Интервальные методы и модели принятия решений в экономике

Существование равновесных ситуаций с показателем * сомнений не вызывает, интерпретации равновесий зависят от значений показателя. Если , то ситуация устойчиво равновесна: она удовлетворяет классическим условиям равновесия Нэша в обычной биматричной игре при любых . Максимальность показателя * в формуле (48) частично снимает проблему единственности равновесных ситуаций, и, по сути, является одним из возможных способов рафинирования равновесий, в том числе в играх с детерминированными функциями выигрыша. При ситуацию можно считать наиболее вероятной в силу отмеченной ранее связи показателя интервального неравенства и вероятности его выполнения. При для каждой равновесной ситуации найдется другая ситуация с лучшим выигрышем хотя бы для одного игрока. В этом случае формальное определение равновесия в чистых стратегиях лишено игрового смысла и возникает необходимость перехода к новой игре в смешанных стратегиях.

Интервальную бескоалиционную игру с множествами стратегий

(49)

и функциями выигрышей

назовем смешанным расширением игры и обозначим . Векторы из множеств (49) будем называть смешанными стратегиями игроков. Они имеют такую же вероятностную интерпретацию, как в обычной биматричной игре.

Лемма 2. Если для заданного вектора условия



, (50)

(51)

совместны, то любая удовлетворяющая им пара , порождает -равновесную ситуацию в игре .

Лемма 3. Если , то для совместности условий (50) и (51) достаточно, чтобы системы линейных уравнений

(52)

имели решения .

Лемма 4. Любые решения , и , систем уравнений (52) образуют равновесную ситуацию в обычной биматричной игре . Отвечающие ситуации числа есть наиболее вероятные выигрыши игроков в интервальной биматричной игре .

В диссертации приведены примеры нахождения равновесий для интервальных антагонистических, матричных, биматричных и бескоалиционных игр.

Стоит особо отметить, что метод редукции интервальных бескоалиционных игр с помощью показателя интервального неравенства применим для выявления наиболее устойчивых равновесий Нэша в детерминированных (неинтервальных) играх. Данный принцип устойчивости может быть положен в основу нового принципа рафинирования равновесий. Действительно, если в игре существует несколько равновесий Нэша в чистых стратегиях, каждый из игроков может заботиться о наиболее стабильном из них. Тогда равновесие с максимальным значением показателя неравенства можно принять за наилучшее для всех игроков.

Исследование проблем субъективного восприятия информации в процессе принятия индивидуальных экономических решений требует сопоставительного анализа с известными позициями психофизиологии. Постулат Г.Т. Фехнера о потенциальной измеримости психических явлений стал со второй половины XIX в. фундаментом современного психологического эксперимента. Одним из самых важных оснований нового направления явилось понятие «порога восприятия». Критика данного представления нашла отражение в работах Г. Мюллера, Дж. Ястрова и др., что породило одну из главных проблем психофизики, так называемую «пороговую проблему». Речь идет о том, на каком принципе строится отражение нашими органами чувств оказываемых на них воздействий: на дискретном, когда это воздействие должно достигнуть определенной величины, чтобы вызвать ощущение, или на непрерывном, когда любое возрастание раздражителя дает соответствующее возрастание ощущения.

На основе обширной серии современных психофизиологических экспериментов и когнитивных моделей (исследования И.Ю. Мышкина, А.Н. Лебедева, К.В. Бардина, Т.П. Войтенко, В.К. Оше, И.Г. Скотниковой, М.А. Иванова и др.), в диссертации выделены феномены восприятия («шкала различения - шкала идентификации», «зонная модель порога ощущения», «феномен простого различения», «асимметрия суждений о равенстве и различии» и др.), имеющие непосредственное отношение к получению и интерпретации экономической информации, в частности, информации о ценах и количествах приобретаемых товаров и услуг. Существующий порог чувственного восприятия рецепторов не всегда играет ведущую роль в неточном получении информации; ограниченность оперативной памяти влечет значительное «огрубление» восприятия, которое, по сути, становится интервальным. В результате сформулирована гипотеза об интервальном восприятии экономическими агентами основной доступной им информации в процессе принятия субъективных решений. Дополнительно проанализированы практические особенности потребительского выбора по отношению к ценам и объемам потребления товаров. Выделены причины, по которым потребитель склонен воспринимать цены товаров не абсолютно, а с некоторой погрешностью.

Для подтверждения гипотезы о приближенном характере принятия оптимальных решений экономическими субъектами в рамках эмпирического исследования восприятия цен были составлены анкеты и проведены опросы потребителей. Согласно результатам опросов большинство респондентов действительно используют приближенные, интервальные оценки при принятии решений о потреблении; включая количества приобретаемых товаров, их цены, а также величину дохода, направляемого на текущее потребление. Таким образом, формальное описание потребительского выбора в общем случае требует введения и анализа интервальных систем предпочтений с учетом субъективного интервального восприятия цен, доходов и объемов потребления.

