. Ross'ом в 1985 году [21]. Изначально, модель рассматривалась как обобщение модели Vasicek'а, но в силу принципиально отличающегося вероятностного распределения для процентных ставок, приобрела независимую известность. Принципиальным преимуществом модели Cox-Ingersoll-Ross'а по сравнению с моделью Vasicek'а является невозможность реализации отрицательных процентных ставок. Теория относительно модели и описание подходов к калибровке приведено в [18], [19] и [20].

· Модель Hull-White'а (однофакторная). Полная модель была предложена John Hull'ом и Alan White'ом в 1990 году [22]. Данная модель, в отличие от вышеизложенных, являлась двухфакторной моделью и требовала описания временной структуры волатильностей. В данной работе анализ проводится на основе котировок облигаций, в связи с чем, была изучена однофакторная модель Hull-White'а, также известная как расширенная модель Vasicek'а. Другим принципиальным отличием данной модели от вышеизложенных является ее безарбитражная природа. В работе предлагается смешанный подход к калибровке данной модели, частично изложенный в [23]. Более подробное описание теории по модели может быть найдено в [20].

Подход к оценке риска на основе VaR на сегодняшний день является одним из самых распространенных как в рамках научных исследований, так и в рамках практического моделирования. Существует множество работ, посвященных рассмотрению VaR: ряд работ описывают различные подходы к оценке, другие - посвящены обсуждению работоспособности и точности данного метода оценки риска. Так, материалы, используемые при написании данной работы, могут быть найдены в статьях [24] и [25], а также в книгах [26] и [27].

Обратное тестирование можно назвать наиболее доступным и точным методом валидации моделей. Возможные альтернативы в виде использования бенчмарков будет либо слишком дорогим и малодоступным, либо в виде стресс тестирования будет требовать повышенных вычислительных мощностей, а точность результатов нельзя будет назвать надежной, так как они будут сильно зависеть от заложенного сценария и чувствительности модели к нему, а не реальных данных. Для целей обратного тестирования в работе будут использованы следующие методики:

· Базельский подход. Базельский подход является универсальным и в то же время обще-используемым подходом в банковской среде. Положения, закрепленные в [28] можно считать по своей природе смежными регуляторным принципам, так как нормативные документы, публикуемые центральными банками стран базельской конвенции, обязаны соответствовать принципам, содержащимся в документах БКБН. Более подробный анализ базельского подхода изложен в работах [27], [29] и [30].

· Тест Kupiec'a. Тест Kupiec'а является, как и методика, предлагаемая БКБН, безусловным тестированием количества пробоев. Данный тест является самым простым подходом к обратному тестированию, при этом статистически обоснованным. Основополагающая идея была сформулирована в [31]. Более подробный анализ данной методики обратного тестирования взят из работ [26], [27] и [29].

· Интервальный прогнозный тест Christoffersen'а. Тест Christoffersen'а является первым подходом в работе к обратному тестированию, где рассмотрено распределение пробитий во времени и при этом сохранена относительная простота расчета. Основополагающая идея была сформулирована в [32] и там же предельно детально раскрыта. Тем не менее, описание методики также приведено в [26], [27] и [29].

· Смешанный тест Kupiec'a. Смешанный тест Kupiec'а является естественной эволюцией по сравнению с изначальным тестом Kupiec'а и интервальным тестом Christoffersen'а. В смешанном тесте Kupiec'а ослаблены предпосылки, введенные в вышеуказанных методиках, что делает ее применение существенно более актуальным, при этом сохраняя умеренный уровень сложности расчета. Основополагающая работа [33] была написана M. Haas'ом в 2001 году. Позднее, предложенная им методика была проанализирована в [26] и [29].

· Тест Haas'а. Первоначальную методику обратного тестирования предложили Christoffersen и Pelletier [34]. Основной их идеей было развить мощность интервального теста Christoffersen'а, при этом сохранив неизменными требования к входным данным и вычислительную сложность. Их подход годом позднее был актуализирован Haas'ом в [35], за счет дискретизации изначально предложенного подход, так как такой подход в большей степени соответствует дискретной природе реализаций пробитий. Развернутый обзор обоих подходов к обратному тестированию приведен в [36].

