Параметричні моделі і статистичний аналіз сигналів зі стохастичною повторюваністю

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національний університет Львівська політехніка

УДК 621.77:621.314

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Спеціальність 01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи

Параметричні моделі і статистичний аналіз сигналів зі стохастичною повторюваністю

Кравець Ігор Богданович

Львів - 2007

Дисертація є рукописом

Робота виконана у Фізико-механічному інституті ім. Г.В.Карпенка Національної академії наук України, м. Львів

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Яворський Ігор Миколайович, Фізико-механічний інститут ім. Г.В.Карпенка Національної академії наук України, завідувач відділу відбору і обробки стохастичних сигналів. стохастичність імовірність фільтр елайзинг

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Дивак Микола Петрович, Тернопільський національний економічний університет Міністерства освіти та науки України, декан факультету комп'ютерних інформаційних технологій, завідувач кафедри комп'ютерних наук доктор фізико-математичних наук, професор Єлейко Ярослав Іванович, Львівський національний університет ім. Івана Франка Міністерства освіти та науки України, завідувач кафедри теоретичної та прикладної статистики

Захист відбудеться 29 жовтня 2007 р. о 16 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.052.05 в Національному університеті «Львівська політехніка» за адресою: 79013, м. Львів, вул. С. Бандери, 12.

З дисертацією можна ознайомитися у науково-технічній бібліотеці Національного університету «Львівська політехніка» за адресою: 79013, м. Львів, вул. Професорська, 1.

Автореферат розісланий 21 вересня 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор технічних наук, професор Р.А. Бунь.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Детерміністичні принципи дослідження фізичних процесів при всій своїй простоті не дозволяють охопити складність реальних явищ. Застосування імовірнісного підходу до аналізу сигналів, що існують в природі, дає змогу ширше описати зміни фізичної системи, не обмежуючись однозначністю опису. Випадковий характер шумів і завад, що спостерігаються при роботі радіотехнічних та механічних систем, вимагає використання імовірнісних методів в задачах радіотехніки та дефектоскопії об'єктів тривалої експлуатації. Останнім часом випадковий процес став основною математичною моделлю для опису радіо- та вібраційних сигналів - носіїв інформації, а також шумів та завад, які його супроводжують. Найбільш ефективного і широкого застосування методи статистичної обробки набули в радіолокації, радіозв'язку, радіофізиці, сейсмології, телеметрії, вібродіагностиці, біо-медичній інженерії, кліматології, а також в розвитку теорії передбачення.

Властивості повторюваності та стохастичності характерні більшості випадкових сигналів, що зустрічаються в природі та технічній діяльності людини. Використання імовірнісного підходу, що ґрунтується на моделях у вигляді періодично корельованих випадкових процесів (ПКВП), до аналізу та моделювання таких стохастичних сигналів дає змогу якнайкраще описати властивості фізичних систем, що їх спричиняють, як з врахуванням регулярних, детерміністичних законів, так і з врахуванням випадкових завад і збурень, що можуть нести як корисну, так і паразитну інформацію про фізичну систему.

Властивості джерела сигналу в рамках кореляційної та спектральної теорії ПКВП описуються на основі аналізу моментних функцій першого та другого порядку - математичного сподівання, кореляційної функції, спектральної густини та компонентів їх розкладу в ряд Фур'є. Параметрами обробки сигналу за допомогою непараметричних методів є довжина реалізації сигналу, інтервал дискретизації, точка усічення корелограми, вагові спектральні та кореляційні вікна. Необраховані значення автокореляційної функції за межами вікна вважають рівними нулю, або періодичними, що, звичайно, є грубим припущенням й веде до спотворення спектральних оцінок.

Більш якісні оцінки характеристик процесу отримують на основі побудови параметричних моделей випадкових процесів, що передбачає визначення кількості параметрів та їх оцінювання. Така методологія дозволяє приймати більш реалістичні доповнення про дані за межами вікна, а отже, і зменшити зв'язані з таким наближенням похибки. Це дозволяє отримати точніші оцінки спектральної густини процесу з більш високою роздільною здатністю. Крім того, параметричні моделі є зручними для задач передбачення та відновлення втрачених значень.

Методологія отримання параметричних оцінок випадкових процесів ґрунтовно розроблена для класу стаціонарних випадкових процесів. Для нестаціонарних випадкових процесів розроблено методи авторегресії інтегрованого ковзного середнього, періодичної авторегресії ковзного середнього (ПАРКС) та деякі розширення стаціонарних моделей - сезонні, квартальні, тощо. Модель ПАРКС розроблена спеціально для моделювання періодично нестаціонарних випадкових процесів, кількість її параметрів залежить від періоду корельованості та є значною при великих значеннях останнього. Очевидно, що для моделювання нестаціонарних сигналів, в яких присутні стохастичні модуляційні зв'язки періодичної структури, доцільно використовувати моделі, що враховують періодичну структуру ПКВП. Так, використання моделі ПКВП на основі гармонічного розкладу дозволяє описати властивості досліджуваного сигналу через властивості його стаціонарних складових та понизити кількість параметрів моделювання, не понижуючи його точності. Така методологія передбачає побудову параметричного представлення конкретного процесу та моделювання його випадкових складових - саме ці питання і досліджуються в дисертаційній роботі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалася в рамках державних бюджетних тем Національної академії наук України «Розробка методів виявлення та визначення характеристик прихованих періодичностей для задач технічної діагностики» (2000-2003, Постанова Бюро відділення ФТПМ НАН України № 8 від 16.05.2000 р., номер держ. реєстр. 0100U004868), «Моделювання і аналіз сигналів зі стохастичною повторюваністю при розробці віброакустичних та електромагнітних пошуково-вимірювальних систем» (2004-2006, Постанова Бюро відділення ФТПМ НАН України № 9 від 13.05.2004 р., номер держ. реєстр. 0104U004179) та договору № 2.4/282 від 01.04.2004 р. «Розробка методології та нових технічних засобів вібродіагностики підшипникових вузлів та зубчастих передач» в рамках програми «Проблеми ресурсу і безпеки експлуатації конструкцій, споруд та машин» (замовлення Національної академії наук України, номер держ. реєстр. 0104U004571). В цих роботах автор приймав участь як виконавець і розробив параметричні моделі та підходи до статистичного аналізу сигналів зі стохастичною повторюваністю.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є побудова параметричної математичної моделі стохастичних вібраційних сигналів та методів їх статистичного аналізу на основі розкладу через стаціонарні стаціонарно зв'язані випадкові процеси.

