Введение содержит обоснование актуальности темы диссертации и характеристику области исследований. Дается обзор работ по теме диссертации. Приводятся основные цели и задачи исследования, основные результаты, отмечаются их научная новизна и практическая ценность.

В первой главе предлагается единый, структурный, подход к моделированию сложных динамических систем с переменными составом и структурой, разрабатывается математический аппарат описания структурной динамики этих систем, вводятся основные понятия, приводятся постановки новых задач, возникающих в связи с понятием структуры, и в ряде случаев дается их решение. Пусть - сложная система, в состав которой могут входить динамические системы , взаимодействующие между собой. Введем функции : , если в момент времени входит в , и - в противном случае,

Определение 1. Вектор называется структурой системы в момент времени .

Пусть - множество всевозможных структур: . Полагаем, что содержит нулевую, фиктивную, структуру , у которой все компоненты - нули. На множестве введем метрику

, где

Для задания динамики структуры вводится следующее понятие.

Определение 2. Структурной полудинамической системой называется семейство преобразований множества структур в себя, удовлетворяющих условиям:

1) для любых и определено множество при , ;

2) для любого определено множество такое, что при по ;

3) , где .

В первой главе строится реализация в виде системы со структурными изменениями (ССИ), которая задается как множество вида

, (1)

где - структурное пространство системы, т.е. множество структур, которые может иметь система в процессе функционирования, ;

- множество фазовых пространств динамических систем ;

- множество разбиений фазовых пространств

,

где - множество индексов;

- множество динамических систем , заданных в фазовых пространствах ;

- множество отображений перехода из в , где - граница ;

- множество функций временных задержек при переходе от структуры к .

математическое моделирование рациональное природопользование

Функционирование системы происходит следующим образом. Пусть - траектория динамической системы такая, что . Если траектория не попадает на границу , то структура при остается неизменной: . Если - первый момент времени такой, что, то отображение перехода , переводит в точку , где , зависят от . Отображение может быть задано динамической системой, что в дальнейшем показано в работе. Далее, в момент времени начинает действовать динамическая система . При этом из условия следует, что при на промежутке происходит переключение структуры системы, т.е. в общем случае переключение происходит не мгновенно. При , т.е. в режиме переключения, возможно одно из двух: либо система не функционирует, т.е. имеет фиктивную структуру , либо функционирует, но сохраняет структуру , т.е. происходит задержка при переходе к структуре . Режим переключения может задаваться динамической системой. Систему (1) можно отнести к классу гибридных систем.

Процесс функционирования системы порождает последовательность структур . В работе предлагается понятийный аппарат для исследования структурной динамики. Начальная структура , не определяет однозначно последовательность структур , в связи с чем в работе вводятся три вида последовательностей структур, различающиеся способом задания начальной структуры. В начальный момент времени можно задать один из трех элементов включения .

Если задано , то определяются последовательность структур , , называемая - структурной орбитой, и - структурная траектория , где - структура, которую имеет система в момент времени .

Если задано , то определяются - структурная орбита , , и -структурная траектория , , для которых известно лишь, что .

Если задано , то определяются структурная орбита и структурная траектория .

Далее вводятся понятия устойчивости структурных траекторий. Различные виды устойчивости отличаются способом задания отклонения возмущенных траекторий от некоторой невозмущенной траектории. Пусть - некоторые подмножества структур, , пусть , , ; - метрика в . Введем окрестности состояния , множества , структуры :

,

, ,

.

Тогда можно ввести следующие определения устойчивости.

Определение 3. - структурная траектория , называется - устойчивой, если найдется такое, что для любой - структурной траектории , такой что, выполняется , ;

- устойчивой, если для любой - структурной траектории , такой что , выполняется , , .

Структурная траектория называется -устойчивой, если найдется такое, что для всех структурных траекторий таких, что выполняется ,.

