Макроекономічне прогнозування

Завдання 7. Виконайте адаптивне згладжування Брауна на прикладі щоквартальних даних ВВП за табл. Д.1.14. Проінтерпретуйте та проаналізуйте отримані результати. Побудуйте графіки та спрогнозуйте зміну ВВП у першому і другому кварталах 2001 р.

Завдання 8. Виконайте адаптивне згладжування Холта на прикладі щоквартальних даних про оплату праці найманих працівників за табл. Д.1.1. Проінтерпретуйте та проаналізуйте отримані результати. Побудуйте графіки та спрогнозуйте оплату праці найманих працівників у 2002 р.

Завдання 9. На основі щоквартальних спостережень рівня безробіття в південному регіоні країни (% від економічно активного населення) за останні 5 років була побудована мультиплікативна модель часового ряду. Відкориговані значення сезонної компоненти за кожний квартал наведені нижче:

I квартал … 1,4 III квартал … 0,7 II квартал … 0,8 IV квартал … ?

Рівняння тренду має такий вигляд: T = 9,2 - 0,3t

(у розрахунку параметрів тренду для нумерації кварталів використовувалися натуральні числа t = 1, 2, 3, …, 20).

1. Визначити значення сезонної компоненти за IV квартал.

2. На основі побудованої моделі розрахувати точкові прогнози рівня безробіття на I і II квартали наступного року.

Завдання 10. За даними ВВП табл. Д.1.14, користуючись адитивною моделлю декомпозиційного аналізу часових рядів, розрахувати:

сезонну компоненту часового ряду (S);

трендову складову (Т);

точковий прогноз ВВП на наступний рік;

помилку прогнозу (Е), якщо відомі сезонна компонента (S) та рівняння тренду.

Завдання 11. За щомісячними даними номінального ВВП табл. Д.1.8 і з використанням мультиплікативної моделі декомпозиційного аналізу часових рядів розрахувати:

сезонну компоненту часового ряду (S);

трендову складову (Т);

точковий прогноз ВВП на наступний рік;

помилку прогнозу (Е), якщо відомі сезонна компонента (S) та рівняння тренду.

Завдання 12. За даними показників табл. Д.1.8 зробити повне дослідження тренд-сезонних часових рядів, тобто:

визначити наявність тренду у показників і визначити ступені його гладкості;

виявити наявність у часових рядів сезонних коливань;

за умови підтвердження сезонного процесу здійснити фільтрацію сезонних компонент;

здійснити аналіз динаміки сезонної хвилі;

здійснити дослідження чинників, які визначають сезонні коливання;

розробити прогноз тренд-сезонного процесу.

ТЕМА 5. ЕКОНОМЕТРИЧНІ МЕТОДИ ПРОГНОЗУВАННЯ

5.1 Методичні поради до вивчення теми

З даної теми передбачається вивчення таких питань:

математичний апарат макроеконометричних моделей прогнозування;

макропрогнозування на основі регресійної моделі;

порушення допущень регресійного аналізу.

Для самостійного вивчення теми рекомендується література: [2, 4, 8, 11, 12].

Вивчення теми надасть студентам можливість опанувати математичний апарат макроеконометричного прогнозування, зрозуміти процедуру прогнозування на основі регресійної моделі, оволодіти конструюванням макроеконометричних моделей.

Основу математичного апарату для економетричних моделей становлять такі розділи математичної статистики, як кореляційний і регресійний аналізи.

Кореляційний аналіз забезпечує:

вимірювання ступеня зв'язку двох або більше змінних;

відбирання чинників, що найбільш суттєво впливають на залежну змінну;

віднаходження раніше невідомих причинних зв'язків (кореляція безпосередньо не розкриває причинних зв'язків між явищами, але визначає числове значення цих зв'язків та ймовірність суджень щодо їх існування).

Основними засобами аналізу є парні, частинні і множинні коефіцієнти кореляції.

Регресійний аналіз дозволяє розв'язувати такі завдання:

встановлення форм залежності між однією ендогенною та однією або кількома екзогенними змінними (додатна, від'ємна, лінійна, нелінійна). Ендогенна змінна звичайно позначається Y, а екзогенна (екзогенні), яка ще інакше називається регресором, -- X;

визначення функції регресії. Важливо не тільки вказати загальну тенденцію зміни залежної змінної, а й з'ясувати, який був би вплив на залежну змінну головних чинників, якщо б решта (другорядні, побічні) чинників не змінювалася (перебували на тому самому середньому рівні) і були виключені випадкові елементи;

оцінювання невідомих значень залежної змінної.

Відомі різні види множинної регресії: лінійна, покрокова, гребенева тощо.

Макропрогнозування на основі регресійної моделі. Коли регресійна модель використовується для прогнозування величини Y, при відомих значеннях Х незміщена оцінка точкового прогнозу запишеться так:

, (5.1)

де X_p -- заданий на перспективу рядок матриці екзогенних змінних Х при i = p; Y_р -- точковий прогноз ендогенної змінної на основі економетричної моделі.

Якість прогнозу тим вища, чим повніше виконуються допущення моделі в прогнозований період, надійніше оцінені параметри моделі, точніше визначені значення екзогенних змінних для періоду упередження прогнозу.

Зв'язок між ендогенною змінною Y і однією або кількома екзогенними змінними Х може бути нелінійним. Існують два шляхи розв'язання цієї проблеми:

перетворити дані та застосувати лінійну регресію;

застосувати методи нелінійної регресії.

За допомогою коефіцієнтів регресії неможливо порівняти вплив чинників на ендогенну змінну через розбіжність одиниць виміру і ступеня коливання. Порівняльні характеристики можна одержати, розрахувавши коефіцієнти еластичності, бета-коефіцієнти. За їх допомогою можна визначити ранги чинників за ступенем їх впливу на залежну змінну, тобто зіставити їх між собою за величиною цього впливу. Разом з тим не можна безпосередньо оцінити частку впливу певного чинника у загальній дії всіх чинників. З цією метою використовуються дельта-коефіцієнти.

