Теория статистики

Требуется с вероятностью 0,997 определить долю малообеспеченных семей во всем регионе.

Решение:

Выборочная доля (доля малообеспеченных семей среди обследованных семей) равна:

По представленным ранее данным для вероятности 0,997 находим . Предельную ошибку доли определяется по формуле бесповторного отбора (механическая выборка всегда является бесповторной):

Предельная относительная ошибка выборки, %:

.

Генеральная доля , а доверительные пределы генеральной доли исчисляем, исходя из двойного неравенства:



В нашем примере:

Таким образом, почти достоверно, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля малообеспеченных семей среди всех семей региона колеблется от 28,6 до 31,4%.

Задача 6.3. Для определения урожайности зерновых культур проведено выборочное обследование 100 хозяйств региона различных форм собственности, в результате которого получены сводные данные (таблица 6.2). Необходимо с вероятностью 0,954 определить предельную ошибку выборочной средней и доверительные пределы средней урожайности зерновых культур по всем хозяйствам региона.

Таблица 6.2

Распределение урожайности по хозяйствам региона, имеющим различную форму собственности

Хозяйства (по формам собственности)	Количество обследованных хозяйств	Средняя урожайность, ц/га	Дисперсия урожайности в каждой группе
Коллективные	30	18	15
Акционерные общества	50	20	25
Крестьянские (фермерские)	20	28	40
Итого	100	-	-

Решение:

Поскольку обследованные хозяйства региона сгруппированы по формам собственности, предельную ошибку средней урожайности определяем по формуле для типической выборки, осуществляемой методом повторного отбора (численность генеральной совокупности неизвестна):

.

В этой формуле неизвестна средняя из внутригрупповых дисперсий.

Она исчисляется по формуле:

По представленным ранее данным для вероятности находим .

Тогда предельная ошибка выборки, ц/га:

Генеральная средняя: Для нахождения ее границ вначале нужно исчислить среднюю урожайность по выборочной совокупности , ц/га:

Предельная относительная ошибка выборки, %:

Доверительные пределы генеральной средней исчисляем, исходя из двойного неравенства:

.

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно гарантировать, что средняя урожайность зерновых культур по региону будет не менее чем 20 ц/га, но и не более чем 22 ц/га.

Определение необходимого объема выборки. При проектировании выборочного наблюдения с заранее заданным значением допустимой ошибки выборки очень важно правильно определить численность (объем) выборочной совокупности, которая с определенной вероятностью обеспечит заданную точность результатов наблюдения. Формулы для определения необходимой численности выборки легко получить непосредственно из формул ошибок выборки.

Так, из формул предельной ошибки выборки для повторного отбора нетрудно (предварительно возведя в квадрат обе части равенства) выразить необходимую численность выборки:

- для средней количественного признака:

, (6.32)

- для доли (альтернативного признака):

(6.33)

Аналогично из формул предельной ошибки выборки для бесповторного отбора находим, что:

- для средней:

, (6.34)

- для доли:

. (6.35)

Эти формулы показывают, что с увеличением предполагаемой ошибки выборки значительно уменьшается необходимый объем выборки.

Для расчета объема заимствована из проводимых ранее обследований данной или аналогичной совокупности, а если таковых нет, тогда для определения дисперсии надо провести специальное выборочное обследование небольшого объема.

Задача 6.4. Для определения среднего возраста 1200 студентов факультета необходимо провести выборочное обследование методом случайного бесповторного отбора. Предварительно установлено, что среднее квадратическое отклонение возраста студентов равно 10 годам.

Сколько студентов нужно обследовать, чтобы с вероятностью 0,954 средняя ошибка выборки не превышала 3 года?

Решение:

Рассчитаем необходимую численность выборки, чел., по формуле бесповторного отбора (6.34), учитывая, что , при :

Таким образом, выборка численностью 47 чел. Обеспечивает заданную точность при бесповторном отборе.

Выборочный метод широко используется в статистической практике для получения экономической информации.

Большую актуальность приобретает выборочный метод в современных условиях перехода к рыночной экономике. Изменения в характере экономических отношений, аренда, собственность отдельных коллективов и лиц обусловливают изменения функций учета и статистики, сокращение и упрощение отчетности. Вместе с тем, возрастающие требования к менеджменту усиливают потребность в обеспечении надежной информацией, дальнейшего повышения ее оперативности. Все это обусловливает более широкое применение выборочного метода в экономике.

В отчетной статистике уже накоплен определенный опыт выборочных обследований. В последние годы все большее применение в социальной статистике находят специальные выборочные наблюдения. Так, важнейшим источником информации об уровне жизни народа являются данные регулярно проводимых выборочных обследований бюджетов семей. Широко применяется выборочный метод при переписи населения, изучении общественного мнения, контрольных обходах и проверках после проведения сплошных обследований.

Потребность в использовании выборочного метода, выработке вероятностных суждений в современной отечественной статистике непрерывно расширяется.

7. Статистическое изучение динамики

7.1 Ряды динамики: понятие, структура, виды, правила построения.

7.2 Показатели анализа ряда динамики.

7.3 Методы анализа основной тенденции развития в рядах динамики.

7.4 Методы изучения сезонных колебаний.

7.5 Экстраполяция в рядах динамики и прогнозирование.

7.1 Ряды динамики: понятие, структура, виды

Процесс развития, движения социально - экономических явлений во времени в статистике принято называть динамикой. Для отображения динамики строят ряды динамики.

Ряд динамики (динамический ряд) представляет собой ряд, изменяющихся во времени числовых значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке.

