Математичне моделювання процесів поширення теплового і електромагнітного полів у неоднорідних середовищах

Размещено на http://allbest.ru

Національний університет Львівська політехніка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Математичне моделювання процесів поширення теплового і електромагнітного полів у неоднорідних середовищах

Виконала Журавчак Любов Михайлівна

Львів-2007

АНОТАЦІЯ

Журавчак Л.М. Математичне моделювання процесів поширення теплового і електромагнітного полів у неоднорідних середовищах. - Рукопис.

Дисертація присвячена математичному моделюванню процесів поширення теплового та електромагнітного полів, розподілу потенціальних полів у неоднорідних середовищах. Для визначення й дослідження нестаціонарних, стаціонарних та усталених фізичних полів у кусково-однорідних та локально-неоднорідних об'єктах побудовано математичні моделі у вигляді систем диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку, доповнених умовами контакту на межах поділу середовищ, заданими граничними та при вивченні нестаціонарних процесів початковими умовами. За допомогою фундаментальних розв'язків отриманих систем рівнянь та інтегральних зображень, до яких зведено диференціальні рівняння моделі, розроблено підходи до розв'язування вказаних задач, які ґрунтуються на новому ефективному чисельно-аналітичному методі непрямому методі приграничних елементів та його поєднанні з некласичним методом скінченних різниць у локальних областях неоднорідності матеріалу.

Програмна реалізація запропонованих підходів дозволила провести обчислювальні експерименти для прямих задач теорій геоелектромагнетизму, теплопровідності та фізично нелінійної пружності й отримати нові теплові й електромагнітні закономірності, які використовуються при розв'язуванні проблем пошуку родовищ корисних копалин у земній корі, при визначенні геометричних розмірів чужорідних включень, пустот і дефектів при проектуванні, виготовленні і забезпеченні надійної експлуатації елементів конструкцій сучасної техніки.

математичний моделювання інтегральний електромагнітний

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Вирішення проблеми виявлення, виділення і дорозвідки покладів корисних копалин у пошуковій геофізиці на сучасному етапі розвитку геофізичних досліджень вимагає теоретичного та методологічного обґрунтування даних польових температурних та електромагнітних спостережень. Водночас зниження матеріаломісткості неоднорідних елементів конструкцій, що працюють в умовах температурних чи силових навантажень, оцінка їх міцності та надійності потребує визначення температурних полів та напружено-деформованого стану і є важливою науково-прикладною проблемою у матеріалознавстві, машино- та приладобудуванні. Фізичне моделювання та експериментальні дослідження вказаних процесів вимагає великих матеріальних затрат, а неповна визначеність параметрів початкового стану та невелика кількість експериментальних установок часто ускладнюють проведення фізичного експерименту для одержання необхідних результатів. Тому розв'язання окреслених проблем вимагає побудови ефективних математичних моделей відповідних фізичних процесів, потребує розвитку відомих та розробки нових теоретичних методів розв'язування задач математичної фізики, що їм відповідають, і, як наслідок, проведення на цій базі ґрунтовних наукових досліджень.

Нестаціонарні процеси різної фізичної природи, зокрема, поширення теплового та електромагнітного полів, спричинених природними чи штучними джерелами, а також усталені процеси, зокрема, гармонічні електромагнітні коливання, лінійне та нелінійне деформування, розподіли електричного та магнітного полів, у неоднорідних середовищах, з точки зору математичного моделювання описують системами диференціальних рівнянь другого порядку в частинних похідних з постійними або змінними коефіцієнтами.

Оскільки аналітичні розв'язки нестаціонарних та стаціонарних задач, що моделюють вказані фізичні процеси, класичними методами можна знайти тільки для однорідних середовищ та з чужорідними включеннями канонічної чи близької до неї форми, то для неоднорідних об'єктів при математичному моделюванні в останні роки все ширше використовують чисельні та чисельно-аналітичні методи, орієнтовані на застосування сучасних швидкодіючих комп'ютерів. Найбільш розповсюджені різницеві методи та методи скінченних елементів (МСЕ) є доцільними при моделюванні фізичних процесів у неперервно-неоднорідних об'єктах скінченних розмірів і дають високу точність результатів, але вимагають покриття сіткою всієї області, яку займає тіло, та потребують значних обсягів оперативної пам'яті, тривалого часу розрахунку й програм розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь великої розмірності. Використання методу граничних інтегральних рівнянь (МГІР) та створених на його базі прямих і непрямих методів граничних елементів має низку незаперечних переваг при моделюванні процесів у кусково-однорідних областях, оскільки дозволяє точно задовольняти вихідні рівняння моделі, доступно описує необмежені і напівбезмежні об'єкти. Застосування МГІР та усіх його чисельних модифікацій потребує дискретизації тільки границі об'єкта та меж поділу середовищ, що економить обсяг оперативної пам'яті під час роботи алгоритму і дає порівняно високу точність розрахунків у внутрішніх точках.

Однак при обчисленні шуканих величин поблизу границь чи меж поділу середовищ точність розрахунків різко зменшується, а знаходження похідних за координатами та нормаллю від шуканих величин вимагає попереднього аналітичного виділення особливості (головного значення). З огляду на це в багатьох випадках, на думку здобувача, доцільно застосовувати непрямий метод приграничних елементів (НМПГЕ), який можна розглядати як один з варіантів методу джерела і віднести до непрямих методів досліджень, оскільки введені для одержання розв'язку задачі невідомі не є фізичними змінними [1]. Водночас під час дослідження означених процесів у кусково-однорідних об'єктах можна суттєво оптимізувати процедуру знаходження розв'язків (зменшити час рахунку прикладних програм та обсяг оперативної пам'яті комп'ютера), якщо врахувати неперервність шуканих функцій на межі поділу середовищ і використати непрямий метод контактних елементів (НМКЕ). Розгляд згаданих процесів у локально-неоднорідних об'єктах, які найкраще відображають реальні ситуації, ще більше потребує визначення переваг та меж застосовності різних методів, що зумовлює доцільність їх поєднання для оптимізації процесу знаходження розв'язків відповідних математичних моделей.