Для формирования одномерных и многомерных систем предпочтений с учетом субъективного порога восприятия у различных потребителей в диссертации предложено рассматривать интервальные предпочтения с показателем. Пространство замкнутых вещественных интервалов с центрами и радиусами позволяет учесть неопределенность, связанную с интервальным типом восприятия. Чем больше радиус интервала, тем выше субъективная погрешность восприятия. Последнюю удобно характеризовать субъективным параметром (показателем) .

Введем на декартовом произведении для любых бинарное отношение строгого предпочтения с показателем, не меньшим ,

(53)



и отношение безразличия :

. (54)

Доказанные в диссертации свойства отношений (53), (54) позволяют классифицировать их на одномерном интервальном пространстве IR как интервальное упорядочение с несчетным множеством классов эквивалентности, сводимое к строгому частичному упорядочению. Существование полезности для последнего легко доказать, используя плотность по упорядочению в множестве классов эквивалентности.

Для многомерной системы интервальных предпочтений зафиксируем вектор и для всех примем , если

, , (55)

и , если существуют индексы , для которых справедливо хотя бы одно из неравенств

, . (56)

Нетрудно убедиться в справедливости свойств нерефлексивности, асимметричности и транзитивности отношения предпочтения (55), а также рефлексивности, симметричности и нетранзитивности отношения безразличия (56). В отличие от одномерных предпочтений (53), многомерные предпочтения (55) не являются интервальным упорядочением.

Дальнейший анализ позволяет доказать утверждение о существовании функции полезности , монотонной по многомерному интервальному предпочтению (55) с векторным показателем.

Полученные результаты находят непосредственное применение в экономических приложениях. Доказанное существование детерминированной полезности в условиях интервального восприятия объемов потребления и других товарных характеристик делает возможной модификацию постановки задачи оптимального потребительского выбора, что позволяет получить более точные представления о характере потребительского спроса в условиях интервальной неопределенности.

Задача оптимального потребительского выбора с интервальными ценами, сформулированная в диссертации, основана на гипотезе об интервальном восприятии. Множество цен, воспринимаемых потребителем, предполагается разбитым на непересекающиеся интервалы, что позволяет построить разбиение потребительского множества товаров с постоянным интервальным значением полезности на каждом элементе данного разбиения и ввести в рассмотрение многозначную (интервальную) функцию полезности.

Рис. 1. Интервальная функция полезности



Отсюда при некоторых предположениях следует и интервальное представление функции спроса на товар для каждого интервала цен. Пример графического представления интервальной функции полезности для случая однотоварной экономики изображен на рис. 1. Отвечающая ей многозначная функция спроса приведена на рис. 2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2. Интервальная функция спроса

Отметим, что результаты предложенной модели становятся классическими, если длины соответствующих ценовых интервалов устремить к нулю. В то же время, следующая из модели многозначность функции спроса хорошо согласуется с известной моделью дисперсии цен У. Шеферда.

Дальнейшее изучение феномена интервального восприятия ценовых параметров в процессе принятия индивидуальных решений привело в работе к обобщению классической модели К. Ланкастера «товары-характеристики». Центральной гипотезой здесь является нелинейность предпочтения потребителей по стоимостной характеристике товаров, подтвержденной проведенными эмпирическими исследованиями. Анализ обобщенной модели позволяет получить описание выбора потребителя, когда он действует так, как если бы цена для него не имела значения. При этом в отличие от известного в литературе демонстративного потребления, поведение потребителя определяется непосредственно структурой его субъективных предпочтений. Кроме того, справедлив вывод: с ростом доходов происходит насыщение потребителя по отдельным характеристикам, и спрос на эти характеристики становится совершенно неэластичным, что также хорошо согласуется с эмпирическими данными и исследованиями А. Маслоу и Э. Энгеля.

В отношении принятия производственных решений в условиях интервальной неопределенности в диссертации рассмотрен сравнительный анализ различных подходов к решению задач оптимизации производственной деятельности, включая критериальные, параметрические, универсальные, субуниверсальные решения.

Максимизация выпуска предприятия в рамках производственной двухфакторной модели сведена к интервальной задаче условной оптимизации

, , , (57)

где в качестве ресурсов выделены капитал K и труд L, константа определяет допустимый уровень затрат предприятия, - интервальная производственная функция, - интервальная функция затрат, - интервальные цены ресурсов.

Интервальная задача минимизации издержек предприятия при фиксированном объеме выпуска имеет «обобщенно-двойственное» представление по отношению к задаче (57):

, , . (58)



Проведенный в работе сравнительный анализ задач (57), (58) показывает, что в рамках параметрического подхода данные задачи определяют различные множества решений в пространстве переменных , однако их универсальные и субуниверсальные решения попарно совпадают. Последние позволяют однозначно определить интервальную функцию совокупных издержек долгосрочного периода , на основе которой строится интервальная функция средних издержек и вычисляется эффективный масштаб деятельности предприятия как ее аргминимум. Решение последней оптимизационной задачи, в свою очередь, сводится к применению концепции универсальных решений на основе задачи вида (18).