В каждом ряду динамики имеются два основных элемента: периоды или моменты времени () и конкретные значения показателя (уровни ряда) ().

Уровни рядов динамики отображают количественную оценку развития во времени изучаемого явления. Они могут выражаться абсолютными, относительными и средними величинами.

Ряды динамики классифицируют следующим образом:

1) по времени различают моментные и интервальные ряды динамики.

Моментным рядом динамики называют такой ряд, уровни которого характеризуют состояние явления на определенные даты (моменты времени).

Интервальным (периодическим) рядом динамики называется такой ряд, уровни которого характеризуют размер явления за конкретный период времени (год, квартал, месяц). Примером такого ряда могут служить данные о динамике добычи нефти в РФ (см. табл. 7.1). Этот ряд характеризует увеличение уровня добычи нефти в России.

Таблица 7.1

Добыча нефти в Российской Федерации, млн. т.

Годы	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
Объем добычи нефти в РФ	313	337	367	408	443	453	462	473

Источник: Российский статистический ежегодник. - 2008. - 391с.- http://www.gks.ru.

Важное отличие моментных рядов от интервальных состоит в том, что сумма уровней интервального ряда дает вполне реальный показатель. Например, суммирование уровней добычи нефти за каждый год по данным, приведенным выше, позволит определить ее добычу за все восемь лет в целом и в среднем за год. Сумма же уровней моментного ряда реального содержания не имеет, так как в каждом последующем уровне содержится полностью или частично значение предыдущего уровня. Суммировать уровни моментного ряда не следует, поскольку это приводит к повторному счету.

2) по форме представления уровней различают ряды абсолютных, относительных и средних величин. Например, средними величинами могут выражаться уровни, характеризующие динамику средней заработной платы, динамику урожайности зерновых культур. Относительными величинами характеризуется динамика доли городского и сельского населения, уровня безработицы.

3) по расстоянию между уровнями ряды динамики подразделяются на ряды с равностоящими и неравностоящими уровнями по времени.

Равностоящий ряд представляет собой ряд, в котором данные представлены через равные, следующие друг за другом интервалы времени, а в неравностоящих рядах принцип равных интервалов не соблюдается.

Ряды динамики могут быть изображены графически. Графическое изображение позволяет наглядно представить развитие явления во времени и способствует проведению анализа уровней. Наиболее распространенным видом графического изображения является линейная диаграмма, которая строится в прямоугольной системе координат на осу абсцисс отмечается время, а на оси ординат - уровни ряда.

Также для графического изображения рядов динамики используются столбиковая диаграмма, секторная диаграмма и другие виды диаграмм (фигурные, квадратные и т.п.)

Правила построения рядов динамики

1. Периодизация развития, т.е. расчленение его во времени на однородные этапы, в пределах которых показатель подчиняется одному закону развития. По существу, это типологическая группировка во времени.

2. Статистические данные должны быть сопоставимы по территории, кругу охватываемых объектов, единицам измерения, времени регистрации, ценам, методологии расчета.

3. Величины временных интервалов должны соответствовать интенсивности изучаемых процессов. Чем больше вариация уровней во времени, тем чаще следует делать замеры. Соответственно для стабильных процессов интервалы можно увеличить.

4. Числовые уровни рядов динамики должны быть упорядоченными во времени. Не допускается анализ рядов с пропусками отдельных уровней. Если же такие пропуски неизбежны, то их восполняют условными расчетными значениями.

Основным условием при анализе рядов динамики и прогнозировании его уровней является сопоставимость уровней динамического ряда между собой. Поэтому часто приходится иметь дело с такими несопоставимыми данными, которые могут быть приведены к сопоставимому виду дополнительными расчетами.

В ряде случаев несопоставимость может быть устранена путем обработки рядов динамики приемом смыкания рядов динамики. Этот прием позволяет преодолеть несопоставимость данных, возникающую вследствие изменения во времени круга охватываемых объектов или методологии расчета показателей, и получить единый сравнимый ряд за весь период времени. Если, например, имеются два ряда показателей, характеризующих динамику одного и того же явления в новых и старых границах по одному и тому же кругу объектов, то такие динамические ряды можно сомкнуть.

Пример 7.1. По следующим данным, характеризующим общий объем продукции промышленности в одном из регионов (табл. 7.2), приведите ряд динамики к сопоставимому виду.

Таблица 7.2 Общий объем продукции промышленности в регионе, усл. ед.

Уровни продукции промышленности	2002г.	2003г.	2004г.	2005г.	2006г.	2007г.	2008г.
В старых границах региона	20,1	20,7	21,0	21,2	-	-	-
В новых границах региона	-	-	-	23,8	24,6	25,5	27,2

Способ 1: для приведения ряда динамики к сопоставимому виду сначала определим коэффициент соотношения уровней двух рядов для 2005г.:

Умножая на этот коэффициент уровни первого ряда, получаем их сопоставимость с уровнями второго ряда, усл. ед.:



Получен сопоставимый ряд динамики общего объема продукции промышленности в одном из регионов (в новых границах, усл. ед.):

Годы	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008
Общий объем продукции в промышленности	22,5	23,2	23,5	23,8	24,6	25,5	27,2

Способ 2: уровни года, в котором произошли изменения (2005г.), как до изменений, так и после изменений (21,2 и 23,8) принимаем за 100 %, а остальные пересчитываем в процентах по отношению к этим уровням соответственно (до изменений - по отношению к 21,2, а после изменений - по отношению к 23,8). В результате получается сомкнутый ряд (табл. 7.3).

