Економіко-математичне моделювання процесів ціноутворення нестандартних опціонів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

УДК 330.43 : 336.764.2

Спеціальність 08.00.11 - математичні методи, моделі та інформаційні технології в економіці

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора економічних наук

Економіко-математичне моделювання процесів ціноутворення нестандартних опціонів

Іващук Наталія Леонідівна

Львів - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Національному університеті "Львівська політехніка" Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант: доктор економічних наук, професор Єлейко Василь Іванович, Львівська комерційна академія, завідувач кафедри економетрії та статистики.

Офіційні опоненти:

- доктор економічних наук, професор Благун Іван Семенович, Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника, завідувач кафедри економічної кібернетики;

- доктор економічних наук, професор Лондар Сергій Леонідович, ДННУ "Академія фінансового управління", віце-президент;

- доктор економічних наук, професор Лук'яненко Ірина Григорівна, Національний університет "Києво-Могилянська академія", завідувач кафедри фінансів.

Захист відбудеться 29 квітня 2009 р. о 13.30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.01 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79008, м. Львів, проспект Свободи, 18, ауд. 115.

З дисертацією можна ознайомитися у Науковій бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розісланий "26" березня 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Стасишин А.В.

Анотація

Іващук Н.Л. Економіко-математичне моделювання процесів ціноутворення нестандартних опціонів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора економічних наук за спеціальністю 08.00.11 - математичні методи, моделі та інформаційні технології в економіці. - Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2009.

У дисертаційній роботі розвинуто теоретико-методологічні положення моделювання на сучасному ринку деривативів. На цій основі розроблено ряд нових економіко-математичних моделей процесів ціноутворення нестандартних опціонів із врахуванням стохастичного характеру їхніх параметрів. За допомогою математичного інструментарію та сучасних засобів програмування розроблено ефективні методи практичного обчислення цін нестандартних опціонів із стохастично змінними параметрами.

У роботі запропоновано нові підходи до моделювання на безарбітражних ринках динаміки цін нестандартних опціонів з метою вирішення проблеми врахування стохастичного характеру їхніх параметрів, які основані на послабленні ряду обмежень в класичних моделях типу Блека-Шоулса та нових способах обчислення умовного математичного сподівання від мартингалів, що описують такі процеси ціноутворення. На відміну від відомих моделей із фіксованими параметрами, це дозволяє суттєвим чином підвищувати точність прогнозованих цін опціонів.

Розроблено економіко-математичні моделі ціноутворення: стандартних і нестандартних опціонів європейського стилю виконання із врахуванням стохастичних стрибкоподібних змін відсоткової ставки без ризику; нестандартних опціонів європейського стилю виконання із врахуванням стохастичного стрибкоподібного характеру дохідності базового активу; нестандартних опціонів європейського стилю виконання із врахуванням стохастичного характеру параметрів змінності цін інвестиційного портфеля декількох базових активів.

В рамках розроблених моделей виведено явні формули для визначення цін широкого класу нестандартних опціонів, на основі яких проведено експериментальні розрахунки із використанням сучасних засобів математичного програмування, у тому числі на реальних даних ряду суб'єктів господарювання при побудові їхніх інвестиційних стратегій та стратегій хеджування, за допомогою портфелів активів із нестандартних опціонів, що дало змогу більш точно прогнозувати ціни таких деривативів при раптових випадкових змінах ринкової кон'юнктури.

Ключові слова: деривативи, строковий ринок, стандартні опціони, нестандартні опціони, моделювання опціонів, функція виплати, опціонна премія, стрибкоподібні моделі опціонів, стохастичні процеси ціноутворення.

Аннотация

Иващук Н.Л. Экономико-математическое моделирование процессов ценообразования нестандартных опционов. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора экономических наук по специальности 08.00.11 - математические методы, модели и информационные технологии в экономике. - Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2009.

В диссертационной работе развито теоретико-методологические положения моделирования на современном рынке деривативов. На этой основе разработано ряд новых экономико-математических моделей процессов ценообразования нестандарт-ных опционов с учетом стохастического характера их параметров. При помощи математического инструментария и современных средств программирования раз-работаны эффективные методы практического вычисления цен нестандартных опционов со стохастическими параметрами в пакете "Mathematica".

В работе предлагаются новые подходы к моделированию на безарбитражных рынках динамики цен нестандартных опционов, с учетом стохастического харак-тера их параметров, основанные на ослаблении ряда предположений в классических моделях типа Блэка-Шоулса, а также на новых способах вычисления условного математического ожидания от мартингалов, описывающих такие процессы цено-образования. В отличие от известных моделей с фиксированными параметрами, это позволяет существенно повысить точность прогнозированных цен опционов.

Разработана экономико-математическая модель ценообразовании стандартных и нестандартных опционов европейского стиля исполнения с учетом стохасти-ческих скачкообразных изменений процентной ставки без риска, в рамках которой были выведены явные формулы для вычисления цен широкого класса опционов с сингулярной функцией выплаты, а также опционов, выставленных на несколько базовых активов.

Разработана экономико-математическая модель ценообразовании нестандарт-ных опционов европейского стиля исполнения с учетом стохастического скачко-образного характера доходности базового актива, в рамках которой выведены явные формулы для вычисления цен широкого класса так называемых азиатских опционов, основанных на средних геометрических, арифметических и взвешенных значениях цен базовых активов, а также барьерных и обратных опционов.

Разработана экономико-математическая модель ценообразовании нестандарт-ных опционов европейского стиля исполнения с учетом стохастического характера параметров изменчивости цен инвестиционного портфеля, состоящего из нескольких базовых активов, в рамках которой выведены явные формулы для определения цен широкого класса опционов, в частности: опционов обмена одного базового актива на другой; опционов на лучший или худший из двух базовых активов; опционов типа "более доходный актив"; опционов на частное цен базовых активов; опционов на спрэд между двумя опционами, выставленными на лучший из нескольких базовых активов; опционов на корзину базовых активов; опционов на валютный курс, связанный с акцией; опционов с фиксированной ценой базового актива и фиксированным валютным курсом; опционов с правом выбора типа опциона; опционов с запаздывающим стартом и сложенных опционов.