Проводится анализ данных определений, а также вводятся более слабые виды устойчивости - орбитальной устойчивости структур, когда достаточна близость структурных орбит. Вводятся также понятия устойчивости для других типов траекторий и орбит. Можно еще ослабить определение 3, если допустить малость в смысле меры Лебега временных интервалов, на которых возмущенные структуры отличаются от невозмущенной больше, чем на .

Предлагается также понятие устойчивости по отношению к компонентам вектора структуры .

Определение 4. - структурная траектория называется

- устойчивой, если : ;

-сильно устойчивой, если :

Смысл определения: - cильная устойчивость означает, что подсистема не будет отключаться с некоторого момента времени; - устойчивость - подсистема не отключается навсегда. Очевидно, из - сильной устойчивости следует - устойчивость. Аналогичные понятия вводятся для - структурной траектории и структурной траектории.

Предложенный подход позволяет моделировать аварийные ситуации при функционировании сложных систем. Пусть, начиная с некоторого момента времени, система или не может изменить свою структуру, т.е. время ее переключения бесконечно, или происходит переключение на структуру . Тогда будем считать, что система перестает функционировать.

Определение 5. Элемент разбиения называется аварийным, если найдется такое, что .

Пусть , где аварийный элемент.

Определение 6. Система называется каскадно-неустойчивой, если найдется структура , для которой . Если каскадно-неустойчива , то называется каскадно-неустойчивой в целом.

Понятие каскадной неустойчивости можно использовать при моделировании безопасного функционирования сложных экологических, энергетических, технологических систем, в частности, оно формализует такую ситуацию, при которой выход из строя одной из подсистем влечет за собой выход из строя остальных подсистем. Возникает задача нахождения структур , для которых , важная для приложений.

Далее вводятся различные понятия эквивалентности ССИ. Вопрос о том, какие сложные системы считать в некотором смысле похожими, очевидно, имеет большое значение при анализе и конструировании систем. Предлагается, в частности, следующее понятие эквивалентности ССИ.

Определение 7. Системы называются - эквивалентными, если для любых последовательностей структур , соответствующих системам , существует последовательность гомеоморфизмов такая, что диаграмма

коммутативна при любом , т.е. . Здесь - соответствующие композиции потоков и отображений перехода, порождаемые системами .

Структурный подход, развиваемый в первой главе, позволяет ставить в соответствие системе геометрические образы. Так, последовательности структур можно сопоставить ориентированный граф. В результате появляется возможность привлечения новых методов для моделирования и анализа динамики ССИ. Показано, что в ряде случаев для анализа структурной динамики можно использовать подход В.И. Арнольда, примененный им при исследовании сложности бинарных последовательностей.

Далее предлагается реализация предложенного подхода к моделированию ССИ. Вводится понятие параллельной ССИ. Пусть вектор таков что где - постоянные пороговые значения, . Если в момент времени то происходит изменение структуры системы , а именно: если при , где постоянная т.е. , то происходит отключение от . Если при т.е. , то происходит подключение к . Рассмотрим подробнее динамику этих процессов.

Пусть в некоторый момент времени в состав входят подсистемы . Это значит, что Введем векторы состояний подсистем . Тогда полагаем, что динамика в момент времени описывается системой дифференциальных уравнений

(2)

где , причем правые части обеспечивают существование и единственность решения системы. Предлагается следующая процедура разрывного изменения структуры.

Отключение . Пусть в момент времени переменная приняла значение . Введем непрерывные отображения перехода , действующие следующим образом

где - нулевой вектор, , находится на - м месте; -заданные постоянные; постоянная находится на - м месте; - заданный момент времени; - заданные векторы, ; - заданные постоянные, , удовлетворяющие условиям , ,

означающим, что положение постоянных по отношению к пороговым значениям после скачка не изменилось, т.е. отображение перехода , понижающее размерность системы , не влияет мгновенно на отключение или подключение других подсистем . Далее, при динамика задается уравнениями

(3)

с начальными условиями

(4)

Символ обозначает отсутствие . В силу соотношений, которым удовлетворяет , имеем при . Это значит, что переменной можно пренебречь и можно считать, что при динамика системы задается уравнениями

(5)

Таким образом, произошло отключение подсистемы , после чего динамика системы стала описываться уравнениями (5) с начальными условиями (4). Аналогично построена процедура подключения подсистемы.