Таблица 7.3

Общий объем промышленности в новых границах региона

Годы	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008
Общий объем продукции в новых границах региона, (% к 2005г.)	94,8	97,6	99,1	100,0	103,4	107,2	114,3

7.2 Показатели анализа ряда динамики

При изучении динамики общественных явлений возникает проблема описания интенсивности изменения и расчета средних показателей динамики. Анализ интенсивности изменения во времени осуществляется с помощью показателей, получаемых в результате сравнения уровней между собой. К таким показателям относятся: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста.

Абсолютный прирост - абсолютное изменение, характеризующее увеличение или уменьшение уровня ряда за определенный промежуток времени. Абсолютный прирост с переменной базой называют скоростью роста.

Темп роста - относительный показатель, характеризующий интенсивность процесса роста (снижения). Он показывает, сколько процентов составляет уровень данного периода по сравнению с базисным или предыдущим уровнем, т.е. характеризует относительную скорость изменения уровня ряда в единицу времени. Темп роста всегда представляет собой положительное число.

Коэффициент роста (снижения) показывает, во сколько раз сравниваемый уровень больше уровня, с которым производится сравнение (если этот коэффициент больше единицы) или какую часть уровня, с которым производится сравнение, составляет сравниваемый уровень (если он меньше единицы).

Темп прироста - относительный показатель, характеризующий величину прироста (снижения). Темп прироста может быть положительным, отрицательным или равным нулю, выражается он в процентах и долях единицы (коэффициенты прироста).

Абсолютное значение одного процента прироста показывает, какое абсолютное значение скрывается за относительным показателем - одним процентом прироста. Абсолютное значение одного процента прироста равно сотой части предыдущего (или базисного) уровня.

Показатели анализа динамики могут вычисляться на постоянной и переменной базах сравнения. При этом принято называть сравниваемый уровень отчетным, а уровень, с которым производится сравнение, - базисным.

Для расчета показателей анализа динамики на постоянной базе каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем. В качестве базисного выбирается либо начальный уровень в ряду динамики, либо уровень, с которого начинается какой-то новый этап развития явления. Исчисляемые при этом показатели называются базисными.

Для расчета показателей анализа динамики на переменной базе каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим. Вычисленные таким образом показатели анализа динамики называются цепными.

Показатели анализа рядов динамики и формулы их расчета приведены таблице 7.4.

Таблица 7.4

Основные показатели анализа ряда динамики

№ п/п	Показатель	Базисный	Цепной
1.	Абсолютный прирост ()	; - уровень сравниваемого периода, - уровень базисного периода	; - уровень предшествующего периода
2.	Коэффициент роста (снижения) ()
3.	Темп роста ()
4.	Темпы прироста ()
5.	Абсолютное значение одного процента прироста ()	-

В таблице 7.5. приведены результаты расчета показателей, характеризующих динамику производства электроэнергии в РФ за период 2002-2007.

Таблица 7.5

Динамика производства электроэнергии в РФ

Год	Производство лектроэнергии, млрд. кВтч	Абсолютный прирост, млрд. кВтч	Коэффициенты роста	Темпы прироста, %
2002	891	-	-	-	-	-	-	-
2003	916	25	25	1,03	1,03	3	3	8,91
2004	932	16	41	1,02	1,05	2	5	9,16
2005	953	21	62	1,02	1,07	2	7	9,32
2006	996	43	105	1,04	1,12	4	12	9,53
2007	1015	19	124	1,02	1,14	2	14	9,96
Итого: 5703		-		-	-	-	-

Цепные и базисные абсолютные приросты показывают прирост (сокращение) производства электроэнергии РФ по годам и абсолютное изменение по сравнению с 2002 г.

Сумма последовательных цепных абсолютных приростов равна базисному приросту, т.е. общему приросту за весь промежуток времени (). Так, в нашем случае:

.

Цепные и базисные коэффициенты роста характеризуют интенсивность изменения производства электроэнергии в России по годам и за весь период.

Между цепными и базисными коэффициентами роста существует взаимосвязь: произведение последовательных цепных коэффициентов роста равно базисному коэффициенту роста за весь период ().

Проверим взаимосвязь цепных и базисных коэффициентов роста на нашем примере: .

Относительную оценку скорости измерения уровня ряда в единицу времени дают показатели темпа прироста (сокращения).

В нашем примере мы видим, что рост производства электроэнергии колеблется ежегодно от 2 до 4%. В целом же за рассматриваемый период (2002 - 2007гг.) рост электроэнергии составил 14%.

При анализе динамики развития следует также знать, какие абсолютные значения скрываются за темпами роста и прироста. Сравнение абсолютного прироста и темпа прироста за одни и те же периоды времени показывает, что при снижении (замедлении) темпов прироста абсолютный прирост не всегда уменьшается, в отдельных случаях он может возрастать. Поэтому, чтобы правильно оценить значение полученного темпа прироста, его рассматривают в сопоставлении с показателем абсолютного прироста (см. табл. 7.5). Этот показатель называют абсолютным значением одного процента прироста.

В нашем примере (см. табл. 7.6) абсолютное значение 1% прироста производства электроэнергии в России в 2002 - 2007 гг. увеличивалось.

Для обобщающей характеристики динамики исследуемого явления определяют средние показатели: средние уровни ряда и средние показатели изменения уровней ряда.

Средний уровень ряда характеризует обобщённую величину абсолютных уровней. Он рассчитывается по средней хронологической, т.е. по средней исчисленной из значений, изменяющихся во времени.

Методы расчета среднего уровня интервального и моментного рядов динамики различны.