Для досягнення поставленої мети в роботі розв'язані такі задачі:

· проведено теоретичне дослідження властивостей гармонічного представлення ПКВП та на його основі запропоновано два методи виділення стаціонарних компонентів: метод на основі переносу частот та метод на основі перетворення Гільберта;

· проаналізовано точність виділення стаціонарних складових ПКВП, що отримуються запропонованими методами, та визначено клас процесів, для яких похибка виділення є мінімальною;

· на основі гармонічного представлення ПКВП проведено аналіз залежності показників якості оцінювання імовірнісних характеристик від довжини відрізка реалізації, кроку дискретизації та параметрів апроксимацій, запропонованих для опису кореляційної структури ПКВП;

· розроблено метод симулювання ПКВП по наперед заданих імовірнісних характеристиках та оцінено точність такого моделювання;

· на основі результатів обробки експериментальних даних проаналізовано вплив порядку фільтру та ефекту елайзингу при виділенні стаціонарних складових ПКВП;

· проведено порівняльний аналіз оцінювання імовірнісних характеристик ПКВП за когерентним методом та на основі гармонічного представлення;

· розроблено нову методологію статистичного аналізу вібраційних сигналів, на основі отриманих результатів запропоновано нову діагностичну ознаку дефектності підшипників кочення та показано її ефективність, побудовано параметричні моделі випадкових складових вібраційних сигналів від дефектного та бездефектного підшипників та досліджено їх точність при різних кількостях параметрів моделювання.

Об'єктом дослідження є випадкові процеси зі стохастичною повторюваністю.

Предметом дослідження є методи параметричного моделювання і статистичного аналізу ПКВП на основі їх представлення через стаціонарні стаціонарно зв'язані випадкові процеси та оцінювання показників якості моделювання.

Методи дослідження:

· виділення стаціонарних складових гармонічного подання ПКВП базується на методах лінійної фільтрації та перетворення Гільберта;

· статистичні характеристики виділених стаціонарних гармонічних складових дослідженні з використанням теорії та методів статистичного аналізу періодично корельованих випадкових процесів;

· модель сигналів зі стохастичною повторюваністю отримана на основі методів параметричного моделювання виділених стаціонарних процесів;

· для верифікацій теоретичних положень використане комп'ютерне імітаційне моделювання та результати експериментальних досліджень.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі розроблений новий підхід до побудови імовірнісних моделей стохастичних вібраційних сигналів та методів їх статистичного аналізу на основі розкладу через стаціонарні стаціонарно зв'язані випадкові процеси. При цьому:

· вперше обґрунтовано ПКВП-модель сигналів вібрацій на основі представлення через стаціонарні стаціонарно зв'язані процеси та проаналізовано два методи виділення стаціонарних складових - на основі переносу частот та на основі перетворення Гільберта, що дозволило встановити їх імовірнісну структуру та побудувати параметричну модель;

· вперше отримано і проаналізовано властивості зміщення й дисперсії оцінок імовірнісних характеристик стаціонарних складових гармонічного представлення ПКВП, виділених запропонованими методами, і на цій основі обґрунтовано параметри обробки, що забезпечують наперед задану точність їх виділення;

· вперше досліджено властивості зміщення й дисперсії оцінок імовірнісних характеристик ПКВП при їх обчисленні на основі гармонічного представлення, що описують їх залежності від довжини відрізка реалізації та параметрів, які визначають кореляційну структуру, що дало змогу кількісно оцінити вірогідність результатів обробки, які забезпечують наперед задану її точність;

· вперше обґрунтовано новий критерій для діагностики технічного стану об'єктів на основі авто- та взаємокореляційних функцій стаціонарних складових випадкової частини вібраційного сигналу, який на відміну від критеріїв побудованих на компонентах кореляційної функції є більш чутливим до нестаціонарності, викликаної модуляцією гармонічних складових;

· вперше створено параметричні моделі випадкової складової вібраційних сигналів від дефектного та бездефектного підшипника на основі їх гармонічного представлення, які на відміну від моделей періодичної авторегресії використовують меншу кількість параметрів моделювання за рахунок врахування періодичної структури ПКВП.

Практичне значення одержаних результатів. Практична цінність розроблених в дисертаційній роботі параметричних моделей та підходів до статистичного аналізу сигналів зі стохастичною повторюваністю полягає в тому, що вони розширюють можливості діагностики стану механічних обертових систем.

При виконанні дисертаційної роботи створено програмне забезпечення (ПЗ) для виділення стаціонарних складових ПКВП двома методами: методом на основі переносу частот та методу на основі перетворення Гільберта. Розроблене ПЗ використано для обчислення статистичних характеристик ПКВП, побудови параметричної моделі та обчислення діагностичних ознак дефектності механічних систем на основі дослідження їх вібраційного сигналу. Створено програмне забезпечення для симулювання ПКВП по наперед заданих його імовірнісних характеристиках, що дозволило створювати штучні сигнали зі стохастичною повторюваністю для верифікації теорії ПКВП та тестових досліджень роторних систем. Реалізовано також методи параметричного моделювання ПКВП на основі гармонічного розкладу, що дозволило будувати параметричні моделі ПКВП, оцінювати кореляційні зв'язки між його стаціонарними складовими та оцінювати кореляційну функцію ПКВП.

