Управление финансово-экономической деятельностью предприятия "Шахта "Павлоградская" на основе экономико-математического моделирования

Так как корреляционная связь практически отсутствует, то объясняющая переменная незначительно определяет вариации результата у.

Анализируя значение показателя эластичности можно сделать вывод, что при увеличении проходки на 1%, нагрузка на лаву увеличится на 0,000097%.

Оценим линейный коэффициент корреляции, т.к. он равняется 0,00001, то , характер связи прямой, значит при увеличении проходки, нагрузка на лаву увеличится на 0,0001 %.

R2 = 0,000000015, поэтому нагрузка на лаву изменится на 0,0000015% при изменении проходки на 1 метр, 99,999999985% - влияние других факторов.

Так как b = 0,000081, то при увеличении проходки на 1 метр, нагрузка на лаву увеличится на 0,000081 тонн.

Описанным выше способом проанализируем взаимосвязь показателей себестоимости и объемов реализации угольной продукции за 2008 год (таблица 3.3).

Таблица 3.3 - Взаимосвязь показателей себестоимости и объемов реализации угольной продукции за 2008 год.

	N	x	y	x2	y2	x*y	y^	(y^-y)2
1	2	3	4	5	6	7	8	9
янв.03	12	122,96	47,919	15119,162	2296,2306	5892,1202	58,883974	120,23065
фев.03		117,61	54,839	13832,112	3007,3159	6449,6148	63,93728	82,778695
мар.03		132,75	42,786	17622,563	1830,6418	5679,8415	49,636896	46,934779
апр.03		135,26	42,14	18295,268	1775,7796	5699,8564	47,266093	26,276828
май.03		105,53	58,921	11136,581	3471,6842	6217,9331	75,347361	269,82534
июн.03		119,62	70,271	14308,944	4938,0134	8405,817	62,038748	67,769973
июл.03		110,79	76,821	12274,424	5901,466	8510,9986	70,379064	41,498537
авг.03		91,03	81,894	8286,4609	6706,6272	7454,8108	89,043237	51,111592
сен.03		117,43	72,365	13789,805	5236,6932	8497,822	64,107298	68,18965
окт.03		106,63	78,031	11369,957	6088,837	8320,4455	74,308364	13,858021
ноя.03		114,78	79,619	13174,448	6339,1852	9138,6688	66,610337	169,22531
дек.03		115,79	81,609	13407,324	6660,0289	9449,5061	65,656348	254,48709
		1390,18	787,215	162617,05	54252,503	89717,435	787,215	1212,1865
		115,84833	65,60125	13551,421	4521,0419	7476,4529	65,60125	101,01554

Результаты расчетов с помощью встроенной функции ЛИНЕЙН(…)и методом наименьших квадратов идентичные (таблица 3.3). Поэтому, линейное уравнение регрессии имеет вид: y = 175,025 - 0,94 x.

X =	115,84833		y =	65,60125
x 2 =	13420,836		y 2 =	4303,524
Sx =	11,427352		Sy =	14,748489
r =	-0,731846		r2 =	0,535599
a =	175,025		b =	-0,944543
Sr =	0,2154997		Sост =	11,009934
Sa =	32,377322		Sb =	0,2781304
tr =	3,396044		ta =	5,40579	tb =	3,396044
V1 =	1		V2 =	10
F =	11,533115		Э у(х) =	-1,668013

Расчет линейного уравнения регрессии с использованием функции ЛИНЕЙН(…)

-0,944543	175,025
0,2781304	32,377322
0,535599	11,009934
11,533115	10
1398,0286	1212,1865

Расчетные значения tr и tb больше табличного значения (tтаб = 2,23), поэтому коэффициент корреляции и коэффициенты линейного уравнения регрессии значимые. Так как расчетное значение статистики Фишера для линейного уравнения больше табличного (F (10;8;0.05) = 1.53), то линейное уравнение регрессии адекватно описывает зависимость y от x. Значение ta не имеет большого значения, так как а - свободный член уравнения регрессии.

Так как корреляционная связь сильная, то объясняющая переменная значительно определяет вариации результата у.

Анализируя значение показателя эластичности можно сделать вывод, что при увеличении себестоимости угольной продукции на 1%, объем реализации уменьшится на 1,66%.

