Приложение

ВВЕДЕНИЕ

Рынок ценных бумаг играет важную роль в экономике любой страны. Возможности рынка ценных бумаг привлекают всё больший и больший приток инвестиций в эту сферу рыночной экономики. В связи с этим актуальным становится анализ и прогнозирование возможной прибыли и рисков, понесенных инвестором при управлении им портфелем ценных бумаг.

Сущность портфельного инвестирования подразумевает распределение инвестиционного потенциала между различными группами активов, т.к. невозможно найти ценную бумагу, которая была бы одновременно высокодоходной и высоконадежной. В зависимости от того, какие цели и задачи изначально стоят при формировании того или иного портфеля, выбирается определенное процентное соотношение между различными типами активов, составляющими портфель инвестора.

Проведя анализ рынка ценных бумаг, инвестор может выбрать актив и инвестировать в него свои средства, но, вкладывая весь свой капитал только в одну ценную бумагу, инвестор обрекает себя либо на заведомо низкую доходность, либо на заведомо высокий риск. Следствием второго вывода является необходимость диверсификации капитала между различными активами. Распределение средств по различным ценным бумагам приводит к формированию портфеля ценных бумаг, и за счет этого инвестор может достичь приемлемого уровня доходности и риска инвестиций. В этом состоит главное преимущество портфельного инвестирования по сравнению с инвестициями в отдельные ценные бумаги.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1 ПОРТФЕЛЬ ИНВЕСТИЦИЙ

Понятие "Портфель ценных бумаг" - Совокупность ценных бумаг, которыми располагает инвестор (отдельное лицо, организация, фирма).

Под инвестированием в широком смысле понимается любой процесс, имеющий целью сохранение и увеличение стоимости денежных или других средств. Средства, предназначенные для инвестирования, представляют собой инвестиционный капитал. С течением времени этот капитал может принимать различные конкретные формы. Тот или иной конкретный вид инвестиционного капитала называется инвестиционным активом.

Из определений инвестирования и инвестиционных активов, данных выше, видна важнейшая роль двух факторов: времени и стоимости. Важнейший принцип инвестирования состоит в том, что стоимость актива меняется со временем.

Со временем связана еще одна характеристика процесса инвестирования - риск. Хотя инвестиционный капитал имеет вполне определенную стоимость в начальный момент времени, его будущая стоимость в этот момент неизвестна. Для инвестора эта будущая стоимость есть ожидаемая величина.

Под инвестиционным портфелем понимается некая совокупность ценных бумаг, принадлежащих физическому или юридическому лицу, либо юридическим или физическим лицам, выступающая как целостный объект управления. Обычно на рынке продается некое инвестиционное качество с заданным соотношением Риск/Доход, которое в процессе управления портфелем может быть улучшено.

Портфель представляет собой определенный набор из корпоративных акций, облигаций с различной степенью обеспечения и риска, а также бумаг с фиксированным доходом, гарантированным государством, т.е. с минимальным риском потерь по основной сумме и текущим поступлениям. Теоретически портфель может состоять из бумаг одного вида, а также менять свою структуру путем замещения одних бумаг другими. Однако каждая ценная бумага в отдельности не может достигать подобного результата.

Основная задача портфельного инвестирования - улучшить условия инвестирования, придав совокупности ценных бумаг такие инвестиционные характеристики, которые недостижимы с позиции отдельно взятой ценной бумаги, и возможны только при их комбинации.

Только в процессе формирования портфеля достигается новое инвестиционное качество с заданными характеристиками. Таким образом, портфель ценных бумаг является тем инструментом, с помощью которого инвестору обеспечивается требуемая устойчивость дохода при минимальном риске.

Банки, покупая те или иные виды ценных бумаг, стремятся достичь определенных целей, к основным из которых относятся:

доходность вложений;

рост вложений;

ликвидность вложений;

безопасность вложений.

Инвестиционные ценные бумаги приносят доход в виде процентного дохода и прироста рыночной стоимости. Доходность портфеля - характеристика, связанная с данным промежутком времени. Длина этого периода может быть произвольной. На практике используют обычно нормированную доходность, т.е. доходность, приведенную к выбранному базисному периоду, обычно году.

Доходность портфеля за период можно вычислять по формуле:

, (1.1)

где - доходность портфеля за определенный период времени, %; - стоимость портфеля в начале периода, руб.; - стоимость портфеля в конце периода, руб.

Управление портфелем коммерческого банка заключается в поддержании баланса между ликвидностью и прибыльностью. Сумма принадлежащих банку ценных бумаг непосредственно связана с умением банка управлять ценными бумагами и зависит от размера банка.

Ликвидность ценной бумаги можно оценить по агрегированному показателю ликвидности:

, (1.2)

где - агрегированный показатель ликвидности ценной бумаги; - количество заявок на покупку и продажу соответственно, шт.; - средняя цена покупки и продажи соответственно, руб.

Под безопасностью вложений понимается неуязвимость инвестиций от различных потрясений на фондовом рынке, стабильность получения дохода и ликвидность. Безопасность всегда достигается в ущерб доходности и росту вложений. Оптимальное сочетание безопасности и доходности регулируется тщательным подбором и постоянной ревизией инвестиционного портфеля.

Риск - это стоимостное выражение вероятностного события ведущего к потерям. В мировой практике существует множество классификаций рисков. Наиболее известная из них - это деление риска на систематический и несистематический.

Систематический риск - риск кризиса финансового рынка в целом. Этот вид риска является недиверсифицируемым. Анализ систематического риска сводится к оценке того, стоит ли вообще иметь дело с портфелем ценных бумаг.

