Интервальные методы и модели принятия решений в экономике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора экономических наук

Интервальные методы и модели принятия решений в экономике

Специальность 08.00.13 - математические и инструментальные

методы экономики

Давыдов Денис Витальевич

Владивосток - 2009

Работа выполнена на кафедре математических методов в экономике Дальневосточного государственного университета

Официальные оппоненты: доктор экономических наук ГУРИЕВ СЕРГЕЙ МАРАТОВИЧ

доктор физико-математических наук, профессор АНТИПИН АНАТОЛИЙ СЕРГЕЕВИЧ

доктор экономических наук, профессор МИЩЕНКО АЛЕКСАНДР ВЛАДИМИРОВИЧ

Ведущая организация: Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН

Защита состоится «23» декабря 2009 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.196.01 по присуждению ученой степени доктора экономических наук в ГОУ ВПО «Российская экономическая академия имени Г.В. Плеханова» по адресу: 117997, г. Москва, Стремянный переулок, д. 36, 3-й Учебный корпус, аудитория № 353.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале научной библиотеки Российской экономической академии имени Г.В. Плеханова (3-й Учебный корпус)

Автореферат разослан «_____» __________________ 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.196.01,

доктор технических наук,

профессор Петров Л. Ф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Принятие экономических решений в практической деятельности отдельных агентов, будь то потребители, предприятия или их конгломераты, а также региональные или федеральные органы власти, осложнено влиянием огромного количества разнородных внешних и внутренних факторов и очевидной неполнотой информации о воздействии данных факторов и их внутренней взаимосвязи. Возможности выявления информации на отдельных рынках и в целом в экономической системе зависят от интенсивности деятельности отдельных агентов и степени изменчивости экзогенных условий. Чем меньше измерений доступно в экономической системе и чем больше изменчивость внешней среды и уровень ее неопределенности, тем менее точным является описание экономической системы. В такой ситуации становятся необходимыми разработка и использование новых по сравнению с вероятностными подходов к принятию управленческих решений в экономике, которые позволяют минимизировать волюнтаризм и снизить издержки, обусловленные неточностью, неопределенностью исходных данных.

Высокий уровень неопределенности, ограниченная возможность наблюдений и измерений, динамичность и нестационарность происходящих экономических процессов затрудняют нахождение статистических оценок параметров, определение субъективных вероятностей или мер принадлежности нечетких множеств с достаточной степенью обоснованности. В таких ситуациях более предпочтительно применение интервальных математических методов, предполагающих знание только диапазонов (интервалов) изменения неизвестных параметров. При этом статистические функции распределения значений параметров внутри своих интервалов считаются неизвестными. Интервальный подход к описанию факторов неопределённости и принятию решений в экономике мало изучен, хотя и достаточно эффективен в условиях существенно ограниченной исходной информации.

Степень разработанности проблемы. Неполная информация и связанные с ней проблемы принятия решений в условиях неопределенности находят отражение в определениях, свойствах, принципах и подходах, сформулированных в трудах отечественных и зарубежных ученых А.Е. Алтунина, В.М. Белова, Д. Блэквэлла, Д.А. Валиева, Б. Ван де Валле, С. Ватанабе, И.А. Вателя, А.А. Ватолина, А.П. Вощинина, И. Гуда, Н.В. Дилигенского, В.И. Жуковского, Л. Заде, Э. Зимана, Ю. Козелецкого, В.П. Кузнецова, Н.Н. Моисеева, Ф.Х. Найта, А.О. Недосекина, А.И. Орлова, С.А. Орловского, П.В. Севастьянова, Л. Сэвиджа, Р.И. Трухаева и др. Основное внимание здесь уделено вероятностно-статистическому, субъективно-вероятностному, лингвистическому, нечеткому и нечетко-интервальному подходам к моделированию неопределенных ситуаций, выбираемых исследователями в зависимости от количества и структуры доступной информации, а также степени субъективизма лиц, принимающих решения. Данные подходы в той или иной мере характеризуются известной неравномерностью учета значений внутри областей изменения параметров и использует их усреднение в качестве основного метода разрешения неопределенности.

Интервальный подход в задачах принятия решений (Т. Билджик, П. Волли, Х. Кайбург, С. Смит, С. Фернандез, П. Фишберн и др.) концентри-руется в области микроэкономического анализа и сводится в научной литературе к описанию интервальных систем индивидуальных предпочтений либо интервальных оценок субъективных вероятностей неопределенных исходов. С другой стороны, присущая индивидуальным решениям субъективность восприятия трактуется в литературе с позиций вероятностных и нечетких множеств, но не включает интервальную трактовку восприятия доступной информации.

Пожалуй, единственной сферой приложения непосредственно интервальных методов в принятии экономических решений является задача оценки экономической эффективности инвестиционного проекта на основании прогнозов будущих периодов о движении денежных средств. Данная задача достаточно широко разработана в научной литературе, ее решение опирается на субъективно-нечеткие и интервальные методы с различными типами предположений о характере неопределенности, присущей рассматриваемым финансовым прогнозам (С.Н. Авдеенко, Д.Н. Алёшин, П.В. Бронз, А.П. Вощинин, А.З. Данг, А.О. Недосекин, С.А. Смоляк). При этом уделяется достаточно ограниченное внимание проблеме немонотонности чистой приведенной стоимости проекта как функции рыночной процентной ставки, возникающей при анализе многопериодных моделей.

Отметим, что в экономической и экономико-математической литературе практически отсутствуют попытки применения интервального подхода к моделированию региональных и макроэкономических систем. Исключение составляет предложенное И. Роном интервальное обобщение модели «затраты-выпуск».

