6

УПРАВЛЕНИЕ РИСКОМ

• Оглавление
• Введение
• 1. Типы финансовых операций
• 1.1. Простейшая финансовая операция (ПФО)
• 1.2. Денежный поток
• 1.3. Стохастическая финансовая операция (СФО)
• 2. Доходность финансовой операции
• 2.1. Способы наращения в простейшей финансовой операции
• 2.2. Доходность простой финансовой операции
• 2.3. Доходность денежного потока
• 2.4. Параметры стохастической финансовой операции
• 2.5. Депозитная книжка
• 2.6. Потребительский кредит
• 2.7. Пенсионные вклады
• 2.8. Вексель
• 2.9. Двойное конвертирование валюты
• 2.10. Привилегированные акции
• 2.11. Влияние инфляции на рост денег
• 3. Финансовые функции Excel
• 3.1. Наращенная стоимость постоянного регулярного ДП
• 3.2. Приведенная стоимость постоянного регулярного ДП
• 3.3. Приведенная стоимость непостоянного регулярного ДП
• 3.4. Приведенная стоимость непостоянного нерегулярного ДП
• 3.5. Расчет количества платежей
• 3.6. Расчет ставки
• 3.7. Расчет эффективной и номинальной ставки
• 3.8. Расчёт периодических платежей
• 3.9. Определение скорости оборота инвестиций для регулярного ДП
• 3.10. Определение скорости оборота инвестиций для ДП
• 4. Расчет параметров СФО
• 4.1. Моделирование одномерной случайной величины
• 4.2. Моделирование двумерной случайной величины
• 5. Статистические характеристики ценных бумаг
• 6. Функции Excel для расчета случайных величин
• 7. Моделирование ковариационной матрицы
• 8. Диверсификация по Марковитцу
• 9. Расчет оптимального портфеля в Excel
• 10. Анализ портфелей в системе MatLab
• 10.1. FrontCon. Построение эффективной границы
• 10.2. Frontier. Построение эффективной границы
• 10.3. PortAlloc. Определение оптимального размещения капитала
• 11. Вид границы
• 12. Решение задачи оптимизации портфеля
• 13. Эмпирический расчет структуры портфеля
• 14. Добавление безрисковых активов к портфелю
• 15. Практическое задание
• 16. Лабораторные задания
• БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
• Введение
• В данной работе рассматриваются основные типы финансовых операций: операции с капиталом, имеющие начало и окончание; детерминированные денежные потоки; стохастические финансовые операции с элементами неопределенности. Приводятся способы расчета эффективностей или доходностей подобных операций. Изучаемые финансовые операции являются примерами ценных бумаг и, как правило, они содержат элементы случайности.
• Общеизвестно, что доходность ценной бумаги является рисковой случайной величиной. Другими словами, доход, приносимый ценной бумагой, сопряжен с определенным риском. Это означает, что инвестор, вложивший свой капитал в эту бумагу, с равной вероятностью может получить как прибыль, так и убытки. Одним из финансовых инструментов для снижения риска в данном случае является инвестирование средств в различные ценные бумаги. Принято говорить о наличии у инвестора портфеля ценных бумаг.
• Портфель ценных бумаг может состоять из одной ценной бумаги или их сочетания. Такой портфель может содержать обыкновенные акции, привилегированные акции, краткосрочные бумаги с фиксированным доходом, облигации, необеспеченные обязательства, варранты и даже производные инструменты. Смесь или специализация зависит от представлений инвестора о рынке, его терпимости к риску и ожидаемого дохода. В идеале портфель должен состоять из ценных бумаг широкого спектра отраслей.
• В данной работе приведены теоретические сведения, описывающие расчет структуры портфеля с минимальным риском. Показано, как можно производить вычисления в пакетах Excel и MatLab. Для обоих пакетов приводятся необходимые сведения.

1. Типы финансовых операций

1.1. Простейшая финансовая операция (ПФО)

Простейшая финансовая операция определяется:

· сроком t или двумя датами: началом и окончанием операции;

· начальной суммой PV (Present Value);

· конечной суммой FV (Final Value);

В случае, если FV меньше PV, говорят об убыточности финансовой операции.

1.2. Денежный поток (ДП)

Денежный поток представляет собой последовательность денежных доходов и расходов, распределенных во времени (рис.1).

6

Рис. 1. Схема денежного потока

Стрелки, направленные вверх, обозначат доходы - положительную денежную сумму, получаемую человеком, а стрелки, направленные вниз, - расходы.

Если платежи относятся к началу соответствующего периода, то денежный поток - пренумерандо, если - к концу, то постнумерандо. Если временные периоды одинаковы, то денежный поток называется регулярным или аннуитетом. Если денежные суммы одинаковы, то денежный поток называется постоянным. Регулярный постоянный денежный поток называется рентой.

1.3. Стохастическая финансовая операция (СФО)

Стохастическая финансовая операция содержит один или несколько параметров, являющихся случайными величинами.

2. Доходность финансовой операции

2.1 Способы наращения в простейшей финансовой операции

Наращение первоначального капитала осуществляется следующими основными способами:

1. Наращение по простой годовой процентной ставке

,

где t - срок в долях года.

2. Наращение по сложной процентной ставке (рис. 2)

6

Рис. 2. Наращение по процентной ставке:

а - простой; б - сложной

Обращаем внимание, что простая процентная ставка r присутствует на рис. 2, как обратная величина к длине отрезка от -1/r до момента t = 0 начала операции. Этот факт будет использоваться в дальнейшем.

3. Наращение по простой учётной ставке.

4. Наращение по сложной учетной ставке (рис. 3)

6

Рис. 3. Наращение по учетной ставке:

а - простой; б - сложной

5. Наращение по непрерывной ставке

,

где д - сила роста (рис. 4).

6

Рис. 4. Наращение по непрерывной ставке

6. Определение срока финансовой операции

Срок t финансовой операции определяется датой начала D_нач, датой окончания D_кон. Срок должен выражаться в доле базового временного интервала (БВИ). Ставки также согласуются с БВИ.