Все перелічене і визначає актуальність теми дисертаційної роботи, присвяченої побудові математичних моделей для дослідження процесів поширення теплового та електромагнітного полів у дво- та тривимірних неоднорідних середовищах, розробці нових чисельно-аналітичних підходів, які ґрунтуються на спільному застосуванні некласичного методу скінченних різниць, непрямих методів приграничних та контактних елементів, розвитку обчислювального експерименту та первинної інтерпретації отриманих даних.

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є вирішення важливої науково-прикладної проблеми, що полягає у побудові математичних моделей процесів поширення температурних та електромагнітних полів у кусково-однорідних і локально-неоднорідних (із залежними від координат або температури фізичними характеристиками) середовищах, у розробці чисельно-аналітичних підходів, які поєднують в собі переваги методів диференціальних та граничних інтегральних рівнянь, до визначення й дослідження цих полів.

Для досягнення цієї мети в дисертації поставлено такі задачі:

· здійснити математичне моделювання процесу поширення електромагнітного поля в неоднорідних об'єктах, зокрема, в земній корі;

· здійснити математичне моделювання процесу поширення нестаціонарного та розподілу стаціонарного теплових полів у кусково-однорідних середовищах з урахуванням залежності теплофізичних характеристик від координат чи температури;

· обґрунтувати ефективність застосування непрямого методу приграничних елементів (НМПГЕ) для побудови і чисельно-аналітичного розв'язування систем інтегральних рівнянь, до яких зводяться розглянуті фізичні процеси, у кусково-однорідних середовищах, та показати доцільність його поєднання з некласичним методом скінченних різниць (МСР) у областях з локальними неоднорідностями;

· на основі побудованих дискретно-континуальних моделей розглянутих процесів спланувати і провести обчислювальні експерименти, інтерпретацію температурних і геоелектромагнітних даних та параметрів напружено-деформованого стану середовищ.

Об'єктом дослідження є нестаціонарні процеси поширення теплового і електромагнітного полів, гармонічні електромагнітні коливання, нелінійне деформування та розподіли потенціальних полів у кусково-однорідних об'єктах, локально-градієнтних середовищах та областях з нелінійною поведінкою матеріалів зон.

Предметом дослідження є математичне моделювання вказаних вище процесів у неоднорідних середовищах за допомогою чисельно-аналітичних підходів, які поєднують в собі переваги методів диференціальних та граничних інтегральних рівнянь; обчислювальний експеримент та первинна інтерпретація температурних і геоелектромагнітних даних та параметрів напружено-деформованого стану об'єктів.

Методи дослідження. Для математичного моделювання вказаних процесів використані непрямі методи приграничних і контактних елементів, некласичний метод скінченних різниць, методи занурення, адитивного розщеплення та продовження розв'язку за параметром, а також проекційно-сіткові методи та апарат узагальнених функцій.

Наукова новизна одержаних результатів:

· для дослідження нестаціонарних, стаціонарних та усталених процесів у кусково-однорідних об'єктах довільної форми, локально-градієнтних середовищах та областях з нелінійною поведінкою матеріалів зон побудовано математичні моделі, що містять системи диференціальних рівнянь у частинних похідних, умови контакту на межах поділу середовищ, граничні та початкові умови;

· вперше розроблено чисельно-аналітичні підходи, які базуються на спільному використанні НМПГЕ та некласичного МСР, для математичного моделювання:

процесу поширення квазістаціонарного та усталених гармонічних коливань електромагнітного поля, спричиненого штучними джерелами струму, що дає можливість визначати його компоненти в неоднорідній земній корі, не вводячи потенціалів електричного чи магнітного типів;

стаціонарного та нестаціонарного теплових полів, що дає можливість визначати температуру і тепловий потік у кусково-однорідних середовищах з локальними неоднорідностями з урахуванням залежності теплофізичних характеристик від координат чи температури;

процесу нелінійного деформування, що дає можливість визначати параметри напружено-деформованого стану середовищ з урахуванням залежності фізико-механічних характеристик від координат та тензора деформацій;

· вперше обґрунтовано ефективність використання НМПГЕ для побудови і чисельно-аналітичного розв'язування систем граничних інтегральних рівнянь, до яких зводяться розглянуті нестаціонарні та усталені фізичні процеси, у кусково-однорідних областях довільної форми, що дозволило порівняно з непрямим методом граничних елементів (НМГЕ) послабити сингулярність граничних інтегральних рівнянь, спростити побудову дискретно-континуальних моделей та істотно підвищити точність під час обчислення шуканих величин поблизу границь чи меж поділу середовищ;

· вперше для математичного моделювання стаціонарних, нестаціонарних та усталених фізичних процесів у кусково-однорідних областях довільної форми за умов ідеального контакту між складовими розроблено чисельно-аналітичні підходи, які ґрунтуються на поєднанні непрямих методів приграничних та контактних елементів, що дозволило вдвічі зменшити кількість граничних інтегральних рівнянь на межі поділу середовищ;

· здійснено комплексні дослідження дво- та тривимірних прямих задач геоелектромагнетизму, теплопровідності та нелінійної теорії пружності, спрямовані на вирішення проблем пошуку родовищ корисних копалин у земній корі, визначення місцезнаходження та розмірів чужорідних включень, порожнин і дефектів.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблені в дисертації підходи до побудови дискретно-континуальних моделей дозволяють моделювати широкий клас фізичних процесів та станів у неоднорідних середовищах для задач геофізики, теплофізики, механіки, екології, матеріалознавства, дефектоскопії та мікромеханіки зернистих композитів. Розв'язки, отримані за допомогою цих підходів, можуть бути основою для мікроаналізу композитних структур із залученням теорій гомогенізації. Побудовані нові математичні моделі фізичних процесів та одержані на їх базі розв'язки прямих задач можуть використовуватись для створення методів розв'язування обернених задач у цих прикладних галузях науки.

