R (11)

где является j-ой кумулянтой R в рамках меры . Аппроксимация бескупонной доходности y по этой причине может быть рассчитана на основе конечного числа временных промежутков из рядов в (18). Ниже автор работы Priebsch (2013) рассматривает теоретическую (без учета ошибки измерения) аппроксимацию первого порядка с учетом нижнего ограничения процентной ставки

r (12)

и аппроксимацию второго порядка

(13),

где Priebsch (2013) использует тот факт, что первые две кумулянты любой случайной переменной совпадают с ее первыми двумя моментами.

Аппроксимация первого порядка (12) аналогична методу, предложенному независимо и одновременно в работе Ichiue and Ueno (2013). В связи с относительной вычислительной простотой в рамках рассматриваемого исследования использовался именно этот метод.



5.4.1.2 Расчет первого момента

Для оценки приближений первого порядка (12) бескупонных доходностей необходимо вычисление первой кумулянты (или, что то же самое, первого центрального момент)

Rr.

В качестве первого шага выступает следующее выражение:

21(13),

являющееся следствием применения Теоремы Фубини (Fubini's Theorem). Поскольку наблюдаемая процентная ставка, , равна теневой ставке при значениях последней, превышающих пороговый уровень, , и равна пороговому значения при иных значениях теневой ставки,

,

и теневая ставка имеет нормальное распределение, , выражения и для которых известны с точки зрения параметров модели (как показано в приложении к работе Priebsch (2013)), то значение первой кумулянты искомого выражения приобретает следующий вид

ds 22(14).

В выражении (14) и Ф обозначают стандартную нормальную функцию плотности функции (standard normal probability density function, pdf) и кумулятивную функцию распределения (cumulative distribution function, cdf) соответственно. С учетом этого, возникает возможность рассчитать аналитическим образом вплоть до стандартной нормальной cdf, которую программные пакеты, такие как Matlab, способны оценивать точно и эффективно. Таким образом, первая кумулянта может быть рассчитана с помощью численного интегрирования на протяжении временных размерностей, как в (14).

5.4.1.3 Последовательность шагов для определения уравнения измерения

Рассмотренные ниже шаги резюмируют процедуру аппроксимации для бескупонных доходов для рассматриваемого набора параметров

и вектора состояний X_t (формулы позаимствованы из Priebsch(2013)

1) Расчет условного среднего и матрицы ковариации (r_u; r_s) для u, s ? t с помощью (15) и (16))

A.4(15)

A.5(16)

где соответствующие выражения для условного ожидания значений скрытых переменных в момент t относительно момента u и условная матрица ковариации скрытых переменных в момент t относительно значений скрытых переменных в моменты u и s,

A.1(17)

A.2(18)

Для упрощения вычислительных операций выражение (18) можно представить (Priebsch,2013) в следующем виде:

A.3.(19)

2) Вычисление и

На основе результатов, полученные в рамках шага 1, рассчитываются для u ? t, как это было описано в разделе 5.5.1.2. при рассмотрении подынтегрального выражения из (14):

ds (20).

Данный шаг требует оценки одномерной нормальной функции распределения (cumulative distribution function, cdf). Высокоточная эффективная аппроксимация по отношению к одномерной нормальной cdf встроено в большую часть вычислительных программных пакетов, поэтому численная оценка первого подынтегрального выражения не является вызовом.

3) Вычисление и

На данном шаге проводится численное интегрирование для расчета , описанное в рамках выражения (14):

ds 22(14).

4) Аппроксимация

Полученное в результате шага 3 выражение представляет из себя т.н. «теоретическую часть» уравнения измерения, т.е. аппроксимация Y по X без учета ошибки измерения.



