Размещено на http://www.allbest.ru/

19

Санкт-Петербургский государственный университет

Выпускная квалификационная работа

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ИНВЕСТИЦИОННОЙ ПРИВЛЕКАТЕЛЬНОСТИ ЦЕННЫХ БУМАГ

ДЕГТЯРЕВ Кирилл Андреевич

Научный руководитель: д.ф.- м.н.,

профессор ХОВАНОВ Николай Васильевич

Санкт-Петербург 2018



Оглавление

инвестиционный привлекательность акция стоимость

Введение

1. Теоретическая часть оценки инвестиционной привлекательности акций

1.1 Методы оценки акций

1.2 Выбор мультипликаторов для сравнительной оценки акций

2. Математические методы для оценки инвестиционной привлекательности акций

2.1 Кластерный анализ для разделения компаний на группы для сравнения

2.2 Метод рандомизированных показателей с использование экспертной информации для составления интервальных оценок стоимости акций

3. Практические расчеты инвестиционной привлекательности ценных бумаг

3.1 Выделение кластеров для выявления компаний-аналогов

3.2 Расчет инвестиционной привлекательности акций

3.3 Сравнение расчетный оценок с фактическими значениями акций

Заключение

Список использованной литературы



Введение

Одной из главных задач на финансовом рынке является выбор наиболее инвестиционных привлекательных ценных бумаг, т.е. таких бумаг, стоимость, которых в обозримом будущем при прочих равных условиях будет расти быстрее остальных. Теоретическая и практическая часть, приведенная в работе, рассматривается и рассчитывается на примере обыкновенных акций. В оценке акций компаний огромную роль играет множество факторов, каждый из которых по-разному влияет на оценку перспективы роста той или иной компании.

В то же самое время, аналитику приходится тратить много сил и времени, чтобы проанализировать большой массив информации и принять инвестиционное решение. Время, как известно, особенно на бирже - очень ценный ресурс.

Разрешить эту проблему в работе предлагается с помощью математического аппарата для анализа инвестиционной привлекательности акций на основе сравнительного подхода к оценке рыночных активов.

Для понимания принципов оценивания акций необходимо разобраться в том, как принято оценивать ценные бумаги и выбрать наиболее подходящий способ, который бы учитывал множество факторов, влияющих на значение котировок ценных бумаг. Только после такого исследования можно приступить непосредственно к практической части, где будет рассчитана теоретическая привлекательность акций и результаты будут сравнены с фактической ситуацией на фондовом рынке.

Таким образом, актуальность выбранной темы работы не вызывает сомнений и вызывает интерес.

Целью исследования является оценка инвестиционной привлекательности акции на примере российских компаний. В соответствии с целью поставлены следующие задачи:

Ш Определение и выбор факторов, оказывающих влияние на котировки акций

Ш Определение этапов анализа рынка для множества компаний

Ш Практическая реализация данного похода с помощью расчета теоретической оценки инвестиционной привлекательности акций

Ш Объяснение этих результатов и сравнение с фактическими данными

Объектом исследования является рынок ценных бумаг.

Предметом исследования - изменение стоимости акций под воздействием различных факторов.

Методологической основой работы являются труды и учебники российских и иностранных авторов, посвященные исследованию рынка ценных бумаг, а также сопутствующим математическим методам.

Работа представлена в трех главах. В первой рассматривается теоретические аспекты фундаментального сравнительного анализа. Во второй рассказывается подробно математические методы, позволяющие рассчитать инвестиционную привлекательность ценных бумаг. В последней главе на основе теории, приведенной в первых двух главах, производятся расчеты для трех акций и объясняются результаты.



1. Теоретическая часть оценки инвестиционной привлекательности акций

1.1 Методы оценки акций

Выделяют два вида инвестиционной оценки обыкновенных акций: оценка дисконтированных денежных потоков, сравнительный подход [2, с. 14]. В работе произведем оценку инвестиционной привлекательности акций с точки зрения сравнительного подхода, однако рассмотрим теоретические аспекты и остальных подходов.

Существует несколько групп моделей, оценивающих акции с помощью денежных потоков. Одна из них строится на предположении о том, что дисконтированная стоимость дивидендных выплат составляет ценность акций. Общая теоретическая конструкция выглядит следующим образом:

где - ожидаемые дивидендные выплаты в момент времени

- ставка капитализации (стоимость собственного капитала)

- цена акции в настоящий момент времени

Ставка капитализации определяется из модели CAPM как бета коэффициент. Поскольку невозможно рассчитать текущую котировку акции из предположения о бесконечных дивидендных выплатах, существуют несколько моделей, основанных на дивидендных выплатах, которые различаются методом расчета приведенной стоимости на каждом этапе жизни предприятия.

Самая элементарная модель из этой группы - модель роста Гордона, которая исходит из предположения о том, что компания находится в состоянии устойчивого роста, т.е. когда прибыли остается на то, чтобы выплачивать дивиденды, а не реинвестировать ее полностью, как это происходит у молодых компаний.

Оценка цены акции по модели роста Гордона[4, с.53]:

где - ожидаемые дивиденды в следующем году

r - ожидаемая отдача от капитала от инвестиций в похожий актив[14, с. 692]

- постоянные темп роста дивидендов на неограниченном промежутке времени

Постоянные темп роста не означает, что приращение дивидендов всегда будет постоянным, а лишь означает, что в долгосрочной перспективе все приросты стремятся к одному значению и небольшие колебания темпов роста дивидендов мало влияют на общую картину. Также темпы роста дивидендов не могут превышать стоимость собственного капитала, и это вполне логично, ведь дивиденды не могут вырасти в среднем за все периоды на величину, превышающую стоимость капитала. С другой стороны, темпы роста дивидендов не могут быть равны или очень близки к значению ставки капитализации, поскольку значения в таком случае будут сильно завышены.

Усложнением модели роста Гордона можно считать двухфазную модель дисконтирования дивидендов[2, с. 436]. Данная модель предполагает, что вначале молодая компания, набирающая обороты, тратит практически всю прибыль на расширение производства и растет нестабильными темпами. Затем компания выходит на определенный уровень роста и начинает выплачивать установленный процент от прибыли.

Двухфазная модель дисконтирования доходов для периодов:

где - приведенная стоимость дивидендных выплат на стабильном этапе жизни компании.

Двухфакторную модель можно будет расширить до трехфакторной, добавив третий этап - переходный, в котором будут уменьшаться темпы прироста прибыли от начального этапа до последнего, в котором темпы прироста прибыли будут установлены на одном уровне [2, с. 452].