Оценим линейный коэффициент корреляции, т.к. он равняется -0,73, то , характер связи обратный, значит при увеличении себестоимости угольной продукции, объем реализации уменьшится.

R2 = 0,54, поэтому объем реализации изменится на 54% при изменении себестоимости. 46% - влияние других факторов.

Так как b = -0,94, а а= 175,025 то при увеличении себестоимости продукции на 1 грн., объем реализации угольной продукции шахты «Павлоградская уменьшится на 175,025 тыс.т/мес.

3.3 Математические методы в прогнозировании. Цель, типы и способы прогнозирования

Во всех отраслях и сферах хозяйственной деятельности приходится постоянно принимать управляющие решения, последствия которых проявятся в будущем. Можно с уверенностью утверждать, что любое такое решение основывается на том или ином способе предвидения. Одним из способов предвидения при принятии хозяйственных решений является прогнозирование.

Прогнозирование -- это научная деятельность, направленная на выявление и изучение возможных альтернатив будущего развития и структуры его вероятных траекторий. Каждая альтернативная траектория развития связывается с наличием комплекса внешних относительно исследуемой системы (явления) условий. [12]

Под прогнозированием в экономике понимается научное определение вероятных путей и результатов предстоящего развития экономической системы, оценку показателей, характеризующих это развитие в течении более или менее отдаленного будущего.

Таким образом, цель экономического прогнозирования -- предсказание (предвидение) будущих последствий хозяйственных решений, принимаемых в текущий момент времени.

Задачи, решаемые на основе экономических прогнозов, зависят от масштабов и характера деятельности организации. Если это задачи, например, разработки годового регионального или государственного бюджета, то, очевидно, необходимо иметь прогнозы темпов инфляции, объемов поступления налоговых средств и т. д. Если это промышленное предприятие, то такими задачами могут являться определение ассортимента выпускаемой продукции в зависимости от прогнозов на платежеспособный спрос; расширение или свертывание производства в зависимости от прогнозов общеэкономической конъюнктуры и т. п. В любом случае результаты прогнозов всегда лежат в основе планов предстоящей хозяйственной деятельности.

Классифицируют прогнозы по функциональному признаку, т. е. По назначению, и по длительности периода прогнозирования. [12]

По функциональному признаку прогнозы делят на стратегические, ориентированные на обеспечение разработки бизнес-планов хозяйственной деятельности, и на оперативные, предназначенные для обеспечения разработки текущих планов производственной деятельности фирмы..

По временному признаку различают краткосрочные, среднесрочные и долгосрочные прогнозы. Под краткосрочными прогнозами обычно понимают прогнозы на периоды времени меньшие года. Под среднесрочными -- от года до двух-трех лет, под долгосрочными -- на более длительные сроки. Однако необходимо помнить, что градация прогнозов по временному фактору существенно зависит от вида деятельности организации, которая занимается прогнозированием. Например, при спекулятивной работе с ценными бумагами долгосрочным прогнозом будет прогноз на несколько дней вперед, а при стратегическом прогнозировании перспективных направлений развития генной инженерии в качестве периода долгосрочного прогноза, очевидно, будет выступать срок порядка десятков лет. [12]

3.3.1 Методы прогнозирования

К числу основных методов прогнозирования относятся:

§ метод Дельфи;

§ регистрационный метод;

§ метод статистического анализа

§ комбинированный метод.

Метод Дельфи основан на обработке субъективных мнений -- экспертных оценок специалистов, занятых в интересующей сфере деятельности.

Регистрационный метод основан на анализе постоянно печатающихся в периодике данных деловой активности.

Метод статистического анализа базируется на использовании ретроспективных данных.

Комбинированный метод предполагает совокупное использование всех вышеназванных способов прогнозирования

Методы прогнозирования могут основываться на предположении о предстоящих качественных изменениях системы или сохранении в будущем существующих закономерностей развития. Для долгосрочных прогнозов используются экспертные и логические методы, а для краткосрочных и среднесрочных прогнозов - методы экстраполяции. [13]

Экспертные методы прогнозирования опираются на методы качественного оценивания систем. Но более часто используются разновидности метода Дельфи и метод сценариев в сочетании со статистическими методами.

