Математичне моделювання фізичних процесів в складних областях за допомогою атомарних функцій

7) отримані висновки, щодо апроксимаційних властивостей структур розв'язків крайових задач математичної фізики структурно-варіаційним (RFM) методом при використанні апроксимаційних просторів лінійних комбінацій зсувів атомарних функцій.

8) запропоновано новий метод розв'язання крайових задач на основі використання колокацій та атомарних радіально базисних функцій багатьох функцій; розглянуті приклади побудови розв'язків 2D та 3D задач Діріхле та Неймана для неоднорідного рівняння Лапласа в складних областях і одержані оцінки точності апроксимації функцій в обмежених однозв'язних областях атомарними функціями багатьох змінних, що встановлює збіжність методу.

Дослідження застосувань математичного апарату теорії атомарних функцій були орієнтовані на аналіз можливостей розв'язання актуальної проблеми теорії формування машинобудівного відливка складної конфігурації, що пов'язано з необхідністю моделювання технологічних процесів та створенню математичних засобів для моделювання процесів, при яких формуються дефекти в відливку. Це обумовило розробку

1) безсіткових чисельних методів розв'язування багатовимірних крайових задач математичної фізики на основі використання атомарних радіально базисних функцій;

2) спеціального методу розв'язання лінійних та нелінійних задач нестаціонарної теплопровідності в двозв'язних областях;

3) методу дослідження залишкового напруженого стану відливка в умовах виникнення кристалізаційних тріщин;

4) підходів до оптимізації процедури чисельного обчислення граничних інтегралів та обчислення інтегралів по областях складної конфігурації;

5) спеціальних чисельних методів, реалізації яких розраховані для моделювання виникнення особливостей (дефектів) при формуванні відливка.

Результати даної роботи демонструють можливості атомарних функцій, зокрема атомарних функцій багатьох змінних, при побудові ефективних методів розв'язання складних задач математичного моделювання і відкривають нові напрямки досліджень як в теорії атомарних функцій так і при розробці нових чисельних методів розв'язання крайових задач. Апроксимаційні простори, що використовуються в чисельних методах розв'язання крайових задач для рівнянь з частими похідними представляють собою лінійну оболонку спеціальних апрокси-маційних функцій з глобальними, або з локальними носіями. Для таких просторів звично використання поліномів, а також радіальних базисних функцій, які активно вивчаються останнім часом і є одними з найбільш використовуваних в сучасній теорії наближень при багатовимірній функціональній апроксимації. Зауважимо, що увага до радіально базисних функцій з компактними носіями обумовлена запитами практики. Перевага цих функцій проявляється при побудові без сіткових та обчислено ефективних альтернатив до широко вживаних методів скінчених елемен-тів для чисельного розв'язання диференціальних рівнянь з частинними похідними. Так як узагальнення атомарних функцій багатьох змінних є розв'язками відповідних функціонально-диференціальних рівнянь, мають сферичну симетрію, інваріантні відносно операцій обертання, мають скінчений носій, то їх цілком природно віднес-ти до радіальних базисних функцій. Порівняння з відомими радіальними базисними функціями вказують на такі переваги атомарних функцій: 1) вони є нескінченно гладкими; 2) задовольняють функціонально-диференціальне рівняння; 3) ефективно обчислювальні; 4) мають явні формули для обчислення перетворення Фур'є.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Колодяжный В.М.. Структурная аппроксимация решений краевых задач при помощи В-сплайнов // Математические методы анализа динамических систем. Вып. 1. Тематич. сб. научн. трудов. Харьков, 1977. - С. 49-55.

Колодяжный В.М. К построению структур решений краевых задач / Колодяжный В.М., Рвачев В.А. // Дифференциальные уравнения, т. 13, № 4, 1977. - С. 646-653.

Математическое обеспечение ЭВМ для решения краевых задач математической физики структурным методом с использованием атомарных функцій / Дабагян А.А., Рвачев В.А // Сб. Однородные цифровые вычислительные и интегри-рующие структуры, вып.8, Таранрог, 1977. - С. 126-132.

Колодяжный В.М. Структурно-вариационный метод решения краевых задач математической физики: Учебное пособие. - Харьков: Изд-во ХАИ, 1981. - 92 с.

Kolodiazhny V.M. On the Construction of Y. Meyer Wavelets Using up(x) Function / Kolodiazhny V.M., Rvachov V.O. // Доповіді АН України, Київ, Наукова думка, № 10, 1993. - C. 18-24.

