Основы научных исследований

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 5.3 «Черный ящик»

Случайные помехи эксперимента нельзя устранить по определению, но их воздействие можно учесть методами математической статистики. Поэтому статистические методы являются одним из основных инструментов при исследованиях реальных явлений и процессов.

5.2 Случайные события и случайные величины

Вероятностные закономерности проявляются только в массовых явлениях, т.е. когда один и тот же объект изменяет свое состояние многократно или когда множество одинаковых объектов однократно изменяют свое состояние одинаковым образом.

Массовые явления и процессы характерны неоднократным повторением при постоянных условиях некоторых событий.

Событием в теории вероятностей называется явление, происходящее при реализации какого-либо комплекса условий, который может быть воспроизведен сколь угодно большое число раз.

Массовые явления всегда являются результатом большого, иногда бесконечно большого числа испытаний.

Испытание - это воспроизведение комплекса условий какого - либо события.

Событие, которое всегда происходит в результате испытаний, называется достоверным.

Событие, которое никогда не происходит в результате испытаний, называется невозможным.

Событие, которое иногда происходит в результате испытаний, называется случайным.

Например: выпадение «орла» или «решки» при подбрасывании монеты является событием; само подбрасывание - это испытание; падение монеты - достоверное событие; ее вылет в космос - невозможное событие; выпадение «орла» (или «решки») - случайное событие.

Невозможные и достоверные события детерминированы (предопределены) их причинами. Случайные события обусловлены игнорированием слабых (несущественных) связей или незнанием связей сильных. Т.о., по крайней мере в макромире, случайность является результатом незнания всех причин явления.

Если результаты случайных событий поддаются количественной оценке, то их характеризуют при помощи случайных величин.

Случайная величина - это переменная, принимающая в резальтате испытаний то или иное числовое значение.

Имеется два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Дискретной называется такая случайная величина, которая принимает конечное или бесконечное счетное множество значений.

Это означает, что всем элементам данного множества могут быть сопоставлены натуральные числа или они могут быть выписаны в последовательности X₁, X_2... X_n.

Примером дискретной случайной величины является размер обуви жителей некоторого города.

Непрерывной случайной величиной называется такая переменная, которая может принимать любое значение в некотором интервале.

Поэтому число значений непрерывной случайной величины всегда бесконечно. Например, рост жителей некоторого города.

Поскольку в технике большинство явлений и процессов характеризуется количественными параметрами, которые изменяются случайным образом, то поэтому случайные величины и являются основными объектами изучения и управления.

5.3 Статистическая вероятность и распределения случайных величин

В теории вероятностей под случайной величиной понимают отношения числа благоприятных исходов испытаний к общему числу испытаний. Например, если из 10 испытаний выпадение «орла» имело место в 5 случаях, то вероятность этого события равна 0,5.

В статистике такое определение не годится, поскольку общее число испытаний не всегда может быть установлено. Поэтому:

Статистическая вероятность p(x) случайной величины x - это относительная частота, с которой отдельное значение данной случайной величины появляется при достаточно большом количестве N испытаний, проводимых в одинаковых условиях:

, (5.1)

где n(x) - количество данных значений случайной величины x.

Например, пусть требуется определить, какую часть от партии обуви должны составить мужские туфли 42 размера, чтобы не возник дефицит этого размера или «затоваривание». Для этого определили размер обуви у 200 случайно встреченных на улице города мужчин. Оказалось, что 42 размер - у 86 человек. Тогда статистическая вероятность того, что случайная величина x примет значение 42 будет равна

Важно то, что статистическая вероятность не зависит от общего числа «исходов», под которыми, казалось бы, можно понимать общее число испытаний. При увеличении числа испытаний статистическая вероятность только уточняется. Если в предыдущем примере число измерений размера обуви увеличить до 2000, то

.

В дальнейшем всегда под вероятностью будем всегда иметь ввиду статистическую вероятность.

Обычно различные значения случайной величины встречаются не одинаково часто, т.е. вероятность появления того или иного значения дискретной случайной величины или попадания в тот или иной интервал непрерывной случайной величины не одинакова. Следовательно, имеются определенные статистические закономерности в появлении тех или иных значений случайных величин. Эти закономерности описываются распределениями случайных величин.

Правила, позволяющее для любых интервалов (x_i, x_i+1) находить вероятности р(x_i <x<x_i+1) попадания в эти интервалы непрерывных случайных величин или появления тех или иных значений дискретных случайных величин, называются распределениями случайных величин.