Логические методы прогнозирования основываются на проведении аналогии функционирования рассматриваемой системы с историей функционирования какой-либо другой системы.

Методы экстраполяции относятся к аналитическим метода прогнозирования состояния систем. Примером экстраполяции служит прогнозирование значений какой-либо величины по имеющимся табличным данным. В качестве исходной информации при этом берутся временные ряды динамики параметров системы - набор наблюдений некоторых числовых характеристик параметров системы, взятых в равноотстоящие или неравноотстоящие моменты времени за определенный период. [13]

В основе методов экстраполяции лежит понятие интерполирования. Известно, что интерполированием называется процесс вычисления промежуточных значений функции на основании заданного ряда значений этой функции. В широком смысле слов; интерполирование - это представление некоторой функции известного или неизвестного вида, ряд значений которой при определенных значениях независимой переменной задан, при помощи другой, более простой функции.

Пусть будет функцией, заданной рядом значений которые она принимает при значениях независимой переменной х, и пусть обозначает произвольную более простую функцию, принимающую для те же самые значения, что и . Замена в пределах данного интервала на и есть интерполирование.

Формула , которая при этом получается для вычисления значений у, называется интерполяционной формулой.

Функция может иметь различный вид. Когда есть полином, процесс замещения через называется параболическим, или полиномиальным, интерполированием. Когда есть тригонометрический полином, процесс называется тригонометрическим интерполированием. Функция может быть также составлена из показательных функций, полиномов Лежандра, функций Бесселя и т.д. В практических задачах в качестве выбирается простейшая функция, могущая заменить данную функцию на рассматриваемом интервале. Так как самой простой функцией является полином, почти все основные интерполяционные функции являются полиномиальными. В случае когда известно, что данная функция периодична, лучше заменить ее тригонометрическим полиномом. [13]

Теоретическое обоснование замены данной функции полиномом или тригонометрическим полиномом опирается на две замечательные теоремы, доказанные Вейерштрассом в 1885 г. Эти теоремы можно сформулировать так.

Теорема 1. Любая непрерывная в интервале (а, b) функция может быть заменена в нем с любой степенью точности полиномом. Другими словами, можно найти такой полином Р(х), что для каждого значения x в интервале (а, b), причем ? есть любая положительная величина.

Теорема 2. Любая непрерывная с периодом 2? функция может быть заменена тригонометрическим полиномом вида

(3.4)

так, что для каждого значения х в рассматриваемом интервале, причем ? есть любая положительная величина. Геометрический смысл этих теорем состоит в том, что если нанести графики функций , и , то можно найти многочлен или тригонометрический многочлен, график которого будет находиться внутри области, ограниченной кривыми и при всех значениях х между а и b, как бы мало ни было ?.[13]

При таком представлении процесса интерполирования становится понятно, что экстраполирование - это процесс вычисления значения функции, находящегося за пределами ряда заданных значений.

Экстраполирование нужно применять с осторожностью. Но если известно, что функция около концов данного ряда значений изменяется плавно, и если ?х берется достаточно малым, то можно спокойно экстраполировать на расстояние ?х за пределами ряда имеющихся значений.

Для проведения интерполирования существует ряд формул рассматриваемых в численных методах математического анализа. При их применении в прогнозировании следует учитывать что если число точек неограниченно возрастает то интерполирующий полином превращается в бесконечный ряд. Называемый интерполяционным рядом. И подобно тому как степенной ряд сходится внутри и расходится во вне некоторого определенного интервала, так и интерполяционный ряд сходится к заданной функции внутри некоторого интервала и перестает к ней сходиться вне его.[13]

Поскольку увеличение периода упреждения прогноза ?х влечет за собой увеличение степени неопределенности процессов развития системы, то в методах экстраполяции выделяют статистические методы.

Прогнозирование, основанное на использовании методов статистического анализа ретроспективных данных, допустимо в том случае, когда между прошлым и будущим имеется определенная причинно-следственная связь. Можно утверждать, что анализ ретроспективных данных служит надежной основой для принятия решений относительно будущих хозяйственных действий, однако не следует забывать, что прогностические оценки, полученные методом статистического анализа, подлежат корректировке в случае, если известны те или иные факторы, влияние которых с той или иной вероятностью ожидается в будущем.