Срок финансовой операции в днях определяется двумя способами t_{дн.точн} = D_кон - D_нач;

t_{дн.прибл} = 30 · Количество_целых_месяцев +

Количес во_дней_начального_ месяца +

Количество_дней_последнего_месяца - 1.

День начала и окончания финансовой операции считается за один день.

Для определения срока финансовой операции в долях года используются специальные схемы расчета:

1) германская, 360/360:

;

2) французская, 365/360:

;

3) английская, 365/365:

Если во временном интервале финансовой операции содержится хотя бы одна дата 29 февраля (если год високосный), то в знаменателе используется 366, а не 365.

2.2 Доходность простой финансовой операции

Из формул наращения выводятся выражения для доходности простой финансовой операции:

,

,

,

,

.

Гипотеза. Одна финансовая операция доходнее другой одновременно по всем формулам. Докажите или опровергните гипотезу.

Задача. Товар оформляется в рассрочку на 1 год под 17 % годовых. При этом его цена увеличивается на 5% и 5% первоначальной стоимости выплачивается сразу. Определить эффективность этой операции.

Решение. Пусть PV - начальная сумма товара,  = 5 % - удорожание товара,  = 5 % - размер первоначального взноса. Банк выдал в долг сумму, равную PV(1-), а получит PV(1+ )(1+ r). В результате эффективность по простой годовой процентной ставке

После расчетов имеем r' = 28,68 %

2.3 Доходность денежного потока

Доходность денежного потока по эффективной процентной ставке определяется как сложная годовая процентная ставка, при которой приведенная стоимость потока на момент t₀ равна 0. Иногда эту доходность называют чистой внутренней доходностью денежного потока. Чем выше доходность денежного потока, тем выгоднее этот денежный поток.

2.4 Параметры стохастической финансовой операции

Доходностью или эффективностью стохастической финансовой операции называется математическое ожидание чистых внутренних доходностей множества реализаций финансовой операции. Риском этой операции является средне квадратичное отклонение (СКО) чистых внутренних доходностей.

Для упрощения расчётов можно оценить доходность стохастической финансовой операции следующим образом. Случайные параметры заменяем их математическим ожиданием и от случайной финансовой операции переходим к одной усреднённой реализации.

Эффективность этой усредненной реализации принимаем в качестве эффективности стохастической финансовой операции.

Для точного определения эффективности r и риска стохастической финансовой операции следует использовать методы математической статистики.

Пусть X - случайная величина с плотностью распределения f(x) и Y=g(X) - функция случайного аргумента.

Тогда

,

.

Пусть две случайные переменные X и Y, имеют совместную плотность распределения f(x,y) и Z= g(X, Y) - скалярная функция случайных аргументов. Тогда

Пример:

PV = 1000 руб., t = 2 года, FV - равномерно распределённая случайная величина на интервале [500р, 2000р]. Найти эффективность операции.

1. Приблизительный расчет. М(FV)=1250р и эффективность усредненной ФО равна:

2.

3. Точный расчёт

,

2.4 Депозитная книжка

Начальная сумма PV выплачивается регулярными (m раз в год) равными платежами А постнумерно в течение n лет. Платеж А состоит из части основного долга и всех процентов, набежавших к моменту платежа с оставшейся части основного долга.

Приведенная стоимость данного денежного потока:

Доходность r депозитной книжки определяется как минимальное решение r данного нелинейного уравнения при остальных известных параметрах.

2.5 Потребительский кредит

Потребительский кредит отличается от метода депозитной книжки тем, что разовые платежи F_i могут быть нерегулярными и непостоянными, а распределение основного долга P_i и процентных денег I_i в платежах может быть произвольным. Стоимость кредита в момент t₀ обозначим PV. Схема денежного потока с позиции банка имеет вид, как на рис.5.

6

Рис. 5. Схема денежного потока для потребительского кредита

Рассмотрим схему погашения потребительского кредита в общем виде (табл. 1).

Таблица 1Схема погашения потребительского кредита

Дата разового платежа	Основной платёж Pi	Процентный платеж Ii	Разовый платеж
t0	PV	-	-
t1	P1	I1	F1
.	.	.
.	.	.
.	.	.
tn	Pn	In	Fn
Итого	PV	x	x

Суммировать потоки процентных и разовых платежей нельзя, так как они относятся к различным моментам времени. Поэтому в строке «Итого» для этих столбцов стоит символ «x» - ячейка не подлежит заполнению. Кроме символа «x», в статистических таблицах используются : «…» - нет сведений, «-»- явление отсутствует.

Доходность r потребительского кредита по эффективной процентной ставке определяется как минимальное решение нелинейного уравнения:

, (1)

где t₀ - момент оформления кредита.

Другими словами, потребительский кредит оформлен корректно, если приведённая стоимость разовых платежей по сложной годовой процентной ставке на дату оформления кредита равна стоимости кредита. Если эта приведенная стоимость больше стоимости кредита, то ставка по кредиту занижена и клиент в убытке.

Различных корректных схем погашения потребительского кредита с одинаковыми параметрами PV, r, t₀,..,t_n бесконечно много.

При определении разовых платежей F_i можно учитывать пожелания клиента. Например, он может попросить, чтобы в летние месяцы, во время отпуска платежи отсутствовали.

В банковской практике применяется алгоритм, который не использует эффективную процентную ставку в виде формулы (1). При расчете процентных денег I_i за истёкший период i используется схема начисления на остаток долга по простой процентной ставке r, т.е.

. (2)

Период всегда меньше базового временного интервала, совпадающего с годом. В этом случае простые проценты дают большее наращение, чем сложные проценты. Поэтому формула (2) предлагает большую сумму, чем наращение по сложной годовой процентной ставке

. (3)

Таким образом, ставки по потребительскому кредиту, которые предоставляют банки, занижены относительно эффективной ставки кредита. Реальное отклонение составляет 2 - 3 % годовых.