Для економічного тлумачення нелінійних зв'язків користуються коефіцієнтом еластичності, який характеризує відносну зміну залежної змінної при зміні пояснюючої змінної на 1 %. Якщо рівняння регресії має вигляд у = f (х), то коефіцієнт еластичності розраховується так:

. (5.2)

Бета-коефіцієнт. Для усунення різниць у вимірі і ступені коливання чинників використовується в-коефіцієнт, або коефіцієнт регресії у стандартизованому вигляді:

, (5.3)

де -- коефіцієнт регресії біля j-ї змінної; -- оцінка середньоквадратичного відхилення j-ї змінної; -- оцінка середньоквадратичного відхилення залежної змінної.

Коефіцієнт показує, на яку частину величини середньоквадратичного відхилення змінюється середнє значення залежної змінної, коли відповідна незалежна змінна збільшується на одне середньоквадратичне відхилення, а решта незалежних змінних залишається сталими.

Дельта-коефіцієнт. Частка кожного чинника у загальному впливі чинників на залежну змінну становить:



(5.4)

де R² -- коефіцієнт множинної детермінації; r_j -- коефіцієнт парної кореляції мiж j-м чинником і залежною змінною; в_j -- в-коефіцієнт.

За коректно зробленим аналізом величини дельта-коефіцієнтів додатні, тобто всі коефіцієнти регресії мають той самий знак, що й відповідні парні коефіцієнти кореляції. Але у разі значної корельованості пояснюючих змінних деякі дельта-коефіцієнти можуть бути від'ємними, через те що відповідний коефіцієнт регресії має знак, протилежний парному коефіцієнту кореляції.

Порушення допущень регресійного аналізу. Ускладнення методів оцінювання параметрів рівняння регресії і прогнозування ендогенної змінної породжується невиконанням допущень регресійного аналізу. На особливу увагу заслуговують такі порушен- ня, як мультиколінеарність, гетероскедастичність, автокореляція залишків.

Мультиколінеарність означає корельованість екзогенних змінних. Якщо дві або декілька незалежних змінних у множинній регресії корелюють між собою, регресійна модель не в змозі виділити особистий вплив кожної з них на залежну змінну. Мультиколінеарність особливо часто трапляється в аналізі таких макроекономічних даних, як доходи і виробництво, де інфляція, наприклад, може впливати на обидва ряди. Точного граничного значення рівня кореляції змінних, за якого виникає проблема мультиколінеарності, не існує, отже, слід діяти на власний розсуд. При мультиколінеарності коефіцієнти регресії нестабільні як в розумінні статистичної значущості, так і за величиною та знаком, тому вони ненадійні. Значення коефіцієнтів R² можуть бути високими, але значні і стандартні помилки, звідси і t-критерії малі, що свідчить про незначущість параметрів моделі.

Гетероскедастичність. Залишки з постійною дисперсією називаються гомоскедастичними, якщо ж дисперсія змінюється, то -- гетероскедастичними. Гетероскедастичність призводить до втрати коефіцієнтами регресії якості кращих оцінок або оцінок з мінімальною дисперсією, отже вони не ефективні.

Вплив гетероскедастичності на оцінку інтервалу прогнозування і перевірку гіпотези про значущість параметрів моделі полягає в тому, що, хоч параметри не зміщені, дисперсії і стандартні помилки цих параметрів будуть зміщеними. Якщо зміщення від'ємне, то оцінки стандартних помилок будуть меншими за справжні їх значення, а критерій перевірки, t-статистика, буде більшим, ніж насправді. Отже, можливий хибний висновок про значущість параметра. І навпаки, якщо зміщення додатне, то оцінки стандартних помилок будуть більшими за справжні їх значення, а критерій перевірки -- меншим. Тоді можна помилково прийняти нульову гіпотезу, коли вона має бути відхилена.

Автокореляція залишків найчастіше виникає, коли макроеконометрична модель будується на основі часових рядів. Якщо існує кореляція між послідовними значеннями деякої екзогенної змінної, то вона спостерігатиметься і стосовно послідовних значень залишків. Автокореляція може бути також наслідком помилкової специфікації моделі; її наявність може означати, що необхідно ввести до моделі додаткову незалежну змінну, або лінійна модель повинна бути нелінійною. Введення змінних із лагами теж може привести до автокореляції.

Залежності між залишками задовольняють авторегресійній схемі. Наприклад, якщо залишок е_t знаходиться під впливом залишку з попереднього періоду часу е_t - ₁ і будь-якого значення випадкової змінної u_t, то ця залежність запишеться як авторегресійна функція першого порядку (AR1):

. (5.5)

Величина ? характеризує коваріацію залишків.

Якби поточна величина залишку були під впливом двох попередніх залишків, то авторегресійна функція другого порядку (AR2) мала б такий вигляд:

. (5.6)

Завдяки регресійній моделі за МНК отримують незміщені оцінки з мінімальною дисперсією тільки тоді, коли залишки незалежні один від одного. Якщо існує автокореляція, то параметри регресії не зміщені, але їх стандартні помилки будуть недооцінені і перевірка параметрів регресії буде ненадійною.

Перевірка наявності автокореляції першого порядку виконується за критерієм Дарбіна--Уотсона (DW):

. (5.7)

Він може набувати значень з проміжку [0, 4]. Якщо залишки е_t є випадковими величинами, нормально розподіленими, а не автокорельованими, то значення DW знаходяться поблизу 2. При додатній автокореляції DW майже дорівнює 0, при від'ємній -- 4. Фактичні значення критерію порівнюються з критичними (табличними) при заданій кількості спостережень п і числі незалежних змінних k для вибраного рівня значущості б. Табличні значення мають нижню межу DW₁ і верхню -- DW₂.

Коли DW_факт < DW₁, то залишки мають додатну автокореляцію. Коли DW_факт > 4 - DW₁, то залишки мають від'ємну автокореляцію. Якщо DW_факт > DW₂, то приймається гіпотеза про відсутність автокореляції. Коли DW₁ < DW < DW₂, точні висновки не можливі, необхідні подальші дослідження з більшою сукупністю спостережень.

Щоб розв'язати проблему автокореляції, спочатку слід розглянути можливість виключення помилок специфікації моделі. Якщо це не допомагає, можна використати процедуру Кочрена--Оркатта [11].