На основе разработанных моделей ценообразования, используя современные средства математического программирования, произведено значительное коли-чество экспериментальных вычислений, в том числе на реальных данных ряда экономических субъектов. Такие модели используются при построении их инвести-ционных стратегий и стратегий хеджирования, при помощи портфелей активов, состоящих из нестандартных опционов, что сделало возможным более точное прогнозирование цен таких деривативов при внезапных случайных изменениях рыночной конъюнктуры.

Кроме этого, усовершенствовано математический инструментарий для опреде-ления функций выплаты держателям нестандартных опционов с правом покупки и продажи базовых активов. Приведена новая классификация нестандартных опцио-нов с учетом их модификаций относительно способа мониторинга цены базового актива, метода вычисления ее среднего значения в течение срока действия опциона, места размещения барьеров и характера цены исполнения опциона.

В диссертации получили дальнейшее развитие практические методы опреде-ления места и роли деривативов на современных фондовых и сроковых рынках, их инвестиционной привлекательности и способов использования, а также методов хеджирования портфелей, состоящих из опционных контрактов. Получили также развитие концептуальные принципы идентификации и анализа структурных элементов рынка биржевых и внебиржевых опционных контрактов, их основных отличий, недостатков и преимуществ. Представлен анализ современного состояния мирового рынка опционов с точки зрения их ликвидности, объемов оборота, вида и структуры базового актива, места оборота этих деривативов.

Ключевые слова: деривативы, сроковый рынок, стандартные опционы, нестандартные опционы, моделирование опционов, функция выплаты, опционная премия, скачкообразные модели опционов, стохастические процессы ценообра-зования.

Summary

Ivashchuk N.L. Economic-mathematical modeling of non-standard options pricing processes. - Manuscript.

The dissertation submitted for the Doctor of Economics degree, speciality 08.00.11 - Mathematical Methods, Models and Information Technologies in Economics. - Ivan Franko National University of Lviv, Lviv, 2009.

In the dissertation theoretic-methodological statements, modeling of the modern derivative market, is developed. On this basis series of new economic-mathematical models for pricing processes of non-standard options with stochastic parameters are presented. By means of mathematical models and modern programming many effective practical calculation methods for non-standard options prices with stochastic parameters are developed.

In the work with the purpose to consider of stochastic parameters problem some new approaches to modeling of non-standard option price dynamics on the arbitrage-free markets are offered. Such approaches are based on the easing of some assumptions in classical models like to the Black-Scholes and also on new calculation methods of mathematical conditional expectations from martingales, described pricing processes. As against to known models with fixed parameters it allows to increase of precision for predicted option prices.

Economic-mathematical pricing models are developed for: European style standard and non-standard options with stochastic jump changes of the risk-free interest rate of return; European style non-standard options with a stochastic jump character of the under-lying asset payout rate; European style non-standard options with a stochastic volatility return parameter of an investment portfolio consisted with several underlying assets.

In frameworks of the offered models explicit pricing formulas for wide classes of non-standard options are deduced. Using modern methods of mathematical programming, with the help of these formulas several many experimental calculations, based on real dates of some business subjects are made. Such models are had use to construction of investment and hedging strategy by means of non-standard option portfolios, that allows more precisely to predict prices of such derivatives in cases if market conditions sudden casual change.

Key words: derivatives, derivative market, vanilla (standard) options, exotic (non-standard) options, option modeling, payoff, option premium, jump option models, stochastic pricing processes.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. В умовах трансформування та глобалізації світової економіки реалізація прагнень України щодо інтеграції у світовий економічних простір передбачає реформу фондового ринку, у тому числі його строкового сектору. Основними інструментами цього сектору є опціони та ф'ючерси. Ці деривативи використовуються не тільки з метою отримання спекулятивних прибутків. Головна їх функція полягає, передусім, у страхуванні фінансових інвестицій від ризиків різної природи. В Україні вже зроблено значні поступи у напрямку ґрунтовної реформи строкового ринку, про що свідчать проект Закону України "Про похідні (деривативи)", Закон України "Про акціонерні товариства" та проект Закону України "Про внесення змін до Закону України "Про цінні папери та фондовий ринок". Однак основна проблема полягає у нерозвиненості вітчизняного ринку деривативів, тобто низькій зацікавленості інвесторів похідними інструментами, що зокрема, пояснюється відсутністю достатніх теоретичних знань та практичних навиків щодо їх використання.

Статистичні дані свідчать про те, що серед деривативів чи не найбільшого поширення на світових ринках набули власне опціони. За цих обставин особливої ваги набуває всебічний аналіз структури сучасного світового ринку опціонів, вивчення закономірностей його функціонування, дослідження взаємозв'язків між ціною опціону та ціною базового активу, з'ясування впливу випадкових ринкових чинників на процеси ціноутворення опціонів. Серед цих завдань особливо актуальним і важливим є розробка економіко-математичного інструментарію, який дозволяє прогнозувати ціни опціонів та обчислювати потенційний дохід інвестора у реальних економічних умовах.

Зростаючі теоретичні та практичні потреби у формуванні та розвитку теорії ціноутворення на ринку опціонів, а також недостатність їхнього висвітлення у наукових публікаціях стали визначальними при виборі та обґрунтуванні актуальності теми дисертації.

На формування сучасної теорії ціноутворення опціонів фундаментальний вплив мали наукові праці Ф. Блека, П. Бойла, М. Ґармана, Р. Ґеске, Р. Джерроу, Г. Джонсона, Дж. Кокса, Р. Мертона, С. Росса, М. Рубінштейна, У. Шарпа та М. Шоулса. У 1997 р. Р. Мертон і М. Шоулс за нові методи оцінювання опціонів отримали Нобелівську премію. В останні два десятиліття важливу роль у вивченні різних аспектів процесу визначення цін опціонів та їх використання задля обмеження ризику інвестицій відіграли також дослідження таких відомих зарубіжних учених: Ф. Аітсалії, Г. Альбрехера, А. Андрікопулоса, М. Броді, Р. Гейнена, Дж. Гулла, Ґ. Ґастінеу, П. Ґлассермана, Дж. Дуана, Л. Імгофа, Р. Колба, Т. Лаї, М. Предоти, Дж. Сімонато, М. Уїддікса та інших. Різні грані цієї актуальної проблеми досліджували відомі вітчизняні вчені: І.С. Благун, В.В. Вітлінський, В.І. Єлейко, С.Л. Лондар, І.Г. Лук'яненко, Л.О. Примостка, О.М. Сохацька, В.Є. Юринець та інші.

