Математичне моделювання фізичних процесів в складних областях за допомогою атомарних функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова

УДК 517.5+517.97+519.6; 621.726.62

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Математичне моделювання фізичних процесів в складних областях за допомогою атомарних функцій

01.05.02 - математичне моделювання

та обчислювальні методи

Колодяжний Володимир Максимович

Київ - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного Національної академії наук України

Наукові консультанти: академік НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор Рвачов Володимир Логвинович Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України (м. Харків),

доктор фізико-математичних наук, професор Рвачов Володимир Олексійович, Національний аерокосмічний університет ім. М.Є. Жуковського «ХАІ»

Офіційні опоненти:

член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Макаров Володимир Леонідович, Інститут математики НАН України (м. Київ), завідувач відділом обчислювальної математики

доктор фізико-математичних наук, професор Хіміч Олександр Миколайович Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, завідувач відділом програмного забезпечення та рішення задач

доктор фізико-математичних наук, професор Литвин Олег Миколайович, Українська інженерно-педагогічна академія МОН України, завідувач кафедри прикладної математики

Захист відбудеться «_24_»__жовтня_2008 р. о _11_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 в Інституті кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України за адресою:

03680, МСП, м. Київ-187, проспект академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічному архіві Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України за адресою: 03680, МСП, м. Київ-187, проспект академіка Глушкова, 40.

Автореферат розісланий «_18__»___вересня____ 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.Ф. Синявський

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Робота присвячена створенню спеціалізованого математичного апарату на основі атомарних функцій і орієнтації його на подальше використання при розв'язанні задач математичного моделювання.

Атомарні функції - нескінченно диференційовані фінітні (тобто з скінченим носієм) розв'язки функціонально-диференціальних рівнянь - були запропоновані В.Л. Рвачовим в 1967 р. З публікації 1971 р. В.Л. Рвачова та В.А. Рвачова про розв'язання задачі існування простішої атомарної функції та досліджень атомарних функцій В.А. Рвачовим і його учнями почав формуватися новий напрямок теорії наближень, який через десять років, дещо в зміненій формі, набув світової популярності як “wavelet” системи (системи хвильок, сплесків). Роботи з теорії атомарних функцій були ініційовані в інтересах структурного (RFM) методу розв'язання крайових задач математичної фізики для рівнянь в частинних похідних, який інтенсивно вивчався школою академіка НАН України В.Л. Рвачова. Застосування апарату теорії атомарних функцій, точніше скінчених лінійних просторів лінійних комбінацій зсувів стиснень атомарних функцій для розв'язання крайових задач варіаційними та проекційними методами відкриває перспективу отримувати наближені розв'язки з високою точністю при порівняно невеликих витратах ресурсів комп'ютера. За допомогою атомарних функцій можна відтворювати апроксимаційні структури, що об'єднують такі властивості класичних та тригонометричних поліномів, як нескінченну диференційованість та апроксимаційну універсальність, та сплайнів, як існування локального базису. Такого роду структури цікаві перш за все, з точки зору створення нових та подальшого розвитку відомих засобів розв'язання в замкнутій формі крайових задач математичної фізики.

З найширше використовуваних результатів досліджень методів чисельного розв'язання крайових задач математичної фізики відмітимо досягнення наукових шкіл А.А. Дородніцина, А.А. Самарського, І.В. Сергієнка, В.С. Дейнеки, В.Л. Макарова, С.К. Годунова, В.С. Рябенького, О.А. Ладиженської, К.І. Бабенко, О.М. Білоцерківського, В.Л. Канторовича, та інших. Дослідження даної дисертаційної роботи можуть зацікавити фахівців обчислювальної математики шкіл Г.І. Марчука, М.М. Яненка, М.С. Бахвалова, В.І. Лебедева, С.Г. Міхліна та інших, які використовують проекційно-сітьові методи, зокрема, метод скінчених елементів, та проекційні методи (метод Рітца, метод Гальоркіна, інші). Проекційно-сітьові методи можна розглядати як модифікацію проекційного методу, в якому використовуються спеціальні фінітні функції (див. роботи Л.А. Оганесяна, Л.А. Руховця, Г.Стренга, Дж. Фікса, І. Бабушки та ін.).

У більшості випадків наближений розв'язок крайової задачі повинен (принаймні, бажано) задовольняти заданим граничним умовам. Зі загальних позицій задачу про побудову функції (структур розв'язків), що задовольняє в точках заданої границі області крайової задачі граничним умовам загального виду (неоднорідним, диференціальним, нелінійним, змішаним та ін.), вдалося розв'язати після створення В.Л. Рвачовим конструктивного апарату R-функцій. Становленню RFM сприяли результати досліджень, виконаних Л.В. Курпою, Г.П. Маньком, В.С. Проценко, М.С. Сінекопом, А.П. Слєсаренком, І.Г. Суворовою, А.М. Шевченком, Т.І. Шейко та ін. Використання в обчислювальній практиці структур розв'язків крайових задач привело до необхідності розгляду питань про якість наближень. На практиці широко використовують алгебраїчні (тригонометричні) поліноми, які мають апроксимаційну універсальність, але матриці відповідних лінійних алгебраїчних систем виявляються повністю заповненими, обчислення елементів даних матриць при реалізації методів типу Рітца-Гальоркіна потребує обчислення кратних інтегралів по вихідній області крайової задачі. Ці матриці часто є погано обумовленими. Це приводить до того, що замість класичних поліномів застосовують фінітні функції з малим носієм - локальні сплайни. Різницеві схеми також можна отримувати методом колокацій з базисними функціями у вигляді фінітних сплайнів. Однак, кусково-поліноміальні локальні сплайни, в силу скінченої гладкості, не мають апроксимаційної універсальності. Класи атомарних функцій, що досліджуються в дисертації, тобто функцій зі скінченим носієм класу - володіють одночасно властивостями локальності (як фінітні сплайни) та універсальності (це відноситься до наближення аналітичних функцій).