5.2 Термінологічний словник

Автокореляція залишків -- кореляційна залежність між значеннями залишків е_t за поточний і попередній моменти часу.

Дисперсійний аналіз -- аналіз результатів спостережень, які залежать від різноманітних одночасно діючих чинників, вибір найважливіших чинників та оцінювання їх впливу.

Екзогенна змінна -- змінна (пояснююча змінна), яка відбиває головним чином властивості прогнозного фону (незалежна змінна).

Ендогенна змінна -- змінна, яка відбиває власні властивості об'єкта прогнозування (залежна змінна).

Коваріація залишків -- рівень взаємозв'язку кожного наступного значення з попереднім екзогенної змінної.

Кореляційний аналіз -- аналіз, який вивчає кореляційні зв'язки між випадковими величинами.

Кореляційний зв'язок -- зв'язок між двома випадковими величинами, коли математичне сподівання однієї з них змінюється залежно від зміни другої випадкової величини.

Незміщена оцінка прогнозу -- нульова різниця між математичним сподіванням оцінки і значенням оціненого прогнозу.

Регресійний аналіз -- аналіз форм зв'язку, які відтворюють кількісні співвідношення між випадковими величинами.

Системи сумісних, одночасних рівнянь (структурна форма моделі) -- система, в якій одні й ті самі змінні в одних рівняннях входять до лівої частини, а в інших -- до правої частини рівнянь, або одні й ті самі змінні одночасно розглядаються як ендогенні в одних рівняннях і як екзогенні -- в інших.

Специфікація моделі -- добір пояснюючих змінних та визначення аналітичної форми залежності між ними.

5.3 Питання для самоперевірки

1. У чому полягає сутність кореляційно-регресійного аналізу?

2. У чому полягає сутність дисперсійного аналізу?

3. Як здійснюється прогноз на основі регресійної моделі?

4. Як можна порівняти вплив чинників на ендогенну змінну через розбіжність одиниць виміру і ступеня коливань?

5. У чому полягає сутність порушення допущень регресійного аналізу і як їх позбутися?

6. Що таке автокореляція залишків?

7. Які існують методи оцінювання системи одночасних рівнянь?

8. Який існує зв'язок між економетричними та одновимірними моделями прогнозування?

5.4 Практичні завдання

Завдання 1. Розгляньте такі моделі регресії, які описують динаміку середньорічної заробітної плати:

Модель А

W_t = 8,56 + 0,36P_t + 0,74P_{t - 1} + 0,24P_{t - 2} - 2,53Un_t + е_t ,

(t_факт) (2,3) (3,7) (2,8) (- 4,1)

R² = 0,9 d = 1,7;



Модель B

W_t = 9,1 + 0,32P_t - 2,70Un_t + 0,2W_t - ₁ + е_t ,

(t_факт) (3,5) (- 4,7) (2,7)

R² = 0,85 d = 2,1,

де W_t -- середня заробітна плата в році t; Р_t -- індекс цін у році t (у відсотках порівняно із базисним періодом); Un_t -- рівень безробіття в році t.

Вхідні дані W_t, Р_t та Un зібрані за 30 років (дані щорічні).

1. Використовуючи модель А, охарактеризуйте силу зв'язку між зміною цін і рівнем середньої заробітної плати.

2. Використовуючи модель B, охарактеризуйте силу зв'язку між зміною цін і рівнем середньої заробітної плати.

Завдання 2. У табл. Д.1.1 і Д.1.9 наведено дані про індекс споживчих цін (Y) і оплату праці найманих працівників (x) за 1996--2001 рр. Необхідно:

1) для характеристики залежності Y від х розрахувати параметри таких функцій: лінійної, ступеневої, показової;

2) оцінити кожну модель за середньою похибкою апроксимації і F-критерієм Фішера;

3) розрахувати прогноз СРІ_t, якщо прогнозне значення чинника було розраховане у завданні 8 теми 4.

Завдання 3. За даними таблиць додатків побудувати багатофакторну модель залежності ВВП від кількох чинників. Побудувати матрицю парних коефіцієнтів кореляції, коефіцієнти множинної детермінації, виявити, які чинники мультиколінеарні. Зробити аналіз результатів розрахунків та записати остаточний вигляд прогнозної моделі.

Завдання 4. За даними табл. 5.1 (цифри умовні), вивчається залежність індексу людського розвитку Y від змінних:

x₁ -- ВВП 1997 р., % до 1990 р.;

x₂ -- витрати на кінцеве споживання в поточних цінах, % до ВВП;

х₃ -- витрати домашніх господарств, % до ВВП;

х₄ -- валове нагромадження, % до ВВП;

x₅ -- добова калорійність харчування населення, ккал на душу населення;

x₆ -- очікувана тривалість життя при народженні 1997 р., кількість років.

Таблиця 5.1

Країна	Y	x1	x2	х3	х4	x5	x6
Італія	0,900	108,0	78,1	61,8	17,5	3504	78,2
Канада	0,932	113,0	78,6	58,6	19,7	3056	79,0
Казахстан	0,740	71,0	84,0	71,7	18,5	3007	67,6
Китай	0,701	210,0	59,2	48,0	42,4	2844	69,8
Латвія	0,744	94,0	90,2	63,9	23,0	2861	68,4
Нідерланди	0,921	118,0	72,8	59,1	20,2	3259	77,9
Норвегія	0,927	130,0	67,7	47,5	25,2	3350	78,1
Польща	0,802	127,0	82,6	65,3	22,4	3344	72,5
Росія	0,747	61,0	74,4	53,2	22,7	2704	66,6
США	0,927	117,0	83,3	67,9	18,1	3642	76,7
Україна	0,721	46,0	83,7	61,7	20,1	2753	68,8
Фінляндія	0,913	107,0	73,8	52,9	17,3	2916	76,8
Франція	0,918	110,0	79,2	59,9	16,8	3551	78,1
Чехія	0,833	99,2	71,5	51,5	29,9	3177	73,9
Швейцарія	0,914	101,0	75,3	61,2	20,3	3280	78,6
Швеція	0,923	105,0	79,0	53,1	14,1	3160	78,5
Австрія	0,904	115,0	75,5	56,1	25,2	3343	77,0
Австралія	0,922	123,0	78,5	61,8	21,8	3001	78,2
Білорусь	0,763	74,0	78,4	59,1	25,7	3101	68,0
Бельгія	0,923	111,0	77,7	63,3	17,8	3543	77,2
Великобританія	0,918	113,0	84,4	64,1	15,9	3237	77,2
Німеччина	0,906	110,0	75,9	57,0	22,4	3330	77,2
Данія	0,905	119,0	76,0	50,7	20,6	3808	75,7
Індія	0,545	146,0	67,5	57,1	25,2	2415	62,6
Іспанія	0,894	113,0	78,2	62,0	20,7	3295	78,0

1. Побудуйте рівняння множинної регресії в лінійній формі з повним набором факторів.