Kolodiazhny V.M. On Some Elementary Orthogonal Wavelet Systems / Kolodiazhny V.M., Rvachov V.O. // Доповіді АН України, Київ, Наукова думка, № 2, 1995. - C. 20-22.

Колодяжний В.М. Wavelet-аналіз функцій та математичні аспекти його застосування. // Вісник Державн. ун-ту “Львівська політехніка”. Прикладна математика, № 337, Львів, 1998. - C. 38-39.

Колодяжный В.М. Задачи математического моделирования процессов направленного затвердевания отливок / Колодяжный В.М., Кострица В.Г. // Проблемы машиностроения, т.4, № 1-2, 2001. - C. 120-133.

Колодяжный В.М. Комбинированное приближение решения нестационарной задачи теплопроводности // Вісник Запорізького ун-ту, № 3, 2002. - С. 45-52.

Kolodyazhny V.M. The Numerical Schemes of Measure Determination for the Geometric Measurable Objects / Kolodyazhny V.M., Shevchenko А.О. // Мат. методи та фіз.-мех. поля, т. 45, № 4, 2002, - C.132-137.

Колодяжний В.М. Моделювання напруженого стану відливка в умовах виникнення кристалізаційних тріщин / Колодяжний В.М., Рвачов В.О. // Мат. методи та фіз.-мех. поля, т.46, № 2, 2003. - С. 122-127.

Колодяжний В.М. Геометрично структуровані атомарні функції // Доповіді НАН України, №6, 2003. - С. 12-15.

Колодяжный В.М. Решение задач о распространении тепла в ограниченных телах сложной формы // Доповіді НАН України, № 10, 2003. - С.12-16.

Колодяжний В.М. До питання про визначення апроксимаційних властивостей структурних розв'язків крайових задач / Колодяжний В.М., Рвачов В.О. // Доповіді НАН України, № 11, 2003. - С. 22-26.

Колодяжный В.М. Функциональное и алгоритмическое описание геометрических особенностей фасонных отливок при моделировании литейных процессов / Заславский В.А., Колодяжный В.М. // Кибернетика и системный анализ, № 2, 2004. - С. 161-169.

Колодяжний В.М. Фінітні функції, що породжені оператором Лапласа / Колодяжний В.М., Рвачев В.О. // Доповіді НАН України. № 4, 2004. - С. 17-22.

Колодяжний В.М. Фінітні розв'язки функціонально-диференціальних рівнянь з частинними похідними / Колодяжний В.М., Рвачов В.О. // Доповіді НАН України, № 5, 2004. - С. 17-22.

Колодяжний В.М. Атомарні функції, що гармонічні в кільцевій області / Колодяжний В.М., Рвачов В.О. // Вісник Київського університету. Cерія “Математика, механіка”, № 11-12, 2004. - С. 110-114.

Колодяжний В.М. Наближений метод розв'язання задач нестаціонарної теплопровідності на основі узагальненого ряду Тейлора / Колодяжний В.М., Рвачов В.А. // Доповіді НАН України, № 10, 2004. - С. 22-26.

Колодяжный В.М. К аналитическому описанию поверхностей машинострои-тельных объектов / Колодяжный В.М., Рвачев В.А. // Проблемы машино-строения, т.7, № 2, 2004. - С. 61-75.

Колодяжный В.М. Атомарные функции трех переменных инвариантные относительно группы вращения / Колодяжный В.М., Рвачев В.А. // Кибернетика и системный анализ, № 6, 2004. - С. 118-130.

Колодяжний В.М. Деякі властивості атомарних функцій багатьох змінних / Колодяжний В.М., Рвачов В.А. // Доповіді НАН України, № 1, 2005. - С. 12-20.

Колодяжний В.М. Метод розв'язування змішаних задач теплопровідності в певному класі двозв'язних областей / Колодяжний В.М., Рвачов В.О. // Доповіді НАН України, № 4, 2005. - С. 23-28.

Колодяжний В.М. Про одну цікаву функцію з компактним носієм / Колодяжний В.М., Рвачов В.О., Томілова Є.П.// Доповіді НАН України, № 8, 2005. - С. 14-18.

Колодяжний В.М. Фінітні функції, що породжені бігармонічним оператором / Колодяжний В.М., Рвачов В.О. // Доповіді НАН України, № 2, 2006. - С. 23-30.

