Разница между ставками по общим обеспеченным сделкам репо и «специальным» является измерителем «особости» бумаги. Если спрос на заимствование бумаги является скромным относительно предложения, доступного к заимствованию, дилер, заимствующий ценную бумагу, обычно имеет возможность ссудить свои деньги по ставке не ниже, чем ставка по общим обеспеченным сделкам репо минус 15-25 базисных пунктов. Если спрос на заимствование высок или, если предложение ограничено, «специальные» процентные ставки по ценным бумагам могут быть существенно ниже ставки по общим обеспеченным сделкам репо, а спред «уникальности» (specialness spread), соответственно, высок.

3.1.1.3 Нижнее ограничение для ставок по специальным обеспеченным сделкам репо

Процентные ставки по специальным обеспеченным сделкам репо практически всегда остаются выше нуля, поскольку вместо ссуды денег по отрицательным процентным ставкам для заимствования чрезвычайно редкого актива, агент, осуществляющий короткую продажу, может предпочесть отказаться выполнять обязательства по поставке. Под невыполнением взятых обязательств по доставке понимается непредоставление агентом обещанных ценных бумаг покупателю в установленное время поставки, а, следовательно, неполучение платежа по ценной бумаге. В рамках рынка ценных бумаг Казначейства принята договоренность переносить доставку на следующий день по неизменной цене. Таким образом, цена невыполнения взятых обязательств является равной издержкам заимствования бумаги в рамках специальных обеспеченных сделок репо по нулевой процентной ставке. Из этого следует, что отказ от выполнения обязательств поставки является более предпочтительным относительно заимствования ценной бумаги по отрицательным «специальным» ценам.

Нулевая нижняя граница для «специальных» ставок зависит от отсутствия каких-либо издержек или наказаний, связанных с невыполнением обязательств, за исключением задержки поступлений по цене поставки. Как бы то ни было, события 2003 года показали, что невыполнение обязательств может иногда иметь значительные дополнительные затраты, и что эти издержки могут привести к отрицательным процентным ставкам по специальным обеспеченным сделкам репо.

3.1.2 Короткие продажи и проблемы с проведением расчетов летом 2003 года

Среднесрочные доходности по бумагам Казначейства резко росли в течение лета 2003 года. Размер роста доходностей по десятилетним бумагам составлял от 3.15 процентов в середине июня до 3.50 процентов в конце июня и до 4.50 процентов в середине августа. Рост привел к значительному увеличению числа коротких продаж наиболее новых десятилетних облигаций (ставка по бумагам со сроком погашения в мае 2013 года составляла 3,625 процентов), поскольку держатели активов с фиксированной доходностью продавали бумаги в короткую для хеджирования против возможного дальнейшего роста процентной ставки. Спрос на заимствование бумаги (доставка в рамках коротких продаж) расширялся соразмерным образом.

В то время как ставка по общим обеспеченным сделкам репо была на уровне 1 ј процента вплоть до конца июня, а впоследствии на уровне 1 процента, «специальные» ставки по десятилетним бумагам были около нуля. Спрос на заимствование бумаги привел «специальную» ставку на уровень в несколько базисных пунктов выше нуля 23 июня. Ставка стала ниже нуля 10 июля, после чего дополнительный спрос на заимствование привел к проблемам с расчетами по сделкам.

В отсутствие каких-либо доказательств того, что процентная ставка прекратила рост, хеджеры удерживали свои короткие позиции в течение июля. Спрос на заимствование десятилетних бумаг оставался значительным и «специальные» ставки на бумагу оставались около нуля. Устойчивость «специальных» ставок на нулевом уровне привела к отсутствию у торговцев экономических стимулов к заимствованию бумаги для разрешения их проблем с расчетами по сделкам.

3.1.2.1 Стратегические провалы рынка

Ситуации невыполнения обязательств по сделкам (fails) могут иметь более тяжелые последствия. Это происходит когда некоторые участника рынка осознают, что они могут бесплатно (или практически бесплатно) приобрести опцион для спекулирования на увеличении «специальной» процентной ставки по десятилетней бумаге с помощью заключения договора на ссуду ценной бумаги в обмен на заимствование денег по нулевой (или почти нулевой) процентной ставке на срок в несколько дней или недель, после чего они преднамеренно не выполняют поставку бумаги. Понимание природы этого опциона требует оценки последствий срыва сделки для установления первой части сделки репо.

Рыночные договоренности постановляют, что если агент, предоставляющий обеспечение, не выполняет обязательства по поставке бумаг в установленную начальную дату сделки репо, и это приводит к несовершению поставки от его контрагента, то несмотря на это данный агент обязан выплатить на процентные платежи контрагенту по номинальной стоимости объема заимствования на полный срок сделки репо. Полная сумма процентных платежей по сделкам репо должна быть выплачена независимо от того, предоставляется ли агентом обеспечение позднее назначенного срока или поставка не совершается как таковая (срок действия контракта по сделкам репо истекает в изначально установленную конечную дату даже в том случае, если поставка бумаг была осуществлена позднее). Помимо всего прочего, указанная рыночная договоренность стимулирует агентов, предоставляющих обеспечение, осуществлять поставку бумаг в установленную начальную дату.