Фінітні нескінченно диференційовані функції вивчали B. Jessen, A. Wintner, Г.Х. Кіров, Г.А. Тотков, De Reyna Martines, R Schnable, P.G. Lemariй-Rieusset. Е.А. Горін. та інш. Становленню, розвитку та застосуванням атомарних функцій сприяли цикли досліджень, що проводились під керівництвом В.О. Рвачова, О.А. Дабагяном, В.Ф. Кравченко, В.М. Кузніченко, І.І. Малицьким, Г.О. Старцем, О.О. Федотовою, Т.В. Рвачовою та інш.

Встановлено, що лінійні комбінації зсувів простої атомарної функції ?, як апарат наближення функцій, має переваги поліномів та фінітних сплайнів, що вказує на їх універсальність та локальність. До попередників атомарних функцій можна віднести фінітні В-сплайни Шенберга. У цьому випадку, атомарні функції розглядаються як нескінченної гладкості сплайни (сплайни класу ?). Застосування атомарних функцій до розв'язання крайових задач сприяло дослідженню апроксимаційних властивостей просторів ? та ?. Такі апроксимаційні простори, що породжені (?)-стисненнями та (?)-зсувами однієї фінітної функції з добре локалізованим перетворенням Фур'є, наприклад, функції ?, є предметом досліджень в області наближення функцій та чисельних методах. Ця ідея отримала розвиток в теорії wavelet-систем, що підтверджується вітчизняними та іноземними дослідниками. Ідея wavelet-систем полягає в побудові систем функцій, які форму-ються в результаті стиснень та зсувів деяких породжувальних функцій. Функції отриманої системи та їх перетворення Фур'є нагромаджуються в області скінченої відстані, при цьому коефіцієнти розвинення довільної функції по елементах систе-ми, містять в доволі явному вигляді інформацію про поведінку функції та її миттє-вого спектру (кажуть, що wavelet-системи реалізують «локальний аналіз Фур'є»).

Атомарні функції перспективні не тільки при розв'язанні крайових задач за допомогою відомих методів - варіаційних, проекційних, структурних, граничних інтегральних рівнянь, тощо, але і при пошуку нових підходів та методів їх розв'язання. В даній роботі пропонуються нові напрямки використання атомарних функцій, наприклад, для розробки спеціальних ортонормованих базисів при побудові наближеного розв'язку задач нестаціонарної теплопровідності за допомогою узагальненої формули Тейлора, при зведенні крайових задач для диференціальних рівнянь до граничних інтегральних рівнянь. Відмітимо також напрямок роботи W. Hilberg'a, в якій розглядаються технічні застосування колоколоподібної функції, яка відноситься (що витікає з її побудови) до класу атомарних функцій. Застосування атомарних функцій в технічних пристроях також пропонуються і в даній роботі.

Переваги атомарних функцій виявляються при реалізації конструктивних алгоритмів описування геометричних складних многовидів методами теорії R-функцій. Ці вагомі властивості дозволяють розширити застосування атомарних функцій, зокрема, при розв'язанні однієї з фундаментальних проблем машинобудування - моделюванні процесів формування відливків.

При затвердінні відливка відбуваються теплові, дифузійні, фільтраційні, фізико-хімічні, деформаційні процеси, процеси ливарної усадки, під час протікання яких можливе виникнення надзвичайно небажаних явищ, а саме формування усадкових раковин, усадкової пористості, хімічної неоднорідності, гарячих тріщин та залишкових напружень. Для аналізу цих явищ при побудові шуканого розв'язку треба вміти переходити від глобальних (по всій області відливки) описів процесу, що досліджується до локальних, і навпаки. Властивості локальності та апроксимаційної універсальності, алгоритмічно проста обчислювальність, а за рахунок цього, легко гальмівна безмоментність, які наявні в атомарних функціях, дозволяють сподіватися на ефективність розв'язання задач моделювання процесів формування відливків. Проміж дослідників, які ґрунтовно працювали над проблемою формування відливка, слід відмітити роботи А.Й. Вейника, Г.Ф Баландіна, Б.Б. Гуляєва, Ю.А. Нехензі, Н.Г. Гіршовича, А.А. Рижкова, О.Ю. Коцюбинського, А.В. Ефімова, Г.А. Анісовича, Ю.А. Самойловича, А.А. Бочвара, Н.І. Хворінова, Р.У. Раддла та ін.

Розробка математичного апарату моделювання на основі атомарних та R-функцій, дозволяє застосовувати нові можливості при проведені математичних експериментів при моделюванні технологічних процесів формування відливків (теплових процесів, кристалізаційних процесів, деформаційних процесів по прогнозу впливу кристалізаційних тріщин, тощо). Конструктивні переваги роблять їх перспективними з точки зору побудови нових поколінь чисельних методів розв'язання задач моделювання полів різної фізичної природи. Впровадження вказаного математичного апарату в системи комп'ютерного моделювання ливарних технологій дозволить значно знизити витрати на проектування, впорядкування цих технологій, підвищити рівень технологічних робіт на виробництві. Відмітимо, що створення вітчизняного комп'ютерного автоматизованого робочого місця технолога-ливарника, в умовах нинішнього економічного розвитку актуально, оскільки необхідність в ньому відчувається практично на кожному машино-будівному підприємстві України.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Проведені дослідження диктувалися необхідністю виконання робіт, пов'язаних з винятковою напругою, яка склалася на ливарних підрозділах машинобудівних підприємств, і обумовлювались розробкою автоматизованого робочого місця технолога-ливарника, з урахуванням того, що перспективи оснащення їх ліцензійними аналогами систем комп'ютерного моделювання залишаються марними. Напрямок роботи обговорювався на ливарних виробництвах ряду промислових підприємств, таких як: ДП Харківський машинобудівний завод «ФЕД», АТ атомного турбобудівництва «Харківський турбінний завод», завод ім. Малишева (м. Харків), НовоКрама-торський машинобудівний завод та ін. Окремі результати використовувались при виконанні договорів по НДДКР: ІПМаш-№178/2001, ДП ХМЗ «ФЕД»-№51т/2004, виконанні досліджень з НДР, наприклад, № Г-40577/81, Харків, ХАІ, держрег. №182.3.021181, 1986; теми 1.7.2.22 «Розвиток чисельних методів теорії R-функцій та їх застосування», Харків, ІПМаш, держрег. № 0102U001479, 2005 та іншіх.