· Функция потерь Lopez'а. Данная методика обратного тестирования принципиально отличается от прочих тем, что работает непосредственно с суммами пробитий, а не с их количеством или дюрацией. Таким образом, функция потерь Lopez'а является методикой обратного тестирования, которая позволяет проанализировать полученные результаты с иной точки зрения, а именно с точки зрения распределения прибылей и убытков. Основополагающая идея была сформулирована в [37] и [38]. Непосредственные обзоры методики в прочих работах встречаются редко, так как методика является относительно простой и в то же время не является независимой, так как требует бенчмаркинга относительно аналогичных результатов по другим моделям. Как отмечается в [26], данный подход является наиболее эффективным относительно прочих методик при малом числе наблюдений.

В данной главе были рассмотрены основные характеристики развивающихся рынков корпоративных облигаций и проведено их сопоставление с показателями развитых рынков. Также, была описана методология построения системы анализа процентного риска, включая общее описание моделей процентных ставок, VaR подхода к оценке риска, а также приведено общее описание методик обратного тестирования, используемого для валидирования получаемых результатов.



2. АНАЛИЗ ВАЛИДАЦИОННЫХ ИНСТРУМЕНТОВ МОДЕЛЕЙ ПРОЦЕНТНОГО РИСКА

В данной главе будут рассмотрены теоретические основы подхода к оценке процентного риска, изучаемые в рамках настоящей работы. Общий подход основан на использовании набора моделей оценки процентных ставок и применения к ним инструментов VaR и обратного тестирования.

В рамках структуры изложения, первым приведено описание инструментария и принципов использования VaR, в целях возможности ссылаться при дальнейшем переходе к рассмотрению моделей. Далее описана основная теория, относящаяся к моделям, и сформулированы используемые подходы к обратному тестированию, соответственно.

2.1 Определение VaR подходов к оценке процентного риска

VaR можно определить как худший возможный убыток несомый по портфелю в течение определенного временного горизонта такой, что существует малая, предопределённая вероятность, что реализовавшийся убыток будет больше.

Идея VaR начала зарождаться в 70-80-ые гг., когда крупнейшие финансовые институты столкнулись с потребностью агрегирования рисков присущих организациям в целом. Непосредственно новая система оценки рисков была представлена JP Morgan в 1993 году на исследовательской конференции и вызвала активный интерес со стороны потенциальных клиентов.

2.1.1 Преимущества и недостатки использования VaR подхода

Подход на основе VaR имеет ряд основных преимуществ:

· VaR является универсальным подходом для оценки рисков по различным позициям и риск факторам. VaR подход может быть применен к любому типу портфеля и позволяет сравнивать между собой риски различных портфелей.

· VaR позволяет агрегировать риски по суб-портфелям в общую меру риска, учитывая коррелированность отдельных факторов риска.

· VaR является всеобъемлющим подходом как в контексте учета всех определяющих факторов риска, так и в контексте отсутствия ограничений в оценке всего портфеля на уровне организации.

· VaR представляет собой вероятностный подход, что позволяет получить не только информацию об общей сумме риска, но и соответствующие вероятности наступления данного события.

· VaR расчеты являются легко интерпретируемыми, так как отражают сумму потерь, что позволяет использовать VaR как инструмент для принятия решений.

· VaR подход может использоваться для рискового таргетирования на уровне организации, встроив рисковую оценку в систему риск аппетита.

· VaR может быть использован для расчета требований к капиталу, буфера капитала и экономического капитала, что может быть использовано для целей планирования в финансовом институте.

· Применение VaR не ограничивается целями оценки определенных категорий рисков. Хоть основное применение - это рыночные риски, в рамках небольших модификаций, VaR подход может быть также эффективно использован для оценки кредитных и операционных рисков, а также риска ликвидности.