Основным недостатком этих групп моделей заключается в том, что аналитику приходится точно определить части роста компании, политика в отношении выплат дивидендов, рискованность актива по сравнению с другими похожими активами. Во-вторых, модель оценки акций с помощью дисконтированных дивидендных выплат недооценивает компании, которые, несмотря на то что компания перешла в фазу устойчивого роста, оставила коэффициент выплат дивидендов прибыли на прежнем уровне.

К другой группе методов оценки акций с помощью дисконтирования денежных потоков относится методы дисконтирования собственного капитала. Главное различие между этой группой методов и предыдущей заключается в том, что в этой дивидендные выплаты заменяются на свободные денежные потоки(FCFE), а , которое раньше выступало в качестве постоянных темпов роста дивидендных выплат, заменяется на темпы роста FCFE.

Формула FCFE[2, с. 466]:

Так модель постоянного роста Гордона с дивидендами станет моделью FCFE с постоянным ростом:

Подводя итог по оценки акций по моделям дисконтирования денежных потоков, можно понять, что оценка будет сильно зависеть от того, насколько хорошо оценил все риски(ожидаемую отдачу капитала) компании, а также оценил верно темпы роста соответствующих денежных потоков и жизненных циклов компаний. К недостатку модели можно отнести трудоемкость расчета ставки дисконтирования.

Другим походом к оценки инвестиционной привлекательности акций является сравнительная оценка. При таком подходе оценка производится на основе сравнения показателей компании, которые влияют на капитализацию, с показателями других компаний, которые являются сравнимыми по ряду признаков, а с другой стороны, сами оценены по этим показателям справедливо. Таким образом, оценка инвестиционной привлекательности в этом случае сводится к оценке недооцененности акций.

Сравнительный анализ предполагает, что у каждого финансового актива есть своя справедливая цена (fair value), которая складывается под воздействие множества причин(фундаментальных характеристик). Основной задачей аналитика, пользующегося сравнительным анализом, состоит в том, чтобы отыскать недооцененный актив, который реализует скрытый в нем потенциал в виде роста стоимости этого актива. Понять, где скрыт такой потенциал при анализе помогают компании-аналоги. Но как понять, какие компании можно считать подходящими для сравнения? По этому вопросу нет единого мнения. Одна часть исследователей говорит о том, что компания оцениваемая и компании-аналоги должны быть из одного сектора [1, с. 350],[14, c. 689 ], другая же часть предлагает альтернативные способы выбора компаний-аналогов. Один из таких альтернатив предложил исследователь А.Домодоран[2, с. 620]. По его мнению, сопоставимой фирмой может являться такая фирма, у которой денежные потоки, потенциал роста и риск аналогичны. В качестве оценки денежных потоков было предложено использование ROE, риска - коэффициента бета, а для потенциала роста - ожидаемые темпы роста прибыли на одну акцию. В качестве метода отбора компаний для сравнения были предложены методы кластерного анализа. Преимуществом такого подхода является то, что например в России финансовый небольшой и не для всех компаний получается выбрать компании-аналоги. Примером такой отрасли может выступать сектор недвижимости, который мало представлен на торговой бирже. С другой стороны, данный метод выглядит логичнее, если принять во внимание, что при выборе цели для инвестирования аналитик рассматривает мультипликаторы по рынку в целом, а не фокусирует свое внимание на одной какой-то отрасли. Сравнение традиционного подход и альтернативного будет приведено в третьей главе работы.

1.2 Выбор мультипликаторов для сравнительной оценки акций

Фундаментальными переменами, которые формируют капитализацию, принято в основном считать прибыль, балансовую стоимость и[14,c. 688, 693]. На основе них принято рассчитывать различные мультипликаторы, т.е. соотношение цены одной обыкновенной акции и фундаментальной переменной. Обсудим некоторые особенности расчета мультипликаторов.

Соотношение (цена/прибыль) характеризуется следующей формулой:

Данный показатель является самым распространенным мультипликатором среди всех остальных мультипликаторов и характеризует, сколько рублей рыночной стоимости в текущей момент генерирует 1 рубль полученной прибыли.

Соотношение цена-прибыль может быть разным даже для одной и той же компании. Во-первых, понятие рыночной капитализации, приходящейся на одну акцию можно понимать по-разному. Цена акции может рассчитываться как цена закрытия за год, за квартал, за месяц или некоторые аналитики могут ее брать как среднюю за предшествующий период. Поэтому, если происходит сбор данных для расчетов мультипликаторов из разных источников, следует убедиться, что данные посчитаны по одной методике. Во-вторых, для компаний с отрицательной прибылью показатель P/E не будет иметь экономического смысла, однако, если убрать такую компанию из компаний-аналогов приведет к смещению значений среди всех остальных оставшихся значений. Выходом из такой ситуации может стать корректирование среднего значения мультипликатора P/E по всем компаниям, выбранным для сравнения, либо расчет общего показателя цена/прибыль сложенного из оценки собственного капитала и чистого дохода(убытка) для всех компаний[2, с. 616]

Следующим распространенным показателям является мультипликатор построенный на выручке. Соотношение цена/выручка(P/S) рассчитывается следующим образом:

Приведенное выше соотношение показывает, сколько рублей капитализации генерирует 1 рубль выручки. В отличии от всех остальных мультипликаторов, P/S наименее подвержен манипулированием бухгалтерскими методами (политика начисления амортизации, учет запасов, расходы на НИОКР), т.к. выручка однозначно определяется для каждой компании. К недостатку можно отнести то, что по данному показатель трудно сопоставить рыночную капитализацию между компаниями из разных секторов экономики из-за различающейся величины маржи прибыли.

Третьим общепринятым для сравнительной оценки мультипликатором выступает цена/балансовая стоимость(P/BV), который рассчитывается как:

Балансовая стоимость СК рассчитывается следующим методом[6]:

Расчет данного мультипликатора, как и предыдущего(P/S) сильно зависит от методологии бухгалтерского учета, ведь, выручка и балансовая стоимость активов сильно разнятся между разными подходами к бухгалтерскому учету.

Рассмотрим теперь менее популярные мультипликаторы, которые могут встречаться при сравнительном анализе рынка акций. Соотношение EV/EBITDA[2, с. 669] в отличии от предыдущих показателей призван оценить не капитализацию компании, а ее - ценность.

Преимуществ такого мультипликатора можно выделить несколько. Во-первых, из-за того, что данный показатель можно рассчитать для любой компании даже с отрицательной прибылью, в отличие от P/E, и он будет иметь экономический смысл. Во-вторых, разные методы начисления амортизации могут привести к искажению мультипликаторов, основанных на прибыли, выручке или балансовой стоимости активов. В-третьих, фирмы из-за того, что EBITDA включает сумму долга, можно сравнивать с разными уровнями финансового рычага.