5.4.1.4 Окончательный уравнения измерения с учетом ошибки измерения

В оригинальной работе Priebsch (2013) автор не рассматривает ошибки аппроксимации. В рамках данной работы в связи с выбором первой кумулянты данная ошибка измерения была введена в виде случайной величины о_t, распределенной как о_t ~ N(0;R_t), где , N_k - размерность вектора y_k. Таким образом, уравнение измерения имеет следующий конечный вид:

r + (21)

5.4.2 Оценка уравнения перехода

Как уже отмечалось в формуле (8) из раздела 5.4.2., коэффицента для уравнения перехода рассчитываются на основе параметров модели. Поскольку уравнение перехода имеет следующий вид

,7(8)

где е_t ~ N(0;Щ_Дt), а, как уже было отмечено, условные математическое ожидания и ковариация скрытых переменных имеют вид описанный в (17) и (18):

,A.1(17)

,A.2(18)

выражения (17) и (18) верны как для меры Q, в рамках которой коэффициенты используются для расчета уравнения измерения, так и для меры P, в рамках которой коэффициенты используются для расчета уравнения перехода. По этой причине коэффициенты уравнения измерения рассчитываются следующим образом:

(22)

(23)

(24)

Рассчитанное уравнение перехода готово к подстановке в фильтр Калмана.

5.4.3 Оценка параметров и

Как уже отмечалось, при решении задачи фильтрации в качестве побочного результата рассчитываются оценки среднего значения и ковариационной матрицы для y_t, условные относительно доступной информации о моменте t-1. На основе полученного результата возникает возможность сформулировать функцию квази-максимального правдоподобия, по методологии, предложенной в работе Lund (1997). Для получения оценок параметров модели и и их асимптотических стандартных ошибок необходимо подвергнуть численной максимизации по и рассчитанную квази-функцию правдоподобия.

Квази-функция максимального правдоподобия, согласно Lund(1997) имеет вид:

,(25)

,(26)

,(27)

где - значение инноваций в y в момент k;

- условное ожидание значения y в момент k, основанное на данных на момент k-1, рассчитываемое в рамках фильтра Калмана при выбранных параметрах и;

- условная ковариация прогнозируемых значений y в момент k, основанная на данных на момент k-1, рассчитываемая в рамках фильтра Калмана при выбранных параметрах и;

,

ковариация ошибки измерения о_k;

- длина вектора Y в момент k.

Для оценки значения стандартной ошибки параметра модели и_i использовалось следующее выражение:

где f(и) - логарифмическая квази-функция правдоподобия, - некое малое число.

5.5 Обзор проведенного анализа

5.5.1 Данные

При проведении анализа были использованы данные о ценах правительственных облигаций Германии на конец месяца за период с 1999 по 2008 гг. и 2012 по 2015. Выбор именно немецких облигаций связан с наличием отрицательных процентных ставок по бескупонным облигациям в рамках таких сроков как 1, 2, 3, 4 года в 2015 году (см. график 5.2). Цены облигаций получены из баз данных Bloomberg, Thomson Reuters Eikon и cbonds.ru. Анализировались только дисконтные облигации и облигации с фиксированным купоном.

Методика получения временной структуры процентных ставок, как и в работах Priebsch (2013) и Kim and Priebsch (2013) позаимствована из Fama and Bliss (1987) за тем отличием, что для анализа использовались немецкие правительственные облигации.

Методика Fama and Bliss (1987) имеет следующий вид. Каждый месяц временная структура однодневных непрерывно начисленных форвардных процентных ставок сперва рассчитывается из имеющихся сроков к погашению. Краткосрочные бескупонные облигации (до года) используются для сроков до погашения до года. Для расширения за пределы года принимается предпосылка ценообразования, согласно которой дневные форвардные ставки для интервала между последовательными сроками до погашения является релевантной ставкой дисконтирования для каждого дня на интервале, т.е. в период между сроками для погашения дневные форвардные ставки предполагаются равными.

Предположим, что дневные форвардные ставки для месяца t рассчитаны для сроков до погашения до T и следующая облигация погашается в период T+k. Купоны по облигации, которые должны быть получены до T рассчитываются с помощью дневных форвардных ставок от t до каждой даты платежа. Купоны и номинальные стоимости, которые должны быть получены после T оцениваются с помощью дневных форвардных ставок от t до T и вычисленных дневных форвардных ставок для периода от T до T +k приравнивающей цену облигации в момент t к величине всех платежей. Эти вычисления генерируют ступенчатую функцию временной структуры, в которой однодневные форвардные ставки равны одинаковы внутри месяца.