Пример. Гран Банк в июле 2007 года предлагал взять кредит 20 000 руб. на срок 1,5 года с ежемесячными платежами 1 420 руб. Единовременный взнос 600 руб. В рекламе говорится, что ставка 12 %, единовременный взнос 3 %, ежемесячная комиссия 1 %.

Решение. Найдем эффективную процентную ставку r двумя способами с использованием Excel (см. пп. 3.9 и 3.2).

1. С помощью функции ВСД сразу находим ставку внутренней доходности r = ВСД(D1:D19)12. Здесь диапазон ячеек D1:D19 содержит сумму кредита 19 400 руб. и 18 разовых платежей 1 420 руб. В результате имеем r = 36,95 %, что значительно больше суммы заявленных процентов 12 % + 3 % + 121 % = 27 %.

2. С помощью функции ПС находим приведенную стоимость разовых платежей постнумерандо ПС( r/12; 18; 1 420; 0; 0), где r - ссылка на ячейку с неизвестной годовой процентной ставкой. Затем с помощью «Сервис-Подбор параметра» подбираем ставку r так, чтобы приведенная стоимость равнялась 19 400 руб. В итоге получаем ту же ставку r = 36,95 %.

2.6 Пенсионные вклады

Пенсионные вклады являются предметом изучения дисциплины «Актуарные расчеты». Базовый вариант пенсионного вклада состоит из двух денежных потоков. Поток пенсионных платежей P_i вносится физическим лицом или предприятием, на котором работает клиент. Второй поток представляет собой выплаты F_j клиенту, когда он выходит на пенсию.

Размеры платежей, их количество и периодичность устанавливаются в договоре. Также в договоре указывается процентная ставка r_дог, которая может отличаться от фактической эффективной ставки r_eff. Расчет ставки r_eff производится из условия, что потоки {P_i} и {F_j}, приведенные на одну дату по ставке r_eff должны компенсировать друг друга. В качестве даты приведения обычно берут момент выхода клиента на пенсию. Тогда поток {P_i} наращивается, а поток {F_j} дисконтируется на эту дату. Из равенства полученных сумм находим r_eff.

Пример.

Пенсионный вклад оформлен за 20 лет до выхода на пенсию в 60 лет и будет действовать ещё в течение 15 лет. После оформления вклада и до выхода на пенсию разовые ежегодные платежи постнумерандо составили P = 10000 руб. После выхода на пенсию разовые ежемесячные выплаты постнумерандо составили F = 5000 руб. Определить эффективную ставку пенсионного вклада.

Решение

Приравниваем наращенный и дисконтированный потоки.

.

Решение уравнения можно найти в Excel сервисной функцией «Подбор параметра». Получаем r = 8,78 % сложных годовых.

2.7 Вексель

Вексель оформляется в момент t_оф векселедателем и передается векселедержателю вместо денежной платы за некоторый товар. В векселе фиксируется начальная стоимость P_оф векселя, дата погашения t_пог, процентная ставка r по векселю и способ наращения. В некоторый момент t_уч векселедержатель может учесть вексель в банке по учетной ставке банка d. В результате вместо формальной стоимости векселя P_уч векселедержатель получает сумму P_{на руки}, которая равна сумме к погашению F_пог, дисконтированной от момента t_пог к t_уч по учетной ставке d. После приобретения векселя банк в момент t_пог погашает вексель у векселедателя и получает сумму F_пог.

Проведем факторный (детальный) анализ учета векселя (рис.6). Предположим, что при наращении и дисконтировании действуют простые ставки. Тогда вексель рассчитывается по следующим формулам

,

,

.

Величина D = F_пог - F_{на руки} называется дисконтом банка. Дисконт складывается из 2 величин:

- сумма, которую банк получит в момент t_пог;

- сумма, которую банк удержал у векселедержателя в момент t_уч.

Складывать деньги, относящиеся к разным моментам времени нельзя. Поэтому величина D = Д₁+ Д₂ приближенно оценивает дисконт банка. Найдем точный дисконт, приведенный к моменту t_пог :

.

Таким образом, неучтенный дисконт банка на момент t_пог составляет

.

6

Рис. 6. Факторный анализ учета векселя.

Найдем доходности вексельной операции у трех задействованных в ней участников:

В соответствии с п. 2.1.2 получаем геометрическую иллюстрацию доходностей:

2.8 Двойное конвертирование валюты

Двойное конвертирование валюты предполагает наличие начального капитала в рублях P_руб, который обменивается на валюту, например P_$, по курсу продажи К₀ (руб/$).

Валютный вклад P_$ наращивается по валютной ставке r_$ до момента t_кон. Наращенная валютная сумма F_$ конвертируется в рубли по курсу покупки К_t и полученная сумма F_руб возвращается клиенту. Приведем расчеты:

,

,

.

Обозначим , . Тогда

Таким образом, доходность этой рублевой операции по простой процентной ставке:

(4)

Случайным фактором в этой операции могут быть срок t и отношение курсов k_t.

Из соотношения (4) вытекает, что если номинальная ставка по рублевым вкладам на момент t_нач выше, чем расчитанное r_руб, то двойное конвертирование не выгодно.

2.9 Привилегированные акции

Привилегированные акции предполагают регулярные (m раз в год) постоянные выплаты в размере А владельцу независимо от дохода предприятия. Срок действия такой акции неограничен. В этом случае мы имеем вечную ренту. Приведенная стоимость вечной ренты с ежегодными платежами равна . Доходность по сложной годовой ставке r данной операции определяется из соотношения , где PV - цена покупки акций. Отсюда .

Если темп инфляции за один период между выплатами составляет h %, то реальная начальная стоимость акции

2.10 Влияние инфляции на рост денег

Допустим, имеется временной ряд {p₀, p₁, …} численных величин. Момент t₀ считается текущим. Отношение , m < n называется индексом.

Индексы K_1/0, K_2/1... называются цепными, а индексы K_1/0, K_2/0...- базисными. Между цепными и базисными индексами существует взаимно однозначная связь:

,

.