2. Оцініть статистичну значущість рівняння регресії та його параметрів з допомогою критеріїв Фішера і Стьюдента.

3. Відберіть інформативні фактори за пп. 1 та 2. Побудуйте рівняння регресії зі статистично значущими факторами.

4. Визначте еластичність індексу людського розвитку за всіма чинниками моделі.

ТЕМА 6. ОЦІНКА ПРОГНОЗІВ

6.1 Методичні поради до вивчення теми

З даної теми передбачається вивчення таких питань:

поняття оптимального прогнозу;

оцінка адекватності прогнозної моделі;

оцінка точності прогнозної моделі та прогнозів;

побудова узагальненого прогнозу.

Для самостійного вивчення теми рекомендується література: [2, 4, 11].

Вивчення теми надасть студентам можливість ознайомитися з оцінками адекватності і точності прогнозної моделі, зрозуміти поняття оптимального прогнозу, опанувати побудову узагальненого прогнозу.

Оптимальним прогнозом вважається найкращий прогноз, який можна одержати за наявних обставин. Часто його називають прогнозом раціональних сподівань. Важливо усвідомити, що раціональні сподівання можуть відрізнятися від фактичних значень, але будь-яка різниця має бути випадковою та непередбачуваною. Оскільки раціональні сподівання ґрунтуються на коректній економічній теорії, вони мають властивості незміщеності (за умови квадратичної функції витрат) та ефективності. Вимога незміщеності означає, що помилка прогнозу має нульове математичне сподівання. Ефективність передбачає використання всієї доступної інформації, отже помилка прогнозу некорельована з цією інформацією.

Існують численні критерії перевірки того, чи є послідовність прогнозів раціональною. Стандартний критерій незміщеності потребує оцінки моделі



, (6.1)

де y_t -- ряд фактичних значень або спостережень; F_t -- ряд значень прогнозу; u_t -- залишки.

Потім перевіряється гіпотеза, чи б = 0 та ? = 1 водночас.

Перевірка ефективності є більш складною, оскільки неможливо коректно визначити відповідний масив інформації, стосовно якого помилки прогнозу мають бути некорельованими.

Сьогодні не знайдено ефективного методу оцінювання якості прогнозу до його реалізації, тому традиційно аналізують якість моделі прогнозування, за якою був одержаний результат, а не якість самого результату. Розглянемо оцінювання якості прогнозу за стандартними критеріями адекватності і точності прогнозованої моделі.

Оцінювання адекватності прогнозованої моделі. Незалежно від виду і способу побудови економіко-математичної моделі питання про можливість її застосування з метою аналізу і прогнозу економічного явища може бути вирішено тільки після встановлення адекватності моделі. Оскільки повної відповідності моделі реальному процесу або об'єкту бути не може, адекватність певною мірою умовне поняття. При моделюванні мається на увазі адекватність не взагалі, а тим властивостям моделі, які вважа- ються суттєвими для дослідження.

Модель згладжування певного часового ряду вважається адекватною, якщо правильно відображає систематичні компоненти часового ряду. Ця вимога еквівалентна вимозі, щоб залишкова компонента (t = 1, 2, ..., n) відповідала таким властивостям випадкової компоненти часового ряду як: випадковість коливань рівнів залишкової послідовності, відповідність розподілу випадкової компоненти нормальному закону, рівність математичного сподівання випадкової компоненти нулю, незалежність значень рівнів випадкової компоненти. Розглянемо, яким чином здійснюється перевірка цих властивостей залишкової послідовності.

Перевірка випадковості коливань рівнів залишкової послідовності означає перевірку гіпотези про правильність вибору виду тренду. Для дослідження випадковості відхилень від тренду розраховують набір різниць (t = 1, 2, ..., n). Характер цих відхилень вивчається за допомогою ряду непараметричних критеріїв. Одним з таких критеріїв є «критерій серій», який використовує медіану вибірки.

Перевірка відповідності розподілу випадкової компоненти нормальному закону розподілу може бути зроблена лише наближено за допомогою дослідження показників асиметрії (А) і ексцесу (Е), оскільки часові ряди, як правило, не дуже довгі. При нормальному розподілі показники асиметрії і ексцесу певної генеральної сукупності дорівнюють нулю. Припустимо, що відхилення від тренду являють собою вибірку з генеральної сукупності, тому можна визначити тільки вибіркові характеристики асиметрії й ексцесу та їхні помилки:

; ; (6.2)

; , (6.3)

де -- вибіркова характеристика асиметрії; -- вибіркова характеристика ексцесу; і -- відповідні середньоквадратичні помилки.

Якщо одночасно виконуються такі нерівності:

; ,



то гіпотеза про нормальний характер розподілу випадкової компоненти приймається.

Якщо виконується хоча б одна з цих нерівностей:

; ,

то гіпотеза про нормальний характер розподілу відхиляється, трендова модель визнається неадекватною. Інші випадки потребують додаткової перевірки за допомогою складніших критеріїв.

Перевірка рівності математичного сподівання випадкової компоненти нулю, якщо вона розподілена за нормальним законом, виконується на основі t-критерію Стьюдента. Розрахункове значення цього критерію задається формулою

, (6.4)

де -- середнє арифметичне значення рівнів залишкової послідовності ; -- стандартне (середньоквадратичне) відхилення для цієї послідовності.

