Управление рисками
Типы финансовых операций, их доходность. Расчет структуры портфеля с минимальным риском в пакетах Excel и MatLab. Статистические характеристики ценных бумаг. Диверсификация по Марковитцу. Определение скорости оборота инвестиций для денежного потока.
| Рубрика | Финансы, деньги и налоги |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 01.07.2009 |
| Размер файла | 755,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
СтруктГранПортф - квадратная матрица, строки которой представляют собой структуры граничных портфелей,
ЧислоГранПортф x КолЦБумаг.
БезрискСтавка - ставка безрискового актива,
СтавкаЗаимств - ставка заимствования. Если займы нежелательны, то это значение должно быть установлено в NaN, что действует по умолчанию.
КоэффНеприятияРиска - коэффициент степени неприятия риска инвестором. Чем выше это число, тем больше степень неприятия. Обычно коэффициент меняется от 2.0 до 4.0. По умолчанию значение 3.
Выходные аргументы
РискРыночПортф - риск оптимального рыночного портфеля.
ЭффектРыночПортф - эффективность оптимального рыночного портфеля.
СтруктРыночПортф - структура оптимального рыночного портфеля.
11. Вид границы
Если мы найдем решение задачи минимального риска на большом диапазоне фиксированных доходностей, то увидим, что граница выпуклая влево, т.е. имеет форму "пули". Интуитивное понимание, почему граница имеет именно такую форму, можно получить, рассмотрев случай двух типов акций. Предположим, имеются два вида акций A и B с ожидаемой доходностью M(r1) и M(r2), стандартными отклонениями у1 и у2 и ковариацией у12 (рис. 10).
6
Рис. 10. Допустимые портфели для случая двух акций
Если мы рассмотрим комбинацию из б акций первого типа и (1-б) второго, ожидаемая доходность портфеля бM(r1)+(1-б)M(r2) будет находиться где-то между M(r1) и M(r2). Стандартное отклонение портфеля:
[б2 у12+ (1- б )2 у22+2б(1-б) у12]1/2.
Для того чтобы граница имела выпуклую форму, необходимо выполнение следующего условия: стандартное отклонение портфеля D должно быть меньше абсциссы точки C, т.е. линейной комбинации бу1 + (1- б)у2 при 0 < б < 1, и больше -- при б<0 и при б > 1. Другими словами, мы должны проанализировать неравенство
[б 2у12+ (1 - б )2 у22+ 2 б (1 - б) у12]1/2 < б у1 + (1 - б) у 2.
Возводя обе части в квадрат и упрощая, получим
б (1 - б) у12 < б (1 - б) у1 у 2.
Величина с12=у12/(у1у2) является коэффициентом корреляции между доходностями бумаг, для которого справедливо неравенство
-1 ? с12 ? 1. При -1 < с12 < 1 мы получаем неравенство
б (1 - б) у12 < б (1 - б) у1 у2 ,
если 0< б<1, или
б (1 - б) у12 > б (1 - б) у1 у2 ,
если б < 0 или б > 1. Если же с12 = 1 или с12 = -1, то граница может быть кусочно-линейной. Мы, однако, не будем всерьез рассматривать этот вырожденный случай.
Пример. Построим для примера из п.9 границу средствами Excel. После расчетов получим табл.10.
Таблица 10 Характеристики граничных портфелей
|
Риск, % |
Эффективность, % |
|
|
4,47 |
21,23 |
|
|
3,42 |
20,68 |
|
|
2,46 |
20,06 |
|
|
1,74 |
21,31 |
|
|
1,56 |
22,66 |
|
|
1,74 |
24,00 |
|
|
2,46 |
26,00 |
|
|
3,42 |
28,00 |
|
|
4,47 |
30,00 |
По данным табл.10, построим границу множества всех допустимых портфелей (рис.11).
Рис. 11. Граница множества допустимых портфелей
12. Решение задачи оптимизации портфеля
Задача оптимизации портфеля ценных бумаг допускает явное решение, только если отсутствуют ограничения неотрицательности переменных. Построим его с помощью метода множителей Лагранжа. Предварительно перепишем задачу в матричной форме:
Vp = xTVx; mTx = mp; ITx =1,
вводя обозначения для (n х n) - матрицы ковариаций V = (Vij), матрицы-столбца ожидаемых эффективностей ценных бумаг m = (mj), единичной матрицы-столбца I = (1), а также матрицы-столбца неизвестных долей портфеля х = (хj). Здесь mp - требуемая эффективность портфеля. Знаком "Т" обозначена операция транспонирования. Согласно этим обозначениям задача оптимизации структуры портфеля принимает следующий вид:
минимизировать
Vp=xTVx (12)
при двух ограничивающих условиях
(13)
Введем функцию Лагранжа:
L=хTVх+л0(ITх-1)+л1(mTх-mр). (14)
Решение поставленной задачи на условный экстремум должно удовлетворять соотношению
(15)
что эквивалентно уравнению
2Vx=-л0I-л1m.