Потребительской корзиной называется совокупность продовольственных продуктов, промышленных товаров и услуг, которые в месяц потребляет усредненный гражданин (усреднение по возрасту, месту жительства и т.д.). Корзина состоит на 50 % из продуктов, на 30 % из товаров и на 20 % из услуг. Обозначим цену корзины в момент времени t_n через P_n.

Коэффициентом роста цен за период с m до n называется индекс

.

Темп инфляции за период от m до n рассчитывается по формуле . Темп инфляции не является индексом. Очевидно, что .

Пример.

В Югославии в 1993 г. годовой темп инфляции составлял 3·10⁸  %.

Во сколько раз в среднем росли цены за полмесяца?

Решение.

Дано h_24/0 =3·10⁸  %. Требуется найти K_1/0. Вначале найдем К_24/0=3·10⁶+1?3·10⁶, откуда К_1/0=(К_24/0)^1/24=(3·10⁶)^1/24?1,8 раза.

Рассмотрим влияние инфляции на наращение капитала PV по простой процентной ставке r_ном.

Номинальная наращенная сумма за время t составляет FV_ном = PV(1 + r_номt). Допустим, за этот период темп инфляции составил h_t/0. Тогда за это время деньги обесценились в раз и реальная наращенная сумма составляет . Найдем доходность этой операции в реальном исчислении по простой процентной ставке.

.

Таким образом, эрозия капитала отсутствует при условии, что , откуда .

Определим брутто-ставку r_бр, при которой операция наращения в реальных деньгах составляет r_ном процентов.

Имеем

.

Отсюда

.

4.

5. 3. Финансовые функции Excel

Рассмотрим функции, позволяющие решить следующие задачи:

· определение наращенной суммы,

· определение приведенного значения,

· определение срока платежа и процентной ставки,

· расчет периодических платежей.

Общая формула расчета:

где A - фиксированная сумма разового платежа;

n - общее число платежей;

r - процентная ставка за период;

type =

PV, FV - начальная и конечная суммы.

3.1 Наращенная стоимость постоянного регулярного ДП

БЗ (Будущее Значение), или БС (Будущая Стоимость), рассчитывает будущую стоимость периодических постоянных платежей на основе постоянной процентной ставки.

Синтаксис:

БЗ (норма, число периодов, выплата, нз, тип)

Примеры:

1. Реализовать формулу

FV = БЗ(r, t, ,PV, 0).

2. Найти конечную сумму ренты постнумерандо

FV = БЗ(r, t, выплата ,PV, 0).

3. Найти конечную сумму ренты пренумерандо

FV = БЗ(r, t, выплата ,PV, 1).

Задачи:

1. Какая сумма останется на счете, если 27 тыс. руб. положить на 33 года под 13,5% годовых? Проценты начисляются каждые полгода.

Решение. FV=БЗ(13,5%/2, 33·2, , -27)=2012074,60 руб.

2. По вкладу 2 млн. руб. начисляется 10 % годовых. Какая сумма будет на вкладе через 5 лет при ежемесячном начислении?

3.2 Приведенная стоимость постоянного регулярного ДП

ПЗ (Приведенное Значение), или ПС (Приведенная Стоимость), рассчитывает текущую стоимость будущих фиксированных платежей.

Синтаксис:

ПЗ (норма, кпер, выплата, бс, тип),

где кпер - количество фиксированных платежей;

бс - будущая стоимость или некоторая сумма в конечный момент времени.

Примеры:

1. Найти .

Решение. =ПЗ(r,n,,FV).

2. Рассчитать приведенную стоимость ренты постнумерандо с платежами А.

Решение. = ПЗ(r,n,A,,1) - постнумерандо,

= ПЗ(r,n,A,) - пренумерандо.

Задача: Рассматривается два варианта покупки дома:

1. Заплатить цену 99 тыс.руб.

2. В рассрочку по 940 руб. ежемесячно в течение 15 лет. В каком случае покупатель заплатит меньшую сумму, если цена капитала r=8 % годовых?

Решение. ПЗ(8 % / 12, 15·12, 940)=98362 руб., поэтому 2-й вариант выгоднее для покупателя.

3.3 Приведенная стоимость непостоянного регулярного ДП

НПЗ (Начальное Приведенное Значение) или ЧПС (Чистая Приведенная Стоимость) = .

Синтаксис:

НПЗ(норма, сумма1, сумма2, …, суммаN)

Пример: Затраты по проекту в начальный момент времени равны 37 тыс. руб. Ожидаемые доходы за первые 5 лет: 8000, 9200, 10 000, 13 900, 14 500 руб. На шестой год ожидается убыток 5000 руб. Цена капитала r=8 %. Рассчитать чистую текущую стоимость проекта.

Решение. НПЗ(8%; B1:B5; -5000)-37000=3 167,77 руб.

3.4 Приведенная стоимость непостоянного нерегулярного ДП

ЧИСТНЗ (Чистая Начальная Стоимость) рассчитывает чистую текущую стоимость нерегулярных переменных расходов и доходов.

,

где d₁ - дата первой операции;

d_i - дата i-й операции.

Синтаксис:

ЧИСТНЗ(ставка; {сумма0;сумма1;…}; {дата0;дата1;…})

Расчет производится на дату, когда осуществляется первая операция, т.е. на дату d₁. Первая сумма не дисконтируется. Если требуется сделать расчёт на дату, предшествующую дате первой операции, то сум₀=0.

3.5 Расчет количества платежей

КПЕР (норма, выплата, нз, бс, тип)

Примеры:

1. За какое время (в БВИ) из начальной суммы нз можно получить наращенную сумму бс, при ставке r за один БВИ?

Решение. = КПЕР(r, , нз, бс)

2. За какой срок из 10 000$ можно получить 15 000$ при ежемесячном добавлении 100$ с ежемесячными начислениями процентов и при 6 % годовых?