Для интервальных рядов динамики из абсолютных уровней средний уровень за период времени определяется:

1) при равных интервалах по формуле средней арифметической простой:

, (7.1)

где - абсолютные уровни ряда;

- число уровней ряда.

2) при неравных интервалах по формуле средней арифметической взвешенной:

, (7.2)

где - уровни ряда динамики, сохраняющиеся без изменения в течение промежутка времени ;

- веса, длительность интервалов времени (дней, месяцев) между смежными датами.

Средний уровень производства электроэнергии за 2002 - 2007 гг. находим по формуле (7.1), так как исследуемый ряд динамики представляет собой интервальный ряд с одинаковыми интервалами, млрд. кВт ч:

.

Расчет среднего уровня для интервального ряда динамики с неравностоящими уровнями рассмотрим на примере.

Пример 7.2. Если известно, что с 1-го по 15-е число месяца в акционерном коммерческом банке работали 20 человек, с 16-го по 25-е - 27 человек, а с 26-го по 30-е - 30 человек, то среднесписочное число работников за месяц составит, чел.:

.

Средний уровень моментного ряда динамики с равностоящими уровнями определяется по формуле средней хронологической:

, (7.3)

где - уровни периода, за который делается расчет;

- число уровней;

Пример 7.3. Пусть имеются данные о валютном курсе, установленном ЦБ РФ первое число каждого месяца.

Требуется определить средний месячный курс доллара в 4 квартале 2009г.

Таблица 7.7

Котировка доллара США, руб. за 1 доллар

Дата	1.01.2009г.	1.02.2009г.	1.03.2009г.	1.04.2009г.
Курс доллара, руб	29,40	35,41	35,72	34,32

Требуется определить средний месячный курс доллара в 4 квартале 2009г.

Так как , для расчета применяем формулу (7.3), руб./долл.:

.

Средний уровень моментных рядов с неравностоящими уровнями определяется по формуле средней хронологической взвешенной:

(7.4)

где - уровни рядов динамики;

- интервал времени между смежными уровнями.

8. Экономические индексы

8.1 Понятие экономических индексов. Классификация индексов.

8.2 Индивидуальные индексы.

8.3 Сводные индексы.

8.4 Системы индексов.

8.5 Индексы структурных сдвигов.

8.6 Индексы пространственно-территориального сопоставления.

8.7 Система взаимосвязанных индексов. Факторный анализ.

8.1 Понятие экономических индексов. Классификация индексов

Индексы являются обобщающими показателями, которые используются в математике, экономике, в метеорологии и других науках.

Экономический индекс - это относительная величина, которая характеризует изменения во времени, в пространстве или по сравнению с некоторым эталоном (план, прогноз, норматив и т.д.).

В статистике различают следующие виды индексов:

1. По степени охвата явления индексы бывают индивидуальные и сводные. Индивидуальные индексы характеризуют изменения отдельных элементов сложного явления. Для изменения динамики сложного явления, составные части которого непосредственно несоизмеримы, рассчитывают сводные (общие) индексы.

Если индексы охватывают некоторую часть элементов сложного явления, то они называются групповыми (субиндексы). Например, индекс цен по группам продовольственных и непродовольственных товаров.

2. По базе сравнения все индексы делят на динамические и территориальные. Первые отражают изменение явления во времени, территориальные же применяются для межрегиональных сравнений.

3. По виду весов индексы бывают с постоянными и переменными весами.

4. В зависимости от формы построения различают индексы агрегатные и средние. Последние делятся на арифметические и гармонические.

5. По характеру объема исследования общие индексы подразделяются на индексы количественных (объемных) и качественных показателей. К первой группе относятся, например, индекс объема продаж долларов США на ММВБ, ко второй - индекс курса доллара США.

6. По объекту исследования различают индексы производительности труда, себестоимости, физического объема продукции, стоимости продукции и т.д.

7. По составу явления можно выделить 2 группы индексов: постоянного (фиксированного) состава и переменного состава.

8. По периоду исчисления индексы делятся на годовые, квартальные, месячные, недельные.

Экономические индексы служат для решения следующих задач:

измерения динамики социально-экономического явления за два и более периодов времени;

измерения динамики среднего экономического показателя;

измерения соотношения показателей по разным регионам;

определения степени влияния изменения значений одних показателей на динамику других;

пересчета значения макроэкономических показателей из фактических цен в сопоставимые.

8.2 Индивидуальные индексы

Простейшим показателем, используемым в индексном анализе, является индивидуальный индекс, который характеризует изменение во времени (или в пространстве) отдельных элементов той или иной совокупности.

Самыми распространенными индивидуальными индексами являются следующие:

1. Индивидуальный индекс цены:

, (8.1)

где - цена товара соответственно в текущем и базисном периодах.

Этот индекс характеризует изменение цены одного определенного товара в текущем периоде по сравнению с базисным.

2. Индекс физического объема:

, (8.2)

где - объем товара в натуральном выражении соответственно в текущем и базовом периодах.

Он показывает, во сколько раз возрос (уменьшился) выпуск какого-либо одного товара в отчетном периоде по сравнению с базисным, или сколько %-в составляет рост (снижение) выпуска товара.

3. Индивидуальный индекс себестоимости единицы продукции:

, (8.3)

где - себестоимость единицы продукции соответственно в текущем и базисном периодах.

4. Индивидуальный индекс товарооборота:

. (8.4)

5. Индивидуальный индекс производительности труда:

;

, (8.5)

где - суммарные затраты времени на выпуск данной продукции в чел-час., чел-дн., чел-мес.;

- количество продукции, вырабатываемое в единицу времени (в натуральном выражении);

- затраты рабочего времени на единицу продукции.

