Управление рыночными рисками с помощью производных финансовых инструментов

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

Дипломная работа

Управление рыночными рисками с помощью производных финансовых инструментов

Введение

За последние 20 лет риск-менеджмент из одного из направлений финансового менеджмента превратился в самостоятельную динамично развивающуюся экономическую отрасль науки. Для того, чтобы преуспеть в ней, требуется на высоком уровне разбираться не только в экономике, но и обладать достаточными знаниями в области высшей математики и программировании. Разумеется, приобретение подобного набора знаний требует существенных затрат сил и времени. Последнее особенно актуально, когда речь заходит об управлении рисками с помощью производных финансовых инструментов (ПФИ).

Трудно переоценить роль риск-менеджмента в современной рыночной экономике. Достаточно лишь вспомнить недавний кризис 2008 года, который является свежим примером того, к чему может привести неадекватная оценка рисков, которые берёт на себя компания, принимая то или иное инвестиционное решение.

Применение производных финансовых инструментов открывает огромные возможности для управления рисками. Однако стоит заметить, что в Российской Федерации до недавнего времени отсутствовало даже формальное определение подобных финансовых инструментов. Объемы торговли ПФИ были незначительны, равно как и частота применения данных инструментов в российских компаниях.

Благодаря начавшемуся устранению правового вакуума в данной области, в ближайшем будущем ПФИ станут использоваться для целей управления рисками в значительно большем объёме, чем прежде.

Необходимо также отметить, что, несмотря на появление в последнее время в нашей стране большого количества литературы, касающейся темы управления рисками в целом, в отечественной литературе практически отсутствуют издания, дающие целостный структурированный подход как в рассмотрении риск-менеджмента в целом, так и управления рыночными рисками в частности. Единственным, пожалуй, изданием подобного рода является на настоящий момент «Энциклопедия финансового риск- менеджмента» под редакцией А. А. Лобанова.

Целью данного исследования является анализ теоретических и практических аспектов управления рыночными рисками с помощью производных финансовых инструментов.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие

задачи:

Проанализировать ключевые подходы к оценке рыночных рисков и производных финансовых инструментов (ПФИ).

Рассмотреть математические модели, лежащие в основе оценки рисков

Изучить способы управления рыночными рисками, в том числе с применением деривативов.

Экспериментально выявить возможности применения нейросетевых технологий, а также фрактального анализа для улучшения эффективности управления рисками.

Разработать модели стратегий управления процентным риском с помощью нового перспективного инструмента управления процентным риском - фьючерсом на корзину ОФЗ.

Объектом исследования является один из ключевых классов рисков

системы риск-менеджмента - рыночный риск.

Предмет исследования - технологии управления рыночными рисками посредством применения ПФИ.

Теоретической основой данной работы послужили исследования как отечественных, так и зарубежных ученых и специалистов в области финансовых рынков, структурированных продуктов и деривативов, таких как Буренин А. Н., Лобанов А. А., Балабушкин А. Н., Фельдман А. Б., Ширяев А. Н. Филипп Джорион, А. Макнейл, Дж. Халл и др.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка использованной литературы.

Существенное внимание в работе уделяется математическим вопросам моделирования стоимости под риском (Value at risk) портфелей с ПФИ, а также применимости при подобном моделировании нестандартных технологий (таких, как нейросети и фракталы). Также целая глава (3-я) посвящена инновационному для российского рынка финансовому продукту ЗАО ММВБ - фьючерсным контрактам на корзины ОФЗ.

Первая глава носит теоретический характер. В ней раскрываются основы управления рисками, даётся классификация рисков и выделяется та их группа, управление которыми будет раскрыто в данной работе. Также даётся общая характеристика наиболее распространённых биржевых и внебиржевых ПФИ. Особое внимание уделяется математическим моделям, лежащим в основе оценки стоимости ПФИ и, как следствие, оценке их рисков.

Вторая глава имеет теоретико-практическую направленность. В ней на основе теоретического материала и статистических данных рассматриваются вопросы управления рисками линейных и нелинейных ПФИ (главным образом фьючерсов и опционов). В главе также подробно описываются модели оценки волатильности, ключевого параметра, необходимого при оценке рыночных рисков. В заключительной части главы приводятся некоторые современные и перспективные методы оценки рисков, основанные на нейросетях и фрактальном анализе.

Третья глава целиком посвящена фьючерсам на корзины государственных облигаций (ОФЗ) Российской Федерации, новому для российского рынка финансовому продукту, риски которого в силу его специфики достаточно сложно адекватно оценить. В данной главе подробно рассмотрены технологические и теоретические тонкости использования фьючерсов на корзины государственных облигаций в российских условиях: даётся подробное описание способа преодоления низкой ликвидности инструментов, составляющих корзины ОФЗ (приведены методы интерполяции рядов данных в дни, в которые по ним отсутствуют котировки на основе имеющихся данных), объясняется расчёт наиболее важных параметров данных инструментов, таких, как конверсионные коэффициенты, внутренняя ставка доходности, базис и др. Расписывается методика выбора наиболее дешёвых к поставке (cheapest to deliver, CTD) бумаг. Приводятся наиболее значимые стратегии управления рисками по данным инструментам.

В заключении приводятся основные результаты и выводы, полученные в ходе исследования, подтверждается, либо отвергается возможность их практического применения.

1. Основы управления рыночными рисками и производных финансовых инструментов

1.1 Виды рыночных рисков и способы их оценки

Для того, чтобы говорить о рыночных рисках, необходимо сперва понять, какое место в системе риск-менеджмента они занимают. Для этого воспользуемся классификацией GARP (global association of risk professionals). Данная организация была основана в 1996 году и на сегодняшний день является крупнейшей профессиональной организацией риск-менеджеров в мире.

