Главная Коллекция "Otherreferats" Экономико-математическое моделирование Эконометрические методы исследований

Эконометрические методы исследований

Расчет параметров уравнений линейной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной и гиперболической парной регрессии. Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации. Анализ параметров уравнения регрессии, критерий Стьюдента.

Рубрика Экономико-математическое моделирование
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 27.03.2017
Размер файла 324,9 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

НОУ СИБИРСКИЙ ИНСТИТУТ БИЗНЕСА, УПРАВЛЕНИЯ

И ПСИХОЛОГИИ

экономический факультет

кафедра прикладной математики и информатики

эконометрика

Красноярск 2014

СОДЕРЖАНИЕ

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Задача 1

По данным индивидуального варианта выполните следующие задания.

Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости б = 0,05.

Район

Потребительские расходы на душу населения, тыс. руб., y

Денежные доходы на душу населения, тыс. руб., х

Респ. Башкортостан

557

846

Удмурская Республика

468

1006

Курганская обл.

36

797

Оренбургская обл.

526

876

Пермская обл.

970

987

Свердловская обл.

412

893

Челябинская обл.

53

754

Республика Алтай

367

728

Алтайский край

367

520

Кемеровская обл.

336

637

Новосибирская обл.

411

588

Омская обл.

452

682

Томская обл.

383

645

Тюменская обл.

328

764

Решение:

Пункт 1 Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Рисунок 1 Диаграмма рассеяния и линии тренда

Параболический вид связи

Пункт 2 Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

ЛИНЕЙНАЯ СВЯЗЬ

Система нормальных уравнений.

a*n + b?x = ?y

a?x + b?x2 = ?y*x

x

y

x2

y2

x * y

846

557

715716

310249

471222

1006

468

1012036

219024

470808

797

36

635209

1296

28692

876

526

767376

276676

460776

987

970

974169

940900

957390

893

412

797449

169744

367916

754

53

568516

2809

39962

728

367

529984

134689

267176

520

367

270400

134689

190840

637

336

405769

112896

214032

588

411

345744

168921

241668

682

452

465124

204304

308264

645

383

416025

146689

247035

764

328

583696

107584

250592

10723

5666

8487213

2930470

4516373

Для наших данных система уравнений имеет вид

14a + 10723 b = 5666

10723 a + 8487213 b = 4516373

Домножим уравнение (1) системы на (-765.93), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-10723a -8213067.39 b = -4339759.38

10723 a + 8487213 b = 4516373

Получаем:

274145.61 b = 176613.62

Откуда b = 0.6442

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

14a + 10723 b = 5666

14a + 10723 * 0.6442 = 5666

14a = -1242.04

a = -88.7171

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.6442, a = -88.7171

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 0.6442 x - 88.7171

Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов вi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

Коэффициент корреляции

Ковариация.

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < rxy < 0.3: слабая;

0.3 < rxy < 0.5: умеренная;

0.5 < rxy < 0.7: заметная;

0.7 < rxy < 0.9: высокая;

0.9 < rxy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X умеренная и прямая.

Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 0.64 x -88.72

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = 0.64 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 0.64.

Коэффициент a = -88.72 формально показывает прогнозируемый уровень у

СТЕПЕННАЯ СВЯЗЬ

Степенное уравнение регрессии имеет вид y = a xb

Система нормальных уравнений.

a*n + b?x = ?y

a?x + b?x2 = ?y*x

ln(x)

ln(y)

ln(x)2

ln(y)2

ln(x) * ln(y)

2.93

2.75

8.57

7.54

8.04

3

2.67

9.02

7.13

8.02

2.9

1.56

8.42

2.42

4.52

2.94

2.72

8.66

7.4

8.01

2.99

2.99

8.97

8.92

8.94

2.95

2.61

8.71

6.84

7.72

2.88

1.72

8.28

2.97

4.96

2.86

2.56

8.19

6.58

7.34

2.72

2.56

7.38

6.58

6.97

2.8

2.53

7.86

6.38

7.08

2.77

2.61

7.67

6.83

7.24

2.83

2.66

8.03

7.05

7.52

2.81

2.58

7.89

6.67

7.26

2.88

2.52

8.31

6.33

7.25

40.27

35.04

115.95

89.65

100.86

Для наших данных система уравнений имеет вид

14a + 40.27 b = 35.04

40.27 a + 115.95 b = 100.86

Домножим уравнение (1) системы на (-2.88), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-40.27a -115.98 b = -100.92

40.27 a + 115.95 b = 100.86

Получаем:

-0.03 b = -0.061

Откуда b = 0.5736

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

14a + 40.27 b = 35.04

14a + 40.27 * 0.5736 = 35.04

14a = 11.95

a = 0.853

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.5736, a = 0.853

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 100.85304955x0.5736 = 7.12934x0.5736

Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов вi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ СВЯЗЬ

Экспоненциальное уравнение регрессии имеет вид y = a ebx

Система нормальных уравнений.

a*n + b?x = ?y

a?x + b?x2 = ?y*x

x

ln(y)

x2

ln(y)2

x * ln(y)

846

2.75

715716

7.54

2322.99

1006

2.67

1012036

7.13

2686.27

797

1.56

635209

2.42

1240.37

876

2.72

767376

7.4

2383.58

987

2.99

974169

8.92

2947.94

893

2.61

797449

6.84

2335.1

754

1.72

568516

2.97

1300.1

728

2.56

529984

6.58

1867.08

520

2.56

270400

6.58

1333.63

637

2.53

405769

6.38

1609.28

588

2.61

345744

6.83

1536.94

682

2.66

465124

7.05

1810.8

645

2.58

416025

6.67

1666.16

764

2.52

583696

6.33

1922.13

10723

35.04

8487213

89.65

26962.38

Для наших данных система уравнений имеет вид

14a + 10723 b = 35.04

10723 a + 8487213 b = 26962.38

Домножим уравнение (1) системы на (-765.93), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-10723a -8213067.39 b = -26840.53

10723 a + 8487213 b = 26962.38

Получаем:

274145.61 b = 121.85

Откуда b = 0.000445

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

14a + 10723 b = 35.04

14a + 10723 * 0.000445 = 35.04

14a = 30.28

a = 2.1625

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.000445, a = 2.1625

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 102.16251311e0.000445x = 145.38283e0.000445x

Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов вi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СВЯЗЬ

Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b ln(x) + a

Система нормальных уравнений.