В результате суммирования дневных форвардных ставок возникает возможность для воссоздания временной структуры доходностей на конец месяца для сроков до погашения до необходимого периода. Доходности используются для вычисления неявных цен дисконтных облигаций на срок от 1 до T лет, из которых возможно рассчитать переменные временной структуры для проведения анализа.

При дальнейшем анализе использовались рассчитанные доходности для бескупонных облигаций со сроками 1, 2 и 3 года.

На графиках 5.1. и 5.2. отображены полученные доходности (значения доходностей отображены в Приложении 1).

График 5.1. Рассчитанные доходности бескупонных облигаций сроками в 1, 2 и 3 года за период с 01.01.1999 по 31.12.2008.

График 5.2. Рассчитанные доходности бескупонных облигаций сроками в 1, 2 и 3 года за период с 30.04.2012 по 30.04.2015.



5.5.2 Ограничения, наложенные на параметры, и начальные значения параметров

Как отмечалось в работе Kim and Priebsch (2013), без накладывания дальнейших ограничений на параметры модели и их оценка эконометрическими способами не является возможной. По этой причине, вслед за авторами указанной работы, принимаются следующие ограничения

- У = 0,1*I_N;

-

- является треугольной матрицей (все ячейки матрицы, расположенные выше главной диагонали, равны 0).

Поскольку для осуществления первоначального запуска фильтра Калмана нужны некие начальные значения параметров, данные значения было решено позаимствовать из результатов работы Kim and Priebsch (2013) относительно модели теневых ставок в рамках ZLB.

Дисперсия ошибки измерения была установлена на уровне 0.000001. Таким образом, ее стандартное отклонение равно 0,1% или 10 базисным пунктам.

Наконец, основываясь на выводах авторов работы Kim and Priebsch (2013), было принято решение о выборе числа скрытых переменных. Поскольку, по мнению авторов работы Kim and Priebsch (2013), три скрытых фактора в достаточной мере способны объяснить динамику процентной ставки, именно это число и было выбрано в рамках анализа.

5.5.3 Результаты проведенного анализа

Поскольку основной целью проводимого анализа являлось вычисление оценки параметра r_min, отображающего реальное на рассматриваемый период значение нижнего порогового ограничения для процентной ставки, на оценках именно этого параметра и будет сосредоточено все внимание.

В рамках анализа имеющиеся данные были разбиты на годовые промежутки, для каждого из которых в рамках описанной выше методологии был запущен «нечуткий» фильтр Калмана для получения оценок параметров модели и, а прежде всего r_min. Оценки параметра r_min и соответствующие стандартные ошибки приведены в таблице 5.1 (остальные оценки параметров предложены к рассмотрению в Приложении 2)

Таблица 5.1. Значения оценок параметра r_min и соответствующих стандартных ошибок для различных анализируемых годов.

Полученные результаты оказались достаточно неоднозначными. Во-первых, для нескольких лет (1999, 2001, 2004, 2014) используемая не смогла предоставить адекватных оценок с точки зрения стандартных ошибок. Во-вторых, среди проанализированных лет только для одного года было получено устойчивое отрицательное значение нижнего ограничения процентной ставки (2008). Таким образом, гипотеза о возможном отрицательном значении нижнего ограничения подтвердилась, но только лишь в одном случае, а многие потенциальные случаи аналогичного результата были упущены в связи с неадекватностью оценок, как, например, в случае с рассмотренным периодом с 30.04.2014 по 30.04.2015, в рамках которого рассчитанные доходности для бескупонных облигаций всех трех сроков для погашения были отрицательны для таких дат, как 30.11.2014, 28.02.2015 и 31.03.2015.

В остальных периодах оценка параметра r_min была устойчиво положительна или могла колебаться между отрицательными и положительными значениями.