Мета і задачі досліджень. Метою роботи є створення нових математичних засобів на основі атомарних функцій, розробка ефективних алгоритмів застосування атомарних функцій в різних методах розв'язування крайових задач для рівнянь з частинними похідними математичної фізики - варіаційних, проекційних структурних, граничних інтегральних рівнянь. Методи, що пропонуються, орієнтовані на розв'язування задач, що виникають при математичному моделюванні ливарних технологічних процесів формування відливків.

Об'єкт досліджень. Розроблені та експлуатуються цілий ряд універсальних (ANSYS, COSMOS, NASTRAN, ABAQUS, MARS та ін.) і спеціалізованих (ProCAST, CastCAE, MAGMA-SOFT, AFS, SIMTEC, LVM Flow, Полігон та ін.) CAE-систем, за допомогою яких реалізуються задачі комп'ютерного моделювання ливарних процесів. Моделювання фізичних процесів пов'язано з розв'язком крайових задач для диференціальних рівнянь теорії поля (теплового, фільтрацій-ного, дифузійного, деформаційного, гідродинамічного та ін.) методами скінчених елементів, скінчених різниць, скінчених об'ємів, граничних елементів та структур-ного (R-функцій) методу. На основі досліджуваних підходів застосування атомарних функцій в різних методах розв'язання крайових задач розробляється математичний інструментарій для створення системи комп'ютерного моделювання та проектування ливарних технологій при виготовленні конкурентноспроможних ливарних виробів.

Предмет дослідження. Досліджуються можливості використання засобів теорії наближень атомарними функціями і на їх основі подальші модифікації методів розв'язання крайових задач в інтересах математичного моделювання. Ідеї та прийоми, що пропонуються, орієнтовані на використання в системах комп'ютерного моделювання процесів ливарного виробництва, яка призначена для оснащення робочого місця технолог-ливарника (відділ головного металурга підприємства). Елементи системи можуть бути потрібними при розробці нових та для до оснащення вже існуючих САПР ливарного виробництва.

Методи дослідження. Для досягнення мети використаються методи математичного аналізу, теорії наближення функцій, аналітичні та чисельні методи розв'язання крайових задач математичної фізики (зокрема, задач теорії теплопровідності) зі застосуванням ортонормальних базисів, що побудовані на основі атомарних функцій, методи об'єктно-орієнтованого аналізу та проектування систем.

Наукова новизна отриманих результатів. В процесі досліджень були побудовані нові класи атомарних функцій, розроблені прийоми побудови атомарних функцій багатьох змінних та досліджені їх характерні властивості, побудовані wavelet-функції на основі атомарних функцій, елементарні wavelet-системи, створені нові методики наближеного розв'язання крайових задач та досліджені апроксимаційні властивості структурно-варіаційного методу розв'язання, що орієнтовані на використання при моделюванні технологічних процесів формування відливка. Серед нових математичних засобів, отриманих в роботі, виділимо, зокрема:

- геометрично структуровані атомарні функції;

- атомарні функції, що зображуються лакунарними рядами;

- атомарні функції, що породжуються за допомогою операторів рівнянь Лапласа, Гельмгольца, Клейна-Гордона;

- атомарні функції, гармонічні в кільці;

- атомарні функції, інваріантні відносно групи обертання;

- атомарні функції багатьох змінних, що отримуються в результаті розв'язання функціонально-диференціальних рівнянь спеціального вигляду;

- атомарні функції, що породжуються за допомогою бігармонічного оператора;

- атомарні функції, що породжуються за допомогою полігармонічного оператора;

- системи ортонормованих сплесків (системи wavelet-функцій), побудованих за допомогою атомарних функцій;

- системи елементарних сплесків;

- нескінченно диференційовані R-операції на основі атомарних функцій, що використовуються для побудов нескінченно диференційованих описів областей;

- системи нескінченно диференційованих функцій, що описують скінченні елементи.

В роботі розроблено нові та розвинуто існуючі методи наближеного розв'язання крайових задач математичної фізики, що виникають при моделюванні фізичних процесів, зокрема:

- розроблений новий метод розв'язування крайових задач на основі використання атомарних функцій багатьох змінних;

- запропоновані нові підходи опису геометричних об'єктів на основі використання атомарних функцій та прийомів теорії R-функцій;

- досліджені конструктивні та апроксимаційні можливості структурного методу розв'язання крайових задач при використанні атомарних функцій;

- розроблено метод розв'язання задач нестаціонарної теплопровідності на основі узагальненого ряду Тейлора;

- пропонується метод розв'язання лінійних та нелінійних задач теплопровідності в двозв'язних областях певного вигляду;

- запропоновано метод розв'язання задачі теорії пружності, який ґрунтується на реалізації ідеї визначення бігармонічної функції в заданій області за допомогою спеціальних локалізованих розв'язків першої крайової задачі для рівняння Лапласа в канонічних областях з застосуванням методу колокації;

- досліджено можливість застосування базисних систем атомарних функцій при чисельному моделюванні розсіювання в задачах електромагнітної теорії.

Результати вказаних досліджень можуть бути застосовані при розробці концептуальних підходів до створення систем комп'ютерного моделювання ливарних технологій, що орієнтовані на дослідження теплових процесів твердіння, формуванні раковин та макропористості, аналізі міцності відливка при наявності кристалізаційних тріщин та інших питань.

Практичне значення отриманих результатів полягає в визначеному напрямку роботи, пов'язаному з дослідженням фундаментальної науково-технічної проблеми - забезпечення ефективності технологій литва, підвищення якості відливка та виготовлення ливарних виробів з заданими технологічними властивостями. Розробка спеціального математичного апарату атомарних функцій пов'язана з необхідністю при аналізі та обробці нестаціонарних (за часом) або неоднорідних (в просторі) описів технологічних процесів вміти не тільки виявляти особливості масштабів (характерні частоти), але й встановлювати відомості про визначені локальні координати, при яких ці частоти проявляють себе. Вказаними властивостями володіють wavelet-системи, які при реалізації використовують загальну ідеологію побудови систем атомарних функцій, що складається з використання зсувів та стиснень однієї або декількох функцій, для яких властиві як просторові, так і частотні локалізації.