Так как матрица V - положительно определенная, а следовательно не вырожденная, то получаем
(16)
Подставляя выражение (16) в систему (13), приходим к двум уравнениям относительно множителей л0, л1:
(17)
Решив систему (17) и подставив найденные значения л0, л1 в (16), находим явное представление для оптимальной структуры портфеля:
(18)
Где
J1=ITV-1I; J2=mTV-1m; J12=ITV-1m.
Решение x* линейно относительно mp . Отсюда следует, что дисперсия оптимального портфеля Vp*=x*TVx* является выпуклой вниз функцией mp , и это же верно для риска портфеля .
13. Эмпирический расчет структуры портфеля
Не всегда можно аналитически решить задачу оптимизации портфеля. В пакете FAST в торговой сессии СА-1 доли a1, a2, a3 оптимального портфеля вычисляются следующим приближенным способом.
1. Подсчитаем общее число акций каждого вида на рынке:
, где Nij- количество акций i-го вида у j-го трейдера в начальный момент времени.
3. Подсчитаем общий доход, который приносят акции всех видов:
, где
Pi - доход акции.
Рассчитаем долю каждого вида акций в портфеле
.
Пример. На рынке с тремя акциями работают три трейдера. Количество акций у каждого трейдера задано в таблице 11.
Таблица 11
Распределение акций между трейдерами
|
Трейдер |
Акции i-го вида |
|||
|
1 |
2 |
3 |
||
|
1-й трейдер |
316 |
24 |
52 |
|
|
2-й трейдер |
78 |
100 |
52 |
|
|
3-й трейдер |
78 |
24 |
210 |
Построим эмпирический оптимальный портфель. Расчеты приведены в таблице 12.
Таблица 12
Расчет оптимального портфеля
|
Показатели |
Акции i-го вида |
|||
|
1 |
2 |
3 |
||
|
Ni - всего акций вида i |
472 |
148 |
314 |
|
|
Pi - доход одной акции вида i, руб. |
28,00 |
26,00 |
25,00 |
|
|
Ni*Pi - суммарный доход всех акций вида i, руб. |
13 216,00 |
3 848,00 |
7 850,00 |
|
|
P - суммарный доход акций всех видов, руб. |
24 914,00 |
|||
|
Ni*Pi /P - доля акции ai |
0,53 |
0,15 |
0,32 |
Таким образом, при формировании портфеля акций, необходимо придерживаться следующей структуры: 53 % портфеля должны составлять акции 1-й компании, 15 % - акции 2-й компании и 31 % - акции 3-й компании соответственно.
14. Добавление безрисковых активов к портфелю
Прежде всего, необходимо отметить, что добавление безрисковых ценных бумаг имеет смысл только тогда, когда портфель с минимальным риском дает доходность выше, чем безрисковые ценные бумаги.
Предположим теперь, что имеется безрисковый актив доходностью rf. Это соответствует точке на оси Y, поскольку безрисковый актив, по определению, имеет нулевую дисперсию. Наличие безрисковых активов меняет открытые перед нами инвестиционные возможности, поскольку мы можем комбинировать их с рисковыми активами. Фактически меняется эффективная граница инвестиционных возможностей. Проиллюстрируем это положение, используя рис.12.
Рис. 12. «Пуля» и безрисковый актив
Рассмотрим точку А, которая соответствует портфелю с ожидаемой доходностью M(ra) и стандартным отклонением уА. Но мы можем получить ту же самую ожидаемую доходность, но с меньшей дисперсией, составив комбинацию портфеля точки В с безрисковым активом. Если мы инвестируем б в rf и (1 - б) в В, то ожидаемая доходность будет б rf+(1 - б)M(rB), а стандартное отклонение (1 - б) уВ. Выбрав б подходящим образом, как показано на рис.12, мы получим ту же самую ожидаемую доходность с меньшим риском.
Для других граничных портфелей, например для точки С, мы обнаружим, что самое лучшее, что мы можем сделать, - это составить комбинацию из безрискового актива и точки М на рис.12. Это приводит к новой эффективной границе, представленной на рис.13.