Следующим мультипликатором, использующемся в сравнительном анализе, где в числителе находится ценность предприятия является соотношение ценность/объем продаж(EV/S). Ключом к понимаю данного показателю, как и к P/S, является определение помимо характеристик, которые были выделены при выборе компаний-аналогов в параграфе 1.1(риск, денежные потоки, потенциал роста), еще и маржи прибыли. Несоответствие маржи прибыли при сопоставлении капитализаций компаний поэтому показатели приведет к искажению результатов оценки [2, с.742].

Последним мультипликатором, который следует упомянуть, является ценность компании/балансовая стоимость собственного капитала(EV/PB), который рассчитывается по следующей формуле [2, с. 711]:

Преимуществом по сравнению с показателем заключается в том, что в случае превышения долга над балансовой стоимостью мультипликатор не имеет экономического смысла, а можно всегда рассчитать.

После приведения всех мультипликаторов остается правильно выбрать из них подходящие для оценки инвестиционной привлекательности акций. При классическом подходе к сравнительному анализу есть два подхода к оценке. Первый заключается в том, что инвестор рассчитывает по каждому из мультипликаторов оценку стоимости акций и выносит суждение о правильности какой-либо оценки исходя из своих знаний и опыта о финансовом рынке и о компании, в частности. Второй же заключается в том, что инвестор выводит цену акции из усредненной оценке по всем мультипликаторам.

Первым недостатком таких подходов можно считать то, что оценки в результате получаются точечными, т.е. невозможно оценить разброс значений, который получается в результате оценки по разным мультипликаторам. Другим недостатком можно считать и то, что весь набор компаний-аналогов, отобранный для оцениваемой компании, неоднороден, т.е. оценка, полученная по какой-либо компании из набора, имеет больший вес в глазах эксперта чем по другой[3]. Также, в глазах аналитика, было бы лучше не просто усреднять оценку по всем мультипликаторам или выбирать какой-либо один для выведения стоимости капитализации, а придать каждому мультипликатору весовой коэффициент.

Приведенные выше проблемы подходов сравнительной оценки можно разрешить с помощью двойной рандомизации весовых коэффициентов как для фирм, так и для мультипликаторов, на основе экспертной информации от аналитиков [10],[3]. Подробнее о методе рандомизированных показателей будет рассказано во второй части второй главы, а его практическая реализация на примере сравнительной оценки акций - в третьей главе.



2. Математические методы для оценки инвестиционной привлекательности акций

2.1 Кластерный анализ для разделения компаний на группы для сравнения

Кластерный анализ также может называться сегментирование данных [17]. У данного статистического метода много возможных целей, которые он может разрешить, однако его главное предназначение заключается в том, чтобы сгруппировать набор данных таким образом, чтобы внутри кластера элементы были ближе друг к другу, по сравнению с тем, как близко находится элементы из разных кластеров.

Для начала дадим определению кластерному анализу, как части методу обучения без учителя[13]. Для лучшего понимания данного термина, можно привести один из методов обучения с учителем известного по курсу эконометрики - регрессионный анализ. В нем необходимо научиться предсказывать значения на основе экзогенных переменных , т.е. необходимо найти правильное отображение . Предсказания строятся на обучающейся выборке , где известно совместное распределение. Ошибка прогноза, которая необходима для корректировки обучения, рассчитывается функцией потерь:

Если предположить то, что набор имеет совместную плотность распределения , тогда задачи с учителем можно рассмотреть, как оценку параметров условного распределения . Формально оценку параметров в задачах можно задать так [14]:



На тех же принципах строится оценки МНК в задачах регрессии. Следовательно, задачей обучения без учителя, к чему относится кластеризация, состоит в том, чтобы на основании наблюдений с совместным распределением найти некоторые параметры этого распределения без обучающей выборки с правильными ответами .

Важным понятием для кластерного анализа выступает мера расстояния, т.е. с помощью которой можно определить насколько близко или наоборот отдалены объекты друг от друга. Мерой расстояния могут быть[13]:

Где (14) - евклидово расстояние, (15) - манхэттенское расстояние, (16) - расстояние Минковского

Входными данными для алгоритмов кластеризации выступает матрица близости [17, с. 517], которая показывает меру близости между парой объектов. Расчет для такой матрицы производится следующим способом:

Где рассчитывает по одной из формул (14), (15), (16).

Основные методы кластерного анализа можно разделить на два типа: комбинаторные алгоритмы, алгоритмы, построенные на плотности. К первым относятся алгоритмы, в которых не закладываются вероятностные модели. Соответственно, ко второй группе относят алгоритмы, которые построены на предположение о наличие некоторой плотности распределения.

Рассмотрим несколько методов кластеризации, с помощью которых будем выбирать компании-аналоги для оцениваемых компаний.

Метод К-средних(K-means)

Метод K-means является одним из наиболее используемых методов кластеризации. Данный метод относится к группе комбинаторных алгоритмов. Основная идея K-means заключается в минимизации функционала внутрикластерного расстояния:

Где - центра -го кластера.

Полный алгоритм K-средних можно представить в четыре шага [17]:

0. Случайным образом выбирается центры кластеров

1. Объекты кластеризуемого множества соотносятся к каждому центру по формуле:

2. Пересчет центр кластеров:



Где - число элементов в -м кластере.

3. Шаг 1 и 2 повторяются до тех пока центры на -м шаге и не совпадут

Непосредственно перед запуском алгоритма K-средних необходимо выяснить, существуют ли в данных вообще кластеры и как много.

Тест Хопкинса

Чтобы понять, существуют ли кластеры в данных используют статистику Хопкинса[22], которая реализуется в 4 шага:

1. Рассчитывают расстояние для каждой точки , где ( - некоторая выборка -го размера из всех данных) до каждого ближайшего объекта, чтобы определить ближайшие вектора, можно воспользоваться метрическим классификатором, например методом ближайшего соседа[17 C. 14].

2. Генерация случайных векторов из стандартного нормального распределения такой же размерностью, что и , в таком же количестве, что и выборка D.

3. Расчет расстояния , как расстояние от сгенерированных векторов до ближайшего вектора из реальных несгенерированных ранее данных.

4. Расчет статистики Хопкинса(H):

Если данная статистика примерно равна 0,5, то это означает, что данные разбросаны случайно и в них не кластеров. В случае, если , то данные однородны, т.е. нет кластеров, можно сказать, что все данные - это один большой кластер. При приближении значении статистики к 1, можно говорить, что в данных с высокой долью вероятностью есть кластеры. Так например, значения выше 0,75 показывают, что с 90% вероятностью в данных есть кластеры[22].

После теста Хопкинса на наличие кластеров в наблюдениях необходимо вычислить необходимое число кластеров .