. (8.6)

8.3 Сводные (общие) индексы

Сводный индекс - это сложный относительный показатель, который характеризует среднее изменение социально-экономического явления, состоящего из непосредственно несоизмеримых элементов. Исходной формой сводного индекса является агрегатная. Особенностью этой формы является то, что в ней непосредственно сравниваются две суммы одноименных показателей.

Здесь индексируемой величиной называется признак, изменение которого изучается (цена товаров, курс акций, затраты рабочего времени на производство продукции и т.д.). Вес индекса - это величина, служащая для целей соизмерения индексируемых величин.

Если строится индекс количественного показателя, то веса берутся за базисный период; при построении индекса качественного показателя используются веса отчетного периода.

Сводные индексы в средней арифметической и средней гармонической формах

Любой сводный индекс можно представить как среднюю взвешенную из индивидуальных индексов. При этом форму средней нужно выбирать таким образом, чтобы полученный средний индекс был тождествен исходному агрегатному индексу.

Например, мы располагаем данными о стоимости продукции в текущем периоде () и индивидуальными индексами цен (). Тогда в знаменателе сводного индекса цен () можно использовать следующую замену:

. (8.7)

Т.о., сводный индекс цен будет выражен в форме средней гармонической из индивидуальных индексов:

. (8.8)

При расчете сводного индекса физического объема товарооборота () можно использовать среднюю арифметическую форму. При этом в числителе производится замена: .

Тогда индекс примет вид:

. (8.9)

Индекс производительности труда по трудоемкости в средней арифметической форме будет выглядеть следующим образом:

. (8.10)

8.4 Система индексов

Индексы могут использоваться для анализа динамики социально-экономических явлений за ряд последовательных периодов. В этом случае для достижения сопоставимости они должны рассчитываться по единой схеме - системе индексов.

В зависимости от информационной базы и целей исследования индексная система может строиться в четырех вариантах.

Рассмотрим систему индексов на примере сводного индекса цен, рассчитываемого за «» периодов:

1. Цепные индексы цен с переменными весами:

(8.11)

2. Цепные индексы цен с постоянными весами:

(8.12)

3. Базисные индексы цен с переменными весами:

(8.13)

4. Базисные индексы цен с постоянными весами:

(8.14)

8.5 Индексы структурных сдвигов

При изучении динамики качественных показателей приходится определять изменение средней величины индексируемого показателя, которое обусловлено взаимодействием двух факторов - изменением значения индексируемого показателя у отдельных групп единиц и изменением структуры явления. Под изменением структуры явления понимается изменение доли отдельных групп единиц совокупности в общей численности.

Задача определения степени влияния каждого из выше указанных факторов на общую динамику средней решается с помощью индексного метода, т.е. путем построения системы взаимосвязанных индексов: переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов.

Индексом переменного состава называется индекс, выражающий соотношение средних уровней изучаемого явления, относящихся к разным периодам времени.

Индекс переменного состава отражает изменение не только индексируемой величины (в данном случае себестоимости), но и структуры совокупности (весов).

Индекс постоянного (фиксированного) состава - это индекс, исчисленный с весами, зафиксированными на уровне одного какого-либо периода, и показывающий изменение только индексируемой величины. Индекс фиксированного состава определяется как агрегатный индекс.

Под индексом структурных сдвигов понимают индекс, характеризующий влияние изменения структуры изучаемого явления на динамику среднего уровня этого явления.

8.6 Индексы пространственно-территориального сопоставления

Территориальные индексы служат для сравнения показателей в пространстве, т.е. по предприятиям, округам, городам, районам и пр. При построении территориальных индексов необходимо решить, какие веса использовались при их определении.

Для этого в теории и в практике статистики используют различные методы, одним из которых является метод стандартных весов. Суть его состоит в следующем: значения индексируемой величины взвешиваются не по весам какого- то одного региона, а по весам области, экономического района, республики, в которых находятся сравниваемые регионы. Например, если стоит задача сравнить цены двух регионов (А и Б), то можно использовать в качестве весов количество продукции, проданной в регионах А и Б, т.е.:

. (8.19)

8.7 Система взаимосвязанных индексов. Факторный анализ

Индексный метод не только характеризует динамику сложного явления, но и анализирует влияние на нее отдельных факторов.

Многие стратегические показатели, характеризующие различные стороны общественных явлений, находятся между собой в определенной связи (часто в виде произведения). Так, объем выработанной продукции связан с уровнем производительности труда и с численностью занятых на предприятии работников; товарооборот является произведением количества проданной продукции на цену; валовой сбор той или иной культуры - произведением урожайности на посевную площадь и т.д. Форма взаимосвязи между такими показателями выявляется на основе теоретического анализа. Статистика характеризует эти взаимосвязи количественно.

Все соотношения в таких произведениях могут рассматриваться как факторы, определяющие значение результативного показателя. Так, объем выработанной продукции на любом предприятии может изменяться за счет совместного изменения двух факторов: производительности труда и численности работающих; товарооборот может изменяться за счет изменения количества (объема) проданных товаров и за счет изменения цен и т.д.

Связь между экономическими показателями находит отражение во взаимосвязи характеризующих их индексов, т.е. если , то и ; а если , то и .

Поэтому многие экономические показатели тесно связаны между собой и образуют индексные системы.

Система взаимосвязанных индексов дает возможность применять индексный метод для изучения взаимосвязей общественных явлений, проведения факторного анализа с целью определения роли отдельных факторов (не зависимых друг от друга) на изменение сложного явления.