Примером эмпирического (полученного из опытов) распределения некоторой случайной величины x является гистограмма частот, показанная на рисунке 5.4:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 5.4 Гистограмма частот

Гистограмма, как и полигон частот и диаграмма накопленных частостей (кумулята) являются приближенным способом записи распределения. Точным математическим выражением распределений различных случайных величин являются интегральная и дифференциальная функции распределения.

6.1 Интегральная и дифференциальная функции распределения

Наиболее общей формой задания распределения случайных величин является интегральная функция распределения. Она определяет вероятность того, что случайная величина x примет значение, которое будет меньше фиксированного действительного числа х_i

. (6.1)

В случае дискретной случайной величины интегральная функция распределения определяется следующим образом

. (6.2)

График функции распределения для непрерывной случайной величины имеет вид (рис.6.1):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 6.1 Интегральная функция непрерывной случайной величины

Эта функция определена от до . Ее область значений - от 0 до +1. Кривая интегральной функции распределения асимптотически приближается к значению +1.

Вероятность того, что случайная величина x примет значение, меньшее, например, x_1, равна длине отрезка 0x₁ на оси ординат.

Вероятность того, что значение непрерывной случайной величины будет находиться в интервале (x₁, x₂), равна разности значений F(x) в этих точках

.

На графике (рис.6.1) эта вероятность изображается отрезком на оси ординат соответствующей длины.

Для дискретной случайной величины интегральная функция распределения в соответствии с (6.2) имеет вид ступенчатой ломаной линии (рис.6.2).

Рисунок 6.2 Интегральная функция распределения дискретной случайной величины

Она скачкообразно возрастает в точках x_i и постоянна в интервалах (x_i,x_i+1), т.к. в самих этих интервалах вероятность того, что х станет меньше x_i, не меняется.

Если F(x) продифференцировать, то получится дифференциальная функция распределения или функция плотности распределения р(х), график которой в случае непрерывной случайной величины имеет вид (рис.6.3):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 6.3 Дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины

Для непрерывных случайных величин область определения р(х) от -? до +?, причем левая и правая ветви графика асимптотически приближаются к оси абсцисс.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины х в интервал (х₁, х₂) равна

(6.3)

Поскольку дифференциальная функция распределения нормирована условием:

,

то вероятность попадания в интервал (х₁,х₂) интерпретируется как относительная доля площади под кривой р(х) (на рис.4.3 она не заштрихована).

Интегральная и дифференциальная функции распределения эквивалентны с точки зрения описания распределений, поскольку все, что можно узнать по F(x), можно узнать и по р(х). Например, вероятность того, что случайная величина х будет меньше фиксированного числа х₁ при помощи дифференциальной функции находится так

.

Вероятность

.

Для дискретных случайных величин дифференциальная функция имеет вид ступенчатой линии (рис.6.4):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 6.4 Дифференциальная функция распределения дискретной случайной величины

6.2 Математическое ожидание

Интегральная и дифференциальная функции распределения являются исчерпывающими статистическими характеристиками любой случайной величины. Однако многие свойства случайных величин удобнее выражать параметрами статистических совокупностей, среди которых важнейшими являются математическое ожидание м(х) и дисперсия у²(х).

Очевидно, что о свойствах случайной величины очень многое говорит ее среднее значение

, (6.4)

которое еще называется простым средним.

Более точной характеристикой является среднее взвешенное

, (6.5)

где m_i - количество i-тых значений случайной величины.

Т.к. статистической вероятностью является отношение

,

то среднее взвешенное можно представить в виде

. (6.6)

Выражение (6.6) является математическим ожиданием для дискретных случайных величин при условии, что N равно всем значениям данной случайной величины.

Математическим ожиданием называется средневзвешенное значение случайной величины, если оно вычисляется по всем значениям, которые может принимать данная случайная величина.

Поскольку все значения случайной величины называются ее генеральной совокупностью, то математическое ожидание является генеральным средним, т.е. средним по генеральной совокупности.

Математическое ожидание характеризует положение центра распределения случайной величины. На рисунке 6.5 показаны два распределения с разными математическими ожиданиями м(х₁) > м(х₂):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 6.5 Распределения с разными математическими ожиданиями

Важно, что м(х) является одним из значений случайной величины и находится на оси абсцисс.

Для непрерывных случайных величин м(х) определяется выражением:

(6.7)

при условии, что интеграл (6.7) сходится.