Теоретичні і практичні результати, отримані у дисертаційній роботі, використано у науково-дослідних роботах відділу «Відбору і обробки стохастичних сигналів» Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України. Розроблене автором програмне забезпечення і методика використовувались при виконанні теми «Розробка методів і нових технологічних засобів неруйнівного контролю та діагностики стану матеріалів і виробів тривалої експлуатації» а також комплексної програми наукових досліджень НАН України „Проблеми ресурсу і безпеки експлуатації конструкцій, споруд та машин» („Ресурс»), яка затверджена постановою Президії НАН України №308 від 24 грудня 2003 р. Апаратно-програмний комплекс, у створенні якого автор дисертації приймав участь, апробований на механічному випробувально-діагностичному стенді та використовувався для діагностики турбоагрегата ВК-100-6 на Добротвірській ТЕС.

Особистий внесок здобувача. Результати, що становлять основу дисертаційної роботи, отримані автором самостійно. У роботах, написаних у співавторстві, здобувачеві належить: обчислення оцінок параметрів моделі, з використанням методу параметричного моделювання ПКВП на основі гармонічного представлення [1]; вивід формул параметричного моделювання ПКВП по взаємо- та автокореляційних послідовностях його стаціонарних компонентів [2, 9, 6]; обчислення похибки моделювання ПКВП по взаємо- та автокореляційних послідовностях [3, 11]; аналіз формул авторегресивного подання квадратурної моделі вібраційного періодично нестаціонарного процесу [4]; аналіз вібраційного сигналу від підшипникового вузла [5, 12]; дослідження імовірнісних характеристик стаціонарних складових ПКВП, виділених методом на основі переносу частот [7]; розробка методології виділення стаціонарних складових ПКВП на основі методу переносу частот [8]; вивід і аналіз формул для стохастичних характеристик ПКВП [10].

Апробація результатів дисертації. Окремі положення дисертації доповідались на міжнародних та українських науково-технічних конференціях: 10-й Ювілейній міжнародній науковій конференції «Теорія і техніка передачі, приймання і обробки інформації» (м. Харків, 2004); 10-му міжнародному семінарі «Прямі та обернені задачі електромагнітної та акустичної теорії» DIPED-2005 (м. Львів, 2005); 7-й міжнародній науково-технічній конференції «Вібрації в техніці та технологіях» (м. Львів, 2006); 34-й Всепольській конференції із застосувань математики (м. Варшава, 2005); 18-й і 19-й відкритих науково-технічних конференціях молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г.В.Карпенка НАН України (м. Львів, 2003, 2005).

Наукові результати дисертаційної роботи також доповідались та обговорювалися на наукових семінарах відділу «Відбору і обробки стохастичних сигналів» (2003 - 2006), а також на спільному семінарі ряду відділів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка Національної академії наук України (2007).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 12 наукових праць, з них 7 статей у наукових фахових виданнях із переліку, затвердженого ВАК України.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів, висновків, списку літератури із 198 найменувань та чотирьох додатків. Загальний обсяг роботи 207 сторінок, із них 152 сторінки основного тексту, 56 рисунків та 9 таблиць.

Основний зміст роботи

У вступі наведено загальну характеристику роботи, обґрунтовано її актуальність, показано зв'язок з науковими програмами, сформульовано мету та задачі дослідження, наукову новизну і практичне значення отриманих результатів, наведено дані про використання та апробацію результатів роботи.

У першому розділі наведено огляд відомих детерміністичних та імовірнісних підходів до аналізу та моделювання стохастичних сигналів. Відзначено, що детерміністичні принципи дослідження фізичних процесів доцільно використовувати у випадках, коли зміни параметрів сигналу мають регулярний характер. Проте у випадку наявності значних стохастичних змін необхідно використовувати моделі у вигляді випадкових процесів, що описуються імовірнісними законами. Такий сигнал можна характеризувати багатовимірними функціями розподілу, проте існують практичні труднощі при їх заданні. Існують два загальні шляхи обходу цих труднощів. У першому з них розглядають лише ті процеси, в яких шукана ймовірність деякої розмірності має певну структуру, яку можна отримати з менш-розмірної імовірності та відомого алгоритму. У другому - властивості випадкового процесу описуються за допомогою його моментних функцій.

У випадку, коли всі імовірнісні характеристики випадкового процесу не міняються при зміні початку відліку часу, сигнал називають стаціонарним. Для оцінювання моментних функцій стаціонарних випадкових процесів було запропоновано низку непараметричних (метод моментів, метод найменших квадратів та ін.) та параметричних методів. Розробка непараметричних методів почалася після появи робіт Колмогорова А.Н. і Вінера Н. Ними були сформульовані основні принципи, які використовуються до сих пір.

На основі побудови параметричних моделей випадкових стаціонарних процесів, що передбачає визначення кількості та оцінювання параметрів моделі, отримуються більш якісні оцінки характеристик стаціонарного процесу. До таких моделей, створених білим шумовим процесом можна віднести: модель авторегресивного (АР) процесу, модель процесу ковзного середнього (КС) і модель процесу авторегресії - ковзного середнього (АРКС). Цей клас моделей був популяризований роботами Бокса Дж. та Дженкінса Г. (1976р).

Вивчення нестаціонарних випадкових процесів можливе лише за рахунок виділення конструктивно-означених класів шляхом окреслення внутрішніх властивостей, які об'єднують цей клас. Накладаючи певні умови на характер часової мінливості імовірнісних характеристик, приходимо до окремих класів нестаціонарних процесів, серед яких відзначимо лінійні та нелінійні випадкові процеси з детермінованим трендом, локально-стаціонарні випадкові процеси та періодично корельовані випадкові процеси (ПКВП). Властивості повторюваності та стохастичності характерні більшості випадкових сигналів, що зустрічаються в природі та технічній діяльності людини, тому в даній роботі переважна увага зосереджена на моделях періодично корельованих випадкових процесів.

Використання імовірнісного підходу у вигляді ПКВП до аналізу та моделювання таких стохастичних сигналів дає змогу якнайкраще описати властивості фізичних систем, що їх спричиняють, з врахуванням як регулярних, детерміністичних законів, так і з врахуванням випадкових завад і збурень.

Випадковий процес називається періодично корельованим випадковим процесом у широкому розумінні, коли його математичне сподівання, кореляційна функція та спектральна густина є періодичними функціями часу:

Математичне сподівання, кореляційну функцію та спектральну густину ПКВП при виконанні умов

можна представити у вигляді рядів Фур'є:

,

де - компоненти математичного сподівання, - кореляційні компоненти та - спектральні компоненти.