В целом то же замечание касается и интервальных моделей управляемых систем, развитие которых с последней четверти 20-го века в большинстве своем находило применение только в физико-технической и инженерной сфере.

Вообще, с точки зрения математического моделирования интервальные методы применяются для анализа неопределенностей, возникающих при использовании данных с ошибками, при отсутствии знаний о вероятностных свойствах объекта, при возникновении ошибок округления в расчетах с конечной точностью. Математический аппарат интервальных вычислений, развитый в трудах отечественных и зарубежных ученых Г. Алефельда, Е.Г. Анциферова, Л.Т. Ащепкова, Б.И. Белова, А.П. Вощинина, В.К. Горбунова, С.В. Емельянова, Р.С. Ивлева, К. Йенсона, С.А. Калмыкова, Е.К. Корноушенко, А.Б. Куржанского, А.В. Лакеева, Р. Мура, Т.И. Назаренко, С.И. Носкова, А.И. Орлова, В.В. Подиновского, И. Рона, Г.Р. Сотирова, И. Хансена, Ю. Херцбергера, С.П. Шарого, Ю.И. Шокина, З.Х. Юлдашева, и др., позволяет формулировать интервальные уравнения, интервальные оптимизационные задачи и анализировать интервальные функции. Результатом применения большинства классических интервальных моделей является интервальная оценка решения либо параметрическая область возможных решений. При этом многие ученые, активно развивающие отрасль интервальной математики, подчеркивают, что ее идеологическая основа заключается в системном представлении «интервальный вход - интервальный выход». Такой подход не позволяет получать однозначные решения в условиях исходной интервальной информации.

В этой связи можно сделать заключение, что в научной литературе не получило должного развития направление интервального моделирования и принятия решений, связанное с нахождением однозначных решений, в той или иной степени «годных» для всех возможных реализаций значений интервальных параметров.

Напротив, с позиции принятия решений интервальную модель следует трактовать как континуум моделей с параметрами, принимающими значения из допустимых интервалов. Поскольку истинные значения параметров заранее не известны, то не известна полностью и модель, на базе которой надлежит принимать те или иные рациональные решения. Принятый в параметрическом программировании поиск множества «приемлемых» решений как функции параметров здесь лишен особого смысла без сопутствующего анализа возможности достижения каждого из потенциально реализуемых решений.

Нерешенность проблем интервального моделирования и использования характерных для него подходов и методов в решении задач оценивания и управления экономическими процессами и предопределили выбор цели и постановку задач диссертационного исследования.

Цель диссертации состоит в разработке теоретико-методологических концепций, методов и моделей принятия рационально обоснованных экономических решений в условиях высокой (интервальной) неопределенности исходной информации.

Для достижения указанной цели в работе сформулированы и решены следующие задачи: экономика интервальный нелинейный оптимизация

· Предложены концептуальные подходы к нахождению однозначных решений задач линейной и нелинейной оптимизации, управления и теории игр в условиях интервальной неопределенности исходных данных.

· Предложено обобщение известных подходов к упорядочиванию одномерных и многомерных интервалов на основе введенного определения показателя интервального неравенства.

· Разработаны новые методы решения задач стабилизации, наблюдаемости и идентификации параметров линейных и нелинейных интервальных управляемых систем. Выявлены достаточные условия их асимптотической стабилизации.

· Разработаны методы нахождения равновесий в интервальных бескоалиционных играх с использованием предложенного показателя интервального неравенства.

· Получены и обработаны эмпирические данные опросов потребителей, подтверждающие наличие интервального субъективного восприятия в процессе потребительского выбора; исследованы соответствующие системы предпочтений. Разработана интервальная модель оптимального потребительского выбора, позволяющая выявить локальную неэластичность по цене и многозначность функции спроса на субъективно воспринимаемых потребителями ценовых интервалах.

· Разработаны модели оптимизации производственной деятельности предприятия на рынках монополии, олигополии и совершенной конкуренции в условиях интервальной неопределенности цен ресурсов и продукции.

· Разработаны интервальные макроэкономические модели краткосрочной стабилизации, идентификации долгосрочных параметров развития, оценки потенциала межрегионального экономического взаимодействия.

· Разработаны и обоснованы методы анализа финансовых потоков в условиях интервальной неопределенности; построена модель оптимизации портфеля активов с интервально определенными доходностями, получены оценки рисков вложений.

Объектом исследования являются экономические процессы и системы, рассматриваемые с позиций принятия рациональных решений в условиях высокой неопределенности.

Предмет исследования - методы и модели принятия экономических решений в условиях интервальной неопределенности параметров экономических процессов и систем.

Теоретико-методологическую основу исследования составили труды отечественных и зарубежных ученых, специалистов по проблемам принятия решений, интервального математического моделирования, микроэкономики, макроэкономики и методов финансового анализа. В работе использованы методы системного анализа, сопоставительного экономического анализа «затраты-риски», методы теории вероятностей и математической статистики, эконометрики, линейной и нелинейной оптимизации, дифференциальных уравнений и теории оптимального управления, теории игр, методы сбора и обработки эмпирической информации.

Информационную базу исследования составили статистические данные Росстата и его региональных подразделений по Дальнему Востоку России, Центрального банка Российской Федерации, Всемирного банка, Международного валютного фонда.

Научная новизна исследования. В диссертации осуществлено решение крупной научной проблемы разработки концептуальных и методологических подходов, модельного аппарата и методов принятия рациональных экономических решений в условиях интервальной неопределенности исходной информации, удовлетворяющих общему критерию минимизации величины ошибки решения и ограничениям модели на множестве рассматриваемых интервальных параметров.