Коэффициент силуэта[коэффициент силуэта]

Данная статистика показывает, насколько хорошо каждый вектор относится к своему кластеру, а не к другому. Алгоритм действия такой:

1. Производится кластеризация одним из методов кластеризации, например метод к-средних, раз и каждый раз с разным числом кластеров.

2. Рассчитываем как среднюю величину близости между всеми объектами внутри своего кластера

3. Рассчитываем как минимальную среднюю величину близости между объектами из разных кластеров.

4. Рассчитываем тестовую статистику :

Нетрудно догадаться, что данная статистика варьируется от -1 до +1. Значения близкие к -1, означают, что объекты в целом неправильно соотнесены с их кластерами, что означает, что следует поменять количество кластеров. Значения близкие к 1 говорят, нам о том, что выбрано правильное число кластеров.

В выборе числа кластеров также помогает, визуализация, сделанная на основе коэффициента силуэта [Рис 1][Рис 2]:



Рис. 1 Визуализация коэффициента силуэта для 3-х кластеров

Рис. 2 Визуализация коэффициента силуэта для 4-х кластеров

На осях [рис. 1], [рис. 2] отмечаются значения статистики коэффициента силуэта, а на осях Y отмечаются порядковые номера объектов кластера. Внутри каждого кластера порядковые значения векторов отсортированы в порядке убывания. Исходя из рисунков, приведенных выше, предпочтительным является кластеризация с использованием 3-х кластеров, т.к. при одинаковых средних значениях коэффициента силуэта, в случае с 3-мя кластерами разброс значений тестовой статистики от среднего значения (красная пунктирная линия) выглядит не таким большим, как в случае с 4-мя кластерами.

Метод локтя (Elbow method)

Другим методом определения числа кластеров является метод локтя (Elbow method) [23]. Данные метод предлагает графический метод определения числа кластеров:

1. Кластеризация данных для разного числа кластеров .

2. Для каждого кластера от 1 до рассчитывается внутрикластерная сумма квадратов (wss)

3. Построение графика, где на оси абсцисс отмечается число кластеров от 1 до k, на оси ординат соответствующее значение wss.

4. Число по оси абсцисс, где наблюдается сильный перегиб на графике, является рекомендуемым числом кластеров

Логика 4 шага алгоритма объясняется тем, что дополнительное увеличение кластеров хотя бы на 1 шт. не приведет к сильному уменьшению внутрикластерному расстоянию(wss).

Хотя метод локтя очень прост при построении и анализе, к результатам такого подходя следует относится с осторожность, поскольку у данного метода нету формальных критериев выбора оптимального числа кластеров, кроме, как на глаз. Elbow метод желательно использовать совместно с коэффициентом силуэта.

Иерархичная агломеративная кластеризация

Иерархичная агломеративная кластеризации, в отличие от метода k-means не требуется на входе в алгоритм знать заранее число кластеров. Вместо этого, данный метод строит кластеризацию для любого числа кластеров где - число объектов в данных. Главная идея заключается в том, что в начале работы алгоритма, число кластеров равно числу объектов, т.е. каждый объект находится внутри отдельного кластера. Затем происходит расчет по одной из метрических классификаций, например метод ближайшего соседа, наиболее близких объектов и объединение их в один кластер[17, с. 523]:

Такая же процедура происходит и в последующем уже с группами кластеров. Алгоритм завершится, когда все объекты будут объединены в один большой кластер. Методы определения количества необходимого количества кластеров не отличаются от метода K-means.

2.2 Метод рандомизированных показателей с использование экспертной информации для составления интервальных оценок стоимости акций

Для оценки акций с помощью сравнительного анализа введем следующие обозначения:

Где ; M - общее число компаний, выбранных в качестве компаний-аналогов, N - число финансовых показателей, на основе которых строится оценка акций

Причем

Модель рандомизированных показателей подразумевает, что является случайной величиной[3]. Следовательно, рыночные мультипликаторы также являются случайными величинами, поскольку определяются через весовые коэффициенты :

Дадим оценку данной случайной величине, взяв от (28) математическое ожидание:

Также оценим разброс значений случайной величины с помощью стандартного отклонения:

Теперь на основе формул (29),(30),(31) можно вывести интервальную оценку мультипликатора:

Следует также затронуть проблему генерации значений случайной величины из предпочтений экспертами той или иной компании. Такая генерация осуществляется перебором всех значений с шагом в (M-1)-мерном симплексе[3][10]. Количество элементов в таком массиве определяется по формуле:

Такой массив упорядочивается в лексикографическом порядке [Шень, программирование] и из него отбираются только те вектора, которые прошли отбор в зависимости условий, которые выдвинули эксперты. Генерация несколько значений такого массива в лексикографическом порядке с шагом [Таблица 1]:

Таблица 1

3-x мерный массив в отсортированном лексикографическом порядке

0 0 1
0 0,01 0,99
0 0,02 0,98
0 0,03 0,97
0 0,04 0,96
0 0,05 0,95

После такой генерации можно рассчитать выборочную дисперсию весовых коэффициентов , а также ковариацию .

После оценки мультипликаторов можно непосредственно приступить к оценке акционерного капитала. Для начала оценим его по каждому мультипликатору:

Где - значение -го финансового показателя, - капитализация компании по -му показателю.

Также, как и для оценки мультипликатора, найдем математическое ожидание и дисперсию :

Далее произведем оценку капитализации компании на основе предпочтений аналитиков того или иного мультипликатора:

Где - весовой коэффициент, который показывает предпочтения одних мультипликаторов над другими. Генерация и отбор значений происходит тем же способом, что и коэффициент .

Перейдем к последней части алгоритма - интервальной оценки акционерного капитала. Для этого рассчитаем математическое ожидание :

Рассчитаем дисперсию [3]:

Интервальная оценка акционерного капитала равна:



3. Практические расчеты инвестиционной привлекательности ценных бумаг

3.1 Выделение кластеров для выявления компаний-аналогов

Для кластерного анализа возьмем все акции, которые находятся в базе расчетов отраслевых индексов Московской биржи [19] [Приложение Таблица 1]. Для каждой компании, в соответствии с выбранной нами методологии отбора компаний-аналогов в главе 1, параграфе 1.1, нам нужны 3 характеристики:

· ROE (показатель оценки сопоставимых денежных потоков);

· Коэффициент beta (мера риска)

· Прирост EPS (как мера оценки сопоставимых потенциалов роста)

Всего в выборке получилось 117 компаний и поиск приведенных выше показателей даже из какой-либо единой базы данных является очень долгим процессом. Однако, некоторые базы данных имеют API, чтобы была возможность подключится и удобно выгружать большие массивы данных. Показатели брались из терминала Bloomberg, к которому была подключена среда разработки Matlab. Пример кода для выгрузки данных, необходимых для кластеризации можно посмотреть в Приложении Рис. 1.