Значний вклад у розвиток теорії та методів статистики ПКВП внесли, зокрема, Коронкевич О.І., Гудзенко Л.І., Гладишев Є.Г., Драган Я.П., Яворський І.М., Hurd H.L., Gardner W.A.. Вони сприяли розвиткові аналізу та методів оцінювання імовірнісних характеристик ПКВП. Проте відсутність алгоритмів моделювання періодично нестаціонарних процесів не давали можливості повністю використовувати можливості непараметричних методів. Саме тому останні дослідження були зосередженні на розробці методів параметричного моделювання ПКВП та аналізу властивостей його гармонічного представлення.

Для моделювання нестаціонарних часових рядів найбільш широко використовуються два підходи: модель авторегресії інтегрованого ковзного середнього (АРІКС), параметри якої не залежать від часу та модель періодичної авторегресії ковзного середнього (ПАРКС), що характеризується детерміністичними варіаціями своїх параметрів. Ці класи параметричних моделей нестаціонарних випадкових процесів розроблялися в роботах Бокса Дж., Дженкінса Г., Jones R.H., Brelsford W.M., Tiao G.C., Grupe M.R., Anderson P.L., Vecchia A.V., Pagano M., Guttman I., Troutman B.M. та іншими дослідниками.

Інший підхід до вивчення властивостей ПКВП започаткували Драган Я.П. (1969, 1975) та Ogura Н. (1971), які ввели гармонічне представлення ПКВП:

, для всіх .

У припущені обмеженості середньої потужності гармонізованих ПКВП

Я.П. Драган показав, що випадковий процес є тоді і тільки тоді ПКВП, коли його можна подати у вигляді поданого вище ряду. Проблеми гармонічного представлення ПКВП також розглядались у роботах H.L. Hurd та A. Makogon. Саме цей підхід використовується у дисертаційній роботі для розроблення методів параметричного моделювання та статистичного аналізу ПКВП.

У другому розділі досліджено два методи виділення стаціонарних складових ПКВП: метод на основі переносу частот, що використовує частотну модуляцію досліджуваного сигналу в поєднанні з низькочастотною фільтрацією, та метод на основі перетворення Гільберта, що використовує смугову фільтрацію і перетворення Гільберта для розділення синусних та косинусних стаціонарних складових ПКВП.

Обґрунтовано використання методу на основі переносу частот, та показано, що ПКВП можна представити у вигляді

де низькочастотні стаціонарні стаціонарно зв'язані процеси визначаються за формулою:

На практиці дослідники завжди обмежені довжиною реалізації , що призводить до похибки виділення стаціонарних компонент

Для аналізу цієї похибки отримано та проаналізовано вирази для оцінок імовірнісних характеристик виділених стаціонарних складових.

Цей вираз дає змогу оцінити вплив скінченності довжини реалізації на величину математичного сподівання виділеної стаціонарної компоненти. Як видно з виразу, у випадку безмежної довжини реалізації:, і тоді

.

При збільшені довжини реалізації функція, а отже кореляційні функції

Обчислено також вираз для середньоквадратичної похибки оцінювання та показано, що середньоквадратичне відхилення

при .

Запропонований метод виділення стаціонарних складових на основі перетворення Гільберта базується на ідеї демодуляції вузькосмугових квадратурних складових ПКВП. Оскільки спектр кожної складової

подання (1) є зосереджений в смузі

то, профільтрувавши ПКВП смуговим фільтром, амплітудно частотна характеристика якого співпадає з цим інтервалом,

Використовуючи перетворення Гільберта, знайдено співвідношення, що визначають кореляційні і спектральні характеристики квадратурних складових. Проведено аналіз цих виразів та показано, що квадратурні складові, які отримують за допомогою перетворення Гільберта є стаціонарними стаціонарно зв'язаними процесами. Їх спектральна структура визначається не тільки нульовими, але й другими спектральними компонентами квадратурних складових. Залежність від останніх і приводить до того, що автокореляційні функції і спектральні густини модулюючих процесів не є рівними, а їх взаємна кореляційна функція містить парну й непарну складові.

На основі запропонованих методів розроблено алгоритми оцінювання стаціонарних складових процесів зі стохастичною повторюваністю та алгоритми оцінки імовірнісних характеристик ПКВП.

Для верифікації теоретичних положень, наведених у другому розділі, необхідна апробація методів на різноманітних сигналах з наперед заданими характеристиками. Оскільки на практиці досить важко отримати такі реальні сигнали, необхідно їх симулювати, а для цього необхідно розробити відповідну методологію, що дала б змогу при заданні імовірнісних характеристик процесу, отримувати його реалізацію з відомою точністю. Саме це питання і розглядається у наступному розділі.

У третьому розділі розроблено методи багатоканального параметричного моделювання ПКВП як за наперед заданою структурою взаємокореляційних зв'язків стаціонарних компонентів, так і за відліками реалізації процесу.

На основі гармонічного представлення будуються векторні параметричні моделі стаціонарних компонентів:

Метод багатоканального параметричного моделювання ПКВП по наперед заданій структурі кореляційних зв'язків симулює процес на основі багатоканальної авторегресивної моделі.

Показано, що значення кореляційних функцій стаціонарних складових, а отже й кореляційних компонентів симульованого ПКВП за зсувів, більших за вибраний порядок фільтра, обчислюються за попередніми значеннями та залежать від величини порядку фільтра (P), що використовується. Очевидно, що при малих значеннях цього параметру, кореляційні функції стаціонарних складових сильно відрізняються від заданих, тому проведено комплекс досліджень для визначення характеру поведінки симульованого ПКВП, а також його стаціонарних складових за різних значень порядку авторегресії. В табл. 1 наведено залежність максимального відносного зміщення компонентів кореляційної функції квадратурної моделі ПКВП від параметрів авто- та взаємокореляційних функцій та порядку багатоканальної авторегресивної моделі P.

Таблиця 1. Максимальне відносне зміщення компонентів кореляційної функції.