Решение. = КПЕР(6%/12; -100; -10 000; 15 000)=31 месяц

3.6 Расчет ставки

НОРМА или СТАВКА( кпер, выплата, нз, бс, тип)

Возвращает сложную процентную ставку за один БВИ для ренты.

Пример:Компании X потребуется 100 000 руб. через 2 года. Компания готова вложить сразу 5 000 руб. и по 2 500 руб. каждый месяц. Найти сложную годовую процентную ставку.

Решение. =12·НОРМА(2·12, -2500, -5000, 100000)=39 %

3.7 Расчет эффективной и номинальной ставки

ЭФФЕКТ(номинальная_ставка, кол_пер_в_год)

НОМИНАЛ(эфф_ставка; кол_пер_в_год)

Пример: Какова эффективная ставка при 28 % годовых с ежемесячными начислениями процентов?

Решение. НОМИНАЛ(28 %,12)=24,94 %.

3.8 Расчёт периодических платежей

Решаются следующие задачи, связанные с погашением кредитов:

а) определение размера периодического платежа на основе постоянной процентной ставки (ППЛАТ),

б) определение процентного платежа за конкретный период (ПРОЦПЛАТ),

в) основные платежи по займу за вычетом процентов за один период (ОСПЛТ).

3.8.1. ППЛАТ(норма, кпер, нз, бс, тип)

Пример. Ссуда 200 млн. руб. на 4 года под 18 % выдается в начале года, а погашается в конце года одинаковыми платежами. Найти размер ежегодного погашения ссуды.

Решение. ППЛАТ(18%/4;4;-200)=74,3 тыс.руб.

3.8.2. ПРОЦПЛАТ(норма, период, кпер, тс)

Пример. Вычислить платежи по процентам за первый месяц от трёхгодичного займа в 800 тыс.руб. из 10 % годовых.

Решение. ПРОЦПЛАТ (10%/12; 1; 12·3; -800)=6,48 тыс.руб.

3.8.3. ОСПЛТ(ставка, период, кпер, тс, бс, тип)

Пример. Составить схему погашения займа в 70млн, сроком на 3 года под 17 % годовых.

3.9 Определение скорости оборота инвестиций для регулярного ДП

ВНДОХ или ВСД (значение, предположение).

Из следующего уравнения определяется сложная процентная ставка r за период в случае регулярных непостоянных денежных потоков:

.

Пример. Затраты по проекту составят 500 млн.руб. Ожидаемые доходы составят 50, 100, 300, 200 в течение последующих четырёх лет. Оценить экономическую целесообразность проекта по скорости оборота инвестиций, если рыночная норма дохода 12 %.

Решение. ВНДОХ(А1:А5)=9,25 %. Проект не выгоден.

3.10 Определение скорости оборота инвестиций для ДП

ЧистВНДОХ ({сумма0;сумма1;… ;суммаN}; {дата1; …; дата;})

.

Данное уравнение позволяет найти эффективную процентную ставку r в случае произвольных денежных потоков.

Задания:

6. Составить план погашения кредита в 100 тыс.руб. на 3 года с ежемесячным погашением процентов r=12 %.

7. Темпы инфляции составили по месяцам: 1 %, 2 %, 1 %, 2 %,и т.д. r_ном=20 %. Найти r_реал, r_брутто.

8. Определить эффективности операций:

а) за 6 месяцев 1000 руб. > 1200 руб. ( ответ 44 %);

б) за 1,5 года 500$ > 850$ (ответ ~42 %);

в) 1.01.05 инвестиции 1000 %

1.05.05 доход 600$

1.09.05 доход 600$

(ответ 44,86%);

г) На дату 1.01.05 инвестиции составили 1000 $. В конце каждого месяца в течение 2 лет доход составлял 60$. (ответ 49 %).

9.

10.

4. Расчет параметров СФО

Для расчета параметров стохастической финансовой операции можно использовать численное моделирование случайных величин.

4.1 Моделирование одномерной случайной величины

Допустим, необходимо получить случайную величину X с функцией распределения F(x). Используем метод обратной функции. Пусть Z - равномерно распределенная случайная величина на интервале [0,1]. Выразим из уравнения Z = F(X) величину X. Получим X = F^-1(Z) . Выражение F^-1(Z) генерирует случайную величину X с распределением F(x).

4.2 Моделирование двумерной случайной величины

Моделирование случайной величины (X,Y) c функцией распределения F(x,y) реализуется двукратным применением метода обратной функции. Пусть Z - равномерно распределенная случайная величина на интервале [0,1]. Функция F(x,+?) является распределением случайной величины X без учета второй случайной величины Y. Тогда X = F^-1(Z, +?). Возьмем одну реализацию z' и вычислим x' = F^-1(z',+?). Построим условное распределение случайной величины Y при полученном x'

G(y) = F (x', y) / F( x', +?).

Осталось получить реализацию y' по одномерному распределению G(y): y'=G^-1(z''), где z'' - вторая реализация Z.

Получим искомую реализацию (x', y') двумерной случайной величины (X,Y).

На практике функциональные характеристики распределения случайной величины неизвестны. Но имеется информация о большом количестве реализаций, например, в виде базы данных. Допустим, необходимо построить несколько новых реализаций. В этом случае строится выборочная функция распределения в виде табл. 2,3.

Таблица 2

Одномерная выборочная функция распределения случайной величины F(x) = P(X<x)

X	F(x)
x1	0
.	.
.	.
.	.
xn	.
> xn	1

Таблица 3

Выборочная функция распределения двумерной случайной величины F(x, y) = P(X<x && Y<y)

	x1	.	.	.	xn	>xn
y1	0	0		.	0	0
.	0	.	.	.	.	.
.	0			.	.	.
yn	0	.	.	.	.	.
> yn	0	.	.	.	.	1

Тогда в методах обратных функций, изложенных выше, решение уравнения F(x)=Z относительно x заменяется поиском подходящего числа в упорядоченной таблице распределения.