Итак, согласно классификации GARP риски можно условно разделить следующим образом:

Кредитные риски (риски контрагента) - это возможность потерь в результате невыполнения контрагентами взятых на себя обязательств. Невыплата по кредиту - типичный пример подобного рода риска.

Операционные риски - риски непредвиденных потерь вследствие технических проблем. Хороший пример операционного риска - отказ сервера и, как следствие, невозможность осуществления деятельности компании в течение некоторого времени до устранения неисправности.

Риски события - это риски наступления таких неблагоприятных событий, как политические, социальные катаклизмы, непредвиденное повышения налоговых ставок, таможенных пошлин и т. п.

Риски ликвидности включают риски рыночной ликвидности (невозможность осуществления покупки/продажи актива вследствие ухудшения рыночной конъюнктуры либо недостаточной ёмкости рынка (отсутствие достаточного количества спроса или предложения на данный инструмент при заданной цене)) и риски балансовой ликвидности (риски недостаточности денежных средств для осуществления тех или иных операций).

Согласно вышеприведённой схеме, объект исследования, рыночные риски, включают в себя три вида специфических рисков, а именно валютные (риски неблагоприятного для компании, осуществляющей валютные операции, изменения валютных курсов), ценовые (риски неблагоприятного изменения курсов акций, облигаций, товарных контрактов, производных финансовых инструментов) и процентные (риски неблагоприятного изменения процентных ставок). Рыночные риски, как правило, являются наиболее значимыми в системе управления рисками благодаря своими существенным объёмам.

Важно отметить, что данная классификация рыночных рисков не претендует на звание общепринятой. Более того, из-за отсутствия единой классификации зачастую возникают проблемы сопоставимости между различными компаниями, рассчитывающими такие распространённые

показатели риска, как, прежде всего, Value at risk (VAR), о котором речь пойдёт ниже. Проблема заключается в том, что зачастую под одними и теми же названиями рисков в тех или иных компаниях понимаются совершенно разные наборы инструментов, по которым эти риски рассчитываются. Например, риски, связанные с портфелем облигаций, можно отнести как в группу ценовых, так и процентных рисков. Подобного рода тонкости необходимо учитывать при сопоставлении разных финансовых или нефинансовых корпораций.

Показав место рыночных рисков в системе риск-менеджмента, перейдём к методам оценки данного вида рисков.

Ключевым на сегодняшний день показателем рыночного риска является VAR, о котором уже упоминалось несколько выше.

Для понимания принципов вычисления VAR необходимо рассмотреть ряд математических определений и процедур.

Начнём с плотности распределения вероятностей.

Прежде всего, нам потребуется ввести понятие случайной независимой величины.

Итак, величина называется случайной и независимой, если вероятность её появления не зависит от вероятности появления другой величины в прошлом. Вероятность появления конкретной величины в одном испытании (например, подбрасывании монеты) имеет значений p (p>=0, p<1). Вероятность появления всей совокупности возможных величин при одном испытании есть достоверное событие.

Все возможные значения исходов принято обозначать символом ?.

Последовательность возможных исходов для некоторого события при проведении ряда испытаний называют сигма-алгеброй и обозначают

символом.

Вероятность того или иного события для заданного шага обозначается символом.

Таким образом, случайную величину можно задать тремя величинами:

(?,,)

Наиболее подходящий пример для объяснения на практике выше введённых понятий - бросание идеально симметричной монеты.

Понятно, что у нас имеется на каждом шаге (испытании) 2 возможных исхода (орёл или решка). Соответственно, на конкретном шаге (испытании) с вероятностью 0,5 у нас появляется либо орёл либо решка. Для одного броска монеты имеем ?(О, Р). Если нас интересует событие выпадения орла, то выбираем (О). Вероятность этого события для одного броска равна 0,5.

Интереснее ситуация, когда число испытаний больше 1-го. Допустим, что мы подбрасываем монету дважды. Тогда ?(ОО, РР, РО, ОР), сигма- алгебра для выпадения орла хотя бы в одном из испытаний равна ( ОО, РО, ОР). Вероятность же выпадения орла хотя бы в одном из испытаний в таком случае равна 0,5*0,5+ 0,5*0,5+0,5*0,5=0,75.

Непосредственноеоперированиесвероятностнымпространствомв таком явном виде уместно, когда имеется небольшое число возможных исходов во время каждого испытания и когда испытания происходят с низкой частотой.

Когда же речь идёт о бесконечно большом (да даже и просто большом количестве возможных исходов), то целесообразнее оперировать такими понятиями, как плотности распределения и числовые характеристики.

Итак, в случае с монетой мы имели два равновероятных исхода. Реальная практика жизни, однако, не ограничивается лишь двумя исходами. И наиболее адекватная на сегодняшний день аппроксимация распределения вероятностей большинства случайных процессов - это нормальное распределение (пускай, как и всякое приближение, не являющееся наиболее оптимальным). Суть его заключается в том, что у больших изменений

вероятность появления меньше, чем у малых. Более подробно о нормальном распределении и о выводе формулы его плотности будет рассказано в 3-ей части данной главы.