Розроблену для моделювання нестаціонарних процесів методологію можна застосувати для розв'язування інших початково-крайових задач, що містять диференціальні оператори в частинних похідних з відомим фундаментальним розв'язком для однорідного простору, а також за умов неідеального контакту на межі поділу середовищ. Запропоновані в роботі підходи, методи досліджень та пакети прикладних програм можуть використовуватись у навчальному процесі під час викладу спеціальних курсів.

Для математичного моделювання стаціонарних та нестаціонарних процесів розроблено комплекс прикладних програм, який використовують під час проведення наукових досліджень в рамках держбюджетних та науково-дослідних тем відділом геоелектромагнітних методів Карпатського відділення Інституту геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України та відділом термомеханіки Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України. В рамках госпдоговірної науково-дослідної теми із Західно-Українською геофізичною розвідувальною експедицією проведено інтерпретацію польових даних та передано її результати для використання при вивченні прогнозних геометричних та фізичних параметрів нафтогазових об'єктів; з Прикарпатським державним підприємством „Спецгеологорозвідка” проведена первинна інтерпретація даних з метою використання її результатів для діагностування стану приповерхневих геосередовищ, формування прогнозних параметрів для попередження екологічно небезпечних явищ, що підтверджено відповідними актами про використання результатів роботи.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику роботи: розкрито сутність і стан вивчення наукової проблеми, обґрунтовано доцільність напрямку досліджень та актуальність теми дисертації, сформульовано її мету, основні методи і задачі досліджень, відзначено наукову новизну отриманих результатів, їх зв'язок із науковими програмами, планами та темами, наведено дані щодо їх практичної цінності й апробації.

Перший розділ присвячено огляду літературних джерел та обґрунтуванню вибору напрямків досліджень. Зроблено аналітичний огляд основних наукових результатів за обраною тематикою, підкреслено зв'язок роботи з іншими дослідженнями, визначено проблеми, які необхідно розв'язувати. Відображено основний зміст роботи і описано послідовність викладу матеріалу дисертації.

В останні десятиліття зростання потужності і швидкодії комп'ютерів дозволяє дослідникам чисельно моделювати щораз більше наближені до реальних поля і стани різної фізичної природи у дво- і тривимірних середовищах на відміну від раніше розглянутих спрощених, переважно одновимірних, моделей середовищ та процесів, що в них відбуваються. Під час побудови математичних моделей у геофізиці, механіці суцільного середовища, теплофізиці, електродинаміці, геоелектриці реальні середовища найчастіше моделюють кусково-однорідними, тобто складеними з однорідних ізотропних частин, включень (зон) довільної форми з різними, але постійними фізичними характеристиками в межах складових. Рідше розглядають локально-неоднорідні об'єкти, фізичні характеристики яких залежать від координат (геометрична неоднорідність) або (та) шуканої функції (фізична неоднорідність) у деяких локальних областях, та кусково-однорідні з локальними неоднорідностями, хоч саме такі моделі адекватніше відповідають реальним ситуаціям у різних прикладних галузях науки й техніки.

Розвиток чисельно-аналітичних методів моделювання фізичних процесів різної природи відбувається, в основному, у двох напрямах: в рамках методу інтегральних рівнянь та підходу, заснованого на безпосередньому розв'язуванні диференціальних рівнянь. Гібридні схеми моделювання з використанням переваг обох попередніх напрямів застосовують ще не так широко. Проведений огляд і аналіз літератури показав, що на даний час недостатньо розглянуті математичні моделі, які враховують геометричні чи фізичні неоднорідності, а пропоновані для математичного моделювання підходи не позбавлені низки недоліків. Шляхом синтезу математичних методів, зокрема, граничних інтегральних рівнянь, проекційно-сіткових, занурення, граничних і скінченних елементів, і виникли запропоновані чисельно-аналітичні підходи, що ґрунтуються на поєднанні НМПГЕ, некласичного МСР та НМКЕ, і дозволяють моделювати нестаціонарні й усталені процеси, розподіли потенціальних полів у неоднорідних областях складної форми при розв'язуванні прямих задач у різних галузях науки й техніки. Вдала побудова математичних моделей і вибір високоточних методів розв'язування прямих задач служать основним фактором інформативності обернених задач, оскільки дозволяють мінімізувати вартість прикладних розробок та підвищити ступінь достовірності визначення параметрів середовища. Модульний принцип побудови пакетів прикладних програм для реалізації вказаних підходів сприяє підвищенню універсальності й гнучкості розглянутих математичних моделей щодо розв'язування багатьох складних задач з різних галузей науки й техніки, дозволяє легко розширювати коло наукових досліджень.

У другому розділі, використовуючи принцип „від простішого до складнішого” щодо досліджуваних об'єктів, розглянуто процеси поширення теплового та електромагнітного полів в однорідних областях. Для математичного моделювання вперше розроблено НМПГЕ, розглянуто його теоретичні й обчислювальні аспекти, порівняно чисельні результати, одержані за допомогою НМПГЕ, з аналітичними розв'язками та отриманими іншими чисельними методами, зокрема, непрямим методом граничних елементів (НМГЕ) як найближчим за ідейним спрямуванням і ширше відомим дослідникам.

Розглянуто однорідне ізотропне тіло довільної форми, яке віднесено до декартової системи координат і займає область. Для знаходження фізичної скалярної величини (наприклад, температури) або компонент векторної величини (зокрема, векторів напруженості електромагнітного поля) побудовано математичну модель [1, 18, 33]

Доведено справедливість твердження.

Теорема 1. Нехай задано зовнішню приграничну до область та область розширених початкових умов з введеними в них відповідно невідомими фіктивними джерелами та відомими неперервними функціями, які співпадають, рівні нулю зовні, а в області вибираються у зручному для інтегрування вигляді.

Оскільки знайти розв'язки рівнянь в явному вигляді у прикладних задачах переважно неможливо, здійснено їх просторово-часову дискретизацію за допомогою наступних кроків.