Вектор можно считать многомерным эволюционным временем системы в отличие от текущего времени . Именно, изменение компонентов приводит к изменению структуры системы . Таким образом, введение позволяет сложную систему на отдельных промежутках ее функционирования заменять более простыми. Такой метод моделирования ССИ можно назвать методом динамической декомпозиции.

Далее предлагается процедура непрерывного изменения структуры системы, при котором отображения переключения структуры задаются системами дифференциальных уравнений. Вводится также понятие последовательной системы. Если для параллельной системы возможна любая конфигурация вектора структуры , то для последовательной - , где на первых местах - единицы. Последовательные ССИ можно, в частности, использовать для решения задач динамического распределения памяти.

В §1.4-1.6 строятся модели линейных ССИ. В этом случае динамические системы и отображения перехода - линейны. В §1.5 формулируется и решается новая задача моделирования режима стабилизации структуры линейной последовательной ССИ, в отличие от традиционной задачи стабилизации фазовых состояний. Рассматривается последовательная ССИ с управляющим параметром

, , (6)

где , , , - заданные постоянные при , . При происходит подробно описанный переход к структуре , у которой первые компонентов равны 1.

Теорема 1.5.1 Для любого найдется , где - кусочно-постоянные функции компонентов , , вектора , такое, что система (6) будет иметь - сильно устойчивую - структурную траекторию для любой начальной точки , для которой .

Далее рассматривается последовательная линейная ССИ , , ; - матрица . Для этой системы также решена задача моделирования режима стабилизации структуры.

Для линейных параллельных систем вводится специальная символика, позволяющая упростить процесс анализа ССИ. Пусть

.

Если - - я строка матрицы , то . Пусть. Векторы , назовем векторами активного и пассивного времени эволюции, соответственно. Тогда динамика параллельной ССИ задается уравнениями

,

, , (7)

где , , , - постоянные матрицы размерностей . Второе и третье уравнения в (7) задают динамику эволюционного времени для подсистем, входящих и не входящих в , соответственно. Предложен способ моделирования режима стабилизации - структурной траектории линейной параллельной системы (7).

В первой главе также формулируются новые постановки задач математического моделирования оптимальных процессов в ССИ. Показано, что при некоторых условиях промежуточное изменение структуры позволяет повысить эффективность системы. Предлагаемый подход развивает исследования Ю.М. Свирежева по оптимальным структурам трофических цепей.

Во второй главе разрабатываются новые методы моделирования режимов стабилизации нелинейных динамических систем, учитывающие ограничения, характерные для систем со структурными изменениями в задачах рационального природопользования. В дальнейшем эти методы применяются для моделирования режимов экологически безопасного функционирования систем биологической очистки и некоторых видов химических реакторов. Вводятся новые понятия - и - стабилизации, предлагаются соответствующие алгоритмы стабилизации.

Рассмотрим динамическую полисистему (Lobry C.), т.е. совокупность динамических систем , зависящих от постоянных параметров ; пусть - траектория полисистемы , соответствующая упорядоченному множеству , состоящему из элементов, т.е. траектория, склеенная из кусков траекторий систем , соответствующих последовательному чередованию элементов множества .

Определение 8. Точку будем называть -стабилизируемой,

если найдется такое множество, что для любой достаточно малой окрестности и любой точки найдутся , , такие, что при всех

.