А пока приведём формулу интеграла плотности нормального распределения:

Здесь ? -случайная величина, - среднеквадратическое отклонение, - матожидание, - число «пи», приблизительно равное 3,14, - число , приблизительно равное 2,71828. x - число, до вероятность появления

события ниже которого нужно посчитать. Например, при x=0, вероятность будет 0,5 в случае симметричности распределения. Для задачи нахождения вероятности по заданному x существует вышеприведённая формула, однако для обратной задачи необходимо использование численных методов. В случае, когда =0, а =1, мы имеем дело со стандартным нормальным распределением, используемом при моделировании параметрического VARа, о котором речь пойдёт ниже. На данном же этапе введём формализованное объяснение числовых характеристик случайных величин.

Положим, что X (в дальнейшем будем считать, что все заглавные буквы, используемые при описании случайных величин, указывают на то, что данные величины являются векторами) - вектор некоторых случайных величин от 1 до n, имеющий следующие устойчивые числовые характеристики, выводимые с использованием плотности распределения:

Однако для практических расчётов удобно пользоваться формулой:

Дисперсия случайной величины характеризует среднеквадратическое отклонение случайной величины от своего среднего:

СКО (среднеквадратическое отклонение, далее также сигма) - ключевой показатель в управлении рыночным риском. В дальнейшем он будет использован при описании параметрического VARа. СКО - это корень из

дисперсии (посчитанной по одному из приведённых чуть выше способов):

( x E( X )) f ( x)dx

Скошенность характеризует асимметрию распределения:

У стандартного нормального распределения скошенность ( ) равна 0. У скошенного (имеющего большую вероятность наступления событий, которые находятся левее или правее матожидания) распределения >0 (скошенность правее матожидания), <0 (скошенность левее матожидания). График скошенности будет представлен при рассмотрении логнормального распределения.

Вытянутость характеризует распределение вероятностной плотности по отношению к стандартному нормальному:

Для стандартного нормального распределения ?=3, для распределения с тяжёлыми хвостами (fat tails) ?>3, для распределения, концентрирующегося в большей, чем у стандартного нормального степени вокруг матожидания, ?<3.

Для наглядности приведём график:

Итак, самые важные числовые характеристики случайных величин нами рассмотрены. В заключение повествования о теории случайных величин, стоит упомянуть о существовании помимо нормального распределения ещё двух важных распределений (разумеется, эти в совокупности 3 вида распределений не ограничивают всё многообразие кривых распределений вероятностей, однакодля целейдиплома наиболее важными являются именно эти виды распределений).

Итак,первоеиз2распределений,которыенеобходимовнестив дополнение к нормальному - логнормальное распределение:

Его плотность распределения приведена ниже. Видно, что данный вид распределения имеет положительную скошенность:

Логнормальное распределение используется при описании цен активов. Следует подчеркнуть, что именно цен, а не доходностей. Вызвано это тем, что логнормальное распределение имеет не просто положительную скошенность, а в принципе не предусматривает наличия отрицательных

величин, что вполне логично, учитывая тот факт, что, согласно математическим правилам, логарифм от величины, меньшей нуля, не существует. Тем не менее, логнормальное распределение используется при описании абсолютных значений цен активов, которые не могут быть меньше нуля потому, что компании, выпускающие такие инструменты, как акции и облигации, имеют ограниченные обязательства. Формально цены задаются следующим образом:

V 1 V 0e

Здесь V1-цена актива в момент T. V0-цена актива в момент 0.

Если разделить обе части уравнения на V0 и затем взять натуральный логарифм от левой и правой частей уравнения, то получим нормально распределённую величину, которая является логарифмической доходностью цен.

xdx

При устремлении k к бесконечности мы получаем нормальное распределение. Распределение Стьюдента широко используется при тестировании гипотез значимости параметров линейной регрессии. Однако для целей диплома важно то, что распределение Стьюдента при малых k (до использовано для аппроксимации плотности распределения эмпирических рядов данных.

В конце повествования о числовых характеристиках и случайных величинах уместно ещё раз заметить, что с точки зрения риск-менеджмента наиболее важным показателем риска является СКО (среднеквадратическое отклонение). Поэтому для совокупности случайных величин будет рассматриваться только этот показатель, поскольку подробное изложение законов распределения нескольких случайных величин, необходимое для описания различных числовых характеристик, может занять неоправданно большой объём, чего имеет смысл избежать, учитывая тематику исследования.

Все выше приведённые формулы относились к случаю одной случайной величины.

Однако на практике рыночные портфели, по которым производится мониторинг рисков, состоят из множества активов. Поэтому целесообразно рассмотреть способ измерения совокупного риска портфеля.

Для начала необходимо ввести формальное описание взаимосвязи между различными случайными величинами (в случае измерения рыночного риска - между различными ценами, либо изменениями цен активов).

Такими показателями взаимосвязи являются ковариация и корреляция.

Формула ковариации имеет следующий вид:

Формула корреляции - это нормирование ковариации на СКО величин, между которыми исследуется взаимосвязь для того, чтобы величина взаимосвязи находилась в интервале [-1;1]. Это необходимо для того, чтобы возможно было производить сопоставления между различными величинами.

Согласно вышесказанному, формула имеет вид:

Введя необходимые для расчёта риска портфеля числовые характеристики, можно перейти к его формальному описанию.

Итак, риск (Ниже будут приведены формулы для расчёта дисперсии. Соответственно, для того, чтобы получить именно тот показатель риска, который необходим для расчёта VAR (СКО), необходимо взять из полученного значения квадратный корень) портфеля определяется формулой

(в матричном виде):

m=n, т. к. ковариационная матрица симметрична относительно диагонали. Диагональные элементы - это дисперсии элементов, входящих в расчёт явления (портфеля).



Вобеихвышеприведённыхформулахi обозначаютвеса(долю) фактора (актива) в явлении (портфеле).