a*n + b?x = ?y

a?x + b?x2 = ?y*x

ln(x)

y

ln(x)2

y2

ln(x) * y

2.93

557

8.57

310249

1630.55

3

468

9.02

219024

1405.22

2.9

36

8.42

1296

104.45

2.94

526

8.66

276676

1547.76

2.99

970

8.97

940900

2904.49

2.95

412

8.71

169744

1215.75

2.88

53

8.28

2809

152.5

2.86

367

8.19

134689

1050.4

2.72

367

7.38

134689

996.77

2.8

336

7.86

112896

942.19

2.77

411

7.67

168921

1138.21

2.83

452

8.03

204304

1280.87

2.81

383

7.89

146689

1076.06

2.88

328

8.31

107584

945.65

40.27

5666

115.95

2930470

16390.88

Для наших данных система уравнений имеет вид

14a + 40.27 b = 5666

40.27 a + 115.95 b = 16390.88

Домножим уравнение (1) системы на (-2.88), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-40.27a -115.98 b = -16318.08

40.27 a + 115.95 b = 16390.88

Получаем:

-0.03 b = 72.8

Откуда b = 992.2126

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

14a + 40.27 b = 5666

14a + 40.27 * 992.2126 = 5666

14a = -34290.4

a = -2449.6375

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 992.2126, a = -2449.6375

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 992.2126 ln(x) - 2449.6375

Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов вi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ

Система нормальных уравнений.

a*n + b?x = ?y

a?x + b?x2 = ?y*x

x

ln(y)

x2

ln(y)2

x * ln(y)

846

2.75

715716

7.54

2322.99

1006

2.67

1012036

7.13

2686.27

797

1.56

635209

2.42

1240.37

876

2.72

767376

7.4

2383.58

987

2.99

974169

8.92

2947.94

893

2.61

797449

6.84

2335.1

754

1.72

568516

2.97

1300.1

728

2.56

529984

6.58

1867.08

520

2.56

270400

6.58

1333.63

637

2.53

405769

6.38

1609.28

588

2.61

345744

6.83

1536.94

682

2.66

465124

7.05

1810.8

645

2.58

416025

6.67

1666.16

764

2.52

583696

6.33

1922.13

10723

35.04

8487213

89.65

26962.38

Для наших данных система уравнений имеет вид

14a + 10723 b = 35.04

10723 a + 8487213 b = 26962.38

Домножим уравнение (1) системы на (-765.93), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-10723a -8213067.39 b = -26840.53

10723 a + 8487213 b = 26962.38

Получаем:

274145.61 b = 121.85

Откуда b = 0.000445

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

14a + 10723 b = 35.04

14a + 10723 * 0.000445 = 35.04

14a = 30.28

a = 2.1625

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.000445, a = 2.1625

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 102.1625*100.000445x = 145.38283*1.00102x

Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов вi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ СВЯЗЬ

Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b ln(x) + a

Система нормальных уравнений.

a*n + b?x = ?y

a?x + b?x2 = ?y*x

ln(x)

y

ln(x)2

y2

ln(x) * y

2.93

557

8.57

310249

1630.55

3

468

9.02

219024

1405.22

2.9

36

8.42

1296

104.45

2.94

526

8.66

276676

1547.76

2.99

970

8.97

940900

2904.49

2.95

412

8.71

169744

1215.75

2.88

53

8.28

2809

152.5

2.86

367

8.19

134689

1050.4

2.72

367

7.38

134689

996.77

2.8

336

7.86

112896

942.19

2.77

411

7.67

168921

1138.21

2.83

452

8.03

204304

1280.87

2.81

383

7.89

146689

1076.06

2.88

328

8.31

107584

945.65

40.27

5666

115.95

2930470

16390.88

Для наших данных система уравнений имеет вид

14a + 40.27 b = 5666

40.27 a + 115.95 b = 16390.88

Домножим уравнение (1) системы на (-2.88), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-40.27a -115.98 b = -16318.08

40.27 a + 115.95 b = 16390.88

Получаем:

-0.03 b = 72.8

Откуда b = 992.2126

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

14a + 40.27 b = 5666

14a + 40.27 * 992.2126 = 5666

14a = -34290.4

a = -2449.6375

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 992.2126, a = -2449.6375

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 992.2126 ln(x) - 2449.6375

Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов вi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

Пункт 3 Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

Денежные доходы на душу населения, тыс. руб., х

Потребительские расходы на душу населения, тыс. руб., y

Денежные доходы на душу населения, тыс. руб., х

1

Потребительские расходы на душу населения, тыс. руб., y

0,422521976

1

ЛИНЕЙНАЯ СВЯЗЬ

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 0.6442 x - 88.7171

x

y

x2

y2

x * y

846

557

715716

310249

471222

1006

468

1012036

219024

470808

797

36

635209

1296

28692

876

526

767376

276676

460776

987

970

974169

940900

957390

893

412

797449

169744

367916

754

53

568516

2809

39962

728

367

529984

134689

267176

520

367

270400

134689

190840

637

336

405769

112896

214032

588

411

345744

168921

241668

682

452

465124

204304

308264

645

383

416025

146689

247035

764

328

583696

107584

250592

10723

5666

8487213

2930470

4516373

Коэффициент корреляции

Ковариация.

В нашем примере связь между признаком Y фактором X умеренная и прямая.

Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 0.64 x -88.72

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 - прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая.

x

y

y(x)

(yi-ycp)2

(y-y(x))2

|y - yx|:y

846

557

456.3

23190.94

10140.81

0.18

1006

468

559.37

4005.08

8349.33

0.2

797

36

424.73

135950.22

151112.04

10.8

876

526

475.63

14710.22

2537.62

0.0958

987

970

547.13

319547.94

178815.37

0.44

893

412

486.58

53.08

5561.74

0.18

754

53

397.03

123702.94

118356.36

6.49

728

367

380.28

1422.37

176.35

0.0362

520

367

246.28

1422.37

14573.17

0.33

637

336

321.66

4721.65

205.78

0.0427

588

411

290.09

39.51

14619.71

0.29

682

452

350.65

2235.94

10272.78

0.22

645

383

326.81

471.51

3157.44

0.15

764

328

403.47

5885.08

5696

0.23

10723

5666

5666

637358.86

523574.48

19.68

Показатель

Значение

Коэффициент детерминации

0.157

СТЕПЕННАЯ СВЯЗЬ

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 100.85304955x0.5736 = 7.12934x0.5736

Коэффициент корреляции b

x

y

y(x)