Пример.Клиент взял в банке кредит в размере 1000 долларов и обязуется вернуть примерно через 1 год сумму 1100 долларов. Срок возврата - случайная величина с треугольным распределением от 11 месяцев до 13 месяцев. Найти эффективность и риск данной операции для банка.

Решение. График плотности распределения срока возврата D_кон имеет вид как на рис.7.

6

Рис. 7. Функция плотности распределения

Отсюда

Учитывая, что , получаем

График этой функции представлен на рис.8. Пусть Z - равномерно распределенная величина на интервале [0,1]. Если реализация z величины Z удовлетворяет неравенству , то искомая реализация является наибольшим решением уравнения

.

Если , то искомая реализация является наименьшим решением уравнения

.

Рис. 8. Функция распределения.

Решение задачи с помощью программы на языке Си.

#include <stdio.h>

#include <math.h>

main()

{randomize();

float t, r[1000], E;

for(int i=0; i<1000; i++) // моделируем 1000 реализаций случайной ФО

{t=gen_t(); // получаем реализацию случайного срока возврата

r[i]=pow(FV/PV, 1/t)-1; // определяем доходность реализации СФО

}

for(i=0; i<1000; i++)

E+=r[i];

E=E/1000; // определяем среднюю доходность по 1000 реализаций

for(i=0; i<1000; i++)

S+=pow((r[i]-E),2);

S=(1000/1001)*(S/1000); // несмещённая оценка дисперсии доходности

printf("Доходность СФО=%f %%",E*100);

printf("Риск СФО=%f %%",sqrt(S)*100);

}

float gen_t()

{

float Z=rand(1001)/1000.0;

if (z>=0 && z<=0.5)

{ a=72, b=-132, c=60,5;

t=(-b-(sqrt(pow(b,2)-4*a*c)))/(2*a); }

else

{a=-72, b=156, c=-83.5;

t=(-b-(sqrt(pow(b,2)-4*a*c)))/(2*a); }

return t;}

5. Статистические характеристики ценных бумаг

Пусть инвестор вкладывает деньги в различные ценные бумаги или фонды , и желает сформировать свой портфель таким образом, чтобы риск был минимален. Пусть - доля акций по затратам соответствующего вида. Рассчитаем структуру портфеля, удовлетворяющего требованию минимальности риска.

Пусть возможны k независимых вариантов развития цен на ценные бумаги в будущем. Вероятности этих вариантов обозначим , , и , - доходность j-й ценной бумаги в случае i-го варианта , . Таким образом, доходность бумаги является случайной величиной.

Средняя доходность, приносимая бумагами одного вида, рассчитывается по формуле

.

Дисперсия доходности ценной бумаги :

.

Именно (r_j) является мерой риска бумаги Ц_j в финансовых операциях. Если (r_j) = 0, это означает, что риск бумаги полностью устранен.

Ковариация доходности двух различных ценных бумаг Ц_j и Ц_t вычисляется по формуле

.

Ковариация показывает, как будет изменяться величина r_j, если будет изменяться r_t (и наоборот).

На практике удобнее работать с безразмерным коэффициентом корреляции, который определяется следующим образом:

, .

Положительный коэффициент корреляции означает, что при увеличении доходности от первой ценной бумаги доходность от второй ценной бумаги также увеличивается (ценные бумаги положительно коррелированны). Если коэффициент отрицательный, то при увеличении дохода от первой ценной бумаги происходит уменьшение доходности от второй ценной бумаги (ценные бумаги отрицательно коррелированны). Если коэффициент корреляции равен 0, то говорят, что бумаги не коррелированны. В этом случае, как правило, доходность одной из них не зависит от доходности другой. Впрочем, из некоррелированности не вытекает независимость случайных величин.

6. Функции Excel для расчета случайных величин

На практике для ценных бумаг , , составляющих пакет, известны их доходности r_ji в некоторые моменты времени , . Тогда вероятности вариантов . В этом случае для оценки средних значений M(), дисперсий и ковариаций cov(r_j, r_t) можно использовать следующие возможности Excel.

Для вычисления среднего значения применяется функция СРЗНАЧ (диапазон ячеек), где диапазон ячеек содержит доходности бумаги в моменты .

Для вычисления несмещенной оценки дисперсии применяется функция ДИСПА (диапазон ячеек). Если выборка является генеральной совокупностью, применяется функция ДИСПР (диапазон ячеек).

Для вычисления несмещенной оценки ковариации двух числовых диапазонов используется функция КОВАР (диапазон1, диапазон2).

Для нахождения ковариационной матрицы системы ценных бумаг существует сервисная функция Сервис-Пакет анализа - Ковариация.

В диалоге сервиса предлагается ввести диапазоны ячеек, содержащих выборку n случайных величин, после чего строится нижнетреугольная матрица с размерами n на n для симметричной матрицы ковариаций. Далее нужно преобразовать эту нижнетреугольную матрицу в полную матрицу ковариации.

Пример. Определим выборочные числовые характеристики ценных бумаг по их доходностям, полученным за три дня

Таблица 4

Доходность ценных бумаг и их числовые характеристики

Дата ti Цj	Доходность rji, %	Эффективность M(rj), %	Дисперсия у2(rj), %2	Риск у(rj), %
	1	2	3
Ц1	115	110	112	112,3	4,2	2,1
Ц2	22	33	44	33,0	80,7	9,0
Ц3	55	44	33	44,0	80,7	9,0

Таблица 5 Таблица 6

Нижнетреугольная матрица ковариаций, %2 Ц1 Ц2 Ц3 Ц1 4,2 Ц2 -11,0 80,7 Ц3 11,0 -80,7 80,7	Матрица ковариации, %2 Ц1 Ц2 Ц3 Ц1 4,2 -11,0 11,0 Ц2 -11,0 80,7 -80,7 Ц3 11,0 -80,7 80,7

7. Моделирование ковариационной матрицы

Для моделирования доходности ценных бумаг с заданной ковариационной матрицей можно использовать метод линейного преобразования. Это один из наиболее известных методов формирования реализаций случайных векторов [4]. Основная идея его состоит в том, чтобы, выработав n случайных независимых величин с параметрами , , подвергнуть их такому линейному преобразованию , после которого полученные величины имели бы наперед заданную ковариационную матрицу:

, . (5)

Выберем матрицу преобразования A нижнетреугольной. Тогда

y₁ = a₁₁ x₁,

y₂ = a₂₁ x₁+a₂₂ x₂,

y_n=a_n1x₁+a_n2x₂+…+a_nnx_n.