Однако, рассмотрим трейдера, который не владеет десятилетней облигацией, но, тем не менее, согласился дать в долг данную бумагу на период с 15 по 29 июля 2003 года в обмен на заимствование 10 миллионов долларов под нулевую ставку процента. Предположим, что трейдер не выполняет свои обязательства по поставке бумаги в указанную начальную дату. Вне зависимости от того, доставит ли трейдер бумагу позднее или не поставит ее совсем, трейдер не будет иметь задолженности перед контрагентом по процентным платежам, поскольку процентная ставка по контракту является нулевой. Допустим также, что «специальная» ставка по десятилетней бумаге для сделки репо, заканчивающейся 29 июля, поднимается до 0.5% 22 июля. Таким образом, трейдер может занять бумагу на период с 22 по 29 июля в обмен на заимствование 10 миллионов долларов, заработав на этом 972 доллара на процентных платежах (972 = (7/360) ? 0.5% ? 10 000 000). После этого агент может поставить заимствованную бумагу в рамках изначального контракта репо, получив 10 миллионов долларов по нулевой процентной ставке на 7 оставшихся дней контракта. Заимствованные 10 миллионов идут на погашение заимствования ценной бумаги, в результате чистая прибыль трейдера составляет 972 доллара.

Простой анализ может быть применимым в том случае, если «специальные» ставки являются положительными, но небольшими. К примеру, если «специальная» ставка на 14 дней по десятилетней бумаге равна 0,05%, трейдер заплатит только 194 доллара за неявный опцион, описанный в предыдущем параграфе (194 = (14/360) ? 0.05 % ? 10 000 000).

3.1.2.2 Дополнительные издержки невыполнения обязательств по сделкам

К началу августа дилеры начали нести значительные дополнительные издержки, которые являются результатом срывов сделок. Альтернативные издержки, связанные с требованиями регулятивного капитала, могут служить одним из примеров таких дополнительных издержек. Согласно правилу чистого капитала (net capital rule) Государственной комиссии по ценным бумагам и фондовому рынку США (Securities and Exchange Commission, SEC) дилеры должны держать дополнительный капитал по невыполненным обязательствам по поставке, просроченным на 5 и более рабочих дней, и по всем обязательствам, по которым должны были быть осуществлены поставки контрагентами и не были произведены в течение более чем 30 календарных дней. Дополнительный капитал запрашивается, т.к. продолжительное невыполнение обязательств по сделкам является источником кредитного риска.

Если две стороны согласны на проведение операций с ценными бумагами, и покупатель становится неплатежеспособным прежде совершения расчетов по сделке, продавец будет нести убытки, если цена ценной бумаги упадет, и он будет вынужден искать покупателя на замену для совершения сделки по более низкой цене. Покупатель будет нести убытки, если цена на ценную бумагу увеличится после окончания ведения переговоров по сделке, после чего покупатель станет неплатежеспособным. Капитальные затраты по сделкам, по которым в течение продолжительного времени не выполняются обязательства, поглощает капитал, который при других обстоятельствах был бы доступным для проведения прибыльных операций по принятию риска. Таким образом, дилеры подвергаются альтернативным издержкам.

К началу августа дилера также испытали на себе последствия увеличение затрат на рабочую силу и ухудшение отношений с клиентами. Издержки на заработную плату росли, поскольку дилеры были вынуждены переключать персонал бэк-офиса с его обычных функций на снижение задолженности по невыполненным сделкам. Клиенты становятся не слишком счастливыми, когда они не получают ценные бумаги, которые они покупали, даже после длительной задержки. Это ставит их в позицию вынужденного финансирования коротких позиций дилера, что, в свою очередь, означает, что им самим нечего поставлять по сделкам, в рамках которых они решили продавать.

3.1.3 Отрицательные «специальные» процентные ставки

В напряженных условиях раннего августа некоторые дилеры стали готовы платить проценты за получение по выданному займу обеспечения в виде десятилетних облигаций. Они пришли к выводу, что для них будет более выгодно платить проценты за заимствование ценной бумаги, необходимой для решения их расчетных проблем по невыполненным обязательствам, чем продолжать нести капитальные издержки, издержки рабочей силы и вызывать неудовлетворенность клиентов, связанную с невыполнением взятых обязательств.

3.1.3.1 Комиссия за открытия кредита в рамках кредитных аукционов ценных бумаг, проводимых ФРС

Этот стресс немного облегчил последующий выпуск новых десятилетних облигаций 15 августа (ставка составила 4,25%, дата погашения - август 2013). Средняя комиссия по займам в рамках проводимых аукционов по облигациям со ставкой 3,625% снизилась до примерно 1%, неявная ставка по специальным обеспеченным сделкам репо выросла до нулевого уровня. Однако, 8 сентября около 11 часов Министерство финансов США (the Treasury Department) объявило, что возобновит эмиссию десятилетних облигаций, выпущенных по ставке 4,25% на аукционе 11 сентября. Данная мера подавила всякую надежду на возобновление эмиссии облигаций со ставкой 3,625% для облегчения расчетных проблем, связанных с данной бумагой. В тот же самый день комиссия по займам по данной облигации снова выросла выше уровня ставки по общим обеспеченным сделкам репо и неявная «специальная» ставка упала до уровня -11 базисных пунктов. Неявная «специальная» ставка оставалась значительно ниже нуля в плоть до начала октября, рекордно низкой была ставка на уровне -146 базисных пунктов, достигнутая 26 сентября.

График 1. Overnight специальная ставка на казначейских облигации со ставкой 3,625% в мае 2013 и overnight ставка по общим обеспеченным сделкам РЕПО

График 2. Подразумеваемая специальная ставка на казначейские облигации со ставкой 3,625% в мае 2013 на кредитных аукционах ФРС

3.1.3.2 «Специальные» ставки по облигации со ставкой 3,625%

При сравнении графика 1 и 2 возникает вопрос, почему «специальные» ставки по бумагам со ставкой 3,625% оставались на нулевом уровне, в то время как неявные «специальные» ставки по тем же бумагам в рамках кредитных аукционов ФРС были значительно ниже нуля. Частично, ответ на данный вопрос заключается в разнице между определенностью, что ФРС осуществит поставку бумаг в рамках аукциона, и вероятностью, что частный кредитор обеспечения предоставит бумагу в рамках сделки. Дилеры были готовы платить премию за заимствование у ФРС, поскольку ФРС всегда выполняет взятые обязательства (ФРС выставляет на аукцион только те бумаги, которые он реально имеет на своих счетах).