Теперь у нас есть все необходимые для описания VAR элементы.

Обычно выделяют два типа VARа10:

1.Параметрический VAR,

2.Непараметрический VAR

Однодневный параметрический VAR рассчитывается так:

В данной формуле V - это стоимость актива (портфеля), а p - вероятность. Например F(0,5)=0 для симметричного нормального распределения со скошенностью=0. Для наглядности ниже представлен график:

Закрашенная зона символизирует покрываемые заданной вероятностью события. 94% вероятности соответствует значение нормированной случайной величины 1,6.

Непараметрический же VAR имеет формулу11:

Согласно соглашению Базель II для целей минимизации рисков по своим активам банки, оперирующие на рынке в рамках базельского соглашения, обязаны рассчитывать и использовать при создании различного рода резервов показатель GMRC (general market risk charge):



При этом уровень доверительной вероятности устанавливается в размере 99%. k - коэффициент умножения VARа (K>3).

Сам по себе VAR не несёт серьёзную смысловую нагрузку для понимания положения компании с точки зрения взятых на неё рисков. Поэтому необходимо сопоставлять его с какими-то другими показателями деятельности компании.

В приложениях А-Г представлена статистика по валютным, ценовым, процентным и совокупным рыночным VARам/Капитал крупнейших иностранных и российских банков.

Можноагрегироватьтаблицыввышеназванныхприложенияхи получить следующую статистику по VAR/Капитал:

К сожалению, не удалось найти в отчётности российских банков показатели процентного риска. Весьма вероятно, что, так как в большинстве российских крупных банков риски по облигациям включаются в ценовые, то и процентный риск практически нет возможности посчитать в силу отсутствия необходимого объёма базы расчёта.

Однако на примере иностранных банков видно, что совокупный рыночный риск, включающий в себя валютный, ценовой и процентный, заметно ниже, чем если бы по этим трём видам рисков проводилась бы простая агрегация. Подобное снижение уровня риска обусловлено эффектом диверсификации портфеля активов и свидетельствует об успешности управления рыночным риском.

Итак, теперь мы имеем достаточный теоретический материал в области современной теории риска. Теперь необходимо рассмотреть основные виды производных финансовых инструментов и их способы оценки.

1.2 Наиболее распространённые виды производных финансовых инструментов и их характеристика

Прежде всего, необходимо понять, каков объём рынка ПФИ и какое место он занимает в мировой финансовой системе.

Как видно из таблицы, объём рынка деривативов примерно более чем в 10 раз превосходит объём рынка долевых инструментов. Кроме того, на внебиржевой рынок ПФИ приходится 90% оборота всех производных финансовых инструментов.

В данном разделе мы ограничимся рассмотрением наиболее важных производных финансовых инструментов, таких как форварды, фьючерсы, опционы и свопы.

Итак, форвардным контрактом называется соглашение о покупке либо продаже некоторых активов, называемых «базисными», в заранее установленный в контракте момент времени.

Форвардный контракт:

1.Является внебиржевым

2.Заключается напрямую между покупателем и продавцом

3.Не стандартизован

4. Условия поставки оговариваются сторона, заключающими контракт

Обозначим основные параметры контракта: размер (V), момент исполнения (T), спот-цена в момент T (ST), безрисковая ставка r.

Доходотдлиннойпозиции(обязательствакупитьактивпо обозначенной в контракте цене K) в момент T равен (ST-K).

Доход от короткой позиции равен (K-ST).

Форвардная цена актива, не приносящего дохода определяется по формуле:

Здесь t - текущий момент времени.

В тех случаях, когда происходит отклонение от данного равенства, возникают арбитражные возможности18.

Форвардная цена актива, приносящего доход, определяется по формуле:

F S I er ( T t )

ВданнойформулеI-доход,получаемыйотвладенияактивом (дивиденды, купоны, прочие доходы).

Наконец, форвардная цена активов, требующих затрат на их хранение (например, плата за аренду складских помещений и т. п.):

F S U er ( T t )

U - затраты на хранение.

Фьючерсные контракты - по сути, есть форвардные контракты, торговля которыми осуществляется на специализированных биржах товарных и производных финансовых инструментов.

Фьючерсный контракт отличается от форвардного тем, что:

Финансы и статистика, 2003. - с. 88

1. В отличие от форвардного контракта, у фьючерсного контракта есть 3-яя сторона - биржа. Биржа осуществляет посредническую функцию между продавцами и покупателями фьючерсного контракта

2. Размер, место и сроки исполнения фьючерсных контрактов стандартизированы

3. Требуется внесение гарантийного обеспечения по сделке покупателем и продавцом контракта

4. Каждый день по итогам торгов осуществляется переоценка позиции и одной из сторон перечисляется вариационная маржа, а у другой стороны вариационная маржа уменьшает его гарантийное обеспечение. В случае, если вследствие неблагоприятного для одной из сторон изменения рыночных котировок величина его гарантийного обеспечения после перечисления вариационной маржи становится ниже некоторого критического уровня (маржи поддержки), данному участнику поступает от биржи запрос на дополнительное внесение денежных средств с целью восстановления первоначальной величины гарантийного обеспечения.

Математические формулы для цен фьючерсов аналогичны тем, что используются для расчёта цен форвардов. Исключение составляют, пожалуй, только некоторые экзотические виды фьючерсов, такие, например, как фьючерсы на корзины облигаций, о которых речь пойдёт в главе 3.

Наиболее распространённые свопы - процентные и валютные.