Несмотря на все преимущества, также важно понимать, что существует ряд серьезных ограничений по применимости VaR подхода:

· Неточные оценки. Результаты, получаемые при использовании VaR подхода, сложно проверить в рамках одной модели. Полученные результаты могут быть как смещенными, так и неустойчивыми.

· Модельный риск. При построении нескольких разных моделей на основе VaR подхода, основанных на одной выборке данных, результаты могут существенно отличаться. При наличии всего одной модели и отсутствии соответствующих бенчмарков, проверить точность получаемых результатов может быть сложно.

· Не учитывает «тяжелых хвостов» распределения. Результаты оценки сильно зависят от характеристик входных данных. Если распределение имеет «тяжелые хвосты», иными словами, высокую плотность вероятности распределения в экстремальных значениях, подобная специфика не учитывается VaR подходом. Для распределений данных с подобными характеристиками, в рамках EVT (extreme-value theory/теория экстремальных значений) предлагается использовать меру ES (expected shortfall).

· Внутренний оппортунизм. VaR подход и получаемые результаты могут быть использованы для достижения личных результатов в обход установленным лимитам или задачам. Так, например, трейдер будет заинтересован в поиске позиций, по которым риск был переоценен или недооценен.

· Внешний оппортунизм. Так как VaR модели используются с целью регуляторной отчетности по достаточности капитала по рыночным рискам, то в интересах банка не построить максимально точную модель, а оптимизировать требования к капиталу.

· Дестабилизация финансовой системы. С точки зрения динамического хеджирования своих позиций с использованием VaR подхода, при условии, что этим подходом будут пользоваться все финансовые институты (существенная выборка пользователей по отношению к общей доле участников для оказания воздействия на рынок), может привести к ситуации, когда изначально некоррелированные активы на самом деле будут иметь высокую корреляцию, тем самым, подвергая организации значимо большему риску.

Все перечисленные недостатки акцентируют внимание, в первую очередь, на используемой выборке данных для оценки. Во-вторых, акцент падает на валидирование полученных результатов. Так как получаемые результаты, даже если они соответствуют ожидаемым уровням, могут привести к ошибочным управленческим решениям, в финансовом институте необходимо наличие устойчивых процедур обратного тестирования, либо наличие точных бенчмарков для моделей, либо отлаженные процедуры стресс тестирования. Актуальное регулирование в развитых странах требует наличия всех трех процедур.

2.1.2 Методы оценки VaR

Для оценки VaR необходимо реализовать 5 основных шагов:

1. Произвести переоценку текущей позиции на основе рыночных котировок (MtM/Mark-to-Market);

2. Реализовать оценку волатильности целевого фактора риска;

3. Установить целевой временной горизонт, в течение которого анализируются потенциальные убытки;

4. Задать уровень значимости (вероятность, с которой реализуется больший убыток);

5. Рассчитать наихудший потенциальных исход путем агрегирования всей предшествующей информации в вероятностное распределение доходов и убытков с использованием VaR.

Выделяют два принципиально разных класса подходов к агрегированию предшествующей информации: параметрический и непараметрический. Для полноты изложения отметим, что иногда выделяют отдельный класс полу-параметрических подходов к расчету VaR. К нему принято относить теорию экстремальных значений (EVT/Extreme Value Theory) и квази-метод максимального правдоподобия. Данный класс подходов в работе рассмотрен не будет.

Наиболее интуитивно понятными являются непараметрические подходы, поэтому в работе они рассмотрены первыми. К непараметрическим подходам относят исторический VaR и имитирование Монте-Карло.

Исторический VaR представляет собой хороший метод агрегирования данных за счет своей простоты и отсутствия каких-либо предпосылок относительно распределения последовательности данных. В рамках данного подхода делается единственная предпосылка о том, что история повторяет саму себя.