Запропоновані в роботі класи атомарних функцій декількох змінних відкривають перспективу розвитку методик побудови багатовимірних не ортогональних wavelet-систем, тобто систем, реалізація яких пов'язана з використанням функцій, що визначаються зсувами та стисненнями породжувальних функцій, які самі та зі своїми перетвореннями Фур'є в тій чи інший мірі зосереджені в області скінченого виміру. Це дозволяє забезпечити коефіцієнтам розвинення довільної функції за цими системами містити в достатньо явному вигляді інформацію про поведінку функції та її «миттєвого спектру». Побудова на основі атомарних функцій відповідної системи аналізу, а також поширення варіантів можливих застосувань атомарних функцій при розв'язанні актуальних задач математичного моделювання, робить перспективним проведення обчислювальних експериментів по вивченню складних фізичних процесів, наприклад, формування відливка, варіантів технологічних розв'язків та використання їх при розробці САПР «ІПМаш-литво».

Особистий вклад здобувача. В роботах [2, 5, 6, 14, 16-26, 28-29], виконаних в співавторстві, дисертанту належать теоретичне обґрунтування та практична реалізація ідей, що досліджуються в роботах. В роботах [3, 10] автор досліджував та реалізовував обчислювальні алгоритми. В роботах [8, 15] автору належать постановка проблеми, теоретичне обґрунтування обчислювальних схем. В роботах [30-31] автору належить ідея створення пристроїв та розробка алгоритмів технічної реалізації. В роботі [32] автору належить розробка алгоритму та написання окремих частин програмного продукту. На деякі алгоритми, запропоновані в роботі і програми, яки можуть бути використані в математичному забезпеченні комп'ютерних систем, отримано підтвердження про охорону авторських прав.

Апробація результатів дисертації. Основні результати досліджень, що увійшли в дисертацію, автор доповідав особисто на: міжнародних математичних Конгресах (Цюріх, 1994 р.; Берлін, 1998 р.; Барселона, 2000 р.); на республіканських семінарах «Ланцюгові дроби, їх узагальнення та застосування» (Львів, 1996 р., Ужгород, 2002 р.; Всеукраїнських наукових конференціях: «Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях» (Львів, 1995 р.); «Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь» (Дрогобич, 1994, 1997, 2001 рр.); «Сучасні проблеми математики та інформатики» (Львів, 2002 р.) «Сучасні проблеми гуманізації та гармонізації управління» (Харків, 2001, 2002 рр., Алушта, 2007); на міжнародних конференціях: «Функціональний аналіз та його застосування», присвяченій 100-й річниці з дня народження Стефана Банаха (Львів, 2002 р.); «Обернені задачі та нелінійні рівняння» (Харків, 2002 р.), «Математичні проблеми механіки неоднорідній структур» (Львів, 2003 р.); імені академіка М.Кравчука (Київ, 2002 р.); «Колмогоров та сучасна математика» (Москва, 2003 р.); П'ятому міжнародному Харківському симпозіумі з фізики та інженерії мікрохвиль, міліметрових та субміліметрових хвиль» (Харків, 2004 р.); «Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування» (Ужгород, 2006 р.); Міжнародних наукових конференціях з дослідження операцій (Бремен, “Operations Research-2005”, Карсрує, “Operations Research-2006”); Міжнародній математичній конференції ім. В.Я Скоробагатька (Дрогобич, 2007 р.), Міжнародній НТК пам'яті академіка В.І. Моссаковського «Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій» (Дніпропетровськ, 2007 р.), Міжнародній науковій конференції «Сучасні проблеми механіки та математики» (Львів, 2008 р.).

Публікації. За результатами дисертації опубліковано у виданнях, включених у перелік ВАК України, 27 статті, анонсовані виступи на 24 семінарах, конференціях та міжнародних математичних конгресах, на яких автор робив доповіді, отримано 2 авторських свідоцтва на винаходи та свідоцтво про охорону авторських прав на програмний продукт. Основні публікації включені до автореферату.

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, 5 розділів, розбитих на 38 параграфів (загальний обсяг дисертації - 324 стор.), висновку, списку використаних джерел який займає 38 сторінок і включає 424 найменувань та додатку, в якому міститься ілюстративний та допоміжний матеріали з питань, що розглядаються в основному тексті, результати реалізації алгоритмів, тексти комп'ютерних програм, рисунки та таблиці.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовується актуальність досліджень, сформульовані мета та задачі, наукова новизна та практична цінність дисертації, відомості про апробацію результатів роботи.

Введення містить інформацію про атомарні функції, їх ролі в теорії наближень та чисельних методах, а також деякі відомості про побудову та подальші застосування.

В першому розділі подано визначення найпростішої атомарної функції ?. У випадку однієї незалежної змінної, атомарна функція є нескінченно диференційованим фінітним розв'язком функціонально-диференціального рівняння ?, ? - лінійний диференціальний оператор з постійними коефіцієнтами. Вказану фінітну нескінченно диференційовану функцію можна побудувати застосовуючи нескінченне число разів операцію згортки до розривної функції ? якщо ?; ?, якщо ? ?, де для того щоб supp?, необхідно та достатньо забезпечити ?. Перетворення Фур'є функції ? дорівнює ?, а для функції ? має вигляд: ?. Функції ?, що відповідають вибору ? і задовольняють рівнянню ? є атомарними.

Атомарна функція ? задовольняє рівнянню , має вигляд ? та володіє наступними властивостями:

а) supp?; б) ?, строго більше нуля при ?; в) на ? функція ? зростає, на ? - спадає; ?; г) ? при ?; д) ?; е) значення функції ? в двійково-раціональних точках ? є раціональними числами, в цих точках ряд Тейлора функції ? є поліномом степені ?, в решті точок носія ряд Тейлора має нульовий радіус збіжності, тобто ряд Тейлора не збігається до функції ?.