Наиболее значимые научные результаты, полученные лично автором и выносимые на защиту, состоят в следующем:

· Выявлена и обоснована роль субъективности в принятии решений экономическими агентами. Показана связь известных парадоксов классической теории выбора с проблемами принятия решений при неполной информации. Сформулирована и обоснована гипотеза об интервальном восприятии информации в процессе принятия экономических решений.

· Предложена и исследована концепция существования универсального решения интервальных задач линейной и нелинейной оптимизации, предполагающая минимизацию суммарной невязки, отражающей стоимость отклонения решения от целевых показателей и ограничений задачи на множестве интервальных параметров. Поиск универсального решения в исходной интервальной модели сведен к разрешимой задаче линейной (соответственно, нелинейной) оптимизации.

· Предложена мера частичного упорядочения одномерных интервалов, вычисляемая по их центрам и радиусам и хорошо аппроксимирующая вероятность выполнения соответствующего интервального неравенства в стохастическом смысле. Показана эффективность ее применения для локализации окрестности экстремума в интервальных оптимизационных задачах, анализа чувствительности решения интервальных оптимизационных задач к степени неопределенности, выраженной величиной радиусов интервалов, а также в качестве меры риска принятия решений в условиях интервальной неопределенности исходных данных.

· Для линейных и нелинейных интервальных управляемых систем сформулированы и решены задачи стабилизации, наблюдаемости и идентификации параметров, построены соответствующие управления. Доказаны теоремы о достаточных условиях асимптотической устойчивости решения под воздействием данных управлений. Предложены подходы к описанию равновесий в интервальных бескоалиционных играх. Сформулированы и доказаны свойства и утверждения, определяющие процедуры нахождения равновесий в чистых и смешанных стратегиях. Показано, что применение интервального неравенства к интервальным функциям выигрышей игроков позволяет найти наиболее узкое и, одновременно, максимально робастное к ширине интервалов неопределенности множество равновесий в интервальной бескоалиционной игре. Обоснован метод рафинирования существующих в игре равновесий, заключающийся в максимизации меры интервального неравенства на интервальных функциях выигрышей игроков.

· Сформулирована и решена интервальная задача потребительского выбора, из которой следует локальная неэластичность по цене и многозначность функции спроса на каждом субъективно воспринимаемом потребителем ценовом интервале.

· Предложены интервальные модели оптимизации производственной деятельности компаний на рынках монополии и совершенной конкуренции, решения которых позволяют прогнозировать объемы продаж продукции, величину издержек, выручки, прибыли предприятий в условиях интервальной неопределенности ценовых параметров. Получено решение широко известной в микроэкономической теории отраслевых рынков проблемы нахождения фокального равновесия в общей модели предполагаемых вариаций на основе предложенной обобщенной интервальной модели поведения фирм на олигополистических рынках. Для симметричной модели дуополии данное равновесие определяет долю каждой фирмы в размере 40% потенциальной емкости рынка.

· Построены новые интервальные модели краткосрочной макроэкономической стабилизации и идентификации долгосрочных макроэкономических параметров, особенностью которых является сочетание эконометрических и интервальных методов оценивания и прогнозирования. Модель стабилизации предполагает динамическое управление скоростью изменения денежной массы с заданными целевыми показателями скорости изменения ВВП и инфляции. Модель идентификации позволяет выявлять специфические параметры долгосрочного развития отдельной страны по сравнению со среднемировыми тенденциями развития, включая потенциал научного прогресса, климатические особенности и социально-трудовые характеристики населения.

· Предложена новая интервальная энтропийная модель межрегионального производственного баланса, сочетающая подходы межотраслевого баланса, энтропийные методы нахождения равновесных потоков в сложных взаимодействующих системах и интервальные оценки основных параметров, связанных с неточностью и высокой стоимостью сбора и обработки статистических данных.

· Применение интервальной энтропийной модели на реальных статистических данных для регионов Дальнего Востока России позволило выявить потенциал межрегионального экономического взаимодействия, в том числе низкий уровень общей экономической связанности регионов Дальнего Востока России.

· Предложены новые методы решения задачи формирования оптимального портфеля активов в условиях интервальной доходности, основанные на вычислении функции наименьшего риска при каждом требуемом значении доходности всего портфеля активов. Доказаны свойства монотонности и непрерывности введенной функции риска. Для некоторых отрезков значений требуемой доходности портфеля получены точные аналитические значения оптимальных долей вложения капитала в активы. Проведен сравнительный анализ методов, предложены и исследованы эвристические процедуры, упрощающие решение исходной задачи. Получены общие рекомендации по структуре диверсификации вложений в условиях высокой неопределенности: стратегия максимальной диверсификации при низких значениях требуемой доходности портфеля и стратегия вложения в единственных актив с максимальной верхней границей интервальной доходности при высоких значениях требуемой доходности портфеля.

Обоснованность и достоверность результатов, выносимых на защиту, обеспечены применением научной методологии, использованием классических достижений экономической теории, методологии эмпирического анализа, подробным обсуждением адекватности исходных предположений и выдвигаемых гипотез, математическим обоснованием и верификацией полученных решений на реальных данных.

Теоретическая и практическая значимость работы. Разработанные математические методы исследования различных классов интервальных задач имеют самостоятельное теоретическое значение и могут быть активно использованы не только при моделировании социально-экономических, но также физических, инженерно-технических и др. систем. Практическая значимость подтверждается возможностью использования предложенных методов нахождения оптимальных стратегий в реальной экономической деятельности, как на уровне отдельных предприятий, так и на уровне управления региональными и макроэкономическими системами. Диссертационное исследование дает аналитический инструментарий принятия решений предприятиями различных форм собственности и органами государственного управления.

Результаты работы в форме аналитических материалов использованы в деятельности НП «Дальневосточный центр экономического развития» при разработке (участии в разработке) стратегий развития Дальнего Востока и Прибайкалья, города Владивостока, Артемовского городского округа, Славянского городского поселения.