Коефіцієнти заникання автокореляційних функцій.	Порядок АР моделі
	1	2	5	10	50	100	200	400	1000
0.1	0.18	0.09	0.018	0.005
0.01	0.22	0.20	0.16	0.1	0.016
0.001				0.26	0.15	0.08	0.037	0.009
0.0001						0.22	0.16	0.12	0.08

Особливістю такого методу моделювання ПКВП є складність вибору адекватної кількості параметрів моделі. Оскільки найкраще значення порядку АР-моделі наперед, як правило, невідоме, на практиці доводиться випробовувати декілька порядків моделі. Очевидно, що зі зменшенням коефіцієнта заникання кореляційних функцій стаціонарних складових, зміщення компонентів кореляційної функції зростають. Для забезпечення бажаної точності необхідно використовувати критерії для визначення порядку моделі. Запропоновано критерій, що ґрунтується на ідеї вибору порядку фільтра рівним при якому відносна кореляційна функція за зсувів, більших за P, менша за введену відносну величину точності.

Моделювання ПКВП на основі гармонічного представлення за відомою кореляційною структурою стаціонарних складових є зручним при генеруванні штучних сигналів але, при створенні моделі ПКВП на основі реальних даних, взаємокореляційні зв'язки між стаціонарними складовими невідомі. Тому розроблено метод моделювання ПКВП безпосередньо по відліках реалізації процесу. Параметри моделі запропоновано обчислювати на основі багатоканального рекурсивного алгоритму Левінсона. Отримано наступну методологію моделювання ПКВП:

· використовуючи методи гармонічного представлення ПКВП, а саме метод переносу частот або ж метод перетворення Гільберта, розкласти стохастичний сигнал на випадкові стаціонарні складові;

· передискретизувати стаціонарні складові, збільшивши крок дискретизації у раз;

· обчислити векторні авторегресивні (ВАР) параметри отриманого векторного стаціонарного процесу та залишкові дисперсії похибок оцінювання назад та вперед.

ВАР параметри, залишкові дисперсії похибок оцінювання назад та вперед і період корельованості є параметрами моделі ПКВП на основі гармонічного представлення.

На основі розроблених методів створено алгоритми, що дозволяють генерувати довільні ПКВП сигнали для верифікації методів аналізу сигналів та перевірки справності цифрових систем, а також створювати моделі реальних сигналів.

Четвертий розділ. Для перевірки методології симулювання ПКВП на основі гармонічного представлення проведено експериментальні дослідження, метою яких було знайти порядок розбіжності між заданими характеристиками стаціонарних процесів та характеристиками згенерованих процесів. В якості тестового сигналу розглянуто квадратурну модель ПКВП

Кореляційні залежності стаціонарних складових та апроксимовано виразами, де, Порядок авторегресії послідовно вибирався рівним =1,2,5 та 10. На основі методів аналізу стаціонарних випадкових процесів та методів аналізу ПКВП, оцінено кореляційні функції квадратурної моделі та кореляційні функції стаціонарних складових, які порівняно із заданими.

При зростанні порядку авторегресивного фільтру, зміщення кореляційних послідовностей зменшуються та прямують до нуля. Експериментальні дослідження показали, що зі зменшенням коефіцієнта заникання кореляційних функцій стаціонарних складових та зміщення компонентів кореляційної функції зростають, що відповідає теоретичним результатам.

Як метод моделювання на основі переносу частот, так і метод моделювання на основі перетворення Гільберта, використовують низькочастотну та смугову фільтрацію для обчислення стаціонарних компонент. Для обґрунтування вибору типу та порядку фільтра випробувано різні фільтри з різними порядками та досліджено спотворення, що вносять ці неідеальні фільтри. Для цього зі стаціонарних низькочастотних сигналів було симульовано квадратурну модель ПКВП та на основі запропонованих методів розкладено її на стаціонарні складові. Довжина реалізації кожного з сигналів рівна 10000 відліків, період корельованості вибраний T=10 відліків.

Нижче наведено результати аналізу для двох типів фільтрів: нерекурсивного казуального фільтру з прямокутним вікном та з вікном Ханна. Порядки фільтру послідовно вибирались рівними 10, 20, 50, 100, 200, 500 та 1000. Протилежним чином поводиться середньоквадратичне відхилення вищих компонентів, яке при високих порядках фільтру зростає, що пов'язане з похибкою симулювання.

На основі експериментальних досліджень показано, що використання вікна Ханна ефективніше для вищих стаціонарних компонент та для високих порядків фільтрів. Для низьких компонентів використання вікна Ханна дає аналогічні результати, як і при використанні прямокутного вікна, а при дуже низьких порядках фільтра навіть дає гірші результати. Це пов'язано з тим, що АЧХ фільтра, який використовує вікно Ханна при низьких порядках, розширяє зону пропускання за рахунок подавлення вищих частот. Як бачимо, починаючи з 50-го порядку фільтра, середньоквадратичне відхилення стаціонарних компонент не перевищує 0.1%, що вказує на доцільність використання такого порядку фільтрів при частоті кореляції 0.1. Середньоквадратичне відхилення виділених складових при використанні методів на основі переносу частот та перетворення Гільберта майже повністю ідентичні, тому наступні порівняння були проведені на спектральних характеристиках.

Також показано, що у випадку методу на основі переносу частот зростання порядку фільтра веде до пониження спектральної густини похибки виділення стаціонарних компонент на всьому діапазоні, на відміну від методу на основі Гільберта, де спектральні піки на частотах та не понижуються. Дві ділянки підняття спектру для методу переносу частот зумовлені операцією демодуляції, а сама їх наявність пов'язана з ефектом просочення. Ці ефекти легко подолати, використавши вищий порядок фільтру. Підняття спектру на частотах для методу на основі перетворення Гільберта пов'язане з ефектом просочення, а спектральні піки на частотах та пов'язані з неточністю алгоритмів реалізації перетворення Гільберта.

Як видно, використання методу на основі перетворення Гільберта для низьких порядків фільтру є більш доцільним через меншу кількість спотворень в частотній області, а використання методу переносу частот доцільніше застосовувати для високих порядків фільтру. Енергетичні характеристики для обох методів відрізняються мало.