У цьому розділі подані основні визначення, щодо на наш погляд одного з найкращих досягнень та напрямків теорії атомарних функцій - узагальнених рядів Тейлора. В подальшому в дисертації розробляється наближений метод розв'язання крайових задач на основі узагальнених рядів Тейлора.

Простори лінійних комбінацій зсувів функції ?, що мають добрі апроксимаційні властивості, можуть бути узагальнені на випадок декількох змінних, а саме, з орієнтацією на конкретний вигляд геометричної області, в якій розглядається задача наближення. Опис області довільної конфігурації в аналітично замкнутій формі може бути виконаний за допомогою конструктивних засобів теорії R-функцій: для обмеженої області ? з границею ? будується в неявній формі функція ?: ?, якщо ?; ?, якщо ?; ?, якщо ?. На основі функції ? отримуємо функцію ?, що визначає відстань від точки ? області ? до найближчої точки границі ? у напрямку нормалі до ?: ?.

Поєднання засобів теорій R-функцій та атомарних функцій дозволило побудувати функцію ?, яка отримала назву геометрично структурованої атомарної функції.

Носієм функції ? є пригранична до границі ? смуга, розташована обабіч лінії, що задає конфігурацію границі і має обмежений діаметр.

У випадку, ? якщо ?, носієм функції ? буде смуга одиничної ширини по обидва боки від границі ?. На рис. 2 наведена частина графіка геометрично структурованої відносно параболічної кривої атомарної функції. На рис. 3 зображено носій функції, геометрично структурованої відносно лінії, що еквідистантно зсунута у напрямку внутрішньої нормалі відносно границі ?.атомарний функція крайовий задача

У цьому розділі також досліджуються властивості введеного класу атомарних функцій та можливості їх практичного застосування в чисельних методах. За допомогою зсувів функцій ? відносно границі ? можна реалізовувати добре відомі в аналізі поняття розвинення одиниці.

Серед достатньо простих та перспективних атомарних функцій певну зацікавленість може викликати нескінченно диференційована з компактним носієм.

Ця функція є цілою експоненціального виду типу ? функцією, що спадає на дійсній осі швидше від будь якого степеня, належить класу ?, і задовольняє функціонально-диференціальне рівняння з лінійно змінними коефіцієнтами: ?. Функція ?, при побудові якої використовується функціонально-диференціальні рівняння, належить до нового класу атомарних функцій, принцип формування яких відрізняється від раніше застосованих в теорії атомарних функцій.

В другому розділі розглянуто подальші узагальнення атомарних функцій на випадок багатьох змінних, що обумовлюють їх застосування сумісно з методом R-функцій при реалізації варіаційних методів розв'язання задач математичної фізики. Природне узагальнення на випадок багатьох змінних може бути здійснено на основі звичайного тензорного добутку. Якщо застосовувати описи геометричних многовидів, які визначають носій атомарної функції, то з'являється можливість будувати на основі атомарної функції ? атомарні функції, що матимуть носій у вигляді, наприклад, круга, еліпса, областей, що обмежені кривими Ляме або будь-якої сукупності елементарних кривих у двовимірному просторі, та кулею, еліпсоїдом або обмеженою областю у тривимірному просторі.

Увага до цього функціонально диференціального рівняння була обумовлена фактом, що оператор Лапласа є інваріантний відносно поворотів, а скінчена система точок, з якою доводиться оперувати при побудові атомарних функцій однієї змінної, у випадку, коли вона містить більше ніж одну точку, не інваріантна, і операція сумування в правій частині рівняння, що породжує атомарну функцію, не забезпечує існування фінітного розв'язку. Але, якщо замість операції сумування виконати операцію інтегрування по колу (у випадку узагальнення для двох незалежних змінних), то можна встановити факт існування розв'язку з компактним носієм, тобто фінітних розв'язків відповідного функціонально диференціального рівняння. Для таких функцій, які одержуються в результаті розв'язання, цілком природно зберегти назву атомарних.

Таким чином, багатовимірні узагальнення атомарних функцій з'явилися при розв'язанні однієї з актуальних задач теорії атомарних функцій про побудову фінітних розв'язків функціонально-диференціальних рівнянь.

В даному розділі розглянуто випадки існування та єдності розв'язків даної задачі, коли як породжувальні оператори ? розглядаються оператори Лапласа, Гельмгольця, Клейна-Гордона, бігармонічний і полігармонічний, та встановлюються важливі властивості вказаних узагальнень атомарних функцій. Результати досліджень підсумовуються наступними теоремами.

Теорема 2.2.1.

у випадку, коли ? коло: ?; ? оператор Лапласа,

а) існує і єдиний фінітний розв'язок, який позначається ?, нормований умовою ?, тільки при значеннях коефіцієнтів: ?;

б) функція ? є нескінченно диференційованою з компактним носієм у вигляді кола одиничного радіуса та інваріантною відносно обертання: ?;

в) перетворення Фур'є функції ?має вигляд і є швидко спадаючою при ? функцією експоненціального типу 1;

г) функція ? зображається в квадраті ? рядом Фур'є ?, а коефіцієнти Фур'є даного ряду мають вигляд: ??, де ? - функція Бесселя з нульовим індексом, ?;

д) функція ? зображається в квадраті ? у вигляді ряду і є розв'язком рівняння (1) зі значеннями коефіцієнтів ?, який задовольняє умові ?.

Наближене обчислення значень функції ? проводиться для скінченого числа членів ряду, який виписаний в г).

В результаті побудови фінітного розв'язку функціонально диференціального рівняння

Фінітні розв'язки функціонально диференціальних рівнянь двох незалежних змінних з частинними похідними досліджені при різних диференціальних операторах з лівого боку рівняння, а саме, якщо ? - оператор рівняння Гельмгольця, та ? - оператор рівняння Клейна-Гордона.

Теорема 2.3.1.

а) носій розв'язку має форму круга, вписаного в квадрат ?;

б) перетворення Фур'є розв'язку: ? є швидко спадною при ?, функцією експоненціального типу;

в) розв'язок зображується в квадраті ? рядом Фур'є.