Проблемы оптимизации транспортных расходов в условиях неопределенности в диссертации предложено рассматривать на основе транспортной задачи

, , , , (59)

с интервальными запасами и потребностями . Решение задачи (59) здесь интерпретируется как предварительный прогноз оптимальных объемов перевозок и их суммарной стоимости.

Основной вопрос в определении решения задачи (59) заключается в способе балансировки суммарных запасов и потребностей, выраженных интервалами



, , где , , , .

В качестве критерия сбалансированности в работе предложен минимальный дисбаланс между интервальными запасами и потребностями. Данному условию удовлетворяют определения универсального решения и показателя интервального неравенства. В работе показано, что при универсальное решение интервальной транспортной задачи сводится к ее центральному аналогу. В противном случае оно позволяет определить оптимальные перевозки с учетом неполного удовлетворения интервальных потребностей или избыточных интервальных запасов товара.

Применение показателя интервального неравенства позволяет оценить величину несбалансированности интервальных запасов и потребностей . Доказано, что сбалансированность центральной задачи достигается при максимальном значении показателя неравенства, равном нулю. Если же центральная задача несбалансирована , наилучший с точки зрения показателя баланс достигается при

.

Отдельное внимание в работе уделено модели игрового соперничества на рынках олигополии, где наибольшее значение приобретает неопределенность стратегического типа, связанная с поведением соперников и выбором ими стратегий.

Наиболее общей известной постановкой является модель предполагаемых вариаций, объединяющая известные классические модели Курно, Штакельберга, Бертрана. Однако основным открытым вопросом данной модели является выбор каждым из соперников конкретной функции предполагаемой реакции на действия остальных агентов. По смыслу модели определяющим параметром является значение производной функции предполагаемой реакции, лежащее в отрезке [-1,0] и зависящее от субъективного выбора каждого из соперников.

В диссертации предложена интервальная модель предполагаемых вариаций, в которой каждый из соперников может выбрать произвольное, заранее неопределенное, значение производной функции предполагаемой реакции в интервале [-1,0]. На примере дуополии с линейной функцией спроса найдено соответствующее равновесие, в котором каждый из двух соперников занимает (в симметричных условиях) 40% потенциальной емкости рынка, что выше, чем в классических моделях Курно и Штакельберга и более точно описывает современные рыночные тенденции. Полученное равновесие одновременно отвечает концепции универсальных решений и равновесию в соответствующей интервальной бескоалиционной игре двух агентов с максимально возможным показателем, равным нулю.

Проблемы наблюдения, управления и прогнозирования макроэкономических систем в условиях высокой неопределенности нашли отражения в диссертационной работе в рамках интервальных моделей краткосрочной макроэкономической стабилизации, идентификации долгосрочных макроэкономических параметров, а также модели межрегионального производственного баланса. Модели стабилизации и идентификации предложено формировать в два этапа, на первом из которых строится эконометрическая модель взаимосвязи основных параметров, а их оценки на втором этапе используются для построения интервальных динамических моделей.

Теоретические аспекты моделирования динамических инфляционных процессов, рассмотренные в работах Р. Лукаса, Дж. Ротемберга, Дж. Робертса, Дж. Кальво, Дж. Тейлора, Б. МакКаллума, Б. Чадха, П. Мэссона, Дж. Мередита, А. Эстреллы, Дж. Фёрера, Дж. Гали, М. Гертлера, Дж. Д. Лопеза-Салидо, Л. Зондергарда и др., позволяют сформировать динамическую авторегрессионную модель

(60)

связывающую основные макроэкономические переменные: темп прироста валового внутреннего продукта , темп прироста инфляции , темп прироста денежной массы , а также случайные шоки .

Преобразование модели к структурному виду и нахождение эконометрических оценок коэффициентов позволяют представить модель в прогнозном виде

(61)

Введем дискретную многошаговую управляемую систему с фазовыми переменными и скалярным управлением . Отбрасывая в (61) третье уравнение, отвечающее политике Центрального банка предыдущих периодов, формируя фазовый вектор и управление , приходим к интервальной управляемой системе

, t=0,1,…, T-1, (62)



с горизонтом планирования .

Центры интервальной матрицы состояния и интервального вектора отвечают полученным оценкам коэффициентов первых двух уравнений эконометрической системы (61), радиусы определяются заданной относительной погрешностью.

Стабилизирующее макроэкономическую систему управление отвечает противоречивым целевым показателям (увеличению скорости прироста ВВП одновременно с уменьшением скорости роста инфляции) и находится как дискретный аналог субуниверсального управления (26). Предложена модификация модели с ежеквартальными наблюдениями и полугодовыми интервалами управления.