Несистематический риск связан с конкретным финансовым инструментом, данный вид риска может быть минимизирован за счет диверсификации. Исследования показали, что если портфель состоит из 10-20 различных видов финансовых инструментов, включенных с помощью случайной выборки из имеющегося на финансовом рынке набора, то несистематический риск может быть сведен к минимуму. Уровень несистематического риска - это оценка качества данного финансового инструмента.

По уровню риска виды ценных бумаг располагаются следующим образом исходя из принципа: чем выше доходность, тем выше риск, и чем выше гарантированность ценной бумаги, тем ниже риск (рисунок 1.1).

Одним из традиционных методов оценки и управления риском считается статистический метод. Основными инструментами статистического анализа являются - дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент вариации. Суть этого метода состоит в анализе статистических данных за возможно больший период времени.

Хеджирование - это метод, основанный на страховании ценовых потерь на физическом рынке по отношению к фьючерсному или опционному рынку. Механизм хеджирования состоит в том, что участник рынка занимает в каждый момент времени прямо противоположные позиции.

1.2 СТРУКТУРА ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЦЕССА

Инвестиционный процесс представляет собой принятие инвестором решения относительно ценных бумаг, в которые осуществляются инвестиции, объемов и сроков инвестирования. Следующая процедура, включающая пять этапов, составляет основу инвестиционного процесса:

Выбор инвестиционной политики.

Анализ рынка ценных бумаг.

Формирование портфеля ценных бумаг.

Пересмотр портфеля ценных бумаг.

Оценка эффективности портфеля ценных бумаг.

Первый этап - выбор инвестиционной политики - включает определение цели инвестора и объема инвестируемых средств. Цели инвестирования должны формулироваться с учетом как доходности так и риска.

Необходимо оценить имеющиеся свободные ресурсы, которые должны играть роль инвестиционного капитала, необходимо собрать достаточную информацию о доступных инвестиционных средствах, оценить предварительно экономическую конъюнктуру и прогнозы на будущее и т. п. На этом этапе инвестор с той или иной степенью точности определяет свой инвестиционный горизонт, т.е. промежуток времени, на который распространяется его стратегия и по отношению к которому оцениваются результаты инвестиционного процесса. Величина временного горизонта определяется как целями инвестора, так и его способностью прогнозировать будущее положение дел.

Разработка инвестиционной стратегии всегда основывается на анализе доходности от вложения средств, времени инвестирования и возникающих при этом рисков. Эти факторы во взаимосвязи определяют эффективность вложений в тот или иной инструмент фондового рынка. Принятая инвестиционная стратегия определяет тактику вложения средств: сколько средств и в какие ценные бумаги следует инвестировать и, следовательно, всегда является основой операций с ценными бумагами. Эффективность инвестирования различается в зависимости от того, используются ли для вложений только собственные средства или привлекаются и заемные ресурсы.

Этот этап инвестиционного процесса завершается выбором потенциальных видов финансовых активов для включения в основной портфель. Так, на современном рынке ценных бумаг имеются десятки тысяч различных облигаций и акций, о большинстве которых средний инвестор обычно ничего не знает. Даже профессионалы финансового рынка ограничивают свой круг внимания не слишком большим числом бумаг, о которых они имеют достаточно информации, за поведением которых они тщательно следят. Первичный отбор основывается на финансовом положении инвестора, на его осведомленности о тех или иных бумагах, о различных аспектах налогообложения, связанного с ценными бумагами, недвижимостью, на доступности и легкости реализации операции с этими активами и т. п.. Сделав такой отбор, инвестор сужает все многообразие инвестиционного рынка до обозримого множества инвестиционных активов, которые он может оценивать, сравнивать и с которыми он реально может осуществлять сделки.

Второй этап инвестиционного процесса, известный как анализ ценных бумаг, включает изучение отдельных видов ценных бумаг (или групп бумаг) в рамках основных категорий, указанных выше. Одной из целей такого исследования является определение тех ценных бумаг, которые представляются неверно оцененными в настоящий момент. Существует много различных подходов к анализу ценных бумаг.

Традиционный анализ ценных бумаг обычно предусматривает подход "сверху вниз", начинающийся с экономического анализа, а затем переходящий к анализу состояния отрасли и, наконец, к фундаментальному анализу.

Экономический анализ направлен на оценку общего состояния экономики и ее потенциального воздействия на доходы, получаемые по ценным бумагам.

Технический анализ в простейшей его форме включает изучение конъюнктуры курсов рынка акций, с тем, чтобы дать прогноз динамики курсов акций конкретной фирмы. Инструменты для проведения технического анализа - графики. Они наглядно отражают итоговую картину движения рынка и курсов отдельных выпусков. Информация о движении цен представлена графиком (кривой), в котором аналитик пытается найти устойчивые, повторяющиеся конфигурации. Основные типы таких конфигураций (типов поведения) классифицируются, и в текущей информации о ценах пытаются обнаружить одну из них. Если это удается, то будущее поведение цен предсказывается на основе такой конфигурации.

Альтернативный способ изучения рынка построен на использовании разных видов статистических данных. Следовательно, технический анализ - это анализ данных во времени; для него необходимо иметь информацию за какой-либо промежуток времени, чтобы проанализировать ее техническими методами.

Первоначально проводится исследование курсов за прошедший период с целью выявления повторяющихся тенденций или циклов в динамики курсов. Затем анализируются курсы акций за последний период времени, с тем, чтобы выявить текущие тенденции, аналогичным обнаруженным ранее. Это сопоставление существующих тенденций с прошлыми осуществляется, исходя из предположения, что ценовые тренды периодически повторяются. Таким образом, выявляя текущие тенденции, аналитик надеется дать достаточно точный прогноз будущей динамики курсов рассматриваемый акций.