В то же время, частный кредитор может не выполнить обязательства поставки в рамках специальных обеспеченных сделок репо, как и частный продавец не поставить вовремя необходимую в рамках сделки продажи. Несоблюдение обязательств поставки было существенным риском в случае с рассматриваемыми бумагами со ставкой 3,625%, поскольку, как объяснялось ранее, «специальные» ставки на нулевом или близком к нему уровне создавали стимулы для участников рынка, не являвшихся владельцами бумаги, согласиться ссудить ее, а затем преднамеренно не выполнить данное обязательство. Отсутствие каких-либо общепризнанных договоренностей о том, как процентные платежи будут рассматриваться в случае расчетных проблем, было одной из причин существования разницы между нулевой «специальной» процентной ставкой на частном рынке заимствования обеспечения и негативной неявной «специальной» ставкой на аукционах обеспечения, проводимых ФРС.

3.1.3.3 Специальные обеспеченные сделки репо с гарантированной поставкой по отрицательным процентным ставкам

В середине сентября некоторые дилеры начали участвовать в сделках репо с «гарантированными поставками» по облигациям со ставкой 3 5/8 с процентными ставками, доходящими до -3%. Гарантия поставки по данным контрактам была слабее, чем контрактное соглашение о том, что агент, предоставляющий обеспечение, будет нести все потери, связанные с несоблюдением им обязательств поставки, но была сильнее обязательств по поставке обеспечения по традиционным сделкам репо. Участники рынка с гарантированной поставкой имели одинаковое понимание того, что предложение гарантированной поставки может быть осуществлено только в том случае, если облигации были уже во владении заимодавца и доступна для проведения расчетов. Участники также имели одинаковое понимание того, что контракт с отрицательной ставкой будет отменен в том случае, агент, обязавшийся предоставить обеспечение, не смог этого сделать к установленной начальной дате. Данное условие предотвращало использование контрактов с гарантированной поставкой в качестве инструмента для спекуляций, связанных с возможным ростом «специальных» ставок по облигациям.

Сделки репо с отрицательными ставками не сделали финансирование короткой позиции по бумагам со ставкой 3,625% более дорогими, чем они были. Они лишь конвертировали неявные дополнительные издержки невыполнения обязательств, включая возрастающие капитальные издержки, повышение затрат рабочую силу и неудовлетворенность клиентов, в явные издержки ссуды денег под отрицательную процентную ставку с целью решения возникшей проблемы с невыполнением взятых обязательств. Более того, отрицательные процентные ставки в удобной форме предоставили владельцам рассматриваемых бумаг несколько дополнительных стимулов к ссуде этих бумаг.

После середины октября 2003 рыночная напряженность, связанная с десятилетними облигациями Казначейства, выпущенными под ставку 3,625%, постепенно снизилась, и дилеры начали добиваться прогресса в снижении объемов невыполненных обязательств с помощью усилий отрасли по идентификации и чистого взаимного зачета невыполненных обязательств среди множества контрагентов. Запросы и предложения на облигации в рамках сделок репо с гарантированными поставками с отрицательным процентным ставкам исчезли и частота, с которой кредитные комиссии аукционов ФРС превосходили ставки по общим обеспеченным сделкам репо снизилась.

3.2 Выводы рассмотренных случаев эмпирического проявления отрицательной процентной ставки

Основной вывод, который необходимо сделать из рассмотренного случая с точки зрения анализа феномена отрицательной процентной ставки, заключается в том, что отрицательная процентная ставки стали индикатором превышения важности для инвестора такого фактора как редкость предоставляемого залога относительно важности ключевой, казалось бы, характеристики «доходность. В рассмотренном случае, как и в разделе 2.3., отрицательная процентная ставка стала следствием снижения нулевого нижнего ограничения на некий ограниченный уровень, связанным с посторонними факторами, но не снятия нулевого нижнего ограничения на процентную ставку.

4. Моделирование процентной ставки при достижении уровня, близкого к нулю

Помимо анализа теоретических моделей, учитывающих возможность отрицательных процентных ставок, а также эмпирических исследований, изучающих отдельные проявления феномена отрицательных процентных ставок, видится необходимым рассмотрение литературы, посвященной моделированию процентных ставок с учетом предположения о неотрицательности процентной ставки. Обзор подобных работ является исключительно важным, поскольку, как было выяснено в предыдущих разделах, предпосылку о существовании нулевого нижнего ограничения процентных ставок потенциально оправданно должна быть модернизирована до предпосылки об отрицательном нижнем ограничении процентных ставок. А осуществление подобной работы вполне логично проводить на основе существующих моделей, учитывающих ограничение в виде неотрицательности процентной ставки.

4.1 Обзор моделей процентных ставок, позволяющих учитывать неотрицательность процентных ставок Материал представлен по статьям Gorovoi and Linetstky (2004) и Christensen and Rudebusch (2013)

Номинальные доходности по государственному долгу в нескольких странах упали очень близко к их нулевой нижней границе (zero lower bound, ZLB). Особенно ярко данный факт проявился в доходностях японских правительственных облигаций, имеющих различный срок до погашения, находившихся на уровне, близком к нулю с 1996 года. Аналогично, многие ставки по бумагам Казначейства США понизились достаточно близко к нулевому уровню в течение нескольких, последовавших за финансовым кризисом конца 2008 года. Таким образом, понимание того, каким образом моделировать временную структуру процентных ставок, когда некоторые из этих ставок близки к ZLB является привлекательным для таких направлений, как оценивание портфеля облигаций, риск-менеджмент, анализ макроэкономической и монетарной политик.