Наиболее характерной задачей прогнозирования, которая решается в каждой фирме, является задача прогнозирования спроса на товары или услуги фирмы. Для решения этой задачи необходимо предварительное изучение рынков сбыта маркетинговыми исследованиями, которые и поставляют необходимую статистическую информацию для применения методов статистического анализа при разработке прогнозов. [13]

Алгоритм построения прогноза методом статистического анализа состоит из следующих шагов:

§ строится график зависимости спроса от времени;

§ на основе визуального изучения графика делается предположение об аналитической форме кривой, которая наилучшим образом способна аппроксимировать ломаную на графике;

§ применяется метод наименьших квадратов для построения прогнозирующей кривой;

§ оценивается среднее значение погрешности полученных прогнозных оценок;

§ принимается решение об использовании или не использовании
выбранной кривой для построения прогноза.

Наиболее часто употребимым методом построения прогнозирующей функции является метод наименьших квадратов.[13]

Метод наименьших квадратов позволяет подобрать некоторую непрерывную аналитическую функцию для аппроксимации дискретного набора исходных данных. Выбор функции считается наилучшим, если сведено к минимуму стандартное отклонение по рассматриваемой временной выборке, которое определяется по формуле:

(3.5)

где -- фактический спрос, наблюдаемый в t-й период (отрезок) времени;

-- значение прогнозирующей функции для того же момента

времени;

п -- число периодов (наблюдений), т. е. Длина временной выборки;

f - число степеней свободы.

Суммирование ведется по всей выборке, поэтому, как это принято в статистике, нижний и верхний индексы суммирования опущены.

Минимизация эквивалентна минимизации . Поэтому задача сводится к минимизации суммы квадратов разностей между фактическим значением спроса в момент t и тем значением, которое принимает прогнозирующая функция.

Наиболее часто для построения прогнозирующей функции используют линейную функцию , параболу , гиперболу , многочлены более высоких порядков.

Статистические методы прогнозирования опираются на теорию вероятностей, математическую статистику и теорию случайных процессов.

К статистическим методам прогнозирования относят:

методы многофакторного анализа (регрессионные модели, адаптивное сглаживание, метод группового учета аргументов, имитационные модели, многомерная фильтрация и др.);

методы однофакторного прогнозирования (экспоненциальное сглаживание, метод скользящего среднего, метод разностных уравнений, спектральные методы, метод марковских цепей, оптимальные фильтры, сплайн-функции, метод авторегрессии и др.). [13]

3.3.2 Прогнозирование на основе тренда и колеблемости

Прогнозирование возможных значений признаков изучаемого объекта -- одна из основных задач науки. В ее решении роль статистических методов очень значительна. Одним из них является расчет прогнозов на основе тренда и колеблемости динамического ряда до настоящего времени. Если мы будем знать, как быстро и в каком направлении изменились уровни какого-то признака, то сможем узнать, какого значения достигнет уровень спустя известное время. Методика статистического прогноза по тренду и колеблемости основана на их экстраполяции, т.е. на предположении, что параметры тренда и колебаний сохраняются до прогнозируемого периода. Такая экстраполяция справедлива, если система развивается эволюционно в достаточно стабильных условиях. Чем крупнее система, тем выше вероятность сохранения параметров ее изменения, конечно, на срок не слишком большой. Обычно рекомендуют, чтобы срок прогноза не превышал 1/3 длительности базы расчета тренда. [12]

В отличие от прогноза на основе регрессионного уравнения прогноз по тренду учитывает факторы развития только в неявном виде, и это не позволяет «проигрывать» разные варианты прогнозов при разных возможных значениях факторов, влияющих на изучаемый признак. Зато прогноз по тренду охватывает все факторы, в то время как в регрессионную модель невозможно включить в явном виде более 10--20 факторов в самом лучшем случае.

Прежде чем применить методы математического анализа для вычисления параметров уравнения тренда, необходимо выявить тип тенденции, а эта задача не является чисто математической. Наличие колебаний уровней крайне усложняет выявление типа тенденции и требует всестороннего подхода к этой проблеме, качественного изучения характера развития объекта. При этом нужно дать ответы на такие вопросы: [12]

Были ли условия для развития объекта достаточно однородными в изучаемый период?