Своп - это соглашение об обмене потока будущих платежей от одного вида активов (один вид валюты, процентный платёж фиксированный и т. п.) на поток будущих платежей от других активов (другой вид валюты, процентный платёж плавающий и т. п.).

Своповый контракт целесообразен тогда, когда одной компании нужна конкретная процентная ставка/валюта, а другой компании - другая ставка/актив (при этом у обеих компаний есть доступ к данного рода ставкам, активам) и при заключении обе стороны получают некоторую выгоду от подобной операции.

Проще всего рассмотреть своп на конкретном примере. Предположим, что у нас есть 2 компании, A и B. Компании A необходимо занять средства под плавающую процентную ставку (например, для финансирования текущих операций), а B - под фиксированную (например, для осуществления долгосрочной инвестиционной деятельности)20. Компании A и B могут привлекать средства под следующие ставки:

Таблица

	Фиксированная ставка	Плавающая ставка
Компания A	A r ф	LIBORr A п
Компания B	B r ф	LIBORr B п

При этом выполняется условие:

ABAB

r фr ф

LIBOR r п

LIBOR r п

Иными словами, компания A имеет абсолютное преимущество перед компанией B с точки зрения стоимости заимствования. Если бы компании A требовалось занять средства под фиксированную ставку, то компания B ей бы не потребовалась. Однако компании A необходим займ под плавающую процентную ставку.

Дляполучениявыгодыобеимисторонамисвоповогоконтракта необходимо выполнение условия:

B A B A

r ф r ф

LIBORr п

LIBORr п

Это означает, что разница в заимствование по разным видам ставок у компании A по отношению к компании B благоприятнее по фиксированной ставке, а у компании B - по плавающей. При подобном соотношении возможна следующая операция:

3. Компания A платит компании B плавающую процентную ставку y (в итоге получается, что компания A таким образом занимает средства под некоторую плавающую ставку),

4. Компания B платит компании A фиксированную процентную ставку x (в итоге получается, что компания B, таким образом, занимает средства под некоторую фиксированную ставку)

Логично, что при такой операции совокупный процентный платёж для компании A должен быть ниже плавающей ставки, под которую компания может занять денежные средства на рынке. Для компании B платёж должен быть меньше фиксированной ставки.

Можно записать данные условия в виде системы уравнений, где величина выгод (разница между соответствующими процентными ставками и реальным процентным платежом по своповому контракту) для компаний A и B. Величина выгоды для одной компании может отличаться от величины выгоды для другой компании, однако для целей упрощения в дальнейшем будем считать, что они одинаковы.

Это неравенство может быть использовано как критерий выгодности свопового контракта.

На практике, однако, добавляются транзакционные издержки в виде маржи посредника и т. п. Поэтому необходимо добавлять в последнее полученное уравнение ещё и параметр издержек :



В случае валютного свопового контракта уравнение для определения выгодности контракта с учётом транзакционных издержек принимает вид:

Для того, чтобы задать формулу оценки свопа (своп по сути является набором фьючерсных контрактов, поэтому и формула его оценки производна от формулы оценки фьючерса/форварда), сперва введём формулу форвардной плавающей ставки на примере нахождения 6-месячной ставки при известных 9-месячной и 3-месячной ставок дисконтирования:

Итак, формула для расчёта стоимости процентного свопа имеет вид:

LIBOR0 - процентная ставка

LIBOR для текущего момента времени, t - текущий момент времени, tk - будущий момент времени, m - число начислений в год, rk - ставка дисконтирования для k-го периода, Fk-1-форвардная ставка LIBOR.

Более подробная характеристика опционов и их оценки будет дана в 3-ем разделе данной главы, а также во 2-ом разделе 2-ой главы.

Также имеет смысл упомянуть такие инструменты-аналоги свопов ,как кэпы (портфель европейских опционов колл на некоторую процентную ставку), флоры (портфель европейских опционов колл на некоторую процентную ставку) и коллары (портфель, состоящий из кэпа и флора с одинаковыми характеристиками).

1.3 Математические методы оценки опционов

Чугунова. - М.: Альпина Паблишер, 2003. - с. 182-183

Для целей оценки опционов были созданы модели Кокса-Росса- Рубенштейна (КРР) и Блэка-Шоулза (БШ). Эти модели позволяют получить аналитические выражения для оценки опционов европейских опцоинов, что чрезвычайно упрощает оценку данного типа инструментов.

Помимо аналитических формул в настоящее время большую популярность приобрели методы, основанные на симуляции Монте-Карло.

Пример подобного рода симуляции для европейского опциона колл приведён во 2-ом разделе 2-ой главы, равно как и методика симуляции Монте-Карло для американского опциона колл. В данном же разделе 1-ой главы будут рассмотрены лишь модели, дающие аналитические выражения для опционов европейского типа.

Рассмотрение моделей начнём с теоретических предпосылок, на которых они основываются.

Итак, обе модели (КРР и БШ) исходят из следующих условий:

1. Разрешены короткие продажи (в рамках рассматриваемых моделей не самое важное условие)

2.Налоги и операционные издержки отсутствуют

3.Арбитраж невозможен

4.Можно купить актив на любую сумму (в т. ч. дробную)

5.Существует ПОСТОЯННАЯ безрисковая ставка

На взгляд автора, пояснения требует только третье условие. Речь идёт о том, что цена опциона находится в некоторых границах, что гарантирует отсутствие возможности получения безрисковой прибыли.