До тех пор, пока инвесторы могут держать наличность, они владеют опционом хранения наличности, согласно которому нулевая номинальная доходность наличности будет более привлекательной по сравнению с любой бумагой с отрицательной доходностью. Следовательно, номинальная процентная ставка должна оставаться неотрицательной для предотвращения возможностей арбитража. На практике, после того как процентные деривативы были оценены, наиболее распространенные гауссовы модели процентной ставки, начиная с модели Васичека (Vasicek, 1977), не исключают возможность появления отрицательных процентных ставок, в том числе и аффинные гауссовы динамические модели временной структуры процентной ставки. Многократно утверждалось, что отсутствует повод для беспокойства, поскольку вероятность отрицательных процентных ставок достаточно мала. В то время как зачастую данное утверждение верно, Rogers (1996) доказал, что цены некоторых производных инструментов чрезвычайно чувствительны к вероятности отрицательных процентных ставок. Для подобных производных инструментов цены, которые предсказываются гауссовыми моделями, могут быть абсурдными.

Другой класс моделей использует диффузионные процессы для номинальной мгновенной процентной ставки (краткосрочной ставки), ограниченные условием того, что ноль является недостижимой границей. Динамика краткосрочной ставки ограничена на интервале (0,?), и краткосрочная ставка никогда не сможет достигнуть нуля. Модели Brennan and Schwartz (1979) и популярная на практике Black and Karasinski (1991) являются наиболее известными примерами. В этих моделях присутствуют волатильность логнормальной мгновенной ставки, дрифт возвращения к среднему (mean-reverting drift). Общая особенность данных моделей заключается в том, что волатильность стремительно падает, если ставка приближается к нулю, в следствие чего происходит «выключение» диффузионного компонента и последующее смещение процесса от нулевого значения дрифтом возвращения к среднему. Как результат ноль остается недостижимым.

Модель квадратного корня Cox, Ingersoll And Ross (1985; далее - CIR) является пограничным случаем. Если дрифт возвращения к среднему достаточно большой относительно волатильности, ставка не может достигнуть нуля. Когда же это условие не выполняется, ставка может достигнуть нуля, и может возникнуть необходимость ограничительного условия на нулевом уровне. Точнее, если условие Feller (1951) выполняется, 2ки ? у², ноль является недостижимым входным ограничением для процесса. В ином случае требование неотрицательности ставки становится достижимой регулярной границей, а, следовательно, ограничивающее условие должно быть специфицировано. В обоих случая волатильность краткосрочной ставки спадает подобно квадратному корню при снижении краткосрочной ставки до нулевого уровня.

Подобная структура волатильности, исчезающая при приближении к нолю, противоречит накопленным эмпирическим данным. В экономической истории было несколько периодов, когда краткосрочная процентная ставка падала до нулевого уровня. В США это происходило 30-х годах двадцатого века. Более поздним примером подобного явления является краткосрочная процентная ставка в Японии во второй половине 1990-х годов, находившаяся на уровне менее 1% и эпизодами достигавшая нуля. Однако, хотя краткосрочная ставка оставалась на уровне, близком к нулю, волатильность оставалась на достаточно высоком уровне в течение всего периода (Goldstein and Keirstead, 1997). Очевидно, что и гауссовы модели, позволяющие ставкам становиться отрицательными, и логнормальные модели или модели квадратного корня с нулевыми недостижимыми границами и исчезающей волатильностью являются неадекватными для симулирования режима низкой процентной ставки.

Существующие многофакторные модели временной структуры также не позволяют найти решение данной проблемы. Точнее говоря, рассматривая семейство аффинных моделей, таких как Dai and Singleton (2000) и Duffie and Kan (1996), в которых мгновенная краткосрочная процентная ставка является аффинной функцией N-размерного вектора состояний факторов, предполагающимися следующими N-размерному аффинному диффузионному процессу. Для гарантирования неотрицательности краткосрочной процентной ставки все факторы должны быть ограничены неотрицательными значениями. Согласно классификации Dai and Singleton, только подсемейство AN(N) коррелируемых моделей CIR удовлетворяет этому ограничению (подсемейства Am(N), где m<N, имеющие N - m факторов, которые могут принимать отрицательные значения. Подсемейство AN(N) содержит многофакторные обобщения модели CIR. Все факторы так же, как и краткосрочная ставка процента, остаются строго положительными, и волатильность всех факторов исчезает при падении значений факторов до нулевого уровня.

Таким образом, необходимы качественно разные классы моделей процентной ставки для симулирования режимов низкой процентной ставки. Однако, предпочтительными выглядят модели процентной ставки, в которых процентная ставка остается неотрицательной (хотя может быть равной нулю) и, в тоже время, имеет неисчезающую волатильность при низких ставках. Black (1995) предложил следующую модель процентных ставок в качестве опционов. Black утверждал, что краткосрочная процентная ставка не может стать отрицательной, поскольку наличность является по своей сути опционом: когда любой инструмент имеет отрицательную процентную ставку, существует возможность выбора вместо него наличности. По этой причине возможно рассматривать краткосрочную ставку саму по себе как опцион: мы можем выбрать лежащий в основе инструмента процесс, который может принимать отрицательные значения, и просто заменить все отрицательные значения на ноль. Мы по-прежнему имеем однофакторный процесс: или краткосрочная ставка (когда основополагающий процесс положителен или равен нулю), или то, какой краткосрочная ставка должна быть без опциона наличности (когда основополагающий процесс принимает отрицательные значения). Black назвал данный процесс «теневой краткосрочной процентной ставкой» (shadow short rate). В такой модели теневая краткосрочная процентная ставка может стать отрицательной, номинальная краткосрочная ставка является положительной часть теневой ставки, и все временные процентные ставки строго положительны. Схожая модель была независимо рассмотрена Rogers (1995).