Каков характер действия основных факторов развития?

Не произошло ли качественное, существенное изменение условий развития объекта внутри изучаемого периода времени?

Если, например, часть периода предприятие работало по старой технологии, а затем произошло техническое перевооружение -- введены новые цехи, поточные линии, то единой тенденции показателей за весь период не будет, скорее всего нужна «периодизация» ряда, т.е. его дробление на отдельные подпериоды: до реконструкции, во время таковой (если она длительна) и после освоения новой технологии.

Чем крупнее изучаемая система, чем больше факторов влияют на динамику изучаемого признака, тем реже возможны резкие, скачкообразные изменения в ряду динамики (не колебания, а именно изменения в тенденции). Большие и сложные системы обладают значительной инерцией, и для скачкообразного, резкого изменения тенденции такой системы требуются большие затраты ресурсов, которые общество выделить не в состоянии. Поэтому такое коренное изменение в экономике, как переход от командно-административного планирования хозяйства к рыночной регулируемой экономике, в масштабе нашей страны неизбежно займет достаточно большое время, за которое сформируются новые тенденции народно-хозяйственных показателей. Для того чтобы разглядеть эти новые тенденции, понадобится время. [12]

Напротив, в масштабе отдельных предприятий вполне возможны резкие изменения, переходы от одной тенденции к другой

Рассмотрим некоторые основные типы уравнений тренда, выражающие те или иные качественные свойства развития.

4 Линейная форма тренда:

(3.6)

Линейный тренд хорошо отражает тенденцию изменений при действии множества разнообразных факторов, изменяющихся различным образом по разным закономерностям. Равнодействующая этих факторов при взаимопогашении особенностей отдельных факторов (ускорение, замедление, нелинейность) часто выражается в примерно постоянной абсолютной скорости изменения, т.е. в прямолинейном тренде. Таковы, например, тенденции динамики урожайности для масштаба области, республики, крупного региона, страны в целом.

2. Параболическая форма тренда:

(3.7)

Параболическая форма тренда выражает ускоренное или замедленное изменение уровней ряда с постоянным ускорением. Такой характер развития можно ожидать при наличии важных факторов прогрессивного развития (прогрессирующее поступление нового высокопроизводительного оборудования, увеличение среднесуточного прироста живого веса поросят с возрастом и т.п.). Ускоренное возрастание может происходить в период после снятия каких-то сдерживающих развитие преград -- ограничений в распределении дохода, в уровне оплаты труда, при повышении цены на дефицитную продукцию. [12]

Параболическая форма тренда с отрицательным ускорением приводит со временем не только к приостановке роста уровня, но и к его снижению со все большей скоростью. Такой характер развития может быть свойствен производству устаревшей продукции, ликвидируемой отрасли сельского хозяйства на предприятии (ферме) и т.п.

Парабола 2-го порядка (квадратическая) имеет либо максимум (если а2 < 0 и а1 > 0), либо минимум (а1< 0, а2> 0). Для нахождения экстремума производную параболы по времени следует приравнять нулю и решить полученное уравнение относительно 1.

5 Экспоненциальная форма тренда:

(3.8)

где c и b -- константы,

e -- основание натурального логарифма.

6 Логарифмическая форма тренда:

(3.9)

где c и b -- константы,

ln -- функция натурального логарифма

Логарифмический тренд пригоден для отображения тенденции замедляющегося роста уровней при отсутствии предельно возможного значения. Замедление роста становится все меньше и меньше, и при достаточно большом логарифмическая кривая становится малоотличимой от прямой линии. Логарифмический тренд пригоден для отображения роста спортивных достижение (чем они выше, тем труднее их улучшать), роста производггельности агрегата по мере его освоения и совершенствованы, повышения продуктивности скота или эффективности системы при ее совершенствовании без качественных, коренных преобразований. Экстремума логарифмическая кривая не имеет.

7 Тренд в форме степенной кривой:

(3.10)

где c и b-- константы.