Предположим, что имеются данные за период со дня 1 до дня t, а является доходностью портфеля за день t, тогда последовательность доходностей может быть представлена как (где m - длина рассматриваемого временного ряда доходностей). Тогда VaR с уровнем значимости б в рамках исторического имитирования может будет представлен уравнением (2.1).

(2.1)

Несмотря на то, что в рамках подхода исторического имитирования не делается никаких предпосылок относительно распределения последовательности доходностей, идея повторения истории с точки зрения надежного отражения рисков может являться сильно ограничительной как на коротком отрезке, так и в долгосрочной перспективе. Это связано, в первую очередь, с тем, что используемая выборка данных зачастую может не отражать экстремальных реализаций. Во-вторых, в силу, например, появления новых продуктов, коррелированность инструментов на рынке имеет свойство эволюционировать, что оказывает непосредственное влияние на реализуемые котировки.

Метод имитирования Монте-Карло является схожим по своей природе методу исторического имитирования, за исключением того, что изменчивость риск факторов определяется из теоретического распределения (2.2).



(2.2)

Где

- совместная функция распределения,

- параметры распределения.

Для определения структуры зависимости между риск факторами (коррелированности, как пример линейной меры зависимости), используются предельные распределения и копулы.

Имитирование Монте Карло требует введения предпосылки о стохастическом процессе распределения. Это порождает модельный риск. Также, в силу использования случайных чисел в процессе имитирования Монте Карло, для достижения устойчивых результатов может потребоваться большое число итераций. Основным преимуществом расчета VaR на основе данного метода является возможность закладывать в распределение нелинейные и эволюционирующие с течением времени функции выплат.

Параметрические методы оценки VaR представляют собой семейство аналитических моделей. Все модели данной категории принято разделять на модели, в рамках которых делается предположение о нормальном распределении доходностей, и модели общего вида.

Другим возможным подходом к классификации параметрических методов является разделение на модели Risk Metrics (JP Morgan) и модели GARCH, причем предположение о нормальности распределения доходностей не является обязательным ни дли одного из двух классов моделей.

Модели класса GARCH будут рассмотрены в следующем разделе более подробно применительно к природе изучаемой проблемы. Модели класса Risk Metrics, частично основанных на процессе GARCH, являются семейством моделей, принципиальной разницей между которым является использование различных предположений о распределении шума в данных (например, нормальное распределение, t-распределение Стьюдента или GED (general error distribution / обобщенное распределение ошибок)).

2.1.3 Модель RiskMetrics 1994

В качестве примера наиболее простой и наиболее часто используемой модели из класса Risk Metrics, рассмотрим модель с нормальным дрифтом (Risk Metrics Normal Drift), также известную как RiskMetics 1994. В модели предполагается логарифмическая доходность акций (2.3).

(2.3)

Где

- котировка акции в i-ый период.

Процесс тогда представим в форме (2.4)-(2.6).

(2.4)

(2.5)

(2.6)

В данной модели, условная дисперсия дневных доходностей рассчитывается бесконечное скользящее среднее с экспоненциальным сглаживанием. При достаточно большом числе наблюдений, данная зависимость может быть записана рекурсивно в форме уравнения (2.7).

(2.7)

В рамках моделей Risk Metrics принято использовать универсальную сглаживающую константу для дневных доходностей. Данная модель считается классической и будет также рассмотрена при моделировании процентных ставок.



2.1.4 Модель RiskMetrics 2006

Позднее данная модель была доработана, и в 2006 году появилась новая редакция модели RiskMetrics, которая позволяла учитывать временную структуру ковариационных матриц [39]. Модель получила характерное название RiskMetrics 2006.

В контексте данной модели, эффективная волатильность предполагается линейной функцией от квадрата прошлых доходностей (2.8).

(2.8)

Наиболее важное свойство модели заложено в веса (2.9). Принцип заключается в логарифмическом убывании лаговых корреляций ставок вместе с весами.

(2.9)

Сам процесс с долгосрочной памятью может быть приведен в другой форме. Набор исторических волатильностей на геометрическом временном горизонте приведен в (2.10) - (2.12).