5.5.4 Выводы из проведенного численного анализа

О чем может говорить существование отрицательного порогового значения? О том, что как уже было многократно сказано, условие отсутствие арбитража, связанное с нулевой номинальной доходностью наличности не выполняется. Люди готовы заплатить определенную сумму денег за возможность избавиться от имеющихся средств сегодня и получить их обратно через некоторое время снова. В рассмотренном случае оценка -0.8 для нижнего порога процентных ставок, очевидно занижена, и лишь говорит о хаосе, происходившем на финансовых рынках в связи с разразившимся кризисом. Очевидно, что реальные процентные ставки не доходили до означенного уровня, но указанное значение демонстрирует глубину потенциального падения.

5.6 Полезность оцениваемого параметра и полезность примененного метода

В результате проведенного анализа возникает достаточно логичный вопрос о том, какое применение может быть у полученной рассмотренным или иным способом оценки нижнего порогового значения для процентной ставки.

Во-первых, отрицательное значение оценки нижнего порогового значения для процентной ставки говорит о существовании нарушений нормального функционирования финансового рынка. Многократно упомянутая идея о том, что наличность и различного рода вложения не будут заместителями друг другу даже при отрицательной процентной ставке в связи с различного рода фрикциями (например, ценой хранения денег), является достаточно очевидным примером такого нарушения. Оценка параметра нижнего ограничения в данном случае позволит центральным и коммерческим банкам осознавать ту цену, которую владельцы средств готовы заплатить за их сохранение. Так, подобным образом возможно было бы оценить приемлемость выбранного уровня ставок по депозитам Центрального Банка Швеции в -0,25% в рассмотренном выше примере, возможно необходимо было установить и более низкий уровень, и данный поступок вполне отражал реальную ситуацию на рынке.

Во-вторых, оценка параметра нижнего ограничения необходима при предварительном анализе необходимости проведении нетрадиционных мер монетарной политики, таких как количественное смягчение (Quantitative Easing). Необходимость проведения нетрадиционной монетарной политики по определению связана с падением влияния традиционных мер монетарной политики, связанных с повышением или понижением ключевой ставки, при приближении ключевой ставки к 0. В связи с тем, что нижнее ограничение на процентную ставку может быть меньше нуля, не учет подобного фактора может привести к дополнительной потере эффективности проводимых мер.

В-третьих, рассмотренное подтверждение факта возможности отрицательного нижнего ограничения на процентные ставки может привести к необходимости пересмотра существующих моделей временной структуры процентной ставки, предполагающих неотрицательность процентных ставок. Возможно, в рамках подобных моделей необходимо вводить предположение о сдвиге нижнего нулевого ограничения на величину оцененного для данного момента реального нижнего ограничения. Подобная модификация существующих моделей (за исключением модели, используемой в данной работе и предполагающей учет данного фактора) может улучшить точность получаемых в рамках моделей оценок доходностей.

Одним из возможных недостатков проведенного в рамках данной работы анализа является использование версии подхода Priebsch (2013), предполагающей использование только первой кумулянты. Возможно, применение версии модели, учитывающей как первую, так и вторую кумулянту, позволит добиться больше точности оценок и предоставит возможность избежать неадекватных оценок параметров модели со значительными стандартными отклонениями.



Заключение

В рамках данной работы был осуществлен многосторонний подход к рассмотрению вопроса потенциальной возможности отрицательных номинальных процентных ставок.

Были приведены исторические примеры проявления данного феномена, осуществлен обзор литературы, касающейся нижнего нулевого ограничения на процентную ставку (zero lower bound), являющегося основным теоретическим объяснением невозможности появления номинальных отрицательных процентных ставок. В рамках данного обзора внимание уделялось как возможности снять данное ограничение посредством осуществления реформирования финансовой системы, так и попыткам доказать несущественность гипотезы о неотрицательности процентных ставок. Отдельное внимание было уделено работе, в рамках которой анализу был подвергнут частный случай появления отрицательных процентных ставок. Кроме того, был осуществлен подробнейший анализ существующих моделей т.н. «теневой ставки», предполагающих, что наблюдаемая процентная ставка является лишь проявлением в неотрицательных случаях гипотетической «теневой» ставки, которая может принимать отрицательные значения (а также другие способы моделирования временной структуры процентной ставки, предполагающие выполнение гипотезы о неотрицательности процентных ставок).