Заметим, что, точка не предполагается положением равновесия, и к ней приближаются только траектории, принадлежащие области . Данное понятие позволяет моделировать режимы удержания траекторий системы в области так, чтобы избежать нежелательного переключения структуры при попадании траекторий на границу . При этом, в отличие от общепринятого определения, может быть граничной точкой области. Таким образом, предложено обобщающее понятие стабилизируемости. Частным случаем D-стабилизируемости является стабилизируемость в конусе. Точка является вершиной конуса, а траектории, находясь внутри него, переключаются на его границах. Такой конус назван -конусом. В работе исследуется вопрос о существовании скользящего режима на лучах, принадлежащих - конусу в двумерном случае. Построен пример неаналитической системы, для которой существует - конус, но лучей скольжения в конусе нет.

Для моделирования временных ограничений в режиме стабилизации предлагается новое понятие -стабилизируемости, являющееся распространением на задачу стабилизации понятия нормальной локальной управляемости, введенное Н.Н. Петровым (Дифференциальные уравнения. 1968, т.4, №7).

Определение 9. Точка называется - стабилизируемой, если для любого существует такая ее окрестность , что для любой точки найдутся , такие, что траектория за время, меньшее чем , попадет в любую сколь угодно малую окрестность точки и в дальнейшем в ней останется.

Понятие - стабилизируемостии позволяет моделировать режимы стабилизации ССИ в случаях, когда требуется успевать решать задачу стабилизации, пока не произошло изменение структуры. Это имеет большое практическое значение, например, при моделировании динамики процесса биологической очистки (модель построена в настоящей работе), когда из-за изменений типа и концентрации субстрата-загрязнителя на входе в аэротенк, приходится изменять структуру биомассы путем изменения времени ее пребывания в аэротенке. Оказывается, что введенное выше понятие -конуса, позволяет построить алгоритм - стабилизации в двумерном случае.

Пусть - векторное поле в точке , соответствующее динамической системе .

Теорема 2.4.1 Точка -стабилизируема, если найдутся , такие, что векторы неколлинеарны. При этом стабилизация происходит в конусе с вершиной .

Отметим, что теорема 2.4.1 позволяет решать одновременно две задачи: - и -стабилизации, что особенно важно в приложениях.

Для получения алгоритма -стабилизации в используется понятие положительного базиса (Ф.М. Кириллова, Р. Габасов, Н.Н. Петров).

Определение 10. Совокупность векторов образует положительный базис, если для любого найдутся постоянные , такие, что .

В работе доказывается ряд результатов, связанных с положительным базисом, которые в дальнейшем используются при построении стабилизирующего управления. Вводятся в рассмотрение следующие конусы. Пусть векторы линейно независимы; - матрица со столбцами , , - компоненты , - скалярное произведение векторов. Рассмотрим открытый конус

,

и сопряженный открытый конус , -транспонированная матрица, - соответствующие замкнутые конусы; .

Лемма 2.5.6 Пусть . Тогда для любого вектора найдется вектор такой, что . Если , то в качестве берем .

Лемма 2.5.7 Пусть - какой-либо вектор из леммы 2.5.6, т.е. , если , или , если . Тогда проекции линейно независимых векторов на гиперплоскость , ортогональную , образуют положительный базис этой гиперплоскости.

Гиперплоскость играет достаточно большую роль в алгоритме - стабилизации. Как следует из леммы 2.5.7, эта гиперплоскость не единственна. Введем обозначение , понимая под этим одну из гиперплоскостей, рассмотренных в лемме 2.5.7 Будем называть гиперплоскостью, порожденной векторами . В §2.6 доказывается несколько подготовительных результатов. Будем полагать, что - вкторное поле динамической полисистемы , , , пусть .

Лемма 2.6.1 Пусть векторы образуют положительный базис в . Тогда найдется такая окрестность , что для любой точки векторы также образуют положительный базис в .

Пусть векторы образуют положительный базис в ; пусть - открытый многогранный конус, являющийся положительной выпуклой оболочкой векторов , - множество всех таких конусов. Будем считать, что наборы упорядочены, т.е. , полагаем, что .

Конус с вершиной в точке образованный векторами , будем обозначать . Пусть K (M) = - множество всех конусов с вершиной в точке образованных векторами . Основным инструментом в алгоритме -стабилизации является следующая цилиндрическая конструкция.