(2.10)

(2.11)

(2.12)

Где

- ожидаемый рост процентной ставки в следующем периоде.

Эффективная волатильность получается как взвешенная сумма исторических волатильностей с логарифмически убывающими весами (2.13) - (2.14).

(2.13)

(2.14)

Значение константы , используемой для нормализации, выбирается таким образом, чтобы сумма весов была равна единице. Данная модель будет также реализована в практической части. Параметры модели были выбраны аналогичные приведенным в методологии [39] (2.15).

(2.15)

Заметим, что при параметрах (2.16) модель RiskMetrics 1994 является частным случаем модели RiskMetrics 2006.

(2.16)

Модели RiskMetrics 1994 и RiskMetrics 2006 являются полноценными моделями, рассматриваемыми в настоящей работе, и приведены в текущем разделе, так как данные модели являются наиболее простыми из рассматриваемых и в литературе их принято больше ассоциировать именно с VaR. Тем не менее, более подробное изложение теоретических основ по модели GARCH приведено в соответствующей секции следующего раздела.

2.2 Методологические подходы к моделированию процентных ставок

В литературе нет единого подхода к категоризации моделей процентных ставок, так как непосредственное сравнение моделей привязано к конкретным характеристикам постановки задачи. Так, модели могут быть детерминированными или стохастическими, моделями, описывающими динамику самих процентных ставок или моделями волатильности, допускать арбитраж или нет. В данном разделе приведено рассмотрение как моделей волатильности, детерминированных моделей и стохастические модели класса аффинных.

2.2.1 Модель на основе многомерного GARCH-процесса

GARCH-процесс является обобщенным вариантом процесса ARCH, где соответствующая аббревиатура расшифровывается как Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity, что означает обобщенный авторегрессионный условный гетероскедастичный процесс. Процесс GARCH авторегрессионный в смысле квадрата доходностей, условный в том смысле, что волатильность в последующих периодах зависит от доступной информации в текущем периоде, гетероскедастичность - означает непостоянную волатильность. Обобщение подразумевает охват кластерности волатильностей.

Общая модель GARCH(s,r) формулируется в контексте ARMA(p,q) модели (2.17) - (2.20).

(2.17)

(2.18)

(2.19)

(2.20)

В работе будет предполагаться постоянная траектория доходностей, таким образом, параметры p и q будут считаться равными нулю. В качестве доходности, будет использована логарифмическая доходность, определяемая в соответствии с уравнением (2.3).

На примере процесса GARCH(1,1), указанного в уравнении (2.18), рассмотрим основные свойства модели. Заметим, что если использовать EWMA и аппроксимацию о бесконечном временном горизонте, то полученная модель была введена в работе как RiskMetrics 1994. Свойства модели описаны в уравнениях (2.21) - (2.24).

(2.21)

(2.22)

(2.23)

(2.24)

Для целей моделирования процентных ставок, процесс GARCH обобщается до многомерного процесса MGARCH. При этом, предпосылка о нормальном распределении будет сохранять свою актуальность для .

Наиболее общий многомерный процесс для GARCH, VEC-GARCH [40], формулируется в виде (2.25).

(2.25)

Где

- оператор, преобразующий нижний треугольник значений матрицы в вектор .

Принципиальной проблемой общей модели VEC-GARCH является очень большое число параметров для оценки, более того, на них накладывается ряд ограничений. В связи с этим, в работе будет применена более поздняя модель BEKK-GARCH [41]. В общем виде данная модель приведена в (2.26).

(2.26)

Где

- являются матрицами параметров размерностью , причем - нижне-треугольная матрица.

В отношении к модели BEKK-GARCH наиболее часто используется ее скалярная форма при K, r и s равными единице. При такой постановке задачи существенно проще реализовать расчет параметров при помощи метода максимального параметра. Такая спецификация реализована в настоящей работе.