Все показатели были рассчитаны в одной валюте(RUB), по одинаковой методике ведения бухгалтерского баланса и все показатели годовые за 2017 год. Следующим шагом после сбора данных является проведение рядов статистических тестов для выявления правильного числа кластеров. К сожалению, у многих компаний не оказалось показателя delta EPS. Это связано, с тем, что delta EPS рассчитывается, как темп прироста прибыли, прогнозируемый на одну акцию, т.е. для компании должен быть сделан прогноз денежных потоков экспертом. Такие прогнозы, как правило, на российской бирже составляется только для наиболее крупных компаний(1, 2-го эшелона). После удаления компаний с недостающими данными, фирм осталось 52[Таблица 2].

Таблица 2

Расчетные данные для кластерного анализа по российским компаниям за 2017 год

Компания	delta EPS	ROE	коэф. Beta
ALRS	-4,6174034	30,284	0,9364938
CHMF	21,0365854	48,303	1,056486
GMKN	44,9965636	70,796	0,9542816
MAGN	-2,970297	20,421	1,075453
NLMK	15	24,123	0,9951654
PLZL	6155,25217	133,29	0,5542659
POLY	24,5700246	30,771	0,4489596
RUAL	38,75	33,436	1,25046
LSRG	-14,194709	14,1	0,5071251
PIKK	1240,88652	33,033	0,435665
AGRO	63,7301739	9,226	0,5650912
DIXY	28,53	1,05	0,842112
GCHE	10,5264747	11,6	0,2854596
LNTA	17,5303118	19,07	0,6877242
MGNT	-5,2776611	14,282	0,7769477
MVID	-3,2417795	28,83	0,4694158
YNDX	34,0191511	23,895	1,042146
MFON	50,6044905	22,859	0,7430503
MTSS	7,78208827	51,642	0,9325507
RTKM	64,0930233	6,858	0,6072671
RTKMP	64,0930233	6,858	0,5955951
AFLT	24,102751	35,725	0,7738376
NMTP	-16	50,8	0,6499897
TRCN	-16,313994	10,7	0,4469087
BSPB	-1,717653	10,95	0,9789404
CBOM	-8,5365854	13,81	0,502198
MOEX	0,38953812	16,747	1,026703
QIWI	10,3409262	21,834	0,6779894
SBER	11,1336032	22,521	1,334304
SBERP	9,89878543	22,18	1,383254
VTBR	0	10,729	0,9050711
AKRN	12,7189388	19,5	0,4999736
PHOR	38,9928576	35,093	0,7565874
URKA	-12,561576	45	0,489901
AFKS	138,53211	-1,8	0,8870927
ENRU	-9,4650206	17,928	0,7177392
FEES	-29,850746	5,707	1,06839
HYDR	95	6,867	0,9356514
IRAO	6,08424337	11,333	0,8292792
MSNG	-23,831071	7,25	0,9213816
OGKB	36,9863014	7	1,153707
RSTI	-5,3030303	4,85	1,356592
TGKA	0	6,95	1,205692
UPRO	-45,155393	16,414	0,5861821
GAZP	-22,482664	6,5	1,101716
LKOH	10,9440323	13,345	0,9649673
NVTK	21,6952748	22,836	0,9279903
ROSN	98,4962047	10,788	0,9885552
TATN	18,2198809	19,306	1,089997
TATNP	-3,4061465	19,306	0,8440593
TRMK	161,538462	17,824	0,751836
TRNFP	-9,8120876	10,654	0,8889918

Расчеты производились на языке Python 3 в среде разработки JupyterLab.

Первым делом проводим тест Хопкинса(глава 2, параграф 2.1, с. 15), чтобы понять, есть ли кластеры в данных[Рис 2]. При тестировании использовался матричный классификатор метод ближайшего соседа. В Python данный классификатор вызывается функцией NearestNeighbors, встроенной в библиотеку sklearn.neighbors[32]



Рис. 2 Выкладка JupyterLab Python 3 по статистике Хопкинса

При тестировании мы берем 10% от выборки, поэтому, чтобы удостовериться в получившихся тестовых характеристиках, проведем данный тест несколько раз [Таблица 3]:

Таблица 3

Статистика Хопкинса при разных запусках

Порядковый номер запуска теста	Статистика Хопкинса
1	0,844457913
2	0,711414939
3	0,821377125
4	0,870251322
5	0,647108827

Среднее значение статистики равно 0,7789, что говорит о том, что с 90% вероятностью в данных есть кластеры.

Дальше нам необходимо выяснить число кластеров, которые лучше всего минимизируют сумму внутрикластерного расстояния. Для этого вначале воспользуемся графиком “локтя”[Рис. 3],[Рис. 4]:



Рис. 3 Выкладка из JupyterLab Python функции, строющая график локтя

Рис. 4 График локтя, рассчитанный по методу K-means для k = 1,..., 30

Для построения данной статистики необходимо рассчитать внутрикластерное расстояние по одному из методов кластеризации, в нашем случае K-means. В python есть встроенная функция KMeans из библиотеки sklearn.cluster[31]

Исходя из рис. 4 можно предположить, что самый большой перегиб наблюдается на и . Как уже было, сказано ранее в главе 2, к результатам Elbow method следует относится с осторожностью и проверять их с помощью других методов.Исследуем, количество кластеров, используя метод коэффициента силуэта[Рис. 4]. В качестве метода кластеризации используем метод к-средних для 2, 3, 4, 5 кластеров и представим визуализацию данного метода [Рис. 5], [Рис. 6], [Рис. 7], [Рис. 8].



Рис. 4 Алгоритм расчета среднего значения коэффициента силуэта

Рис 5 Иллюстрация коэффициента силуэта для 2-х кластеров



Рис. 6 Иллюстрация коэффициента силуэта для 3-х компаний

Рис. 7 Иллюстрация коэффициента силуэта для 4-х кластеров



Рис. 8 Иллюстрация коэффициента силуэта для 5 компаний

Как видно из рисунков 5 - 8, самыми большими средними коэффициентами силуэтов обладают выборки с 2 и 3 кластерами, однако в случае с 2 кластерами наблюдается и больший разброс значений коэффициента силуэта для объектов относительно среднего. Также можно заметить, что в иллюстрациях 2, 3, 5 встречается маленький кластер, который не изменяется в размерах даже при увеличении числа кластеров. Это может свидетельствовать о выбросах, аномально больших значениях. Убрав эти объекты из нашего анализа, мы можем улучшить наш кластерный анализ.