В качестве примера рассмотрено применение на реальных данных Росстата за период с первого квартала 1999 года по четвертый квартал 2005 года включительно. Приведенная форма модели оценена трехшаговым методом наименьших квадратов, сформированы «центральные» матрицы интервальной управляемой системы (62):

, .

Матрицы радиусов заданы относительной погрешность измерения в размере пяти процентов. Приняты целевые показатели: увеличить прирост выпуска на 10% и уменьшить темп инфляции на 40% от исходных значений.

Результаты построения субуниверсального управления для T = 2, 3, 4, 5, 6 квартальных периодов приведены в таблице 1.

Таблица 1. Результаты вычислений

Количество периодов стабилизации	Вектор управления
	u1	u2	u3	u4	u5	u6
2	0.24	0.06	-	-	-	-
3	-0.04	0.15	0.04	-	-	-
4	-0.03	-0.05	0.13	0.05	-	-
5	0.02	-0.02	-0.05	0.17	0.05	-
6	0	0.01	0.02	-0.03	0.12	0.04

Аналогичные вычисления для модели с четырьмя полугодовыми периодами приводят к следующему результату: при неизменных требованиях на прирост выпуска и уменьшение инфляции изменения денежной массы должны составить: u₁=-0,04; u₂=0,16; u₃=-0,41; u₄=-0,01.

Предложенная схема построения динамического управления денежной массой позволяет гарантировать с достаточно высокой точностью достижение желаемых показателей выпуска и инфляции в конечный период времени, что может быть использовано в практическом построении динамической монетарной политики Центрального банка.

Для решения проблемы идентификации параметров макроэкономической системы в условиях высокой неопределенности рассмотрена дискретная интервальная модель динамики взаимосвязи основных макроэкономических показателей в долгосрочном периоде в виде системы

(63)

Здесь k_t - прирост капитала, l_t - прирост уровня занятости, y_t - прирост уровня валового выпуска в экономике в период t.

Первое уравнение системы соответствует производственной функции Кобба-Дугласа в логарифмических приростах с нейтральным научно-техническим прогрессом. Второе уравнение системы описывает эффекты акселерации и амортизации капитала. Третье уравнение системы отражает динамику трудовых ресурсов.

В силу неточности оценок эконометрической модели (63) прогнозные значения коэффициентов полагаются интервальными с заданной относительной погрешностью оценок коэффициентов.

Введем вектор состояния в моменты времени t=0,1, …,T и вектор параметров , определяющий индивидуальные характеристики страны по сравнению со «средней динамикой», характерной для всех стран. Компонента отражает специфику научно-технического прогресса; компонента связана с условиями создания и эксплуатации капитала и отражает влияние природных и климатических условий; компонента характеризует трудовой фактор или, в более общей интерпретации, «менталитет» населения и общие демографические тенденции. Если идентифицировать перечисленные параметры модели - компоненты вектора , - то для экономики отдельно взятой страны можно выделить вклад экзогенных по отношению к макроэкономической системе факторов в общую динамику экономических показателей, выраженных фазовыми векторами , t=0,1,…,T.

Предполагая аддитивное влияние указанных параметров, построим интервальную систему

, . (64)

В силу погрешностей статистического учета предположим, что значения вектора не известны, однако доступен вектор наблюдений, отвечающий интервальной системе

, , . (65)



В простейшем случае интервальная матрица наблюдения выбирается специальным образом: , где - относительная погрешность статистической обработки данных - компонент вектора ; - единичная матрица.

Таким образом, формулы (64), (65) совместно с интервальными матрицами состояния и наблюдения , определяют интервальную дискретную систему с наблюдением фазового состояния. Задача заключается в нахождении оценки вектора w при известных наблюдениях.

На основе предложенных методов интервальной идентификации построены универсальное и субуниверсальное решения, компоненты которых одновременно определяют оценки начального состояния и вектора параметров интервальной системы (64), (65).

В диссертации рассмотрен пример идентификации долгосрочных макроэкономических параметров пяти развитых экономик, включая Австралию, Великобританию, США, Японию и объединенную Европу на основе данных Всемирного банка и Международного валютного фонда. Результаты оценивания параметров приведены в табл. 2.

Таблица 2. Результаты идентификации

	Австралия	Великобритания	США	Япония	Объединенная Европа
Вектор параметров	-0,022 -0,008 0,010	0,038 0,009 0,005	0,095 0,095 -0,044	0,120 0,027 0,020	-0,064 -0,039 0,029

Согласно результатам расчетов, аддитивный коэффициент нейтрального технического прогресса по полученным расчетам принимает максимальное значение 0,12 для экономики Японии (относительный вклад прогресса в рост ВВП в размере 12% в год) и минимальное значение для единой европейской экономики. Напротив, экономика объединенной Европы имеет максимальное положительное влияние трудового фактора (порядка 3% в год) в отличие от экономики США, где сравнительное падение влияния трудового фактора оценивается в 4% в год.