Результаты диссертации используются в учебном процессе кафедры математических методов в экономике Дальневосточного государственного университета в рамках специальных курсов «Интервальные методы и модели экономического анализа», «Теория игр-2», а также при выполнении курсовых и дипломных работ.

Апробация работы. Результаты исследования докладывались на следующих научных школах, конференциях и семинарах:

· XXVIII-й, XXIX-й, XXX-й, XXXI-й международных научных школах-семинарах «Системное моделирование социально-экономических процессов» им. акад. С.С. Шаталина (Москва, Нижний Новгород, Руза, Воронеж, 2005, 2006, 2007, 2008);

· Всероссийской конференции «Равновесные модели экономики и энергетики» в рамках XIV-й Байкальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения», (Северобайкальск, 2008);

· III-й, IV-й Всероссийских конференциях «Проблемы оптимизации и экономические приложения» (Омск, 2006, 2009);

· Международной конференции «Социально-экономическое развитие Дальнего Востока» (Владивосток, 2005);

· Всероссийской конференции «Математическое программирование и приложения» (Екатеринбург, 2007);

· Третьей Азиатской конференции по управлению (Шанхай, КНР, 2000);

· IV-й международной научной конференции творческой молодежи (Хабаровск, 2005);

· ХХV-й, ХХХ-й, ХХХI-й, ХХХII-й, ХХХIII-й Дальневосточных математических школах-семинарах им. акад. Е.В. Золотова (Владивосток-Хабаровск, 2000, 2005, 2006, 2007, 2008);

· Конференции молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике (Новосибирск, 2001).

Публикации. Результаты диссертации представлены в монографии, статьях, докладах и материалах конференций. Всего по теме диссертации опубликовано 43 работы общим объемом свыше 20 п. л. (авторских). Основные результаты и положения, выносимые на защиту, опубликованы в монографии [1] и рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ [2 - 12].

В совместных работах [1, 8, 9, 12, 27, 41, 43] автором самостоятельно сформулированы и доказаны теоретические результаты, проведены вычислительные эксперименты, выкладки и расчеты. В работах [10, 11, 13, 14, 17-20, 22, 24, 25, 34, 36, 39] автором сформулированы постановки задачи, получены основные теоретические результаты, проверены практические следствия. В работах [21, 40] автор принимал участие в построении теоретической модели, постановке и проведении вычислительных экспериментов и интерпретации полученных результатов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа общим объемом 343 страницы состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы в 318 наименований, включает 10 таблиц, 30 рисунков.

Диссертационное исследование состоит из двух основных блоков. В первой, теоретико-методологической части работы (гл. 1-3) разрабатываются теоретические концепции и новые методы анализа различных классов интервальных моделей принятия решений, включая задачи линейной и нелинейной оптимизации, управления и теории игр. Вторая часть (гл. 4-7) посвящена применению разработанных в первой части методов решения к новым интервальным моделям микроэкономического, регионального, макроэкономического анализа и финансового планирования.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, анализируется степень ее разработанности; определяются цели и задачи, объект, предмет, методологическая и информационная база исследования, отмечается теоретическая и практическая ценность работы. Вводятся основные обозначения.

Первая глава посвящена обзору развития экономико-математических методов и моделей принятия экономических решений в условиях неопределенности. Выделены различные подходы к принятию экономических решений, проведен их сравнительный анализ. Обосновано применение интервального подхода, связанного с объективной нехваткой информации и ее субъективным восприятием.

Во второй главе излагаются две основные концепции определения решения различных классов задач с интервальной неопределенностью - универсальные решения и показатель интервального неравенства. На их основе последовательно вводятся формальные определения и методы решения различных классов интервальных оптимизационных задач. Эффективность предлагаемых методов демонстрируется на примерах. Полученные в гл. 2 результаты служат теоретической основой построения моделей управляемых и конфликтных систем (гл. 3), а также методологической базой решения прикладных экономических задач (гл. 4-7).

В третьей главе на основе концепции универсального решения рассматриваются вопросы стабилизации, наблюдаемости и идентификации интервальных динамических управляемых систем, а также методы нахождения равновесия в интервальных бескоалиционных играх с использованием показателя интервального неравенства.

В главе 4 рассматривается принятие индивидуальных субъективных решений в условиях интервальной неопределенности. Предложена интервальная модель оптимизации потребительского выбора; выявлены особенности функции спроса на товары и товарные характеристики.

В главе 5 рассмотрены задачи производственной оптимизации в условиях интервальной неопределенности. Отдельное внимание уделено анализу стратегического поведения на рынках несовершенной конкуренции и оценке риска входа предприятия на конкурентный рынок в условиях ограниченной информации.

В шестой главе рассматриваются интервальные модели межрегионального производственного баланса, стабилизации основных макроэкономических показателей в краткосрочном периоде и идентификации параметров макроэкономических систем в долгосрочном периоде.

В главе 7 формулируются и решаются задачи инвестиционного планирования в условиях высокой неопределенности, включая построение меры риска инвестиционных решений и оптимизации портфеля активов с интервально определенными доходностями.

Система обозначений. Интервальные величины (скаляры, векторы, матрицы, функции и т.д.) обозначены жирным шрифтом: . Для интервального элемента используются обозначения нижней (левой) границы , верхней (правой) границы , центра интервала , радиуса интервала . Векторы считаются столбцевыми, операция транспонирования обозначается условным знаком «штрих», есть скалярное произведение вектора на вектор . Координаты векторов определены нижними индексами. Прочие обозначения вводятся по мере изложения.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первичный анализ неопределенности, присущей процессу принятия решений, требует ее разделения на объективную и субъективную составляющие. Внешняя, или объективная, неопределенность характеризует количество информации, фактически доступной экономическому агенту. Объективное отсутствие информации следует отличать от субъективного восприятия неопределенности. Специфика поведения экономического агента заключается в том, что ему не только доступна не вся информация, но часть ее теряется при субъективном анализе. Последний часто сводится к малому числу значимых альтернатив при принятии решения; остальные альтернативы игнорируются.