Рис. 13. Положение рыночного портфеля
Точка М называется рыночным портфелем (market portfolio). Эффективная граница превратилась в прямую, проходящую из rf через М. Любой инвестор с предпочтениями, определенными выше, будет выбирать портфель так, чтобы ожидаемая доходность и стандартное отклонение лежали бы на этой прямой. Эта прямая часто называется Capital Market Line (CML). Заметим, что эта прямая касается "пули" в точке М. Пусть M(rм) и ум -- ожидаемая доходность и стандартное отклонение портфеля в точке М. Тогда наклон рыночной прямой
л' = (M(rм)- rf)/ум .
Это число показывает, какой долей ожидаемой доходности мы должны пожертвовать, чтобы уменьшить риск. Иногда эту величину называют рыночной ценой риска.
Каждый раз, когда заданы цены всех акций на рынке, тем самым определены и все возможности для компромисса между риском и доходностью. Инвесторы торгуют на рынке и формируют портфели. Равновесие наблюдается, если цены на акции таковы, что ни один из инвесторов не захочет изменить свой портфель, и предложение активов как рисковых, так и безрисковых равно спросу. Это условие определяет равновесную рыночную цену риска. Если рыночная цена риска известна, мы можем определить ожидаемую доходность всех рисковых активов.
Это делается следующим образом. Предположим, рассматривается возможность инвестирования доли и всего капитала в акции i и доли (1 - и) в рыночный портфель М. В результате получаем параметризованный портфель P(и) с эффективностью R(и) (рис. 14).
6
Рис.14. Параметризованные портфели P(и)
Портфели вида P(и) лежат на внутренней линии. Эта линия касается внешней границы "пули" в точке М, поскольку лежит целиком внутри внешней линии и проходит через М.
Ожидаемая доходность P(и) равна
MR(и)= иM(ri)+(1-и)M(rM), (19)
а стандартное отклонение
у(и)=. (20)
Вычислим, как ожидаемая доходность и дисперсия зависят от параметра и. Если продифференцировать выражения (19), (20) по и, мы получим
Отношение этих двух производных, вычисленное в точке и = 0, даст наклон внутренней линии в точке М. Поскольку эта внутренняя "пуля" касается внешней "пули" в точке М, то она касается в точке М и прямой, проходящей из rf через М. Отсюда получаем:
Решая это уравнение, получим
Коэффициент вi=уiM / уM2 называется "бета" актива i.
Приведенное уравнение определяет Security Market Line (SML). Оно показывает, что в равновесии ожидаемая доходность M(ri) актива i связана с ожидаемой доходностью рыночного портфеля M(rM) через цену риска, л' = (M(rM)-rf) < ум, задающую наклон прямой CML. Выражение в квадратных скобках есть превышение ожидаемой доходности рыночного портфеля над безрисковой доходностью. Модель определения цен основных активов (САРМ) предполагает, что избыточная доходность актива I, равная M(ri)-rf, должна быть пропорциональна избыточной доходности рыночного портфеля, где коэффициентом пропорциональности служит "бета" актива.
В терминах рыночной цены риска уравнение SML переписывается следующим образом:
В такой записи SML в равновесии есть функция, линейная по ковариации актива с рыночным портфелем и по "рыночной цене риска", определяемой в этом случае как
л=(M(rM)-rf ) /.
15. Практическое задание
Составить оптимальный портфель из следующих 4 ценных бумаг:
1. Вексели на 1000 руб. под r = 15 % на 2 года. Момент учёта tуч - равномерно распределённая величина от 0,5 до 1,5 лет, а учтенная ставка d - от 10 % до 25 %.
Корреляция между tуч и d равна K( tуч, d) = -0,5.
2. Привилегированные акции PV = 10 000 руб. Регулярные ежемесячные платежи A = 100 руб. Вероятность прекращения выплат на n-м платеже, распределённом нормально с m = 50 месяцев, у = 20 месяцев.
3. Ссуды в размере PV = 1000 руб. на срок t; t - равномерно распределенная величина на интервале [0,5;5] лет. Возвращаемая сумма равномерно распределена на интервале [0;5000] по треугольному закону, корреляция равна 0,8.
4. Двойное конвертирование валютного капитала PV=1000 $ на рублёвом вкладе. Ставка по рублёвому вкладу rруб = 15 %, срок - 1 год. Курс продажи доллара вначале 27 руб/$. Планируемый курс покупки в конце срока вклада нормально распределен с m = 28 руб/$ и у = 10 руб/$.
16. Лабораторные задания
1. Начальная цена векселя 1000 руб. Срок погашения 2 года. Момент учета 1,5 года. Процентная ставка по векселю 15 % сложных годовых. Банк учтёт вексель по сложной учётной ставке от 10 % до 25 % годовых. Найти эффективность и риск векселя.
2. Инвестиционный проект требует 10 000 $. Сумма к возврату FV и срок возврата t - независимые случайные величины, равномерно распределённые в квадрате [10 000; 30 000] x [1; 3]. Найти эффективность и риск инвестиционного проекта.