В отечественной статистике принята следующая практика факторного анализа: если результативный показатель можно представить как произведение объемного и качественного факторов, то, определяя влияние объемного фактора на изменение результативного показателя, качественный фактор фиксируют на уровне базисного периода; если же определяется влияние качественного показателя, то объемный фактор фиксируется на уровне отчетного периода.

По существу, любой агрегатный индекс построен по такому принципу обособленного рассмотрения влияния отдельных факторов на изменение сложного показателя.

Рассмотрим построение взаимосвязанных индексов на примере индексов цен, физического объема продукции (если речь идет об отпускных ценах промышленности) или физического объема товарооборота (если речь идет о розничных ценах) и индекса стоимости продукции (товарооборота в фактических ценах).

1. Индексы физического объема и цен являются факторными по отношению к индексу стоимости продукции (товарообороту в фактических ценах):

 (8.20)

Таким образом, произведение индекса цен на индекс физического объема продукции дает индекс стоимости продукции (товарооборота в фактических ценах), т.е. образует индексную систему из этих трех индексов.

Если, например, по определенной группе товаров цена единицы товара в отчетном периоде по сравнению с базисным возросла в среднем на 10%, т.е. (), а физический объем товарооборота (в фиксированных ценах) снизился на 7% (), то можно определить изменение объема товарооборота в фактических ценах:

Таким образом, при снижении физического объема товарооборота на 7%, товарооборот в фактических ценах в отчетном периоде по сравнению с базисным вырос на 2% при повышении цен единицу товара в среднем на 10%.

2. Аналогичную взаимосвязь между индексом затрат на производство продукции, индексом себестоимости и индексом физического объема продукции можно записать в виде следующей индексной системы:

(8.21)

3. Индекс изменения общего фонда оплаты труда в связи с изменением общей численности работающих и заработной платы :

 (8.22)

4. Индекс изменения объема продукции в связи с изменением численности работающих и уровня их выработки :

(8.23)

5. Индекс изменения объема продукции в связи с изменением объема основных производственных фондов и показателя эффективности их использования - фондоотдачи :

(8.24)

6. Индекс изменения валового сбора УП в связи с изменением урожайности и посевной площади :

(8.25)

К числу взаимосвязанных индексов относятся и индексы переменного состава, постоянного состава и индексы структурных сдвигов. В этой системе динамика среднего показателя (индекса переменного состава) выступает как произведение двух индексов: индекса среднего показателя в неизменной структуре (индекс постоянного состава) и индекса влияния изменения структуры явлений на динамику среднего показателя (индекс структурных сдвигов):

. (8.26)

Индексная система позволяет определить влияние отдельных факторов на формирование уровня результативного показателя, по двум известным значениям индексов найти значение третьего - неизвестное.

Например, если известно, что затраты на производство всей продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным выросли на 13% () и одновременно уровень себестоимости единицы продукции снизился на 5% (), то можно определить, что физический объем продукции вырос на 19%:

.

Рассмотренные системы представляют собой двухфакторные системы (связь результативного признака с двумя факторами). Но общий признак может зависеть от трех, четырех и более факторов, т.е. связь может быть трехфакторная, четырехфакторная и т.д.

Поэтому общие индексы могут быть разложены также на три и более факторных индекса, объясняющих изменение результативного признака за счет влияния каждого фактора в отдельности.

Применяются два метода расположения общего индекса на частные:

- метод обособленного (изолированного) изучения факторов;

- метод последовательно - цепной (взаимосвязанное изучение факторов).

Поскольку в действительности явления взаимосвязаны, то основной схемой следует считать последовательно - цепной анализ факторов, требующий правильного расположения факторов при построении модели результативного показателя (например, ).

На первом месте в модели следует ставить качественный фактор. Увеличение цепи факторов на один фактор (например, ) каждый раз должно приводить к показателю, имеющему реальный экономический смысл.

При определении влияния первого фактора все остальные факторы сохраняются в числителе и знаменателе на уровне отчетного периода.

При построении второго факторного индекса первый фактор сохраняется на уровне базисного периода, третий и все последующие - на уровне отчетного периода.

При построении третьего факторного индекса первый и второй сохраняются на уровне базисного периода, четвертый и все последующие - на уровне отчетного периода и т.д.

Предположим, что . Тогда последовательно - цепное разложение факторов будет иметь вид:

(8.27)

Аналогично строится система взаимосвязанных индексов при четырехфакторной связи и т.д.

Покажем на условном примере проведение факторного анализа сложного показателя с использованием системы взаимосвязанных индексов (задача 8.1).

Задача 8.1. Данные о продаже товаров в розничной торговле района представлены в таблице 8.1.

Таблица 8.1

Данные о продаже товаров

Товар	Продано в 1 квартале, млн. руб.	Снижение количества продажи во 2 квартале по сравнению с 1, %
Трикотаж	4,0	-15
Обувь	5,2	-5
Всего	9,2	-

Вычислить:

1. Общий индекс физического объема товарооборота (количества продажи во 2 квартале к 1 кварталу).

2. Среднее изменение цен на товары, если известно, что товарооборот в фактических ценах за это время вырос на 5%.

Решение:

1. Исходя из условия, запишем индивидуальные индексы количеств:

2. Исчислим общий индекс физического объема товарооборота в форме среднего взвешенного арифметического индекса:

Физический объем товарооборота во 2 квартале по сравнению с 1 кварталом уменьшился на 9,4 % или на 860 тыс. руб. (8340 - 9200). Изменение произошло за счет снижения количества продажи (без учета изменения цен).