Очевидно, що у випадку реальних сигналів стаціонарно зв'язані складові ПКВП не завжди є низькочастотними. Широкополосність стаціонарних складових негативним чином впливає на результати їх відновлення, отже, використання моделі ПКВП у вигляді суми стаціонарно зв'язаних випадкових процесів лише наближає структуру реальних стохастичних сигналів. Проаналізовано похибку відновлення, яку вносить широкополосність стаціонарних сигналів та знайдено рамки застосування гармонічного представлення для формування стаціонарних процесів. Для цього згенеровано ПКВП зі стаціонарних компонент, що за своєю природою є широкополосними сигналами, розкладено на стаціонарні складові, використовуючи гармонічне представлення, та порівняно з тими складовими, на основі яких формувався ПКВП. Для дослідження були згенеровані стаціонарні процеси з різними коефіцієнтами, що послідовно вибиралися рівними 0.1, 0.01, 0.001 та 0.0001.

Середньоквадратичне відхилення виділених стаціонарних компонент гармонічного представлення на основі методу перетворення Гільберта та методу на основі переносу частот рівномірно спадає при зменшенні коефіцієнта та досягає відхилення менше 1% при значенні 0.001. Подібний результат отримано для спектральних густин відхилень виділених стаціонарних складових на основі методу переносу частот та на основі перетворення Гільберта, де можна зауважити загальне підняття спектру. Отже, чим більш широкополосним є спектр, тим більшим є середньоквадратичне відхилення. Ця властивість обумовлена ефектом накладання частотних смуг стаціонарних складових.

Проаналізовано також статистичні характеристики гармонічних складових та порівняно їх зі статистичними характеристиками формуючого ПКВП. Результати досліджень наведені в четвертому розділі на прикладі симульованого сигналу квадратурної моделі. Показано, що при гармонічному розкладі ПКВП на стаціонарні складові, необхідно брати до уваги характер поведінки кореляційних функцій формуючих процесів. При швидкому загасанні кореляційних функцій в моделі ПКВП необхідно враховувати більшу кількість стаціонарних компонент, які відповідатимуть за накладання частот спектральних характеристик.

На основі алгоритму параметричного моделювання ПКВП за реальними даними, запропонованого в третьому розділі, змодельовані різноманітні тестові сигнали, характеристики яких порівняно із вхідними сигналами, на основі яких відбувалось моделювання. Показано, що точність моделювання з використанням запропонованої моделі співмірна з точністю ПАР моделювання. Проте, при малій кількості параметрів метод моделювання на основі гармонічного представлення більш точніше описує структуру сигналу на відміну від періодичної авторегресії. Аналогічні експерименти проведено на симульованих моделях з різними параметрами. Визначено, що ПАР модель є чутливішою до відтворення дрібних деталей сигналу та кореляційних зв'язків при зсувах менших за період корельованості, тоді як метод на основі гармонічного представлення більш точніше відтворює структуру сигналу та деталі кореляційних зв'язків в сигналі, що співмірні з періодом корельованості. Різниця в кількості параметрів, які забезпечують певну точність моделювання, відчутна лише у випадку моделювання ПКВП з великим періодом корельованості. Тоді метод на основі гармонічного представлення дає відчутну перевагу при моделюванні.

В п'ятому розділі побудовано параметричні моделі та проведено статистичний аналіз віброакустичних сигналів підшипникового вузла у ПКВП представленні використовуючи розроблені програмні засоби. З огляду на геометричні розміри підшипника у вібраційному сигналі присутні кратні гармоніки частоти обертання, частоти сепаратора, частоти перекачування тіл кочення по зовнішньому і внутрішньому кільцю підшипника та різноманітні комбінації кратних гармонік цих частот. Запропоновано модель вібраційного сигналу як суму регулярної та випадкової складової:

де - регулярна складова, - значущі частоти, - кількість значущих частот, - випадкова складова, яка є періодично нестаціонарним випадковим процесом. Компоненти відповідають за форму регулярної складової і в частотному діапазоні їм відповідають піки спектральної густини на частотах . Випадкова складова описує нестаціонарні властивості другого порядку і її можна послідовно розглядати як періодично корельований випадковий процес з різними періодами, що відповідають за характерні частоти підшипника. Наявність, або відсутність кореляційних зв'язків у випадковій складовій вібраційного сигналу служить мірою нестаціонарності, а відповідно, і показником відсутності або наявності характерних дефектів підшипника.

Проведено аналіз експериментальних вібраційних сигналів від дефектного та бездефектного підшипників 6205RS. Випадкова складову сигналу розкладалась на стаціонарні компоненти за методикою, розробленою в розділі 2 дисертаційної роботи

Основна доля взаємокореляційних зв'язків між стаціонарними складовими вібраційного сигналу від бездефектного підшипника припадає на авто-кореляційні характеристики, які відкладено по діагоналі. Такий вигляд взаємокореляційних зв'язків між стаціонарними складовими притаманний для процесів, що мають переважно стаціонарний характер, на відміну від другого сигналу, де чітко виражені зваємокореляційні зв'язки. На цій основі запропоновано критерій дефектності підшипника:

де - взаємокореляційна функція між k та l стаціонарними компонентами.

Очевидно, що використання модифікацій такого критерію, який побудований за оцінками взаємокореляційних зв'язків, веде до результатів які є більш чутливі до нестаціонарних властивостей сигналу, ніж відомий інтегральний критерій, побудований на основі кореляційних компонентів.

На основі методики, поданої у третьому розділі, побудовано параметричні моделі сигналів від дефектного та бездефектного підшипників, досліджено параметри цих моделей. Статистичні характеристики змодельованих сигналів у ПКВП наближенні порівняно з вхідними та визначено характер і міру розбіжності моделі від реальних сигналів при різних параметрах моделювання. Показано, що для досягнення 95% точності відтворення кореляційної структури вібраційних сигналів достатньо вибирати порядок векторної авторегресії Р=15.