Для европейского опциона колл эти границы задаются следующим образом:

C - премия европейского опциона колл, S - цена спот актива

K - цена исполнения опциона

r - безрисковая ставка

e-экспонента(примерно2,71828).Выражениепри непрерыном начислении процента идентично

) - период времени до экспирации опциона

Левая сторона неравенства называется нижней границей цены опциона.

Правая сторона неравенства - верхняя граница цены опциона.

Рассмотрим случаи, когда цена опциона не принадлежит заданному неравенствами промежутку:

1.Если цена превосходит верхнюю границу:

Если c>S, то можно продать CALL и купить актив, получив в самом начале операции безрисковую прибыль.

2.Если цена меньше нижней границы:

S=100, K=100, t1-t0=65/365, r=8%, c=1,2. Справедливая цена опциона =

Действия такие: Продаём акцию, покупаем опцион. Оставшиеся 98,8

денежных единиц размещаем на депозит.

Таким образом, если цена опциона не принадлежит промежутку между его нижней и верхней границей, то возникают арбитражные возможности.

Безрисковая прибыль - это удел арбитражёров, а задачей оценки опциона является оценка спекулятивной составляющей его стоимости.

Поэтомувдальнейшеммыбудемисходитьизбезарбитражности опционного рынка.

Описание модели КРР (Кокса-Росса-Рубенштейна)

Определившись с базовыми предпосылками, перейдём к рассмотрению модели КРР.

Рассмотрение модели начнём с перечисления её базовых элементов.

Итак, мы будем использовать в модели следующие параметры (в дальнейшем, в случае возникновения вопросов о том, что обозначает та или

иная переменная модели, можно смело переходить к приведённому ниже описанию переменных):

u - коэффициент роста,

d - коэффициент падения,

p - вероятность роста на конкретном шаге (далее дано более чёткое представление об этой величине)

q - вероятность падения на конкретном шаге (далее также дано более чёткое представление об этой величине)

r - как и прежде, это безрисковая ставка

K - цена исполнения опциона либо S - цена спот актива

- цена европейского опциона колл

n - число периодов (итераций или этапов моделирования)

du=1 Данное равенство подразумевает, что рост компенсирует падение и наоборот. Например, если u=1,01, то d=(1/1,01)=0,990099. Важно заметить, что выбор подходящих d и u - нетривиальная задача. Ведь, в принципе, мы можем задать и u=1,2 с d=1/1,2=0,8(323). Всё же стоит попытаться ответить на вопрос, каково наиболее оптимальное значение параметров u и d. Ответ на этот вопрос таков: Чем больше число n, тем меньше u (u стремится к единице, убывая) и тем больше d (d тоже стремится к единице, но возрастая). Тем не менее, в необходимости выбирать данные параметры - ключевое неудобство модели КРР.

Все необходимые параметры модели перечислены. Теперь постараемся понять, как они взаимоувязаны.

В начальный момент (n=0) времени у нас есть актив с ценой .

Представим, что в следующий момент времени (n=1) у нас будет два варианта изменения цены относительно начального момента времени (n=0):

Полученный график называется биномиальной решёткой.

Этотграфикиллюстрируетвозможные изменения ценыактиваза первые 4 шага.

Чтобы получить из биномиальной решётки представление модели КРР, необходимо добавить вероятности повышения/понижения.

В начальный момент (n=0) времени у нас есть актив с ценой .

Далее,вследующиймомент(n=2)унасбудетчетыреварианта изменения цены относительно начального момента времени (n=0):

Выше был приведён подсчёт возможных вариантов развития событий

для n=2. Наибольший интерес представляет 2Spqdu (т. к. коэффициент при данном выражении составляет 2, а не 1, как у остальных исходов). Необходимо ответить на вопрос, можно ли как-нибудь формализовать получение коэффициентов при возможных исходах.

Для этого обратимся к треугольнику Паскаля (Рисунок 8):

Если посмотреть на таблицу исходов и треугольник Паскаля, то становится понятно, что коэффициенты при исходах на каждом уровне n равны значениям треугольника Паскаля на соответствующем уровне. При этом сами значения треугольника Паскаля получаются на основе бинома Ньютона:

Будем бросать монету правильной формы: p=q=0,5 (напомню, что сумма p+q=1. В сумме вероятности выпадения орла и решки дают достоверное событие, т. е. единицу. Такова аксиоматика и здравый смысл: Понятно, что при броске монеты хоть что-нибудь да выпадет, учитывая всего два возможных варианта развития событий).

Отметим, что, исходя из значений на каждой итерации, можно посчитать, какова будет вероятность того или иного исхода, а также какова будет вероятность того, что величина будет меньше/больше того или иного значения. Например, в нашем примере в нашем примере с монетой вероятность того, что орёл при двух бросках выпадет хотя бы один раз равна . Таким образом, мы можем говорить о вероятности наступления того или иного события для биномиального распределения.

Аналогичный принцип заложен и при определении вероятности свершения того или иного события при предположении нормальности его распределения.

Слегка модифицировав условие примера с монетой и добавив величины роста и падения в случае выигрыша/проигрыша, мы получим картину изменений, представленную на Рисунке 7.

Теперь, чтобы, исходя из всех наших рассуждений, перейти к модели КРР, необходимо понять, что цена опциона CALL будет рассчитываться как приведённая стоимость будущих платежей по данному опциону. Мы, находясь в моменте (n=0) можем говорить лишь о вероятностях наступления того или иного исхода в момент (n=n), поэтому нам нужно смоделировать возможные исходы и перемножить их на вероятности их наступления. В итоге получим формулу:

В некоторых источниках выражение больше или равным 024.

Приведённая выше формула есть ни что иное, как формула КРР.