3. Товарооборот в фактических ценах согласно условию вырос на 5% (следовательно, ).

4. Используя индексную систему, находим общий индекс цен:

.

Следовательно, цены на данную группу товаров во 2 квартале по сравнению с 1 кварталом увеличились в среднем на 15,9%.

Таким образом, товарооборот в фактических ценах во 2 квартале по сравнению с 1 кварталом вырос на 5% за счет увеличения цен на 15,9% при одновременном снижении количества продажи на 9,4%.

Индексные системы могут применяться и для определения в абсолютном выражении изменения сложного явления за счет влияния отдельных факторов. Расчеты, связанные с определением в абсолютном выражении изменения результативного показателя за счет отдельных факторов, называют разложением абсолютного прироста (сокращения) по факторам.

Так, рассмотренная выше индексная система трехфакторной связи (8.27) может быть представлена в абсолютных величинах следующим образом:

(8.28)

При построении индексов, оценивающих влияние отдельных факторов на изменение сложного явления, необходимо иметь в виду, что общий результат абсолютного изменения этого явления представляет собой сумму абсолютных изменений, обусловленных влиянием исследуемых факторов, формирующих это явление.

Разложения абсолютного прироста по факторам могут быть записаны для самых различных результативных показателей, которые можно представить как произведение объемного фактора на качественный.

Согласно изложенному выше принципу разложение абсолютного прироста (сокращения) по факторам можно записать для рассмотренной выше индексной системы:

(8.29)

(8.30)

,

где - абсолютный прирост товарооборота в фактических ценах, т.е. обусловленный изменениями двух факторов - количества проданных товаров и цен;

- абсолютный прирост товарооборота в результате изменения физического объема товарооборота (продажи товара);

- абсолютный прирост товарооборота в результате изменения цен.

Методику факторного анализа рассмотрим на условном примере (задача 8.2).

Задача 8.2. Имеются следующие данные по двум предприятиям (табл.8.2)

Таблица 8.2

Количество себестоимости произведенной продукции

Предприятие	Произведено мужской обуви, тыс. пар	Себестоимость единицы продукции, руб.
	Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период
А	13	16	170	160
Б	7	10	200	190

Определить: изменение общих затрат на производство всей продукции под совместным влиянием двух факторов - изменения физического объема продукции и цен каждого из этих факторов в отдельности.

Решение:

1. Для проведения факторного анализа воспользуемся индексной системой:

откуда

2. Совокупное действие двух факторов на изменение общих затрат определим с помощью индекса затрат на производство продукции (результативного индекса):

.

Индекс показывает, что затраты на производство всей продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличились на 23,5%, что в абсолютном выражении составило:

3. Влияние изменения себестоимости единицы продукции на величину общих затрат определим с помощью факторного индекса себестоимости продукции:

.

Следовательно, за счет изменения себестоимости единицы продукции по каждому предприятию произошло снижение общих затрат на производство продукции на 5,5%, что в абсолютном выражении составило:

4. Влияние изменения объема продукции на величину общих затрат определим с помощью факторного индекса физического объема продукции:

Следовательно, за счет роста общего объема произведенной продукции затраты на производство всей продукции выросли на 30,7%, что в абсолютном выражении составило:

Проверим взаимосвязь индексов в разложение абсолютного прироста по факторам.

9. Статистическое изучение взаимосвязей

9.1 Понятие и виды связей между социально-экономическими явлениями.

9.2. Статистические методы моделирования связи.

9.3 Показатели корреляционной связи (зависимости).

9.4 Непараметрические методы.

9.1 Понятие и виды связей между социально-экономическими явлениями

Наука исходит их объективной закономерной взаимосвязи и причинной обусловленности всех явлений.

Изучение статистических закономерностей - важнейшая познавательная задача статистики, которую она решает с помощью особых методов. Знание характера и силы связей позволяет управлять социально-экономическими процессами и предсказывать их развитие.

Среди многих форм связей важнейшей является причинная, определяющая все другие формы. Сущность причинности состоит в порождении одного явления другим. Причина сама по себе не определяет следствия. Для возникновения следствия нужны причина и условия. Необходимая обусловленность явлений множеством факторов называется детерминизмом.

Объектами исследования при статистическом измерении связей служит детерминированность следствия факторами (причиной и условиями). Признак, характеризующий следствие, называется результативным, а признаки, характеризующие причины, - факторными.

Задача статистики состоит в количественной оценке закономерности связей - математическая определенность, позволяющей использовать результаты экономических разработок для практических целей.

Между различными явлениями и их признаками необходимо выделить, прежде всего, функциональную (жестко детерминированную) и стохастическую (стохастически детерминированную) связи.

Связь признака с признаком называется функциональной, если каждому возможному значению независимого признака соответствует одно или несколько строго определенных значений зависимого признака .

Характерной особенностью функциональных связей является то, что в каждом отдельном случае известен полный перечень факторов, определяющих значение зависимого (результативного) признака, а также точный механизм их влияния, выраженный определенным уравнением.

Функциональную связь можно представить уравнением:

(9.1)

где - результативный признак ;

- известная функция связи результативного и факторного признаков;

- факторный признак.

Чаще всего функциональные связи наблюдаются в явлениях, описываемых математикой, физикой и другими точными науками. В экономике примером функциональной связи может служить связь между оплатой труда () и количеством изготовленных деталей () при простой сдельной оплате труда. Так, если расценка за одну деталь составляет 3 тыс. руб., то связь между признаками однозначно выразится простым линейным уравнением . Для каждого допустимого значения можно указать вполне определенное значение . Если , то, соответственно, .