Водночас багато питань, пов'язаних з дослідженням особливостей формування цін опціонів, особливо їх нестандартних (неохоплених класичною теорією) різновидів, є недостатньо вивченими. Відчувається потреба у послабленні припущень в моделях класичної теорії процесів ціноутворення на ринку опціонів з метою наближення їх до реальних статистичних даних. Нагальною стає проблема ширшого використання найновіших теоретичних напрацювань світової економічної та математичної науки у напрямку економіко-математичного моделювання процесів ціноутворення стандартних і нестандартних опціонів, а також всебічного аналізу строкового ринку задля забезпечення всебічного економічного розвитку країни.

Актуальність теми дослідження зумовлена необхідністю впровадження у сучасний менеджмент принципово нових ідей та методів управління різними проявами ризику. Створення таких методів вимагає нових ґрунтовних наукових досліджень, які сприяють становленню стабільного й високоліквідного внутрішнього фондового та строкового ринків, як невід'ємної частини розвинутої економіки.

Економіко-математичне моделювання процесів ціноутворення на ринку опціонів, зокрема із застосуванням стохастичного аналізу, нині активно розвивається у теоретичному та прикладному аспектах. Однак ґрунтовний аналіз фундаментальних праць багатьох провідних дослідників виявив низку невирішених проблем. Однією з таких невирішених проблем є моделювання цін нестандартних опціонів із врахуванням стохастичного характеру їхніх параметрів, що власне зумовило вибір теми дисертації, її мету та завдання.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Основний зміст наукової роботи складають результати досліджень, які проводилися відповідно до планів науково-дослідних робіт Національного університету "Львівська політехніка", зокрема у рамках держбюджетної теми ДБ "Формування та розвиток системи індикаторів виробничо-господарської діяльності підприємств: теоретико-методологічні та методичні засади" (номер державної реєстрації 0107U000837) та наукових програм "Формування систем індикаторів з оцінювання економічної діяльності та конкурентоспроможності в машинобудуванні і приладобудуванні" (номер державної реєстрації 0107U009523); "Проблеми інвестиційної та інноваційної діяльності (на прикладі машинобудування і приладобудування)" (номер державної реєстрації 0107U009522); "Проблеми корпоративного управління в машинобудуванні та приладобудуванні" (номер державної реєстрації 0107U009521); "Проблеми менеджменту і міжнародної економічної діяльності" (0108U004264), де автором розроблено інструментарій економіко-математичного моделювання цін опціонів європейського стилю виконання.

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційного дослідження є розробка теоретико-методологічних положень та відповідних економіко-математичних моделей аналізу процесів ціноутворення на ринку нестандартних опціонів із врахуванням стохастичного характеру їхніх параметрів, а також розробка методів практичного обчислення цін таких опціонів.

Для досягнення цієї мети у дисертації поставлено та вирішено такі основні завдання:

· розробити концепцію вирішення проблеми моделювання динаміки цін нестандартних опціонів із врахуванням стохастичного характеру їхніх параметрів;

· розвинути методологію практичного обчислення динаміки цін нестандартних опціонів із врахуванням випадкового характеру їхніх параметрів на основі стохастичних методів фінансової математики, сучасної теорії стохастичних диференціальних рівнянь і засобів математичного програмування та обґрунтувати їх застосовність;

· розробити економіко-математичну модель, а також методи практичного обчислення динаміки цін стандартних і нестандартних європейських опціонів із врахуванням стохастичних стрибкоподібних змін відсоткової ставки без ризику;

· розробити економіко-математичну модель, а також методи практичного обчислення динаміки цін нестандартних європейських опціонів із врахуванням стохастичного стрибкоподібного характеру дохідності базового активу;

· розробити економіко-математичну модель, а також методи практичного обчислення динаміки цін нестандартних європейських опціонів із врахуванням стохастичного характеру параметрів змінності цін інвестиційного портфеля базових активів;

· провести експериментальні розрахунки, на основі розроблених алгоритмів і моделей прогнозування цін нестандартних опціонів, з використанням сучасних засобів математичного програмування;

· вдосконалити способи застосування нестандартних опціонів і на їх основі запропонувати методи хеджування інвестиційних портфелів активів за допомогою нестандартних опціонів.

· провести аналіз світового і вітчизняного біржового та позабіржового ринків опціонів, дослідити їхні особливості;

· проаналізувати сутність "нестандартних опціонів" як об'єкта економіко-математичного моделювання, провести класифікацію сучасних форм цих деривативів та систематизувати їх;

· провести аналіз функцій виплати для нестандартних опціонів з правом купівлі та правом продажу базових активів.

Об'єктом дослідження є стохастичні процеси ціноутворення нестандартних опціонів на ринку деривативів.

Предметом дослідження є теорія та методологія економіко-математичного моделювання процесів ціноутворення нестандартних опціонів із застосуванням методів стохастичного аналізу, фінансової математики та засобів математичного програмування.

Методи дослідження. Для вирішення поставлених у дисертації завдань використовувалися такі математичні методи: теорія стохастичних диференціальних рівнянь, основана на поняттях інтегралу та похідної Іто, зокрема, методи представлення розв'язків початково-крайових задач для таких рівнянь і систем, методи наближеного обчислення їх розв'язків; методи фінансової математики, основані на теорії мартингалів; теорія стохастичних процесів Гаусса-Вінера, складених стохастичних стрибкоподібних процесів Пуассона, процесів із логарифмічно-нормальними розподілами; ряд методів теорії ймовірностей, зокрема, методи усереднення випадкових змінних, дисперсійного аналізу, кореляційного аналізу. Для здійснення числових обчислень та графічного представлення числових результатів розроблено комплекс програм у математичному пакеті "Mathematica" алгоритмів обчислення цін нестандартних опціонів із врахуванням стохастичного характеру їхніх параметрів.