(yi-ycp)2

(y-y(x))2

(xi-xcp)2

|y - yx|:y

2.93

2.75

2.53

0.0589

0.0457

0.00256

0.0778

3

2.67

2.58

0.0279

0.00902

0.0158

0.0356

2.9

1.56

2.52

0.9

0.92

0.00061

0.62

2.94

2.72

2.54

0.0475

0.0325

0.00432

0.0662

2.99

2.99

2.57

0.23

0.17

0.0138

0.14

2.95

2.61

2.55

0.0125

0.00481

0.00549

0.0265

2.88

1.72

2.5

0.61

0.61

0

0.45

2.86

2.56

2.49

0.00379

0.0049

0.000214

0.0273

2.72

2.56

2.41

0.00379

0.0237

0.0258

0.06

2.8

2.53

2.46

0.000541

0.00421

0.00527

0.0257

2.77

2.61

2.44

0.0123

0.0297

0.0115

0.0659

2.83

2.66

2.48

0.0231

0.0312

0.00185

0.0666

2.81

2.58

2.46

0.00642

0.0141

0.00452

0.0459

2.88

2.52

2.51

0.000164

8.4E-5

4.0E-5

0.00364

40.27

35.04

35.04

1.93

1.9

0.0919

1.71

Показатель

Значение

Коэффициент детерминации

0.113

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ СВЯЗЬ

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 102.16251311e0.000445x = 145.38283e0.000445x

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

x

y

y(x)

(yi-ycp)2

(y-y(x))2

(xi-xcp)2

|y - yx|:y

846

2.75

2.54

0.0589

0.0429

6411.43

0.0755

1006

2.67

2.61

0.0279

0.00365

57634.29

0.0226

797

1.56

2.52

0.9

0.92

965.43

0.62

876

2.72

2.55

0.0475

0.0286

12115.72

0.0621

987

2.99

2.6

0.23

0.15

48872.58

0.13

893

2.61

2.56

0.0125

0.00306

16147.15

0.0212

754

1.72

2.5

0.61

0.6

142.29

0.45

728

2.56

2.49

0.00379

0.00616

1438.58

0.0306

520

2.56

2.39

0.00379

0.0292

60480.86

0.0667

637

2.53

2.45

0.000541

0.00649

16622.58

0.0319

588

2.61

2.42

0.0123

0.0361

31658.58

0.0726

682

2.66

2.47

0.0231

0.0359

7044.01

0.0713

645

2.58

2.45

0.00642

0.0179

14623.72

0.0518

764

2.52

2.5

0.000164

0.000186

3.72

0.00543

10723

35.04

35.04

1.93

1.88

274160.93

1.71

Показатель

Значение

Коэффициент детерминации

0.003

ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СВЯЗЬ

y = 992.2126 ln(x) - 2449.6375

x

y

y(x)

(yi-ycp)2

(y-y(x))2

(xi-xcp)2

|y - yx|:y

2.93

557

454.94

23190.94

10417.02

0.00256

0.18

3

468

529.58

4005.08

3791.85

0.0158

0.13

2.9

36

429.23

135950.22

154626.66

0.00061

10.92

2.94

526

469.95

14710.22

3141.37

0.00432

0.11

2.99

970

521.36

319547.94

201276.36

0.0138

0.46

2.95

412

478.23

53.08

4387

0.00549

0.16

2.88

53

405.33

123702.94

124134.01

0

6.65

2.86

367

390.21

1422.37

538.48

0.000214

0.0632

2.72

367

245.22

1422.37

14831.54

0.0258

0.33

2.8

336

332.66

4721.65

11.12

0.00527

0.00993

2.77

411

298.17

39.51

12729.81

0.0115

0.27

2.83

452

362.08

2235.94

8085.78

0.00185

0.2

2.81

383

338.04

471.51

2021.13

0.00452

0.12

2.88

328

411

5885.08

6889.67

4.0E-5

0.25

40.27

5666

5666

637358.86

546881.79

0.0919

19.86

Показатель

Значение

Коэффициент детерминации

0.142

ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ

a*n + b?x = ?y

a?x + b?x2 = ?y*x

y = 102.1625*100.000445x = 145.38283*1.00102x

x

y

y(x)

(yi-ycp)2

(y-y(x))2

(xi-xcp)2

|y - yx|:y

846

2.75

2.54

0.0589

0.0429

6411.43

0.0755

1006

2.67

2.61

0.0279

0.00365

57634.29

0.0226

797

1.56

2.52

0.9

0.92

965.43

0.62

876

2.72

2.55

0.0475

0.0286

12115.72

0.0621

987

2.99

2.6

0.23

0.15

48872.58

0.13

893

2.61

2.56

0.0125

0.00306

16147.15

0.0212

754

1.72

2.5

0.61

0.6

142.29

0.45

728

2.56

2.49

0.00379

0.00616

1438.58

0.0306

520

2.56

2.39

0.00379

0.0292

60480.86

0.0667

637

2.53

2.45

0.000541

0.00649

16622.58

0.0319

588

2.61

2.42

0.0123

0.0361

31658.58

0.0726

682

2.66

2.47

0.0231

0.0359

7044.01

0.0713

645

2.58

2.45

0.00642

0.0179

14623.72

0.0518

764

2.52

2.5

0.000164

0.000186

3.72

0.00543

10723

35.04

35.04

1.93

1.88

274160.93

1.71

Показатель

Значение

Коэффициент детерминации

0.005

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ СВЯЗЬ

y = 992.2126 ln(x) - 2449.6375

Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 2)

x

y

y(x)

(yi-ycp)2

(y-y(x))2

(xi-xcp)2

|y - yx|:y

2.93

557

454.94

23190.94

10417.02

0.00256

0.18

3

468

529.58

4005.08

3791.85

0.0158

0.13

2.9

36

429.23

135950.22

154626.66

0.00061

10.92

2.94

526

469.95

14710.22

3141.37

0.00432

0.11

2.99

970

521.36

319547.94

201276.36

0.0138

0.46

2.95

412

478.23

53.08

4387

0.00549

0.16

2.88

53

405.33

123702.94

124134.01

0

6.65

2.86

367

390.21

1422.37

538.48

0.000214

0.0632

2.72

367

245.22

1422.37

14831.54

0.0258

0.33

2.8

336

332.66

4721.65

11.12

0.00527

0.00993

2.77

411

298.17

39.51

12729.81

0.0115

0.27

2.83

452

362.08

2235.94

8085.78

0.00185

0.2

2.81

383

338.04

471.51

2021.13

0.00452

0.12

2.88

328

411

5885.08

6889.67

4.0E-5

0.25

40.27

5666

5666

637358.86

546881.79

0.0919

19.86

Показатель

Значение

Коэффициент детерминации

0.114

Пункт 4 Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

ЛИНЕЙНАЯ СВЯЗЬ

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 0.6442 x - 88.7171

Коэффициент эластичности находится по формуле:

В нашем примере коэффициент эластичности больше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится более чем на 1%. Другими словами - Х существенно влияет на Y.