Таких объектов оказалось 2-е: PLZL(золотодобывающая компания полюс) со значениями(delta EPS = 6155,25217; ROE = 133,29; beta = 0,5542) и компания PIKK(девелоперская компания ПИК) со значениями (delta EPS = 1240,88652; ROE = 33,033; beta = 0,4356)

Построим заново графически коэффициенты силуэтов [Рис.9 ],[Рис. 10], [Рис. 11], [Рис. 12]:



Рис. 9 Иллюстрация коэффициента силуэта для 2-х кластеров

Рис. 10 Иллюстрация коэффициента силуэта для 3-х кластеров

Рис. 11 Иллюстрация коэффициента силуэта для 4-х кластеров

Рис. 11 Иллюстрация коэффициента силуэта для 5-х кластеров

Как видно из рис. 9 - 11, несмотря на небольшое уменьшения среднего значения коэффициента силуэта, отдельные значения теперь не так сильно разбросаны от среднего значения (красная пунктирная линия на рисунках). Особенно устойчиво выглядит кластеризация с k=3.

Проведем агломеративную иерархическую кластеризацию для того, чтобы выяснить особенности объектов при кластеризации другим методом. Агломеративная кластеризация удобно реализуема в python функцией linkage, встроенную в библиотеку scipy.cluster.hierarchy. Также построим дендрограмму [22][Рис. 12], чтобы удобней было понимать, как себя ведут кластеры при разном количестве. Агломеративную кластеризацию будем проводить при , чтобы сравнить распределение объектов по кластерам при у Kmeans и у Агломеративной кластеризации.

Размеры кластеров и распределение объектов по ним определяются методами Kmeans и агломеративной кластеризации одинаково, что говорит об устойчивости кластеризации [Таблица 4].



Таблица 4

Распределение по кластерам и отраслям российских компаний

	Company	delta EPS	ROE	beta	Cluster	Отрасль
0	ALRS	-4,6174	30,284	0,936494	2	Металлы и добыча
1	CHMF	21,03659	48,303	1,056486	0	Металлы и добыча
2	GMKN	44,99656	70,796	0,954282	0	Металлы и добыча
3	MAGN	-2,9703	20,421	1,075453	2	Металлы и добыча
4	NLMK	15	24,123	0,995165	0	Металлы и добыча
5	POLY	24,57002	30,771	0,44896	0	Металлы и добыча
6	RUAL	38,75	33,436	1,25046	0	Металлы и добыча
7	LSRG	-14,1947	14,1	0,507125	2	Недвижимость
8	AGRO	63,73017	9,226	0,565091	3	Потребительский сектор
9	DIXY	28,53	1,05	0,842112	0	Потребительский сектор
10	GCHE	10,52647	11,6	0,28546	0	Потребительский сектор
11	LNTA	17,53031	19,07	0,687724	0	Потребительский сектор
12	MGNT	-5,27766	14,282	0,776948	2	Потребительский сектор
13	MVID	-3,24178	28,83	0,469416	2	Потребительский сектор
14	YNDX	34,01915	23,895	1,042146	0	Потребительский сектор
15	MFON	50,60449	22,859	0,74305	3	Телекоммуникации
16	MTSS	7,782088	51,642	0,932551	0	Телекоммуникации
17	RTKM	64,09302	6,858	0,607267	3	Телекоммуникации
18	RTKMP	64,09302	6,858	0,595595	3	Телекоммуникации
19	AFLT	24,10275	35,725	0,773838	0	Транспорт
20	NMTP	-16	50,8	0,64999	2	Транспорт
21	TRCN	-16,314	10,7	0,446909	2	Транспорт
22	BSPB	-1,71765	10,95	0,97894	2	Финансы
23	CBOM	-8,53659	13,81	0,502198	2	Финансы
24	MOEX	0,389538	16,747	1,026703	2	Финансы
25	QIWI	10,34093	21,834	0,677989	0	Финансы
26	SBER	11,1336	22,521	1,334304	0	Финансы
27	SBERP	9,898785	22,18	1,383254	0	Финансы
28	VTBR	0	10,729	0,905071	2	Финансы
29	AKRN	12,71894	19,5	0,499974	0	Химия и нефтехимия
30	PHOR	38,99286	35,093	0,756587	0	Химия и нефтехимия
31	URKA	-12,5616	45	0,489901	2	Химия и нефтехимия
33	ENRU	-9,46502	17,928	0,717739	2	Электроэнергетика
34	FEES	-29,8507	5,707	1,06839	2	Электроэнергетика
35	HYDR	95	6,867	0,935651	3	Электроэнергетика
36	IRAO	6,084243	11,333	0,829279	2	Электроэнергетика
37	MSNG	-23,8311	7,25	0,921382	2	Электроэнергетика
38	OGKB	36,9863	7	1,153707	0	Электроэнергетика
39	RSTI	-5,30303	4,85	1,356592	2	Электроэнергетика
40	TGKA	0	6,95	1,205692	2	Электроэнергетика
41	UPRO	-45,1554	16,414	0,586182	2	Электроэнергетика
42	GAZP	-22,4827	6,5	1,101716	2	Энергоресурсы (Нефть и газ)
43	LKOH	10,94403	13,345	0,964967	0	Энергоресурсы (Нефть и газ)
44	NVTK	21,69527	22,836	0,92799	0	Энергоресурсы (Нефть и газ)
45	ROSN	98,4962	10,788	0,988555	3	Энергоресурсы (Нефть и газ)
46	TATN	18,21988	19,306	1,089997	0	Энергоресурсы (Нефть и газ)
48	TRNFP	-9,81209	10,654	0,888992	2	Энергоресурсы (Нефть и газ)

Визуализация кластеров на трехмерной плоскости выглядит следующим образом [Рис. 13]:

Рис. 13 Трехмерная визуализация кластеров

3.2 Расчет инвестиционной привлекательности акций

В качестве оцениваемых акций возьмем акции MAGN и NLMK, которые находятся в разных отраслях, при обе компании работают в сфере металл и добыча. В качестве компаний-аналогов будут взяты не все компании из одного кластера, а только компании, у которых акции входят в индекс голубых фишек [голубые фишки], т.е. акции, которые принадлежат наиболее надежным компаниям со стабильными финансовыми показателями.

Следующим этапом является выбор мультипликаторов на основе, которых с помощью методов рандомизации весовых коэффициентов будет дана интервальная оценка оцениваемых акций. Из-за специфики метода в качестве детерминанты капитализации следует взять либо прибыль, либо ценность компании, поскольку формулы (37),(38) обязывают в числителе иметь одинаковый показатель для всех мультипликаторов. В связи с тем, что мы отобрали компании по кластерам, т.е. учли сопоставимость компаний по денежным потокам, риску и потенциалу росту, будет правильным взять мультипликаторы P/E, P/S, P/BV. Данные для расчетов для компании из 2-го кластера MAGN приведены в таблице 5, для компании NLMK из 1-го кластера - в таблице 6.