1. У зовнішній приграничній області виділено (n+1) підобласті, які взаємно не перетинаються, причому одна чи навіть дві з них можуть бути порожніми множинами. Далі розбито на плоскі криволінійні чотирикутники (при n=2) або шестигранники з неплоскими гранями (при n=3) приграничні елементи (ПГЕ), причому, а перетин і при не обов'язково повинен бути порожньою множиною. На елементах уведено сімейства точок, на криволінійних відрізків, а на при n=3 поверхонь. У кожному ПГЕ розмірності j (ПГЕ_j) введено невідоме фіктивне джерело інтенсивності.

2. Для зручності опису залежності від часу часовий промінь T розбито на інтервали T_p=]_p-1, _p] (p=1,2,...,P, ₀=0) і в межах кожного T_p для спрощення алгоритму невідомі інтенсивності фіктивних джерел апроксимовано за часом поліномом з невідомими коефіцієнтами.

3. Для задоволення граничних умов використано метод колокації, області та дискретизовано внутрішніми комірками.

Дискретно-континуальну модель побудовано для двох покрокових часових схем: схеми послідовності початкових умов (СППУ) та схеми єдиної початкової умови (СЄПУ). У першій схемі кожний крок за часом розглянуто як нову задачу, тобто уведено локальний час і обчислені в кінці кожного часового інтервалу значення у внутрішніх точках використано як початкові для наступного кроку. У другій схемі процес інтегрування за часом завжди відбувається з одного і того ж реального моменту часу.

Інтегральні рівняння після просторово-часової дискретизації для P -го кроку обох схем записано у вигляді систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Її розв'язки використано у формулах для обчислення шуканих функцій та похідних від них величин як у будь-якій внутрішній точці, так і у точках границі в момент часу.

Проведено часткове аналітичне інтегрування за приграничними елементами розмірності n для випадку апроксимації функцій поліномами за часом. Здійснено аналітичне інтегрування за часовою змінною, а також за однією з просторових змінних (полярним або сферичним радіусом). Це спрощує розробку програмного забезпечення дискретних моделей та підвищує точність одержаних розв'язків, оскільки чисельне інтегрування здійснено за однією або двома просторовими координатами, що використовуються для опису елемента границі, вже несингулярної, як правило, функції.

Похибки, які виникають при застосуванні НМПГЕ до розв'язування практичних задач, спричинені апроксимаційними й дискретизаційними операціями, а також чисельним інтегруванням. З метою порівняння точності чисельних результатів, одержаних НМПГЕ, з відомим аналітичним розв'язком та розв'язком, одержаним за допомогою НМГЕ, досліджено розв'язки нестаціонарних задач теплопровідності з граничними умовами першого роду для двовимірної пластини квадратної форми [21] та для паралелепіпеда з одиничним коефіцієнтом температуропровідності матеріалу.

Далі на двох тестових прикладах оцінено похибки, які виникають при застосуванні різних типів ПГЕ. Область вибирали у вигляді круга радіуса 1м і квадрата зі стороною 2м. У першому прикладі на задавали температуру та вибирали коефіцієнт температуропроводності, у другому при нульових початкових умовах та за відсутності джерел тепла. Границю розбивали на вісім граничних елементів однакової довжини. Досліджено залежність відносних похибок температури від висоти ПГЕ, їх типу та форми. Розглянуто три випадки дискретизації області: з недостачею, повну при), з перекриттям. Для виявлення особливостей, внесених кожним типом ПГЕ, задачу спочатку почергово розв'язували для окремих типів ПГЕ_j, коли дві підмножини були порожніми. Кількість дуг та точок на усіх елементах вибирали однаковою. Інтенсивності введених фіктивних джерел апроксимували невідомими постійними. Розв'язки першого і другого прикладів, одержані за допомогою СЄПУ для окремих типів ПГЕ та їх поєднання порівняно з умовами, заданими на границі круга і квадрата. Враховуючи той факт, що найвища точність розв'язків для круга досягалась за повної дискретизації області, а для квадрата за дискретизації прямокутниками.

Точність обчислення температури на границях круга і квадрату є найвищою під час використання ПГЕ₂ (криві без символів) та сімейств дуг, покращується при збільшенні кількості дуг і точок та спільному застосуванні різних типів ПГЕ. Для внутрішніх точок результати, одержані за допомогою НМПГЕ, співпадали з аналітичними розв'язками, наведеними в роботах Карслоу й Єгера, та з одержаними НМГЕ з точністю до трьох значущих цифр.

Для тіл, що займають деяку область в чи, схема розв'язування НМПГЕ була дуже подібною, що дозволило використати модульний принцип побудови програмного забезпечення та уніфікувати розробку його частини. Відмінності в основному проявились у розмірності та формі приграничних елементів й у фундаментальних розв'язках.

Проведені чисельні дослідження показали, що НМПГЕ у поєднанні з покроковими часовими схемами (СППУ та СЄПУ) забезпечує вищу точність розрахунків температурного поля порівняно з НМГЕ при використанні однакової кількості елементів та однакового ступеня апроксимації невідомих інтенсивностей фіктивних джерел. Це обґрунтовується тим, що пригранична область та розширена область початкової умови за рахунок додаткових параметрів (їх товщин) згладжують вплив уведених у цих областях джерел та функцій.

Порівняння теоретичних та обчислювальних аспектів використання різних типів ПГЕ при моделюванні нестаціонарних процесів теплопровідності, здійснене в цьому розділі, дозволило зробити такі висновки. Під час застосування ПГЕ₂ і ПГЕ₁ всі інтеграли розглядають у звичайному сенсі, а це дозволяє у разі потреби обмежитись тільки чисельним інтегруванням. При цьому зберігається діагональна перевага елементів матриці СЛАР, яка забезпечує добру її обумовленість. ПГЕ₁ у випадку однієї кривої можна розглядати як аналог деякого гладкого контуру, який охоплює область , не співпадає з її граничною поверхнею і був запропонований у методі функціональних рівнянь Купрадзе, однак питання про способи вибору такого контуру до цього часу повністю не досліджені. Зрозуміло, що при чисельній реалізації такого алгоритму значна віддаленість контуру від границі приводить до поганої обумовленості матриці СЛАР внаслідок відносно малої величини діагональних елементів або до одержання лінійно-залежних систем рівнянь. Використання сімейств кривих дозволяє усунути вказану проблему, оскільки при збільшенні кількості кривих дискримінант матриці СЛАР зростає. ПГЕ₀ значно спрощують алгоритм розв'язування задачі, оскільки дозволяють уникнути інтегрування по ПГЕ, замінивши його сумуванням добутків фундаментальних розв'язків на значення невідомої функції. Їх можна рекомендувати при знаходженні початкових наближень як експрес-метод розв'язування обернених задачах математичної фізики, коли більшу роль відіграє оптимізація часу, ніж точності.