Наукова новизна отриманих результатів. У дисертаційній роботі

вперше:

· запропоновано нові підходи до моделювання на безарбітражних ринках динаміки цін нестандартних опціонів з метою вирішення проблеми врахування стохастичного характеру параметрів, які основані на послабленні ряду припущень в класичних моделях типу Блека-Шоулса та нових способах обчислення умовного математичного сподівання від мартингалів, що описують такі процеси ціноутворення, і які на відміну від відомих моделей із фіксованими параметрами підвищують точність прогнозованих цін опціонів;

· розроблено економіко-математичну модель ціноутворення стандартних і нестандартних опціонів європейського стилю виконання із врахуванням стохастичних стрибкоподібних змін відсоткової ставки без ризику, яка на відміну від існуючих моделей ціноутворення опціонів дає змогу, враховуючи раптові зміни відсоткової ставки без ризику, отримувати більш реальні ціни досліджуваних опціонів. В рамках розробленої моделі виведено явні формули для обчислення цін широкого класу опціонів із сингулярною функцією виплати (опціонів типу готівка або нічого, базовий актив або нічого, подвійних бінарних опціонів, опціонів з умовною премією, опціонів з відступом) та опціонів, виставлених на кілька базових активів (кореляційних бінарних опціонів, опціонів на екстремальне значення з кількох активів, опціонів на різницю або добуток значень двох базових активів, опціонів на іноземні акції);

· розроблено економіко-математичну модель ціноутворення нестандартних опціонів європейського стилю виконання із врахуванням стохастичного стрибкоподібного характеру дохідності базового активу, в рамках якої виведено явні формули для обчислення цін широкого класу так званих азійських опціонів, які ґрунтуються на середніх геометричних, арифметичних та зважених значеннях цін базових активів, а також для бар'єрних та зворотних опціонів. Така модель, на відміну від існуючих, дає можливість враховувати під час оцінювання опціонів раптові зміни дохідності базового активу, що наближує її до реальних ринкових процесів;

· розроблено економіко-математичну модель ціноутворення нестандартних опціонів європейського стилю виконання із врахуванням стохастичного характеру параметрів змінності цін інвестиційного портфеля декількох базових активів, яка на відміну від існуючих моделей оцінювання опціонів дозволяє враховувати випадковий характер параметрів змінності цін базових активів і дає змогу точніше прогнозувати ціни таких опціонів. В рамках запропонованої моделі виведено явні формули для обчислення цін широкого класу опціонів, зокрема: опціонів обміну одного базового активу на інший; опціонів на кращий або гірший з двох базовий активів; опціонів типу "більш дохідний актив"; опціонів на відношення цін базових активів; опціонів на спред між двома опціонами, виставленими на кращий з кількох базових активів; кошикових опціонів; опціонів на кращий або гірший з двох базових опціонів; опціонів на валютний курс, пов'язаний з акцією; опціонів з фіксованою ціною базового активу та фіксованим валютним курсом; опціонів з правом вибору типу опціону; опціонів із запізнюючим стартом та складених опціонів;

· на основі розроблених моделей ціноутворення проведено значну кількість експериментальних розрахунків з використанням сучасних засобів математичного програмування, в тому числі на реальних даних ряду суб'єктів господарювання при побудові їхніх стратегій хеджування та інвестиційних стратегій, за допомогою портфелів активів із нестандартних опціонів, що дало змогу більш точно прогнозувати ціни таких деривативів при раптових випадкових змінах ринкової кон'юнктури;

удосконалено:

· математичний інструментарій для визначення функцій виплати утримувачам нестандартних опціонів з правом купівлі та правом продажу базових активів;

· класифікацію нестандартних опціонів із врахуванням їхніх модифікацій щодо способу моніторингу ціни базового активу, методу обчислення її середнього значення протягом дії опціону, місця розміщення бар'єрів та характеру ціни виконання опціону;

дістали подальшого розвитку:

· практичні методи визначення місця і ролі деривативів на сучасних фондових та строкових ринках, їхньої інвестиційної привабливості і способів використання, а також методів хеджування портфелів, які містять у собі опціонні контракти;

· концептуальні засади щодо ідентифікації та аналізу структурних елементів ринку біржових та позабіржових опціонних контрактів, їхніх основних відмінностей, переваг та недоліків;

· методи аналізу сучасного стану світового ринку опціонів з точки зору їхньої ліквідності, обсягів обороту, виду і структури базового активу, місця обороту цих деривативів.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані результати були використані Міністерством економіки України при підготовці Закону України "Про акціонерні товариства" та проекту Закону України "Про внесення змін до Закону України "Про цінні папери та фондовий ринок" (довідка №3201-23/583 від 12.12.2008 р.).

Результати дисертаційного дослідження використовувалися у відділі управ-ління ризиками Західної регіональної філії Акціонерного комерційного банку "Трансбанк" (довідка №2152/01 від 14.10.2008 р.), в інвестиційній компанії ТОВ "Меріт Інвест" (довідка №227/08 від 31.10.2008 р.), у відкритому акціонерному товаристві "Маяк" (довідка №373 від 23.12.2008 р.), у страховому товаристві "Глобус" (довідка №14/1-31 від 5.02.2009 р.). Наукові результати також використовувалися на ТБ "Кримська міжбанківська валютна біржа" при розрахунку цін опціонів (довідка №01/84 від 17.10.2008 р.).

Окрім того результати проведеного дослідження впроваджено у навчальний процес Інституту економіки і менеджменту Національного університету "Львівська політехніка" і використовувалися при викладанні дисциплін "Міжнародна економіка", "Міжнародний ринок капіталів", "Технологія зовнішньоекономічних операцій та міжнародні інформаційні системи", "Зовнішньоекономічні операції та контракти", "Міжнародні фінанси" та "Міжнародні валютно-фінансові відносини", при курсовому та дипломному проектуванні (довідка №65-14-773 від 15.10.2008р.). У Львівському національному університеті імені Івана Франка результати дослідження набули використання у навчальному процесі при викладанні дисциплін "Основи фінансової та страхової математики", "Економетричні методи макро-економіки", "Теорія ризику і прийняття рішень", "Теорія часових рядів" для магістрів спеціальностей "Статистика" і "Математика", при написанні наукових, дипломних і магістерських робіт студентами та аспірантами кафедр математичного моделювання та математичної економіки, а також кафедри економетрії механіко-математичного факультету (довідка №4336-М від 30.10.2008р.).

Особистий внесок здобувача. Дисертаційна робота є самостійно виконаною науковою працею. Усі наукові результати, практичні та експериментальні розрахунки, які викладено у дисертації, одержані автором самостійно. Особистий внесок у працях, опублікованих у співавторстві, наведено у списку публікацій.

Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати досліджень, що відповідають темі дисертації, доповідалися та обговорювалися на: VIII Міжнародній науково-практичній конференції "Теорія і практика управління організацією з погляду тисячоліть" (м. Київ, 24-26.05.2001 р.); Міжнародній науково-практичній конференції "Фінансові механізми активізації підприємництва в Україні" (м. Львів, 25-26.10.2001 р.); Міжнародній науково-практичній конференції "Організаційні та економічні проблеми розвитку муніципальних утворень" (м. Тернопіль, 2-3.11.2006 р.); III Міжнародній науково-практичній конференції "Актуальні проблеми сучасних наук: теорія та практика - 2006" (м. Дніпропетровськ, 16-30.06.2006 р.); III Міжнародній науково-практичній конференції "Сучасні тенденції в розвитку банківської системи та фінансових ринків" (м. Дніпропетровськ, 30.11.2006 р.); VII Міжнародній науково-практичній конференції "Методологічні проблеми розвитку бізнес-освіти" (м. Донецьк, 5.12.2006 р.); Всеукраїнській науково-практичній конференції "Сучасні тенденції розвитку інформаційних технологій в науці, освіті та економіці" (м. Луганськ, 11-13.12.2006 р.); VI Міжнародній науково-практичній конференції "Маркетинг та логістика в системі менеджменту" (м. Львів, 9-11.11.2006 р.); III Міжнародній науково-практичній конференції "Актуальні проблеми сучасних наук: теорія та практика - 2006" (м. Дніпропетровськ, 16-30.06.2006 р.); Всеукраїнській науково-практичній конференції "Управління інноваційним розвитком підприємств України в умовах світових інтеграційних процесів" (м. Дніпропетровськ, 9-10.11.2007 р.); Міжнародній науково-практичній конференції "Наука та практика - 2007" (м. Полтава, 11-15.02.2007 р.); Міжнародній науково-практичній конференції "Сучасні проблеми економіки та управління підприємствами" (м. Жовті Води, 23-24.02.2007 р.); V Всеукраїнській науково-практичній конференції "Стан та проблеми інноваційної розбудови України" (м. Дніпропетровськ, 14-15.03.2007 р.); ІІ Міжнародній науково-практичній конференції "Наукова думка інформаційного віку - 2007" (м. Дніпропетровськ, 16-31.03.2007 р.); ІІ Міжнародній науково-практичній конференції "Современные научные достижения - 2007" (м. Дніпропетровськ, 1-14.02.2007 р.); Міжнародній науково-практичній конференції "Фінансові механізми сталого економічного розвитку" (м. Харків, 18.05.2007 р.); Міжнародній науковій конференції "Особливості соціально-економічного розвитку України і регіонів" (м. Запоріжжя, 11-12.10.2007 р.); ІІ Міжнародній науково-практичній конференції "Інтеграція України у європейський та світовий фінансовий простір" (м. Львів 31.05-1.06.2007 р.); Всеукраїнській науково-практичній конференції "Проблеми розвитку ринку фінансових послуг в Україні" (м. Харків, 15-16.11.2007 р.); Міжнародній науково-практичній конференції "Забезпечення сталого розвитку банківської діяльності" (м. Київ, 11.10.2007 р.); VII Міжнародній науково-практичній конференції "Маркетинг та логістика в системі менеджменту" (м. Львів, 6-8.11.2008 р.); науковому семінарі "Методи сучасної математики в економічній науці" (м. Івано-Франківськ, 26.12.2008 р.).

Публікації. Основний зміст роботи опубліковано у 80 друкованих наукових працях, серед яких: 2 одноосібні монографії (обсягом 53.45 друк. арк.), 55 статей у наукових фахових виданнях (обсягом 35.97 друк. арк., з них автору належать 34.08 друк. арк.), 23 публікації в інших виданнях (обсягом 6.3 друк. арк., з них автору належить 4.35 друк. арк.). Загальний обсяг публікацій становить понад 95.7 друкованих аркушів, з яких дисертанту належать 91.7 друк. арк.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, п'ятьох розділів, висновків, списку використаних джерел, 5 додатків. Основний зміст дисертації викладено на 449 сторінках машинописного тексту, у тому числі містить 96 рисунків та 79 таблиць. Список використаних джерел налічує 417 найменувань і наведений на 34 сторінках. Робота має 5 додатків на 44 сторінках.

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету, завдання, об'єкт і предмет дослідження, висвітлено наукову новизну отриманих результатів та їхнє практичне значення. Також наведено відомості про особистий внесок здобувача, апробацію та впровадження результатів дисертаційної роботи, публікації результатів досліджень. Зазначено зв'язок роботи із науковими програмами та темами.

У першому розділі дисертації "Теоретичні основи моделювання процесів ціноутворення та аналіз структури сучасного ринку опціонів" проаналізовано місце і роль похідних інструментів (деривативів) на фондовому ринку, висвітлено їхні основні функції, зокрема: страхування від різних форм ризику (тобто інвестори можуть використовувати такі інструменти з метою страхування від зростання або зниження вартості базового інструменту); спекулятивну функцію (інвестори спекулюють з метою отримання фінансової вигоди від зростання або зниження вартості базового інструменту); функцію забезпечення інвесторам бажаної структури доходів. Розкрито сутність поняття похідний інструмент, представлено погляди інших науковців і наведено власні означення та класифікацію деривативів.

У розділі також висвітлено різні етапи розвитку моделей ціноутворення, починаючи від моделі формування ціни акції Гордона-Шапіро і закінчуючи найновішими дослідженнями у сфері економіко-математичного моделювання цін нестандартних опціонів. Описано основи теорії оцінювання стандартних опціонів, яка включає дві найбільш відомі моделі: Блека-Шоулса та біноміальну.

Наведено аналіз прав та обов'язків сторін опціонного контракту в залежності від його типу - купівлі чи продажу, та від стилю виконання - європейського чи американського. Розглянуто також основні способи торгівлі опціонами, зокрема, біржової, позабіржової та електронної.