Таблица 5

Расчетные характеристики для оценки инвестиционной привлекательности акций компании MAGN

Компании	Балансовая стоимость СК, млрд. руб.	Доходы, млрд. руб.	Расходы, млрд. руб.	Прибыль, млрд. руб.	Рын. Капитализация, млрд. руб.	P/E	P/S	P/BV
ALRS	428	275	198	77	552	8,63	2,3835	2,4599
MGNT	526	1143	1107	36	598	13,02	0,4049	1,9073
VTBR	13009	1343	1223	120	610	6,44	0,5062	0,838
IRAO	625	917	863	54	350	6,35	0,3757	0,7177
GAZP	18239	6546	5832	714	3 074	4,46	0,4872	0,2746
MAGN	456	440	371	69	473	7,14	1,1208	1,5453



Таблица 6

Расчетные характеристики для оценки инвестиционной привлекательности акций компании NLMK

Компании	Балансовая стоимость СК, млрд. руб.	Доходы, млрд. руб.	Прибыль, млрд. руб.	Рын. Капитализация, млрд. руб.	P/E	P/S	P/BV
CHMF	415	458	79	748,334	8,64	1,5404	3,2946
SBER	27112	2972	750	4858,79	6,69	1,664	1,4487
LKOH	5226	5475	419	2823,444	7,02	0,5358	0,841
NVTK	1044	583	156	2048,292	17,67	3,7238	2,8265
TATN	1107	681	123	1034,987	12,07	2,0467	2,0201
NLMK	633	587	85	884,54	9,25	1,403	2,0977

Вначале оценим инвестиционную привлекательность акций полностью без предпочтений компаний внутри кластера, либо без предпочтения какого-либо мультипликатора.

По формуле (29) из 2-й главы мы можем оценить математическое ожидание каждого мультипликатора, а с другой стороны, можем рассчитать разброс значений. Предпочтений по поводу копаний нет, поэтому мультипликаторы от всех фирм учитываются с одинаковым весом равным , где - количество компаний. Стандартное отклонение оценки мультипликатора рассчитывается по формуле (31). В качестве автоматизации расчёта была написана функция Du [Рис 14]:

Рис. 14 Функция для расчета стандартного отклонения мультипликатора

На вход функция Du получает множество значений мультипликаторов, рассчитанных по формуле (29). Covv(ковариационная матрица) и Dw(дисперсия) весовых коэффициентов можно получить из программы СППР ASPID-3W[ссылка на программу]. Условимся, что дальше мы будет использовать эту программу с шагом генерации 1/100. Covv для 2-го кластера равна [Таблица 7]:

Таблица 7

Ковариация весовых коэффициентов для компаний из 2-го сектора

WCOV(r,s)	w(ALRS)	w(MGNT)	w(VTBR)	w(IRAO)	w(GAZP)
w(ALRS)	0,028	-0,007	-0,007	-0,007	-0,007
w(MGNT)	-0,007	0,028	-0,007	-0,007	-0,007
w(VTBR)	-0,007	-0,007	0,028	-0,007	-0,007
w(IRAO)	-0,007	-0,007	-0,007	0,028	-0,007
w(GAZP)	-0,007	-0,007	-0,007	-0,007	0,028

Для 2-го кластера оценка рыночных мультипликаторов выглядит следующим образом [Таблица 8]:

Таблица 8

Оценка рыночных мультипликаторов для компаний-аналогов

Показатель	P/E	P/S	P/BV
Средне значение(Mean)	7,78	0,832	1,64
Стандартное отклонение(Std)	1,2274	0,32527	0,33984
Mean-Std	6,5526	0,50673	1,30016
Mean+Std	9,0074	1,15727	1,97984

Дальше нам необходимо, оценить капитализацию компании по различным мультипликаторам по формуле (34). Мат. ожидание капитализации компании в случае, когда нет предпочтений инвестора о значимости того или иного мультипликатора, рассчитывается как среднеарифметическое от оценки по показателям. Стандартное отклонение мультипликатора оценивается по формуле (35). Аналогично, как и для оценки стандартного отклонения мультипликаторов, был написан алгоритм для расчета стандартного отклонения акционерного капитала [Рис. 15]:

Рис. 15 Функция, рассчитывающая стандартное отклонение акционерного капитала

Для функции необходимы такие параметры, как:

· Dvl(дисперсия весовых коэффициентов мультипликаторов)

· Covv1(дисперсия между весовыми коэффициентами мультипликаторов)

· Sigm1(стандартное отклонение оценки капитализации компании по какому-либо показателю) рассчитывается по формуле (35)

· С1 (оценка акции по какому-либо мультипликатору)

· vl (среднее значение весового коэффициента мультипликатора )

Значения Dvl, Covv1 и vl определяются из программы СППР ASPID-3W[АСПИД].

Для 2-го кластера Dvl = {0,239; 0,239; 0,239};

Covv1 равен [Таблица 9]:



Таблица 9

Ковариационная матрица весовых коэффициентов мультипликаторов
WCOV(r,s)	w(P/E)	w(P/S)	w(P/BV)
w(P/E)	0,0572	-0,0286	-0,0286
w(P/S)	-0,0286	0,0572	-0,0286
w(P/BV)	-0,0286	-0,0286	0,0572

vl={0,3333; 0,3333; 0,3333};

Sigm1 = {84,6906;143,1188;154,96704} в случае, если массив оценок всех остальных показателей записаны в таком порядке: показатели связанные с прибылью, показатели связанные с выручкой и показатели связанные с балансовой стоимостью капитала.

Cl = {536,82; 366,08;747,84};

Наконец, получаем интервальную оценку капитализации компании MAGN [Таблица 10]:

Таблица 10

Оценка капитализации компании без дополнительной информации, млрд. Руб.

Оценка по отдельным показателям		Характеристики капитализации компании
Балансовая стоимость СК	Доходы	Прибыль	Средняя	Стандартное отклонение
747,84	366,08	536,82	550,2466667	502,5398

Оценку котировки обыкновенной акций можно рассчитать, посмотрев на объем выпуска акций обыкновенных[капитализация]. Для MAGN этот показатель по итогу 4-го квартала 2017 года равен 11174330000 шт. На таблице 11 представлена интервальная оценка акции MAGN:



Таблица 11

Оценка стоимости акций MAGN без использования экспертной информации, руб.