В рамках исследовательской части работы в рамках подхода, предложенного в статьях Priebsch (2013) и Kim and Priebsch (2013), была осуществлена попытка оценки нижнего ограничения процентной ставки с целью фиксации ее отрицательных значений на данных по немецким правительственным облигациям. Уникальность данного подхода заключается в том, что насколько известно автору данной статьи, прежде не осуществлялось целенаправленных попыток проанализировать динамику нижнего ограничения на процентные ставки на реальных данных, тем более с помощью метода, предложенного в указанных статьях. В результате проведения исследования существование отрицательного нижнего ограничения было подтверждено в рамках одного периода (2008), что продемонстрировало индикативное свойство нижнего процентного ограничения с точки зрения нарушения нормального функционирования финансового рынка. В конце работы представлены предложения по применению данного подхода к оценке нижнего процентного ограничения, а также дальнейшие способы его модификации.



Список использованной литературы

1. Black, F. (1995). Interest Rates as Options. Finance, 50, 1371-1376.

2. Black, F. and Karasinski, P. (1991). Bond and Option Pricing When Short Rates Are Lognormal. Financial Anal., July-August, 52-59.

3. Brennan, M. J. and Schwartz, E.S. (1979). A Continuous Time Approach to the Pricing of Bonds. Banking Finance, 3, 133-155.

4. Buiter, W.H. (2005). Overcoming the Zero Bound: Gesell vs. Eisler. International Economics and Economic Policy, 2: 189-200.

5. Buiter, W.H. (2009). Negative Nominal Interest Rates: Three Ways to Overcome the Zero Lower Bound. NBER Working Paper, 15118.

6. Bullard, J. (2012) Shadow Interest Rates and the Stance of U.S. Monetary Policy. Speech on November 8, 2012, Center for Finance and Accounting Research Annual Corporate Finance Conference, Olin Business School, Washington University, St. Louis.

7. Burgin, M. and Meissner, G. (2012). Larger than One Probabilities in Mathematical and Practical Finance. Review of Economics & Finance, Article ID: 1923-7529-2012-04-01-13.

8. Christensen, J.H.E., Diebold, F.X. and Rudebusch, G.D. (2011) The Affine Arbitrage-Free Class of Nelson-Siegel Term Structure Models. Journal of Econometrics, Vol. 164, 4-20.

9. Christensen, J.H.E. and Rudebusch, G.D. (2013). Estimating Shadow-Rate Term Structure Models with Near-Zero Yields. Working Paper, Federal Reserve Bank of San Francisco, 2013-07,

10. D'Avolio, G. (2002). The Market for Borrowing Stock. Journal of Financial Economics, 66, nos. 2-3 (November/December): 271-306.

11. Dai, Q. and Singleton, K. (2000). Specification Analysis of Affine Term Structure Models. Finance, 55, 1943-1978.

12. Dai, Q. and Singleton, K.J. (2002). Expectations Puzzles, Time-Varying Risk Premia, and Affine Models of the Term Structure. Journal of Financial Economics, Vol. 63, 415441.

13. Duffie, D. and Kan, R. (1996). A Yield Factor Model of Interest Rates. Math., Finance 6, 379-406.

14. Eisler, R. (1932). Stable Money: the remedy for the economic world crisis: a programme of financial reconstruction for the international conference 1933. London: The Search Publishing Co.

15. Feller, W. (1951). Two Singular Diffusion Problems. Ann. Math., 54, 173-82.

16. Fleming, M.J. and Garbade, K.D. (2004). Repurchase Agreements with Negative Interest Rates. Federal Reserve Bank of New York, Volume 10, Number 5, April 2004.