Перечислим её плюсы и минусы.

Плюсы:

1.Относительная простота предположений модели,

2.Интуитивная понятность.

Минусы:

1. Необходимость определения исследователем по собственному усмотрению ряда параметров, таких как, прежде всего, u и d, а также p и q. В принципе, можно, исходя из значений параметров u и d, вывести параметры p и q25, однако даже необходимость выбора u и d сама по себе несёт в себе весьма существенный недостаток,

2.Сама по себе формула КРР более громоздкая, чем формула

Блэка-Шоулза,

3. Модель опирается на биномиальное распределение, которое по своему характеру дискретно,

4. Модель базируется на теории биномиальности распределения цен на базисные активы.

Рассмотрев модель КРР, перейдём к модели Блэка-Шоулза.

Описание получения леммы Ито и числовых характеристик логнормального распределения

ДлявыведенияформулыБлэка-Шоулзанеобходимополучить статистическиехарактеристикилогнормальногопроцесса,которые выводятся с помощью формулы Ито.

Ниже приводится подробная последовательность математических выкладок, которые необходимо произвести, чтобы получить аналитический вид формулы ИТО и необходимые выражения для числовых характеристик случайных процессов.

Теперь учтём, что в правой стороне последнего уравнения первое слагаемое константно, второе слагаемое есть дискретный интеграл, третье слагаемое по сути есть дискретный интеграл второго порядка, а четвёртое слагаемое при достаточно малых стремиться к нулю и его можно не учитывать. Тогда для получим следующее приближённое выражение26:

Заметим, что у полученного выражения имеется всего один аргумент. Формула для функции от нескольких переменных имеет схожую структуру, с той лишь разницей, что в ней нужно для описания изменения всей функции нужно будет брать производные по всем аргументам.

Дифференцируем F(S,t) по обоим аргументам и раскладываем функцию в ряд Тейлора.

При этом учтём, что логический смысл имеют только первая производная по t и первые две по S (в случае дрейфа функции во времени).

Поэтому исключим производные более высоких порядков из рассмотрения.

В итоге получим следующую формулу:

При этом , где - случайно распределённая случайная величина с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. выводится из теоремы Чебышева. Соответственно, квадрат .

Поэтому последнюю формулу можно переписать в виде:

Перенесём в правую часть и возьмём от полученного выражения математическое ожидание (то есть найдём наиболее вероятное значение конечной цены на n-ый период).

Получим:

Также учтём, что дисперсия есть

Поэтому получаем закон распределения для следующего вида27:

Таким образом, мы получили базовые параметры плотности логнормального распределения, которую мы используем при определении вероятностных характеристик случайного процесса. После несложных преобразований получаем формулу Блэка-Шоулза.

Предельный переход для получения нормального распределения из биномиального

Мы получили числовые характеристики для случайного процесса, распределённого логнормально. Однако необходимо понять, что представляет из себя логнормальное распределение.

Он позволяет нам уйти от необходимости вычисления p и q как входных параметров модели. При этом мы можем посчитать, какова будет вероятность того, что событие превзойдёт некоторую величину.

Например, для =0 и =1 мы можем посчитать вероятность того, что случайная величина не превзойдёт 1,65. Это 0,95 (вы можете проверить это, подставив в формулу Excel НОРМСТРАСП значение 1,65 либо создав собственную схему вычисления вероятности наступления события,

Теперь сделаем небольшое отступление

В модели КРР, основанной на биномиальном распределении, мы дисконтировали будущий денежный поток (то есть брали возможные варианты развития событий и дисконтировали их результаты, приводя их к текущему моменту). Мы можем сделать то же самое и в случае нормального распределения.

Мы можем смоделировать множество исходов на основании формулы

Допустим, мы смоделируем n исходов. Далее мы вычтем из полученных исходов цену исполнения и продисконтируем полученный денежный поток.

Формула будет выглядеть следующим образом:

В данном случае видно, что реализован тот же подход, что и в случае модели КРР.

ВмоделижеБлэка-Шоулзаформулавыглядитнесколькоиначе.

Разберёмся, в чём дело.

В начале данного раздела главы мы использовали следующее выражение для нахождения нижней границы премии опциона:

Для того, чтобы сделать из этого выражения формулу Блэка-Шоулза, нам необходимо посчитать вероятность того, что случайная величина (цена в момент времени T) будет больше цены исполнения.



Это и есть формула Блэка-Шоулза. Поэтому так же, как и в других формулах, в формуле Блэка-Шоулза происходит дисконтирование будущего потока платежей. Финальная же форма записи является ни чем иным, как следствием математических вычислений, производимых при выводе формулы.

Стоимость опциона пут находится, исходя из паритета стоимости опционов колл и пут29:

c p S K e rT

Плюсы и минусы модели Блэка-Шолза.

Плюсы:

1. В отличие от модели КРР нет необходимости ввода целого ряда самостоятельно заданных параметров, кроме implied volatility,

2.Существует короткая и удобная форма записи модели,

3.Модель предполагает непрерывность процесса изменения цены.

Минусы:

1. Implied volatility - это лишь прогноз, а не реальное значение волатильности в будущем,

2. В модели присутствует предположение о нормальности распределения доходностей базовых активов.

Тем не менее, можно с достаточной степенью уверенности сказать, что модель Б-Ш лучше, чем модель КРР и более точно отражает реальную стоимость европейских опционов.

Некоторые предложения по улучшению точности формулы Блэка-Шоулза. Формула Блэка-Шоулза опирается на предположение о нормальности распределения доходностей базовых активов. Однако в реальности распределение случайных величин оказывается несколько иным, чем нормальное.