Колодяжний В.М. Застосування атомарної функції ? при розв'язуванні крайових задач для рівняння Лапласа / Колодяжний В.М., Рвачов В.О. // Доповіді НАН України, № 9, 2006. - С. 16-21.

Колодяжный В.М. Финитные функции, порожденные полигармоническим оператором // Кибернетика и системный анализ, № 5, 2006. - С. 141-156.

Колодяжный В.М. Атомарные функции. Обобщения на случай многих переменных и перспективные направления практических приложений / Колодяжный В.М., Рвачев В.А. // Кибернетика и системный анализ, № 6, 2007. - С. 155-177.

Колодяжный В.М. Атомарные радиально базисные функции в численных алгоритмах решения краевых задач для уравнения Лапласа / Колодяжный В.М., Рвачев В.А. // Кибернетика и системный анализ, № 4, 2008. - С. 165-178.

Цифровой генератор колоколообразной функции: А. с. 622071 СССР, G 06F 1/02 / В.Л. Рвачев, В.А. Рвачев, В.М. Колодяжный, В.В. Органов и А.А. Дабагян / № 2469082; Заявлено 29.03.77. Опубл. 30.08.78. Бюл. № 32. - 6 с.

Цифровой генератор колоколообразных функцій: А. с. 737936 СССР, G 06F 1/02 / В.Л. Рвачев, В.А. Рвачев, В.М. Колодяжный, В.В. Органов и А.А. Дабагян / № 2570213; Заявлено 12.01.78. Опубл. 30.05.80. Бюл. № 20. - 10 с.

Комп'ютерна програма “Моделювання фазових зон твердіння відливка-2D” (“МФЗТВ-2D”) / Колодяжний В.М., Заславський В.А. // Свід-во про реєстр. авт. права на твір №11442. Дата реєстрації 01.11.2004. - Київ: Держ. департ. інтелект. власності, 2004. Офіц. бюлетень «Авторське право і суміжні права», № 6, 2004. - С. 403-404.

Kolodyazhny V.M. Applications of atomic functions to numerical simulation in electromagnetic theory / Kolodiazhny V.M., Rvachov V.O. // MSMW'04 Symposium Proceedings. The fifth International Kharkov Symposium on Physics and Engineering of Microwaves, Millimeter and Submillimeter Waves. Vol. 2. - Kharkov: IRE NASU, 2004. - Р. 916-919.

Колодяжный В.М. Структурно-вариационный метод решения краевых задач математической физики: Учебное пособие. - Харьков: Изд-во ХАИ, 1981. - 92 с.

Kolodyazhny V.M. Structural Wavelet Approximation into Bounded Domains // IV Всеукраїнська наукова конференція “Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях”, Ін-т математики НАН України, Львів-Київ, 1995. - С.92.

Kolodiazhny V.M. Wavelet systems based on atomic functions / Kolodiazhny V.M., Rvachov V.O. // ICM'94-International Congress of Mathematicians. Abstracts. - Zьrich, 1994. - Р. 97.

Kolodyazhny V.M. Nonlinear Identification Problem Solution Using the Wavelets of the Atomic Functions // ICM 1998-International Congress of Mathematicians. Abstracts of Short Communications and Poster Sessions, Berlin, 1998. - Р. 136.

Kolodyazhny V.M. On Structural Wavelet Approximation of Function Satisfying a Stable Boundary Conditions // 3^rd European Congress of Mathematics. Programme and Abstracts. Barcelona, 2000.

Kolodyazhny V.M. Аррroximation of Boundary Measure Integrals on Rі / Kolodiazhny V.M., Rvachov V.O. // International Conference on Functional Analysis and its Applications dedicated to the 110^th anniversary of S. Banach, Lviv, 2002. -P.7.

Колодяжний В.М. Розв'язок рівнянь нестаціонарної теплопровідності для областей з рухомою границею // IX Міжнародна наукова конференція ім. академіка М. Кравчука, Київ, 2002.

Колодяжный В.М. Численное решение задачи Стефана и управление движением границы фазового перехода // International Conference: Inverse Problems and Nonlinear Equations, Kharkiv, 2002. - С. 48-49.

Колодяжний В.М. Моделювання процесів формування відливка складної конфігурації // Дев'ята всеукраїнська наукова конференція “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”, Львів: ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України, 2002. - С. 64-65.

Kolodyazhny V.M. Nonlinear Approximation Theory Approach to the Inverse Heat Conduction Problem // Міжнародна школа-семінар “Ланцюгові дроби, їх узагальнення та застосування, Ужгород: ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України, 2002. - P. 19-20.