Обычно техническим анализом акций занимаются до более глубокого фундаментального анализа. Если с точки зрения технического анализа данный выпуск акций кажется интересным, тогда они продолжают его изучение средствами фундаментального анализа. Если же с точки зрения технического анализа выпуск не представляет интереса, их внимание переключается на другие акции.

Фундаментальный анализ предусматривает глубинное изучение финансового положения конкретной компании и вытекающего из него поведения ее ценных бумаг. При этом информация извлекается, прежде всего, из изучения финансовых отчетов корпорации за текущий и прошлые годы. Положение компании сравнивается с аналогичными компаниями в отрасли с помощью так называемых коэффициентов эффективности: показателей, вычисляемых по данным баланса и других финансовых отчетов. Эти коэффициенты характеризуют различные относительные характеристики эффективности деятельности предприятия (коэффициент ликвидности, коэффициент финансового рычага, прибыли на акцию и др.). Но основной целью фундаментального анализа является прогноз величины будущих прибылей компании и связанных с ними дивидендов и роста балансовой стоимости акции. Последняя является отношением текущей рыночной стоимости собственного капитала компании к числу всех выпущенных акций.

Фундаментальный анализ исходит из того, что "истинная" (или внутренняя) стоимость любого финансового актива равна приведенной стоимости всех наличных денежных потоков, которые владелец актива рассчитывает получить в будущем. В соответствии с этим аналитик стремится определить время поступления и величину этих наличных денежных потоков, а затем рассчитывает их приведенную стоимость. После того, как внутренняя стоимость акции данной фирмы определена, она сравнивается с текущим рыночным курсом акций с целью выяснить, правильно ли оценена акций на рынке. Акции, внутренняя стоимость которых меньше текущего рыночного курса, называются переоцененными, а те акции, рыночный курс которых ниже внутренне стоимости, - недооцененными. Разница между внутренней стоимостью и текущим рыночным курсом также представляет собой важную информацию, т.к. обоснованность заключения аналитика о неправильности оценки данной акции зависит в значительной степени от этой величины. Считается, что любые случаи существенно неверной оценки исправляются впоследствии рынком: курсы недооцененных акций растут быстрее, а переоцененных - медленнее, чем средние рыночные курсы.

И фундаментальный, и технический анализы имеют множество горячих сторонников и не менее убежденных противников. Оба эти подхода имеют долгую практику (на Западе) и представляют собой два традиционных метода инвестиционного анализа.

Третий этап инвестиционного процесса - формирование портфеля ценных бумаг - включает определение конкретных активов для вложения средств, а также пропорций распределения инвестируемого капитала между активами. При этом инвестор сталкивается с проблемами селективности, выбора времени операций и диверсификации. Селективность, называемая также микропрогнозированием относится к анализу ценных бумаг и связана с прогнозированием динамики цен отдельных видов бумаг. Выбор времени операций, или макропрогнозирование, включает прогнозирование изменения уровня цен на акции по сравнению с ценами для фондовых инструментов с фиксированным доходом, такими, как корпоративные облигации. Диверсификация заключается в формировании инвестиционного портфеля таким образом, чтобы при определенных ограничениях минимизировать риск.

Четвертый этап инвестиционного процесса - пересмотр портфеля - связан с периодическим повторением трех предыдущих этапов. То есть через некоторое время цели инвестирования могут измениться, в результате чего текущий портфель перестанет быть оптимальным. Другим основанием для пересмотра портфеля является изменение курса ценных бумаг с течением времени. Решение о пересмотре портфеля зависит помимо прочих факторов от размера транзакционных издержек и ожидаемого роста доходности пересмотренного портфеля. Лица, профессионально занимающиеся инвестициями в ценные бумаги, часто проводят различие между пассивным и активным управлением.

Основополагающий принцип в инвестировании с пассивным управлением можно сформулировать так: "купил и храни". Однако его реализация предполагает формирование широко диверсифицируемого портфеля.

Портфельное инвестирование с активным управлением основано на постоянном пере структурировании портфеля в пользу наиболее доходных в данный момент ценных бумаг. Схема наиболее сложна, так как требует не только большой аналитической работы на основе постоянно получаемой и обрабатываемой информации с биржи, но и дорогостоящих технических систем и технологий, обеспечивающих поступление и обработку информации с рынка в режиме реального времени. Активное управление - самый затратный вариант инвестирования, и для инвестора возможность активного управления портфелем существенно ограничивается комиссионными, взимаемыми дилерами. Поэтому эту схему, как правило, используют крупные инвестиционные компании, банки-дилеры и другие профессионалы, располагающие специальными аналитическими отделами и достаточными средствами.

Пятый этап инвестиционного процесса - оценка эффективности портфеля - включает периодическую оценку как полученной доходности, так и показателей риска, с которыми сталкивается инвестор. При этом необходимо использовать приемлемые показатели доходности и риска, а также соответствующие стандарты ("эталонные" значения) для сравнения.

1.3 VaR

Одним из понятий, тесно связанных с формированием инвестиционного портфеля, является VaR, Value at Risk, или, в русскоязычном эквиваленте стоимость, подверженная риску. Данная методология является, по оценке специалистов, не столько альтернативой отдельным мерам риска, сколько их комплексным замещением - VaR-оценка сводит несколько мер в единый показатель.