Теорема 2.3.2.

а) носій розв'язку має форму круга, вписаного в квадрат ?;

б) перетворення Фур'є розв'язку: ? є швидко спадною при ?, функцією експоненціального типу;

в) розв'язок зображується в квадраті ? рядом Фур'є (4), коефіцієнти якого мають представлення (5), де функція ?,? знаходиться згідно з б).

Теорема 2.3.4. Рівняння

а) носій розв'язку має форму круга, вписаного в квадрат ?;

б) перетворення Фур'є розв'язку має вигляд ? і є швидко спадною при ?, функцією експоненціального типу;

в) розв'язок зображується в квадраті ? рядом Фур'є (4), коефіцієнти якого мають представлення (5), де функція ?,?, знаходиться згідно б).

У випадку трьох незалежних змінних має місце

Теорема 2.5.1.

Для атомарної функції трьох змінних, інваріантної відносно групи обертання і яка отримується як фінітний розв'язок функціонально диференціального рівняння встановлено імовірнісний зміст та наведені формули для обчислення моментів.

Результати досліджень узагальнень поняття атомарної функції у випадку двох та трьох змінних поширюються на випадок змінних, коли розглядається функціо-нально диференціальне рівняння ?, де ? - диференціальний оператор з сукупності операторів евклідового - вимірного дійсного простору ?: ?- оператор Лапласа; ? - оператор рівняння Гельмгольця, ?- оператор рівняння Клейна-Гордона; ? - замкнута границя опуклої області в ?; ?

У випадку, коли величина ? є заданою, питання про розмір носія фінітного розв'язку функціонально диференціальне рівняння тобто величину радіуса ? гіперкулі ? , яка є шуканим носієм фінітного розв'язку, визначається значенням параметра ? та радіусом ? сфери ?, по якій здійснюється інтегрування, що забезпечує існування фінітного розв'язку даного рівняння. При ? встановлено значення параметрів ? та ?.

Теорема 2.7.3. Атомарна функція ? - фінітний розв'язок рівняння, додатна в внутрішній точках носія та є густиною розподілу ряду незалежних випадкових векторів ?, де ? - послідовність незалежних випадкових векторів ?, що розподілені згідно з одним законом з густиною розподілу, який задається функцією за умови виконання відповідних обмежень на величину дійсного коефіцієнта ?.

Подальші кроки по узагальненню атомарних функцій багатьох змінних пов'язані з побудовою фінітних розв'язків функціонально диференціальних рівнянь, в яких застосовується бігармонічний оператор.

Теорема 2.8.1.

У випадку двох незалежних змінних (?) рівняння має єдиний фінітний розв'язок, (позначається ?), що нормований умовою ?, тільки при наступних значеннях коефіцієнтів ? і ?. Функція ? є нескінченно диференційовною з компактним носієм у вигляді круга радіуса 1, інваріантною відносно обертання ?, перетворення Фур'є та є цілою функцією експоненціального типу, яка швидко спадає, якщо ? ?, тобто спадає швидше від будь-якого степеня. В квадраті ? функція ? зображується рядом Фур'є ?.

Теорема 2.8.3.

У випадку трьох незалежних змінних (?) рівняння (11) має єдиний фінітний розв'язок, який позначається як ? і є нормованим умовою ? тільки при наступних значеннях коефіцієнтів ? та ?. Функція ? є нескінченно диференційованою з компактним носієм у вигляді кулі радіусом 1, інваріантною відносно обертання ?, перетворення Фур'є є цілою функцією експоненціального типу, яка швидко спадає, якщо ? ?, тобто спадає швидше від будь-якого степеня. В кубі ? функція ? зображується рядом Фур'є.

Наприкінці розділу розглянуто випадок узагальнення атомарної функції багатьох змінних, пов'язане з побудовою фінітних розв'язків функціонально диференціальних рівнянь, в яких застосовується полігармонічний оператор.

У третьому розділі демонструється розвиток класу атомарних функцій в теорії wavelet-систем. Атомарні функції однієї змінної (наприклад ?) фінітні, а значить добре локалізовані. Їх перетворення Фур'є спадає на дійсній осі швидше від будь-якого степеня та є нескінченими добутками періодичних функцій. Це означає, що самі атомарні функції можуть породжувати wavelet-системи. Такі ортогональні wavelet-системи складаються з нескінченно диференційованих функцій з експоненціальною локалізацією. Функції цих систем не є зсувами стиснень однієї або двох функцій, однак форма породжувальних функцій змінюється від рівня до рівня (при кратномасштабному аналізі).

В роботі реалізовано спосіб побудови wavelet-системи на основі підходу Y.Meyer'a з використанням атомарної функції ?. Якщо вибрати нескінченно диференційовану парну функцію ? такою, що для ? та парні функції ? і ? утворюють wavelet-систему Y.Meyer'a. В результаті з'являється можливість отримати континуум wavelet-систем, що відповідають довільній непарній функції ? з носієм ?. Конкретний вибір ? приводить до цілком визначеної wavelet-системи, перевірка ортогональності якої зводиться до перевірки тотожностей:

Функція ? може бути вибрана у вигляді ?, де ? парна ?- функція з носієм ?, нормована умовою ?. Зокрема, як ? можна використовувати атомарну функцію ?. Згідно з конструкцією Y.Meyer'a для wavelet-функції побудуємо допоміжні функції:

- непарну ?-функцію ?: ?

- функцію ? - парну ? с компактним носієм:

та функцію ?, що визначається за допомогою перетворення Фур'є.

Інтегральна форма функції ? є складною для обчислень і не зручною для практичної роботи. Це обумовлює використовувати для побудови wavelet-функції фінітну ? атомарну функцію ?.

Для деяких допоміжних функцій ? можуть бути знайдені простіші представлення. Для таких функцій ? перетворення Фур'є мають простий з обчислювальної точки зору вигляд, що робить їх зручними для побудови wavelet-функцій.

З метою підтвердження можливостей використання wavelet-функції досліджено чисельний розв'язок одновимірного рівняння переносу.