Степенная форма -- гибкая, пригодная для отображения изменений с разной мерой пропорциональности изменений во времени. Жестким условием является обязательное прохождение через начало координат.

6. Гиперболическая форда тренда:

(3.11)

Если а1 > 0, гиперболиче:кий тренд соответствует тенденции замедляющегося снижения уровня, стремящегося к пределу а. Если а1< 0, тренд выржает тенденцию замедляющегося роста уровней, стремящихся в пределу а. Следовательно, гиперболическая форма тренда подходит для отображения тенденции, процессов, ограниченных предельным значением уровня (предельным коэффициентом полезного действия двигателя, пределом 100%-ной грамотности населения и т.п.). [13]

После теоретического исследования особенностей разных форм тренда необходимо обратиться к фактическому ряду динамики, тем более что далеко не всегда можно надежно установить, какой должна быть форма тренда из чисто теоретических соображений. По фактическому динамическому ряду тип тренда устанавливают на основе графического изображения, путем осреднения показателей динамики, на основе статистической проверки гипотезы о постоянстве параметра тренда.

Более обоснованным приемом выявления тренда является проверка статистической гипотезы о постоянстве того или иного показателя динамики.

Методика анализа и прогнозирования тоже имеет значение. Она определяет степень полноты извлечения информации, содержащейся в исходном ряду динамики. С помощью методики многократного выравнивания удается более полно извлечь информацию о тренде и уменьшить среднюю ошибку прогноза его положения в прогнозируемом периоде. Однако главной составляющей ошибки прогноза конкретного уровня в расчете является не ошибка прогноза положения тренда, а колеблемость уровней около тренда. Поэтому ошибка прогноза конкретного уровня незначительно сократилась за счет многократного выравнивания. При слабой колеблемости уровней и прогнозировании на значительное удаление от базы главную роль станет играть ошибка положения тренда. Тогда многократное выравнивание даст значительное сокращение средней ошибки прогноза конкретных уровней. Но в любом случае эта ошибка всегда больше показателя колеблемости уровней -- среднего квадратического отклонения.

При выборе прогнозирующей функции предпочтение отдается той аналитической форме, которая обеспечивает минимальное из стандартных отклонений как погрешность оценки аппроксимации. Поэтому если нет уверенности, что тот или иной вид прогнозирующей функции заведомо предпочтительнее других, то следует испытать несколько различных форм прогнозирующей функции и выбрать наилучшую в соответствии с критерием минимизации стандартного отклонения. [13]

Для прогноза финансово-экономического состояния шахты «Павлоградская» проанализируем цены на готовую угольную продукцию за предыдущие 2007-2008 годы и составим прогноз на краткосрочный период времени.

Таблица 3.4 - Цены на готовую угольную продукцию за предыдущие 2007-2008 годы.

T	Цены на готовую угольную продукцию 2007-2008 гг тыс грн	Цены на готовую угольную продукцию 2007-2008 гг грн	3-х членные скользящие суммы	3-х членные скользяшие средние
янв.02	0,0833424	83,34
фев.02	0,07864681	78,65	249,65	83,22
мар.02	0,08765986	87,66	230,03	76,68
апр.02	0,06372428	63,72	232,33	77,44
май.02	0,08094794	80,95	228,78	76,26
июн.02	0,08410848	84,11	265,99	88,66
июл.02	0,10093147	100,93	284,70	94,90
авг.02	0,09966208	99,66	305,25	101,75
сен.02	0,10466124	104,66	309,57	103,19
окт.02	0,10525147	105,25	314,05	104,68
ноя.02	0,10414014	104,14	311,52	103,84
дек.02	0,10212587	102,13	310,65	103,55
янв.03	0,10438519	104,39	312,70	104,23
фев.03	0,10619286	106,19	323,98	107,99
мар.03	0,11340058	113,40	336,43	112,14
апр.03	0,11683971	116,84	345,15	115,05
май.03	0,11490646	114,91	347,79	115,93
июн.03	0,11604233	116,04	351,20	117,07
июл.03	0,1202473	120,25	337,92	112,64
авг.03	0,1016265	101,63	343,88	114,63
сен.03	0,12200659	122,01	336,67	112,22
окт.03	0,11304036	113,04	354,53	118,18
ноя.03	0,11948013	119,48	352,43	117,48
дек.03	0,11991451	119,91

Среднее значение цены за 2007 год составило 91,27 грн. За тонну готовой угольной продукции, а среднее значение цены за 2008 год составило 114,01 грн. Таким образом разница в среднегодовой цене составила 22,74 грн. И можно говорить о том что наблюдается тенденция постоянного роста цены. Поскольку диапазон колебания цен в рассматриваемый период достаточно велик (от 63,72 грн. В апреле 2007 года до 122,01 грн. В сентябре 2008 года), необходимо сгладить временной ряд скользящей средней.