Полное определение VaR может быть сформулировано как максимально возможная при принятом доверительном уровне величина потерь по сравнению с наиболее вероятным вариантом развития событий. Таким образом, при анализе по методологии VaR исключаются из рассмотрения:

ожидаемые потери, т.е. потери, которые будут понесены при наиболее вероятном варианте развития событий, учитываемые при формировании резервов на возможные потери, а также в рамках рыночной цены;

исключительные потери, т.е. потери, вероятность которых выходит за пределы принятого доверительного уровня, анализируемые в рамках отдельного направления анализа рисков - стресс-тестирования.

Рис. 1.2. Позиционирование методологии VaR по принимаемым к рассмотрению потерям.

2. МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ ПОРТФЕЛЕЙ ЦЕННЫХ БУМАГ

2.1 АЛГОРИТМ МАРКОВИЦА ПОСТРОЕНИЯ УГЛОВЫХ ПОРТФЕЛЕЙ

Гарри Марковиц впервые предложил математическую формализацию задачи нахождения оптимальной структуры портфеля ценных бумаг в 1951 году, за что позднее был удостоен Нобелевской премии по экономике.

Основными постулатами, на которых построена классическая портфельная теория, являются следующие:

1 Рынок состоит из конечного числа активов, доходности которых для заданного периода считаются случайными величинами.

2 Инвестор в состоянии, например, исходя из статистических данных, получить оценку ожидаемых (средних) значений доходностей и их попарных ковариаций и степеней возможности диверсификации риска.

3 Инвестор может формировать любые допустимые (для данной модели) портфели. Доходности портфелей являются также случайными величинами.

4 Сравнение выбираемых портфелей основывается только на двух критериях - средней доходности и риске.

5 Инвестор не склонен к риску в том смысле, что из двух портфелей с одинаковой доходностью он обязательно предпочтет портфель с меньшим риском.

Рассмотрим подробнее сформировавшиеся на данный момент портфельные теории, некоторые из которых будут применены далее при проведении практического расчета оптимального портфеля ценных бумаг.

Основная идея модели Марковица заключается в том, чтобы статистически рассматривать будущий доход, приносимый финансовым инструментом, как случайную переменную, то есть доходы по отдельным инвестиционным объектам случайно изменяются в некоторых пределах. Тогда, если неким образом случайно определить по каждому инвестиционному объекту вполне определенные вероятности наступления, можно получить распределение вероятностей получения дохода по каждой альтернативе вложения средств. Это получило название вероятностной модели рынка. Для упрощения модель Марковица полагает, что доходы распределены нормально.

По модели Марковица определяются показатели, характеризующие объем инвестиций и риск что позволяет сравнивать между собой различные альтернативы вложения капитала с точки зрения поставленных целей и тем самым создать масштаб для оценки различных комбинаций.

В качестве масштаба ожидаемого дохода из ряда возможных доходов на практике используют наиболее вероятное значение, которое в случае нормального распределения совпадает с математическим ожиданием.

Математическое ожидание дохода по i-й ценной бумаге (m_i) рассчитывается следующим образом:

, (2.1)

где - возможный доход по -й ценной бумаге, руб.; - вероятность получения дохода; - количество ценных бумаг.

Для измерения риска служат показатели рассеивания, поэтому, чем больше разброс величин возможных доходов, тем больше опасность, что ожидаемый доход не будет получен. Мерой рассеивания является среднеквадратическое отклонение:

. (2.2)

В отличие от вероятностной модели, параметрическая модель допускает эффективную статистическую оценку. Параметры этой модели можно оценить исходя из имеющихся статистических данных за прошлые периоды. Эти статистические данные представляют собой ряды доходностей за последовательные периоды в прошлом.

Любой портфель ценных бумаг характеризуется двумя величинами:

ожидаемой доходностью,

, (2.3)

где - доля общего вложения, приходящаяся на -ю ценную бумагу; - ожидаемая доходность -й ценной бумаги, %; - ожидаемая доходность портфеля, %;

мерой риска - среднеквадратическим отклонением доходности от ожидаемого значения,

, (2.4)

где - мера риска портфеля; - ковариация между доходностями -й и -й ценных бумаг; и - доли общего вложения, приходящиеся на -ю и -ю ценные бумаги; - число ценных бумаг портфеля.

Для ковариации доходностей ценных бумаг верно соотношение:

,

где - коэффициент корреляции доходностей -й и -й ценных бумаг;

, - стандартные отклонения доходностей -й и -й ценных бумаг.

Для ковариация равна дисперсии акции.

Рассматривая теоретически предельный случай, при котором в портфель можно включать бесконечное количество ценных бумаг, дисперсия (мера риска портфеля) асимптотически будет приближаться к среднему значению ковариации.

Графическое представление этого факта представлено на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 - Риск портфеля и диверсификация

Совокупный риск портфеля можно разложить на две составные части. Первая - рыночный риск, который нельзя исключить, и которому подвержены все ценные бумаги практически в равной степени. Вторая - собственный риск, который можно избежать при помощи диверсификации. При этом сумма вложенных средств по всем объектам должна быть равна общему объему инвестиционных вложений, т.е. сумма относительных долей в общем объеме должна равняться единице.

Проблема заключается в численном определении относительных долей акций и облигаций в портфеле, которые наиболее выгодны для владельца. Марковиц ограничивает решение модели тем, что из всего множества "допустимых" портфелей (удовлетворяющих ограничениям) необходимо выделить те, которые рискованнее других.

При помощи разработанного Марковицем метода критических линий можно исключить неперспективные портфели, оставив только эффективные. Отобранные таким образом портфели объединяют в список, содержащий сведения о процентном составе портфеля из отдельных ценных бумаг, а также о доходе и риске портфелей.