Для оценки потенциала торгового взаимодействия регионов России в диссертации предложена интервальная энтропийная модель межрегионального производственного баланса.

Отталкиваясь от многорегиональной многоотраслевой модели Леонтьева-Страута и энтропийной коммуникационной модели Вильсона, рассмотрим модель замкнутой экономики, состоящей из регионов, в которой имеется отраслей. Каждая отрасль действует во всех регионах и производит один вид товара, разные отрасли производят разные товары. Пусть _ количество продукта -го типа, , поставляемого из -го региона в -й, , _ затраты, связанные с поставкой единицы продукта из региона в регион , _ конечное потребление продукта в регионе . Балансовые соотношения

, (66)

справедливые для каждого региона и продукта , характеризуют межрегиональные потоки продукции и их распределение на конечное и внутрипроизводственное потребление.

Дополним балансы (66) ограничением

(67)

на суммарную стоимость производства и перемещения товаров. Предполагая, что каждый экономический агент формирует потоки производимых и потребляемых им продуктов независимо от других и с равной вероятностью, нетрудно показать, что наиболее вероятное (статистически равновесное) состояние межрегиональной системы отвечает энтропийному функционалу вида

. (68)

Совмещение целевого условия максимизации энтропии (68) и ограничений (66), (67) приводит к задаче нелинейного программирования

,

, , , (69)

,

относительно переменных отражающих межрегиональные перетоки продукции.

Пусть теперь технологические коэффициенты и удельные затраты на поставку продукции заданы интервально в силу различных факторов неопределенности и проблем идентификации реальных данных:

, (70)

с известными значениями центров и радиусов соответствующих интервалов, .

Применение концепции универсальных решений позволяет найти решений интервальной задачи (69), (70). В работе подробно исследованы и описаны свойства данных решений, получены результаты моделирования на реальных данных для экономики Дальнего Востока России. Модель, агрегированная до 6 базовых отраслей, позволила выявить общие тенденции межрегионального экономического взаимодействия и уровень экономической связанности регионов Дальнего Востока России (см. рис. 3). Приведены выводы по отраслевому и межотраслевому анализу взаимодействия регионов ДВ России в рамках рассматриваемой модели.

Рис. 3. Кластеризация регионов Дальнего Востока России по уровню экономической связанности

В диссертации предложены подходы к принятию инвестиционных решений в условиях интервальной неопределенности с учетом проблемы немонотонности функции потоков платежей в зависимости от величины процентной ставки, в том числе введены линейная и интегральная меры риска инвестиционных решений, а также рассмотрена модель оптимизации портфеля активов с интервально определенными доходностями. Предложены методы нахождения оптимальных и субоптимальных портфелей интервальных активов, проведены численные эксперименты, выявлены качественные эвристики, позволяющие при необходимости сокращать размерность задачи.

Пусть инвестиционная компания обладает фиксированным капиталом, планируемым к размещению в активы . Доходность актива лежит в замкнутом интервале

(71)

с известными концами . Примем за долю капитала, вкладываемую в приобретение i-го актива, тогда

(72)

Неотрицательность означает отсутствие «коротких продаж», то есть приобретение активов в долг сверх имеющегося капитала. Вектор , удовлетворяющий условиям (72), назовем портфелем активов.

Требуемая доходность портфеля активов будет обеспечена, если

. (73)

Пусть - вектор неопределенных доходностей портфеля, , - векторы нижних и верхних границ доходностей, - вектор «средних» доходностей, - вектор с единичными координатами. Условия (71)-(73) формируют соответственно n-мерный параллелепипед , (n-1)-мерный симплекс и полупространство . Множество - общая часть параллелепипеда и полупространства - определяет безопасные реализации доходностей для .

Введем функцию , где символ означает лебегову меру (объем) множества . Величину будем интерпретировать как риск неполучения требуемой доходности портфеля активов .

Задача состоит в минимизации функции риска по и нахождении оптимального портфеля , а также построения функции оптимального риска при всех значениях требуемой доходности .

В работе сформулированы и доказаны свойства функции риска , функции оптимального риска , в том числе непрерывность , непрерывность и монотонность ; найдены точные (аналитические) значения функции оптимального риска для некоторых интервалов доходности и соответствующие им оптимальные портфели.

В общем случае функция оптимального риска достаточно сложна для представления в явном виде, поэтому предложены различные способы приближенного вычисления оценок функции оптимального риска . Для сравнительно небольшого числа активов нетрудно составить переборный алгоритм, позволяющий построить функцию «эмпирически», вычисляя для каждого значения на некоторой сетке симплекса . Малость ошибки при дроблении сетки гарантируется непрерывностью функции .