Колодяжний В.М. Моделювання напруженого стану відливка в умовах виникнення кристалізаційних тріщин / Колодяжний В.М., Рвачов В.О. / Математичні проблеми механіки неоднорідних структур (VI Міжнародна науко-ва конференція “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”), Львів: ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України, 2003. - С. 279-280.

Колодяжный В.М. Аппроксимация полуалгебраических ограниченных геометрических объектов алгебраическими множествами / Колодяжный В.М., Рвачев В.А. // Колмогоров и современная математика. Международная конференция, посвященная 100-летию А.Н. Колмогорова, Математ. ин-т им. В.А. Стеклова РАН, МГУ им. М.В. Ломоносова. - Москва, 2003.

Kolodyazhny V.M. Applications of atomic functions to numerical simulation in electromagnetic theory / Kolodyazhny V.M., Rvachеv V.А. // The fifth International Kharkov Symposium on Physics and Engineering of Microwaves, MSMW'2004, IRE NASU. - Kharkov, 2004.

Kolodyazhny V.M. Knowledge-Based Approach to Operations Research Problems / Kolodyazhny V.M., Zaslawski V.A. // Schedule. International Scientific Conference “Operations Research-2005”, Bremen. Germany, 2005. - P. 185.

Kolodyazhny V.M. Optimal Control for Cast Solidification Process on the Basis of a Dynamic Programming Model /Kolodyazhny V.M., Shapovalova O.O./ Abstract Guide International Conference on Operations Research, Universitдt Karlsruhe(TH), 2006. - P. 82.

Колодяжний В.М. Атомарні радіально базисні функції в чисельних алгоритмах розв'язання крайових задач для рівнянь з частинними похідними / Колодяжний В.М., Селищев В.С. // Міжнародна наукова конференція «Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування», Ужгород, 2006. - С. 47.

Колодяжный В.М. Структурная атомарная аппроксимация решений краевых задач математической физики // Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», Харьков: ИПМаш им. А.Н. Подгорного НАН Украины, 2006. - С. 13.

Колодяжний В.М. Інтерполяція функцій багатьох змінних атомарними радіально базисними функціями // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька, Дрогобич: ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України, 2007. - С. 141.

Колодяжний В.М. Чисельні методи розв'язування крайових задач на основі атомарних радіально базисних функцій // Міжнародна науково-технічна конференція пам'яті академіка НАН України В.І. Моссаковського «Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій», Дніпропетровськ: ДНУ, 2007. - С. 331.

Колодяжний В.М. Задачі інтерполяції та апроксимації атомарними радіально базисними функціями // Сучасні проблеми механіки та математики. В 3-х томах. Т.3. Львів, ІППММ, 2008. - С. 28-34.

Анотація

Колодяжний В.М. Математичне моделювання фізичних процесів в складних областях за допомогою атомарних функцій - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут кібернетики НАН України, Київ, 2008.

Пропонуються узагальнення на випадок багатьох змінних атомарних функцій, які за визначенням є фінітними (з компактним носієм) розв'язками функціонально-диференціальних рівнянь спеціального вигляду. Доведені теореми існування та єдності атомарних функцій багатьох змінних, породжених за допомогою різного виду диференціальних операторів: Лапласа, Гельмгольця, Клейна-Гордона, бігармонічного та полігармонічного. Досліджено характерні властивості отриманих функцій і встановлений їх імовірнісний зміст.

Розроблена методика побудови нового класу атомарних функцій, що зображуються у вигляді лакунарних рядів. Можливості поєднання методик теорій R та атомарних функцій продемонстровано при створені геометрично структурованих атомарних функцій.

Запропоновано алгоритм побудови базисів просторів wavelet-функцій на основі використання атомарних функцій та просторів елементарних wavelet-систем. На основі суттєвого використання атомарних функцій пропонується новий метод наближеного розв'язування задач нестаціонарної теплопровідності у вигляді узагалі-неного ряду Тейлора для нескінченно диференційованих функцій. Пропонується чисельний алгоритм розв'язування крайових задач математичної фізики на основі використання атомарних функцій багатьох змінних. Розглянуто побудову набли-женого розв'язку задачі Діріхле для рівняння Лапласа у вигляді лінійної комбінації зсувів атомарної функції ? і доведено збіжність методу. Приведені приклади розв'язання 2D та 3D крайових задач для неоднорідного рівняння Лапласа в складних областей на основі колокацій та застосування атомарних радіально базисних функцій.