Узагальнюючи дослідження багатьох авторів, а також враховуючи появу на строкових ринках нових нестандартних, кредитних та погодних опціонів, наведено власне означення опціонного контракту. Досліджено функції виплати стандартних опціонів. У зв'язку із тим, що опціони можуть бути предметами як біржового, так і позабіржового обігу, представлено аналіз основних відмінностей між біржовими і позабіржовими опціонами, переваги та недоліки зайнятих позицій в опціонних контрактах, а також так звані коефіцієнти чутливості цих деривативів.

При оцінюванні опціонів за допомогою економіко-математичних моделей істотне значення має правильне визначення параметра змінності (волатильності) базового активу. У зв'язку з чим нами розкрито сутність понять історичної та імплікованої волатильності. Окрім того, висвітлено етапи еволюції моделей оцінювання стандартних опціонів із врахуванням: дивідендів, змінної відсоткової ставки без ризику, оподаткування, типу базового активу тощо.

Нестандартні опціони є модифікаціями та розвиненнями стандартних опціонів. Узагальнюючи власні дослідження нестандартних опціонів та дослідження інших авторів, у дисертаційній роботі розроблено нову їхню класифікацію із врахуванням модифікацій цих деривативів щодо способу моніторингу ціни базового активу, методу обчислення її середнього значення, місця розміщення бар'єрів, характеру ціни виконання тощо. Представлено власний аналіз структури світового ринку опціонів, його біржового та позабіржового сегментів. При цьому, опціони поділено на групи згідно критерію типу базового інструменту. Зокрема, детально досліджено акційні, відсоткові, валютні та індексні опціони, які є найбільш популярними серед інвесторів. У межах кожної групи проаналізовано обсяги обороту, ліквідність опціонів, місце розміщення особливо активних ринків, а також проведено порівняння з обсягами обороту інших деривативів. Окрім того, проаналізовано обсяги обороту на вітчизняному ринку деривативів, в тому числі на ринку опціонів. Зокрема, представлено основних учасників цього ринку та обчислено частку опціонів у загальному обсязі обороту вітчизняного фондового ринку.

У другому розділі "Методологічні основи оцінювання опціонів" проаналізовано основні чинники, які впливають на формування цін опціонів, зокрема, чинник ціни базового активу та ціни виконання опціону, чинник часу до закінчення терміну його дії, чинники змінності та дохідності базового активу, чинник відсоткової ставки без ризику. Визначено нижню та верхню границі, в яких формуються ціни опціонів з правом купівлі та продажу для європейського та американського стилів виконання. Розкрито базові поняття та положення теорії опціонів, представлено основні методологічні підходи до оцінювання опціонів та наведено декілька основних моделей ціноутворення, а також їхні основні характеристики. Розкрито принципи побудови відомих моделей ціноутворення опціонів.

У цьому розділі також викладено математичні основи оцінювання опціонів європейського стилю виконання зі стохастичними параметрами, які ґрунтуються на теорії мартингалів, на теорії стохастичних процесів Гаусса-Вінера, а також на теорії складених стрибкоподібних процесів Пуассона. Дисертаційне дослідження в істотний спосіб використовує власне мартингальний метод оцінювання деривативів. У зв'язку з цим викладено основні математичні поняття, які використовуються у дисертації, сформульовано фундаментальні теореми про те, що ціни опціонів на безарбітражних ринках описуються певними класами мартингалів, внаслідок чого такі ціни обчислюють, як умовне математичне сподівання від функцій виплати опціонів.

Представлено аналіз класичних методів оцінювання опціонів, зокрема біноміального методу та методу Блека-Шоулса. Розглянуто також модифіковану Р. Мертоном модель Блека-Шоулса, яка враховує можливість виплати дивідендів на акцію під час дії опціону. Згадано про інші методи оцінювання опціонів, які враховують виплату дивідендів на базовий актив. Проведено огляд методів оцінювання опціонів американського стилю виконання. ціна ринок опціон стохастичний

Окрім того, у даному розділі висвітлено методи визначення цін відсоткових стандартних опціонів. Проаналізовано деякі з них, зокрема метод обчислення ціни опціону, виставленого на безкупонну облігацію, а також на облігацію з купонами, описані Дж. Гуллом. Проаналізовано моделі оцінювання європейських валютних опціонів, зокрема, модель Ґраббі і модель Гармана-Колхаґена. Крім того, описано модель визначення цін індексних опціонів європейського стилю виконання.

У зв'язку з основною проблематикою дисертаційної роботи - дослідженням опціонів зі стохастичними параметрами, проведено аналіз особливостей стохастичного моделювання та огляд існуючих моделей оцінювання опціонів зі стохастичними параметрами. Розглянуто моделі Р. Мертона оцінювання стандартних європейських опціонів зі стрибкоподібною дохідністю базового активу для опціонів типу купівлі та оцінювання стандартних європейських опціонів зі стохастичною відсотковою ставкою. Проаналізовано метод оцінювання стандартних європейських опціонів зі стохастичною змінністю ціни базового активу у моделі Гулла-Уайта.

Окрім того, у розділі висвітлено підходи різних авторів щодо оцінювання опціонів, зокрема, основані на методах стохастичного аналізу, наближених числових, симуляційних, економетричних, оптимізаційних та інших методах. Описана модель Фішера з невизначеною ціною виконання та модель Ліланда з трансакційними витратами.

У третьому розділі "Моделювання процесів ціноутворення опціонів із врахуванням випадкових раптових змін відсоткової ставки без ризику" на прикладі моделі Блека-Шоулса викладено методику перевірки економіко-математичних моделей ціноутворення на адекватність, використовуючи при цьому реальні статистичні дані. Ця модель використана у дисертаційній роботі як базова при моделюванні цін нестандартних опціонів європейського стилю виконання.

Для розробки моделей оцінювання опціонів у випадку стохастичної відсоткової ставки без ризику, у дисертаційній роботі послаблено досить ригористичне припущення, яке використовується у класичних моделях типу Блека-Шоулса про те, що відсоткова ставка без ризику є фіксованою величиною. Це припущення замінено на менш ригористичне, а саме, досліджується випадок стохастичної стрибкоподібної відсоткової ставки без ризику. Зауважимо, що у реальних умовах відсоткова ставка без ризику не є фіксованою величиною, більше того, вона не змінюється поступово і плавно, а раптово, у вигляді стрибка.