Построение цилиндра . Пусть - начальная точка траектории системы , . Будем считать, что настолько мала, что в ней выполняется заключение леммы 2.6.1 Пусть т.е. точка O принадлежит внутренности конуса. Случай принадлежности точки O границе какого-либо конуса рассматривается аналогично. Пусть конус, полученный параллельным сдвигом конуса на вектор Будем считать, что окрестность настолько мала, что . Таким образом, вершина конуса совпадает с точкой , а его ребра параллельны ребрам конуса . Итак, . Это предположение возможно в силу непрерывности векторных полей системы . Далее, пусть - прямая, проходящая через точку и ортогональная гиперплоскости , - точка пересечения прямой и гиперплоскости . Отрезок примем за образующую цилиндра. Пусть - - мерный замкнутый диск с центром в точке , принадлежащий и такой, что точка лежит на его границе, т.е. если , то Диск будем полагать нижним основанием цилиндра.

Рассмотрим цилиндр . Его основания, и , будем называть нижним и верхним основаниями, соответственно. Пусть:

сфера - граница диска ; сфера - граница диска ;

- - мерная гиперплоскость, параллельная и проходящая через точку ;

- - мерная гиперплоскость, принадлежащая и касающаяся верхнего основания цилиндра в точке ;

Лемма 2.6.4 Найдется , такое, что траектория системы входит в цилиндр в момент времени , т.е. при . Здесь - некоторая положительная постоянная.

Лемма 2.6.5 Пусть - проекции (геометрические) векторов на прямую . Тогда найдется такая постоянная , что для всех точек .

Лемма 2.6.6 Найдется упорядоченное множество такое, что траектория за конечное время попадет на нижнее основание цилиндра , не покидая .

Теорема 2.6.1 (О - стабилизации). Пусть векторы , образуют положительный базис. Тогда для любого найдется окрестность такая, что для любой точки найдется упорядоченное множество такое, что траектория за время, меньшее, чем , попадет в любую сколь угодно малую окрестность точки и в дальнейшем в ней останется, т.е. точка - стабилизируема.

Алгоритм - стабилизации строится при доказательстве теоремы. Пусть траектория попадает на нижнее основание цилиндра в точку , которая полагается начальной и строится новый цилиндр алогично цилиндру и т.д. Получаем последовательность цилиндров , стягивающихся к точке , являющейся центром их нижних оснований. Траектория последовательно переходит из в , осуществляя - стабилизацию точки . Следует отметить, что традиционная стабилизация точки при условии теоремы 2.6.1 очевидна. Предлагаемый метод рассчитан именно на решение задачи - стабилизации.

В §2.7 в случае моделируется режим точечной стабилизации автоколебания в - конусе. В §2.8 при некоторых условиях решена задача - стабилизации линейной нестационарной системы . Этот результат в некотором смысле созвучен результату Г.А. Леонова, решившему проблему нестационарной стабилизации Р. Брокетта.

Предлагаемый в главе 1 подход к построению математических моделей ССИ позволяет в ряде случаев исследовать аналитически динамику сложных экологических систем, изучаемых в теории метапопуляций (Gilpin M. E., Gyllenberg M., Hanski I., Hastings A., etc), разбивая их на последовательности более простых. Будем полагать, что если , то популяция - го вида присутствует в ареале, если то - нет. В главе 3 рассматривается развитие системы В. Вольтерра "хищник-жертва", в которой хищник может мигрировать в другие ареалы в случае недостатка жертв. Для преодоления сложности применения аналитических методов предлагается разбивать процесс на стадии миграции хищника, взаимодействия "хищник-жертва" и роста популяции жертв. Построенная модель относится к классу последовательных ССИ с непрерывным изменением структуры. Структура принимает два значения: , если хищник отсутствует в ареале обитания жертвы (стадия роста популяции жертвы), , если происходит миграция хищника или его взаимодействие с жертвой. Такой подход позволяет решать задачу исследования устойчивости структур. Это отличает настоящую модель от традиционных моделей, в которых исследуется устойчивость состояний равновесия. В §3.1 дается подробная мотивация и обоснование условий изменения структуры рассматриваемой системы. В результате предлагается следующая модель хищник-жертва с миграцией, являющаяся ССИ с непрерывным изменением структуры, заданная в пространстве переменных :