Досліджені апроксимаційні властивості структур розв'язків крайових задач математичної фізики структурно-варіаційним методом при використанні апроксимаційних просторів лінійних комбінацій зсувів стиснень атомарних функцій.

Атомарні функції багатьох змінних, що розглядаються в роботі, є радіальними базисними функціями з наступними властивостями: 1) вони - нескінченно гладкі; 2) задовольняють функціонально-диференціальному рівнянню; 3) ефективно обчислю-ються; 4) мають явні формули для обчислення перетворення Фур'є. Це надає перспективи їх використовуванню при моделюванні особливостей технологічних процесів формування машинобудівної відливки складної конфігурації. В роботі розглянуто деякі окремі питання використання математичного апарату атомарних функцій для імітаційного моделювання процесів затвердіння відливка та розробки алгоритмів залишкового напруженого стану відливка за умов виникнення кристалізаційних тріщин. Розроблені спеціальні методи розв'язування лінійних та нелінійних задач нестаціонарної теплопровідності в двозв'язних областях. Прове-дено аналіз розвитку систем комп'ютерного моделювання на основі математичних засобів теорії R-функцій та атомарних функцій.

Ключові слова: атомарна функція, інтерполяція, апроксимація, математичне моделювання, крайові задачі математичної фізики, метод R-функцій, узагальнені ряди Тейлора, моделювання формування відливка.

Аннотация

Колодяжный В.М. Математическое моделирование физических процессов в сложных областях с помощью атомарных функций - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2008.

Работа посвящена созданию специализированного математического аппарата на основе атомарных функций и ориентации его в дальнейшем использовании при решении задач математического моделирования. Применение средств теории атомарных функций, а именно, конечных линейных пространств линейных комбинаций сдвигов сжатий атомарных функций для решения краевых задач математической физики для уравнений с частными производными вариационными и проекционными методами позволяет получать приближенные решения с высокой точностью при сравнительно небольших затратах ресурсов компьютера. С помощью атомарных функций можно создавать аппроксимативные структуры, которые объединяют такие свойства классических и тригонометрических полиномов, как бесконечная дифференцируемость и аппроксимационная универсальность, и сплайнов, как существование локального базиса. Классы атомарных функций, которые исследуются в диссертации, т.е. функций с конечным носителем класса - обладают одновременно свойствами локальности (как финитные сплайны) и универсальности (это относится к приближению аналитических функций).

Предлагаются обобщения на случай многих переменных атомарных функций, которые по определению, являются финитными (с компактным носителем) решениями функционально-дифференциальных уравнений специального вида. Доказаны теоремы существования и единственности атомарных функций многих переменных, которые порождаются с помощью разного вида дифференциальных операторов: Лапласа, Гельмгольца, Клейна-Гордона, бигармонического, полигармонического. Исследованы характерные свойства получаемых функций и установлен их вероятностный смысл.

Разработана методика построения нового класса атомарных функций, представимого лакунарными рядами. Возможности объединения методик теорий R-функций и атомарных функций продемонстрированы при создании геометрически структурированных атомарных функций.

Предложен алгоритм построения базисов пространств wavelet-функций с использованием атомарных функций и пространств элементарных wavelet-систем.

На основе существенного использования атомарных функций излагается новый метод приближенного решения задач нестационарной теплопроводности в виде обобщенного ряда Тейлора для бесконечно дифференцируемых функций. Предлагается численный алгоритм решения краевых задач математической физики на основе атомарных функций многих переменных. Рассмотрено построение приближенного решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в виде линейной комбинации сдвигов атомарной функции ? и доказана сходимость метода. Приведены примеры решения 2D и 3D краевых задач для неоднородного уравнения Лапласа в сложных областей на основе коллокаций и применения атомарных радиально базисных функций.

Исследованы аппроксимативные свойства структур решений краевых задач математической физики структурно-вариационным методом при использовании аппроксимативных пространств линейных комбинаций сдвигов сжатий атомарных функций.

Результаты работы демонстрируют возможности атомарных функций, в частности, атомарных функций многих переменных, при построении эффективных методов решения сложных задач математического моделирования и открывают новые направления исследований, как в теории атомарных функций, так и при разработке новых численных методов решения краевых задач. Аппроксимативные пространства, которые используются в численных методах решения краевых задач математической физики для уравнений с частными производными, представляют собой линейную оболочку специальных аппроксимационных функций с глобальными или локальными носителями. Для таких пространств обычно использование полиномов, а также радиально базисных функций, которые активно изучаются последнее время и являются одними из наиболее используемых в современной теории приближений при многомерной функциональной аппроксимации.