Используя встроенную функцию СТАНДОТКЛОНП приложения EXCEL, находим стандартное отклонение скользящих средних и цен. Стандартное отклонение -- это мера того, насколько широко разбросаны точки данных относительно их среднего. Оно равно 13,65 грн. Для генеральной выборки скользящих средних и 15,22 грн. Для генеральной выборки цен. Функция СТАНДОТКЛОНП предполагает, что аргументы образуют всю генеральную совокупность. Стандартное отклонение вычисляется с использование «смещенного» или «n» метода.

Для того чтобы определить с определенным уровнем достоверности величину цены на готовую угольную продукцию определим величину доверительного интервала. Доверительный интервал -- это интервал с обеих сторон от среднего выборки. Для его вычисления используется функция ДОВЕРИТ. Доверительный интервал для среднего генеральной совокупности равняется 5,7 грн, т.е. при прогнозе величина цены может изменяться на 5,7 грн. В большую или меньшую стороны.

Для нахождения наиболее адекватного уравнения тренда используется инстумент «Подбор линии тренда» из мастера диаграмм Microsoft Excel. Результаты подбора уравнения приведены в таблице 3.5.

Таблица 3.5 - Результаты подбора уравнения линии тренда.

Вид уравнения	Уравнение	Коэффициент детерминации
Линейное	у =1,9714х+80,136	0,839
Логарифмическое	у =15,664 ln (x)+68,294	0,8492
Полином 2-го порядка	y = -0,1059x2 + 4,4062x + 70,396	0,9165
Полином 3-го порядка	y = -0,0013x3 - 0,0607x2 + 3,9817x + 71,299	0,9168
Полином 4-го порядка	y = 0,0014x4 - 0,0667x3 + 0,9206x2 - 1,3025x + 78,581	0,9295
Степенное	у =71,183х0,1625	0,8395
Экспоненциальное	у = 80,748е0,0202х	0,8065

Принимая во внимание физическую сущность изучаемого процесса и результаты проведенного аналитического выравнивания, в качестве математической модели тренда выбираем полином 3-го порядка. Таким образом развитие изучаемого признака происходит с переменным ускорением - развитие при переменном увеличении темпа прироста уровней временного ряда.

По выбранному тренду составляется прогноз, который вычисляется по следующим формулам:

=a0+a1(T+1)+a2(T+1)2+a3(T+1)3, (3.12)

= a0+a1(T+2)+a2(T+2)2+a3(T+2)3, (3.13)

= a0+a1(T+3)+a2(T+3)2+a3(T+3)3, (3.14)

где ai , i=1,2,3-оценки коэффициентов выбранного полиномиального тренда.

В результате проведенный вычислений получены следующие данные: в январе 2004 года цена на угольную продукцию шахты «Павлоградская» будет составлять 113,92 грн. (с учетом доверительного интервала от 108,21 до 119,631 грн. ), в феврале - 112,59 грн. (с учетом доверительного интервала от 106,88 до 118,297 грн. ), а в марте - 110,94 грн. (с учетом доверительного интервала от 105,23 до 116,64 грн. ). Таким образом, в первом квартале 2004 года намечается увеличение цен на продукцию шахты «Павлоградская».

Таким же образом проведем анализ и прогноз объема реализации угольной продукции за период 2007-2008 гг.

Таблица 3.6 - Анализ и прогноз объема реализации угольной продукции за период 2007-2008 гг.