Якщо розрахункове значення t менше табличного значення t_б статистики Стьюдента із заданим рівнем значущості б і числом ступенів свободи п - 1, то гіпотеза про рівність нулю математичного сподівання випадкової послідовності приймається, в протилежному випадку ця гіпотеза відхиляється і модель вважається неадекватною.

Перевірка незалежності значень рівнів випадкової компоненти, тобто перевірка відсутності суттєвої автокореляції в залишковій послідовності, може здійснюватися за рядом критеріїв, найбільш поширеним з яких є DW-критерій Дарбіна--Уотсона (5.7). Зазначимо, що розрахункове значення критерію Дарбіна--Уотсона в інтервалі від 2 до 4 свідчать про від'ємний зв'язок. У цьому випадку його треба перетворити за формулою DW' = 4 - DW і далі використовувати значення DW'.

Висновок про адекватність трендової моделі робиться, якщо всі розглянуті вище чотири перевірки властивостей залишкової послідовності дають позитивний результат.

Оцінка точності прогнозованої моделі та прогнозів. Точність моделі характеризується близькістю розрахункових значень до фактичних спостережень на періоді апроксимації. Вважається, що моделі з меншим розходженням між фактичними і розрахунковими значеннями краще відображають досліджуваний процес. Для характеристики ступеня близькості використовуються такі описові статистики: середнє квадратичне відхилення (або дисперсія), коефіцієнт детермінації (чим ближче до 1, тим точніша модель), середня відносна помилка апроксимації (чим ближче до 0, тим точніша модель), максимальне відхилення тощо.

Розглянуті показники точності моделей розраховуються на основі всіх рівнів часового ряду і тому відображають лише точність апроксимації. На їх основі можна зробити вибір з декількох адекватних трендових моделей економічної динаміки найбільш точної, хоча можливо, коли за одним показником більш точна одна модель, а за іншим -- інша.

Параметричні характеристики точності прогнозів. Статистично точність прогнозів можна оцінити, використовуючи тільки так званий ретроспективний прогноз. Для його здійснення інформація ділиться на дві частини. Частина, що охоплює більш давнішні спостереження, використовується для оцінювання параметрів побудованої моделі, друга, пізніша, розглядається як реалізація прогнозу. Одержані таким чином помилки прогнозу характеризують точність застосованої методики прогнозування. Якщо позначити прогнозовані значення F_t, а фактичні дані y_t, найбільш популярні описові статистики точності ретроспективного прогнозу мають такі формули розрахунку:

середньоквадратична помилка MSE

; (6.5)

корінь квадратний з середньоквадратичної помилки

; (6.6)

середня абсолютна помилка

; (6.7)

корінь з середньоквадратичної помилки у відсотках

, (6.8)

середня абсолютна помилка у відсотках

. (6.9)

Поряд з МАРЕ можна розглядати медіану абсолютних помилок у відсотках (MdAPE), яка має перевагу у разі асиметричного розподілу помилок, коли середнє може бути зміщеним унаслідок небагатьох екстремальних значень.

Недоліком обговорених вище характеристик точності прогнозів є їх залежність від обраних одиниць виміру. Безрозмірним показником, аналогічним до коефіцієнта кореляції, є коефіцієнт нерівності Тейла:

. (6.10)

У чисельнику стоїть RMSE, а знаменник складається із суми коренів середніх значень квадратів фактичних та прогнозованих величин. Перевага коефіцієнта Тейла полягає в тому, що його значення завжди знаходяться у межах від нуля до одиниці. Якщо всі прогнози абсолютно точні, то U = 0. Якщо всі прогнози дорівнюють 0, а жодне з фактичних значень не дорівнює 0 або навпаки, U дорівнюватиме 1. Таким чином, малі значення U вказують на те, що прогноз є точним.

MSE використовують також для порівняння точності різних прогнозів [11].

Обговорені характеристики точності прогнозів є параметричними в тому сенсі, що вони потребують виконання заданих припущень стосовно властивостей математичного сподівання та дисперсії випадкових змінних, які чинні за умов нормальності відповідних розподілів. Наприклад, використовуючи MSE, ми неявно припускаємо, що всі помилки прогнозу мають однакові і постійні математичні сподівання та дисперсії.

Непараметричні характеристики аналізу точності прогнозів не залежать від виду розподілу, а отже, не потребують припущення про нормальність розподілів. Це особливо корисно, коли йдеться про дані, які не дозволяють використовувати числові шкали. До непараметричних критеріїв належать: критерій знаків та рангові критерії.

Інтегровані критерії точності й адекватності. Схема формування інтегрованих критеріїв точності й адекватності, а також загального критерію якості прогнозів полягає в тому, що формується склад окремих критеріїв, на основі яких розраховується інтегрований показник.

Попередньо для кожного окремого критерію розробляється процедура його нормування. Нормований критерій одержується з вихідної статистики критерію таким чином, щоб виконувалися умови: нормований критерій дорівнює 100, якщо модель абсолютно точна (адекватна); нормований критерій дорівнює 0, якщо модель абсолютно неточна (неадекватна).

Узагальнений критерій якості моделі розраховується як зважена сума узагальненого критерію точності (його значення 0,75) і узагальненого критерію адекватності (його значення 0,25), тобто точності приділяється більше значення. Для характеристики точності використовується нормоване значення середньої відносної помилки апроксимації, а критерії адекватності визначають через нормоване значення критерію Дарбіна--Уотсона і характеристики нормального закону розподілу залишкової компоненти.

Побудова узагальненого прогнозу. На практиці часто зустрічається ситуація, коли кілька прогнозованих моделей можуть бути адекватними, з невеликою різницею між їх характеристиками. У цьому випадку доцільно будувати узагальнений прогноз, який являє собою лінійну комбінацію окремих прогнозів [11]:

, (6.11)

де М -- кількість об'єднаних прогнозів; p_j -- вагові коефіцієнти окремих прогнозів; F_j -- окремі прогнози.

Вагові коефіцієнти визначаються з умови мінімуму дисперсії помилок узагальненого прогнозу (максимуму його точності), яка знаходиться як сума всіх елементів коваріаційної матриці помилок окремих прогнозів із відповідними вагами.