Для расчета всех авторегрессионных моделей волатильности будет реализована кластеризации облигаций в соответствии с их сроком до погашения. Непосредственные правила кластеризации описаны в главе 3. Полученные результаты, в соответствии с изложенной методологией, будут переведены в оценки риска по формуле (2.27). Соответствующая спецификация расчета VaR вытекает из предположения о распределении остатков в моделях.

(2.27)

Где

- пороговое значение стандартно нормально распределенной случайной величины на уровне значимости .

Преимущество использования GARCH процессов для моделирования процентных ставок и оценки VaR заключается в простой интерпретации результатов и универсальности подхода. Тем не менее, GARCH процесс наиболее подходит для самоподобных распределений данных, плоских по своей структуре. При усложнении процесса, усложняется и процесс оценки, в силу чего приходится усложнять процедуру оптимизации, тем самым ограничивая число степеней свободы. При прочих равных условиях, для более сложной модели потребуется большее число наблюдений.



2.2.2 Модель Nelson-Siegel'а

В базовую модель Nelson-Siegel'а заложена идея калибровки кривой форвардных ставок на конкретную дату с использованием аппроксимирующей детерминированной функции. Результирующая аппроксимирующая форвардная кривая может быть получена из уравнения (2.28).

(2.28)

Где

- параметры функции, определяемые относительно изначальных условий,

- константа, определяемая на уровне периода.

При условии, что спот ставки могут быть определены из уравнения (2.29), путем усреднения форвардных ставок, можно вывести уравнение для спот ставок (2.30).

(2.29)

(2.30)

Модель Nelson-Siegel'а приобрела свою популярность в силу ряда причин. Во-первых, модель дает достаточно хорошее приближение кривой доходностей, используя при этом малое число параметров (по сравнению, например, со сплайновыми методами). Тем не менее, этого числа параметров оказывается достаточно для отражения всех наиболее часто встречаемых форм кривых доходности на реальных данных (монотонные, горбатые и S-типа). Во-вторых, все три основные параметра модели Nelson-Siegel'а имеют четкую интерпретацию как краткосрочных, среднесрочных и долгосрочных компонент. Данная интерпретация следует из вклада каждого параметра в итоговый результат. На Рис. 5 представлены значения каждого из параметров как функции от срока до погашения.

Рис. 5. Зависимость параметров модели Nelson-Siegel'а от срока до погашения

При данной интерпретации параметр является долгосрочной компонентой, так как является константой. Параметр является краткосрочной компонентой. Значения исходят из единицы и затем экспоненциально убывают. Скорость убывания определяется параметром : чем меньше, тем быстрее происходит убывание. Среднесрочная компонента имеет характерный «горб» на средних сроках до погашения. В случае , параметр определяет срок до погашения на котором будет достигнут максимум.

Калибровка модели будет осуществляться двух-шаговой процедурой, определенной в [16]. На первом шаге авторы предлагают зафиксировать параметр , так что на 30 месячной отметке срока до погашения, среднесрочная компонента достигнет своего максимума. Эта оптимизационная часть была заменена на итеративную процедуру минимизации остатка на интервале для . Этот подход является некоторым обобщением изначального подхода, что допустимо, так как целью работы не является поиск аналитического решения для модели. Тогда для оценки всех оставшихся параметров можно использовать МНК (метод наименьших квадратов) для каждого периода. На втором шаге, полученные оценки параметров предлагается рассмотреть как временной ряд, причем параметры подчиняются элементарному авторегрессионному процессу AR(1). Уравнения для построения прогноза приведены в (2.31) - (2.32).

(2.31)

(2.32)

Оценка VaR будет за счет нормальной аппроксимации, аналогичной (2.27).

2.2.3 Модель Vasicek'а

В модели Vasicek'а реализована идея возврата краткосрочных ставок к среднему значению (mean reverting). Динамика краткосрочных процентных ставок может быть представлена уравнением (2.33).

(2.33)

Где

- скорость возврата к среднему,

- долгосрочная средняя ставка процента,

- волатильность (стандартное отклонение) срочных ставок процента,

- стандартный Броуновский процесс.