В статье Black (1995) теневая краткосрочная процентная ставка используется для объяснения существования наличности на основе обращения к интуитивной логике, хотя подобная трактовка данного введенного термина редко использовалась. Это связано с тем, что процентные ставки во многих странах в течение длительного времени были значительно выше нуля, из-за чего положительные вероятности будущих отрицательных процентных ставок, прогнозируемые на основе гауссовых моделей, были незначительными и неправдоподобными для того, чтобы быть важными для ценообразования облигаций. Однако, в последнее время, когда доходности по всему миру находятся на уровне исторических минимумов, данный довод более неприменим.

4.2 Результаты авторов Gorovoi, Linetsky (2004)

В рамках рассматриваемой работы авторы Gorovoi and Linetstky (2004) предоставляют свои аналитические решения для облигаций с нулевым купоном и облигационным опционам в этой модели. Когда теневая ставка моделируется как скалярная диффузия, авторы интерпретируют облигацию с нулевым купоном как преобразования Лапласа оператора области диффузии основополагающей теневой ставки (диффузия оценивается в единицах параметра преобразования). Используя метод расширенной характеристической функции (Davydov and Linetsky 2003; Linetsky 2002a, 2002b), авторы выводят аналитические решения для облигаций с нулевым купоном и облигационных опционов согласно процессам Васичека и смещенным CIR процессам для теневой ставки. Как только теневая ставка приближается к нулевому значению, волатильность не исчезает. Данный класс моделей может быть использован для моделирования режимов низких значений процентной ставки.

Black (1995) и Rogers (1995, 1996) также обсуждали модель, в которой краткосрочная процентная ставка является диффузией на [0, ?) с граничным условием с отражением на уровне нуля. Black (1995) критиковал такие модели в связи с экономическими обоснованиями, высказываясь за модель процентной ставки как опционов. Модели с граничными условиями с отражениями на нулевом уровне в дальнейшем были рассмотрены в интересной модели Goldstein and Keirstead (1997), авторы которой получили решения для цен облигаций с нулевым купоном в терминах расширенной характеристической для некоторых спецификаций процесса.

Авторы утверждали, что модели Black процентной ставки в качестве опциона имеют недостаток в том, что невозможно аналитически отслеживать, когда модель с граничными условиями с отражением на нулевом уровне предполагает аналитическое решение для облигаций с нулевым купоном и европейских процентных производных инструментов. В рассматриваемой работе авторы Gorovoi and Linetstky (2004) доказывают, что, на самом деле, модель Black процентной ставки в качестве опциона является абсолютно разрешимой как модель с ограничением и отражением. Авторы получили аналитические решения как для облигаций с нулевым купоном, так и для облигационных опционов с учетом нескольких спецификаций для процесса теневой ставки. В связи с этим можно сказать, что нет необходимости ограничиваться в рамках модели с отражающими границами на нулевом уровне с целью сохранить аналитическую разрешимость.

4.3 Проблематичность оценивания моделей теневых ставок и использование подхода, основанного на опционах Материал представлен по статье Christensen and Rudebusch (2013).

Дополнительным фактором, ограничивающим внедрение структуры, предполагающей существование теневых процентных ставок, является наличие трудностей оценивания данных нелинейных моделей. Gorovoi and Linetsky (2004) вывели квази-аналитические формулы для цен облигаций для случая гауссовых однофакторных моделей теневой ставки, а также аналогичных моделей, основанных на методе квадратного корня. К сожалению, их результаты невозможно расширить для случая многомерных моделей. Однако, небольшое число более ранних исследований в области моделей теневых процентных ставок были основаны на количественных методах ценообразования. В свете вычислительного бремени данных методов, предыдущие оценки моделей теневой процентной ставки были сфокусированы на моделях, использующих только один или два фактора. К примеру, Ichiue and Ueno (2007) и Kim and Singleton (2012) осуществляют оценку двухфакторной гауссовой модели теневых процентных ставок на основе метода максимального правдоподобия по данным доходностей японских облигаций, используя расширенный фильтр Калмана и численную оптимизацию. Данные работы были ограничены только двумя ценообразующими факторами из-за трудности вычисления для большего числа факторов. Данный практический недостаток потенциально является достаточно серьезным, учитывая широкую распространенность высокоразмерных моделей оценивания облигаций в исследованиях и отрасли. Зато, для преодоления практических сложностей эмпирического применения, Ichiue and Ueno (2013) упростили структуру с помощью игнорирования эффектов выпуклости облигаций (bond convexity effects), благодаря чему размеры получившихся отклонений от безарбитражного оценивания остались неясны.

Альтернативный подход, основанный на опционах, позволяющий снизить вычислительное бремя, связанное с ZLB, представленный Krippner (2012), предоставляет возможность провести разрешимое оценивание динамический моделей временной структуры теневых процентных ставок, имеющих более двух факторов. Суть подхода, основанного на опционах, заключается в том, что цена стандартной рассматриваемой облигации (ограниченной рамками ZLB) должна быть равна цене облигации, рассчитанной в рамках теневых процентных ставок, (которые не ограничены ZLB) за вычетом цены опциона колл, относящегося к возможности того, что неограниченные теневые ставки могут стать отрицательными. Если это происходит, владелец «теневой облигации» будет вынужден продавать вероятностную меру, связанную с теневыми облигациями (с нулевым купоном), торгующимися выше номинала с целью выравнивания стоимости рассматриваемой облигации. К сожалению, данный опцион колл тяжело оценить, поэтому Krippner (2012) предоставляет только решение, приближенное к корректному. Krippner утверждает, что ошибка аппроксимации с большой долей вероятности мала, однако на практике сведений о ее размерах и свойствах достаточно мало.