Объяснение того факта, что инвестор должен рассмотреть только подмножество возможных портфелей, содержится в следующей теореме об эффективном множестве: "Инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска и минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности". Набор портфелей, удовлетворяющих этим двум условиям, называется эффективным множеством.

На рисунке представлены недопустимые, допустимые и эффективные портфели, а также линия эффективного множества.

Рисунок 2.2 - Допустимое и эффективное множества

В модели Марковица допустимыми являются только стандартные портфели (без коротких позиций). Используя терминологию, можно сказать, что инвестор по каждому активу находится в длинной позиции. Длинная позиция - это обычно покупка актива с намерением его последующей продажи (закрытие позиции). Такая покупка обычно осуществляется при ожидании повышения цены актива в надежде получить доход от разности цен покупки и продажи.

Из-за недопустимости коротких позиций в модели Марковица на доли ценных бумаг в портфели накладывается условие неотрицательности. Поэтому особенностью этой модели является ограниченность доходности допустимых портфелей.

Рассмотрим одну итерацию алгоритма.

Пусть мы имеем некоторый угловой портфель , в котором переменные с индексами входят в базис и остальные переменные не входят в базис и равны нулю.

Составляются матрица и векторы и :

, ,

и находится вектор

В результате получаем систему

(2.5)

Для переменных , не входящих в базис, вычисляются комбинации

,

в которые подставляются выражения (2.5). Для получаются выражения

, .

Находится начальное значение . Для этого берётся ненулевая компонента исходного портфеля, скажем, , и решается уравнение

,

откуда находится исходное ,.

Начинаем уменьшать _E. Процесс этого уменьшения прекращается при первом наступлении одного из следующих событий:

А. Оказывается, что можно положить . В этом случае алгоритм заканчивает свою работу и портфель с компонентами

является последним портфелем, обеспечивающим минимум и .

Б. Оказывается, что одна из переменных с , обращается в нуль и при дальнейшем уменьшении эта переменная станет отрицательной. В этом случае новый угловой портфель соответствует тому , при котором эта переменная . Сама переменная выводится из базиса.

В. Все с положительны, но одна из величин обратилась в нуль и при дальнейшем уменьшении будет . Новый угловой портфель соответствует тому значению , при котором стало и переменная вводится в базис.

Предполагается, что может одновременно наступить только одно из событий, перечисленных в пунктах Б и В, то есть не может случиться так, что сразу несколько переменных или сразу несколько величин обратились в нуль, то есть предполагается, что ситуация невырождена

Для построения исходного углового портфеля следует найти . Пусть этот максимум достигается при , то есть . Тогда исходный угловой портфель имеет вид

Однако для этого портфеля ситуация оказывается вырожденной и поэтому надо отдельно решить вопрос о том, какую переменную следует вводить в базис при построении следующего портфеля.

Пусть мы пытаемся ввести в базис переменную , рассматривая портфель с и компонентами . Тогда для этого портфеля

Для него

и поэтому

.

Легко догадаться, что эффективное множество соответствует максимальному значению (тогда с уменьшением дисперсия доходности портфеля убывает наиболее быстро). Поэтому вводить в базис надо ту переменную , для которой величина

принимает своё максимальное значение.

После построения эффективного множества нужно поставит на эффективном множестве точку, обозначив тот портфель, который желает инвестор.

Для этого надо найти те два угловых портфеля (смежных), между которыми попала указанная нами точка. Пусть их доходности есть и , причем ( заказанная инвестором доходность), а и сами портфели. Образуем портфель вида . Его доходность должна быть равна ,

,

откуда и находится .

Портфель и является искомым портфелем.

2.2 ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЯМИ С КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ РИСКА

Пусть уравнения эталонного и управляемого портфелей в дискретном времени выглядят следующим образом:

,

,

где - заданная желаемая доходность портфеля,

,

- относительное изменение цены -ой рисковой ценной бумаги на интервале , случайная величина,

- неслучайная доходность безрискового вклада,

,

- капитал, вкладываемый в безрисковый актив.

В качестве меры риска выберем квадратичный функционал следующего вида:

, (2.6)

где - матрица весов, изменение которой позволяет выявить особенности управления различными видами инвестиций, - начальный капитал.

Для описания эволюции цен рисковых финансовых активов используем модель GARCH(1,1):

, (2.7)

,

где - независимые случайные величины с нормальным стандартным распределением, параметры , .

В векторно-матричной форме уравнения динамики управляемого и эталонного портфелей будут представлены в виде:

,

,

,

.

Функционал (2.6) запишем следующим образом:

, (2.8)

где .

Оптимальный закон управления определим в виде

, (2.9)

где - матрица коэффициентов обратной связи выбирается из условия минимума функционала (2.8), который можно записать в виде

, (2.10)

где матрица вторых моментов

с учетом (2.9) удовлетворяет уравнению

.(2.11)

Таким образом, мы получили функционал в форме, требуемой для матричного принципа минимизации:

.

Пусть - сопряженная с матрица, то есть ( - переходная матрица).

Определим Гамильтониан системы

. (2.12)

Необходимые условия минимума выглядят следующим образом:

(2.13)

Взяв производные, получим уравнения, дающие решение задачи слежения за эталонным портфелем:

, (2.14)

.

Блоки матрицы и элементы матрицы определяются уравнениями:

,

,

,

,

.