Алгоритм об'єднання окремих прогнозів має такі кроки:

1. Обчислюються дисперсії помилок окремих прогнозів і будується коваріаційна матриця:

, j = 1 ,…, M,

де e_j -- помилки окремих прогнозів; t -- порядковий номер спостереження, t = 1 ,…, п;

.

2. Будуються матриця В і вектор С за формулами:

;

.

3. Через розв'язання системи лінійних рівнянь одержують (М - 1) значення р_j, при цьому значеневий коефіцієнт р_М визначається як:

.

4. Перевіряється умова:

p_j > 0, j = 1 ,..., М.

При цьому:

а) якщо умова не виконується, прогнози виключаються і перераховуються вагові коефіцієнти (із поверненням до п. 2);

б) якщо всі вагові коефіцієнти додатні, то розраховується значення узагальнюючого прогнозу F і коефіцієнт умовної ефективності

; ,

де -- дисперсія помилок комплексного прогнозу; -- дисперсія помилок найкращого окремого прогнозу.

5. Оскільки в більшості випадків точність прогнозів змінюється в часі, формули оцінки вагових коефіцієнтів модифікуються так, щоб пізнішим помилкам надати більшого значення. Отже, шляхом зміни вагових коефіцієнтів у бік найкращого окремого прогнозу F_jt коригується узагальнений прогноз:

,

де p_jt -- вагові коефіцієнти окремих прогнозів у момент часу t; F_jt -- окремий прогноз у момент часу t; F_t -- узагальнений прогноз у момент часу t.

Для підвищення стабільності динаміки зміни ваги в алгоритмі її коригування можна використовувати схему експоненційного згладжування.

У цілому для проведення узагальнення необхідно мати не менше двох адекватних моделей, а для підвищення стійкості результатів кількість узагальнюваних окремих прогнозів не повинна перевищувати п'яти.



6.2 Термінологічний словник

Адекватність прогнозної моделі -- відповідність моделі процесу або об'єкту дослідження.

Апроксимація -- наближене зображення одних математичних об'єктів іншими.

Верифікація моделі -- перевірка моделі на достовірність.

Інтервальний прогноз --певний простір точкового прогнозу, його розмір задається нижньою та верхньою межами.

Оптимальний прогноз -- передбачення, зроблене на основі економічної теорії, яке використовує всю доступну на момент побудови прогнозу інформацію.

Ретроспективний прогноз -- прогноз, який використовується для верифікації моделі, коли всі значення змінних відомі.

Точковий прогноз -- конкретне значення прогнозованого показника в певний момент часу.

Точність прогнозної моделі -- близькість розрахункових значень до фактичних спостережень за період апроксимації.

Узагальнений прогноз -- прогноз, який являє собою лінійну комбінацію окремих кількох адекватних прогнозів.

6.3 Питання для самоперевірки

1. Що являє собою оптимальний прогноз?

2. Які існують оцінки адекватності прогнозної моделі?

3. Які існують оцінки точності прогнозної моделі?

4. Які існують характеристики точності прогнозу?

5. У чому полягає сутність інтегрованого критерію точності й адекватності прогнозу?

6. Як здійснюється побудова узагальненого прогнозу?

6.4 Практичні завдання

Завдання 1. Задані рівні ВВП за 17 років (табл. 6.1). На основі статистичних даних за перші 12 років побудовано трендову модель динаміки ВВП країни: та зроблено прогноз ВВП на 13--17 років.

Таблиця 6.1

t	Yt (рівень ВВП)	(розрахунковий ВВП)	еt = Yt -
1	705,1	620,9307692	84,169
2	772	715,5251748	56,475
3	816,4	810,1195804	6,280
4	892,7	904,713986	-12,014
5	963,9	999,3083916	-35,408
6	1015,5	1093,902797	-78,403
7	1102,7	1188,497203	-85,797
8	1212,8	1283,091608	-70,292
9	1359,3	1377,686014	-18,386
10	1472,8	1472,28042	0,520
11	1598,4	1566,874825	31,525
12	1782,8	1661,469231	121,331
13	1990,5	1756,063636	234,436
14	2249,7	1850,658042	399,042
15	2508,2	1945,252448	562,948
16	2732,0	2039,846853	692,153
17	3052,6	2134,441259	918,159

Визначити:

1) адекватність і точність прогнозної моделі;

2) точність прогнозу.

Завдання 2. За даними табл. 2.2 та за результатами розрахунків завдання 3 теми 2:

1) побудуйте для кожного ряду тренди й виберіть кращий з них;

2) побудуйте рівняння регресії й оцініть тісноту і силу двох рядів (за відхиленнями від тренду та за моделлю множинної регресії з додатковим чинником часу);

3) зробіть прогноз рівня одного ряду виходячи з його зв'язку з рівнями другого ряду;

4) оцініть адекватність і точність моделей прогнозу;

5) побудуйте графік прогнозних значень рівнів ряду і покажіть довірчі інтервали прогнозу.

Завдання 3. Оцінити адекватність і точність прогнозної моделі та прогнозу, отриманих у завданні 2 теми 4.

ТЕМА 7. ПРОГНОЗУВАННЯ ОСНОВНИХ МАКРОЕКОНОМІЧНИХ ПОКАЗНИКІВ

7.1 Методичні поради до вивчення теми

З даної теми передбачається вивчення таких питань:

короткострокове прогнозування ВВП;

середньострокове прогнозування ВВП;

прогнозування інфляції.

Для самостійного вивчення теми рекомендується література: [9, 10, 11].

Вивчення теми надасть студентам можливість ознайомитися з різними моделями прогнозування окремих макропоказників, зрозуміти методику прогнозування ВВП та інфляції, освоїти здійснення практичних обчислень прогнозних розрахунків.

Одним із підходів короткострокового прогнозування ВВП є розроблена НДЕІ Мінекономіки за участю Головного управління макроекономічного прогнозування Мінекономіки України Прогнозування і розробка програм: Методичні рекомендації / За ред. В. Ф. Бесєдіна. -- К.: Науковий світ, 2000. методика прогнозування основних макроекономічних показників.