Название «математическое ожидание» происходит от термина «ожидаемое значение выигрыша», введенного Б. Паскалем и Х. Гюйгенсом при разработке основ теории вероятностей на основе задач из практики азартных игр. «Ожидаемое значение выигрыша» равно произведению случайной величины на вероятность его появления. Нетрудно видеть, что под интегралом (6.7) находится это произведение. Сам термин «математическое ожидание» был введен П.С.Лапласом в 1795г.

Математическое ожидание обладает рядом простых свойств:

1. м(с)=с, где с - константа;

2. м(сх)=с м(х);

3. м(с+х)=с+ м(х),

которые доказываются в теории вероятностей.

6.3 Дисперсия

Степень рассеивания случайной величины относительно центра распределения характеризуется дисперсией (от лат. dispersio - рассеивание).

Дисперсия - это математическое ожидание квадрата разности значений случайной величины х и ее математического ожидания

(6.8)

Дисперсия является центральным моментом распределения 2-го порядка. На рисунке 6.6 показаны два распределения разных случайных величин х₁ и х₂ с одинаковыми математическими ожиданиями и разными дисперсиями . По рисунку 6.6 видно, что разброс значений случайной величины х₂ существенно больше, чем х₁.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 6.6 Распределения с разными дисперсиями

Дисперсия вычисляется по всем значениям данной случайной вечины; для непрерывных случайных величин по формуле

, (6.9) и для дискретных

. (6.10) Дисперсия обладает следующими свойствами:

1. .

2. .

3. .

Для характеристики рассеивания случайной величины относительно центра распределения используются еще две величины: среднее квадратичное отклонение и коэффициент вариации.

Средним квадратичным отклонением называется корень квадратный из дисперсии

(6.11)

Коэффициент вариации показывает, насколько велико рассеивание по сравнению со средним значением случайной величины

(6.12)

Например, среднее квадратичное отклонение валов диаметром 50мм и 500мм, изготовленных на токарных станках, одинаково и равно 1мм. Однако ясно, что добиться такой точности для вала большего диаметра значительно труднее, чем малого. Этот факт не характеризуется ни дисперсией, ни средним квадратичным отклонением. Мерой относительного рассеивания является коэффициент вариации, который в нашем случае равен соответственно 0,02 и 0,002. По коэффициенту вариации сразу видно, что достигнутая относительная точность для вала диаметром 500мм на порядок больше, чем у вала меньшего диаметра.

7.1 Нормальное распределение

В классической математической статистике чаще всего используется т.н. нормальное распределение или распределение Гаусса-Лапласа. В естествознании и технике это распределение имеет особое значение, т.к. в этих областях деятельности оно встречается очень часто. Такое положение имеет место потому, что здесь обычно выполняются те условия, при которых распределения случайных величин становятся нормальными:

1. Случайные помехи разных знаков встречаются одинаково часто.

2. Большие по абсолютной величине помехи встречаются реже, чем малые.

Если эти условия выполняются то в соответствии с центральной предельной теоремой теории вероятностей (П.-С.Лаплас, А.Ляпунов) рассеивание откликов как результат воздействия на объект исследования контролируемых факторов и случайных помех будет тем ближе к нормальному закону, чем больше число опытов.

Функция плотности нормального распределения имеет вид

.

Т.о. данное распределение зависит только от двух параметров: математического ожидания м(х) и дисперсии у²(х).

Типичный график нормального распределения показан на рисунке 7.1. Кривая (колокол) нормального распределения симметрична относительно прямой м(х). Левая и правая ветви графика асимптотически приближаются к оси абсцисс в -? и +?.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 7.1 Нормальное распределение

Точки перегиба кривой лежат на расстоянии ±у(х) от центра распределения. Площадь, отсекаемая прямыми ±у(х) составляет 68,27% распределения, а прямыми ±2у(х) и ±3у(х) соответственно 95,45% и 99,73%. Отсюда известное из теории ошибок «правило 3-х сигм»:

Случайные ошибки измерения ограничены по абсолютной величине значением 3-х средних квадратичных отклонений.

Это значит, что если отклонение измеряемой величины от среднего значения превышает величину 3-х среднеквадратичных отклонений, то эта ошибка не случайна и нужно искать ее причины.

Большинство положений классической математической статистики основаны на предположении, что изучаемая случайная величина подчиняется нормальному распределению. Поэтому нужно всегда проверять нормальность изучаемой случайной величины, поскольку в противном случае корректное применение статистических процедур приведет к неверным результатам.