2.3 АЛГОРИТМ CUSUM В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПЕРЕФОРМИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ

CUSUM - стандартное сокращение термина "кумулятивная сумма". Алгоритмы, созданные с использованием таких сумм, в большинстве случаев предназначаются для проверки процесса на отклонение чаще всего от среднего арифметического значения, равного некоторому опорному значению. Опорное значение часто называют целевым значением, или целью. Из каждого полученного на следующем шаге значения вычитают опорное и получают значения кумулятивных сумм этих разностей. Если полученные точки нанести на карту, то угол наклона графика так называемых "локальных средних" может служить мерой изменения случайной величины. Если локальное среднее серии наблюдений больше целевого значения, то кривая наклонена вверх, если менее - вниз. Чем больше угол наклона линии, представляющей локальное среднее по отношению к целевому значению, тем больше отклонение данных от опорного значения. Основное правило принятия решений заключается в построении на графике некоторой V-маски и определении значимых изменений при выходе точек кривой CUSUM за линии V-маски. Рассмотрим функции вида:

, (2.15)

, (2.16)

где , , - цена актива в момент i, k - фиксированное число, n - момент времени, .

Получим две последовательности и , элементы которых не отрицательны и являются результатом работы алгоритма CUSUM. Будем использовать их для принятия решений для конкретного вида акции.

Пусть p - величина, сравнивая с которой значения и , принимаем решение о купле-продаже акции. V - начальный капитал. Будем рассматривать поведение функций вида (2.15) и (2.16) во времени.

Кроме рискового актива, имеется безрисковый - банковский счет.

Предполагаем, что в момент выхода на рынок n, все имеющиеся у нас денежные средства V находятся на банковском счете. Как только величина превысит значение p , то весь капитал V тратим на приобретение акций и обнуляем переменную . После покупки акций следим за изменением переменной : когда она станет больше чем p, продадим все акции и весь вырученный капитал кладем на банковский счет. Если прежде чем мы успеем купить акции, переменная превысит порог p, то ничего не продаем, но все равно обнуляем значение , соответственно то же применимо и к . Также вместо функций вида (2.15) и (2.16) можно использовать и такие функции:

, (2.17)

, (2.18)

где: - доходность актива в момент времени n, которая определяется по формуле: .

В случае диверсифицированного портфеля, распределение капитала между акциями происходит пропорционально их доходности, т.е. при превышении величиной порогового значения p подсчитываем величину

,

где - доля капитала, вкладываемого в i-тую акцию, - количество рисковых активов в портфеле.

3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА VAR

Для получения оценки рыночного риска, имеющей практическую ценность, из рассмотрения имеет смысл исключить небольшую долю (обычно 5% или 1%) самых неблагоприятных случаев, то есть сузить интервал возможных значений случайной величины. Тогда оценкой риска будут убытки, которые возникнут в самом неблагоприятном из оставшихся 95% или 99% случаев. Ширина интервального прогноза и, следовательно, и оценка риска, зависит от длины временного горизонта и от доли отброшенных неблагоприятных случаев, то есть задаваемой вероятности того, что предсказанная значение попадет в этот интервал.

Значение нижней границы интервала изменения стоимости портфеля является мерой (оценкой) риска, Value at Risk - VaR. Считается, что с вероятностью, равной разности между 100% и принятой долей отброшенных неблагоприятных случаев, убытки портфеля не превысят значения VaR. Эта вероятность называется доверительной вероятностью.

Таким образом, метод Value at Risk позволяет выразить риск сколь угодно сложного портфеля одним числом.

Однако, для расчета VaR необходимо обладать оценками волатильностей и корреляций для цен (доходностей) инструментов, составляющих портфель. При этом можно использовать как исторические, так и прогнозируемые значения волатильностей и корреляций.

В качестве длины временного горизонта для расчета VaR может быть выбран срок, определяемый выбранной стратегией управления портфелем, или срок, за который портфель можно реализовать на рынке. Таким образом, значение VaR может учесть риск ликвидности. Что касается выбора уровня доверительной вероятности, то тут нельзя дать однозначного совета. В разных организациях используются различные значения доверительной вероятности. Чаще всего используются значения 95%, 99%, 97.5%, 99.9%.

Существуют три основных метода расчета VaR:

· Исторического моделирования;

· Монте-Карло;

· Параметрический (дельта-нормальный).

Идея метода исторического моделирования состоит в использовании исторических изменений цен на составляющие портфель финансовые инструменты для построения распределения будущих изменений цен и потенциальных прибылей и убытков портфеля в целом.

В самой простой и очевидной реализации данный метод подразумевает переоценку портфеля в течение некоторого значительного исторического периода (от нескольких месяцев до нескольких лет) с фиксацией максимальных убытков на выбранном временном горизонте с заданной доверительной вероятностью.

Такой подход позволяет рассмотреть инструменты, составляющие портфель "так как они есть", без каких либо погрешностей, привносимых моделями. Однако это не всегда возможно и не всегда дает однозначно положительный результат.

Во-первых, использование исторических котировок для конкретных инструментов может быть затруднительно (например, в связи со сложностями их получения) или явно некорректно, когда инструмент явно поменял свои характеристики на момент расчета по сравнению с историей. Например, риск облигации или векселя не может оцениваться "в лоб" историческим методом, так как со временем у них снижается дюрация и, следовательно, риск. Акции, векселя, иные ценные бумаги могут перейти из одного эшелона в другой, что также поменяет их свойства и т.д.

Данные проблемы могут быть решены, если оценивать не инструменты по отдельности, а перейти к факторной модели. Это позволит использовать только историю изменений факторов риска, которую проще получить, и которая значительно более устойчива с точки зрения сохранения актуальности.