В реальной общественной жизни, ввиду неполноты информации жестко детерминированной системы, может возникнуть неопределенность, из-за которой эта система по своей природе должна рассматриваться как вероятностная, при этом связь между признаками становится стохастической.

Стохастическая связь - это связь между величинами, при которой одна из них, случайная величина , реагирует на изменение другой величины или других величин (случайных или неслучайных) изменением закона распределения.

Характерной особенностью стохастических связей является то, что они проявляются во всей совокупности, а не в каждой ее единице (причем не известен ни полный перечень факторов, определяющих значение результативного признака, ни точный механизм их функционирования и взаимодействия с результативным признаком). Всегда имеет место влияние случайного. Проявляющиеся различные значения зависимой переменной - реализации случайной величины.

Модель стохастической связи может быть представлена в общем виде уравнением:

(9.2)

где - расчетное значение результативного признака;

- часть результативного признака, сформировавшаяся под воздействием учтенных известных факторных признаков (одного или множества), находящихся в стохастической связи с признаком;

- часть результативного признака, возникшая вследствие действия неконтролируемых или неучтенных факторов, а также измерения признака, неизбежно сопровождающегося некоторыми случайными ошибками.

Проявление стохастических связей подвержено действию закона больших чисел: лишь в достаточно большом числе единиц индивидуальные особенности сгладятся, случайности взаимопогасятся и зависимость, если она имеет существенную силу, проявится достаточно отчетливо.

Частные случаи стохастической связи - корреляционная и регрессионная.

Корреляционная связь существует там, где взаимосвязанные явления характеризуются только случайными величинами. При такой связи среднее значение (математическое ожидание) случайной величины результативного признака закономерно изменяется в зависимости от изменения другой величины или других случайных величин . Корреляционная связь во всей совокупности в целом. Наличие корреляционных связей присуще многим общественным явлениям.

Корреляционная связь - понятие более узкое, чем стохастическая связь. Последняя может отражаться не только в изменении средней величины, но и в вариации одного признака в зависимости от другого, т.е. любой другой характеристики вариации. Таким образом, корреляционная связь, является частным случаем стохастической связи.

В зависимости от направления действия функциональные и стохастические связи могут быть прямыми и обратными. При прямой связи направление изменения результативного признака совпадает с направлением изменения признака-фактора, т.е. с увеличением факторного признака увеличивается и результативный, и, наоборот, с уменьшением факторного признака уменьшается и результативный признак. В противном случае между рассматриваемыми величинами существуют обратные связи. Например, чем выше квалификация рабочего (разряд), тем выше уровень производительности труда - прямая связь. А чем выше производительность труда, тем ниже себестоимость единицы продукции - обратная связь.

По аналитическому выражению (форме) связи могут быть прямолинейными и криволинейными. При прямолинейной связи с возрастанием значения факторного признака происходит непрерывное возрастание (или убывание) значений результативного признака. Математически такая связь представляется уравнением прямой, а графически - прямой линией. Отсюда ее более короткое название - линейная связь.

При криволинейных связях с возрастанием значения факторного признака возрастание (или убывание) результативного признака происходит неравномерно или же направление его изменения меняется на обратное. Геометрически такие связи представляются кривыми линиями (гиперболой, параболой и т.д.).

По количеству факторов, действующих на результативный признак, связи различаются однофакторные (один фактор) и многофакторные (два и более факторов). Однофакторные (простые) связи обычно называются парными (так как рассматривается пара признаков). Например, корреляционная связь между прибылью и производительностью труда. В случае многофакторной (множественной) связи имеют в виду, что все факторы действуют комплексно, т.е. одновременно и во взаимосвязи, например, корреляционная связь между производительностью труда и уровнем организации труда, автоматизации производства, квалификации рабочих, производственным стажем, простоями и другими факторными признаками.

С помощью множественной корреляции можно охватить весь комплекс факторных признаков и объективно отразить существующие множественные связи.

9.2 Статистические методы моделирования связи

Для изучения функциональных связей применяются балансовый и индексный методы.

Для исследования стохастических связей широко используется:

- метод сопоставления двух параллельных рядов,

- метод аналитических группировок,

- корреляционный анализ,

- регрессионный анализ,

- некоторые непараметрические методы.

Метод сопоставления двух параллельных рядов - позволяет установить наличие стохастической связи и получить представление о ее характере и направлении. Для этого факторы, характеризующие результативный признак, располагают в возрастающем или убывающем порядке (в зависимости от эволюции процесса и целей исследования), а затем прослеживают изменение величины результативного признака.

К недостатку метода взаимозависимых параллельных рядов следует отнести невозможность определения количественной меры связи между изучаемыми признаками. Однако он удобен и эффективен, когда речь идет о необходимости установления связей между показателями и факторами, характеризующими экономический процесс.

Метод аналитических группировок - используют для изучения более четкого проявления стохастической связи. Чтобы выявить зависимость с помощью этого метода, нужно произвести группировку единиц совокупности по факторному признаку и для каждой группы вычислить среднее или относительное значение результативного признака. Сопоставляя затем изменения результативного признака по мере изменения факторного, можно выявить направление, характер и тесноту связи между ними с помощью эмпирического корреляционного отношения. Однако метод группировок не позволяет определить форму (аналитическое выражение) влияния факторных признаков на результативный.

Корреляционный и регрессионный анализ позволяет изучить не только количественную оценку наличия, направления и силы связи, но и определить формы (аналитического выражения) влияния факторных признаков на результативный.