Поскольку и , то имеем .

Тогда система (5) приобретает вид

(6)

Учитывая, что

, (7)

нелинейная система (6) разрешается относительно a_ij.

Пример. Построить две случайные величины с заданными ковариационными свойствами.

,

,

.

Найдем элементы а_ij матрицы A из системы

a₁₁²=cov₁₁,

a₁₁a₂₁=cov₁₂,

a₂₁²+ a₂₂²=cov₂₂

Получим

;

Пример. Построить три случайные величины с заданными ковариационными свойствами.

(8)

Действуя таким образом, можно последовательно определить элементы всей матрицы A. Тогда алгоритм выработки реализаций случайного вектора с заданной ковариационной матрицей сведется к умножению реализаций вектора с независимыми случайными координатами на матрицу A. Составляющие вектора y будут иметь нулевое среднее значение. Вектор с ненулевым средним значением получается путем сложения y+m_y, где m_y - вектор-столбец требуемых средних значений случайного вектора y.

Отметим, что рассмотренный процесс моделирования позволяет получить лишь необходимые корреляционные связи между координатами случайного вектора. Законы распределения координат не принимаются во внимание, поэтому законы распределения координат исходного вектора могут быть произвольными, например равномерными. Требуется только, чтобы координаты вектора x удовлетворяли условию (7). Если законы распределения координат исходного вектора x принять нормальными, то искомый вектор y также будет нормальным (нормальный закон, как известно, инвариантен по отношению к линейному преобразованию).

Пример 1. Для 2 ценных бумаг Ц₁ и Ц₂ задана ковариационная матрица доходностей

*(100%)².

Средние доходности M(r₁) = 80 %, M(r₂) = 120 %.

Из матрицы cov имеем:

=100 %, *100 %,

cov(r₁, r₂)=1,2 (100 %)²,

K(r₁, r₂)= =0,849 (100 %)².

Построим алгоритм для генерации r₁ и r₂.

Пусть x₁ и x₂ - равномерно распределенные величины на интервале . Тогда M(x₁) = M(x₂) = 0, .

Находим матрицу преобразования и получаем алгоритм , т.е.

Пример 2. Допустим для 3 ценных бумаг матрица ковариаций имеет вид

*0.0001 .

Средние доходности бумаг M(r₁)=10 %, M(r₂)=15 %, M(r₃)=1 %.

По формулам (8) находим %. Возможные реализации доходностей в течение 5 дней представлены в табл.7.

Таблица 7

Возможные доходности ценных бумаг в течение 5 дней, в %.

День Назв. Цj	1	2	3	4	5
Ц1	10,462	8,138	9,397	3,170	8,689
Ц2	17,435	21,307	16,588	20,366	11,956
Ц3	-1,184	2,478	3,655	-6,429	3,418

8. Диверсификация по Марковитцу

Современная теория портфеля была сформулирована Гарри Марковитцем в работе [1], опубликованной в 1952 году. Вкратце эта теория утверждает, что для сведения риска к минимуму портфель нужно диверсифицировать. Уменьшение риска, однако, означает и снижение доходности. Таким образом, при снижении риска доходы от портфеля должны быть оптимизированы. Фактически нужен такой портфель, в котором соотношение риска и дохода было бы приемлемым для инвестора. Зависимость доходности от риска приведена на рис. 9.

6

Рис. 9. Зависимость доходности от риска

Диверсификация - это процесс распределения средств по инвестициям в целях сокращения риска. Причина диверсификации - в попытке распределить риск по портфелю, поскольку с каждой ценной бумагой и с каждой отраслью связаны свои риски. Предполагается, что инвестор отрицательно относится к риску. Это означает, что инвестор не будет брать на себя неоправданный риск. Диверсификация портфеля снижает риск, поскольку общая сумма рисков по каждой ценной бумаге в портфеле больше риска по портфелю в целом.

Диверсификация по Марковитцу представляет собой сочетание ценных бумаг, имеющих отрицательную ковариацию с тем, чтобы сократить риск, не сокращая ожидаемой доходности. В целом, чем меньше ковариация между ценными бумагами, тем меньше степень риска по портфелю. Это действительно так, независимо от риска по ценным бумагам, взятым по отдельности.

Но для того чтобы сделать колебание доходов по портфелю маленьким, недостаточно вложить средства в большое количество ценных бумаг. Необходимо избегать инвестиций в ценные бумаги с большой степенью ковариации между собой.

Данные исследований, проведенных в США, показывают, что 7-10 ценных бумаг в принципе достаточно для достижения приемлемого уровня диверсификации.

Теория Марковитца об использовании корреляции (ковариации) между ценными бумагами также способствует сокращению риска, и поэтому количество ценных бумаг в портфеле можно сократить еще больше.

В основе диверсификации по Марковитцу лежит идея о сочетании ценных бумаг, имеющих отрицательную корреляцию. Проще говоря, это означает включение в портфель ценных бумаг, из которых при обычных условиях одна поднимается в цене, в то время как другая падает. В течение некоторого времени изучалась доходность портфелей, диверсифицированных в соответствии с моделью ковариации Марковитца. Результаты показали, что использование ковариаций не снизило общий риск ниже уровня, который мог бы быть достигнут путем "наивной" диверсификации. Наивный вариант диверсификации - это совет "не класть все яйца в одну корзину". С точки зрения портфельных инвестиций это означает, что одно единственное событие может отрицательно сказаться на всем портфеле. Следовательно, вложение средств в разные ценные бумаги или инвестиции снизит общий риск по портфелю так, что ни одна отдельно взятая инвестиция не окажет на него общего радикального воздействия. Однако такой уровень снижения риска был достигнут при гораздо меньшем количестве ценных бумаг в портфеле. Действительно, портфели по Марковитцу часто состояли из половины ценных бумаг по сравнению с диверсифицированными по "наивной" схеме. Это можно также выразить как создание доходов, в два раза превышающих уровни наивной диверсификации при той же величине риска. Если же принять во внимание еще и экономию за счет более низких затрат на заключение сделок, доходность таких портфелей была значительно выше.