Процесс (2.33) является моделью в риск-нейтральном мире. Для перехода в измерение реального (физического) мира, вводится дополнительная функция/переменная (2.34) (в зависимости от сделанной предпосылки о функциональной форме), отражающая рыночную цену риска. Процесс (2.33) может быть перезаписан в виде (2.35).

(2.34)

(2.35)

Одним из основных преимуществ модели Vasicek'а является наличие аналитического решения для , приведенное в (2.36).

(2.36)

Для уравнения (2.36) известно точное распределение (2.37).

(2.37)

Исходя из (2.37), для имитирования в произвольный момент времени, может быть выписано рекурсивное уравнение (2.38).

(2.38)

Другим важным преимуществом модели Vasicek'а является наличие аналитического решения для цены облигации (2.39).

(2.39)

Где

(2.40)

(2.41)

Для калибровки модели используется метод максимального правдоподобия, обобщенный с использованием фильтра Калмана для учета всей панели данных. Аналитические решения относительно метода максимального правдоподобия для риск-нейтрального мира приведены в (2.42) - (2.46).

(2.42)

(2.43)

(2.44)

Где

(2.45)

(2.46)

Фильтр Калмана представляет собой один из самых популярных методов фильтрации данных, используемый как для заполнения пропущенных значений, так и в целях моделирования. В общем виде, в простом случае, в фильтре Калмана задаются два уравнения: уравнение состояния и уравнение управления. Первое уравнение является теоретической моделью получаемых результатов, второе - уравнение реально получаемых данных в зависимости от прогнозных значений первого уравнения. Задача фильтра Калмана получить наилучшее приближение прогноза с учетом ошибок заложенных в оба уравнения. Взвешивание показателей ожидаемого значения и показателей измерения производится на основе параметра усиления Калмана. Размер параметра усиления Калмана рассчитывается на основе итеративной процедуры, в которую заложена процедура минимизации ошибок между целевым и прогнозным значениями. Минимизация осуществляется на основе метода максимального правдоподобия. Математический аппарат и более подробное обоснование фильтра Калмана в настоящей работе не приводится, так как это не требуется для трактовки результатов. Вся процедура использования заложена в оптимизационный код Matlab и приведена в приложении. Более детально применение фильтра Калмана рассмотрено в [42].

Для оценки VaR будет использован подход на основе имитирования Монте-Карло.

2.2.4 Модель Cox-Ingersoll-Ross'а

Модель Cox-Ingersoll-Ross'а (здесь и далее по тексту - модель CIR) также, как и модель Vasicek'а, представляет собой стохастический процесс с возвратом к среднему. Общий процесс CIR приведен в уравнении (2.47).

(2.47)

Принципиальным отличием модели CIR от модели Vasicek'а является решенная проблема с отрицательными процентными ставками за счет умножения волатильности на функцию , которая при устремлении всего процесса нулю, обнуляет случайную составляющую и таким образом, процесс не может уйти в отрицательные значения.

Переход от риск-нейтральной формы процесса к оценке с перерасчетом на цену риска осуществляется аналогично модели Vasicek'а, но с модификацией функции рыночной цены риска (2.48). Уравнение измеримое в чувствительном к риску мире приведено в (2.49).

(2.48)

(2.49)

В модели CIR, краткосрочные ставки имеют нецентральное (noncentral) распределение . Функция плотности вероятности процентных ставок приведена в (2.50).

(2.50)

Где

(2.51)

(2.52)

(2.53)

В уравнениях (2.51) - (2.53) приведены функции масштабирования, числа степеней свободы и параметр смещения (non-centrality parameter), соответственно.

Для имитирования процесса CIR для процентных ставок наиболее часто используют приближение в рамках схемы Эйлера (2.54).

(2.54)

Как и в случае модели Vasicek'а, модель CIR имеет аналитическое решение для ценообразования облигаций (2.39),

Где



(2.55)

(2.56)

(2.57)

Калибровка модели CIR, а также расчет оценки VaR производится аналогично модели Vasicek'а.