В четвертому розділі розглянуто застосування атомарних функцій в чисельних алгоритмах математичного моделювання. Останні 10-15 років значна увага розробників чисельних методів математичного моделювання була звернена до так званих без сіткових методів (meshfree або meshless methods) чисельного розв'язання диференціальних рівнянь. Розвитку таких методів в значній мірі сприяли труднощі відтворювання сіток для реалізації класичних сімейств чисельних методів розв'язання рівнянь з частинними похідними (скінчено різницевих методів, методів скінчених об'ємів, методів скінчених елементів) при розв'язанні задач з складною геометрією, коли необхідно змінювати сітку в процесі розв'язання задачі (наприклад в задачі про розповсюдження тріщин), перевизначити сітку на кожному часовому кроці або при використанні лагранжевих формувань при розгляданні нелінійних диференціальних рівнянь. З іншого боку в практиці чисельних методів часто виникають ситуації, в яких ефективність використання класичних поліномів, що мають добрі апроксимаційні властивості, низька. В підходах, що реалізують без сіткові методи, значна увага приділяється не поліноміальним апроксимуючим функціям. Математичний апарат, що розробляється на основі атомарних функцій багатьох змінних має необхідні властивості і універсальності та локальності, щоб бути застосованим, зокрема, в практиці чисельного розв'язання крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними. Апроксимаційні простори, що використовуються в чисельних методах, представляють собою лінійну оболонку спеціальних апроксимаційних функцій - радіально базисних функцій. Ці функції є одними з найпотрібніших в сучасній теорії наближень при багатовимірній функціональній апроксимації. Серед радіально базисних функцій виділяємо такі, що мають компактні носії. Перевага таких функцій виявляється при побудові ефективних обчислювальних альтернатив до широко розповсюджених в практиці методів скінчених елементів чисельного розв'язання диференціальних рівнянь з частинними похідними.

У розділі подано короткий огляд методів, що використовують радіальні базисні функції.

Розглянута процедура розв'язання крайової задачі Дірихле для рівняння Лапласа в обмеженій однозв'язній області на основі застосування атомарної функції від двох змінних ?:? при граничній умові ?.

В роботі доведена збіжність наближеного розв'язку задачі Діріхле для рівняння Лапласа в обмеженій однозв'язній області, який шукається за допомогою зсувів атомарної функції ?. Також розглянуто приклади розв'язування 3D крайових задач для неоднорідного рівняння Лапласа на основі колокацій та застосування атомарної радіально базисної функції ?.

Перспективними слід вважати підходи розв'язування крайових задач структурно-варіаційними методами на основі використання атомарних функцій. В роботі запропоновані нові математичні засоби описання геометричних об'єктів по методиці теорії R-функцій за допомогою R-операцій, що будуються за допомогою атомарних функцій ?.

Запропонована методика наближеного представлення R-операцій.

Використання для описування обмежених ?- вимірних областей ? з границею ? евклідового простору ? точок ?, для яких розглядається крайова задача, повної системи R-операцій, що формується на основі атомарних функцій, дозволяє отримати функції ?. Такі функції мають наступні характерні властивості: а) ? на ?; б) ? при ?; в) ? зростає в залежності від величини визначального розміру приграничної зони при ?. Побудова функції, яка задовольняє на границі ? області ? граничним співвідношенням.

Для однорідних граничних умов виписані структурні функції ? формують лінійний простір функцій ?Cl? для якого?. Будь-яка функція ? задовольняє граничним умовам відповідної крайової задачі. При виконанні визначених умов, які можна нав'язати граничним операторам крайової задачі та при ?Cl? встановлюємо, що ?Cl? і, при цьому, ?. З теорії наближень відомо, що для будь-якого N-вимірного простору ? ?, де ?Cl??Cl?, ?, знайдуться такі ?, які називаються оптимальними за порядком, що ?, постійні ? залежать від особливостей області ?. Функція ?, що описує область ?, має наступні характеристики:

1) ? на ?; 2) ? якщо ?; 3) якщо ? її градієнт (?) зростає в залежності від величини зменшення розміру приграничної зони, який її визначає. Апроксимаційні простори ? при практичному розв'язанні крайової задачі можуть формуватися у вигляді лінійних комбінацій зсувів атомарних функцій, зокрема, в t-вимірному випадку використовується атомарна функція ?. Такий вибір простору ? дозволяє довести апроксимаційну оптимальність виписаних структур, у яких ? ? (точніше ? якщо ?). Відповідний результат можна подати у вигляді наступної теореми.

Теорема 4.3.2. Якщо лінійні апроксимаційні простори ?, які використовуються при формуванні повних структур наближеного розв'язку крайової задачі, оптимальні.

Далі у розділі досліджуються питання, що виникають при реалізації структурно-варіаційного методу (RFM) розв'язання крайових задач. Розглядається апроксимація в ? обмеженого геометричного об'єкту, який є напівалгебраїчною множиною або об'єднанням скінченого числа напівалгебраїчних множин, точки яких задовольняють скінченим системам алгебраїчних рівнянь та нерівностей, алгебраїчними множинами.

Виписано алгоритм інтерполяції, який може бути використано для аналітичного описання поверхонь, що базується на використанні властивостей локальності спеціальної системи фінітних, тобто з компактним носієм, базисних функцій, що є поліноміальними другої степені сплайнами дефекту 2.

Досліджено підхід для наближеного обчислення геометричних мір трьохвимірних областей, який суттєво базується на використанні методик теорії R-функцій. Розглянуто задачу про найкращу апроксимацію геометричних характеристик поверхонь, яка зводиться до побудови найкращого представлення граничних інтегралів в .

Розділ V присвячений розробці чисельних алгоритмів моделювання деяких фізичних процесів на основі використання атомарних функцій. Пропонується метод розв'язання задачі нестаціонарної теплопровідності на основі узагальненого ряду Тейлора. Розв'язок диференціального рівняння ? ?який задовольняє початковим та граничним умовам: ? де ? - задана функція та ?.