Основні результати та висновки

Дисертаційна робота присвячена розвитку нового підходу до аналізу і параметричного моделювання сигналів зі стохастичною повторюваністю, що ґрунтується на представлені ПКВП через стаціонарні стаціонарно зв'язані випадкові процеси. При цьому:

1. Проведено аналіз існуючих детерміністичних та імовірнісних підходів до опису випадкових сигналів, досліджено моделі сигналів при стаціонарному та ПКВП підході та на цій основі обґрунтовано імовірнісну модель гармонічного представлення сигналів вібрацій зі стохастичною повторюваністю. Встановлено закономірності між імовірнісними характеристиками ПКВП та характеристиками його стаціонарних складових.

2. Розроблено два методи оцінювання стаціонарних складових ПКВП: метод, що використовує смугову фільтрацію і перетворення Гільберта для розділення синусних та косинусних стаціонарних складових ПКВП, та метод, що використовує частотну модуляцію досліджуваного сигналу в поєднанні з низькочастотною фільтрацією. Отримано вирази для дисперсії оцінок стаціонарних складових та визначено клас ПКВП, для яких така похибка є мінімальною. На основі запропонованих методів розроблено алгоритмічне та програмне забезпечення для оцінювання стаціонарних складових процесів зі стохастичною повторюваністю.

3. Запропоновано та обґрунтовано новий метод оцінювання імовірнісних характеристик ПКВП на основі його розкладу через стаціонарні стаціонарно зв'язані випадкові процеси. Отримано вирази для зміщення та дисперсії цих оцінок, що описують їх залежності від довжини відрізка реалізації та параметрів, які визначають кореляційну структуру сигналу. На їх основі проведено детальний аналіз властивостей оцінок, кількісно оцінено вірогідність результатів обробки, що дає можливість обґрунтовано вибирати такі параметри обробки, які забезпечують наперед задану її точність.

4. Розроблено метод моделювання ПКВП по наперед заданих імовірнісних характеристиках, обчислено точність такої моделі та запропоновано критерії для вибору її порядку. На основі запропонованого методу створено алгоритмічне та програмне забезпечення, що дозволяє генерувати довільні ПКВП сигнали для верифікації методів аналізу сигналів та перевірки справності цифрових систем.

5. Запропоновано методи для параметричного моделювання ПКВП по реалізації сигналу, що дає змогу будувати модель процесу, передбачати нові та відновляти втрачені відліки сигналу, отримувати більш статистично точні значення авто- та взаємокореляційних зв'язків між стаціонарними складовими процесу при більших зсувах, ніж це було можливе з допомогою когерентного та компонентного методів. Створено відповідне алгоритмічне та програмне забезпечення.

6. На тестових моделях проаналізовано вплив параметрів обробки та вплив характеристик вхідного сигналу на оцінювання його стаціонарних складових. На цій основі визначено умови накладання спектральних густин стаціонарних компонент для заданої точності оцінювання. Проведено порівняльний аналіз точності моделювання двох запропонованих методів виділення стаціонарних складових ПКВП.

7. Розроблено нову методику статистичного аналізу вібраційних сигналів підшипникових вузлів, яка полягає у розділенні вібраційного сигналу на регулярну та випадкову складову. Запропоновані методи апробовано при статистичному аналізі випадкової складової вібраційного сигналу. З використанням гармонічного представлення вібраційного сигналу запропоновано критерій дефектності підшипника кочення, який полягає у врахуванні взаємокореляційних зв'язків виділених стаціонарних компонент. На основі розробленого методу параметричного моделювання ПКВП по часовій реалізації вібраційного сигналу підшипникового вузла побудовано його параметричну модель та досліджено її точність для моделей різних порядків.

8. На основі запропонованих методів статистичного аналізу сигналів зі стохастичною повторюваністю створено комплекс програмних засобів, що дозволяють по часовій реалізації вібраційного сигналу від підшипникового вузла будувати її математичну модель, проводити імітаційне моделювання сигналів вібрації та діагностувати справність підшипника.

9. На основі запропонованих методів статистичного аналізу сигналів зі стохастичною повторюваністю створено комплекс програмних засобів, який дозволяє за часовою реалізацією вібраційного сигналу від підшипникового вузла будувати її математичну модель, проводити імітаційне моделювання сигналів вібрації та діагностувати справність підшипника.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Ісаєв І.Ю., Кравець І.Б., Яворський І.М. До параметричного моделювання періодично-корельованих випадкових процесів // Відбір і обробка інформації. - 2004. - Вип. 21 (97). - C. 11 - 16.

Яворський І.М., Кравець І.Б., Ісаєв І.Ю. Алгоритм параметричного моделювання періодично-корельованих випадкових процесів на основі їх гармонічних представлень // Вісник Черкаського державного технологічного університету. - 2005. - №3. - С. 257 - 259.

Ісаєв І.Ю., Кравець І.Б., Яворський І.М. Аналіз алгоритму параметричного моделювання сигналів зі стохастичною повторюваністю // Відбір і обробка інформації. - 2005. - № 23 (99). - С. 22 - 27.

Яворський І.М., Ісаєв І.Ю., Кравець І.Б. Властивості авторегресивного подання квадратурної моделі вібраційного періодично нестаціонарного сигналу // Вісник Черкаського державного технологічного університету. - 2006. - №4. - С. 76 - 80.

Яворський І.М., Кравець І.Б., Ісаєв І.Ю., Черчик Г.Т. Дослідження регулярної та випадкової складових сигналу вібрації підшипника кочення // Автоматизація виробничих процесів у машинобудуванні та приладобудуванні. - 2006. - №40. - С. 133 - 138.

Яворський И.Н., Кравец И.Б., Исаев И.Ю. Параметрическое моделирование периодически коррелированных случайных процессов на основе их представления через стационарные случайные процессы // Изв. ВУЗов. Радиоэлектроника. -2006. - Т. 49, №11. - С. 33 - 42.

Яворський І.М., Ісаєв І.Ю., Кравець І.Б. Лінійна смугова фільтрація при дослідженні структури періодично нестаціонарних випадкових сигналів // Відбір і обробка інформації. - 2006. - Вип. 25 (101). - С. 30 - 36.