Второй возможной проблемой может быть значительное изменение актуальной конъюнктуры рынков по сравнению накопленной историей. К сожалению, для российской практики это весьма актуально. Могут кардинально измениться волатильности рынков, доходности, измениться поведение регулирующих органов, произойти политические события, существенно влияющие на финансовую сферу и т.д. К сожалению, в данной ситуации опираться на значительную историю вряд ли будет возможно, и расчеты VaR нужно будет проводить с учетом текущих оценок и прогнозов, т.е. методом Монте-Карло или параметрическим методом.

Преимущества метода исторического моделирования:

· Относительная простота реализации и быстрота вычислений;

· Возможность избавиться от погрешностей моделирования;

· Устойчивость оценок.

Недостатки метода исторического моделирования:

· Некорректность результатов в случае, если базовый период не был репрезентативным;

· Невозможность использования прогнозных значений волатильностей и корреляций.

· Неприменимость при значительном изменении положения на рынках.

Метод Монте-Карло является самым сложным методом расчета VaR, однако его точность может быть значительно выше, чем у других методов. Метод Монте-Карло подразумевает осуществление большого количества испытаний - разовых моделирований развития ситуации на рынках с расчетом финансового результата по портфелю. В результате проведения данных испытаний будет получено распределение возможных финансовых результатов, на основе которого путем отсечения наихудших согласно выбранной доверительной вероятности может быть получена VaR-оценка.

Использование метода Монте-Карло подразумевает построение следующих моделей:

· модель зависимости стоимости финансового результата по портфелю от изменений факторов риска;

· модель волатильностей и корреляций факторов риска.

Метод Монте-Карло не подразумевает свертывания и обобщения формул для получения аналитической оценки портфеля в целом, поэтому и для результата по портфелю и для волатильностей и корреляций можно использовать значительно более сложные модели. Так как оценка VaR методом Монте-Карло практически всегда производится с использованием программных средств, данные модели могут представлять собой не формулы, а достаточно сложные подпрограммы. Т.е. метод Монте-Карло позволяет использовать при расчете рисков модели практически любой сложности.

Преимущества метода Монте-Карло:

· Возможность расчета рисков для нелинейных инструментов;

· Возможность использования любых распределений;

· Возможность моделирования сложного поведения рынков - трендов, кластеров высокой или низкой волатильности, меняющихся корреляций между факторами риска, сценариев "что-если" и т.д.;

· Возможность дальнейшего, практически ничем не ограниченного развития моделей.

Недостатки метода Монте-Карло:

· Сложность реализации, наличие мощных вычислительных ресурсов;

· При простейших реализациях может оказаться близок к историческому VaR, что приведет к наследованию всех недостатков;

· Вероятность значимых ошибок в используемых моделях.

В данной работе приводятся VAR-оценки, полученные с помощью двух методов - исторического моделирования и Монте-Карло.

4. СРАВНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ И МОДЕЛЕЙ ПЕРЕФОРМИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ

При сравнении описанных выше алгоритмов и моделей будем рассматривать несколько возможных вариантов поведения инвестора в зависимости от существующих на рынке условий:

1Отсутствие платы за покупку-продажу акций.

2Фиксированная плата за осуществление сделки в размере

, (4.1)

где - заданный фиксированный процент, на который увеличивается цена акции при её покупке; - цена, по которой совершается покупка акций -го типа в момент времени ;

В обоих случаях численное моделирование будет производиться как на моделированных данных (с использованием модели GARCH (1,1)), так и на реальных - с введением цен акций (Газпромбанк, Роснефть, Сбербанк, Сибнефть) с 1 января 2008 г. по 1 января 2009 г.

Помимо переформирования портфеля в соответствии со стандартным алгоритмом, рассмотрены следующие ситуации: введены ограничения на управления, на рынке существует запрет коротких сделок, изменяется траектория эталона (например, в определенный момент времени увеличивается желаемая доходность).

Также особый интерес вызывает тот факт, что цены акций в указанный период (с 1 января 2008г. по 1 января 2009 г.) падали (рис. 4.1.1). Соответственно, проверяется работоспособность рассматриваемых алгоритмов в периоды кризиса, общего спада.

4.1 ПОСТРОЕНИЕ ПОРТФЕЛЯ ПО АЛГОРИТМУ МАРКОВИЦА

Определим стратегию управления портфелем, состоящим из четырех различных акций в период с 1 января 2008 года по 1 января 2009 года (Газпромбанк, Роснефть, Сбербанк, Сибнефть). Имеем данные за 250 дней.

Желаемую доходность выберем в зависимости от полученных угловых портфелей.

В результате работы программы был получен вектор распределения капитала по рассмотренным ценным бумагам в конечный момент времени. Рассмотрим результат работы алгоритма при различных входных данных.

,,,

4.2 ПОСТРОЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЯМИ С КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ РИСКА

1. Случай смоделированных данных.

Определим стратегию управления портфелем, состоящим из банковского счета с доходностью и четырех видов акций, доходность вложений в которые описывается уравнениями (2.7) с постоянными параметрами , , . Доходность эталонного портфеля .

Численно была реализована стратегия управления вида (2.9) с весовой матрицей

.

Результаты численного моделирования представлены на рисунках 4.2.3 и 4.2.4. На рисунке 4.2.2 приводится динамика доходностей акций. Программно алгоритм описан в Приложении A.

Согласно рисункам 4.2.3 и 4.2.4, при отсутствии резких изменений доходностей акций кривые динамики управляемого и эталонного портфелей практически совпадают, так как изменения управлений компенсируют текущие случайные колебания рисковых активов. При возникновении скачка доходностей кривая управляемого портфеля незначительно отклоняется от эталонного, но за несколько шагов возвращается к кривой эталонного портфеля за счет резких изменений управляющих воздействий.

