Формализованные методы микроэкономического анализа

Аналитическая обработка подобных информационных массивов осуществляется с помощью специальных методов, которые мы условно назовем статистическими методами обработки пространственно-временных совокупностей показателей. Общая постановка задачи в этом случае такова.

Имеются наборы частных показателей (факторов) за 1с периодов (чаще всего это годы), представленные в виде матриц

где - значение i-го показателя для j-го объекта в t-м периоде, i=1,2, ... ,n

i = 1,2, ... , m ; t= 1,2, ... , k.

Кроме того, задано k векторов значений некоторого результативного показателя:

где t -- номер периода, t = 1 , 2, ...,k;

j -- номер предприятия, j= 1,2, ... , m.

Требуется построить модель, которая отражала бы взаимосвязь между факторами и результативным признаком в среднем за X: периодов:

y=f(x1,x2,…,xn).

Для количественной обработки пространственно-временных структур в экономической статистике разработан ряд методов.

Метод предварительного усреднения данных заключается в следующем: усредняются исходные данные по каждому показателю и каждому объекту, т.е. если были данные, например, по годам, то после усреднения вместо k матриц значений факторных показателей и k векторов значений результативного показателя получают одну матрицу и один вектор из усредненных по периодам показателей. Иными словами, пространственно-временная совокупность сведена к пространственной, которую можно подвергнуть обычному корреляционно-регрессионному анализу.

Метод объекто-периодов (заводо-лет) используется, когда исследуемая совокупность мала по объему: в этом случае весь массив данных рассматривается как одна совокупность, единицами наблюдения которой являются так называемые «объекто-периоды». Далее проводится корреляционно-регрессионный анализ.

Метод усреднения параметров одногодичных уравнений регрессии предусматривает построение уравнения регрессии для каждого года, т.е. формируется k уравнений регрессии; далее простым усреднением параметров этих уравнений (коэффициентов регрессии) находят усредненное уравнение, которое и используется как характеристика связи пространственно-временной совокупности.

Ковариационный анализ, сочетающий свойства дисперсионного анализа, предназначенного для изучения влияния на результативный признак качественных признаков, и регрессионного анализа, предназначенного для изучения связей количественных признаков, обеспечивает построение по специальным алгоритмам так называемой средней формы уравнения регрессии. [3,12]

4. Методы теории принятия решений

Как отмечалось выше, аналитик, как правило, выполняет вспомогательные функции, обеспечивая аналитическими расчетами лицо, принимающее решение. Тем не менее нередки ситуации, когда ответственность за аналитическое обоснование решения и его принятие возлагается на одно и то же лицо. Именно в этом случае и возникает необходимость в овладении методами, разработанными в рамках так называемой теории принятия решений. Приведем краткую характеристику некоторых из них, получивших определенное приложение в микроэкономическом анализе. 4

4.1 Метод построения дерева решений

Этот метод входит в систему методов ситуационного анализа и используется в случаях, когда прогнозируемая ситуация может быть структурирована таким образом, что выделяются ключевые моменты, в которых либо нужно принимать решение с определённой вероятностью (роль аналитика или менеджера активна), либо также с определённой вероятностью наступает некоторое событие (роль аналитика или менеджера пассивна, однако значимы некоторые не зависящие от его действий обстоятельства). Именно для формализованного описания подобных ситуаций и используется так называемый метод построения дерева решений. Логику метода рассмотрим на примере.

Пример. Управляющему нужно принять решение о целесообразности приобретения станка М1, либо станка М2. Станок М2 более экономичен, что обеспечивает больший доход на единицу продукции, вместе с тем он более дорогой и требует больших накладных расходов.

Постоянные расходы Операционный доход на единицу

продукции, руб

Станок М1 15 000 20

Станок М2 24 21 000

Процесс принятия решения может быть выполнен в несколько этапов.

Этап 1 - определение цели. В качестве критерия выбирается максимизация математического ожидания прибыли.

Этап 2 - определение набора возможных действий для рассмотрения и анализа (контролируется лицом, принимающим решение).

Управляющий может выбрать один из двух вариантов:

а1={покупка станка М1} либо

а2={покупка станка М2}

Этап 3 - оценка возможных исходов и их вероятностей (носят случайный характер). Управляющий оценивает возможные варианты годового спроса на продукцию и соответствующие им вероятности следующим образом:

х1=1200 единиц с вероятностью 0,4;

х2=2000 единиц с вероятностью 0,6,

Р(х1)=0,4; Р(х2)=0,6.

Этап 4 - оценка математического ожидания возможного дохода. Выполняется с помощью дерева решений.

Можно найти математическое ожидание возможного исхода по каждому проекту:

Е(Ra1)=9000*0,4+25 000*0,6=18 600 руб.

Е(Ra2)=7800*0,4+27 000*0,6=19320 руб.

Таким образом, вариант с приобретением станка М2 является экономически более целесообразным.

Этот метод весьма полезен в различных областях деятельности менеджеров, например, в управленческом учёте, при составлении бюджета капиталовложений и особенно в анализе на рынке ценных бумаг. [13]

4.2 Линейное программирование

Термин «программирование», вошедший в отечественную экономическую литературу в 60-е годы XX в., имеет несколько значений. Во-первых, этим термином обозначается процесс подготовки специальной программы для ЭВМ; во-вторых, программирование используется как некоторый синоним терминов «планирование» и «прогнозирование». В последнем случае обычно говорят об оптимальном программировании, понимая под этим методы разработки планов и программ, позволяющих оптимизировать некоторые стороны деятельности хозяйствующего субъекта. Особенность методов оптимального программирования заключается в активном использовании достаточно сложных экономико-математических методов. Оптимальное программирование включает в себя несколько разделов, различающихся разной степенью проработанности и практической приложимости, линейное, квадратическое, динамическое программирование и др. Метод линейного программирования, наиболее распространенный в прикладных экономических исследованиях ввиду его достаточно наглядной интерпретации, позволяет хозяйствующему субъекту дать обоснование наилучшему (по формальным признакам) решению в условиях более или менее жестких ограничений относительно доступных для предприятия ресурсов. С помощью линейного программирования в анализе финансово-хозяйственной деятельности решается ряд задач, в первую очередь относящихся к процессу планирования деятельности - он позволяет отыскивать оптимальные параметры выпуска и способы наилучшего использования имеющихся ресурсов.

Суть метода линейного программирования заключается в поиске максимума или минимума выбранной в соответствии с интересами аналитика целевой функции при имеющихся ограничениях.

На практике метод линейного программирования нашел применение в системах управленческого учета и внутреннего анализа, в частности при решении задачи оптимизации производственной программы (выбор программы действий при наличии ограничений на затраты сырья, величину спроса и т.п.) и транспортной задачи (оптимизация доставки продукции при наличии сети поставщиков и получателей в условиях ограничений на ресурсы различного вида).

В упомянутых ситуациях предполагается, что зависимости между параметрами модели имеют линейный характер, что сохраняется и с течением времени. В принципе такая предпосылка весьма условна, поэтому в теории принятия решений разработаны также методы нелинейного, динамического, стохастического, выпуклого программирования, которые гораздо более сложны и в анализе деятельности отдельных предприятий применяются крайне редко. [9,11]

4.3 Анализ чувствительности

В условиях неопределенности никогда нельзя точно предсказать заранее, каковы будут фактические значения той или иной величины через некоторое время. Однако для успешного планирования финансово-хозяйственной деятельности предприятия желательно предусмотреть изменения, которые могут произойти в будущих ценах на сырье и конечную продукцию предприятия, возможное падение или увеличение спроса на товары, производимые предприятием, и т.п. Для этого выполняется аналитическая процедура, называемая анализом чувствительности. Достаточно часто этот метод используется при анализе инвестиционных проектов, а также при прогнозировании величины чистой прибыли предприятия.

Рассмотрим суть данного метода на следующей модели. Предположим, что чистая прибыль предприятия определяется выручкой за минусом всех затрат (переменных и постоянных) и налога на прибыль. Факторная модель прибыли в этом случае будет выглядеть так:

где R-- выручка;

FС -- постоянные затраты;

VС -- переменные затраты;

N -- сумма налога на прибыль, исчисленная по ставке Т = 40 %.

Модель Отчета о прибылях и убытках, сформированного для данного предприятия на основе такой группировки затрат, а также исходные данные для расчета представлены в ниже приведенной таблице.

Таблица(2)

Показатели	Обозначение	Значение
1	2	3
Количество проданных единиц продукции	Q	1000
Цена за единицу, у.е	p	500
Выручка, у.е	R	500000
Переменные затраты, у.е	VC	300000
Валовый доход, у.е	-	200000
Постоянные затраты, у.е	FC	100000
Налогооблагаемая прибыль, у.е	-	100000
Сумма налога на прибыль, у.е	N	40000
Чистая прибыль, у.е	р	60000

Из этих данных видно, что рыночная цена р единицы продукции, проданной предприятием, равна 500 у.е., а переменные затраты на единицу продукции (z) равны 300 у.е. Отсюда следует:

полные затраты:

ТС = FС + VС = FС + z*q

налогооблагаемая прибыль составит:

(R -- FС -- z*q)

чистая прибыль:

р = [(р -- z) *q -- FС] * (1 -- Т).

Анализ чувствительности заключается в определении того, что будет, если один или несколько факторов изменят свою величину. Теоретически число сочетаний значений факторов бесконечно велико, поэтому анализ одновременного их изменения выполнить вручную технически исключительно сложно; задача облегчается с привлечением компьютера. Рассмотрим логику и технику оценки чувствительности чистой прибыли на примере изменения лишь одного фактора, например объема продаж, при неизменности всех остальных. Значение производной по q имеет вид:

С ее помощью можно найти, на сколько изменится прибыль при изменении количества реализованных экземпляров на единицу:

(500 -300) *(1-0,4)= 120 у.е.

Получается, что при изменении количества реализованных экземпляров продукции на единицу чистая прибыль изменится на 120 у.е. Можно убедиться в правильности данного вывода, выполнив прямой расчет по исходным данным, когда объем реализованной продукции отклоняется на единицу от базового варианта, равного 1000 ед. (см. табл.):

Таблица(3)

Показатели	Обозначение	Значение
1	2	3
Количество проданных экземпляров	Q	999	1001
Цена за 1 штуку, у.е	p	500	500
Выручка, у.е	R	499500	500500
Переменные затраты, у.е	VC	299700	300300
Валовый доход, у.е	-	199800	200200
Постоянные затраты, у.е	FC	100000	100000
Налогооблагаемая прибыль, у.е	-	99800	100200
Сумма налога на прибыль, у.е	N	39920	40080
Чистая прибыль, у.е	р	59880	60120
Изменения прибыли	Д р	-120	+120

Анализ чувствительности позволяет определить силу реакции результативного показателя на изменение независимых, т.е. варьируемых, факторов. 5,14

5.Методы финансовых вычислений

5.1 Логика финансовых операций в рыночной экономике

Подавляющее большинство решений, которые приходится принимать высшему и среднему управленческому персоналу, -- это решения финансового характера. Логика подобных решений выражается известным соотношением: доходы, которые ожидаются в результате принятия данного решения, должны определенным образом превосходить совокупные затраты, связанные с его подготовкой и реализацией. Безусловно, некоторые решения могут иметь иное обоснование, нежели текущая выгодность, среди них -- отсутствие убытка, социальный аспект, действие факторов, не поддающихся элиминированию, осознанная неэффективность в краткосрочном плане в сочетании с ожидаемой прибыльностью в долгосрочной перспективе и т.п. Тем не менее решения, основанные на денежных оценках, без сомнения преобладают.

Решения финансового характера в подавляющем большинстве случаев не являются одномоментными в плане проявления вызываемых ими последствий. Иными словами, здесь весьма важную, если не решающую, роль играет фактор времени. Формализованная основа подобных решений -- так называемые финансовые вычисления, имеющие давние традиции в том числе и в отечественной учетно-аналитической практике Финансовые вычисления базируются на понятии временной стоимости денег; именно с их помощью удается принимать управленческие решения, эффективные во временном аспекте. Подобными вычислениями обязаны владеть как лица, принимающие решения, так и их помощники -- аналитики.

Несмотря на кажущуюся простоту расчетов, методы финансовых вычислений исключительно важны именно в практической плоскости и, кроме того, они не приходят к специалисту автоматически вместе с дипломом о высшем или специальном образовании. Невозможно стать финансовым менеджером или аналитиком лишь читая общетеоретические монографии, учебники и руководства -- нужна рутинная вычислительная практика, умение ориентироваться в методах, привлекаемых для получения ряда оценок, которые можно использовать как формализованное обоснование принимаемого решения в области кредитования и финансирования.

Без сомнения, финансовые вычисления входят в число краеугольных элементов процесса управления финансами предприятия и используются в различных его разделах. Наиболее интенсивно они применяются для оценки инвестиционных проектов, в операциях на рынке ценных бумаг, в ссудо-заемных операциях, в оценке бизнеса и др.

Ключевыми моментами методов оценки эффективности финансовых операций, определяющими их логику, являются следующие утверждения:

практически любую финансово-хозяйственную операцию можно выразить в терминах финансов;

в подавляющем большинстве случаев собственно операции или их последствия «растянуты» во времени;

с каждой операцией можно увязать некоторый денежный поток;

денежные средства должны эффективно оборачиваться, т.е. с течением времени приносить определенный доход;

элементы денежного потока, относящиеся к разным моментам времени, без определенных преобразований несопоставимы;

преобразования элементов денежного потока осуществляются путем применения операций наращения и дисконтирования;

наращение и дисконтирование могут выполняться по различным схемам и с различными параметрами. [8,10]

5.2 Операции наращения и дисконтирования

Логика построения основных алгоритмов в операциях финансового характера достаточно проста и основана на следующей идее. Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы РV с условием, что через некоторое время I будет возвращена большая сумма FV. Как известно, результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко: либо с помощью получаемого прироста

Д = FV -- PV,

либо путем расчета некоторого относительного показателя. Абсолютные показатели чаще всего не подходят для подобной оценки ввиду их несопоставимости в пространственно-временном аспекте. Поэтому пользуются специальным коэффициентом -- ставкой. Этот показатель рассчитывается отношением приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать либо РV (получим процентную ставку), либо FV (получим учетную ставку).

Итак, в любой простейшей финансовой сделке всегда присутствуют три величины: РV, FV и ставка r, две из которых заданы, а одна является искомой. Процесс, в котором заданы исходная сумма и процентная ставка, в финансовых вычислениях называется процессом наращения. Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка (коэффициент дисконтирования), называется процессом дисконтирования. В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором -- о движении от будущего к настоящему. Необходимо отметить, что в качестве коэффициента дисконтирования может использоваться либо процентная ставка (математическое дисконтирование), либо учетная ставка (банковское дисконтирование).

Экономический смысл финансовой операции наращения состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Поскольку, как следует из определения процентной ставки r,

FV=PV+PV*r и PV*r>0,

то видно, что время генерирует деньги или, что равнозначно, деньги имеют временную ценность.

Экономический смысл дисконтирования заключается во временном упорядочении денежных потоков различных временных периодов. Коэффициент дисконтирования показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. В этом случае искомая величина РV показывает как бы текущую, «сегодняшнюю» стоимость будущей величины FV.

Ссудо-заемные операции, составляющие основу коммерческих вычислений, имеют давнюю историю. Именно в этих операциях и проявляется прежде всего необходимость учета временной ценности денег.

Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного промежутка времени. Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых операциях является один год, наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды. Известны две основные схемы дискретного начисления: схема простых и схема сложных процентов.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р; требуемая доходность -- r (в долях единицы). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину Р*r. Таким образом, размер инвестированного капитала через n лет (Rn) будет равен:

Rn =P+P*r+…+P*r=P*(1+n*r)

Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также и ранее напоенные и невостребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т.е. база, с коброй начисляются проценты, все время возрастает. Следовательно, размер инвестированного капитала к концу n-го года будет равен:

Fn =P*(1+r)n

Несложно показать, что в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:

* более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода);

* более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно);

* обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

Схема простых процентов используется в практике банковских расчетов при начислении процентов по краткосрочным ссудам со сроком погашения до одного года. В этом случае в качестве показателя n берется ветчина, характеризующая удельный вес длины подпериода (дни, месяц, квартал, полугодие) в общем периоде (год). Длина различных временных интервалов в расчетах может округляться: месяц -- 30 дней; квартал -- 90 шей: полугодие -- 180 дней; год -- 360 (или 365) дней. Другой весьма распространенной операцией краткосрочного характера с использованием формулы простых процентов является операция по учету векселей банком. В этом случае пользуются формулами:

PV=FV*(1-f*d) или PV=FV*(1-t/T*d),

где d -- годовая дисконтная ставка в долях единицы;

t-- продолжительность финансовой операции в днях;

Т -- количество дней в году;

f-- относительная длина периода до погашения ссуды (отметим, что операция имеет смысл, когда число в скобках неотрицательно).

Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. При применении простого процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или использования в других инвестиционных проектах или текущей деятельности.

Формула сложных процентов является одной из базовых формул в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования значения множителя (1 + r)n, называемого мультиплицирующим множителем для единичного платежа и обеспечивающего наращение стоимости, табулированы для различных значений r и n .

В практике финансовых и коммерческих расчетов нередко оговаривается величина годового процента и частота начисления, отличная от ежегодной. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процентов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки по формуле

Fn=P*(1+r/m)k*m

где r -- объявленная годовая ставка;

m-- количество начислений в году;

k -- количество лет.

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет, причем проценты могут начисляться не обязательно один раз в год (подпериод, определяющий частоту начисления процентов, назовем базовым). В этом случае можно воспользоваться одним из двух методов:

* схема сложных процентов:

Fn=P*(1+r/m)w+f

* смешанная схема (используется схема сложных процентов для целого числа базовых подпериодов и схема простых процентов для дробной части базового подпериода):

Fn=P*(1+r/m)w (1+f *r/m),

где w-- целое число базовых подпериодов в финансовой операции;

f-- дробная часть базового подпериода;

r -- годовая ставка;

m-- количество начислений в году.

Поскольку f < 7, то

(1 +/f*r) > (1 + r)f,

следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

Понимание роли эффективной процентной ставки чрезвычайно важно для финансового менеджера. Дело в том, что принятие решения о привлечении средств, например банковской ссуды, на тех или иных условиях делается чаще всего исходя из приемлемости предлагаемой процентной ставки, которая в этом случае характеризует относительные расходы заемщика. В рекламных проспектах непроизвольно или умышленно внимание на природе ставки обычно не акцентируется, хотя в подавляющем числе случаев речь идет о номинальной ставке, которая может весьма существенно отличаться от эффективной ставки.

Оценивая целесообразность финансовых вложений в тот или иной вид бизнеса, исходят из того, является это вложение более прибыльным (при допустимом уровне риска), чем вложения в государственные ценные бумаги, или нет. Используя несложные методы, пытаются проанализировать будущие доходы при минимальном, «безопасном» уровне доходности.

Основная идея этих методов заключается в оценке будущих поступлений Fn (например, в виде прибыли, процентов, дивидендов) с позиции текущего момента. При этом, сделав финансовые вложения, инвестор обычно руководствуется тремя посылами: (а) происходит перманентное обесценение денег (инфляция); (б) темп изменения цен на сырье, материалы и основные средства, используемые предприятием, может существенно отличаться от темпа инфляции; (в) желательно периодическое начисление (или поступление) дохода, причем в размере, не ниже определенного минимума. Базируясь на этих посылах, инвестор должен оценить, какими будут его доходы в будущем, какую максимально возможную сумму допустимо вложить в данное дело исходя из прогнозируемой его рентабельности.

Базовая расчетная формула для такого анализа является следствием формулы

где Fn-- доход, планируемый к получению в n-м году;

Р -- приведенная (сегодняшняя, текущая) стоимость, т.е. оценка

величины Fn с позиции текущего момента;

r -- коэффициент дисконтирования.

Экономический смысл такого представления заключается в следующем: прогнозируемая величина денежных поступлений через n лет (Fn) с позиции текущего момента будет меньше и равна Р (поскольку знаменатель дроби больше единицы). Это означает также, что для инвестора сумма Р в данный момент времени и сумма Fn через n лет одинаковы по своей ценности. Используя эту формулу, можно приводить в сопоставимый вид оценку доходов от инвестиций, ожидаемых к поступлению в течение ряда лет. Легко видеть, что в этом случае коэффициент дисконтирования численно равен процентной ставке, устанавливаемой инвестором, т.е. тому относительному размеру дохода, который инвестор хочет или может получить на инвестируемый им капитал.

Множитель

FM2(r, k)=1/(1+r)k

называется дисконтирующим множителем для единичного платежа, его значения также табулированы. Экономический смысл дисконтирующего множителя FМ2(r,k) заключается в следующем: он показывает «сегодняшнюю» цену одной денежной единицы будущего, т.е. чему с позиции текущего момента равна одна денежная единица (например, один рубль), циркулирующая в сфере бизнеса k периодов спустя от момента расчета, при заданных процентной ставке (доходности) r и частоте начисления процента. Термин «сегодняшняя стоимость» не следует понимать буквально, поскольку дисконтирование может быть выполнено на любой момент времени, не обязательно совпадающий с текущим моментом. [2,6]

5.3 Процентные ставки и методы их начисления

Ссудозаемные операции, составляющие основу коммерческих вычислений, имеют давнюю историю. Именно в этих операциях и проявляете прежде всего необходимость учета временной ценности денег. Несмотря на то что в основе расчетов при анализе эффективности ссудозаемных операций заложены простейшие на первый взгляд схемы начисления процентов, эти расчеты многообразны ввиду вариабельности условий финансовых контрактов в отношении частоты и способов начисления, а также вариантов предоставления и погашения ссуд.

Понятие простого и сложного процента

Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного промежутка времени. Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых операциях является 1 год. наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды. Известны две основные схемы дискретного начисления:

* схема простых процентов;

* схема сложных процентов.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р, требуемая доходность - r (в долях единицы). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину Р*r. Таким образом, размер инвестированного капитала (Rn) через п лет будет равен:

Rn=P+P*r+…+P*r=P*(1+n*r)

Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т.е. база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Следовательно, размер инвестированного капитала будет равен:

к концу 1-го года:

F1 = Р + Р*r = Р*(1+r);

к концу 2-го года:

F2= F1 + F1*r = F1 (1+r)=P(1+r)2;

к концу n-го года:

Fп = Р * (1 +r)л.

Как же соотносятся величины Rn и Fn .Это чрезвычайно важно знать при проведении финансовых операций. Все зависит от величины n. Сравним множители наращения по простым и сложным процентам, т.е. сравним (1+n*r) и (1 +n)п. Очевидно, что при n = 1 эти множители совпадают и равны (1+r). Можно показать, что при любом r справедливы неравенства: (1 + n*r) > (1 +r)п , если 0 < n < 1 и (1 + n*r) < (1 +r)n , если п > 1. Итак:

*Rn > Fn при 0<n<1;

* Rn < Fn при n> 1.

Таким образом, в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:

* более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода);

* более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно);

* обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода 1 год и однократном начислении процентов.

В случае краткосрочных ссуд со сроком погашения до одного года в качестве показателя п берется величина, характеризующая удельный вес длины подпериода (дни, месяц, квартал, полугодие) в общем периоде (год). Длина различных временных интервалов в расчетах может округляться: месяц - 30 дней; квартал - 90 дней; полугодие - 180 дней; год-360 (или 365, 366) дней.

Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. При применении простого процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или использования в других инвестиционных проектах или текущей деятельности.

В практике деятельности хозяйствующих субъектов часто встречаются финансовые контракты, предусматривающие не единичные выплаты в начале и в конце срока действия контракта, а ряды последовательных выплат. Самым наглядным примером такого денежного потока является кредит, получаемый одномоментно или поэтапно с обязательством погашать его в течение нескольких последовательных периодов заранее оговоренными частями, равными или неравными. Расчеты финансовых характеристик таких денежных потоков аналогичны рассмотренным, с той , разницей, что каждая из выплат рассматривается как отдельная и независимая от других. Наращенная или дисконтированная стоимость каждой выплаты определяется по указанным выше формулам, а их привезенные к одному моменту стоимости суммируются.

Формула сложных процентов является одной из базовых формул в финансовых вычислениях, поэтому для удобства расчетов часто пользуются специальными финансовыми таблицами, в которых табулированы значении мультиплицирующих множителей вида

и некоторых других.

Области применения схемы простых процентов

На практике многие финансовые операции выполняются в рамках одного года, при этом могут использоваться различные схемы и методы начисления процентов. В частности, большое распространение имеют краткосрочные ссуды, т.е. ссуды, предоставляемые на срок до одного года с однократным начислением процентов. Как отмечалось выше, в этом случае для кредитора, диктующего чаще всего условия финансового контракта, более выгодна схема простых процентов, при этом в расчетах используют промежуточную процентную ставку, которая равна доле годовой ставки, пропорциональной доле временного интервала в году.

F=P*(1+f*r) или F=P*(1+t/T*r),

где r- годовая процентная ставка в долях единицы;

t -продолжительность финансовой операции в днях;

T- количество дней в году;

f -относительная длина периода до погашения ссуды.

Для наглядности формулу можно записать следующим образом:

F=P*(1+t/T*r),

т.е. дробь r/T представляет собой дневную ставку, а произведение t*r/T -ставку за t дней.

Определяя продолжительность финансовой операции, принято день выдачи и день погашения ссуды считать за один день. В зависимости от того, чему берется равной продолжительность года (квартала, месяца), размер промежуточной процентной ставки может быть различным. Возможны два варианта:

* точный процент, определяемый исходя из точного числа дней в голу (365 или 366), в квартале (от 89 до 92), в месяце (от 28 до 31);

* обыкновенный процент, определяемый исходя из приближенного числа дней в году, квартале и месяце (соответственно 360, 90, 30).

При определении продолжительности периода, на который выдана ссуда, также возможны два варианта:

* принимается в расчет точное число дней ссуды (расчет ведется по дням);

* принимается в расчет приблизительное число дней ссуды (исходя из продолжительности месяца в 30 дней).

Для упрощения процедуры расчета точного числа дней пользуются специальными таблицами (одна - для обычного года, вторая -для високосного), в которых все дни в году последовательно пронумерованы. Продолжительность финансовой операции определяется вычитанием номера первого дня из номера последнего дня.

В том случае, когда в расчетах используется точный процент, береги и точная величина продолжительности финансовой операции; при использовании обыкновенного процента может применяться как точное, так и приближенное число дней ссуды. Таким образом, расчет может выполняться одним из трех способов:

* обыкновенный процент с точным числом дней (применяется в Бельгии, Франции);

* обыкновенный процент с приближенным числом дней (Германия, Дания, Швеция);

* точный процент с точным числом дней (Великобритания, США).

В практическом смысле эффект от выбора того или иного способа зависит от значительности суммы, фигурирующей в процессе финансовой операции. Но и так ясно, что использование обыкновенных процентов с точным числом дней, ссуды, как правило, дает больший результат, чем применение обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды.

Другой весьма распространенной операцией краткосрочного характера, для оценки которой используются рассмотренные формулы, является операция по учету векселей банком. В этом случае пользуются дисконтной ставкой. Одна из причин состоит в том, что векселя могут оформляться по-разному, однако чаще всего банку приходится иметь дело с суммой к погашению, т.е. с величиной FV. Схема действий в этом случае может быть следующей. Владелец векселя на сумму FV предъявляет его банку, который соглашается учесть его, т.е. купить, удерживая в свою пользу часть вексельной суммы, которая нередко также называется дисконтом. В этом случае банк предлагает владельцу сумму (PV), исчисляемую исходя из объявленной банком ставки дисконтирования (d). Очевидно, что чем выше значение дисконтной ставки, тем большую сумму удерживает банк в свою пользу. Расчет предоставляемой банком суммы ведется по формуле, являющейся следствием формулы

PV=FV*(1-f*d) или PV=FV*(1-t/T*d),(1)

где f - относительная длина периода до погашения ссуды (отметим, что операция имеет смысл, когда число в скобках неотрицательно)

Можно выполнить и более глубокий факторный агнализ. Дело в том, что доход банка при учете векселей складывается из двух частей - процентов по векселю, причитающихся за время, оставшееся до момента погашения векселя, и собственно комиссионных за предоставленную услугу.

Как уже упоминалось выше, теоретическая дисконтная ставка меньше процентной. Однако на практике, устанавливая дисконтную ставку, банк, как правило, повышает ее в зависимости от условий, на которых выдан вексель, риска, связанного с его погашением, комиссионных, которые банк считает целесообразным получить за оказанную услугу, и т.п. Поскольку величина процентов по векселю за период с момента учета до момента погашения предопределена, банк может варьировать лишь размером комиссионных путем изменения учетной ставки. Прежде чем рассмотреть простейший пример, изложим логику факторного анализа дохода банка в этом случае.

Введем следующие обозначения:

PV- стоимость векселя в момент его оформления;

P1- теоретическая стоимость векселя в момент учета;

P2- предлагаемая банком сумма в обмен на вексель;

FV- стоимость векселя к погашению;

Д0 - общий доход банка от операции.

Из формул видно, что функции

РV =f(t) и FV =g(t)

являются линейными относительно t, т.е. процессы перехода PV>FV и FV>PV, а также структура факторного разложения при учете векселей могут быть представлены графически следующим образом

Скорость наращения стоимости векселя, т.е. крутизна наклона прямой PVFV, зависит от уровня процентной ставки r, согласованной между векселедателем и векселедержателем. По мере приближения срока погашения векселя его теоретическая стоимость постоянно возрастает на сумму причитающихся за истекший период процентов, таким образом, в момент учета ввекселя она составит величину P1. .Таким образом, учитывать вексель в банке,его владелец теоретически мог бы рассчитывать на сумму P1, а факт ее получения означал бы, что с момента учета векселя кредитором векселедателя фактически становится банк. Вряд ли такое положение устраивает менеджеров биоса, поскольку неочевидно, что заложенная в векселе доходность в размере ставки r будет привлекательна для банка. Именно поэтому предлагаемая банком сумма Р2 исходи из стоимости векселя к погашению и предлагаемой банком дисконтной ставки, в принципе, не связанной со ставкой r, в подавляющем большинстве случаев меньше теоретической стоимости векселя. Разность

Дс=Р1 - Р2

представляет собой сумму комиссионных, получаемых банком за услугу, оказываемую векселедержателю. С позиции последнего эта сумма представляет собой затраты, т.е. плату за возможность более быстрого получения наличных. Помимо комиссионных банк получает также проценты за период с момента учета до момента погашения векселя, сумма которых рассчитывается по формуле:

Др = FV - P1.

Таким образом, общий доход банка от операции составит:

Д0 = Дp + Дс = FV - Р2.

Отметим, что реальные потери векселедержателя составляют величину

Дс = Р1 - Р2,

а не сумму (FV-Р2), как это кажется на первый взгляд. Дело в том, что с момента учета векселя кредитором становится банк, поэтому ему и "передаются" проценты за оставшийся период.

Дисконтирование, осуществляемое по формуле (1), называется банковским дисконтированием в отличие от математического дисконтирования, являющегося процессом, обратным наращению первоначального капитала. При математическом дисконтировании решается задача хождения такой величины капитала P, которая через n лет при наращивании по простым процентам по ставке r будет равна Rn. Получим:

P= Rn /(1+n*r)

Где n необязательно целое число.

Внутригодовые процентные начисления

В практике финансовых операций нередко оговаривается не только величина годового процента, но и количество периодов начисления процентов. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процентов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки, по формуле:

Fn = P*(1+r/m)n*m

где r - объявленная годовая ставка;

т - количество начислений в году;

n - количество лет.

Таким образом, можно сделать несколько простых практических выводов:

* при начислении процентов: 12% годовых неэквивалентно 1% в месяц ;ла ошибка очень распространена среди начинающих бизнесменов);

* чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма.

Заметим, что для простых процентов такие выводы недействительны. Одно из характерных свойств наращения по простым процентам заключается в том, что наращенная сумма не изменяется с увеличением частоты начислений простых процентов.

Начисление процентов за дробное число лет

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов:

* по схеме сложных процентов:

Fn =P*(1+r)w+f

* по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов - для дробной части года):

Fn= P*(1+r)w (1+f*r)

где w- целое число лет;

f- дробная часть года.

Поскольку

f< 1, то (1 +f*r) > (1 + r)f,

следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы. Можно показать, что при малых r наибольшая величина разности достигается при f? 0,5.

Встречаются финансовые контракты, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем:

а) схема сложных процентов:



б) смешанная схема:

где w- целое число подпериодов в n годах;

f- дробная часть подпериода ;

m - количество начислений в году;

r - годовая ставка.

Непрерывное начисление процентов

Все рассмотренные ранее начисляемые проценты называются дискретными, поскольку их начисление осуществляется за фиксированный промежуток времени (год, квартал, месяц, день, даже час). Уменьшая этот промежуток (период начисления) и увеличивая частоту начисления процентов, в пределе можно перейти к так называемым непрерывным процентам.

Уже отмечалось, что в зависимости от частоты начисления процентов наращение суммы осуществляется различными темпами, причем с возрастанием частоты накопления сумма увеличивается. Максимально возможное наращивание осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала. Воспользуемся формулой:

Чтобы отличить непрерывную ставку от обычной (дискретной), вводят специальное обозначение непрерывной ставки -д и называют ее силой роста. Таким образом, формула для нахождения наращенной суммы за n лет при непрерывном начислении процентов принимает вид:

Fn=P*eд*n

где eд*n является множителем наращения, причем этой формулой пользуются и в тех случаях, когда n не является целым числом.

Как и следовало ожидать, приведенные расчеты подтверждают наличие прямой зависимости между частотой начисления процентов и накопленой суммой; последний столбец таблицы показывает, что с увеличением частоты начисления темп прироста накопленной суммы уменьшается.

Эффективная годовая процентная ставка

Различными видами финансовых контрактов могут предусматриваться различные схемы начисления процентов. Как правило, в этих контрактах оговаривается номинальная процентная ставка, обычно годовая. Эта ставка, во-первых, не отражает реальной эффективности сделки и, во-вторых, не может быть использована для сопоставлений. Для того чтобы обеспечить сравнительный анализ эффективности таких контрактов, необходимо выбрать некий показатель, который был бы универсальным для любой аемы начисления. Таким показателем является эффективная годовая процентная ставка rе, обеспечивающая переход от Р к Fn при заданных значениях этих показателей и однократном начислении процентов.

Общая постановка задачи может быть сформулирована следующим образом. Заданы исходная сумма Р, годовая процентная ставка (номинальная) r, число начислений сложных процентов m. Этому набору исходных величин в рамках одного года соответствует вполне определенное значение наращенной величины F1. Требуется найти такую годовую ставrу re, которая обеспечила бы точно такое же наращение, как и исходная схема, но при однократном начислении процентов, т.е. т = 1. Иными словами, схемы

{Р, F1 , r, m > 1} и {Р, F1 ,rе, т = 1}

должны быть равносильными.

Понимание роли эффективной процентной ставки чрезвычайно важно для аналитика финансовой службы предприятия. Дело в том, что прим-тис решения о привлечении средств, например, банковской ссуды на тех или иных условиях, делается чаще всего исходя из приемлемости предлагаемой процентной ставки, которая в этом случае характеризует относительные расходы заемщика. В рекламных проспектах непроизвольно идя умышленно внимание на природе ставки обычно не акцентируется, хоти подавляющем числе случаев речь идет о номинальной ставке, которая может весьма существенно отличаться от эффективной ставки.

Различие между двумя ставками может быть гораздо более разительным при заключении некоторых специальных кредитных договоров, например, при оформлении кредита на условиях добавленного процента[8,12]

6. Экономико-математические методы в экономическом анализе

6.1 Значение экономико-математических методов и их классификация

Термин экономико-математические методы понимается в свою очередь как обобщающее название комплекса экономических и математических научных дисциплин, объединенных для изучения социально-экономических систем и процессов.

Классификация экономико-математических методов. Суть экономико-математического моделирования заключается в описании социально-экономических систем и процессов в виде экономико-математических моделей. Экономико-математические методы следует понимать как инструмент, а экономико-математические модели - как продукт процесса экономико-математического моделирования. Рассмотрим вопросы классификации экономико-математических методов. Эти методы, как отмечено выше, представляют собой комплекс экономико-математических дисциплин, являющихся сплавом экономики, математики и кибернетики. Поэтому классификация экономико-математических методов сводится к классификации научных дисциплин, входящих в их состав. Хотя общепринятая классификация этих дисциплин пока не выработана, с известной степенью приближения в составе экономико-математических методов можно выделить следующие разделы:1.экономическая кибернетика: системный анализ экономики, теория экономической информации и теория управляющих систем;2. математическая статистика: экономические приложения данной дисциплины - выборочный метод, дисперсионный анализ, корреляционный анализ, регрессионный анализ, многомерный статистический анализ, факторный анализ, теория индексов и др.;3. математическая экономия и изучающая те же вопросы с количественной стороны эконометрия: теория экономического роста, теория производственных функций, межотраслевые балансы, национальные счета, анализ спроса и потребления, региональный и пространственный анализ, глобальное моделирование и др.;4. методы принятия оптимальных решений, в том числе исследование операций в экономике. Это наиболее объемный раздел, включающий в себя следующие дисциплины и методы: оптимальное (математическое) программирование, в том числе методы ветвей и границ, сетевые методы планирования и управления, программно-целевые методы планирования и управления, теорию и методы управления запасами, теорию массового обслуживания, теорию игр. теорию и методы принятия решений. теорию расписаний. В оптимальное (математическое) программирование входят в свою очередь линейное программирование, нелинейное программирование, динамическое программирование, дискретное (целочисленное) программирование, дробно-линейное программирование, параметрическое программирование, сепарабельное программирование, стохастическое программирование, геометрическое программирование; Эти методы и дисциплины, специфичные отдельно как для централизованно планируемой экономики, так и для. рыночной (конкурентной) экономики.

К первым можно отнести теорию оптимального функционирования экономики, оптимальное планирование, теорию оптимального ценообразования, модели материально-технического снабжения и др.

Ко вторым - методы, позволяющие разработать модели свободной конкуренции, модели капиталистического цикла, модели монополии, модели индикативного планирования, модели теории фирмы и т. д. Многие из методов, разработанных для централизованно планируемой экономики, могут оказаться полезными и при экономико-математическом моделировании в условиях рыночной экономики; Это методы экспериментального изучения экономических явлений. К ним относят, как правило, математические методы анализа и планирования экономических экспериментов, методы машинной имитации (имитационное моделирование), деловые игры. Сюда можно отвести также и методы экспертных оценок, разработанные для оценки явлений, не поддающихся непосредственному измерению. 11,15

6.2 Применение экономико-математических методов в анализе

Математические методы и модели стали широко применяться в экономике труда и управлении персоналом на рубеже 1950-60-х гг., когда в отечественной экономической науке возникло направление оптимального функционирования народного хозяйства. Наиболее интересные результаты, имеющие практическое значение, были получены при моделировании производительности труда, дифференциации заработной платы и др. Проведенные исследования показали, что экономико-математические методы дают возможность более глубоко проникнуть в сущность социально-экономических процессов, позволяя тем самым полнее изучить закономерности поведения субъектов рынка труда.

Экономико-математическое моделирование социально-трудовых показателей сопровождалось широким применением автоматизированных система управления трудом (АСУ-труд). АСУ-труд представляла собой новую форму организации управления человеческим ресурсами, состоящую из человеко-машинных технологий обработки информации.

Успешное применение экономико-математических методов во многом определяется совокупностью показателей, описывающих изучаемый процесс. Используемые в экономике труда показатели получили название трудовых. Управление персоналом опирается в основном на социальные индикаторы. Так как трудовая деятельность не отделима от работника, то для комплексной ее характеристики используются социально-экономические показатели. Как известно, любой социально-экономический показатель с точки зрения информационных технологий должен включать в себя наименование и дополнительные признаки, уточняющие его содержание. Дополнительные признаки описывают единицу и период измерения, местонахождение объекта и т. п.

Анализ структуры показателей имеет определенное значение для их классификации. Каждый структурный элемент показателя может выступать в качестве признака группировки совокупности показателей.

Социально-трудовые показатели, рассматриваемые с информационной точки зрения, можно определить как понятия, отображающие размеры и количественные соотношения признаков, характеризующих трудовой потенциал работников, занятость населения и безработицу, эффективность, организацию и условия труда, его материальное и моральное стимулирование и др. Поскольку задачи моделирования в экономике труда и управлении персоналом многообразны, то необходимы комплексы социально-трудовых показателей, которые бы всесторонне описывали количество и качество трудовых ресурсов, условия производственного потребления рабочей силы и размеры безработицы, организацию оплаты труда, социально-экономическую эффективность использования трудового потенциала и др.

Вместе с тем достижение стратегической цели любой организации труда - оптимально высокий в данный конкретный период уровень производительности труда - позволяет упорядочить всю совокупность социально-трудовых показателей, т. е. рассматривать их как систему. Исходя из проблем, изучаемых экономикой труда и управлением персоналом, можно построить различные системы социально-трудовых показателей. Однако между ними должна достигаться взаимная увязка с точки зрения целей функционирования рынка труда.

Социально-трудовые показатели делятся на две основные группы: аналитические и плановые. Последние в свою очередь делятся на директивные и расчетные. Замена командных методов управления рыночными существенно трансформирует организацию планирования, вносит принципиальные изменения в систему плановых показателей. Они превращаются в своеобразные лимиты и нормативы, которые разрабатывают сами предприятия и фирмы. Причем от степени их обоснованности в нестабильных условиях развития современной России зависит во многом само существование предприятий. Экономико-математическое моделирование позволяет в этих условиях повысить оперативность и надежность управления путем широкого использования разнообразных нормативных моделей.