Однако, Priebsch (2013) продемонстрировал, что данный метод может предлагать доходности, которые отклоняются от безарбитражных более чем на 5 базисных пунктов в реалистичных эмпирических условиях, и ошибка аппроксимации принимает наибольшие значения именно при накладывании ограничения ZLB. Priebsch (2013) предлагает для аппроксимации безарбитражных доходностей в гауссовых моделях теневой ставки использовать разложение производящей функции кумулянтов второго порядка. Он продемонстрировал, что данный метод обладает точностью вплоть до половины базисного пункта и в течения нормальных периодов, и при проявлении эффекта нулевого нижнего ограничения. Кроме того, предложенный метод является достаточно быстрым с точки зрения вычислительной реализации при оценивании и не страдает от проклятия размерности. Именно этот метод используется в работе Kim and Priebsch (2013), являющейся основополагающей для данной работы, для приблизительного оценивания доходностей в условиях ZLB.

5. Исследовательская часть работы. Оценка нижнего ограничения для процентных ставок

Следующим шагом после рассмотрения литературы, касающейся вопросов неотрицательности процентных ставок, нижнего нулевого ограничения и способов его учета в рамках моделирования временной структуры процентных ставок, выступает поиска способа оценивания нижнего ограничения для процентных ставок. Насколько известно автору рассматриваемой работы, подобная задача не ставилась целенаправленно до сих пор. Поэтому большой удачей видится существования математического аппарата, одним из косвенных результатов работы которого является как раз оценка подобного ограничения в качестве параметра. Подобное использование данного математического аппарата является осуществляется впервые.

В качестве указанного математического аппарата выступает модель, рассмотренная в работах Priebsch (2013) и Kim and Priebsch (2013). В рамках первой работы рассматривается метод моделирования временной структуры процентных ставок на основе теневых ставок, а во второй его практическое применение. Необходимо сразу отметить, что в отличие от работ Kim and Priebsch (2013) и Priebsch (2013), в рассматриваемой работе использовались только доходности, полученные из оценок временной структуры на основе наблюдаемых цен, а не их комбинация с прогнозами, полученными в результате опросов представителей авторитетных финансовых организаций, поэтому касающиеся последних элементы модели были исключены из рассмотрения.

Кроме того, важно отметить, что, поскольку целью данной работы выступала оценка нижнего процентного ограничения, многие возможности модели указанных выше авторов (например, оценка динамики теневой ставки) не были использованы. Следовательно, основное внимание при обсуждении модели будет уделено именно методологии получения оценок параметров модели.

5.1 Описание модели: общие установки, описание зависимостей между процентными ставками, ценами бескупонных облигаций и их доходностями

В рамках данного раздела будут предложены к рассмотрению основные предпосылки метода анализа динамики процентных ставок на основе нижнего нулевого ограничения и теневых ставок, предложенного в работах Priebsch (2013) и Kim and Priebsch (2013).

Авторы работ Kim and Priebsch (2013) и Priebsch (2013) предлагают работать в рамках стандартных установок с непрерывным временем и N скрытых (латентных) гауссовых факторов, обозначаемых X_t.

Пусть W_t^P обозначает N-мерное стандартное броуновское движение на полном вероятностном пространстве (Щ; F; P) с классической фильтрацией {F}_t?0. Предположим существование ценовой меры Q на (Щ;F), являющейся эквивалентной P, и обозначим как W_t^Q броуновское движение в рамках Q, что следует из теоремы Гирсанова (Karatzas and Shreve, 1991). Предположим, что скрытые факторы (или состояния), отображающие неопределенность, лежащую в основе срочных ценных бумаг, следуют многомерному процессу Орнштейна - Уленбека (Ornstein-Uhlenbeck):

(1)

где м ?{P;Q}.

Далее, предположим, что нормально распределенная краткосрочная ставка имеет вид:

(2)

Тогда, по определению, безарбитражная цена бескупонной облигации в момент t со сроком погашения в момент T будет равна:

(3)

Соответствующая доходность бескупонной облигации определяется как

(4)

Поскольку скрытые факторы X_t следуют гауссовым процессам (Karatzas and Shreve, 1991), из (2) следует, что краткосрочная ставка r_t принимает строго отрицательные значения со строго положительной вероятностью. Black (1995) предлагает рассматривать r_t в качестве теневой ставки процента. Также он утверждает, что наблюдаемая в условиях ZLB процентная ставка равна теневой ставке при неотрицательных значениях последней, и нулю падении теневой ставки ниже нулевого уровня:

r 6(5)

Используя наблюдаемую ставку процента r вместо теневой процентной ставки r_t, становится возможным определить наблюдаемую цену облигации P и наблюдаемую доходность y, по аналогии с (3) - (4).