СТЕПЕННАЯ СВЯЗЬ

y = 100.85304955x0.5736 = 7.12934x0.5736

Коэффициент эластичности находится по формуле:

E = b = 0.57

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ СВЯЗЬ

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 102.16251311e0.000445x = 145.38283e0.000445x

Коэффициент эластичности.

E = 765.93ln(0.000445) = -5911.62

В нашем примере коэффициент эластичности больше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится более чем на 1%. Другими словами - Х существенно влияет на Y.

ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СВЯЗЬ

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 992.2126 ln(x) - 2449.6375

Коэффициент эластичности находится по формуле:

В нашем примере коэффициент эластичности больше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится более чем на 1%. Другими словами - Х существенно влияет на Y.

ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ

Коэффициент эластичности находится по формуле:

E = b = 0.000445

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ СВЯЗЬ

y = 992.2126 ln(x) - 2449.6375

Коэффициент эластичности находится по формуле:

В нашем примере коэффициент эластичности больше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится более чем на 1%. Другими словами - Х существенно влияет на Y.

Пункт 5 Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

ЛИНЕЙНАЯ СВЯЗЬ

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 0.6442 x - 88.7171

x

y

y(x)

(yi-ycp)2

(y-y(x))2

|y - yx|:y

846

557

456.3

23190.94

10140.81

0.18

1006

468

559.37

4005.08

8349.33

0.2

797

36

424.73

135950.22

151112.04

10.8

876

526

475.63

14710.22

2537.62

0.0958

987

970

547.13

319547.94

178815.37

0.44

893

412

486.58

53.08

5561.74

0.18

754

53

397.03

123702.94

118356.36

6.49

728

367

380.28

1422.37

176.35

0.0362

520

367

246.28

1422.37

14573.17

0.33

637

336

321.66

4721.65

205.78

0.0427

588

411

290.09

39.51

14619.71

0.29

682

452

350.65

2235.94

10272.78

0.22

645

383

326.81

471.51

3157.44

0.15

764

328

403.47

5885.08

5696

0.23

10723

5666

5666

637358.86

523574.48

19.68

Ошибка аппроксимации.

Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.

Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

СТЕПЕННАЯ СВЯЗЬ

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 100.85304955x0.5736 = 7.12934x0.5736

Ошибка аппроксимации.

x

y

y(x)

(yi-ycp)2

(y-y(x))2

(xi-xcp)2

|y - yx|:y

2.93

2.75

2.53

0.0589

0.0457

0.00256

0.0778

3

2.67

2.58

0.0279

0.00902

0.0158

0.0356

2.9

1.56

2.52

0.9

0.92

0.00061

0.62

2.94

2.72

2.54

0.0475

0.0325

0.00432

0.0662

2.99

2.99

2.57

0.23

0.17

0.0138

0.14

2.95

2.61

2.55

0.0125

0.00481

0.00549

0.0265

2.88

1.72

2.5

0.61

0.61

0

0.45

2.86

2.56

2.49

0.00379

0.0049

0.000214

0.0273

2.72

2.56

2.41

0.00379

0.0237

0.0258

0.06

2.8

2.53

2.46

0.000541

0.00421

0.00527

0.0257

2.77

2.61

2.44

0.0123

0.0297

0.0115

0.0659

2.83

2.66

2.48

0.0231

0.0312

0.00185

0.0666

2.81

2.58

2.46

0.00642

0.0141

0.00452

0.0459

2.88

2.52

2.51

0.000164

8.4E-5

4.0E-5

0.00364

40.27

35.04

35.04

1.93

1.9

0.0919

1.71

Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.

Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ СВЯЗЬ

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 102.16251311e0.000445x = 145.38283e0.000445x

Ошибка аппроксимации.

x

y

y(x)

(yi-ycp)2

(y-y(x))2

(xi-xcp)2

|y - yx|:y

846

2.75

2.54

0.0589

0.0429

6411.43

0.0755

1006

2.67

2.61

0.0279

0.00365

57634.29

0.0226

797

1.56

2.52

0.9

0.92

965.43

0.62

876

2.72

2.55

0.0475

0.0286

12115.72

0.0621

987

2.99

2.6

0.23

0.15

48872.58

0.13

893

2.61

2.56

0.0125

0.00306

16147.15

0.0212

754

1.72

2.5

0.61

0.6

142.29

0.45

728

2.56

2.49

0.00379

0.00616

1438.58

0.0306

520

2.56

2.39

0.00379

0.0292

60480.86

0.0667

637

2.53

2.45

0.000541

0.00649

16622.58

0.0319

588

2.61

2.42

0.0123

0.0361

31658.58

0.0726

682

2.66

2.47

0.0231

0.0359

7044.01

0.0713

645

2.58

2.45

0.00642

0.0179

14623.72

0.0518

764

2.52

2.5

0.000164

0.000186

3.72

0.00543

10723

35.04

35.04

1.93

1.88

274160.93

1.71

Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.

Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СВЯЗЬ

y = 992.2126 ln(x) - 2449.6375

Ошибка аппроксимации.

x

y

y(x)

(yi-ycp)2

(y-y(x))2

(xi-xcp)2

|y - yx|:y

2.93

557

454.94

23190.94

10417.02

0.00256

0.18

3

468

529.58

4005.08

3791.85

0.0158

0.13

2.9

36

429.23

135950.22

154626.66

0.00061

10.92

2.94

526

469.95

14710.22

3141.37

0.00432

0.11

2.99

970

521.36

319547.94

201276.36

0.0138

0.46

2.95

412

478.23

53.08

4387

0.00549

0.16

2.88

53

405.33

123702.94

124134.01

0

6.65

2.86

367

390.21

1422.37

538.48

0.000214

0.0632

2.72

367

245.22

1422.37

14831.54

0.0258

0.33

2.8

336

332.66

4721.65

11.12

0.00527

0.00993

2.77

411

298.17

39.51

12729.81

0.0115

0.27

2.83

452

362.08

2235.94

8085.78

0.00185

0.2

2.81

383

338.04

471.51

2021.13

0.00452

0.12

2.88

328

411

5885.08

6889.67

4.0E-5

0.25

40.27

5666

5666

637358.86

546881.79

0.0919

19.86

Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.

Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 102.1625*100.000445x = 145.38283*1.00102x

Ошибка аппроксимации.

x

y

y(x)

(yi-ycp)2

(y-y(x))2

(xi-xcp)2

|y - yx|:y

846

2.75

2.54

0.0589

0.0429

6411.43

0.0755

1006

2.67

2.61

0.0279

0.00365

57634.29

0.0226

797

1.56

2.52

0.9

0.92

965.43

0.62

876

2.72

2.55

0.0475

0.0286

12115.72

0.0621

987

2.99

2.6

0.23

0.15

48872.58

0.13

893

2.61

2.56

0.0125

0.00306

16147.15

0.0212

754

1.72

2.5

0.61

0.6

142.29

0.45

728

2.56

2.49

0.00379

0.00616

1438.58

0.0306

520

2.56

2.39

0.00379

0.0292

60480.86

0.0667

637

2.53

2.45

0.000541

0.00649

16622.58

0.0319

588

2.61

2.42

0.0123

0.0361

31658.58

0.0726

682

2.66

2.47

0.0231

0.0359

7044.01

0.0713

645

2.58

2.45

0.00642

0.0179

14623.72

0.0518

764

2.52

2.5

0.000164

0.000186

3.72

0.00543

10723

35.04

35.04

1.93

1.88

274160.93

1.71

Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.

Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ СВЯЗЬ

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 992.2126 ln(x) - 2449.6375

Ошибка аппроксимации.

x

y

y(x)

(yi-ycp)2

(y-y(x))2

(xi-xcp)2

|y - yx|:y

2.93

557

454.94

23190.94

10417.02

0.00256

0.18

3

468

529.58

4005.08

3791.85

0.0158

0.13

2.9

36

429.23

135950.22

154626.66

0.00061

10.92

2.94

526

469.95

14710.22

3141.37

0.00432

0.11

2.99

970

521.36

319547.94

201276.36

0.0138

0.46

2.95

412

478.23

53.08

4387

0.00549

0.16

2.88

53

405.33

123702.94

124134.01

0

6.65

2.86

367

390.21

1422.37

538.48

0.000214

0.0632

2.72

367

245.22

1422.37

14831.54

0.0258

0.33

2.8

336

332.66

4721.65

11.12

0.00527

0.00993

2.77

411

298.17

39.51

12729.81

0.0115

0.27

2.83

452

362.08

2235.94

8085.78

0.00185

0.2

2.81

383

338.04

471.51

2021.13

0.00452

0.12

2.88

328

411

5885.08

6889.67

4.0E-5

0.25

40.27

5666

5666

637358.86

546881.79

0.0919

19.86

Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.

Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

Пункт 6 Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

F-статистика. Критерий Фишера.

Находим из таблицы Fkp(1;11;0.05) = 4.84

где m - количество факторов в уравнении тренда (m=2).

Поскольку F < Fkp, то коэффициент детерминации (и в целом уравнение тренда) статистически не значим

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда.

1) t-статистика. Критерий Стьюдента.

Статистическая значимость коэффициента b не подтверждается

Статистическая значимость коэффициента a не подтверждается

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда.

Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95% будут следующими:

(b - tнабл Sb; b + tнабл Sb)

(0.00469 - 2.201*0.36; 0.00469 + 2.201*0.36)

(-0.79;0.8)

Так как точка 0 (ноль) лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента b статистически незначима.

(a - tнабл Sa; a + tнабл Sa)

(-6.604 - 2.201*280.93; -6.604 + 2.201*280.93)

(-624.93;611.72)

Пункт 7 Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости б = 0,05.

Интервальный прогноз.

Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.

Uy = yn+L ± K

Где

L - период упреждения; уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости б и для числа степеней свободы, равного n-2.

По таблице Стьюдента находим Tтабл

Tтабл (n-m-1;б/2) = (11;0.025) = 2.201

Точечный прогноз, t = 765: y(765) = 0.00469*7652 -6.6*765 + 2618.11 = 312.28

312.28 - 477.5 = -165.22 ; 312.28 + 477.5 = 789.78

Интервальный прогноз:

t = 765: (-165.22;789.78)

Точечный прогноз, t = 766: y(766) = 0.00469*7662 -6.6*766 + 2618.11 = 312.86

312.86 - 490.06 = -177.2 ; 312.86 + 490.06 = 802.92

Интервальный прогноз:

t = 766: (-177.2;802.92)

Точечный прогноз, t = 767: y(767) = 0.00469*7672 -6.6*767 + 2618.11 = 313.45

313.45 - 503.83 = -190.38 ; 313.45 + 503.83 = 817.28

Интервальный прогноз:

t = 767: (-190.38;817.28)

Задача 2

По 40 предприятиям одной отрасли исследовалась зависимость производительности труда - y от уровня квалификации рабочих - x1 и от энерговооруженности их труда - x2:

Уравнение регрессии

Стандартные ошибки параметров 0,5 2 ?

t-критерий для параметров 3 ? 5

Множественный коэффициент корреляции 0,85

Задание

1. Определите параметр a и заполните пропущенные значения.

2. Оцените значимость уравнения в целом, используя значение множественного коэффициента корреляции.

3. Какой из факторов оказывает более сильное воздействие на результат?

=

Уравнение множественной регрессии.Уравнение множественной регрессии может быть представлено в виде:Y = f(в , X) + егде X = X(X1, X2, ..., Xm) - вектор независимых (объясняющих) переменных; в - вектор параметров (подлежащих определению); е - случайная ошибка (отклонение); Y - зависимая (объясняемая) переменная.теоретическое линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:Y = в0 + в1X1 + в2X2 + ... + вmXm + ев0 - свободный член, определяющий значение Y, в случае, когда все объясняющие переменные Xj равны 0.

Для оценки в-коэффциентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид:

rx1y=в1+rx1x2*в2 + ... + rx1xm*вm

rx2y=rx2x1*в1 + в2 + ... + rx2xm*вm

...

rxmy=rxmx1*в1 + rxmx2*в2 + ... + вm

Для наших данных (берем из матрицы парных коэффициентов корреляции):

5 = в1 +2в2

2 = 3в1 + в2

Данную систему линейных уравнений решаем методом Гаусса: в1 = 0.805; в2 = 0.488;

Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:

y0 = 0.805x1 + 0.488x2

Множественный коэффициент корреляции (Индекс множественной корреляции).