7.2 Генеральная совокупность и выборка

Распределение случайной величины содержит всю информацию о ее статистических свойствах. Много ли нужно знать значений случайной величины, чтобы построить ее распределение? Для этого нужно исследовать ее генеральную совокупность.

Генеральная совокупность - множество всех значений, которые может принимать данная случайная величина.

Число единиц в генеральной совокупности называется ее объемом N. Эта величина может быть конечной и бесконечной. Например, если исследуется рост жителей некоторого города, то объем генеральной совокупности будет равен числу жителей города. Если выполняется любой физический эксперимент, то объем генеральной совокупности будет бесконечным, т.к. число всех возможных значений любого физического параметра равно бесконечности.

Исследование генеральной совокупности не всегда возможно и целесообразно. Оно невозможно, если объем генеральной совокупности бесконечен. Но и при конечных объемах полное исследование не всегда оправдано, поскольку требует больших затрат времени и труда, а абсолютная точность результатов обычно не требуется. Менее точные результаты, но со значительно меньшими затратами сил и средств можно получить при исследовании только части генеральной совокупности. Такие исследования называются выборочными.

Статистические исследования, проводимые только на части генеральной совокупности, называются выборочными, а исследуемая часть генеральной совокупности называется выборкой.

На рисунке 7.2 символически показаны генеральная совокупность и выборка в виде множества и его подмножества.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 7.2 Генеральная совокупность и выборка

Работая с некоторым подмножеством данной генеральной совокупности, часто составляющим незначительную ее часть, мы получаем результаты, по точности вполне удовлетворительные для практических целей. Исследование большей части генеральной совокупности только увеличивает точность, но не изменяет сути результатов, если выборка взята правильно со статистической точки зрения.

Для того, чтобы выборка отражала свойства генеральной совокупности и результаты были достоверными, она должна быть репрезентативной (представительной).

У некоторых генеральных совокупностей любая их часть является репрезентативной в силу их природы. Однако в большинстве случаев необходимо принимать специальные меры для обеспечения репрезентативности выборок.

Одним из главных достижений современной математической статистики считается разработка теории и практики метода случай ных выборок, обеспечивающих репрезентативность отбора данных.

Выборочные исследования всегда проигрывают в точности по сравнению с исследованием всей генеральной совокупности. Однако с этим можно примириться, если величина погрешности будет известной. Очевидно, что чем больше объем выборки будет приближаться к объему генеральной совокупности, тем погрешность будет меньшей. Отсюда ясно, что проблемы статистического вывода становятся особенно актуальными при работе с малыми выборками (N ? 10-50).

7.3 Методы отбора выборок

Известны три метода отборок выборок: случайный, систематический и комбинированный.

В результате случайного отбора получается случайная выборка.

Выборка называется случайной, если все ее элементы имеют одинаковую вероятность попадания в нее

Для этого необходим отбор с возвратом, когда любой элемент генеральной совокупности может попасть в выборку более одного раза. В противном случае отбор является безвозвратным.

Если число элементов в генеральной совокупности велико, то разница между возвратным и безвозвратным отборами практически исчезает.

Для проведения случайного отбора нужно все элементы генеральной совокупности, если это возможно, занумеровать. Затем осуществить процедуру случайного отбора элементов по номерам - методом «шапки» или при помощи таблицы случайных чисел.

Случайный отбор обладает такими свойствами:

1. Вероятность получения нерепрезентативной выборки невелика.

2. Она уменьшается по мере увеличения объема выборки.

3. Ее всегда можно определить.

Систематический отбор осуществляется по некоторому плану. Например, с конвейера отбирается каждая 5-я деталь. Его преимущество в меньших расходах на сбор данных. Однако систематический отбор приводит к хорошим результатам только при однородных статистических совокупностях. Если генеральная совокупность сильно неоднородна, то систематического отбора следует избегать. Классический пример такой ошибки - опрос общественного мнения в 20-х годах ХХ века по телефону.

Разновидностью систематического отбора является экспертный отбор, когда эксперт определяет, какой из элементов генеральной совокупности должен попасть в выборку. Этот метод применяется при небольших объемах генеральной совокупности и выборки (при покупке и продаже различных товаров и т.п.). Экспертный метод требует знаний и опыта, но позволяет получать очень хорошие результаты по малым выборкам (лучшие, чем при случайном отборе).

Комбинированный метод состоит в одновременном применении случайного и систематического отборов. Вся генеральная совокупность разбивается на ряд подмножеств. Систематическим методом отбирается ряд таких подмножеств для исследования, а в них элементы отбираются в выборку случайным методом. Например, при опросе общественного мнения в масштабах страны, в каждой области выбирается каждый n-ый город, а в нем «респонденты» выбираются случайным образом.