5.2 Параметризация нижнего ограничения

Теоретические аргументы за установление нижнего ограничения для номинальной краткосрочной процентной ставки на нулевом уровне (а, следовательно, и номинальных доходностей) основаны на возникновении арбитража между облигациями и наличностью (Black, 1995). На практике, два актива могут не быть идеальными субститутами по таким причинам, как удобство, риск дефолта или ограничения законодательства. Указанные причины могут сдвинуть эмпирическое нижнее ограничение в сторону небольших положительных или отрицательных значений. Результаты из раздела 5.1 легко модифицируются для учета возможности ненулевого нижнего ограничения. В частности, предположим, что

r0 (6)

Тогда уравнение теоретической зависимости (без учета ошибки измерения) имеет вид:

yr

0 (7)

Выражение для последнего члена в указанном выше равенстве совпадает с выражением для доходностей с нулевым нижним ограничением. Единственное отличие заключается в вычитании r_min из теневой ставки. Поскольку , то когда нижнее ограничение ненулевое, мы можем рассчитать бескупонные доходности так же, как и для нулевого ограничения, заменяя p₀ на p₀ - r_min и добавляя r_min к конечному результату. Нижнее ограничение r_min может быть привязано к заранее определенному значению, выбранному в следствие различных причин, либо значение может оцениваться как свободный член.

5.3 Методология оценки зависимости наблюдаемых факторов от скрытых

5.3.1 Подходы к оцениванию X_t: вопрос наблюдаемости скрытых переменных

Как было отмечено выше, динамика временной структуры процентных ставок зависит от переменных X_t, являющихся ненаблюдаемыми (другие названия: скрытые переменные, переменные состояния). Эмпирически наблюдаемыми являются только доходности y_t

Для ликвидации этого разрыва и получения оценок параметров модели

,

исследования временной структуры придерживалась двух концептуально связанных, но различных с вычислительной точки зрения стратегий оценивания.

Первая из них, приписываемая Chen and Scott (1993), заключается в том, чтобы сделать X_t фактически наблюдаемой на основе предположения о том, что обратимая функция доходностей может наблюдаться без ошибок. Обычно подмножество доходностей или определенных линейных комбинаций доходностей (таких, как главные компоненты низких порядков) предполагаются наблюдаемыми идеальным образом. В рамках данного предположения появляется возможность отказаться от использования неявного вектора переменных состояний X_t и рассчитать подразумеваемое в рамках модели условное распределение всех доходностей посредством изменения переменных. Параметры модели и могут быть оценены с помощью метода максимального правдоподобия или схожих методов.

Вторая стратегия оценивания основывается на предположении о подверженности всех доходностей некоей ошибки измерения. Как результат, X_t не может быть получено идеальным образом из наблюдений, а потому должно быть подвергнуто фильтрации. Параметры и позднее оцениваются как часть совместного оценивания и проблемы фильтрации.

Выбор между двумя стратегиями оценивания зачастую определяется удобностью применения. Первый метод, обращающий отображение между вектором состояний и наблюдениями, имеет вычислительные преимущества при использовании аффинной модели временной структуры и при предпосылке о абсолютной наблюдаемости линейной комбинации доходностей. В этом случае только одна матрица должна быть обращена. Более того, линейные комбинации доходностей (такие как главные компоненты) могут эффективно перераспределить большую часть ошибок измерения, таким образом предпосылка об абсолютной наблюдаемости является эмпирически обоснованной (Joslin, Le, and Singleton, 2013).

С другой стороны, когда зависимость между состояниями и наблюдениями является нелинейной, как в случае моделей теневой ставки, численные обращения являются более затратными с вычислительной точки зрения. Более того, предположение о наблюдаемости рассматриваемой линейной комбинации доходностей без ошибок достаточно сложно подтвердить. К примеру, когда теневая ставка близка к нулю или отрицательна, подразумеваемые моделью краткосрочные ставки значительно менее чувствительны к изменениям в X_t, чем долгосрочные ставки. Следовательно, интуиция подсказывает, что краткосрочные доходности могут быть менее информативными относительно X_t.

Оба изложенных выше аргумента, вычислительная сложность и соотношение «сигнал к шуму», поддерживают фильтрационный подход при оценивании в рамках периода в условиях ZLB. По этой причине, вслед за авторами статей Priebsch (2013) и Kim and Priebsch (2013), мы будем в дальнейшем придерживаться этого подхода.

5.3.2 Формулирование уравнений перехода и измерения

Динамика вектора переменных состояния при разбиении времени на интервалы Дt > 0 следует гауссовой векторной авторегрессии первого порядка,

7(8)

где е_t ~ N(0;Щ_Дt), m_0,Дt, m_1,Дt, и Щ_Дt могут быть аналитически рассчитаны как функции от параметров модели. Уравнение (8) является уравнением перехода для задачи фильтрации.

Далее, обозначим H_y : R^N И > R₊^My оператор перехода от переменных состояния X и параметров и к подразумеваемым моделью доходностям y. Для упрощения системы обозначения в дальнейшем для обозначения оператора будет использоваться символ H. Если предположить, что все доходности и ожидания наблюдаемы с независимыми и одинаково распределенными аддитивными гауссовыми ошибками (i.i.d. additive Gaussian errors), то получим уравнение измерения (measurement equation) (или уравнение наблюдения (observation equation):

8(9)

Вместе уравнения (8) и (9) формулируют нелинейную задачу фильтрации.

5.3.3 Типы фильтров Калмана

5.3.3.1 Линейный и расширенный фильтры Калмана

Простой (линейный) фильтр Калмана является оптимальным, когда уравнения измерения и перехода линейны, а все шоки являются гауссовыми и были преобразованы различными способами для аппроксимации нелинейности. С точки зрения рассматриваемой проблемы, сложность заключается в эффективном расчете прогноза и ошибок прогнозирования для y_t при имеющемся прогнозе X_t. Предыдущие исследования моделей временной структуры с нулевым ограничением (Kim and Singleton, 2012; Christensen and Rudebusch, 2013; Ichiue and Ueno, 2007) полагались на расширенный фильтр Калмана, в рамках которого уравнение измерений (9) линеаризовано с помощью разложение Тейлора первого порядка около условного среднего для X_t:

9(10)

Условные моменты y_t в дальнейшем могут быть достаточно просто аппроксимированы, основываясь на (10) и условных моментах X_t. Однако, в связи с линейным приближением (которое, фактически, интерпретирует y_t в качестве условных гауссовых случайных векторов), расширенный фильтр Калмана может быть численно неустойчивым и несходящимся.