17. Goldstein, R. and Keirstead, W.P. (1997): On the Term Structure of Interest Rates in the Presence of Reflecting and Absorbing Boundaries. Working paper, Ohio State University. Available from: http://fisher.osu.edu/fin/journal/dice/papers/1997/97-1.html.

18. Gorovoi, V. and Linetsky,V. (2004). Black's Model of Interest Rates as Options, Eigenfunction Expansions and Japanese Interest Rates. Mathematical Finance, Vol. 14, No. 1, 49-78.

19. Guha, K. (2009). Fed study puts ideal US interest rate at ?5%. The Financial Times, April 27. Available from: http://www.ft.com/cms/s/0/37877644-32c9-11de-8116-00144feabdc0.html. Accessed on: 21 Jan 2010.

20. Ichiue, H. and Ueno, Y. (2007). Equilibrium Interest Rates and the Yield Curve in a Low Interest Rate Environment. Working Paper, Bank of Japan, 2007-E-18.

21. Ichiue, H. and Ueno, Y. (2013). Estimating Term Premia at the Zero Bound: An Analysis of Japanese, US, and UK Yields. Working Paper, Bank of Japan, 2013-E-08.

22. Ilgmann, C. and Menner, M. (2011). Negative nominal interest rates: history and current proposals. International Economics and Economics Policy, 8:383-405.

23. Jarrow, R.A. (2013). The zero-lower bound on interest rates: Myth or reality? Finance Research Letters, 10 (2013), 151-156.

24. Jones, C.M. and Lamont, O.A. (2002). Short-Sale Constraints and Stock Returns. Journal of Financial Economics, 66, nos. 2-3 (November/ December): 207-39.

25. Kim, D.H. and Singleton, K.J. (2012). Term Structure Models and the Zero Bound: An Empirical Investigation of Japanese Yields. Journal of Econometrics, Vol. 170, 32-49.

26. Kim, D. H., and M. Priebsch (2013). Estimation of Multi-Factor Shadow-Rate Term Structure Models. Manuscript, Federal Reserve Board, Washington, D.C.

27. Krippner, L. (2012) Modifying Gaussian Term Structure Models when Interest Rates Are Near the Zero Lower Bound. Discussion Paper, Reserve Bank of New Zealand, 2012-02.

28. Krippner, L. (2013). Measuring the Stance of Monetary Policy in Zero Lower Bound Environments. Economics Letters, Vol. 118, 135-138.

29. Lund, J. (1997). Non-Linear Kalman Filtering Techniques for Term Structure Models. Working Paper, Aarhus School of Business.

30. Mankiw, G. (2009). It may be time for the fed to go negative. The New York Times, April 19. Available from: http://www.economics.harvard.edu/faculty/mankiw/files/It%20May%20Be%20Time.pdf. Accessed on: 6 July 2009.

31. Priebsch, M. 2013. Computing Arbitrage-Free Yields in Multi-Factor Gaussian Shadow-Rate Term Structure Models. Finance and Economics Discussion Series Working Paper, 2013-63, Board of Governors of the Federal Reserve System.

32. Redding, L.S. (1999). Negative nominal interest rates and the liquidity premium. Economics Letters, 62 (1999), 213-216.

33. Rogers, L. C. G. (1996). Gaussian Errors. Risk, 9, January, 42-45.

34. Sveriges Riksbank (2009). Press release: Repo rate cut to 0.25 per cent, July 2. Available from: http://www.riksbank.com/pagefolders/41535/nr67e.pdf. Accessed on: 4 Feb 2010.

35. Van Suntum, U., Kaptan, M. and Ilgmann, C. (2011). Reducing the Lower Bound on Market Interest Rates. Economic Analysis & Policy, Vol. 41 No. 2, September 2011.

36. Vasicek, O. A. (1977). An Equilibrium Characterization of the Term Structure, Financial Econ., 5, 177-188.

Приложение 1

Перечень использованных эмиссий немецких правительственных облигаций

Приложение 2

Значения рассчитанных доходностей бескупонных облигаций сроками в 1, 2 и 3 года



Приложение 3

Оценки параметров модели и их стандартные ошибки по годам

Размещено на Allbest.ru