Проблему врахування реального характеру змін відсоткової ставки без ризику вдалося вирішити за допомогою теорії складених стохастичних стрибкоподібних процесів Пуассона. Поєднуючи цю теорію з відомими фундаментальними теоремами про те, що ціни опціонів на безарбітражних ринках описуються мартингалами, внаслідок чого вони можуть бути обчислені як умовне математичне сподівання від функцій виплати, розроблено новий метод визначення цін цілого ряду нестандартних опціонів побудовою явних формул, виражених через відомі параметри.

Експериментальні числові розрахунки, проведені у пакеті "Mathematica" на основі формули (2), показують (табл. 1, рис. 1), що у міру зростання суми виплати за опціоном його ціна швидко зростає, що пов'язане зі зростанням можливих втрат для емітента опціону. Внаслідок збільшення терміну дії опціону його ціна теж зростає, хоч не так швидко. Зростання ціни опціону внаслідок зростання терміну його дії пояснюється зростанням непевності щодо майбутньої ситуації на ринку базового активу. Отже, для суб'єкта, який планує зайняти коротку позицію у такому опціоні, більш вигідними будуть інструменти з довшим терміном дії. Вища сума виплати також підвищує ціну опціону, оскільки зростає ризик можливих втрат, пов'язаних з необхідністю розрахунку з утримувачем опціону.

Таблиця 1

Залежність ціни опціону "готівка або нічого" типу купівлі від суми виплати та терміну дії

Виплата/ термін дії	1 місяць	2 місяці	3 місяці	4 місяці	5 місяців	6 місяців
20 грн.	5.9245	6.6384	6.8749	6.9619	6.9826	6.9685
40 грн.	11.8490	13.2768	13.7499	13.9239	13.9653	13.9370
60 грн.	17.7736	19.9153	20.6249	20.8859	20.9479	20.9055
80 грн.	23.6981	26.5537	27.4999	27.8479	27.9305	27.8740
100 грн.	29.6226	33.1921	34.3748	34.8099	34.9132	34.8425

Якщо порівняємо ціни аналогічних опціонів за фіксованої та стрибкоподібної відсоткової ставки без ризику, то побачимо, що останні є дорожчими (табл. 2). Натомість у випадку опціонів типу продажу простежується обернена ситуація (табл. 3). Зазначимо при цьому, що наша модель враховує реальні процеси, які відбуваються на ринку, у чому зацікавлені обидві сторони опціонного контракту, а тому ліквідність опціонів, ціна яких обчислюється із врахуванням стрибкоподібної відсоткової ставки без ризику, буде вищою.

Таблиця 2

Порівняння цін опціонів типу купівлі за фіксованої та стохастичної відсоткової ставки без ризику

Виплата/ термін дії	2 місяці	Різниця	4 місяці	Різниця	6 місяців	Різниця
	Фікс. ставка	Стох. ставка		Фікс. ставка	Стох. ставка		Фікс. ставка	Стох. ставка
20 грн.	4.73	6.64	-1.91	5.64	6.96	-1.32	5.96	6.96	-1.00
40 грн.	9.46	13.28	-3.82	11.28	13.92	-2.64	11.92	13.93	-2.01
60 грн.	14.19	19.92	-5.73	16.92	20.88	-3.96	17.88	20.90	-3.02
80 грн.	18.92	26.65	-7.73	22.57	27.84	-5.27	23.84	27.87	-4.03
100 грн.	23.65	33.19	-9.54	28.21	34.80	-6.59	29.80	34.84	-5.04

Таблиця 3

Порівняння цін опціонів типу продажу за фіксованої та стохастичної відсоткової ставки без ризику

Виплата/ термін дії	2 місяці	Різниця	4 місяці	Різниця	6 місяців	Різниця
	Фікс. ставка	Стох. ставка		Фікс. ставка	Стох. ставка		Фікс. ставка	Стох. ставка
20 грн.	15.07	13.16	1.91	13.96	12.64	1.32	13.44	12.44	1.00
40 грн.	30.14	26.32	3.82	27.92	25.28	2.64	26.89	24.88	2.01
60 грн.	45.21	39.48	5.73	41.88	37.92	3.96	40.34	37.32	3.02
80 грн.	60.28	52.65	7.63	55.84	50.56	5.28	53.79	49.76	4.03
100 грн.	75.35	65.81	9.54	69.80	63.21	6.59	67.24	62.20	5.04

Таблиця 4

Порівняння цін спред-опціонів типу купівлі за фіксованої та стохастичної відсоткової ставки без ризику

Ціна 1 активу/ ціна виконання	90 $	Різниця	100 $	Різниця	110 $	Різниця
	Фікс. ставка	Стох ставка		Фікс. ставка	Стох. ставка		Фікс. ставка	Стох. ставка
140 $	2.03	7.38	-5.35	0.52	4.65	-4.13	0.11	2.85	-2.74
150 $	6.47	12.46	-5.99	2.46	8.42	-5.96	0.74	5.54	-4.80
160 $	13.81	18.91	-5.10	7.04	13.57	-6.53	2.91	9.47	-6.56
170 $	22.91	26.51	-3.60	14.31	19.99	-5.68	7.62	14.69	-7.07
180 $	32.70	34.95	-2.25	23.30	27.48	-4.18	14.83	21.08	-6.25

Таблиця 5

Порівняння цін спред-опціонів типу продажу за фіксованої та стохастичної відсоткової ставки без ризику

Ціна 1 активу/ ціна виконання	90 $	Різниця	100 $	Різниця	110 $	Різниця
	Фікс. ставка	Стох ставка		Фікс. ставка	Стох ставка		Фікс. ставка	Стох. ставка
140 $	34.56	32.68	1.88	26.93	23.19	3.74	20.42	14.55	5.87
150 $	26.23	22.86	3.37	19.64	14.17	5.47	14.31	7.40	6.91
160 $	18.91	13.81	5.10	13.57	7.04	6.53	9.47	2.91	6.56
170 $	12.88	6.69	6.19	8.84	2.66	6.18	5.91	0.85	5.06
180 $	8.25	2.43	5.82	5.41	0.73	4.68	3.46	0.17	3.29

Як бачимо, за стрибкоподібної відсоткової ставки без ризику ціни спред-опціонів типу купівлі є вищими, а ціни опціонів типу продажу - нижчими від цін аналогічних опціонів за фіксованої відсоткової ставки без ризику (табл. 5). Це означає, що більш вигідними для побудови інвестиційної стратегії є опціони типу продажу. Натомість при використанні таких деривативів з метою хеджування слід використовувати опціони типу купівлі, оскільки втрати незастрахованих позицій можуть бути вищими, ніж витрати на стратегію хеджування. Зрозуміло, що врахування стохастичного характеру змін відсоткової ставки без ризику наближає моделі до реальних процесів ціноутворення на ринку таких опціонів.

