Теория статистики

Задачи корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты известной связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей (причинный характер которых, должен быть выяснен с помощью теоретического анализа) и оценке факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

Задачи регрессионного анализа - выбор типа модели (формы связи), установление степени влияния независимых переменных на зависимую и определение расчетных значений зависимой переменной (функции регрессии).

Решение всех названных задач приводит к необходимости комплексного использования этих методов.

9.2.1 Двухмерная линейная модель корреляционного и регрессионного анализа (однофакторный линейный корреляционный и регрессионный анализ)

Наиболее разработанной в теории статистики является методология так называемой парной корреляции, рассматривающая влияние вариации факторного признака , на результативный признак и представляющая собой однофакторный корреляционный и регрессионный анализ.

При изучении связи экономических показателей производства (деятельности) используют различного вида уравнения прямолинейной и криволинейной связи. Внимание к линейным связям объясняется ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи для выполнения расчетов преобразуют (путем логарифмирования или замены переменных) в линейную форму. Уравнение однофакторной (парной) линейной корреляционной связи ( уравнение регрессии) имеет вид:

, (9.3)

где - теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии;

- коэффициенты (параметры) уравнения регрессии.

Поскольку является средним значением в точке , экономическая интерпретация часто затруднена или вообще невозможна.

Коэффициент парной линейной регрессии имеет смысл показателя силы связи между вариацией факторного признака и вариацией результативного признака . Уравнение (9.3) показывает среднее значение изменения результативного признака при изменении факторного признака на одну единицу его измерения, т.е. вариацию , приходящуюся на единицу вариации . Знак указывает направление этого изменения.

Параметры уравнения находят методом наименьших квадратов - метод решения систем уравнений, при котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений. Таким образом, в основу данного метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных от выровненных :

Для нахождения минимума функции приравниваем к нулю её частные производные и получим систему двух линейных уравнений, которая называется системой нормальных уравнений:

(9.4)

Решим эту систему в общем виде, находим параметры уравнения :

(9.5)

(9.6)

Параметры уравнения парной линейной регрессии иногда удобно исчислять по следующим формулам, дающим тот же результат:

или ,

.

Определив значения , подставив их в уравнение связи , находим значения , зависящие только от заданного значения .

Пример 9.1. Рассмотрим построение однофакторного уравнения регрессии зависимости объема предоставленных кредитов от задолженности по кредитам .

Исходя из экономических соображений предоставленные кредиты выбраны в качестве независимой переменной . Сопоставление данных параллельных рядов признаков и (таблица 9.1) показывает, что с возрастанием признака (предоставленные в рублях кредиты), растет результативный признак (задолженность по кредитам в рублях). Следовательно, между и существует прямая зависимость, выраженная достаточно ясно.

Таблица 9.1

Распределение лет по сумме предоставленных кредитов и задолженности по ним, в рублях

Пользуясь расчетными значениями (см. таблицу 9.1), исчислим параметры для данного уравнения регрессии:

,

.

Следовательно, регрессионная модель распределения задолженности по предоставленным кредитам в рублях для данного примера может быть записана в виде конкретного простого уравнения регрессии:

.

Это уравнение характеризует зависимость среднего уровня предоставленных в рублях кредитов от задолженности по ним. Расчетные значения , найденные по данному уравнению, приведены в таблице 9.1. Правильность расчета параметров уравнения регрессии может быть проверена сравнением сумм (,(возникло некоторое расхождение вследствие округления расчетов)).

Корреляционный анализ имеет своей задачей количественное определение тесноты связи не только между двумя признаками (при парной связи), но и между результативным признаком и множеством факторных признаков (при многофакторной связи).

9.2.3 Многофакторный корреляционный и регрессионный анализ

Как известно, явления общественной жизни складываются под воздействием не одного, а целого ряда факторов, т.е. эти явления многофакторны. Между факторами существуют сложные взаимосвязи, поэтому их влияние комплексное и его нельзя рассматривать как простую сумму изолированных влияний.

Многофакторный корреляционный и регрессионный анализ позволяет оценить меру влияния на исследуемый результативный показатель каждого из включенных в модель (уравнение) факторов при фиксированном положении (на среднем уровне) остальных факторов, а также при любых возможных сочетаниях факторов с определенной степенью точности найти теоретическое значение этого показателя (важным условием является отсутствие между факторами функциональной связи).

Многофакторный корреляционный и регрессионный анализ может быть использован в экономико-статистических исследованиях:

- для приближенной оценки фактического и заданного уровней;

- в качестве укрупненного норматива (для этого достаточно в уравнение регрессии подставить вместо фактических значений факторов их средние значения);

- для выявления резервов производства;

- для проведения межзаводского сравнительного анализа и выявления на его основе скрытых возможностей предприятий;

- для краткосрочного прогнозирования развития производства и др.

Математически задача формулируется следующим образом. Требуется найти аналитическое выражение, наилучшим образом отражающее установленную теоретическим анализом связь независимых признаков с результативным, т.е. функцию

(9.7)

В условиях использования ЭВМ выбор аппроксимирующей математической функции осуществляется перебором решений, наиболее часто применяемых в анализе корреляции уравнений регрессии.