Яворський І.М., Кравець І.Б., Ісаєв І.Ю. До побудови параметричних моделей часових рядів з періодичною повторюваністю // Тезисы докладов 10 Юбилейной международной научно-технической конференции «Теория и техника передачи, приема и обработки информации», ч.2. - Харьков: Харьковский национальный университет радиоэлектроники, 2004. - С. 142 - 143.

Javorskyj I., Krawets I., Isayev I., Brooks S. Periodically non-stationary random processes modeling: approach on the basis of harmonic representation // Proceedings of X International Seminar / Workshop on «Direct and Invers problems of electronic and acoustic wave theory». - Lviv, - 2005. - IEEE West Ukraine Chapter. - P.237 - 240.

Javorski I., Isayev I., Zakrzewski Z., Krawiec I. Widmowa analiza nieparametryczna okresow skorelowanych procesow losowych // Trzydziesta czwarta Ogolnopolska konferencja zastosowan matematyki. - Warszawa: Instytut matematyczny PAN, 2005. - S. 27.

Ісаєв І.Ю., Кравець І.Б. Моделювання періодично корельованих випадкових процесів на основі їх гармонічного представлення // Відкрита науково-технічна конференція молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України «КМН-2005». - Львів, 2005. - C.345 - 349.

Яворський І.М., Драбич О.П., Драбич П.П., Ісаєв І.Ю., Кравець І.Б., Михайлишин В.Ю., Стецько І.Г., Черчик Г.Т. Методи та нові технічні засоби вібродіагностики підшипникових вузлів та зубчастих передач // Зб. наукових статей «Проблеми ресурсу та безпеки експлуатацій конструкцій, споруд і машин». - Київ: Інститут електрозварювання ім. Патона Є.О. НАН України, 2006. - С.52 - 56.

Анотації

Кравець І.Б. Параметричне моделювання та статистичний аналіз сигналів зі стохастичною повторюваністю. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Національний університет «Львівська політехніка», Львів, 2007.

В дисертаційній роботі розглянуто новий підхід до проблеми параметричного моделювання періодично корельованих випадкових процесів (ПКВП), який полягає у використанні подання ПКВП через стаціонарні стаціонарно зв'язані випадкові процеси (гармонічне представлення ПКВП).

На основі аналізу відомих математичних моделей стохастичних сигналів та результатів обробки експериментальних даних досліджено методи виділення стаціонарних компонентів ПКВП: метод, який використовує смугову фільтрацію, а також перетворення Гільберта для розділення синусних та косинусних стаціонарних складових ПКВП (метод на основі перетворення Гільберта), та метод, який використовує частотну модуляцію досліджуваного сигналу в поєднанні з низькочастотною фільтрацією (метод на основі переносу частот).

Проаналізовано показники якості такого виділення. Розроблені методи верифіковано на симуляційних моделях ПКВП. Запропоновано методологію моделювання ПКВП з наперед заданими імовірнісними характеристиками та досліджено точність такого моделювання.

Проаналізовано оцінки імовірнісних характеристик ПКВП при їх обчисленні на основі гармонічного представлення.

Запропоновано нову методологію параметричного моделювання ПКВП та досліджено точність моделювання. Визначено клас сигналів, для яких розроблена модель має переваги в порівнянні з іншими параметричними моделями.

Розроблено нову методику статистичного аналізу вібраційних сигналів від підшипникових вузлів та запропоновано нові діагностичні ознаки дефектності підшипників.

Ключові слова: параметрична модель, стаціонарний процес, періодично корельований випадковий процес, оцінювання характеристик, гармонічне представлення, вібраційний сигнал підшипникового вузла.

Кравец И.Б. Параметрическое моделирование и статистический анализ сигналов с стохастической повторяемостью. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Национальный университет «Львовская политехника», Львов, 2007.

В диссертационной работе рассмотрен новый подход к проблеме параметрического моделирования периодически коррелированных случайных процессов (ПКСП). Подход заключается в использовании представления ПКСП через стационарные стационарно связанные случайные процессы (гармоническое представление ПКСП).

На основе анализа известных математических моделей стохастических сигналов и результатов обработки экспериментальных данных исследованы методы выделения стационарных компонентов ПКСП: метод, который использует полосовую фильтрацию, а также преобразование Гилберта для разделения синусных и косинусных стационарных составляющих ПКСП - метод на основе преобразование Гилберта, и метод, который использует частотную модуляцию исследуемого сигнала в сочетании с низкочастотной фильтрацией - метод на основе переноса частот. Выведены формулы для показателей точности выделения стационарных компонентов и на их основе предложены критерии выбора длины реализации для обеспечения необходимой точности выделения. Разработанные методы верифицированы на симуляционных моделях ПКСП. Проанализировано влияние параметров обработки и влияние характеристик входного сигнала на оценивание его стационарных составляющих. На этой основе определены условия наложения спектральных плотностей стационарных компонент для заданной точности оценивания. Проведен сравнительный анализ точности моделирования двух предложенных методов выделения стационарных составляющих ПКСП.

Предложен новый метод оценивания вероятностных характеристик ПКСП на основе его представления через стационарные стационарно связанные случайные процессы. Получены выражения для смещения и дисперсии этих оценок, которые описывают их зависимости от длины отрезка реализации и параметров, которые определяют корреляционную структуру сигнала. На их основе проведен детальный анализ свойств оценок, количественно оценена достоверность результатов обработки, которая дает возможность обоснованно выбирать такие параметры обработки, которые обеспечивают заранее заданную ее точность.

Разработано методику моделирования ПКСП по заданным вероятностным характеристикам и исследовано точность такого моделирования. Предложена методика параметрического моделирования ПКСП по реализации сигнала, который дает возможность строить модель процесса, прогнозировать новые и восстанавливать утраченные отсчеты сигнала, получать более статистически точные значения авто- и взаимнокорреляционных связей между стационарными составляющими процесса при больших сдвигах, чем это было возможно с помощью когерентного и компонентного методов. Определено класс сигналов, для которых такая модель имеет преимущества по сравнению с другими параметрическими моделями.