Вычисление оценки функции и определение долей распределения капитала для каждого можно осуществить и с использованием метода Монте-Карло, предполагая равномерное распределение доходностей на интервалах (71). Данный метод оказывается наиболее предпочтительным при небольшом числе активов и при достаточных вычислительных ресурсах позволяет рассчитать оптимальный портфель вложений с наперед заданной точностью. Однако при большом числе альтернатив инвестирования требования к вычислительным ресурсам оказываются чрезмерными.

Метод Монте-Карло демонстрирует диверсификацию, то есть распределение капитала между различными активами, при малых значениях доходности портфеля. При высоких значениях доходностей капитал рекомендуется вкладывать в одну-две ценные бумаги, верхние границы интервалов доходностей которых имеют относительно высокие значения.

С другой стороны, можно использовать метод внутренней неулучшаемой аппроксимации множества некоторым множеством с легко вычислимой мерой. Л.Т. Ащепковым, Ю.Б. Стегостенко предложен метод вписывания -мерных параллелепипедов в область и показано, что нахождение решения можно свести к задаче линейного программирования, которую предложено искать симплекс-методом. В диссертации построено и обосновано аналитическое решение указанной задачи, согласно которому весь капитал в оптимуме вкладывается в актив с максимальной верхней границей доходности.

В результате предложено использовать нелинейную внутреннюю аппроксимацию методом вписывания n-мерных эллипсоидов. При подробном рассмотрении данного метода выявляется невыпуклость структуры ограничений соответствующей оптимизационной задачи, что фактически приводит к нахождению локального, а не глобального оптимума в допустимой области при использовании численных процедур оценивания. Таким образом, данный подход можно рассматривать только как нахождение верхней оценки риска, а получаемый в результате портфель активов - как субоптимальный. Указанные подходы могут быть дополнены некоторыми эвристическими критериями, сформулированными на основе свойств функции риска и проведенных численных экспериментов.

В частности, -й актив не включается в оптимальные и субоптимальные портфели, если , поэтому одним из упрощений при построении верхней оценки риска является сокращение размерности задачи искусственными ограничениями по мере достижения требуемой доходностью значений .

Технически сложные процедуры вычисления многомерных объемов для построения функции оптимального риска или ее верхних оценок можно заменить на более простой, хотя и более грубый, линейный критерий. В качестве такого критерия может служить расстояние от одной или нескольких точек параллелепипеда до гиперплоскости .

Например, для функции «расстояния» (с учетом знака) от гиперплоскости до точки m с координатами , , решение задачи

, ,

позволяет построить субоптимальный портфель по правилам:

1) если , то , где ;

2) иначе компоненты субоптимального портфеля пропорциональны тем активам, для которых :



.

Кроме того, для каждого существует набор допустимых весов , для которых в оптимуме все

.

В заключении диссертационной работы кратко обсуждаются основные теоретические выводы и различные аспекты практического применения предложенных экономико-математических методов и моделей принятия решений в условиях высокой (интервальной) неопределенности.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

Монография

1. Ащепков Л.Т., Давыдов Д.В. Универсальные решения интервальных задач оптимизации и управления. - М.: Наука, 2006. -151 с. (Соавтор Ащепков Л.Т.; личн. вклад 4,8 п. л.)

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

2. Давыдов Д.В. Интервальное восприятие информации и экономическое поведение потребителя: методологические аспекты // Вопросы экономики. - 2007. - № 12. - С. 60-70. - 0,45 п. л.

3. Давыдов Д.В. Методология принятия экономических решений с позиций субъективной неопределенности // Вестник Российской экономической академии им. Г.В. Плеханова. - 2009. - № 2(26). - С. 111-120. - 0,6 п. л.

4. Давыдов Д.В. «Портфельное» инвестирование в ресурсной экономике: интервальный подход // Экономика природопользования. - 2009. - № 1. - С. 69-79. - 0,5 п. л.

5. Давыдов Д.В. Идентификация параметров линейных интервальных управляемых систем с интервальным наблюдением // Известия РАН. Теория и системы управления. -2008. - № 6. - С. 25-29. - 0,2 п. л.

6. Давыдов Д.В. Локальная стабилизация интервально наблюдаемой системы с неопределенными параметрами // Вычислительные технологии. - 2003. - Т. 8. - № 1. - С.44-51. - 0,3 п. л.

7. Давыдов Д.В. Интервальная идентификация макроэкономических параметров // Информатика и системы управления. - 2009. - № 2 (20). - С. 78-86. - 0,5 п. л.

8. Давыдов Д.В. Редукции интервальных некооперативных игр // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 2006. - Т. 46. - № 11. - С. 2001-2008. (Соавтор Ащепков Л.Т.; личн. вклад 0,2 п. л.)

9. Давыдов Д.В. Показатель интервального неравенства: свойства и применение // Вычислительные технологии. - 2006. - Том 11. - № 4. - С. 13-22. (Соавтор Ащепков Л.Т.; личн. вклад 0,3 п. л.)