После выбора типа аппроксимирующей функции приступают к многофакторному корреляционному и регрессионному анализу, задачей которого является построение уравнения множественной регрессии и нахождение его неизвестных параметров .

Параметры уравнения множественной регрессии, как и в случае парной регрессии, находят по способу наименьших квадратов.

После построения регрессионной модели необходимо исчислить различного рода характеристики тесноты связи между зависимой и независимой переменными.

9.3 Показатели корреляционной связи (зависимости)

Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции. Коэффициенты корреляции, представляя количественную характеристику тесноты связи между признаками, дают возможность определить «полезность» факторных признаков при построении уравнений регрессии. Величина коэффициентов корреляции служит также оценкой соответствия уравнению регрессии выявленным причинно-следственным связям.

9.3.1 Линейные коэффициенты

Для определения степени тесноты парной линейной зависимости служит линейный коэффициент корреляции , для расчета которого можно использовать, например, две следующие формулы:

, (9.8)

где - число наблюдений.

Для практических вычислений при малом числе наблюдений , линейный коэффициент корреляции удобнее исчислять по следующей формуле:

. (9.9)

Значение линейного коэффициента корреляции важно для исследования социально-экономических явлений и процессов, распределение которых близко к нормальному. Он принимает значения в интервале: .

Отрицательные значения указывают на обратную связь, положительные - на прямую.

При линейная связь отсутствует. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к единице, тем теснее связь между признаками. И, наконец, при связь - функциональная.

Квадрат линейного коэффициента корреляции называется линейным коэффициентом детерминации. Из определения коэффициента детерминации очевидно, что его числовое значение всегда заключено в пределах от 0 до 1, т.е. . Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под влиянием вариации признака-фактора.

Пример 9.2. Используя данные таблицы 9.1 рассчитаем линейные коэффициенты корреляции и детерминации.

Решение:

;

;

;

.

Близкое к единицы значение линейных коэффициентов корреляции и детерминации , говорит о том, что зависимость между рассматриваемыми показателями весьма значительна.

9.3.2 Ранговые коэффициенты корреляции

Ранговые коэффициенты Спирмэна и Кендэла применяют для изменения связи между ранжированными признаками. Эти коэффициенты применяют не только для качественных, но и для количественных показателей, особенно при малом объёме совокупности, так как непараметрические методы ранговой корреляции не связаны ни с какими ограничениями относительно характера распределения признака.

Суть расчетов этих коэффициентов состоит в том, что коррелируются не сами значения показателей и , а их ранги, т.е. номера их мест, занимаемых в каждом ряду значений по возрастанию или убыванию (обозначаются ранг буквой или ).

Коэффициент корреляции рангов Спирмэна ( = «ро») рассчитывается по формуле:

. (9.10)

Коэффициент корреляции рангов Кендэла ( = «тау») рассчитывается по формуле:

. (9.11)

9.3.3 Коэффициент Фехнера (коэффициент корреляции знаков)

Следует упомянуть коэффициент Фехнера, характеризующий элементарную степень тесноты связи, который целесообразно использовать для установления факта наличия связи, когда существует небольшой объем исходной информации.

Он основан на сравнении поведения отклонений индивидуальных значений каждого признака ( и ) от своей средней величины. При этом во внимание принимаются не величины отклонений, а их знаки («+» или «-»). Определив знаки отклонения от средней величины в каждом ряду, рассматривают все пары знаков и подсчитывают число их совпадений () и несовпадений ().

Коэффициент Фехнера () рассчитывается как отношение разности чисел пар совпадений и несовпадений знаков к их сумме, т.е. к общему числу наблюдаемых единиц:

. (9.12)

Очевидно, что если знаки всех отклонений по каждому признаку совпадают, то и тогда . Это характеризует наличие прямой связи. Если все знаки не совпадают, то , а , что характеризует обратную связь. Коэффициент Фехнера, как и любой другой показатель тесноты связи, может принимать значения от -1 до +1.

Пример 9.3

Имеются следующие данные о росте восьми пар братьев и сестер (таблица 9.2).

Таблица 9.2

Данные о росте восьми пар братьев и сестер

Определить тесноту зависимости между ростом братьев и сестер на основе:

а) коэффициента Фехнера;

б) коэффициентов корреляции рангов Спирмэна и Кендэла.

Решение:

а) Рассчитаем средние величины и :

;

.

Определив знаки отклонения от средней величины в каждом ряду, рассматривают все пары знаков и подсчитывают число их совпадений () и несовпадений ():

.

Коэффициент Фехнера () рассчитывается по формуле 9.8:

.

По величине коэффициента Фехнера () можно сделать вывод о весьма тесной зависимости между и .

б) По уже имеющимся данным (графы 1-2 таблицы 9.2) для нахождения коэффициентов корреляции рангов Спирмэна и Кендэла.

Размещено на Allbest.ru