Вычисление определителя показано в шаблоне решения Excel

В нашем случае r_{x1 x2} имеют |r|>0.7, что говорит о мультиколлинеарности факторов и о необходимости исключения одного из них из дальнейшего анализа.

Модель регрессии в стандартном масштабе предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам:

где х_ji - значение переменной х_ji в i-ом наблюдении.

Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения принимается ее среднее квадратическое отклонение S.

Если связь между переменными в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением:

t_y = ?в_jt_xj

Для оценки в-коэффциентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид:

r_x1y=в₁+r_x1x2*в₂ + ... + r_x1xm*в_m

r_x2y=r_x2x1*в₁ + в₂ + ... + r_x2xm*в_m

r_xmy=r_xmx1*в₁ + r_xmx2*в₂ + ... + в_m

Для наших данных (берем из матрицы парных коэффициентов корреляции):

-0.982 = в₁ + 0.995в₂

-0.983 = 0.995в₁ + в₂

Данную систему линейных уравнений решаем методом Гаусса: в₁ = -0.343; в₂ = -0.642;

Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:

y⁰ = -0.343x₁ -0.642x₂

Найденные из данной системы в-коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов в регрессии в естественном масштабе по формулам:

3. Анализ параметров уравнения регрессии.

Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации

Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:

Несмещенная ошибка е = Y - Y(x) = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)

Средняя ошибка аппроксимации

Оценка дисперсии равна:

s_e² = (Y - X*Y(X))^T(Y - X*Y(X)) = 5.91

Несмещенная оценка дисперсии равна:

Оценка среднеквадратичного отклонения (стандартная ошибка для оценки Y):

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = S * (X^TX)^-1

Дисперсии параметров модели определяются соотношением S²_i = K_ii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали

Показатели тесноты связи факторов с результатом.

Если факторные признаки различны по своей сущности и (или) имеют различные единицы измерения, то коэффициенты регрессии b_j при разных факторах являются несопоставимыми. Поэтому уравнение регрессии дополняют соизмеримыми показателями тесноты связи фактора с результатом, позволяющими ранжировать факторы по силе влияния на результат.

К таким показателям тесноты связи относят: частные коэффициенты эластичности, в-коэффициенты, частные коэффициенты корреляции.

Частные коэффициенты эластичности.

С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле:

Частный коэффициент эластичности показывает, насколько процентов в среднем изменяется признак-результат у с увеличением признака-фактора х_j на 1% от своего среднего уровня при фиксированном положении других факторов модели.

Частный коэффициент эластичности |E₁| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Частный коэффициент эластичности |E₂| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Стандартизированные частные коэффициенты регрессии.

Стандартизированные частные коэффициенты регрессии - в-коэффициенты (в_j) показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения S(у) изменится признак-результат y с изменением соответствующего фактора х_j на величину своего среднего квадратического отклонения (S_хj) при неизменном влиянии прочих факторов (входящих в уравнение).

По максимальному в_j можно судить, какой фактор сильнее влияет на результат Y.

По коэффициентам эластичности и в-коэффициентам могут быть сделаны противоположные выводы. Причины этого: а) вариация одного фактора очень велика; б) разнонаправленное воздействие факторов на результат.

Коэффициент в_j может также интерпретироваться как показатель прямого (непосредственного) влияния j-ого фактора (x_j) на результат (y). Во множественной регрессии j-ый фактор оказывает не только прямое, но и косвенное (опосредованное) влияние на результат (т.е. влияние через другие факторы модели).

Косвенное влияние измеряется величиной: ?в_ir_xj,xi, где m - число факторов в модели. Полное влияние j-ого фактора на результат равное сумме прямого и косвенного влияний измеряет коэффициент линейной парной корреляции данного фактора и результата - r_xj,y.

Так для нашего примера непосредственное влияние фактора x₁ на результат Y в уравнении регрессии измеряется в_j и составляет -0.343; косвенное (опосредованное) влияние данного фактора на результат определяется как:

r_x1x2в₂ = 0.995 * -0.642 = -0.6388

Сравнительная оценка влияния анализируемых факторов на результативный признак.

5. Сравнительная оценка влияния анализируемых факторов на результативный признак производится:

- средним коэффициентом эластичности, показывающим на сколько процентов среднем по совокупности изменится результат y от своей средней величины при изменении фактора x_i на 1% от своего среднего значения;

- в-коэффициенты, показывающие, что, если величина фактора изменится на одно среднеквадратическое отклонение S_xi, то значение результативного признака изменится в среднем на в своего среднеквадратического отклонения;

- долю каждого фактора в общей вариации результативного признака определяют коэффициенты раздельной детерминации (отдельного определения): d²_i = r_yxiв_i.

d²₁ = -0.98 * (-0.343) = 0.34

d²₂ = -0.98 * (-0.642) = 0.63

При этом должно выполняться равенство:

?d²_i = R² = 0.97

Множественный коэффициент корреляции (Индекс множественной корреляции).

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции.

В отличии от парного коэффициента корреляции, который может принимать отрицательные значения, он принимает значения от 0 до 1.

Поэтому R не может быть использован для интерпретации направления связи. Чем плотнее фактические значения yi располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина R_y(x1,...,xm).

Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат. При значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

Связь между признаком Y факторами X сильная

Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и в-коэффициентов.

Коэффициент детерминации.

R²= 0.984² = 0.968

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛитературЫ

1. Елисеева, И.И. Практикум по эконометрике [Текст]: учебное пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Д.М. Гордиенко [и др.] - М.: Финансы и статистика, 2001. - 194с.

2. Кремер, Н.Ш. Эконометрика: учебник для вузов/ Под ред. проф. Н.Ш. Кремера; Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 311с.

3. Практикум по эконометрике [Текст]: учебное пособие / ред. Елисеева, И.И. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 192 с.: ил.

Размещено на Allbest.ru