Проблемы неполного учета психологических особенностей восприятия экономической информации в неоклассическом экономическом анализе привели во второй половине XX в. к парадоксам, развитым и объясняемым в рамках поведенческой и экспериментальной экономики (Д. Канеманн, В. Смит, М.Алле, В. Элсберг и др.) Для выявления общности подобных проблем в работе сформулирована гипотеза о сходстве восприятия экономической информации в экономиках различных стран. Для проверки эмпирической значимости моделей и теорий, построенных западными авторами относительно выбора в условиях риска и неопределенности, в рамках диссертационного исследования проведены опросы российских потребителей. Полученные результаты согласуются с большинством экспериментальных выводов западных экономистов относительно поведения потребителей, не соответствующего классическим моделям потребительского выбора в условиях полной информации и модели ожидаемой полезности, в основе которой лежит объективно-вероятностный подход к описанию неопределенности.

Сравнительный анализ вероятностно-статистического, субъективно-вероятностного, лингвистического, нечеткого, нечетко-интервального и непосредственно интервального подходов к моделированию неопределенных ситуаций позволяет сделать вывод о необходимости использования на практике различных подходов в зависимости от полноты и структуры доступной информации, а также о перспективности интервальных методов моделирования в силу наименьшего количества необходимой для принятия решения информации по сравнению с прочими методами и подходами.

Специфика применения интервального анализа в связи с указанными экономическими проблемами легла в основу разрабатываемых в диссертации новых концепций и методов интервального анализа.

Концепция универсального решения, впервые предложенная Л.Т. Ащепковым, Д.В. Долгим для интервальных систем линейных алгебраических уравнений, получила свое развитие в ряде работ автора [1, 5, 6, 7, 10-12, 15, 24, 27, 29, 31, 32, 35, 38, 41, 42]. Основная идея базируется на принципе экономической эффективности и может быть описана как условие наилучшего «развязывания» интервальной системы ограничений с минимально необходимой для этого дополнительной ресурсной базой. Концепция универсального решения позволяет редуцировать исходную интервальную задачу к детерминированной задаче такого же класса. При этом в определение универсального решения заложена автоматическая регуляризация ограничений, поэтому редуцированные задачи, как правило, разрешимы.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

(1)

с интервальной матрицей и интервальным вектором , или, в покоординатной записи, , . Здесь , - заданные вещественные числа - границы интервалов неопределенности, - искомые неизвестные.

В отличие от известных подходов (Б.И. Белов, Е.Г. Анциферов, А.Н. Тихонов, Ю.И. Шокин, И. Хансен, С.П. Шарый, В.К. Горбунов, Т.И. Назаренко и др.) к определению решения системы (1), выделим все допустимые реализации ее коэффициентов, порождающие параметрическое семейство обычных систем линейных алгебраических уравнений. Введем неотрицательный -вектор как характеристику точности выполнения равенств (1). Всякий вектор , отвечающий условиям при любых , назовем -решением системы (1). Пары будем называть допустимыми. Здесь и далее условимся понимать матричные и векторные интервалы, неравенства, а также операцию взятия абсолютной величины поэлементно.

За универсальное решение системы (1) примем -решение с минимальным в некоторой нормировке вектором . Отвечающий универсальному решению вектор назовем минимальной невязкой (1).

Теорема 1. [1] Совместность неравенств , необходима и достаточна для того, чтобы вектор был -решением системы (1).

Определим норму неотрицательного вектора как сумму его координат. В силу теоремы 1 приходим к нелинейной задаче

, , ,

с неизвестными векторами , редуцируемой к задаче линейного программирования введением вектора вспомогательных переменных:

, , , ,

Здесь - вектор с единичными координатами.

Теорема 2. [1] Задача линейного программирования (2) разрешима. Если - ее оптимальный план, то - универсальное решение, - минимальная невязка системы (1).

Выбор нормы невязки в виде суммы неотрицательных координат позволяет сохранить линейность задачи (2) и способствует применению хорошо разработанной теории линейного программирования. Однако, выбор евклидовой нормы и замена целевой функции в (2) на условие приводит к задаче квадратичного программирования, что также можно рассматривать как одну из возможных альтернатив определения решения. Появление дополнительной информации об отдельных уравнениях исходной системы (1) может приводить к различной значимости невязок каждого из уравнений, что в общем случае влечет появление весовых множителей для компонент невязки .

Наряду с универсальным решением уравнения (1) введем более грубое, но легче находимое субуниверсальное решение, отвечающее в предположении центральной системе

. (3)

Из всех решений системы (3) наибольший интерес с точки зрения уменьшения невязки представляет нормальное решение

, , (4)

имеющее минимальную евклидову норму. Решение (4) назовем субуниверсальным решением интервальной системы (1).

Из теории двойственности нетрудно получить оценку близости

(5)

невязок системы (1) на универсальном и субуниверсальном решениях соответственно: их нормы отличаются на величину, пропорциональную норме матрицы . В частном случае () универсальное и субуниверсальное решения совпадают; норма оптимальной невязки становится равной , что определяет минимальные потребности расширения ресурсной базы для обеспечения существования решения при любых допустимых , .