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции.

В отличии от парного коэффициента корреляции, который может принимать отрицательные значения, он принимает значения от 0 до 1.

Поэтому R не может быть использован для интерпретации направления связи. Чем плотнее фактические значения yi располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина Ry(x1,...,xm).

Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат. При значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

Связь между признаком Y факторами X умеренная

Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и в-коэффициентов.

=0.85

Коэффициент детерминации=0,85*0,85=0,7225 высокий, уравнение подобрано хорошо, значимо.

Проверка общего качества уравнения множественной регрессии.

Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности: R2 или b1 = b2 =... = bm= 0 (гипотеза о незначимости уравнения регрессии, рассчитанного по данным генеральной совокупности).

Для ее проверки используют F-критерий Фишера.

При этом вычисляют фактическое (наблюдаемое) значение F-критерия, через коэффициент детерминации R2, рассчитанный по данным конкретного наблюдения.

По таблицам распределения Фишера-Снедоккора находят критическое значение F-критерия (Fкр). Для этого задаются уровнем значимости б (обычно его берут равным 0,05) и двумя числами степеней свободы k1=m и k2=n-m-1.

2) F-статистика. Критерий Фишера.

Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение регрессии объясняет поведение Y.

Задача 3

По данным индивидуального варианта выполните следующие задания.

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений системы.

2. Определите метод оценки параметров модели.

3. Запишите приведенную форму модели.

Модифицированная модель Кейнса:

где С - потребление;

Y - ВВП;

I - валовые инвестиции;

G - государственные расходы;

t - текущий период;

t-l - предыдущий период.

Решение:

В этой модели три эндогенные переменные (Ct, It, Yt). Причём переменная Yt задана тождеством. Поэтому практически статистическое решение необходимо только для первых двух уравнений системы, которые необходимо проверить на идентификацию. Модель содержит две предопределённые переменные - экзогенную Gt и лаговую - Yt-1.

При практическом решении задачи на основе статистической информации за ряд лет или по совокупности регионов за один год в уравнениях для эндогенных переменных Ct, It обычно содержится свободный член (а1, а2), значение которого аккумулирует влияние неучтённых в уравнении факторов и не влияет на определение идентифицируемости модели.

Поскольку фактические данные об эндогенных переменных Ct, It могут отличаться от постулируемых моделью, то принято в модель включать случайную составляющую для каждого уравнения системы, исключив тождества. Случайные составляющие обозначены через ?1 и е2. Они не влияют на решение вопроса об идентификации модели.

В рассматриваемой эконометрической модели в первом уравнении системы две эндогенных переменных Ct,It, т. е. H = 2, число отсутствующих предопределённых переменных также равно двум (Gt и Yt-1) - D = 2.

По счётному правилу D + 1 > H, то есть 2 + 1 > 2.

Следовательно, уравнение сверхидентифицируемо.

Коэффициенты при отсутствующих в первом уравнении переменных составят:

Уравнения

Переменные

It

Yt-1

Gt

2

-1

b22

0

3

1

0

1

Согласно таблице detA?0, ранг матрицы равен двум, что соответствует следующему критерию: ранг матрицы коэффициентов должен быть не менее чем число эндогенных переменных в системе без одного. Достаточное условие идентификации выполняется.

Во втором уравнении системы две эндогенных переменных Yt, It, т. е. H = 2, число отсутствующих предопределённых переменных равно одному (Gt) - D = 1.

Коэффициенты при отсутствующих во втором уравнении переменных составят:

Уравнения

Переменные

Ct

Gt

1

-1

0

3

1

1

Согласно таблице detA?0, ранг матрицы равен двум. Достаточное условие идентификации выполняется.

Тождество не требует проверки на идентификацию.

Так как модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение, следовательно, в целом она сверхидентифицируема.

Для определения параметров сверхидентифицированной модели используется двухшаговый метод наименьших квадратов.

Запишем приведённую форму модели в общем виде:

Где

- случайные ошибки.

Задача 4

Изучается зависимость объема продаж бензина (уt) от динамики потребительских цен (хt). Полученные за последние 6 кварталов данные представлены в табл. 4.13.

Таблица 4.13. Исходные данные задачи

Показатель

1 кв.

2 кв.

3 кв.

4 кв.

5 кв.

6 кв.

Индекс потребительских цен, % к кварталу 1

100

104

112

117

121

126

Средний за день объем продаж бензина в течение квартала, тыс. л

89

83

80

77

75

72

Известно также, что xt=680, yt=476, xtyt=53648, xt2=77566.

Задание

1. Постройте модель зависимости объема продаж бензина от индекса потребительских цен с включением фактора времени.

2. Дайте интерпретацию параметров полученной вами модели.

При выборе вида функции тренда можно воспользоваться методом конечных разностей (обязательным условием применения данного подхода является равенство интервалов между уровнями ряда).

Конечными разностями первого порядка являются разности между последовательными уровнями ряда:

Д1t = Yt - Yt-1

Конечными разностями второго порядка являются разности между последовательными конечными разностями 1-го порядка:

Д2t = Д1t - Д1t-1

Конечными разностями j-го порядка являются разности между последовательными конечными разностями (j-1)-го порядка:

Дjt = Дj-1t - Дj-1t-1

Если общая тенденция выражается линейным уравнением Y = a + bt, тогда конечные разности первого порядка постоянны: Д12 = Д13 = ... = Д1n, а разности второго порядка равны нулю.

Если общая тенденция выражается параболой второго порядка: Y = a+ bt + ct2, то получим постоянными конечные разности второго порядка: Д23 = Д24 = ... = Д2n, нулевыми - разности третьего порядка.

Если примерно постоянными оказываются темпы роста, то для выравнивания применяется показательная функция.

При выборе формы уравнения следует исходить из объема имеющейся информации. Чем больше параметров содержит уравнение, тем больше должно быть наблюдений при одной и той же степени надежности оценивания.

Выбор формы кривой может осуществляться и на основе принятого критерия качества уравнения регрессии, в качестве которого может служить сумма квадратов отклонений фактических значений уровня ряда от значений уровней, рассчитанных по уравнению тренда.