У третьому розділі, знову використовуючи принцип „від простішого до складнішого” щодо досліджуваних об'єктів, здійснено за допомогою НМПГЕ математичне моделювання знаходження розподілу потенціальних полів, параметрів напружено-деформованого стану та компонент векторів напруженості електромагнітного поля для випадку гармонічних коливань в однорідних областях.

Розглянуто однорідне ізотропне тіло довільної форми, яке займає у декартовій системі координат область. Для знаходження фізичних скалярних величин (наприклад, температури чи потенціалу електричного поля) або компонент векторних величин (зокрема, векторів переміщень чи напруженості електромагнітного поля для випадку гармонічних коливань) побудовано математичні моделі [15, 20, 30, 31, 36]:

Доведено справедливість твердження.

Теорема 2. Нехай задано зовнішню приграничну до область із введеними в ній невідомими фіктивними джерелами або масовими силами.

Програмну реалізацію запропонованого підходу здійснено для стаціонарної задачі теплопровідності та теорії пружності. Область знову вибирали у вигляді круга радіуса 1м та квадрата зі стороною 2м. В обох прикладах на задавали температуру при за відсутності джерел тепла або компоненти вектора переміщень за відсутності масових сил у допущенні, що для області виконувалися умови плоскої деформації, матеріал (сталь конструкційна) мав такі пружні характеристики:,. Показано, що точність обчислення потенціалу та переміщень на границях круга і квадрату є найвищою під час використання ПГЕ₂ та сімейств дуг, покращується при збільшенні кількості дуг і точок та спільному застосуванні різних типів ПГЕ (зокрема, чотирикутників і сімейств дуг) [15, 36], водночас вона є набагато вищою при використанні НМПГЕ, ніж НМГЕ [20].

У четвертому розділі за допомогою НМПГЕ здійснено математичне моделювання процесів поширення теплового та електромагнітного полів у кусково-однорідних середовищах за умов ідеального контакту на межах поділу складових.

Для знаходження фізичної скалярної величини (температури) або векторної величини (компонент електромагнітного поля) побудовано математичну модель [1, 5, 32]:

Розглянуто множину, складену з M площин або M просторів, яка володіє такими властивостями: [1]. Після введення приграничних областей з фіктивними джерелами та розширення області визначення функцій на весь на основі теореми 1 записано інтегральні зображення розв'язків рівнянь.

Побудовано дискретно-континуальні моделі для двох покрокових часових схем: СППУ та СЄПУ. Області з метою спрощення викладу матеріалу і без втрати загальності дискретизовано на ПГЕ розмірності n. На кожному часовому інтервалі у ПГЕ невідому функцію апроксимовано по часу поліномом степені T з невідомими постійними, які знайдено зі СЛАР, отриманих після просторово-часової дискретизації на P -му кроці для обох часових схем у колокаційному сенсі. Визначено температуру, тепловий потік та компоненти ЕМП на P -му кроці як у внутрішніх точках кожної, так і на межах поділу середовищ, оскільки після розв'язання СЛАР всі області розглядають цілком незалежно.

Далі за допомогою НМПГЕ здійснено математичне моделювання усталених коливань теплового та електромагнітного полів у кусково-однорідному середовищі. У допущенні, що температура чи компоненти електромагнітного поля гармонічно змінюються в часі з кутовою частотою для знаходження комплексних амплітуд побудовано математичну модель [6, 47]:

Після введення множини просторів та приграничних областей з невідомими функціями на основі теореми 2 записано інтегральні зображення розв'язків системи рівнянь Гельмгольца, аналогічні з врахуванням та індексу приналежності зоні m.

Здійснено просторову дискретизацію та апроксимацію в межах кожного приграничного елемента невідомих інтенсивностей джерел комплексними постійними, які знайдено зі СЛАР, отриманих задоволенням у колокаційному сенсі.

Змодельовано процеси поширення теплового [5, 43] та електромагнітного поля [3, 4, 11] у кусково-однорідному півпросторі при нульових початкових й граничних умовах. З рівнянь Максвела одержано у квазістаціонарному наближенні рівняння для компонент вектора напруженості електричного поля, побудовано явний часовий розв'язок задачі знаходження компонент векторів напруженостей ЕМП без застосування спектрального аналізу і векторних потенціалів електричного чи магнітного типів.

Під час проведення чисельних досліджень область вибирали у формі паралелепіпеда з розмірами, який знаходився на глибині від границі півпростору. Збурення теплового поля викликалось внутрішнім джерелом у формі квадратної пластини зі стороною, розміщеним на глибині. Залежність температури від часу в джерелі описували дельта-функцією Дірака. Джерелом збурення ЕМП був контур (квадратна рамка зі стороною, розміщена на глибині ), в якому в момент часу включали постійний струм. Розрахунки проведено з оптимальною з точки зору необхідної точності та об'єму обчислювальних операцій кількістю елементів дискретизації, оскільки подвоєння їхньої кількості практично не впливало на точність, але суттєво збільшувало час обчислень. ПГЕ вибирали висотою 0.5м. Лінійні розміри, враховуючи принцип подібності, зменшили порівняно з реальними в 100 разів.

Досліджено закономірності зміни характеристик теплового та електромагнітного полів від геометрії та фізичних властивостей включень: їх тепло- або електропровідності, відстані від границі півпростору, довжини - з метою формулювання практичних рекомендацій при розпізнаванні чужорідних зон.