Показатель интервального неравенства, предложенный в диссертационной работе, использует принцип равноценного учета неопределенности для всех интервальных величин в рамках исследуемой модели. Данный показатель хорошо аппроксимирует вероятность выполнения соответствующего неравенства, что позволяет интерпретировать его значение как одну из возможных мер риска, используемых при описании целевых критериев и систем ограничений интервальных оптимизационных задач.

Для замкнутых вещественных интервалов u=[u₀-u, u₀+u], v=[v₀-v, v₀+v] с центрами u₀, v₀ радиуса u0, v0 введем вещественный показатель

(6)

интервального неравенства . В работе сформулированы и доказаны свойства показателя (6), найдена связь показателя и вероятности выполнения интервального неравенства. В частности, показатель гарантирует выполнение неравенства для всех , с вероятностью 1; при справедлива приближенная формула связи вероятности и показателя .

Идею сравнения интервалов можно обобщить для решения системы линейных интервальных неравенств

(7)

относительно вектора переменных . Решениями системы (7) с векторным показателем, покоординатно не меньшим , служат те и только те векторы х, которые удовлетворяют всем неравенствам



, . (8)

Множество X всех решений (8) обладает свойством монотонности по включению: , если . Следовательно, вероятность совместности условий (7) связана с максимальным , при котором . Если при множество не пусто, найденное с наперед заданной точностью дает нижнюю оценку вероятности совместности интервальной системы (7).

В противном случае вероятность совместности (7) не превосходит .

Рассматривая (1) как систему интервальных неравенств , по аналогии с (7), (8) приходим (в векторно-матричной форме) к системе

, (9)

со скалярным параметром .

Из (9) непосредственно следует ; сохраняется монотонность по множества решений системы (9). В частности, если при максимальном множество решений не пусто, то система неравенств (9) преобразуется к центральной системе уравнений .

В диссертации предложено двухэтапное решение канонической задачи линейного программирования с интервальными ограничениями:

, , . (10)



На первом шаге применение концепции универсального решения к системе ограничений позволяет построить вспомогательную задачу линейного программирования для определения минимальной невязки

, , , , , . (11)

Здесь , , - неизвестные, - вектор из с единичными координатами, - сумма координат (норма) невязки . Линейная форма ограничена снизу нулем и ограничения совместны, поэтому она имеет хотя бы один оптимальный план .

На втором шаге фиксируется норма минимальной невязки и решается задача линейного программирования

, , , , , . (12)

В предположении задача (12) разрешима, ее решение названо оптимальным универсальным планом интервальной задачи (10).

Для задачи линейного программирования

, , (13)

с интервальной системой ограничений-неравенств неотрицательный вектор х, удовлетворяющий условиям (8), назовем -планом задачи (13). При фиксированном нахождение оптимального -плана задачи (13) сводится к детерминированной задаче линейного программирования

, , .



Анализ моделей и задач производственной оптимизации в условиях интервальной неопределенности требует формализации понятия локального экстремума интервальных функций

, (14)

с достаточно гладкими функциями центров и радиусов .

Назовем точкой локального -минимума функции на X, если найдется окрестность , что для всех справедливо неравенство

. (15)

Число есть нижняя оценка показателя интервального неравенства в окрестности . Поскольку неравенство (15) должно выполняться и при х = х*, то . При каждая точка локального 0-минимума функции является точкой обычного локального минимума центральной функции . Переписывая (15) в виде , легко показать, что параметр определяет монотонную по включению окрестность локализации экстремума интервальной функции (14): при .

Для нахождения локального минимума скалярной интервальной функции , с дважды дифференцируемыми в компактной области определения функциями центров и радиусов введем первую и вторую производные функции по правилам



, (16)

. (17)

Определения (16), (17) обоснованы в диссертации параметрическим и инфинитезимальным анализом и обобщают известные подходы А.П. Вощинина, В.И. Левина к определению экстремума интервальных функций.

Опираясь на понятие универсального решения, на основе интервального уравнения сформулируем детерминированную задачу

(18)

с неизвестными x, s и е. Компонента x* решения задачи (18) названа универсальной стационарной точкой интервальной функции , а также точкой относительного с-минимума, если в дополнение к (18) справедливо неравенство

.

Аналогичные рассуждения применительно к задаче на безусловный экстремум интервальной функции векторного аргумента приводят к определению градиента функции в виде векторного интервала



.

Универсальное решение интервальной векторной системы сводится в работе к задаче нелинейного программирования

.

Компонента x* решения задачи (19) названа в работе универсальной стационарной точкой интервальной функции .

Определив интервальный гессиан по правилу

,

для проверки его положительной определенности используем известные результаты Н.А. Бобылева, С.В. Емельянова, С.К. Коровина, Р.С. Ивлева либо введенное в работе определение относительного -оптимума на основе критерия Сильвестра. Для этого по правилам классической интервальной арифметики вычисляем интервальные значения , , главных диагональных миноров и требуем выполнения системы условий , . В тексте диссертации приведены примеры и графические иллюстрации поиска точек относительного -оптимума в задачах одномерной и многомерной безусловной интервальной нелинейной оптимизации. Для исследования вопросов управляемости, наблюдения, стабилизации и идентификации интервальных управляемых систем рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений



(20)

с неопределенными непрерывными при t 0 матрицами , из соответствующих интервалов , . В силу неопределенности коэффициентов система (20) каждому выбранному управлению - кусочно-непрерывной функции u (t)R^r - ставит в соответствие пучок траекторий, отвечающих всем допустимым , . Состояние x = 0 естественно назвать точкой покоя, поскольку процесс x(t)0, u(t)0 удовлетворяет (20) при любых допустимых A(t), B(t). Детерминированную систему вида назовем центральной.

Введем специальные обозначения F(t,), , , для фундаментальных матриц соответствующих систем , , , с начальным условием .