В роботі також запропоновано підхід до розв'язання оберненої задачі теплопровідності на основі використання узагальненого ряду Тейлора.

Практичний напрямок використання узагальнень атомарних функцій на випадок багатьох змінних пропонується розглядати в зв'язку з проблемами, що виникають при моделюванні технологічних ливарних процесів. При аналізі теплових полів в процесі формування відливка треба суттєво враховувати геометричну конфігурацію відливка та зміну теплофізичних параметрів від температури, так як в процесі затвердіння відливок знаходиться послідовно в трьох фазових станах: рідини, рідинно твердому та твердому. Для урахування вказаних особливостей при побудові наближеного розв'язку нестаціонарної початково-граничної задачі теплопровідності пропонується використовувати геометрично структуровані атомарні функції.

Для моделювання залишкового напруженого стану відливка у умовах виникнення кристалізаційних тріщин в процесі затвердіння розроблено метод розв'язання задачі теорії пружності для скінченого тіла при заданій системі тріщин. Розміри тріщин, їх кількість в зоні можливого їх утворення, визначаються на умовах передбачень (ливарного досвіду), практичних спостережень або за результатами застосування спеціальних методик діагностування дефектів після закінчення процесів формування відливка. Метод базується на реалізації ідеї визначення бігармонічної функції в заданій області за допомогою спеціальних локалізованих розв'язків першої крайової задачі для рівняння Лапласа в канонічних областях з використанням методу граничної колокації. Алгоритм розв'язання передбачає використання систем атомарних функцій, за допомогою яких наближено представляються граничні функції вихідної задачі.

Можливості використання атомарних функцій продемонстровані на прикладі розв'язування задачі моделювання процесів розсіювання в електромагнітній теорії. Крайова задача для рівняння Гельмгольца зводиться до інтегральних рівнянь другого роду і виникає зацікавленість в застосуванні чисельних методів до інтегральних рівнянь. Наближений розв'язок зображується у вигляді нестаціонарних не ортогональних wavelet-функцій, що побудовані за допомогою атомарних функцій.

Моделювання процесів формування відливка пов'язано з питаннями точного опису області відливка, що потребує розробки спеціальних обчислювальних методик для реалізації імітаційних процедур та при розв'язанні відповідних крайових задач теплопровідності.

Для розв'язання допоміжних задач зображення геометричних особливостей зон твердіння відливка були розроблені алгоритмічні процедури, що дозволяють візуалізувати вигляд фазових зон при затвердінні розплаву метала у відливку (рис. 7). Опис геометрії відливка проводиться методами теорії R-функцій, а далі буду-ється функція, поведінка якої в точках області забезпечується характеристиками процесу твердіння. Дана функція - нормальна, що дозволяє ефективно її використо-вувати при встановленні термічного центра відливка у випадках ідентичності умов у внутрішніх точках порожнини ливникової форми (рис. 8). Розроблений алгоритм представлено у вигляді комп'ютерної програми, що складає модуль автоматизованої системи, орієнтованої на моделювання процесів формування відливка на основі використання математичних засобів теорії R-функцій та атомарних функцій.

Так як при розв'язанні задач теплопровідності, що пов'язані з процесом затвердіння відливка (якщо використовувати теплову теорію формування відливка), треба враховувати різні фазові зони, то з'являється необхідність розробки спеціального методу наближеного розв'язання задач теплопровідності в двозв'язних областях. Суть методу полягає в тому, що визначають систему кривих, які з'єднують зовнішню та внутрішню границі області, застосуванні функцій, які представляють собою обмеження на вибрані криві розв'язків вихідної задачі та складання для них системи диференціальних рівнянь на основі процедури квадратичної інтерполяції. Відмітимо, що такий підхід перетинається з методом Л.В. Канторовича, але застосовується для суттєво складніших областей, опис яких став можливим з розвитком методу R-функцій. Цей підхід дозволяє звести вихідну задачу нестаціонарної теплопровідності з декількома просторовими змінними до системи рівнянь з однією просторовою змінною. Він також може бути запроваджений, як це показано в дисертації, до розв'язання нелінійних задач нестаціонарної теплопровідності в двозв'язних областях. Відповідні математичні алгоритми розв'язання таких задач наведено в додатку до дисертації.

В цьому розділі також розглянуті перспективи розвитку систем комп'ютерного моделювання технологічних процесів формування відливка на основі використання математичних засобів теорії R-функцій та атомарних функцій, що досліджуються в дисертаційній роботі.

Основні результати та висновки

Метою даної дисертаційної роботи є створення математичного апарату атомарних функцій багатьох змінних та на його основі нових математичних методів розв'язання крайових задач математичної фізики, що виникають при моделюванні різних фізичних процесів.

В результаті досліджень

1) побудовано геометрично структуровані атомарні функції, в яких вдалося поєднати конструктивні особливості атомарних функцій та математичних засобів теорії R-функцій і які мають характерні властивості, що задовольняють визначеним вимогам чисельних методів розв'язання крайових задач математичного моделювання;

2) встановлено існування та єдність фінітних (тобто з компактним носієм) розв'язків спеціального виду функціонально-диференціальних рівнянь, що дозволило побудувати різні класи атомарних функцій багатьох змінних;

3) на основі досліджень, які виконувались при побудові атомарних функцій багатьох змінних, вдалося відкрити новий клас атомарних функцій, зображених лакунарними рядами; це відкриває нові напрямки в подальших роботах з атомарними функціями;

4) проведено аналіз єдності атомарних функцій та wavelet-систем, побудовані базиси просторів wavelet-функцій на основі атомарних функцій та елементарних wavelet-систем;

5) побудовано метод розв'язання задач нестаціонарної теплопровідності на основі суттєвого використання атомарних функцій та побудові наближеного розв'язку у вигляді узагальненого ряду Тейлора для нескінченно диференційованих функцій;

6) проведено модифікацію математичних засобів теорії R-функцій та методу скінчених елементів на основі використання атомарних функцій, що дозволило отримати нескінченно диференційовані описи складних геометричних об'єктів, що відкриває нові можливості чисельного розв'язання задач проекційно-варіаційними методами;