2.2.5 Модель Hull-White'а (однофакторная)

Модель Hull-White'а в отличие от прежде рассмотренных моделей является безарбитржной моделью. Общее уравнение модели приведено в (2.58).

(2.58)

Где являются детерминированными функциями от времени.

Модель (2.58) может быть откалибрована к временной структуре процентных ставок и временной структуре волатильностей. Для последнего необходимо рассматривать данные по кэплетам (caplets) или свопционам (swaptions), что выходит за рамки данной работы. В связи с этим, в работе будет рассмотрен однофакторный вариант модели Hull-White'а, также известной как расширенная модель Vasicek'а (extended Vasicek model) (2.59).

(2.59)



Параметр подбирается таким образом, чтобы точно описывать временную структуру процентных ставок, наблюдаемых на рынке. В этом заключается безарбитражная природа модели.

Для однофакторной модели Hull-White'а известно вероятностное распределение (2.60).

(2.60)

Где

(2.61)

- рыночная мгновенная форвардная ставка.

Ценообразование облигаций в рамках модели Hull-White'а реализуется аналогично моделям Vasicek'а и CIR в соответствии с уравнением (2.39),

Где

(2.62)

(2.63)

Калибровка модели Hull-White'а будет реализована в три этапа. На первом этапе будет применена схема аналогичная модели Vasicek'а для параметров . Параметр будет оценен как остаток для каждого временного ряда облигаций. Далее, для будет использована двух-этапная схема, использованная для модели Nelson-Siegel'а. Заметим, что при данной постановке задачи, больше не является функцией от времени, а является авторегрессионной функцией, что еще более приближает получаемые результаты к результатам по модели Vasicek'а.

Для оценки VaR будет использован подход на основе имитирования Монте-Карло, аналогично первым двум стохастическим моделям.

2.3 Формирование системной методологии с использованием обратного тестирования при валидации моделей

Обратное тестирование (backtesting) представляет собой процесс применения трейдинговой стратегии или аналитической методологии к историческим данным с целью проверки на сколько точно стратегия или методология предсказала бы реализовавшиеся наблюдения.

В рамках обратного тестирования, в работе предлагается рассмотреть наиболее часто встречаемые в научных публикациях подходы к валидированию VaR моделей. В данном разделе представлено теоретическое описание данных моделей.

2.3.1 Базельские стандарты

Базельские принципы обратного тестирования являются обязательными для стран Базельской конвенции, включающей 170 стран участниц, в том числе Российскую Федерацию. Таким образом, принципы, описанные в данном параграфе, являются или будут в скором времени, в зависимости от степени развития банковского регулирования в той или иной стране, введены на регуляторном уровне. Иными словами, данный подход к стресс тестированию и его результаты имеют повышенное значение с точки зрения финансовых институтов.

Базельский принцип стресс тестирования основан на идее теста светофора для безусловного тестирования числа пробоев. Тест светофора - это принцип, предложенный БКБН для отражения необходимости принятия мер относительно анализируемой модели, в зависимости от полученного результата. Тест светофора имеет три категории: зеленую, желтую и красную. Зеленая категория означает, что модель адекватно описывает данные, красная - соответственно, модель не соответствует данным и должна быть пересмотрена. В рамках теории вероятности, зеленая и красная категория отражают области принятия и отвержения гипотезы об адекватности модели применительно к наблюдаемым рыночным данным. Желтая категория, по большей части, отражает компромисс между ошибками 1-го и 2-рода (вероятность отклонить верную модель и вероятность не отклонить неверную модель, соответственно). В Табл. 2 приведена графическая интерпретация возможных проблем в результатах самого обратного тестирования. Желтая зона не предполагает однозначных выводов относительно модели, а пересчет достаточности капитала может быть скорректирован регулятором. «Безусловное тестирование числа пробоев» означает, что в рамках данного подхода анализируется непосредственное количество пробитий заданного VaR независимо от размера пробития или момента его наступления.