Лемма 1. В принятых обозначениях для допустимых матриц A(t) справедливо неравенство .

Из леммы 1 легко находим оценку

пучка траекторий системы (20).

Ориентируясь на закон управления , , отвечающий центральной системе, сведем анализ управляемости системы (20) из состояния x(0)=x⁰ в состояние x(T)=0 за время T>0 при фиксированных A(t), B(t) к решению системы линейных алгебраических уравнений

(21)

относительно вектора v. Полагая , , перепишем (21) в виде

. (22)

Построив с использованием леммы 1 внешние интервальные оценки

, , (23)

, , ,

,

приходим к интервальной алгебраической системе (22), (23), редуцируя которую к задаче линейного программирования

,,,,

находим универсальное решение .

Субуниверсальное решение интервальной системы (22), (23) удовлетворяет системе уравнений . В условиях полной управляемости центральной системы матрице D₀ полного ранга отвечает единственное субуниверсальное решение

. (24)

Выделим универсальное и субуниверсальное управления

,

под воздействием которых пучок траекторий интервальной системы (20) отвечает поэлементной оценке

, .

Норма матрицы характеризует величину уклонения пучка траекторий от центральной траектории. При t=T из неравенства

(25)

следует . В этом случае матрица M(T) выполняет роль оператора сжатия фазового пространства. В предположении (25) последовательное применение управления на полуотрезках [0,T), [T,2T), ... равносильно многократному действию оператора сжатия, что обеспечивает притяжение всех траекторий системы к началу координат.

Продолжая субуниверсальное управление по индукции на полуось [0, +), на полуотрезках [(k - 1)T, kT ), k = 2, 3, ..., положим



, (26)

,

,

.

Обратимость матриц D_0k при k = 1, 2, … обеспечивается предположением о полной управляемости центральной системы на каждом отрезке [(k - 1)T, kT].

Теорема 3. Пусть для всех k =1, 2, … матрицы неособенные, а матрицы M_k удовлетворяют условию . Тогда управление (26) обеспечивает притяжение каждой траектории интервальной системы (20) к положению равновесия x=0.

Для интервальной наблюдаемой системы

, , , , ,

где y(t) из R^m - вектор измерений фазового состояния x(t), A(t), C(t) - неопределенные непрерывные матрицы размерностей nn, mn соответственно, m n, строится оценка неизвестного начального состояния x(0)=x⁰, точность которой зависит от радиусов интервалов .

Применив к измерениям , , линейное интегральное преобразование с ядром , получим систему линейных алгебраических уравнений



(27)

относительно вектора x⁰ c матричными коэффициентами

, .

Матрица W размерности nn здесь зависит от неопределенных матриц A(t), C(t) и, по существу, неизвестна. Вектор g размерности n1, напротив, определен однозначно измерениями y(t).

Устанавливая оценку

, (28)

,,

систему (27), несколько упрощая, считаем интервальной. В качестве оценки начального состояния x⁰ принимаем универсальное x⁰* или субуниверсальное решения системы (27), (28). В условиях полной наблюдаемости центральной системы , , , матрица обратима, следовательно . В работе доказано неравенство , позволяющее судить о точности оценки . Использование изложенной выше процедуры для построения оценки фазовой траектории управляемой системы



, , (29)

по интервальным наблюдениям

, , (30)

осложняется неоднородностью в правой части (29), связанной с управлением u(t). Поэтому для нахождения стабилизирующего управления системы (29), (30) предлагается использовать двухфазную процедуру стабилизации.

Пусть 0<<T. Выделяя этапы пассивного наблюдения и активного управления , , положим

, , (31)

, ,

, .

В работе доказана теорема 4 о достаточных условиях асимптотической стабилизации наблюдаемой системы (29), (30) на основе управления (31).

Для нелинейной системы n обыкновенных дифференциальных уравнений

(32)



с векторами xRⁿ, uR^r, vR^q состояния, управления и неопределенных параметров определим интервальное уравнение наблюдения

, , , (33)

отвечающее выбранному управлению u(t).

Пусть (1⁰) множество VR^q изменения параметров v компактно и не зависит от t; (2⁰) существует малая окрестность XU точки (0,0), в которой функция f(x,u,v) при каждом v V имеет частные производные первого и второго порядка по совокупности переменных (x,u); производные f_x , f_u , f_xx , f_xu , f_uu непрерывны на замыкании множества XUV; (3⁰) тождественно по v V выполнено условие f(0,0,v)=0; (4⁰) управлениями служат кусочно-непрерывные при t 0 функции u(t) со значениями в U.

Линеаризуя систему (32) в малой окрестности X₁U₁ точки (0, 0),

, (34)

найдем существующие в силу предположения 2⁰ поэлементные нижние и верхние оценки матриц A(v), B(v):

. (35)

На основе (34), (35) сформируем систему линейных дифференциальных уравнений с интервальными коэффициентами

, , .



Здесь через обозначено состояние линеаризованной системы.

Для построения стабилизирующего управления проводится анализ нелинейной и линеаризованной систем на отрезке времени [0, T] длины T>0. Применяя двухэтапную процедуру, на первом шаге строим оценку начального состояния , используемую на втором шаге для построения субуниверсального управления , которое обеспечивает приближение траекторий нелинейной системы к началу координат. Последовательными сдвигами по времени управление определяется на полуотрезках [(k - 1)T, kT), k = 2, 3, ... и продолжается на всю полуось t 0. В предположениях 1⁰ - 4⁰ и условиях полной управляемости и наблюдаемости центральной линеаризованной системы

, (36)

построим управление

, , (37)

, .

Существование обратных матриц и в (37) гарантируется условиями полной управляемости и наблюдаемости системы (36).