В случае моделированных данных вид динамики изменения доходностей акций в значительной степени зависит от случайных величин , нормально распределенных, задействованных в следующей модели:

,

.

Кривые, соответствующие динамической модели управления инвестициями с квадратичной функцией риска, будут отличаться от рисунков 4.2.3 и 4.2.4 при изменении независимых случайных величин .

2. Случай реальных данных.

Определим стратегию управления портфелем, состоящим из банковского счета с доходностью и четырех видов акций, которые описаны реальными данными. Результаты численного моделирования представлены на рисунках 4.2.5 и 4.2.6. Динамика цен акций представлена на рисунке 4.1.1. Программно алгоритм описан в Приложении Б.

При учете изменений доходностей акций за некоторый промежуток времени (k = 10) графики изменятся - рис 4.2.7, 4.2.8.

3. Случай реальных данных с ограничениями на управление.

На управление накладывается ограничение. Динамика изменения цен акций остается прежней. Результаты численного моделирования представлены на рисунках 4.2.7 и 4.2.8. Программно алгоритм описан в Приложении В.

При учете изменений доходностей акций за некоторый промежуток времени (k = 10) графики изменятся - рис 4.2.11, 4.2.12.

4. Случай реальных данных и запрета коротких сделок.

Искусственно создаем на рынке ситуацию, когда запрещены продажи без покрытия. Динамика изменения цен акций остается прежней. Результаты численного моделирования представлены на рисунках 4.2.13 и 4.2.14. Программно алгоритм описан в Приложении Г.

При учете изменений доходностей акций за некоторый промежуток времени (k = 10) графики изменятся - рис 4.2.15, 4.2.16.

5. Случай реальных данных в совокупности с попытками изменить траекторию эталонного портфеля.

При сильном отклонении управляемого портфеля от эталонного в большую сторону смещаем траекторию последнего на величину, равную половине скачка. Результаты численного моделирования представлены на рисунках 4.2.17 и 4.2.18. Программно алгоритм описан в Приложении Д.

При учете изменений доходностей акций за некоторый промежуток времени (k = 10) графики изменятся - рис 4.2.19, 4.2.20.

4.3 ПОСТРОЕНИЕ ПОРТФЕЛЯ ПО АЛГОРИТМУ CUSUM

Численно была смоделирована стратегия (2.17), (2.18) с заданным уровнем = 0.35 для каждого из четырех рисковых активов. Программно алгоритм описан в Приложении Е.

Ниже приведены графики последовательностей и для каждой из четырех акций.

В случае, когда смоделирована стратегия (2.15), (2.16) с заданным промежутком , результаты будут следующие:

Ниже приведены графики изменения стоимости инвестиционного портфеля и долей вложений в рисковые активы при различных значениях .

Рис 4.3.5 - Изменение стоимости портфеля ценных бумаг, доли вложений в рисковые активы при p = 0.25.

Рис 4.3.6 - Изменение стоимости портфеля ценных бумаг с учетом доходностей акций за 10 дней, доли вложений в рисковые активы при p = 0.25.

Рис 4.3.7 - Изменение стоимости портфеля ценных бумаг, доли вложений в рисковые активы при p = 0.3.

Рис 4.3.8 - Изменение стоимости портфеля ценных бумаг с учетом доходностей акций за 10 дней, доли вложений в рисковые активы при p = 0.3.

Рис 4.3.9 - Изменение стоимости портфеля ценных бумаг, доли вложений в рисковые активы при p = 0.4.

Рис 4.3.10 - Изменение стоимости портфеля ценных бумаг с учетом доходностей акций за 10 дней, доли вложений в рисковые активы при p = 0.4.

4.4 АНАЛИЗ VAR-ОЦЕНОК ПРЕДЛОЖЕННЫХ АЛГОРИТМОВ И МОДЕЛЕЙ

Для построения VAR-оценок были использованы исторические волатильности и корреляции инструментов портфелей.

Применение метода исторического моделирования к данным, полученным в результате применения динамической модели управления инвестициями с квадратичной функцией риска, показало, что потери инвестора могут достигать 70%. А данные, полученные в результате работы алгоритма CUSUM обладают большей стабильностью - потери инвестора не превышают 10%.

Распределение возможных финансовых результатов, полученных методом Монте-Карло, показало, что при отсечении наихудших вариантов (согласно выбранной доверительной вероятности, равной 95%) первые алгоритмы допускают потери 50%. Алгоритм CUSUM сводит потери к минимуму (не более 20%). Таблицы распределений указаны в приложении Ж.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью данной работы являлось сравнение алгоритмов и нахождение наиболее эффективного способа формирования и переформирования инвестиционного портфеля. Были рассмотрены 3 модели управления. Первая модель - классическая, основанная на алгоритме Марковица нахождения угловых портфелей. Вторая - динамическая стохастическая модель формирования инвестиционного портфеля, состоящего из рисковых и безрискового финансовых активов. Задача управления портфелем сформулирована как динамическая задача слежения за эталонным портфелем с заданной желаемой эффективностью. И, наконец, третья - модель, основанная на построении кумулятивных сумм. Преимуществами второго подхода являются: 1. Гибкая формулировка задачи - на основе анализа состояния финансового рынка инвестор может выбирать желаемую доходность эталонного портфеля, а, подбирая соответствующим образом коэффициенты весовой матрицы в функции риска, учитывать особенности управления различными видами ценных бумаг. 2. Практическая реализация матричного принципа минимизации сводится к решению обыкновенных матричных скалярных разностных уравнений Риккати. 3. Данная модель легко может быть обобщена на случай сочетания различных инвестиционных стилей, когда инвестор владеет несколькими совместно управляемыми ИП.