Крім наведених прикладів у розділі 3 дисертаційної роботи для випадку стохастичної стрибкоподібної відсоткової ставки без ризику знайдено явні формули:

- оцінювання опціонів із сингулярною функцією виплати, в тому числі:

· опціонів типу базовий актив або нічого,

· подвійних бінарних опціонів,

· опціонів з умовною премією,

· опціонів з відступом,

- оцінювання опціонів, виставлених на кілька базових активів, в тому числі:

· кореляційних бінарних опціонів,

· опціонів на екстремальне значення з кількох активів,

· опціонів на добуток значень двох базових активів,

· опціонів, виставлених на іноземні акції.

Для цих опціонів проведено експериментальні числові розрахунки в пакеті "Mathematica", результати яких представлено у табличному та графічному вигляді.

У розділі продемонстровано також можливості застосування розроблених моделей задля отримання інвестиційного доходу та з метою хеджування доходів для різних суб'єктів господарювання. Аналіз практичного застосування моделей показав, що ціни таких опціонів дійсно сильно реагують на рівень відсоткової ставки без ризику. Зокрема, проведено аналіз залежності цін опціонів "готівка або нічого" від змінності базового активу, від суми виплати та терміну дії опціону, а також здійснено порівняння цін опціонів за фіксованої та стохастичної відсоткової ставки без ризику, що дає можливість вибрати оптимальний варіант для побудови інвестиційного портфеля. Обчислено також ціни опціонів типу "актив або нічого" та "опціонів з відступом". Розрахунки, на основі розроблених моделей "опціонів на іноземні акції", показали, що такі деривативи можуть успішно використовуватися з метою хеджування інвестиційного портфеля, який складається з іноземних активів.

У цьому розділі також проведено дослідження кореляційних бінарних опціонів, яке показало, що ці деривативи є дешевшими від стандартних опціонів, однак їх слід застосовувати у випадку, коли інвестор з високим ступенем ймовірності прогнозує настання сприятливих для нього умов. Також отримано теоретичне підтвердження того, що краще купувати опціони типу продажу з довшим терміном дії, оскільки їх ціна з часом спадає. Проведено експериментальну апробацію на реальних даних застосування опціонів на різницю цін двох активів. Порівняння їх цін з цінами стандартних опціонів показало, що вони мало відрізняються між собою, однак при застосуванні стратегії хеджування із використанням стандартних опціонів слід купувати одночасно два опціони, що підвищує ціну такої стратегії у порівнянні із купівлею одного опціону на спред. Окрім того слід також враховувати трансакційні витрати на придбання опціонів, які у випадку придбання двох опціонів будуть удвічі вищими, ніж у випадку придбання одного опціону. Порівнюючи моделі оцінювання опціонів на спред із фіксованою та стохастичною відсотковою ставкою без ризику, зроблено висновок про вищу ціну останніх для опціонів типу купівлі, і нижчу - для опціонів типу продажу.

Аналіз багатьох експериментальних розрахунків показав, що моделі оцінювання опціонів із стрибкоподібною відсотковою ставкою без ризику можуть також успішно використовуватися для хеджування зовнішньоекономічної діяльності. Перевагою моделей оцінювання опціонів зі стохастичною ставкою є те, що вони дозволяють точніше характеризувати ціну опціонів, що підвищує рівень їх ліквідності на ринку. Своєю чергою, висока ліквідність інструменту призводить до нижчих різниць між цінами їх купівлі та продажу, що також додає впевненості покупцям опціонів у можливості швидкого їх продажу на вторинному ринку.

У четвертому розділі "Прогнозування цін нестандартних опціонів для стохастичного доходу базового активу" розроблено нові моделі оцінювання нестандартних опціонів європейського стилю виконання за умови стохастичної стрибкоподібної дохідності базового активу. Тим самим вирішується актуальна проблема налаштування параметрів в моделях оцінювання опціонів на використання реальних даних, що пов'язано з можливістю раптових змін ставки доходу базового активу. Проблему врахування реального характеру змін дохідності базового активу вдалося вирішити за допомогою теорії складених стохастичних стрибкоподібних процесів Пуассона у поєднанні з відомими теоремами фінансової математики про те, що на безарбітражних ринках ціни європейських опціонів можна описувати мартингалами, а тому такі ціни обчислюють у вигляді умовного математичного сподівання від функцій виплати по так званій мартингальній імовірнісній мірі. На цій основі у дисертації розроблено алгоритм побудови формул оцінювання ряду нестандартних опціонів зі стохастичною дохідністю базового активу.

Таблиця 6

Залежність ціни опціону купівлі від ціни виконання та від терміну дії опціону

Термін дії/ ціна виконання	370 грн.	380 грн.	390 грн.	400 грн.	410 грн.
2 місяці	18.5680	11.2414	5.92024	2.66292	1.01158
4 місяці	18.4016	12.2297	7.56192	4.33144	2.29299
6 місяців	18.2776	12.7836	8.52049	5.40405	3.25962
8 місяців	18.1052	13.0952	9.13818	6.14940	3.99058
10 місяців	17.8838	13.2531	9.54729	6.68522	4.55123
12 місяців	17.6228	13.3059	9.81541	7.07508	4.98494

Як бачимо, у міру зростання ціни виконання опціону його ціна знижується, що пояснюється зменшенням втрат для емітента такого деривативу. Збільшення терміну дії опціону призводить до незначного його здешевлення, а отже цей параметр не матиме значного впливу на рішення інвестора, яке залежатиме лише від його індивідуальних потреб.

Експериментальні числові розрахунки, проведені у пакеті "Mathematica" на основі наведених формул, демонструють залежності цін опціонів продажу з бар'єра-ми виходу (нижнім та верхнім) від ціни базового активу (від 90$ до 110$) та терміну дії опціону (від 1 дня до 1.5 року) (рис. 2).