10. Давыдов Д.В. Существование функций полезности при интервальных предпочтениях с показателем // Информатика и системы управления. - 2008. - № 1 (15). - С. 113-120. (Соавтор Тарасов А.А.; личн. вклад 0,2 п. л.)

11. Давыдов Д.В. Интервальный подход к задаче монетарной стабилизации // Информатика и системы управления. - 2007. - № 1 (13). - С. 78-86. (Соавтор Макаренко Г.С.; личн. вклад 0,3 п. л.)

12. Давыдов Д.В. Стабилизация наблюдаемой линейной системы управления с постоянными интервальными коэффициентами // Изв. ВУЗов. Математика. - 2002. - № 2 (477). - С. 11-17. (Соавтор Ащепков Л.Т.; личн. вклад 0,2 п. л.)

Прочие публикации

13. Давыдов Д.В. Интервальное представление цен и оптимальный выбор потребителя // Информатика и системы управления. - 2004. - № 2 (8). - С. 80-89. (Соавтор Тарасов А.А. ; личн. вклад 0,3 п. л.)

14. Давыдов Д.В. Модели поведения потребителей: экспериментальная проверка в региональных условиях // Информатика и системы управления. - 2003. - № 2 (6). - С. 57-66. (Соавтор Тарасов А.А. ; личн. вклад 0,3 п. л.)

15. Давыдов Д.В. Стабилизация управляемых систем с интервальными параметрами : Диссертация … канд. физ.-мат. наук. - Владивосток, 2003. - 123 с. - 5,1 п. л.

16. Давыдов Д.В. Инфляционная динамика в краткосрочном периоде: проблемы оценивания и прогнозирования / Экономический анализ на Дальнем Востоке России. Научные доклады. - М.: МОНФ, 2005. - Вып. 169. - С. 86-98. - 0,6 п. л.

17. Давыдов Д.В. Интервальная задача максимизации прибыли / Экономический анализ на Дальнем Востоке России: исследования молодых экономистов-математиков. Научные доклады. - М.: МОНФ, 2006. - Вып. 185. - С. 121-137. (Соавтор Джигимон А.В. ; личн. вклад 0,4 п. л.)

18. Давыдов Д.В. К задаче оптимального выбора в условиях интервально определенных цен / Экономический анализ на Дальнем Востоке России: Научные доклады. - М.: МОНФ, 2005. - Вып. 169. - С. 99-108. (Соавтор Тарасов А.А. ; личн. вклад 0,2 п. л.)

19. Давыдов Д.В. Формирование бюджетов в условиях интервальной неопределенности / Современный экономический анализ на Дальнем Востоке России: позиция молодых исследователей. Научные доклады. - М.: МОНФ, 2007. - Вып. 193. - С. 221-232. (Соавтор Ланге В.А.; личн. вклад 0,3 п. л.)

20. Давыдов Д.В. Модели теории выбора : Препринт. - Владивосток: Издательство Дальневосточного университета, 2005. - 58 с. (Соавтор Тарасов А.А. ; личн. вклад 1,5 п. л.)

21. Давыдов Д.В. Моделирование экономического пространства и стратегическое развитие территорий / Стратегическое планирование на Дальнем Востоке России. Научные доклады. - М.: МОНФ. 2006. - Вып. 171. - С. 75-103 (Соавторы Абрамов А.Л., Величко А.С., Достовалов В.Н.; личный вклад 0,4 п. л.)

22. Давыдов Д.В. Подходы к измерению риска в условиях высокой неопределенности / XXXI международная научная школа-семинар им. акад. С. С. Шаталина. Труды школы-семинара. Часть III. - Воронеж. Изд-во ВГУ, 2008. - С. 241-244. (Соавтор Джигимон А.В. ; личн. вклад 0,1 п. л.)

23. Давыдов Д.В. Интервальная модель оценки инвестиционных проектов / XXX международная научная школа-семинар им. акад. С. С. Шаталина. Труды школы-семинара. Часть II. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2007. - С. 296 - 298. - 0,15 п. л.

24. Давыдов Д.В. Интервальные модели производственной оптимизации / XXIX международная научная школа-семинар им. акад. С. С. Шаталина. Труды школы-семинара. Часть II. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2007. - С. 72-76. (Соавторы Джигимон А.В., Чередниченко Н.А.; личн. вклад 0,2 п. л.)

25. Давыдов Д.В. Потребительский выбор в условиях неопределенности: некоторые эксперименты. // XXVIII международная научная школа-семинар им. С. С. Шаталина. Тезисы докладов. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2005. - С. 170-172 (Соавтор Тарасов А.А.; личн. вклад 0,1 п. л.)

26. Давыдов Д.В. Оптимизация и равновесия в интервальных моделях конкуренции / Труды XIV Байкальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». Том 5. «Равновесные модели экономики и энергетики». - Иркутск-Северобайкальск, 2008. - С. 372-379. - 0,3 п. л.