3. Инвестиционный проект требует 10 000 $. Сумма к возврату FV и срок возврата t имеют ковариационную матрицу .
Оценить эффективность и риск инвестиционного проекта методом моделирования.
4. Добавить к ценным бумагам из задачи п.9 безрисковую ценную бумагу с эффективностью 90% от эффективности портфеля с минимальным риском.
1. Найти рыночный портфель.
2. Определить рыночную цену риска и уравнение прямой CML.
3. При условии, что структура рыночного портфеля постоянна во все моменты времени, найти коэффициенты "бета" для каждой ценной бумаги.
11. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Markowitz H.M. Portfolio selection // Finances. 1952. // V.7, №1.
P.77-91.
2. О'Брайен Дж. Финансовый анализ и торговля ценными бумагами / Дж. О'Брайен, С. Шривастава. М.: Дело Лтд, 1995. 207 с.
3. Первозванский А.А. Финансовый рынок: расчет и риск / А.А. Первозванский, Т.Н. Первозванская. М.: Инфра, 1994. 192 c.
4. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике / В.В. Быков. М.: Советское радио, 1971. 328 с.
5. Малыхин В.И. Финансовая математика / В.И. Малыхин. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. 237 c.
6. Лавров К.Н. Финансовая аналитика. MatLab 6 / К.Н. Лавров, Т.П. Цыплякова. М.:ДИАЛОГ-МИФИ, 2001. 368 c.
7. Воронцовский А.В. Управление рисками : учебное пособие / А.В. Воронцовский. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2000. 458 с.
Подобные документы
Рассмотрение понятий и форм финансовых инвестиций. Исследование понятия портфеля ценных бумаг и его классификации. Рассмотрение методов оценки риска и доходности финансовых активов. Формирование портфеля ценных бумаг, оценка его доходности и риска.
дипломная работа [4,9 M], добавлен 03.05.2018Понятие финансовых инвестиций. Определение доходности ценных бумаг. Основные формы финансового инвестирования. Доходность акций, облигаций и векселей. Ценные бумаги как разновидность финансовых инвестиций. Эффективное управление капиталом предприятия.
курсовая работа [42,6 K], добавлен 26.10.2009Определение инвестиций как совокупности долговременных затрат финансовых, трудовых и материальных ресурсов с целью получения прибыли. Особенности управления денежными вкладами предприятия. Измерение риска портфельных инвестиций и доходность ценных бумаг.
курсовая работа [409,7 K], добавлен 21.01.2011Характеристика финансовых инвестиций: вложение средств в финансовые инструменты с преобладанием ценных бумаг с целью получения дохода (прибыли) в будущем. Порядок формирования портфеля ценных бумаг. Особенности денежных потоков финансовых инвестиций.
реферат [22,9 K], добавлен 15.05.2011Оценка абсолютной и относительной эффективности инвестиций. Величины чистого денежного потока. Основные нормы текущей доходности. Моделирование инвестиционного портфеля. Рынок ценных бумаг. Основные показатели доходности вложений в ценные бумаги.
реферат [292,2 K], добавлен 22.07.2011Сущность финансовых инвестиций как активной формы эффективного использования временно свободного капитала предприятия. Доходность ценных бумаг - отношение годового дохода по ценной бумаге к ее рыночной цене. Инвестиционный портфель ценных бумаг.
контрольная работа [32,3 K], добавлен 10.01.2008Понятие финансового портфеля ценных бумаг и оценка эффективности инвестиций в акциях и облигациях. Формирование портфеля, основанное на анализе нормы дохода и риска по отдельным финансовым инструментам. Управление финансовым портфелем, его доходность.
курсовая работа [181,9 K], добавлен 17.12.2013Понятие портфеля ценных бумаг, его виды и основные принципы формирования. Модель ценообразования на основной капитал: применение парного регрессионного анализа. Вывод линейной зависимости между риском и прибылью. Составление оптимального портфеля.
дипломная работа [339,5 K], добавлен 19.05.2013Роль денежного оборота и денежного потока в экономике. Взаимосвязь платежного, денежно-платежного оборота и денежного. Закон денежного обращения. Типы и процессы выпуска денег в оборот и изъятие из оборота. Анализ показателей денежного оборота РФ.
курсовая работа [426,0 K], добавлен 08.04.2014Экономическая сущность и роль ценных бумаг. Финансовые инструменты, используемые на рынке ценных бумаг. Доходность ценных бумаг и модели оценки акций. Принципы оценки стоимости облигаций и индексы на рынке ценных бумаг. Опционы, фьючерсные сделки.
учебное пособие [606,1 K], добавлен 15.01.2009