Розрахунки динаміки виробленого ВВП здійснюються за допомогою індексів споживчих та оптових цін (CPI, PPI) та фізичного обсягу виробництва (PFI).

Аналіз динаміки та прогноз ВВП здійснюється за формулами:

. (7.1)

Розрахунок DefGDP_t (дефлятор ВВП) базується на інформації про оптові та споживчі ціни товарів та послуг, які виробляються в країні, і розраховується виходячи зі співвідношення впливу зміни індексів оптових (PPI_t) та споживчих цін (CPI_t) на зміну ВВП:

, (7.2)

де К¹ -- коефіцієнт, що визначає вплив оптових цін і оцінюється за питомою вагою інвестиційних товарів у складі ВВП.

При визначенні PFI_t на прогнозний рік береться до уваги динаміка ВВП у реальному та номінальному обчисленні за ряд минулих років з розбивкою по місяцях (за оцінкою чи попередніми даними), кварталах. Суттєве значення при обґрунтуванні динаміки ВВП у порівняльних цінах має врахування передбачуваних напрямів економічної і соціальної політики, основних завдань, які мають вирішуватись у прогнозному періоді, пріоритетів, на які будуть спрямовані ресурси економіки. З формул (7.1) та (7.2) отримуємо:

. (7.3)

Знаючи індекс фізичного обсягу виробництва на прогнозний період, можна розрахувати прогнозні значення реального ВВП:

. (7.4)

Структурними елементами ВВП за категоріями доходів, що формується як сума первинних доходів усіх учасників виробництва, є оплата праці найманих працівників -- ОT_t (разом з відрахуваннями на соціальне страхування), чисті податки на виробництво та імпорт -- CHTN_t, валовий прибуток (змішаний дохід) -- PROF_t .



GDP_t = OT_t +CHTN_t + PROF_t . (7.5)

ВВП за категоріями використання складається із кінцевих споживчих витрат -- CFE_t, валового нагромадження -- GPU_t, сальдо експорту-імпорту -- NX_t (чистий експорт товарів і послуг) і розраховується за формулою

GDP_t = CFE_t + GPU_t + NX_t . (7.6)

Проведення практичних розрахунків короткострокового прогнозування ВВП зводиться до такої послідовності робіт:

1) аналіз та формування інформаційної бази розрахунків;

2) прогнозування екзогенних змінних системи -- коефіцієнтів та індексів, на засадах експертно-інтуїтивних методів і трендових та економетричних моделей;

3) прогнозування ендогенних змінних системи;

4) перевірка взаємоузгодженості прогнозних оцінок на основі балансових тотожностей національної економіки.

Для аналізу тенденцій функціонування економіки України та можливих наслідків вибору тих чи інших стратегій розвитку розробляються середньо- й довгострокові прогнози, основою побудови яких є математичні методи і моделі. Широке застосування в теоретичних і прикладних макроекономічних дослідженнях мають виробничі функції (ВФ), що виражають залежність результату виробництва від витрат ресурсів.

Виходячи з викладеного вище, стало можливим визначати обсяг реального ВВП для прогнозованого періоду, застосовуючи середньострокову модель (СМ), створену Центром експертних оцінок та прогнозування Кабінету Міністрів України та Інститутом кібернетики НАН України Панасюк Б., Сергієнко І., Гуляницький Л. Прогнозування розвитку економіки України // Економіка України. -- 1996. -- № 1.:



; (7.7)

; (7.8)

, (7.9)

де t -- період (рік, два тощо); Y(t) -- величина реального ВВП (у цінах 1992 р.); Ku(t) -- величина залученого капіталу; Lu(t) -- частка залучених трудових ресурсів; w(t) -- стохастична змінна; K(t) -- величина бажаного основного капіталу (на кінець періоду, за балансовою вартістю); L(t) -- чисельність працездатного населення; U(t) -- частка безробітних; d(t) -- міра спрацювання виробничого основного капіталу (ВОК); V(t) -- міра використання ВОК; А і В -- параметри моделі.

Прогнозування інфляції. Прогнозування інфляції, яка вимірюється темпом зростання цін, ґрунтується на аналітичному дослідженні головних чинників, що впливають на формування рівня цін. Найбільш поширеним показником рівня інфляції є індекс споживчих цін.

Для розрахунку національного індексу споживчих цін в Україні (індексу інфляції) використовується формула Ласпейреса. Розрахований із застосуванням формули (7.10) зведений індекс характеризує відношення вартості споживчого кошика товарів та послуг у цінах звітного періоду до його вартості в цінах базисного періоду:

, (7.10)

;

CPI_0t -- ІСЦ за період t порівняно з базовим 0; Р_0j -- ціна товару j в базовому періоді; P_tj -- ціна товару j в періоді t; Q_0j -- кількість товару j в базовому періоді.

Уявлення суб'єктів ринку про майбутній рівень цін -- інфляційні очікування -- входять до числа найважливіших параметрів, які визначають їх поведінку. Тому для комплексного аналізу причин виникнення інфляції та прогнозування її впливу на економічну кон'юнктуру в макромоделях необхідно враховувати інфляційні очікування. Залежно від способу формування ендогенні інфляційні очікування поділяються на статичні, адаптивні та раціональні.

Для визначення рівня цін можна також використовувати рівняння кількісної теорії грошей:

MV = Ру ? Р, (7.11)

де V -- швидкість обертання грошей; y -- реальний ВВП; М -- кількість грошей в обігу (наприклад, М3); Р -- рівень цін у країні.

У рівнянні (7.11) параметри V і у задані: швидкість обертання грошей залежить від частоти грошових виплат, яка визначається технічними та інституціональними умовами, а величина реального ВВП визначається в ході встановлення рівноваги в реальному секторі.

Оскільки ні V, ні у не залежать від кількості грошей, рівень цін прямо пропорційний масі грошей, що обертаються:

.

При побудові регресійної моделі інфляції дуже важливо, щоб усі коефіцієнти при факторних змінних мали чітку економічну інтерпретацію. Отже, велику увагу слід приділяти виду включеної до моделі тієї чи іншої змінної. Оскільки інфляція -- це не що інше, як відсоток приросту цін, то такі чинники, як ВВП та грошова пропозиція, теж доцільно включити до моделі у вигляді відсотка приросту до рівня попереднього місяця.