Для визначення місця залягання включень, оцінки їх електропровідності та об'єму, еквівалентного запасам сировини, побудовано на базі різних компонент ЕМП допоміжні криві, зокрема, позірні електропровідності, одержані за профілями чи як функції від часу, та розглянуто елементи тривимірної інтерпретації співвісних, рознесених і площівних зондувань. Проведено дослідження для горизонтально і вертикально розміщених покладів, змодельованих паралелепіпедами, при різних провідностях включень та положеннях живильної та приймальної рамки [4, 11], які дозволили оцінити співвідношення між коефіцієнтами електропровідності середовища і включень, глибину залягання та горизонтальні розміри включень.

Одержані результати свідчать про підвищену роздільну здатність індуктивних імпульсних електророзвідувальних методів у порівнянні з методами постійного струму, зокрема, з електропрофілюванням за допомогою серединних градієнтів та других різниць потенціалу [19], оскільки навіть за достатньо малої відстані між покладами останні фіксуються як різні об'єкти, а не як один більших розмірів. Зокрема, на рис. 6 зображено залежність позірної електропровідності для двох провідних та високоомних включень, розміщених на глибині, від відстані L (м) між ними; рамка рівновіддалена від обох включень.

Проаналізовано поведінку компонент ЕМП при частотному зондуванні [6] у кусково-однорідному півпросторі з нульовим розподілом компонент вектора напруженості ЕП на його границі. На рис. 7 зображено залежність дійсних значень вертикальної компоненти магнітного поля, одержаних в центрі рамки, від частоти для параметрів, які відповідають нафтовому, газовому та провідному включенням для повної (товстіші криві), квазістаціонарної моделей (тонші криві) та однорідного півпростору (криві без символів). Чисельні результати показали, що при використанні частот до 100 кГц можна нехтувати струмами зміщення, тобто розглядати квазістаціонарну модель усталених коливань, однак в області вищих частот треба обов'язково їх враховувати, щоб не отримати занижені дані. Отримані амплітудні й фазові криві позірного опору служать для оцінки геометричних та фізичних параметрів включень.

Запропонований для кусково-однорідних об'єктів підхід дозволяє розраховувати нестаціонарне теплове поле та в квазістаціонарному наближенні всі компоненти ЕМП в часовій області, розміщувати точкові та скінченних розмірів джерела різних типів і точки спостереження в будь-якому місці об'єкта; розглядати довільні, в т.ч. й імпульсні, режими теплового та електричного збурення; на базі розв'язків прямих задачі моделювати ефективні трансформації для оперативної обробки великих масивів площівних даних під час тривимірної інтерпретації [26, 60, 59].

Результати проведеного математичного моделювання та чисельних експериментів свідчать про те, що інформацію про теплове та електромагнітне поля, одержану на границі і всередині тіла, можна використовувати для виявлення в ньому локальних чужорідних включень. За допомогою запропонованого підходу можна достовірно визначати нестаціонарні теплові потоки і температури, компоненти ЕМП. Одержані розв'язки прямих тривимірних задач можуть служити основою для розробки підходів до розв'язування обернених задач, тобто для знаходження фізичних і геометричних параметрів включень та джерел тепла. Чисельні експерименти також підтверджують доцільність застосування індуктивних імпульсних електророзвідувальних методів становлення поля та частотного зондування для виявлення високопровідних включень типу рудних родовищ та високоомних включень типу нафтових і газових покладів. Загальними сприятливими умовами для виявлення і дослідження чужорідних об'єктів з провідністю, вищою чи нижчою, ніж геосередовище, треба вважати співвимірну з горизонтальними розмірами (чи меншу) глибину їх залягання.

П'ятий розділ присвячено математичному моделюванню, яке ґрунтується на поєднанні НМПГЕ та НМКЕ, задач геоелектророзвідки постійним та змінним струмами у кусково-однорідних областях. Розглянуто кусково-однорідне тіло довільної форми, яке містить M-1 включення за умов ідеального контакту між зонами та граничних умов першого, другого та третього роду. Характеристики середовища залежать від координат за формулою:.

При моделюванні задач геоелектророзвідки постійним струмом записано рівняння Пуассона для середовища з одиничною провідністю та з зосередженими на джерелами, інтенсивність яких визначається невідомими [29]. Оскільки в правій частині присутні невідомі похідні за нормаллю від розв'язку, введено невідому функцію, яка описує розподіл фіктивних джерел на межі поділу середовищ [29]. Згідно НМПГЕ у приграничній області уведено невідому функцію, яка описує розподіл фіктивих джерел в ній. Це дозволило записати з використанням теореми 2 інтегральне зображення розв'язку рівнянь.

Інтегральні рівняння після дискретизації на приграничні та контактні елементи й апроксимації в них невідомих інтенсивностей джерел константами записано у вигляді СЛАР. Розв'язавши її і знайшовши ці невідомі, використано формули для обчислення шуканого потенціалу електричного поля та густини струму у будь-яких точках спостереження.

Далі розглянуто можливості поєднання НМПГЕ та НМКЕ при моделюванні нестаціонарних процесів поширення теплового та електромагнітного полів у кусково-однорідних областях за умов. Показано, що математична модель складається з рівнянь [2, 12], граничних та початкових умов.

Використання НМПГЕ та НМКЕ із введеними відповідно в області та на межі поділу джерелами невідомих інтенсивностей дозволило записати на основі теореми 1 інтегральне зображення розв'язку рівнянь [2, 12, 27, 57].

Інтегральні рівняння після дискретизації на приграничні та контактні елементи й апроксимації невідомих інтенсивностей джерел поліномами за часом записано у вигляді СЛАР для двох покрокових часових схем: СППУ та СЄПУ. Розв'язавши їх і знайшовши ці невідомі, використано формули для обчислення температури, теплового потоку чи компонент ЕМП у будь-яких точках об'єкту.

Далі показано доцільність поєднання НМПГЕ та НМКЕ при моделюванні усталених процесів у кусково-однорідних середовищах за умов. Для знаходження невідомих комплексних амплітуд одержано рівняння та записано на основі теореми 2 інтегральні зображення їх розв'язків.