Средняя оценка	Нижняя граница	Верхняя граница
49,24202764	4,269326811	94,2147285

Из таблицы 11 видно, что интервал оценки очень велик и это помешает нам сделать взвешенное инвестиционное решение, поэтому нам необходимо привлечь экспертную информацию, чтобы сузить разброс стандартного отклонения.

Вводить экспертную информацию по поводу значимости отдельных компаний не имеет большого смысла. Во-первых, все акции компаний-аналогов входит в индекс голубых фишек, что подтверждает высокую ликвидность актива. Во-вторых, акции этих компаний сопоставимы по предпосылкам из кластерного анализа, т.е. по уровню риска, потенциалу росту и денежным потокам.

С другой стороны, кажется разумным ввести предпочтение мультипликатору P/E по сравнению со всеми остальными активами. Это можно объяснить тем, что на изменение прибыли инвестор больше обратит внимание, чем на изменение выручки или изменения балансовой стоимости капитала.

Изменение весомости P/E среди всех остальных мультипликаторов повлияет на оценку капитализации компании по разным мультипликаторам. Пересчитаем вначале среднее значение весовых коэффициентов мультипликаторов, а затем и их стандартное отклонение. Для этого при генерации значений весовых коэффициентов в программе CППР ASPID-3W укажем информацию, о большей предпочтительности мультипликатора P/E, т.е. ;

Новые характеристики по оценки весовых коэффициентов мультипликаторов:

Таблица 12

Весовые коэффициенты рыночных мультипликаторов компаний, полученные с использованием дополнительной информации

Мультипликатор	Вес	Станд. отклон
P/E	0,6172	0,143
P/S	0,1914	0,1254
P/BV	0,1914	0,1254

Перед тем как рассчитать новую оценку акционерного капитала по мультипликаторам, укажем новую ковариационную матрицу [Таблица 13 ]:

Таблица 13

Ковариационная матрица весовых коэффициентов мультипликаторов
WCOV(r,s)	w(P/E)	w(P/S)	w(P/BV)
w(P/E)	0,0205	-0,0102	-0,0102
w(P/S)	-0,0102	0,0157	-0,0055
w(P/BV)	-0,0102	-0,0055	0,0157

С обновленными данными мы можем рассчитать оценку капитализации по отдельным мультипликаторам[Таблица 14]:

Таблица 14

Оценка стоимости акционерного капитала, млрд. руб

Оценка по отдельным показателям	Характеристики оценки
Балансовая стоимость СК	Доходы	Прибыль	Средняя	Станд. отклонение
565,212	365,86	536,82	509,5324848	75,8897

И наконец получаем интервальную оценку котировки акций [Таблица 15]:



Таблица 15

Оценка стоимости акций MAGN, руб.

Средняя оценка	Нижняя граница	Верхняя граница
45,59848195	38,80705016	52,38991374

Проведем схожую оценку и для компании из 1-го кластера NLMK. Будем исходить из того, что у нас нет необходимости в установлении приоритетности некоторым компаниям, но вместе с тем мы считаем, что мультипликатор P/E имеет большее влияние на оценку капитализации компании, чем все остальные мультипликаторы. Ковариационная матрица весовых коэффициентов компаний имеет следующий вид [Таблица 16]:

Таблица 16

Ковариационная матрица весовых коэффициентов компаний

WCOV(r,s)	w(CHMF)	w(GMKN)	w(MTSS)	w(SBER)	w(LKOH)	w(NVTK)	w(TATN)
w(CHMF)	0,0174	-0,0029	-0,0029	-0,0029	-0,0029	-0,0029	-0,0029
w(GMKN)	-0,0029	0,0174	-0,0029	-0,0029	-0,0029	-0,0029	-0,0029
w(MTSS)	-0,0029	-0,0029	0,0174	-0,0029	-0,0029	-0,0029	-0,0029
w(SBER)	-0,0029	-0,0029	-0,0029	0,0174	-0,0029	-0,0029	-0,0029
w(LKOH)	-0,0029	-0,0029	-0,0029	-0,0029	0,0174	-0,0029	-0,0029
w(NVTK)	-0,0029	-0,0029	-0,0029	-0,0029	-0,0029	0,0174	-0,0029
w(TATN)	-0,0029	-0,0029	-0,0029	-0,0029	-0,0029	-0,0029	0,0174

Имеем следующую оценку рыночных мультипликаторов [Таблица 17]:

Таблица 17

Оценка рыночных мультипликаторов при наличии экспертной информации

Показатель	P/E	P/S	P/BV
Среднее значение	10,778947	1,9804511	3,10731763
Стандартное отклонение	1,3184	0,36831	0,67093
Нижняя оценка	9,460547	1,6121411	2,43638763
Верхняя оценка	12,097347	2,3487611	3,77824763

Весовые коэффициенты мультипликаторов:

На основе весовых коэффициентов и значений мультипликаторов и финансовых показателей рассчитаем оценку акционерного капитала по разным показателям [Таблица 18]:

Таблица 18

Оценка по отдельным показателям, млрд. руб.

Балансовая стоимость СК	Доходы	Прибыль
1966,93206	1162,5248	916,2105

Для расчета стандартного отклонения акционерного капитала применим функцию std3, указанную ранее. Входными для нее параметрами будут:

covv1[Таблица 19]:

Таблица 19

Ковариационная матрица весовых коэффициентов мультипликаторов

WCOV(r,s)	w(P/E)	w(P/S)	w(P/BV)
w(P/E)	0,0205	-0,0102	-0,0102
w(P/S)	-0,0102	0,0157	-0,0055
w(P/BV)	-0,0102	-0,0055	0,0157

После использования функции std3 c вышеуказанными параметрами, мы получаем, что стандартное отклонение стоимости акционерного капитала NLMK = 180,3973

В результате имеем оценку капитализации компании NLMK и разброс значений:

Таблица 20

Совокупная оценка капитализации NLMK, млрд. руб.

Средняя	Нижняя граница	Верхняя граница
1164,46316	984,06586	1344,8605

Используя информацию о объеме выпуска акций можем также рассчитать интервальную оценку котировки акции [Таблица 21]:

Таблица 21

Оценка стоимости акций NLMK c использования экспертной информации

Средняя оценка, руб.	Нижняя граница, руб	Верхняя граница, руб.
194,2965139	164,1963203	224,3967074

3.3 Сравнение расчетный оценок с фактическими значениями акций

В этом параграфе мы рассмотрим, как соотносятся интервальные оценки акций, которые рассчитывали в предыдущем параграфе с реальными котировками акций и наконец поймем природу инвестиционной привлекательности акций.

Для начала выгрузим ежедневные котировки акций NLMK, MAGN за период (начало 18 года - 7 мая 2017г.) и построим на основе них график, на который нанесем среднюю цену, нижнюю и верхнюю оценку этой цены.