Модель, яка найкраще описує вплив указаних чинників на рівень інфляції, може бути відображена так¹¹ Науменко В. Інфляція. У пошуку взаємозв'язків // Вісник НБУ. -- 1997. -- Лютий.:

, (7.12)

де h -- рівень місячної інфляції; у -- відсоток приросту рівня ВВП за поточний квартал відносно рівня попереднього місяця; m -- відсоток приросту грошової маси (агрегат М2) щодо рівня попереднього місяця.

Оскільки інфляція означає безперервне зростання цін, то для її прогнозування в рамках макроекономічної моделі необхідно встановити зв'язок між темпом приросту рівня цін , обсягами сукупного попиту -- і сукупної пропозиції -- .

Модель, що ілюструє процес розвитку інфляції в часі, можна побудувати на основі динамічних функцій сукупного попиту і сукупної пропозиції.

Динамічна функція сукупного попиту:

. (7.13)

При заданих значеннях:

-- обсягу виробництва попереднього періоду (y_t-₁);

-- приросту автономного попиту в поточному періоді (A_t);

-- темпу приросту номінальної кількості грошей ;

-- очікуваного темпу інфляції, --

ця функція виражає залежність між фактичним темпом інфляції і поточною величиною сукупного попиту.

Динамічна функція сукупної пропозиції короткого періоду з інфляційними очікуваннями:

, (7.14)

. (7.15)

Кожному обсягу сукупної пропозиції відповідає більш високий (низький) фактичний темп інфляції, який стає функцією від очікуваного її темпу: .

Для числового визначення темпу інфляції і обсягу виробництва можна використовувати економетричну модель, яка являє собою структурну форму системи одночасних рівнянь функцій сукупного попиту і пропозиції:

(7.16)

Процес розвитку інфляції можна розглядати залежно від а) монетарних чи б) фіскальних впливів на економічну кон'юнктуру.

При фіксованому темпі зростання грошової маси разовий приріст автономного попиту змінює економічну кон'юнктуру в короткому періоді, але не впливає на рівноважні значення економічних параметрів у тривалому періоді.

Більшість моделей ціноутворення, а відповідно й інфляції, характеризуються тим, що динаміка цін у них пояснюється дією якогось одного чинника, а інші чинники цієї моделі не врахову- ються. Такі, по суті, однофакторні моделі не дають можливості визначити спільний вплив на зростання цін ряду чинників, пов'язаних із внутрішньою економічною політикою, економічним циклом і впливом світового ринку на ціноутворення.

Модель, в якій врахована необхідність автономної або спільної оцінки впливу на механізм ціноутворення різноманітних чинників, будується у двох варіантах -- або для окремих розрахунків, або для включення в середньострокову агреговану макромодель Моделирование глобальных экономических процессов / Под ред. В. С. Дадаяна. -- М.: Экономика, 1984..

7.2 Термінологічний словник

Адаптивні інфляційні очікування -- спосіб формування очікувань, за якого здійснюється коригування майбутньої ціни з урахуванням збитків, що виникли внаслідок помилкового визначення ціни в попередньому періоді (t - 1).

Індекс споживчих цін (ІСЦ) -- показник, що характеризує зміну вартості кошика споживчих товарів та послуг.

Інфляційні очікування -- сучасна теорія, згідно з якою зростання цін спричинене насамперед збільшенням грошової маси в обігу, прагненням населення передбачити можливе зростання цін і зумовлені цим дії.

Кількісна теорія грошей -- математично обґрунтована залежність рівня цін від маси грошових засобів, що використовуються при здійсненні товарооборотних операцій.

Раціональні інфляційні очікування -- спосіб формування очікувань, за якого використовується вся інформація, існуюча в даний момент про чинники, котрі впливають на значення параметра, що визначається.

Статичні інфляційні очікування -- спосіб формування очікувань, за якого ціна наступного періоду дорівнює ціні попереднього періоду.

7.3 Питання для самоперевірки

Теоретичні питання

1. Як здійснюється прогнозування реального ВВП?

2. Як здійснюється прогнозування номінального ВВП?

3. Як здійснюється прогнозування ВВП за категоріями використання?

4. Які типи виробничих функцій найбільш поширено використову- ються у макроекономічному прогнозуванні?

5. У чому полягає сутність моделі середньострокового прогнозування ВВП?

6. Назвати основні моделі прогнозування інфляції.

7. У чому полягає сутність регресійної моделі інфляції?

8. Яка існує залежність між кількісною теорією грошей та інфляцією?

9. Розкрити сутність економетричної моделі інфляції.

Тести

1. Прогнозування ВВП, виробленого в основних цінах або в цінах виробника, здійснюється на основі прогнозних розрахунків:

а) ;

б) ;

в) ;

г) GDP_{t(market price)} = GDP_t + CHTN_t .

2. Визначення валового випуску на прогнозний період здійснюється за формулою:

а) ;

б) ;

в) ;

г) GDP_{t(market price)} = GDP_t + CHTN_t .

3. Прогнозування проміжного споживання по кожній галузі економіки здійснюється за формулою:

а) ;

б) ;

в) ;

г) GDP_{t(market price)} = GDP_t + CHTN_t .

4. Прогнозування обсягів ВВП за категоріями доходів здійснюється за формулою:

а) GDP_t = OT_t + CHTN_t + PROT_t ;

б) ;

в) ;

г) GDP_{t(market price)} = GDP_t + CHTN_t .

5. Показник валового прибутку (змішаного доходу) розраховується за формулою:

а) GDP_t = OT_t + CHTN_t + PROT_t ;

б) ;

в) PROF_t = VDS_t - OT_t - CHTN;

г) GDP_{t(market price)} = GDP_t + CHTN_t .

6. Чисті податки на виробництво та імпорт прогнозуються за формулою:

а) GDP_t = OT_t + CHTN_t + PROT_t ;

б) ;

в) PROF_t = VDS_t - OT_t - CHTN;

г) GDP_{t(market price)} = GDP_t + CHTN_t .