: , , , (8)

: , , , (9)

: (10) : , (11)

: (12)

где - некоторые положительные постоянные, - непрерывная пороговая функция, удовлетворяющая условиям: при . В дальнейшем в качестве возьмем функцию при при , - заданная постоянная,

Поясним экологический смысл данной модели. Введем следующие названия и обозначения режимов,описываемых системами (8) - (12). Будем говорить, что система (8) описывает полный режим , (9) - переходный , (10) - минус-скачок , (11) - нулевой , (12) - плюс-скачок . Полный режим соответствует наличию в сообществе и хищника, и жертвы, динамка взаимодействия которых задается уравнениями В. Вольтерра. Переходный режим - миграция хищника, причем отношения хищник-жертва несущественны. Минус-скачок - режим полного исчезновения хищника из сообщества, настолько быстропротекающий, что при этом не учитывается изменение переменных . Нулевой режим описывает динамику жертвы без самолимитирования в отсутствие хищника. Самолимитирование учитывается в §3.8 Плюс-скачок - инвазия хищника в сообщество. Изменение обеспечивает смену режимов . В работе показано, что выполнение неравенства можно считать признаком наличия достаточного количества жертв для удовлетворения потребностей популяции хищников, и, наоборот, неравенство означает, недостаток ресурса питания для популяции хищников. При этом, решение об изменении режима принимается не мгновенно, а с учетом предыстории, так как

.

И, действительно, "важное решение" об изменении структуры не должно быть подвержено влиянию мгновенных значений фазовых переменных , оно должно носить инерционный характер, что и обусловило введение в настоящую модель дифференциального уравнения относительно для описания процессов смены режимов. Таким образом, переменная является эволюционным временем, введенным в первой главе. Отметим, что величина как фактор, влияющий на динамику хищника, была использована в модели Лесли "хищник-жертва".

Лемма 3.2.1 Системы (8) - (9) имеют линейный интеграл

причем для системы (8) это имеет место тогда и только тогда, когда .

Можно показать, что поведение траекторий построенной системы (8) - (12) зависит от того, в какую точку плоскости попадет траектория. Плоскость поэтому называется дискриминантной. В §3.3 получен ряд результатов, характеризующих дискриминантную плоскость. В силу того, что в правые части первых двух уравнений системы (8) не входит , траектории этой системы в пространстве будут располагаться на цилиндрах с основаниями, лежащими на плоскости , образующими, параллельными оси , и направляющими, которые являются замкнутыми проекциями траекторий на плоскость . Цилиндры лежат в полуплоскости . Множество этих цилиндров траекторий можно упорядочить. Будем обозначать , если цилиндр лежит внутри цилиндра . Доказана лемма о том, что траектория системы (9), начавшаяся на цилиндре , возвращается на плоскость (сразу из режима ) в точку, принадлежащую некоторому цилиндру так, что при ; при ; при .

При , в силу выпуклости траекторий системы Вольтерра, найдется цилиндр траекторий , касающийся плоскости . Назовем касательным цилиндром.

Лемма 3.3.1 Пусть и при этом не касается плоскости . Пусть начальная точка принадлежит или лежит внутри него. Тогда при в системе устанавливается режим ; при система переходит в режим .

Исследуются предельные множества построенной модели. Показано, что предельные цилиндры не существуют. В §3.4-3.6 проводится качественное исследование построенной модели. В §3.7 доказываются основные теоремы о глобальном поведении траекторий системы (8) - (12). Обозначим через точку с координатами , а через луч: .

Теорема 3.7.1 Пусть . Тогда для любой начальной точки найдется такой момент времени , что при в системе (8) - (12) установится режим .