Приведём пример нормированного распределения ( =0 и =1)

Данный факт не единственен в своём роде. Подобная же картина наблюдается почти по всем акциям и даже индексам.

Поэтому имеет смысл задуматься, насколько справедливо использование плотности нормального распределения в формуле Б-Ш и не лучше ли использовать какое-либо иное распределение.

Самый простой путь при подборе оптимального распределения - корректировка нормального. Приведём пример распределения 1024 доходностей (нормированных) индекса РТС (по оси абсцисс отложены нормированные доходности, а по оси ординат отложено количество попаданий в конкретный интервал нормированных доходностей):

Empirical density - эмпирическое распределение

H-density - исправленное нормальное распределение

Normal - нормальное распределение

Cauchy density - распределение Коши (оно не сильно отличается от равномерного (то есть случайные величины могут выпадать почти любыми с одинаковой вероятностью)). На графике оно представлено для сравнения.

2. Технологии хеджирования рисков с помощью производных финансовых инструментов

2.1Хеджирование линейных и нелинейных позиций

Рассмотримпроцедурухеджированиелинейнымиинструментами.

Такими инструментами являются форварды, фьючерсы и свопы.

Хеджирование подразумевает перекрытие открытой позиции по одному активу (например, акции) другим активом (например, производным финансовым инструментом).

Представим денежный поток по захеджированной позиции в момент истечения контракта, называемый базисом:

S2 - цена базового актива в момент истечения контракта, S1 - цена базового актива в момент покупки актива,

F2 - фьючерсная цена базового актива в момент истечения контракта, F1 - фьючерсная цена базового актива в момент покупки актива,

Чем по модулю меньше базис, тем лучше динамика фьючерсного контракта совпадает с динамикой базисного актива.

Динамику изменения цены захеджированной позиции (V) можно представить как аддитивную модель изменения цены базового актива и фьючерсной цены, перемноженной на количество фьючерсных контрактов, необходимых для покрытия риска базового актива (N), следующим образом:



Под F и S понимаются текущие фьючерсные и спотовые цены на й актив. Дисперсия приобретает вид:

Соответственно,оптимальноеколичествофьючерсныхконтрактов

определяется как:

Наконец, если требуется посчитать необходимое для хеджирования число фьючерсных контрактов на основе индекса, то формула изменения

стоимости портфеля принимает вид:

Формула же для оптимального количества фьючерсных контрактов для целей хеджирования записывается так:

Все вышеперечисленные модели - аппроксимация реальных рыночных изменений. В заключение рассмотрения линейных рисков проанализируем конкретный практический пример измерения риска по линейному инструменту (т. е. посмотрим, как можно измерить риск эмпирически).

Предположим, что у нас есть необходимость захеджировать долгосрочный форвардный контракт на покупку долларов краткосрочными (ON и 1 Week33) форвардами.

В приложениях Д и Е представлены графики сумм разниц между фактическими и форвардными курсами согласно ставкам ON и 1 Week по 5 и

20 дням. Видно, что в случае хеджирования 1 Week форвардом величина отклонений заметно выше, чем в случае хеджирования форвардами ON.

НижепредставленатаблицапоVARампоразличнымвариантам стратегий с использованием различных ставок:

Таблица

ГодовойпараметрическийVARдляразличныхстратегийхеджирования долгосрочного форвардного контракта краткосрочными (Финансовые результаты - это стоимость хеджирования на один доллар)
Число дней в году	250
Уровеньдоверительной вероятности	99%
ГодовойпараметрическийVAR стратегии хеджирования долгосрочного форварда продажи доллара краткосрочными (ON) форвардами покупки в расчёте на один доллар	ГодовойпараметрическийVAR стратегии хеджирования долгосрочного форварда продажи доллара краткосрочными (1 Week) форвардами покупки в расчёте на один доллар
Финансовый результат за 5 дней	Финансовый результат за 20 дней	Финансовый результат за 5 дней	Финансовый результат за 20 дней

Таким образом, для нас для целей хеджирования наиболее выгодным будет использование форвардного контракта ON.

Таким образом, мы рассмотрели основные способы хеджирования линейных рисков и можем переходить к хеджированию нелинейных рисков.

Нелинейные риски возникают по таким инструментам, как опционы, кэпы, флоры, коллары и т. п. Ограничимся рассмотрением рисков по европейским опционам колл и пут. Во 2-ом разделе данной главы будет рассмотрен вопрос оценки стоимости американского опциона колл, однако более попыток углубляться в тематику оценки рисков подобных опционов предприниматься не будет.

Итак,европейскийопцион-этофункцияот,какминимум,5 метров35.

Премия по опциону может быть записана так:

St - спотовая цена актива, t- текущая волатильность актива, K - цена исполнения опциона, T - срок до исполнения опциона, rt - текущая безрисковая процентная ставка.

Напомним формулы стоимости опционов европейского типа:



Ct - премия опциона колл европейского типа, Pt - премия опциона пут европейского типа.

Под S понимается спотовая цена актива. x- вектор случайных величин.

Подробнее о формулах премий европейских опционов смотрите 3-ий раздел 1-ой главы.

Имея аналитические выражения для европейских опционов, можно рассчитать их чувствительность к различным факторам риска. Эти чувствительности (частные производные) называются «греками36», поскольку все имеют в качестве названий греческие буквы.

Для простоты будем полагать, что в формулах чувствительности=0.

Итак, первая чувствительность, «дельта», есть первая производная по цене опциона. Для опциона колл она принимает вид: