Математичне моделювання процесів поширення теплового і електромагнітного полів у неоднорідних середовищах

Апроксимувавши невідомі інтенсивності джерел в межах ПГЕ постійними та застосувавши метод колокації, одержано систему нелінійних алгебраїчних рівнянь (СНЛАР). Після розв'язання ітераційним методом цієї системи за допомогою інтегральних зображень для і оберненого перетворення Кірхгофа знайдено шукану температуру.

Далі показано, що математична модель поширення нестаціонарного теплового поля у кусково-однорідних областях з нелінійною поведінкою матеріалів зон складається з системи нелінійних рівнянь, доповненої граничними, початковими та контактними умовами.

Диференціальний оператор рівняння розщеплено на два оператори, які описують відповідно однорідне середовище та вплив нелінійної поведінки матеріалу зони. Використавши НМПГЕ та ввівши в приграничній області джерела невідомої інтенсивності, записано на основі теореми 1 інтегральні зображення розв'язків рівнянь та ГІР для задоволення граничних умов та умов ідеального теплового контакту.

Оскільки в оператор входять похідні від невідомої температури за часом та координатами, їх апроксимовано за допомогою класичних і некласичних скінченних різниць та використано інтерполяцію сіткової функції, що описує вплив нелінійності. Дискретно-континуальну модель для знаходження інтенсивностей невідомих джерел, введених у ПГЕ, зведено до СЛАР, утвореної внаслідок задоволення в колокаційному сенсі ГІР.

Як частковий випадок в цьому ж розділі розглянуто випадок простої нелінійності (коефіцієнти температуропровідності кожної зони незначно залежать від шуканої функції і їх прийнято постійними) і запропоновано підхід, який ґрунтується на поєднанні НМПГЕ з перетворенням Кірхгофа. Внаслідок використання перетворення Кірхгофа нелінійне вихідне рівняння лінеаризовано і для знаходження одержано математичну модель. Використано НМПГЕ і на основі теореми 1 записано інтегральні зображення розв'язків лінеаризованих рівнянь та ГІР.

Після просторово-часової дискретизації, апроксимації введених в ПГЕ невідомих інтенсивностей джерел поліномами за часом з коефіцієнтами та застосування методу колокації на P -му часовому інтервалі одержано СНЛАР для знаходження. Знайдені використано в інтегральних зображеннях і за допомогою оберненого перетворення Кірхгофа визначено шукану температуру та тепловий потік для довільного кроку за часом.

Досліджено розподіл стаціонарного теплового поля у кусково-однорідній півплощині з нульовим розподілом температури на границі і лінійно залежними від температури коефіцієнтами теплопровідності [50]: - задана стала. Чисельні результати показали вплив термочутливості, який проявився у вищих (при додатніх ) чи нижчих (при від'ємних ) порівняно з нетермочутливим випадком значеннях температури. СНЛАР розв'язана ітераційним методом, за початкові наближення в умовах контакту взято тіло, в якому коефіцієнт провідності матеріалу кожної зони _m не залежить від шуканої величини. Під час розв'язування СНЛАР похибка порядку 10^-4 (тобто різниця між значеннями, одержаними на двох сусідніх кроках розрахунку) була досягнута за 5-6 кроків.

Досліджено нестаціонарне температурне поле у двовимірній пластині квадратної форми [35] та паралелепіпеді за нульових початкових умов і граничних умов: та за відсутності джерел тепла. Коефіцієнти тепло- та температуропровідності вибирали у вигляді, де - задана стала. На рис. 8 порівняно значення температурного поля для термочутливого та нетермочутливого паралелепіпеда у внутрішніх та граничних точках.

Рис. 8. Порівняння чисельних результатів для термочутливого (тонші криві з символами) та нетермочутливого (товстіші криві) паралелепіпеда

Проведені обчислювальні експерименти показали, що спільне застосування НМПГЕ та перетворення Кірхгофа дозволяє з високою точністю розв'язувати стаціонарні та нестаціонарні задачі теплопровідності у кусково-однорідних областях з нелінійною поведінкою матеріалів зон.

У восьмому розділі здійснено математичне моделювання процесу нелінійного деформування [13, 17, 44]. Основною відмінністю розглянутих у цьому розділі об'єктів було те, що модуль зсуву та коефіцієнт Пуассона деякої локальної області неперервно залежали від координат і тензора деформації. Як і в шостому розділі, ускладнення фізичної моделі спричинило використання некласичного МСР для врахування впливу локальних неоднорідностей.

Розглянуто тіло, яке займає в декартовій системі координат область [13, 17, 38, 44]. У ньому діють масові сили, причому при виконуються умови плоскої деформації. Безрозмірний модуль зсуву і коефіцієнт Пуассона задавали формулами: де при, при ; неперервні однозначні функції декартових координат x₁,...,x_n та тензора деформацій, які при наближенні до граничної поверхні _g області прямують до нуля. Враховуючи закон Гука для ізотропного пружного тіла, вигляд функцій і , співвідношення Коші між деформаціями та переміщеннями, а також рівняння рівноваги, показано, що шукані компоненти вектора переміщень задовольняють рівняння [13, 17] та граничні умови. Для побудови інтегрального зображення розв'язку рівняння згідно НМПГЕ уведено невідомі масові сили в напрямі осі x_i та використано теорему 2:

Оскільки в підінтегральну функцію нелінійно входять невідомі компоненти тензора деформацій, а також їх перші похідні за координатами, область _g покрито сіткою, аналогічною описаній у шостому розділі. Щоб записати сіткове зображення для апроксимовано _,j по x^M із застосуванням центральних різниць у внутрішніх вузлах, правих або лівих різниць та некласичних скінчених різниць у граничних вузлах. Тоді замість одержано сіткову функцію, яку проінтерпольовано в області неоднорідності.

Дискретно-континуальну модель для знаходження інтенсивностей невідомих джерел, введених у ПГЕ і апроксимованих постійними, зведено до СНЛАР, утвореної внаслідок задоволення в колокаційному сенсі. До одержаної СНЛАР застосовано метод продовження розв'язку за параметром, в якості початкового наближення вибрано однорідне пружне середовище.

Проведено чисельні дослідження тензора деформацій для випадку, коли ={(x₁,x₂): 0<x₁<x_1,1, x_2,0<x₂<x_2,1}, ₁=1.2210^-4, ₂=0 у точці, де x_1,1=60, x_2,0= =-25, x_2,1=25. Тоді границя складалася з п'яти інтервалів _t, причому. На _t задавали умови. Область _g була прямокутником з вершинами (1;-1), (0;-1), (0;1), (1;1), а функції та мали вигляд. Метод продовження розв'язку за параметром реалізували для 21-точкового шаблону (H_i=3), при цьому кількість кроків становила три, а кількість циклів на кожному кроці не перевищувала шести для досягнення відносної точності 10². При дослідженні процесу нелінійного деформування абсолютні значення деформацій при x₁=1 є меншими за при x₁=0, хоч перший відрізок знаходиться ближче до точки прикладання сили, ніж другий. Вказана інверсія результатів виникає лише тоді, коли модуль зсуву в області _g менший, ніж за її межами. Для однорідного пружного середовища деформації спадають з віддаленням від точки прикладання сили. Окрім того, в розглянутому неоднорідному середовищі абсолютні значення деформацій в окремих зонах зростають більше, ніж в 2,5 рази порівняно з однорідним. З віддаленням від ділянки x₁=1 вплив локальної неоднорідності послаблюється, а вплив сили зростає, і чисельні результати для обох випадків наближаються між собою.

Для випадку тіла з локальною градієнтною неоднорідністю показано, що результати, отримані запропонованим підходом, є кращими, ніж при використанні класичного МСР, і збігаються з одержаними за допомогою МСЕ. Проведені чисельні дослідження показали високу ефективність поєднання приграничних елементів з некласичним МСР при моделюванні процесів нелінійного деформування для випадків, коли _g займала незначний порівняно з об'єм.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

Проведені у дисертаційній роботі теоретичні дослідження та їх практичне впровадження дали змогу розв'язати важливу науково-прикладну проблему теоретичного обґрунтування даних температурних і електромагнітних вимірювань у земній корі, параметрів напружено-деформованого стану неоднорідних елементів конструкцій шляхом побудови математичних моделей процесів поширення теплового й електромагнітного полів, нелінійного деформування у кусково-однорідних і локально-неоднорідних середовищах та ефективних чисельно-аналітичних підходів, які ґрунтуються на поєднанні методів приграничних елементів та некласичних скінченних різниць, до визначення й дослідження цих полів та станів.

На цій основі отримано такі основні наукові та прикладні результати:

1. Для дослідження процесів поширення теплового та електромагнітного полів у кусково-однорідних об'єктах довільної форми, локально-градієнтних середовищах та з нелінійною поведінкою матеріалів зон побудовано математичні моделі, складені з систем диференціальних рівнянь у частинних похідних, умов контакту на межах поділу середовищ, заданих граничних та початкових умов.

2. Для визначення розподілів стаціонарних полів (теплового, електричного, магнітного), усталених гармонічних коливань та напружено-деформованого стану у кусково-однорідних середовищах та з локальними областями неоднорідності матеріалу запропоновано математичні моделі, складені з систем рівнянь Пуассона, Гельмгольца та Нав'є-Стокса, умов контакту на межах поділу середовищ та заданих граничних умов.

3. Обґрунтовано ефективність застосування непрямого методу приграничних елементів (НМПГЕ) для отримання і чисельно-аналітичного розв'язування систем граничних інтегральних рівнянь, до яких зводяться побудовані математичні моделі, у кусково-однорідних середовищах, що дозволило порівняно з непрямим методом граничних елементів спростити побудову дискретно-континуальних моделей внаслідок послаблення їх сингулярності та істотно підвищити точність при обчисленні шуканих величин (температури, теплового потоку, компонент електромагнітного поля, параметрів напружено-деформованого стану) поблизу границь чи меж поділу середовищ.

4. При математичному моделюванні стаціонарних, нестаціонарних та усталених фізичних процесів у кусково-однорідних областях довільної форми за умов ідеального контакту між складовими, застосовано і розроблено чисельно-аналітичні підходи, які ґрунтуються на використанні НМПГЕ та апарату узагальнених функцій, зокрема, непрямого методу контактних елементів. Це дозволило на межі поділу середовищ аналітично врахувати умову неперервності шуканих функцій (потенціалу, температури, тангенціальних компонент електромагнітного поля) і, як наслідок, вдвічі зменшити кількість граничних інтегральних рівнянь для задоволення умов контакту.

5. Здійснено математичне моделювання процесів поширення теплового і електромагнітного полів у локально-градієнтних середовищах. Для отримання і чисельно-аналітичного розв'язування систем інтегральних рівнянь, до яких зводяться побудовані математичні моделі, обґрунтовано доцільність поєднання НМПГЕ з некласичним методом скінченних різниць, а при дослідженні стаціонарних процесів ще з непрямим методом контактних елементів.

6. Для математичного моделювання стаціонарного та нестаціонарного теплових полів у кусково-однорідних середовищах з урахуванням залежності теплофізичних характеристик від температури розроблено чисельно-аналітичні підходи, які базуються на спільному використанні НМПГЕ, перетворення Кірхгофа та ітераційних методах. Проведені обчислювальні експерименти підтвердили необхідність врахування залежності коефіцієнта теплопровідності від температури, оскільки відносна похибка значень температурного поля, отриманих з врахуванням цієї залежності і без нього досягає 810% і не зменшується з плином часу для випадку простої нелінійності, тобто, коли коефіцієнт температуропровідності незначно залежить від температури.

7. При математичному моделюванні процесу нелінійного деформування набув розвитку підхід, який ґрунтується на поєднанні НМПГЕ, некласичного МСР та методу продовження розв'язку за параметром і дає можливість визначати параметри напружено-деформованого стану середовищ з урахуванням залежності фізико-механічних характеристик (модуля зсуву та коефіцієнта Пуассона) від координат та тензора деформацій і може використовуватись при проектуванні, виготовленні та забезпеченні надійної експлуатації елементів конструкцій сучасної техніки.

8. На основі запропонованих чисельно-аналітичних підходів розв'язано низку прямих задач теорій геоелектромагнетизму, теплопровідності та нелінійної пружності. Досліджено розподіл електричного й усталеного гармонічного електромагнітного полів, напружено-деформований стан та процеси поширення нестаціонарного теплового й квазістаціонарного електромагнітних полів у неоднорідних об'єктах. Проведено первинну інтерпретацію температурних і геоелектромагнітних даних та параметрів напружено-деформованого стану у таких областях.

9. Чисельні розрахунки й аналіз результатів досліджень дозволили побудувати на базі різних компонент електромагнітного поля допоміжні криві, зокрема, позірні електропровідності, одержані за профілями чи як функції від часу, амплітудні й фазові криві позірного опору, які використовують для оцінки геометричних та фізичних параметрів включень під час вирішення проблем пошуку родовищ корисних копалин у земній корі, визначення місцезнаходження та розмірів порожнин і дефектів.

10. Проведені обчислювальні експерименти свідчать про доцільність застосування індуктивних імпульсних електророзвідувальних методів для виявлення високопровідних включень типу рудних родовищ та високоомних включень типу нафтових і газових покладів. Первинна інтерпретація даних показала, що загальними сприятливими умовами для виявлення і дослідження чужорідних областей з провідністю, вищою чи нижчою, ніж геосередовище, треба вважати співвимірну з горизонтальними розмірами (чи меншу) глибину їх залягання.

Розроблені в дисертації підходи й побудовані за модульним принципом пакети прикладних програм дозволяють моделювати широкий клас нестаціонарних, стаціонарних та усталених фізичних процесів у кусково-однорідних та локально-неоднорідних середовищах для задач геофізики, теплофізики і механіки, а також легко досліджувати інші математичні моделі, що містять системи диференціальних рівнянь у частинних похідних з відомим фундаментальним розв'язком.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Журавчак Л.М., Грицько Є.Г. Метод приграничних елементів у прикладних задачах математичної фізики. Львів: Карпатське відділення Інституту геофізики НАН України, 1996. 220 с.

Журавчак Л.М. Моделювання неусталеного електромагнітного поля в зонально-однорідних тілах поєднанням методів приграничних та контактних елементів форми // Доп. НАН України. - 2004. - № 11. - С. 6470.

Журавчак Л.М., Шуміліна Н.В. Математичне моделювання електромагнітного поля у процесі дослідження складних геоелектричних розрізів // Розвідка та розробка нафтових і газових родовищ. - 2004. - № 3. - С. 98104.

Журавчак Л.М., Шуміліна Н.В. Моделювання розподілу електромагнітного поля у зонально-однорідних об'єктах // Вісник Нац. ун-ту “Львівська політехніка”: Комп'ютерні науки та інформаційні технології. 2004. - № 521. - С. 120129.

Журавчак Л.М., Шуміліна Н.В. Розпізнавання об'ємних локальних неоднорідностей за нестаціонарним тепловим полем тіла // Доп. НАН України. - 2005. - № 10. - С. 4247.

Журавчак Л.М., Шуміліна Н.В. Математичне тривимірне моделювання усталених коливань у кусково-однорідному півпросторі // Розвідка та розробка нафтових і газових родовищ. - 2005. - № 2. - С. 1420.

Григоренко Я.М., Грицько Е.Г., Журавчак Л.М. Решение задач о напряженном состоянии неоднородных тел с учетом физической нелинейности на основе метода граничных элементов // Прикл. механика. 1995. Т. 31, №11. С. 1017.

Григоренко Я.М., Грицько Є.Г., Журавчак Л.М. Про розв'язання просторової задачі для зонально-однорідного тіла при неідеальному контакті // Доп. НАН України. 1996. № 2. С. 4852.

Журавчак Л.М. Розв'язування просторової задачі термопружності для зонально-однорідного термочутливого тіла довільної форми // Доп. НАН України. - 2002. - №8. - С. 37-41.

Журавчак Л.М. Розв'язування просторової нестаціонарної задачі теплопровідності для зонально-однорідного термочутливого тіла // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2002. - Т. 45, № 1. - С. 137-142.

Журавчак Л.М., Шуміліна Н.В. Моделювання взаємного впливу нафтогазоносних покладів на розподіл електромагнітного поля // Розвідка та розробка нафтових і газових родовищ. - 2004. - № 4. - С. 6066.

Журавчак Л.М. Квазістаціонарна модель електромагнетного поля для зонально-однорідного тіла // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 2005. - № 2. - С. 8996.

Журавчак Л.М. Розв'язування просторових нелінійних задач теорії пружності поєднанням приграничних елементів і некласичної різницевої схеми // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2001. - Т. 44, №2. - С. 83-90.

Грицько Є.Г., Журавчак Л.М. Побудова дискретно-континуальної моделі електромагнітного поля в локально-неоднорідному провідному просторі // Інформаційні технології і системи. 2001. - Т.4, № 12. - С. 7884.

Журавчак Л.М. Порівняння розв'язків задач теорії пружності для різних приграничних елементів // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 2002. - № 6. - С. 79-84.

Гудзь Р.В., Журавчак Л.М., Петльований А.Т. Поєднання граничних, приграничних та скінченних елементів в задачі пружності для неоднорідного тіла // Доп. НАН України. - 2005. - № 5. - С. 4650.

Журавчак Л.М. Приграничні елементи і некласична різницева схема при розв'язуванні задач фізичної нелінійної теорії пружності // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 2000. - № 1. - С. 32-38.

Грицько Є.Г., Журавчак Л.М., Шуміліна Н.В. Інтерпретація нестаціонарного фільтраційного потоку при визначенні геометричних параметрів непровідного включення // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2001. - Т. 44, №1. - С. 174-179.

Sapuzhak Ya.S., Zhuravchak L.M. The technique of numerical solution of 2-D direct current modeling problem in inhomogeneous media // Acta Geophysica Polonica. 1999. Vol.XLVII, No 2. - P.149163.

Грицько Є.Г., Журавчак Л.М. Порівняння методів граничних і приграничних елементів для розв'язування задач теорії пружності // Фіз.-хім. механіка матеріалів. 1997. № 3. С. 5056.

Михаськів В.В., Журавчак Л.М., Фітель Г.В. Використання граничних і приграничних елементів у двовимірній моделі нестаціонарної теплопровідності // Мат. методи та фіз.-мех. поля, 2003. - Т. 46, № 2. - С. 155-161.

Грицько Є.Г., Гудзь Р.В., Журавчак Л.М. Метод граничних елементів та ермітові скінченні елементи у задачах пружності для тіл з неоднорідностями // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 1999. - № 5. - С. 99-101.

Гудзь Р.В., Журавчак Л.М., Петльований А.Т. Розв'язування статичної задачі термопружності для локально-неоднорідного тіла поєднанням граничних, приграничних та скінченних елементів // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2006. - Т. 49, №2. - С. 148-156.

Журавчак Л.М. Поєднання приграничних і контактних елементів та некласичної скінченно-різницевої схеми для знаходження потенціалу електричного поля в неоднорідному середовищі // Теорія обчислень: Зб. наук. пр. - Київ: Ін-т кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України, 1999. - С. 166-170.

Журавчак Л.М. Використання приграничних і контактних елементів у задачах геоелектрики для неоднорідного гірського хребта // Вісн. Львів. ун-ту: Прикл. мат. та інформ. - 2000. - Вип. 1. - С. 117-122.

Сапужак Я.С., Журавчак Л.М., Сапужак О.Я. Математичне і фізичне моделювання при електромагнітних дослідженнях геосередовищ // Сб. науч. труд. Нац. горной академии Украины. - 1999. - Т.3. Геофізика, №6. - С. 110-113.

Журавчак Л.М. Поєднання методів приграничних та контактних елементів при розв'язуванні нестаціонарної задачі теплопровідності для зонально-однорідного тіла // Вісник Львів. ун-ту: Серія прикл. мат. та інформ. 2004. - Вип. 8. - С. 122132.

Журавчак Л.М. Моделювання неусталеного електромагнітного поля у провідному півпросторі з локальною неоднорідністю // Геофізичний журнал. - 2002. - Т. 24, № 5. - С. 120-126.

Грицько Є.Г., Журавчак Л.М. Побудова інтегрального зображення розв'язку задачі теплопровідності для зонально-однорідного тіла складної форми // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. Київ: Ін-т математики НАН України, 1994. Вип. 7. С. 5964.

Журавчак Л.М. Теоретичні аспекти непрямих методів приграничних і частково-граничних елементів // Крайові задачі для диференціальних рівнянь: Зб. наук. пр. - Чернівці: Чернівецький нац. ун-т, 2002. - Вип. 8. - С. 256-265.

Гудзь Р.В., Журавчак Л.М., Петльований А.Т. Моделювання напружено-деформованого стану кусково-однорідних тіл методами граничних та приграничних елементів // Вісник Львів. ун-ту: Серія прикл. мат. та інформ. 2004. - Вип. 9. - С. 145156.

Журавчак Л.М. Квазістаціонарна модель для визначення напруженості електромагнітного поля у зонально-однорідному півпросторі // Вісник Київ. нац. ун-ту: Геологія. 2004. - № 2930. - С. 104-107.

Грицько Є.Г., Журавчак Л.М. Застосування методу приграничних елементів та покрокового процесу зміни часу в нестаціонарних просторових задачах теорії потенціалу // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. Київ: Ін-т математики НАН України, 1995. Вип. 10. С. 4857.

Журавчак Л.М. Розв'язування двовимірної нестаціонарної змішаної задачі теплопровідності для зонально-однорідного термочутливого тіла методом приграничних елементів // Крайові задачі для диференціальних рівнянь: Зб. наук. пр. - Чернівці: Чернівецький нац. ун-т, 2003. - Вип. 10. - С. 6674.

Журавчак Л.М., Михаськів В.В., Фітель Г.В. Розв'язування нестаціонарної задачі теплопровідності для термочутливого многокутника методами граничних та приграничних елементів // Вісник Львів. ун-ту: Серія прикл. мат. та інформ. 2003. - Вип. 6. - С. 151-156.

Журавчак Л.М. Порівняння приграничних елементів різних типів під час розв'язування задач теорії потенціалу // Прикл. пробл. мех. і мат. 2003. - № 1. - С. 6167.

Журавчак Л.М. Розв'язування задач геоелектрики методом приграничних елементів для гірського хребта // Праці НТШ. Геофізика. - Львів, 2002. - Т.VIII. - C. 3039.

Журавчак Л.М. Поєднання приграничних елементів та скінченних різниць при розв'язуванні просторових задач теплопровідності для неоднорідних тіл // Крайові задачі термомеханіки: Зб. наук. праць. Київ: Ін-т математики НАН України, 1996. С. 130135.

Грицько Є.Г., Журавчак Л.М., Фітель Г.В., Шуміліна Н.В. Автоматизація числових досліджень фізичних полів у многокутниках на основі методу приграничних елементів // Вісник Львів. ун-ту: Серія прикл. мат. та інформ. - 2000. - Вип.3. - С. 100-105.

Журавчак Л.М. Квазістаціонарна модель для визначення напружености магнітного поля у локально-неоднорідному напівпросторі // Праці НТШ. Геофізика. - Львів, 2006. - Т.XVII. - C. 36-46.

Грицько Є.Г., Журавчак Л.М., Фітель Г.В. Розв'язування задачі теплопровідності з нелінійною граничною умовою ІІІ роду методом приграничних елементів // Крайові задачі для диференціальних рівнянь: Зб. наук. пр. - Чернівці: Чернівецький нац. ун-т, 2000. - Вип. 5. - С. 82-90.

Грицько Є.Г., Гудзь Р.В., Журавчак Л.М., Фітель Г.В. Числово-аналітичний спосіб розв'язування нестаціонарної задачі теплопровідності з нелінійними граничними умовами // Вісн. Львів. ун-ту: Сер. мех.-мат. - 1999. - Вип. 52. - С. 29-36.

Zhuravchak L.M, Shumilina N.V. Mathematical modeling of non-stationary thermal field in spatial solids for recognition of homogeneous inclusions // Proc. of Sixth Intern. Congress on Thermal Stresses. - Vienna, 2005. - Vol. 2. - P. 521524.

Журавчак Л.М. Розв'язування просторових нелінійних задач теорії пружності методом приграничних елементів // Матер. Міжнар. наук. конф. „Сучасні проблеми механіки і математики”. Львів: ІППММ, 1998.- С. 110-111.

Grits'ko E.G., Zhuravchak L.M. Quasi-stationary appoximation of electromagnetic energy spreading in a locally inhomogeneous conductive halfspase // Proc. of IVth Intern. Seminar/Workshop “Direct and inverse problems of electromagnetic and acoustic wave theory”. - Lviv, 1999. - P. 84-87.

Журавчак Л.М. Розв'язування двовимірної задачі термопружності для неоднорідного термочутливого тіла поєднанням методу приграничних елементів та некласичних скінченних різниць // Матер. VI міжнар. наук. конф. “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”. - Львів, 2003. - С. 175-177.

Журавчак Л.М., Забродська Н.В. Розв'язування крайових задач для систем рівнянь Гельмгольца у кусково-однорідному півпросторі за допомогою непрямого методу приграничних елементів // Матер. Всеукр. наук. конф. "Моніторинг небезпечних геологічних процесів та екологічного стану середовища". - Київ, 2006. - С. 131133.

Сапужак Я.С., Журавчак Л.М., Сапужак О.Я., Романюк О.І. Можливості математичного моделювання при електрометричних дослідженнях нафтогазових родовищ // Матер. 6-ї Міжнар. наук.-практ. конф. „Нафта і газ України 2000”. Івано-Франківськ: УНГА, 2000. - Т.1. - С. 274275.

Grits'ko E.G., Zhuravchak L.M. Computation of the magnetic field strenght in a medium with electric and magnetic characteristics locally depending on coordinates // Proc. of IVth Intern. Seminar/Workshop “Direct and inverse problems of electromagnetic and acoustic wave theory”. - Lviv, 1999. - P. 8893.

Журавчак Л.М., Шуміліна Н.В. Розв'язування стаціонарної задачі теплопровідності для зонально-однорідної термочутливої півплощини // Матер. VI міжнар. наук. конф. “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”. - Львів, 2003. - С. 177-179.

Sapuzhak Ya.S., Zhuravchak L.M. Mathematical modeling of complex geoelectric cuts // Abstract of XXI General Assembly of European Geophysical Society. - Haag (Nederland), 1996. - V. 14. - P. 187.

Сапужак Я.С., Журавчак Л.М. Исследование сложных геоэлектрических разрезов методом граничных элементов // Тез. докл. Междунар. конф. „Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных магнитных и электрических полей”. - Воронеж: ВГУ, 1998. - С. 116-117.

Журавчак Л.М. Приграничні та контактні елементи у задачах геоелектрики // Тези доп. VI Всеукр. наук. конф. „Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та обчислювальних методів у наукових дослідженнях”. - Львів: Видавн. центр ЛДУ, 1999.- С. 41-42.

Sapuzhak Ya.S., Zhuravchak L.M., Sapuzhak O.Ya. To methods of electrometric engineering investigations cuts // Abstract of XXII General Assembly of European Geophysical Society. - Vienna (Austria), 1997. - V. 15. - P. 95.

Сапужак Я.С., Журавчак Л.М., Сапужак О.Я., Романюк О.І. Основные элементы электромагнитной доразведки нефтегазовых залежей // Тез. докл. Междунар. конф.-семин. им. Д.Г. Успенского “Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных магнитных и электрических полей”. - Ухта: Ухтинский индустриальный институт, 1998. - С. 41-42.

Сапужак Я.С., Журавчак Л.М., Сапужак О.Я., Романюк О.І. Методика комплексної електромагнітної дорозвідки нафтогазових покладів // Тези доп. наук.-практ. конф. “Результати і перспективи геофізичних досліджень у Західному регіоні України”. - Львів: УНГА, ЗУГРЕ, 1998. - С. 38-40.

Журавчак Л.М. Поєднання методів приграничних та контактних елементів при моделюванні нестаціонарного температурного поля у зонально-однорідному тілі // Тези доп. X Всеукр. наук. конф. “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”. - Львів: Видавн. центр ЛНУ ім. І. Франка, 2003. - С. 57.

Sapuzhak Ya.S., Zhuravchak L.M., Sapuzhak O.Ya. Geoelectric models of Ukrainian Carpathians and potentials of their mathematical investigation // Abstract of the 14-th Workshop on Electromagnetic Induction in the Earth. - Sinaia (Romania), 1998. - P. 4849.

Сапужак Я., Журавчак Л., Сапужак О. Математическое моделирование трехмерных задач импульсной электроразведки при геомониторинге // Тези доп. VI Міжнар. наук.-тех. симпозіуму „Геоінформаційний моніторинг навколишнього середовища: GPS i GIS - технології” (Алушта). - Львів: Львівське астрономо-геодезичне товариство, 2001. - С. 4-5.

Сапужак Я.С., Журавчак Л.М., Сапужак О.Я., Сироєжко О.В. Площівні електромагнітні дослідження: розвиток, проблеми та їх вирішення // Тези доп. IV Міжнар. наук. конф. "Моніторинг небезпечних геологічних процесів та екологічного стану середовища". - Київ, 2003. - С. 6365.

Размещено на Allbest.ru