9. Расчет оптимального портфеля в Excel

Рассмотрим портфель .

Эффективность портфеля P (9)

Дисперсия портфеля будет составлять

. (10)

Риск портфеля равен .

Задача Марковитца состоит в определении портфеля с минимальным риском. Требуется решить задачу минимизации

min

при долевом ограничении

a₁+…+a_n=1. (11)

Пример. Найдем оптимальный портфель из трех ценных бумаг с эффективностями в диапазоне ячеек D3:F3 и ковариациями в диапазоне D4:F6.

Решение. В целевую ячейку D9 поместим формулу массива (табл.8)

={МУМНОЖ(МУМНОЖ(D7:F7; D4:F6); ТРАНСП(D7:F7))}

Таблица 8

	C	D	E	F
3	Эффективность бумаг, %	20,00	30,00	25,00
4	Ковариации бумаг, %*%	6,30	-16,50	16,50
5		-16,50	121,00	-121,00
6		16,50	-121,00	169,00
7	Доли портфеля	0,68	0,21	0,10
8	Сумма долей	1,00	-	-
9	Дисперсия портфеля, %*%	2,44	-	-
10	Риск портфеля, %	1,56	-	-
11	Эффективность портфеля, %	22,66	-	-

С помощью сервисной функции "Сервис-Поиск решения" находим портфель P=(0,68; 0,21; 0,10) с минимальным риском (P)=1,56 % и эффективностью M(P)=22,66 %.

Добавим к задаче условие, что портфель имеет заданную эффективность M = 32 %. Получаем табл.9.

Таблица 9

	C	D	E	F
3	Эффективность бумаг, %	20,00	30,00	25,00
4	Ковариации бумаг, %*%	6,30	-16,50	16,50
5		-16,50	121,00	-121,00
6		16,50	-121,00	169,00
7	Доли портфеля	-0,56	0,84	0,71
8	Сумма долей	1,00	-	-
9	Дисперсия портфеля, %*%	30,81	-	-
10	Риск портфеля, %	5,55	-	-
11	Эффективность портфеля, %	32,00	-	-

Доля первой бумаги отрицательна -0,56. Это означает, что имеет место длинная продажа, т.е. берут в долг деньги в размере 56 % исходного капитала с ответственностью за все финансовые события, которые произойдут с первой ценной бумагой.

Если наложить запрет на длинные продажи: доли неотрицательны, то в данном примере ни одного допустимого портфеля не существует, так как все ценные бумаги имеют более низкую эффективность, чем 32 %.

10.Анализ портфелей в системе MatLab

10.1 FrontCon. Построение эффективной границы

Строит границу, состоящую из оптимальных портфелей, на основе известных ковариационных свойств ценных бумаг. Дискретность границы определяет ЧислоГранПортф.

Синтаксис

[РискиГранПортф, ЭффектГранПортф, СтруктГранПортф] = FrontCon(ЭффектЦБумаг, КоварЦБумаг, ЧислоГранПортф )

Входные аргументы

ЭффектЦБумаг - вектор эффективностей ценных бумаг, 1 x КолЦБумаг.

КоварЦБумаг - ковариационная матрица эффективностей ценных бумаг, КолЦБумагxКолЦБумаг.

ЧислоГранПортф - число портфелей, формируемых вдоль эффективной границы.

Выходные аргументы

РискиГранПортф - вектор рисков граничных портфелей,
1 x ЧислоГранПортф.

ЭффектГранПортф - вектор эффективностей граничных портфелей 1 x ЧислоГранПортф.

СтруктГранПортф - квадратная матрица, строки которой представляют собой структуры граничных портфелей. Размеры матрицы
ЧислоГранПортф x  КолЦБумаг.

10.2 Frontier. Построение эффективной границы

Строит границу, состоящую из оптимальных портфелей, на основе известных стоимостей ценных бумаг в течение некоторого времени. Дискретность границы определяет ЧислоГранПортф.

Синтаксис

[РискиГранПортф, ЭффектГранПортф, СтруктГранПортф] = Frontier( РядыСтоимостейЦБумаг, СтавкиДохЦБумаг, ЧислоГранПортф )

Входные аргументы

РядыСтоимостейЦБумаг - массив стоимостей ценных бумаг (в процентах от номинальной стоимости) в течение КолСтоимЦБумаг моментов времени,
КолСтоимЦБумаг x КолЦБумаг.

СтавкиДохЦБумаг - вектор, содержащий фиксированные ставки доходностей ценных бумаг, 1xКолЦБумаг.

ЧислоГранПортф - число портфелей, формируемых вдоль эффективной границы.

Выходные аргументы

Те же

10.3 PortAlloc. Определение оптимального размещения капитала

Рассчитывает оптимальный рыночный портфель при наличии безрискового капитала. Предполагаются известными параметры и структура граничных портфелей, которые рассчитываются функциями FrontCon и Frontier.

Синтаксис

[РискРыночПортф, ЭффектРыночПортф, СтруктРыночПортф] = PortAlloc ( РискиГранПортф, ЭффектГранПортф, СтруктГранПортф, БезрискСтавка, СтавкаЗаимств, КоэффНеприятияРиска).

Входные аргументы

РискиГранПортф - вектор рисков граничных портфелей ценных бумаг, 1 x ЧислоГранПортф.

ЭффектГранПортф - вектор эффективностей граничных портфелей 1 x ЧислоГранПортф.