Після дискретизації в приграничній області та межі поділу середовищ на приграничні та контактні елементи й апроксимації невідомих інтенсивностей джерел в них комплексними постійними, побудовано СЛАР. Підставивши знайдені як розв'язки цієї СЛАР невідомі у формули, обчислено шукані функції та похідні від них величини.

Для порівняння з відомим аналітичним розв'язком розглянуто задачу геоелектророзвідки постійним струмом над вертикальним ідеальним контактом двох геосередовищ у півплощині і відзначено, що за допомогою НМКЕ вдалося досягнути вищої точності, ніж іншими чисельно-аналітичними методами, зокрема, НМПГЕ та НМГЕ. Цей факт та ще й зменшення розмірності матриці СЛАР свідчить про доцільність його застосування.

Практичну реалізацію описаного вище способу розглянуто на прикладі актуальної задачі дослідження і прогнозування нафтогазових покладів. В якості найпростіших моделей нафтогазових родовищ [19, 25], складених з двох покладів, вибрано в півплощині та гірському хребті (змодельованому прямим кутом) на глибині h дві однакові високоомні лінзи зі змінною відстанню d між ними й оцінено роздільну здатність різних систем спостережень, зокрема, градієнтної та диференціальної (прямої й зворотної) установок. Також розглянуто наближену до реальних родовищ модель Ю.С. Королькова, яка враховує зміну опорів над покладом і по його краях під впливом різних фізико-хімічних процесів [19]. Отримані чисельні результати показали, що при d/h=0.25 на графіках позірного опору _a для обох установок ніякої диференціації не спостерігається і складна неоднорідність фіксується як одне високоомне включення: максимумом градієнтної і почерговими екстремумами прямої і зворотної диференціальних установок. При збільшенні відносної відстані між покладами спостерігається поступове роздвоєння аномалії на кривих _a обох установок аж до чіткої їх диференціації. Отримані дані свідчать, що в простих розрізах (без екранів) електророзвідувальні методи постійного струму, особливо їх диференціальні різновидності, можуть успішно використовуватись для оконтурення і розділення високоомних включень типу нафтогазових родовищ [39, 48, 51, 52, 5456, 58].

При моделюванні нестаціонарних процесів теплопровідності і електромагнетизму розглянуто двовимірну пластину квадратної форми з довжиною сторони 6м, яка містила прямокутне включення розміром 4мЧ1м з іншого матеріалу, розміщене в її центрі й орієнтоване довшою стороною вздовж осі x₁. На границі пластини задавали нульові температуру або розподіл компонент ЕП. В області діяли два джерела тепла в точках, інтенсивності і відповідно. Контур C вибирали у вигляді квадратної рамки розміром 5.5мx5.5м, яку розташовували на відстані 0.25м від межі області, залежність сили струму від часу в ній змінювали за законом одиничного ступеня. У початковий момент часу теплове або електромагнітне поле було відсутнє.

Проведені дослідження показали, що диференціація кривих температури та теплового потоку, а також вертикальної компоненти вектора магнітної індукції краще проявляється на границі розділу середовищ, а також у включенні, що якраз і свідчить про його наявність при розв'язуванні задач виявлення і розпізнавання чужорідних зон [12, 27]. Використання на межі поділу середовищ контактних елементів замість граничних або приграничних дало змогу автоматично задовольнити першу умову контакту (рівність температур чи тангенціальних компонент вектора напруженості електричного поля) і внаслідок цього зменшити розмірність матриці СЛАР порівняно з непрямими методами граничних або приграничних елементів й водночас досягнути вищої точності.

У шостому розділі здійснено математичне моделювання процесів поширення теплового та електромагнітного полів у кусково-однорідних середовищах з локальними областями неоднорідності матеріалу (ЛОНМ). Основною відмінністю розглянутих у цьому розділі об'єктів є те, що фізичні характеристики матеріалу деякої локальної області кожної зони неперервно залежать від координат [16, 22, 23]. Зрозуміло, що моделювання вказаних процесів у локально-градієнтних кусково-однорідних середовищах зумовило доцільність використання для врахування додаткового впливу локальних неоднорідностей некласичного МСР [7, 8].

При математичному моделюванні процесу поширення теплового поля у локально-градієнтному кусково-однорідному середовищі невідому температуру описано системою рівнянь [1], граничними, контактними та початковими умовами.

Оcкільки в оператор входять невідомі перші похідні за координатами та часом від температури, в областях _mg проведено паралельних до осей x₁, x₂ прямих або паралельних до площин x₁0x₃, x₂0x₃, x₁0x₂ площин (H_mi непарні числа) з кроками, які покрили її нерівномірною сіткою. Вузли сітки визначено парами (h₁,h₂) або трійками чисел (h₁,h₂,h₃), зокрема, для внутрішніх _v=0, а для граничних одне з цих чисел рівне 0 або H_i+1+1, а друге або два інші змінюються від 1 до H_i.

Щоб записати сіткову функцію оператора, апроксимовано та по (координати вузлів сітки), застосувавши класичні та некласичні скінченні різниці. Отже, не залежить від часу і відповідає значенню шуканої температури у точці в кінцевий момент (p-1)-го інтервалу. Для знаходження значень похідних у внутрішніх вузлах використано центральні різниці. Для граничних вузлів, що належать, значення i-ої похідної визначено відповідно правими або лівими різницями, для знаходження похідних за часом використано праві різниці. Значення j-ої похідної (ji) виражено через значення у даному вузлі і у двох найближчих до нього в додатному та від'ємному напрямах осі Ox_j граничних вузлах [1]. Очевидно, що на першому кроці у вузлах сітки вибрано початковий розподіл. Використавши класичні та некласичні скінченні різниці у операторі, на p-му кроці за часом одержано сіткову функцію. Для інтерполяції оператора за цією сітковою функцією за допомогою квадратичних лагранжевих чотирикутних елементів з 9 вузлами (при n=2) або квадратичних лагранжевих об'ємних елементів з 27 вузлами (при n=3) на _mg введено додаткові точки між крайніми у своїх множинах граничними вузлами сітки. Здійснено просторово-часову дискретизацію співвідношень і побудовано дискретно-континуальні моделі для двох покрокових часових схем: СППУ та СЄПУ. На кожному часовому інтервалі у ПГЕ невідому інтенсивність джерела апроксимовано поліномом за часом. Невідомі коефіцієнти знайдено зі СЛАР, отриманих після просторово-часової дискретизації на P -му кроці для обох часових схем у колокаційному сенсі. При цьому в на P-му кроці використано значення температури у вузлах сітки, обчислені в кінці попереднього інтервалу.