Отметим, что внимание к радиально базисным функциям с компактным носителем обусловлено запросами практики. Преимущество этих функций проявляется при построении бессеточных и вычислительно эффективных альтернатив к широко применяемым методам конечных элементов для численного решения дифференциальных уравнений с частными производными. Обобщения атомарных функций на случай многих переменных, которые рассматриваются в работе, являются радиальными базисными функциями со следующими свойствами: 1) они бесконечно гладкие; 2) удовлетворяют функционально-дифференциальному уравнению; 3) имеют сферическую симметрию, инвариантны относительно опера-ций вращения; 4) имеют конечный носитель; 5) эффективно вычисляются; 6) имеют явные формулы для вычисления преобразования Фурье. Это делает их перспективными при моделировании особенностей технологических процессов формирования машиностроительных отливок сложных конфигураций. В работе рассмотрены некоторые частные вопросы использования разрабатываемого математического аппарата атомарных функций для имитационного моделирования процессов затвердевания отливки и разработки алгоритмов моделирования остаточного напряженного состояния отливки в условиях возникновения кристаллизационных трещин. Разработаны специальные методы решения линейных и нелинейных задач нестационарной теплопроводности в двухсвязных областях. Проведен анализ развития систем компьютерного моделирования на основе математических средств теории R-функций и атомарных функций.

Ключевые слова: атомарная функция, интерполяция, аппроксимация, радиально базисные функции, математическое моделирование, краевые задачи математической физики, метод R-функций, обобщенные ряды Тейлора, моделирование формированием отливки.

Summary

Kolodyazhny V.M. Mathematical modeling of physics processing in the complex domains with the help of the atomic functions. - Manuscript.

The Thesis for the Degree of the Doctor in Physics and Mathematics Sciences in speciality 01.05.02 - Mathematical Modeling and Computational Methods. - V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine, Kyiv, 2008.

The multivariate generalization of the atomic functions has been proposed. The atomic functions are the compact support solutions of the functional-differential equations of special type. The existence and uniqueness theorems for multivariate atomic functions generated by different differential operators: Laplace, Helmholtz, Klein-Gordon, biharmonic and polyharmonic ones have been demonstrated. The distinctive properties of the given atomic functions have been investigated as well as their probabilistic content.

The structural method for the new class of atomic functions which are represented in the form of gap series has been stated. The opportunity for unification of the R-functions and atomic function methods has been demonstrated with creation of geometric structural atomic functions.

The constructing algorithm for the space of wavelet-functions based on the atomic functions as well as for the space of the elementary wavelet system has been explained.

The new method of approximation solving of the non stationary problem of heat conductivity in the form of the generalized Taylor's series for infinite differential functions based on essential use of the atomic functions has been created. The numerical algorithm for solving the boundary value problems in mathematical physics on the basis of the multivariate atomic functions has been proposed. The approximation solution formation of the Dirichlet problem for the Laplace equation in the form of linear combinations of translations of the atomic function ? has been considered and convergence of the method has been also provided. The examples of solutions of the 2D and 3D boundary value problems in complex domains for inhomogeneous Laplace equation on the basis of collocation and using atomic radial basic functions.

The approximation properties of the structures for the boundary value problems in mathematical physics, which are solved by using the structural variation method have been investigated by using the approximation spaces of linear combinations of dilations and translations of the atomic functions. The examined multivariate atomic functions are the radial basis functions with the following properties: 1) they are infinitely continuous; 2) they satisfy functional differential equations; 3) they can be computed effectively; 4) they have explicit formulas for Fourier transform calculations. These properties are promising for further development modelling of the feathers of technological processes of involving machine building complex-shape castings. Certain particular issues of using the developed mathematic tools of atomic functions for imitation modelling processes of casting solidification and the algorithm for simulation of the residual stressed state of the casting under conditions of crystalline crack occurred have been considered. The special method for solving linear and non-linear problems in nonstationary heat conductivity in biconnected domains has been developed. The development of computing modelling system based on the mathematical tools of the R-functions and atomic functions theories has been analyzed.

Key words: atomic function, interpolation, approximation, mathematical modelling, boundary value problems of mathematical physics, R-functions method, generalized Taylor's series, casting forming modeling.

Размещено на Allbest.ru