Теорема 5. Пусть система (32) с интервальным наблюдением (33) отвечает предположениям 1⁰ - 4⁰ и для центральной линеаризованной системы (36) выполняются условия полной управляемости и наблюдаемости. Тогда существует такая окрестность X начала координат, что все траектории системы (32), отвечающие управлению (37), начальным состояниям x⁰X и неопределенным параметрам vV, асимптотически притягиваются к точке покоя x = 0.

Предложенная процедура стабилизации существенно упрощается, если состояние системы (32) допускает точные периодические измерения в моменты времени kT, k= 0, 1, 2, …. При этом существенно уменьшаются вычислительные трудности построения управления .

Задача идентификации постоянного вектора параметров в линейной интервальной системе

, , (38)

с однородным уравнением интервального наблюдения

, (39)

также может быть эффективно решена применением концепций универсального и субуниверсального управлений. Здесь - фазовый n-вектор, - искомый r-вектор параметров, - m-вектор результатов измерения фазового состояния , - заданный положительный момент времени.

Зафиксируем допустимые матрицы , , и опишем динамику системы (38) на отрезке времени с использованием формулы Коши: , . Подставляя траекторию в уравнение наблюдения (39), свяжем известные измерения с неизвестными коэффициентами и параметром ,



,

и применяя линейное интегральное преобразование с ядром , получим систему линейных алгебраических уравнений

(40)

относительно вектора c матричными коэффициентами

, .

Полагая

, ,

устанавливаем внешние интервальные оценки

, , (41)

,

.



Универсальное решение интервальной алгебраической системы (40), (41) сводится к задаче линейного программирования

, (42)

, , , .

Важно заметить, что техника построения универсальных решений в силу разрешимости задачи (42) не требует формально каких-либо допущений о свойствах наблюдаемости. Однако, с практической точки зрения, чем хуже «качество» исходной интервальной системы (38), (39), то есть чем шире интервалы неопределенности, тем более грубой будет оценка идентифицируемого вектора . В частности, при вырожденных матрицах наблюдения () ограничения задачи (42) не зависят от векторов и и сводятся к неравенству , при этом оптимальная невязка .

Поэтому в ряде случаев вместо универсального решения интервальной системы (40), (41) удобнее использовать субуниверсальное решение , опирающееся на центральную систему , , в предположении невырожденности матрицы .

В диссертации рассмотрены упрощения, возникающие при , а также обобщение задачи (38), (39) с одновременной идентификацией начального состояния . Приведен пример идентификации.

Для исследования процессов принятия решений на основе игрового подхода к описанию критериев в диссертации рассмотрены бескоалиционные игры конечного числа лиц с интервальными функциями выигрыша. Введено понятие равновесной ситуации, предлагается редукция к детерминированным бескоалиционным играм и выясняются свойства редуцированных игр. Отдельное внимание уделяется интервальным антагонистическим и биматричным играм.

Модель рассматриваемой интервальной игры допускает, что выигрышем каждого участника может быть любое вещественное число из некоторого интервала и дополнительная информация о распределении выигрышей внутри этого интервала отсутствует. Выбором стратегий игроки могут влиять на интервалы своих выигрышей и находить предпочтительные для себя.

Введем интервальную бескоалиционную игру

(43)

с множеством игроков, которые независимым выбором стратегий из соответствующих множеств стратегий формируют ситуацию в игре. Когда ситуация х полностью сформирована, каждый игрок i получает в качестве выигрыша некоторое вещественное число из интервала

. (44)

Все интервальные функции (44) предполагаются заданными на множестве ситуаций . Цель каждого игрока i заключается в максимизации своей функции выигрышей выбором стратегии . Решение игры состоит в нахождении приемлемых для них интервалов возможных выигрышей.

Для вырожденных интервалов (44) с нулевыми радиусами игра (43) превращается в центральную бескоалиционную игру



. (45)

Стратегические предпочтения игроков в игре формируются путем сравнения интервалов выигрышей на основе показателя интервального неравенства. Пусть х* - некоторая ситуация в игре (43). Обозначим символом новую ситуацию, полученную из х* заменой стратегии на . Очевидно, , . Ситуацию х* назовем приемлемой для игрока i, если она обеспечивает ему предпочтительный интервал выигрышей с заданным показателем _i:

(46)

для всех , или, равносильно,

, . (47)

Для того чтобы неравенство (46) выполнялось с положительной вероятностью и было справедливым при , примем . Зафиксируем вектор показателей из куба . Ситуацию х* определим как -равновесную в игре , если она приемлема для каждого игрока .

Таким образом, нахождение множества -равновесных ситуаций игры (43) сводится к решению системы неравенств (47) при любых и .

В работе сформулированы и доказаны свойства -равновесных ситуаций. Выявлено, что центральная редуцированная игра (45) предпочтительна для игроков из соображений «узости» множества равновесных ситуаций и «максимальности» отвечающих им показателей интервальных неравенств (46).

Для интервальной биматричной игры с двумя участниками, конечными множествами стратегий , и выигрышами игроков в ситуациях , заданными элементами

,

интервальных -матриц , припишем каждой ситуации максимальное число , удовлетворяющее неравенствам

; .

Наибольшее из чисел по всем обозначим *. Ситуацию назовем равновесной с показателем *, если

; . (48)

Показатель * определяет «наилучшего претендента» на равновесие в чистых стратегиях в интервальной биматричной игре. Если выбор в игре совершается однократно, концепция смешанных решений и ее вероятностная трактовка среднего выигрыша оказываются малоинформативными. Построенный показатель несет альтернативную вероятностную нагрузку. В соответствии с указанным выше свойством он тем больше, чем выше вероятность выполнения данного неравенства при произвольных реализациях значений выигрышей в своих интервалах.