5.3.3.2 «Нечуткий» фильтр Калмана

«Нечуткий» фильтр Калмана (unscented Kalman filter, UKF), предложенный в работе Julier, Uhlmann, and Durrant-Whyte (1995), предполагает большую точность и численную стабильность, по сравнению с расширенным фильтром Калмана, без значительного увеличения вычислительного бремени. Вместо линеаризации (9), как это было в (10), UKF использует «нечуткое» преобразование (unscented transformation, UT), предложенную в работе (Julier and Uhlmann, 1996) для аппроксимации условных моментов H(X_t) напрямую. Как только условные моменты H(X_t) становятся известными, расчет условных моментов y_t становится тривиальной задачей (поскольку e_t предполагается н.о.р.с.в).

UT подразумевает под собой общую трехшаговую процедуру для вычисления моментов произвольного нелинейного преобразования H случайной переменной X. Во-первых, выбирается группа из 2N+1 выборочных точек (называемых «сигма-точками» - «sigma points») вокруг среднего значения X. Во-вторых, каждая сигма-точка преобразовывается в рамках H. В-третьих, моменты H(X) рассчитываются как взвешенные моменты выборки из преобразованных сигма-точек. Сигма-точки, как и веса, выбираются с предельной аккуратностью для обеспечения точности до третьего порядка приближенных значений моментов H(X) при нормальном распределении X, и до второго порядка во всех иных случаях. Порядок точности не зависит от природы нелинейности в преобразовании H.

5.3.3.3 Сравнение расширенного и «нечуткого» фильтров Калмана

Вычислительная сложность расширенного фильтра Калмана и UKF, несомненно, сопоставимы. UKF требует оценки H множества сигма-точек O(N). В то же время расчет H?(X) с помощью конечных разностей в рамках расширенного фильтра Калмана также требует оценки H во множестве точек O(N).

В связи с большей точностью при схожих вычислительных издержках авторы используют UKF вместо расширенного фильтра Калмана для оценки их модели теневой ставки. Алгоритм детально описан в работе Wan and van der Merwe (2001). Побочным результатом процедуры фильтрации является оценивание среднего значения и ковариационной матрицы y_t, условных относительно набора эконометрической информации в момент времени t-1. Основываясь на методологии Lund (1997), авторы используют данный результат при определении квази-функции максимального правдоподобия (quasi maximum likelihood function, QML function), основанной на (9), которую они в дальнейшем численно максимизируют для получения оценок параметров и, как и их асимптотических стандартных ошибок.

5.3.4 Описание основных параметров модели

В данном разделе будет приведен перечень параметров, используемых в модели и их описание.

Совокупность параметров модели имеет следующий вид:

,

где и - параметры из уравнения (1) для случая прогноза значений при переходе от одного момента времени, для которого рассчитывалась временная структура, к другому моменту времени, для которого рассчитывалась временная структура. Так, в рамках данных рассматриваемой работы, такими моментами времени будут две последние даты двух последовательных месяцев. Данные параметры будут использоваться в дальнейшем при формулировании уравнения перехода;

и - параметры из уравнения (1) для случая прогноза значений по состоянию на момент времени, для которого рассчитывалась временная структура. Данные коэффициенты будут использоваться при формулировании уравнения измерения;

- параметры из уравнения (2), отображающего зависимость между теневой ставкой и скрытыми переменными. Участвуют формулировке уравнения измерения;

- пороговое значения нижнего ограничения процентной ставки, главный оцениваемый параметр, участвует при формировании уравнения (7) и (6);

- коэффициент (матрица коэффициентов в случае нескольких скрытых факторов) при винеровском процессе из уравнения динамики скрытых факторов (1), определяет дисперсию (ковариационную матрицу) скрытых факторов, а следовательно и дисперсию (ковариационную матрицу) прогнозов относительной y.

5.4 Алгоритм вычислительной реализации модели

Как уже отмечалось выше, задача фильтрация формулируется с помощью уравнения перехода, определяющего зависимость скрытой переменной от предыдущего значения, и уравнения измерения, определяющего зависимость наблюдаемой переменной от ненаблюдаемых. Поскольку в нашем случае главной задачей выступает оценка параметров модели (прежде всего, r_min, уровня минимальной процентной ставки), то методология работы с моделью сводится к решению трех задач:

- вывод аппроксимирующей функции зависимости наблюдаемых значений доходностей Y от скрытых переменных X для уравнения измерения нечуткого фильтра и значений параметров уравнения перехода;

- вывод зависимости ожидаемых (прогнозируемых) значений для Y, а также условной ковариационной матрицы для Y от параметров модели;

- формулирование квази-функции максимального правдоподобия, предложенной в работе Lund (1997), с помощью рассчитанных в ходе предыдущей задачи зависимостей и ее максимизация для получения оценок коэффициентов модели.

5.4.1 Определение уравнения измерения

5.4.1.1 Кумулянты (инварианты, Cumulants)

Priebsch (2013) предлагает свою методику для аппроксимации доходностей в гауссовых моделях теневой ставки с помощью кумулянт.

Величина logPr, появляющаяся в версии теневой ставки (4), является условной производящей кумулянты функцией случайной величины Rr . Порождающая кумулянты функция случайной величины X определяется как логарифм ее производящей функции моментов, (moment-generating function, более подробный анализ данной темы можно найти, например, в Severini (2005)). Данная условная производящая кумулянты функция имеет представление в виде ряда