27. Давыдов Д.В. Стабилизация линейной стационарной системы управления с интервальными коэффициентами // Дальневосточный математический сборник. - 1999. - № 8. - С. 32-38. (Соавтор Ащепков Л.Т. ; личн. вклад 0,2 п. л.)

28. Давыдов Д.В. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг в условиях неопределенной доходности // Дальневосточный математический сборник. - 1998. - № 6. - С. 143-148. - 0, 25 п. л.

29. Давыдов Д.В. Локальная стабилизация интервально наблюдаемой системы с неопределенными параметрами / Конференция молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике.Тез. докладов. - Новосибирск, 2001. - С. 24. - 0,05 п. л.

30. Давыдов Д.В. Неклассический подход к теории потребительского выбора: цена как одна из характеристик товара / Международная конференция «Социально-экономическое развитие Дальнего Востока». Тезисы докладов. - Владивосток: Изд-во Дальневосточного университета, 2005. - С. 86. - 0,05 п. л.

31. Давыдов Д.В. Некоторые подходы к решению интервальной транспортной задачи / III Всероссийская конференция «Проблемы оптимизации и экономические приложения». Тезисы докладов. - Омск, 2006. - С. 86. - 0,05 п. л.

32. Давыдов Д.В. Необходимые условия экстремума итервальнозначных функций / Всероссийская конференция «Математическое программирование и приложения». Тезисы докладов. - Екатеринбург: УрО РАН, 2007. - С. 106. - 0,05 п.л.

33. Давыдов Д.В. Неопределенность и информация в принятии экономических решений / Труды 4-й международной научной конференции творческой молодежи. - Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2005. - Т.3. - С. 111-114. - 0,2 п.л.

34. Давыдов Д.В. Измерение и оптимизация рисков в условиях интервальной неопределенности / ХХХIII Дальневосточная математическая школа-семинар им. акад. Е.В. Золотова. Тезисы докладов. - Владивосток, 2008. - С. 155. (Соавтор Джигимон А.В. ; личн. вклад 0,1 п. л.)

35. Давыдов Д.В. Идентификация параметров дискретной интервальной динамической системы с интервальным наблюдением / ХХХII Дальневосточная математическая школа-семинар им. акад. Е.В. Золотова. Тезисы докладов. - Владивосток, 2007. - С. 116-117. - 0,1 п. л.

36. Давыдов Д.В. Оптимальное инвестирование в условиях интервальной неопределенности / ХХХI Дальневосточная математическая школа-семинар им. акад. Е.В. Золотова. Тезисы докладов. - Владивосток, 2006. - С. 114. (Соавтор Лазукина А.А.; личн. вклад 0,1 п. л.)

37. Давыдов Д.В. Оценка вероятности совместности системы линейных интервальных неравенств / ХХХ Дальневосточная математическая школа-семинар им. акад. Е.В. Золотова. Тезисы докладов. - Хабаровск, 2005. - С. 132-133. - 0,1 п. л.

38. Давыдов Д.В. Асимптотическая стабилизация линейной наблюдаемой автономной управляемой системы с интервальными коэффициентами / ХХV Дальневосточная математическая школа-семинар им. акад. Е.В. Золотова. Тезисы докладов. - Владивосток, 2000. - С. 36-37. - 0,1 п. л.

39. Некоторые подходы к оптимизации экономических рисков в условиях высокой неопределенности / IV Всероссийская конференция «Проблемы оптимизации и экономические приложения» : Материалы конференции. - Омск, 2009. - С. 199 (Соавтор Джигимон А.В.; личн. вклад 0,1 п. л.)

40. Давыдов Д.В. Моделирование влияния крупных федеральных инициатив на экономику Дальнего Востока на примере вступления России в ВТО / Стратегии развития регионов Дальнего Востока России. Научные доклады. - М.: МОНФ, 2005. - Вып. 159. - С. 71-95. (Соавторы Абрамов А.Л., Величко А.С., Достовалов В.Н.; личный вклад 0,4 п. л.)

41. Davydov D.V. Stabilization of linear stationary control system with interval coefficients [Электронный ресурс] / Proceedings of The Third Asian Control Conference. - Shanghai, China, 2000. - 1 электрон. опт. диск CD-ROM (соавтор Ащепков Л.Т.; личн. вклад 0,1 п. л.)

42. Davydov D.V. Identification of parameters of linear interval controllable systems with interval observation // Journal of computer and systems sciences international. - 2008. - Vol. 47. - № 6. - Pp. 861-865. - 0,2 п. л.

43. Davydov D.V. Reductions of interval noncooperative games // Computational mathematics and mathematical physics. - 2006. - Vol. 46. - № 11. - Pp.1910-1917 (соавтор Ащепков Л.Т.; личн. вклад 0,2 п. л.)

Размещено на Allbest.ru