Теорема 3.7.2 Пусть, . Тогда для любой начальной точки , кроме точек лучей

,

,

найдется такой момент времени , что при в системе (8) - (12) установится периодический режим одного из двух типов: или . Точки лучей и являются положениями равновесия.

Теорема 3.7.3 Пусть . Тогда, если начальная точка принадлежит лучу , то в системе (8) - (12) устанавливается неустойчивый скользящий режим, и при этом для точек луча

. (13)

Для остальных начальных точек будет происходить бесконечное чередование режимов с возможным выходом на режим при достаточно малых , и при этом также выполняется (13).

Предложена экологическая интерпретация полученных результатов. Построенная модель обладает большим разнообразием режимов. При этом режим , соответствующий классической модели В. Вольтерра, является одним из возможных частных случаев и осуществляется лишь при определенных условиях. В §3.8 рассматривается модель, в которой в отсутствие хищника рост численности особей жертвы сдерживается конкуренцией. В этом случае первое уравнение в системе (11), т.е. уравнение, задающее динамику жертвы в отсутствие хищника, имеет вид , где постоянная . Исследуется влияние этого изменения модели на ее динамику, доказываются теоремы, дающие условия вторичной миграции. Найдены условия существования периодического структурного режима , т.е. периодической структурной орбиты . Таким образом, построенная модель хищник - жертва с миграцией демонстрирует более разнообразные режимы поведения, чем классическая модель В. Вольтерра, что делает ее более адекватной.

В главе 4 на основе подхода, предложенного в главе 1, строится и исследуется математическая модель развития экономической производственной системы с учетом природоохранных затрат в виде ССИ. Рассматривается некоторое производственное объединение (ПО), в состав которого входит конечное, но изменяющееся количество одновременно функционирующих предприятий: , если - е предприятие входит в состав ПО, - в противном случае. Изменение этого количества происходит согласно правилам, устанавливаемым некоторым центром. Центр должен распределить инвестиции по предприятиям для их развития. Цель развития состоит в достижении предприятиями некоторых заданных уровней в течение заданного промежутка времени . При этом центр может закрыть какое-либо предприятие или возобновить его работу в зависимости от эффективности его производственной и природоохранной деятельности, а также может открыть новое предприятие при условиях эффективной работы ПО. Задача состоит в построении функции распределения инвестиций по предприятиям, обеспечивающей их рост к нормативным уровням с учетом природоохранных затрат. Пусть количественная характеристика состояния - ого предприятия в момент времени определяется функцией , . Скорость прироста инвестиций в предприятие в момент обозначим через , . Далее, пусть - скорость прироста уровня развития предприятия на единицу капитала, вложенного в него, - ограниченная, кусочно-непрерывная функция. Тогда дифференциальное уравнение, задающее динамику развития - го предприятия, имеет вид

(14)

Заметим, что количество предприятий, функционирующих в составе ПО, не задано. Будем считать, что инвестиции, направляемые центром на развитие - го предприятия, состоят из части собственных средств и кредитов банка, которые получает ПО, а центр распределяет по предприятиям. Таким образом, можно ввести условие

, (15)

где - коэффициент, характеризующий скорость прироста собственных средств предприятия на единицу объема его продукции; - скорость прироста инвестиций за счет кредита банка. При этом , , - кусочно-непрерывны. Введем функцию - количество функционирующих предприятий, входящих в состав ПО в момент времени , - кусочно-постоянная функция, множество значений которой , - заданное натуральное число. Если в момент времени объединение состоит из предприятий , то . Если , то в момент ПО не функционирует.

Теперь рассмотрим условия изменения количества предприятий в составе ПО, т.е. условия изменения структуры. Предположим, что центр может закрывать неэффективные предприятия или, наоборот, открывать новые в случае успешной деятельности ПО. Построим модели процессов сокращения и расширения производства при различных предположениях. При этом будем использовать метод построения моделей ССИ, предложенный в главе 1.