Оcкільки в оператор входять невідомі перші похідні за координатами від потенціалу, в області _g використано некласичний МСР та інтерполяцію невідомих функцій аналогічно описаному вище, опускаючи часову змінну. Дискретно-континуальну модель для знаходження інтенсивностей невідомих джерел, введених у приграничних і контактних елементах, які апроксимовані постійними, та невідомих у вузлах сітки, зведено до СЛАР, утвореної внаслідок задоволення в колокаційному сенсі.

Далі в шостому розділу викладено підходи до знаходження компонент векторів напруженостей електричного та магнітного поля для квазістаціонарної моделі у провідному неоднорідному півпросторі, складеному з включень довільної форми, які містять локальні області неоднорідності, де електропровідність та магнітна проникливістю залежать від трьох декартових координат [14, 28, 40, 45, 49]. Розглянуто півпростір, складений з M зон, які перебувають між собою в ідеальному електромагнітному контакті, в контурах C_m діє сторонній струм. У квазістаціонарному наближені для визначення компонент векторів напруженості електричного та магнітного полів у провідному півпросторі одержано системи диференціальних рівнянь, які доповнено початковими, граничними і контактними умовами.

Використавши описану вище дискретизацію _mg, покроковий процес за часом та інтерполяцію часто вживаними квадратичними елементами, записано в межах p-го інтервалу апроксимаційні формули для та в областях неоднорідності за їхніми значеннями у вузлах сітки, утвореної в, в кінці попереднього кроку за часом. Здійснено просторово-часову дискретизацію ГІР, побудовано дискретно-континуальні моделі для двох покрокових часових схем: СППУ та СЄПУ. На кожному часовому інтервалі у ПГЕ невідомі інтенсивності джерел апроксимовано постійними. Ці невідомі постійні знайдено зі СЛАР, отриманих у колокаційному сенсі. При цьому в операторах, на P-му кроці використано значення шуканих функцій у вузлах сітки, обчислені в кінці попереднього інтервалу.

Розглянуто декілька часткових випадків. Наведено інтегральні зображення та ГІР для середовищ, у яких магнітна проникливість є гладкою функцією від координат, коли в _mg тільки електропровідність залежить від координат, а магнітна проникливість є постійною, а також для середовищ, у яких електропровідність є гладкою функцією від координат та коли в _mg тільки магнітна проникливість залежить від координат, а електропровідність є постійною. Розглянуто випадок, коли в провідному півпросторі міститься лише одна ЛОНМ та відзначено відмінності, які тоді виникають.

Розв'язано задачу геоелектророзвідки постійним струмом в неоднорідному гірському хребті, який змодельовано прямим кутом із заокругленою вершиною. Чисельні результати показали, що в ЛОНМ та в прилеглій до неї області спостерігається згущення еквіпотенціальних ліній при зростанні в ній питомого опору. Протилежний ефект маємо при низькоомній ЛОНМ, в цьому випадку еквіпотенціальні лінії розташовуються рідше. Необхідна точність була досягнута для 21-го вузла сітки, тобто для. Точність операцій чисельного інтегрування за приграничними елементами і за елементами дискретизації області локальної неоднорідності контролювалась так: величина інтегралу за елементом порівнювалась із сумою величин інтегралів за чотирма його складовими.

Розроблено ефективний підхід, який дозволяє розраховувати потенціал електричного поля і густину струму, нестаціонарне теплове поле або компоненти ЕМП у локально-градієнтних кусково-однорідних середовищах з криволінійними границями поділу. Він базується на комбінованому використанні переваг аналітичних та чисельних методів і включає основні ідеї методів розщеплення, приграничних елементів, колокації та в областях локальних неоднорідностей некласичного МСР. Висока точність одержаних розв'язків всередині однорідних зон досягається використанням фундаментальних розв'язків або функцій Гріна рівнянь теплопровідності та Пуассона, а на межах поділу середовищ і в ЛОНМ забезпечується чисельними алгоритмами за рахунок можливості застосування різної кількості елементів дискретизації приграничних областей (чи меж поділу при моделюванні потенціальних полів) та областей локальних неоднорідностей. Останні використовують апроксимацію криволінійних меж поділу середовищ квадратичними чи кубічними елементами; нерівномірні шаблони скінченно-різницевої сітки в області неоднорідності та інтерполяцію шуканих функцій сплайнами високого порядку.

Спостережувані внаслідок обчислювального експерименту ефекти “стиску-розтягу” та кручення можуть бути використані під час розв'язування обернених задач геоелектророзвідки для вибору коректних початкових наближень.

У сьомому розділі здійснено математичне моделювання процесу поширення нестаціонарного та розподілу стаціонарного теплового поля у кусково-однорідних середовищах з нелінійною поведінкою матеріалів зон [9, 10, 34, 35, 42, 41, 46, 50]. Коефіцієнти теплопровідності та об'ємної теплоємності матеріалу зони _m є неперервними функціями від температури в локальних областях.

Показано, що математична модель розподілу стаціонарного теплового поля у кусково-однорідних областях з нелінійною поведінкою матеріалів зон складається з системи нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку, доповненої граничними та умовами ідеального теплового контакту, аналогічними. Після введення прямого перетворення Кірхгофа для знаходження величини одержано математичну модель, аналогічну, доповнену контактними умовами на межі поділу середовищ.