Из совокупности кривых выбирается та, которой соответствует минимальное значение критерия. Другим статистическим критерием является коэффициент множественной детерминации R2.

yi

Д1t

Д2t

Темп роста

89

-

-

-

83

-6

-

0.93

80

-3

3

0.96

77

-3

0

0.96

75

-2

1

0.97

72

-3

-1

0.96

Линейное уравнение $name имеет вид y = a1t + a0

1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a0n + a1?t = ?y

a0?t + a1?t2 = ?y * t

t

y

t2

y2

t y

100

89

10000

7921

8900

104

83

10816

6889

8632

112

80

12544

6400

8960

117

77

13689

5929

9009

121

75

14641

5625

9075

126

72

15876

5184

9072

680

476

77566

37948

53648

Для наших данных система уравнений имеет вид:

6a0 + 680a1 = 476

680a0 + 77566a1 = 53648

Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение

Получаем a0 = 147.121, a1 = -0.598

Уравнение тренда:

y = -0.598 t + 147.121

Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов вi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Коэффициент тренда b = -0.598 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения. В данном примере с увеличением t на 1 единицу, y изменится в среднем на -0.598.

Ошибка аппроксимации.

Оценим качество уравнения тренда с помощью средней относительной ошибки аппроксимации.

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным.

Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве тренда.

Однофакторный дисперсионный анализ.

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент эластичности.

Коэффициент эластичности представляет собой показатель силы связи фактора t с результатом у, показывающий, на сколько процентов изменится значение у при изменении значения фактора на 1%.

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении t на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние t на Y не существенно.

Эмпирическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].

Где

В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < з < 0.3: слабая;

0.3 < з < 0.5: умеренная;

0.5 < з < 0.7: заметная;

0.7 < з < 0.9: высокая;

0.9 < з < 1: весьма высокая;

Полученная величина свидетельствует о том, что изменение временного периода t существенно влияет на y.

корреляция детерминация регрессия эконометрический

т.е. в 96.39% случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая.

Для оценки качества параметров уравнения построим расчетную таблицу (табл. 2)

t

y

y(t)

(y-ycp)2

(y-y(t))2

(y-y(t)) : y

100

89

87.31

93.44

2.86

0.019

104

83

84.92

13.44

3.67

0.0231

112

80

80.13

0.44

0.0171

0.00164

117

77

77.14

5.44

0.0197

0.00182

121

75

74.75

18.78

0.0637

0.00336

126

72

71.76

53.78

0.059

0.00337

0

0

476

185.33

6.69

0.0523

2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.

Стандартная ошибка уравнения.

где m = 1 - количество влияющих факторов в модели тренда.

Интервальный прогноз.

Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.

Uy = yn+L ± K

Где

L - период упреждения; уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости б и для числа степеней свободы, равного n-2.

По таблице Стьюдента находим Tтабл

Tтабл (n-m-1;б/2) = (4;0.025) = 2.776

Точечный прогноз, t = 127: y(127) = -0.6*127 + 147.12 = 71.16

71.16 - 4.91 = 66.25 ; 71.16 + 4.91 = 76.07

Интервальный прогноз:

t = 127: (66.25;76.07)

Точечный прогноз, t = 128: y(128) = -0.6*128 + 147.12 = 70.56

70.56 - 5.47 = 65.09 ; 70.56 + 5.47 = 76.03

Интервальный прогноз:

t = 128: (65.09;76.03)

Точечный прогноз, t = 129: y(129) = -0.6*129 + 147.12 = 69.96

69.96 - 6.11 = 63.85 ; 69.96 + 6.11 = 76.07

Интервальный прогноз:

t = 129: (63.85;76.07)

3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда.

1) t-статистика. Критерий Стьюдента.

Статистическая значимость коэффициента b подтверждается

Статистическая значимость коэффициента a подтверждается

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда.

Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95% будут следующими:

(b - tнабл Sb; b + tнабл Sb)

(-0.598 - 2.776*0.0579; -0.598 + 2.776*0.0579)

(a - tнабл Sa; a + tнабл Sa)

(147.121 - 2.776*6.58; 147.121 + 2.776*6.58)

(128.85;165.39)

2) F-статистика. Критерий Фишера.

Находим из таблицы Fkp(1;4;0.05) = 7.71

где m - количество факторов в уравнении тренда (m=1).

Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации (и в целом уравнение тренда) статистически значим

t

y

y(t)

|y - y(t)|

100

89

87.31

1.69

104

83

84.92

1.92

112

80

80.13

0.13

117

77

77.14

0.14

121

75

74.75

0.25

126

72

71.76

0.24

Уравнение множественной регрессии.

Уравнение множественной регрессии может быть представлено в виде:

Y = f(в , X) + е

где X = X(X1, X2, ..., Xm) - вектор независимых (объясняющих) переменных; в - вектор параметров (подлежащих определению); е - случайная ошибка (отклонение); Y - зависимая (объясняемая) переменная.

теоретическое линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:

Y = в0 + в1X1 + в2X2 + ... + вmXm + е

в0 - свободный член, определяющий значение Y, в случае, когда все объясняющие переменные Xj равны 0.

Прежде чем перейти к определению нахождения оценок коэффициентов регрессии, необходимо проверить ряд предпосылок МНК.

Предпосылки МНК.

1. Математическое ожидание случайного отклонения еi равно 0 для всех наблюдений (M(еi) = 0).

2. Гомоскедастичность (постоянство дисперсий отклонений). Дисперсия случайных отклонений еi постоянна: D(еi) = D(еj) = S2 для любых i и j.

3. отсутствие автокорреляции.

4. Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных: Yeixi = 0.

5. Модель является линейное относительно параметров.

6. отсутствие мультиколлинеарности. Между объясняющими переменными отсутствует строгая (сильная) линейная зависимость.

7. Ошибки еi имеют нормальное распределение. Выполнимость данной предпосылки важна для проверки статистических гипотез и построения доверительных интервалов.

Эмпирическое уравнение множественной регрессии представим в виде:

Y = b0 + b1X1 + b1X1 + ... + bmXm + e

Здесь b0, b1, ..., bm - оценки теоретических значений в0, в1, в2, ..., вm коэффициентов регрессии (эмпирические коэффициенты регрессии); e - оценка отклонения е.

При выполнении предпосылок МНК относительно ошибок еi, оценки b0, b1, ..., bm параметров в0, в1, в2, ..., вm множественной линейной регрессии по МНК являются несмещенными, эффективными и состоятельными (т.е. BLUE-оценками).

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют МНК.

1. Оценка уравнения регрессии.

Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения:

s = (XTX)-1XTY

Матрица X

1

100

1

1

104

2

1

112

3

1

117

4

1

121

5

1

126

6

Матрица Y

89

83

80

77

75

72

Матрица XT

1

1

1

1

1

1

100

104

112

117

121

126

1

2

3

4

5

6

Умножаем матрицы, (XTX)

В матрице, (XTX) число 6, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы XT и 1-го столбца матрицы X

Умножаем матрицы, (XTY)

Находим обратную матрицу (XTX)-1

1758.91

-18.56

98.42

-18.56

0.2

-1.04

98.42

-1.04

5.59

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)

Y = 110.33-0.21X1-2.09X2

2. Матрица парных коэффициентов корреляции R.

Число наблюдений n = 6. Число независимых переменных в модели равно 2, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 4. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (6 х 4).

Матрица, составленная из Y и X

1

89

100

1

1

83

104

2

1

80

112

3

1

77

117

4

1

75

121

5

1

72

126

6

Транспонированная матрица.

1

1

1

1

1

1

89

83

80

77

75

72

100

104

112

117

121

126

1

2

3

4

5

6

Матрица ATA.

6

476

680

21

476

37948

53648

1610

680

53648

77566

2473

21

1610

2473

91

Полученная матрица имеет следующее соответствие:

?n

?y

?x1

?x2

?y

?y2

?x1 y

?x2 y

?x1

?yx1

?x1 2

?x2 x1

?x2

?yx2

?x1 x2

?x2 2

Найдем парные коэффициенты корреляции.

Признаки x и y

?xi

?yi

?xiyi

Для y и x1

680

113.333

476

79.333

53648

8941.333

Для y и x2

21

3.5

476

79.333

1610

268.333

Для x1 и x2

21

3.5

680

113.333

2473

412.167

Признаки x и y

Для y и x1

83.222

30.889

9.123

5.558

Для y и x2

2.917

30.889

1.708

5.558

Для x1 и x2

2.917

83.222

1.708

9.123

Матрица парных коэффициентов корреляции R:

-

y

x1

x2

y

1

-0.982

-0.983

x1

-0.982

1

0.995

x2

-0.983

0.995

1

Коллинеарность - зависимость между факторами. В качестве критерия мультиколлинеарности может быть принято соблюдение следующих неравенств:

r(xjy) > r(xkxj) ; r(xky) > r(xkxj).

Если одно из неравенств не соблюдается, то исключается тот параметр xk или xj, связь которого с результативным показателем Y оказывается наименее тесной.

Для отбора наиболее значимых факторов xi учитываются следующие условия:

- связь между результативным признаком и факторным должна быть выше межфакторной связи;

- связь между факторами должна быть не более 0.7. Если в матрице есть межфакторный коэффициент корреляции rxjxi > 0.7, то в данной модели множественной регрессии существует мультиколлинеарность.;

- при высокой межфакторной связи признака отбираются факторы с меньшим коэффициентом корреляции между ними.

Если факторные переменные связаны строгой функциональной зависимостью, то говорят о полной мультиколлинеарности. В этом случае среди столбцов матрицы факторных переменных Х имеются линейно зависимые столбцы, и, по свойству определителей матрицы, det(XTX = 0).

Вид мультиколлинеарности, при котором факторные переменные связаны некоторой стохастической зависимостью, называется частичной. Если между факторными переменными имеется высокая степень корреляции, то матрица (XTX) близка к вырожденной, т. е. det(XTX ? 0) (чем ближе к 0 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии).

Страница:


Подобные документы

  • Уравнения регрессии

    Особенности расчета параметров уравнений линейной, степенной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной и экспоненциальной регрессии. Методика определения значимости уравнений регрессии. Идентификация и оценка параметров системы уравнений.

    контрольная работа [200,1 K], добавлен 21.08.2010

  • Статистическая надежность регрессионного моделирования

    Расчет параметров уравнения линейной регрессии, оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации; определение средней ошибки аппроксимации. Статистическая надежность регрессионного моделирования с помощью критериев Фишера и Стьюдента.

    контрольная работа [34,7 K], добавлен 14.11.2010

  • Основы эконометрики

    Построение поля корреляции и формулирование гипотезы о форме связи. Параметры уравнений линейной, степенной и гиперболической регрессии. Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации. Оценка средней ошибки аппроксимации уравнения.

    контрольная работа [136,3 K], добавлен 25.09.2014

  • Эконометрика

    Расчет параметров парной линейной регрессии. Оценка статистической значимости уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента. Построение матрицы парных коэффициентов корреляции. Статистический анализ с помощью ППП MS EXCEL.

    контрольная работа [1,6 M], добавлен 14.05.2008

  • Статистическое моделирование

    Расчет параметров уравнения линейной регрессии, оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации. Определение средней ошибки аппроксимации. Статистическая надежность моделирования с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.

    контрольная работа [58,3 K], добавлен 17.10.2009

  • Эконометрика

    Построение поля корреляции. Расчет параметров уравнений парной регрессии. Зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни от некоторых факторов. Изучение "критерия Фишера". Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

    контрольная работа [173,8 K], добавлен 22.11.2010

  • Разработка математической модели, позволяющей прогнозировать расходы на перевозки в зависимости от увеличения грузооборота

    Расчет уравнений линейной и нелинейной парной регрессии. Оценка тесноты связи расходов на перевозки и грузооборота с помощью показателей корреляции и детерминации. Оценка ошибки аппроксимации уравнений регрессии. Расчет прогнозного значения расходов.

    курсовая работа [2,5 M], добавлен 26.12.2014

  • Модифицированная модель Кейнса. Оценка качества уравнения

    Расчет параметров линейной регрессии. Сравнительная оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции, детерминации, коэффициента эластичности. Построение поля корреляции. Определение статистической надежности результатов регрессионного моделирования.

    контрольная работа [71,7 K], добавлен 17.09.2016

  • Экономическая интерпретация коэффициента регрессии

    Параметры уравнения линейной регрессии. Вычисление остаточной суммы квадратов, оценка дисперсии остатков. Осуществление проверки значимости параметров уравнения регрессии с помощью критерия Стьюдента. Расчет коэффициентов детерминации и эластичности.

    контрольная работа [248,4 K], добавлен 26.12.2010

  • Однофакторный регрессионно-корреляционный анализ экономической модели

    Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации. Построение поля корреляции и расчёт параметров линейной регрессии. Результаты вычисления функций и нахождение коэффициента детерминации. Регрессионный анализ и прогнозирование.

    курсовая работа [1,1 M], добавлен 07.08.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2025, ООО «Олбест» Все наилучшее для вас