8.1 Параметры эмпирических распределений

По опытным (эмпирическим) данным строятся распределения исследуемых случайных величин. Функции плотности р(х) таких распределений могут иметь один (рис.8.1а), два (рис.8.1б) или больше максимумов (рис.8.1в). Соответственно такие распределения называются унимодальными, бимодальными и полимодальными.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 8.1 Различные виды эмпирических распределений

Подобно теоретическим распределениям, эмпирические характеризуются параметрами. Но если для описания нормального распределения достаточно двух параметров - м(х) и у²(х), то для эмпирических, как правило, этого недостаточно. Используются также меры формы - асимметрия и эксцесс и меры положения - мода и медиана.

Эмпирическим аналогом математического ожидания, как известно, является среднее случайной величины или среднее взвешенное. Аналогом дисперсии является выборочная дисперсия, несмещенная оценка которой вычисляется по выражению

(8.1)

В математической статистике принято эмпирические аналоги теоретических параметров обозначать латинскими буквами, обозначающими те же звуки, что и греческие. Например:

; ; и т.д.

Распределения часто бывают асимметричными, т.е. такими, что их большая часть располагается по одну сторону от среднего значения случайной величины (рис.8.2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 8.2 Асимметричное распределение

Для описания таких распределений, помимо среднего и эмпирической дисперсии, используют моду и медиану, асимметрию и эксцесс.

Мода - это наиболее вероятное значение случайной величины.

Мода соответствует максимуму кривой функции плотности распределения. На рисунке 6.2 мода - это значение случайной величины у основания пунктирной линии.

Медиана - это значение случайной величины, делящее распределение на две равные части так (так, чтобы каждая часть содержала 50% распределения).

Медиана обозначается (икс с «тильдой»). Если , то распределение называется положительно асимметричным (рис.8.2). Такое унимодальное распределение имеет значительную крутизну левой ветви и явно выраженную вытянутость вправо. Если , то распределение называется отрицательно асимметричным.

Для унимодального непрерывного симметричного распределения значения моды, медианы и среднего совпадают. Примером может служить нормальное распределение (рис.7.1).

8.2 Асимметрия и эксцесс

Количественно степень несимметричности распределения оценивается при помощи одной из мер этого параметра - асимметрией

,

где М₃ - центральный момент распределения 3-го порядка;

S - эмпирический стандарт ошибки

,

где k - размер класса по Штюргесу. Поправка (поправка Шепарда) учитывает главную часть смещения этой оценки.

Другим возможным отклонением формы эмпирического распределения от нормального является расположение максимума кривой выше или ниже нормального. Это явление называется эксцессом.

Если максимум выше и кривая острее, чем колокол нормального распределения, то эксцесс Е считается положительным. Если ниже и кривая имеет более пологую форму, то тогда эксцесс отрицателен. На рисунке 8.3 показаны оба эти варианта.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 8.3 Распределения с эксцессом

Мерой эксцесса является отношение центрального момента распределения 4-го порядка к 4-й степени эмпирического стандарта ошибки

,

где число 3 устраняет главную часть смещения этой оценки.

Вообще центральный момент распределения k-го порядка равен:

Следовательно, центральный момент распределения k-го порядка - это математическое ожидание k-ой степени относительно отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Аналогично определяется центральный момент распределения k-го порядка для дискретных случайных величин:

Вот почему дисперсия является центральным моментом распределения 2-го порядка. Центральный момент распределения 1-го порядка тождественно равен нулю.

8.3 Проверка нормальности распределения

Асимметрия и эксцесс позволяют произвести приближенную проверку нормальности распределения. Очевидно, что симметричное и не имеющее эксцесса унимодальное распределение будет нормальным. Если распределение имеет асимметрию и эксцесс, то оно отличается от нормального.

Практически любое эмпирическое распределение имеет какое-то отклонение от нормального. Однако это еще не означает, что распределение данной случайной величины в ее генеральной совокупности не является нормальным. Если g_s и Е незначительно отличаются от нуля, то это отличие может быть обусловлено случайными ошибками выборок. Чтобы выяснить, насколько значительно должны g_s и Е отличаться от нуля для того, чтобы в генеральной совокупности случайная величина была распределена не по нормальному закону, эти параметры сопоставляются по модулю с их средними квадратичными ошибками