T	Реализованная угольная продукция в 2007-2008 гг тонн	Реализованная угольная продукция в 2007-2008 гг тыс. тонн	3-х членные скользящие суммы	3-х членные скользяшие средние
1	2	3	4	5
янв.02	109140	109,14
фев.02	102849	102,85	277,72	92,57
мар.02	65729	65,73	222,19	74,06
апр.02	53607	53,61	163,90	54,63
май.02	44568	44,57	152,26	50,75
июн.02	54089	54,09	154,46	51,49
июл.02	55802	55,80	175,41	58,47
авг.02	65521	65,52	195,15	65,05
сен.02	73826	73,83	207,94	69,31
окт.02	68591	68,59	203,58	67,86
ноя.02	61158	61,16	192,26	64,09
дек.02	62510	62,51	171,59	57,20
янв.03	47919	47,92	165,27	55,09
фев.03	54839	54,84	145,54	48,51
мар.03	42786	42,79	139,77	46,59
апр.03	42140	42,14	143,85	47,95
май.03	58921	58,92	171,33	57,11
июн.03	70271	70,27	206,01	68,67
июл.03	76821	76,82	228,99	76,33
авг.03	81894	81,89	231,08	77,03
сен.03	72365	72,37	232,29	77,43
окт.03	78031	78,03	230,02	76,67
ноя.03	79619	79,62	239,26	79,75
дек.03	81609	81,61

Среднее значение объема реализации за 2007 год составило 68,12 тыс. тонн угольной продукции, а среднее значение объема реализации за 2008 год составило 65,6 тыс. тонн. Таким образом разница между среднегодовыми показателями объема реализованной продукции составила 2,51 тыс. тонн и можно говорить о том что наблюдается тенденция постоянного снижения объемов реализации. Поскольку диапазон колебания объемов реализации в рассматриваемый период достаточно велик (от 42,14 тыс. тонн в апреле 2008 года до 109,14 тыс. тонн в январе 2007 года), необходимо сгладить временной ряд скользящей средней.

Используя встроенную функцию СТАНДОТКЛОНП приложения EXCEL, находим стандартное отклонение скользящих средних и объема реализации. Оно равно 12,27 тыс. тонн для генеральной выборки скользящих средних и 16,8 тыс. тонн для генеральной выборки объемов реализованной продукции. Функция СТАНДОТКЛОНП предполагает, что аргументы образуют всю генеральную совокупность. Стандартное отклонение вычисляется с использование «смещенного» или «n» метода.

Для того чтобы определить с определенным уровнем достоверности величину объема реализации готовой угольной продукции определим величину доверительного интервала. Доверительный интервал для среднего генеральной совокупности равняется 5,13 тыс. тонн, т.е. при прогнозе величина объема реализации может изменяться на 5,13 тыс. тонн в большую или меньшую стороны.

Для нахождения наиболее адекватного уравнения тренда используется инстумент «Подбор линии тренда» из мастера диаграмм Microsoft Excel. Результаты подбора уравнения приведены в таблице 3.7.

Таблица 3.7 - Результаты подбора уравнения линии тренда.

Вид уравнения	Уравнение	Коэффициент детерминации
Линейное	у =0,35х-368,46	0,03
Логарифмическое	у=429,19 ln (x)-2990,76	0,03
Полином 2-го порядка	y = 0,2282x2 - 563,08x + 347398	0,4779
Полином 3-го порядка	y = -0,004x3 + 15,027x2 - 18831x + 7864612,31	0,48
Полином 4-го порядка	y = 0,0019x4 - 9,4232x3 + 17457x2 - 14373048,72x + 4437785509,43	0,51
Степенное	у =0,00х6,68	0,04
Экспоненциальное	у = 0,06е0,01х	0,04

Принимая во внимание физическую сущность изучаемого процесса и результаты проведенного аналитического выравнивания, в качестве математической модели тренда выбираем полином 3-го порядка. Таким образом развитие изучаемого признака происходит с переменным ускорением - развитие при переменном увеличении темпа прироста уровней временного ряда.

По выбранному тренду составляется прогноз на первый квартал 2004 года.

В результате проведенных вычислений получены следующие данные: в январе 2004 года объем реализации угольной продукции шахты «Павлоградская» будет составлять 83,9 тыс. тонн (с учетом доверительного интервала от 78,77 до 89,02 тыс. тонн ), в феврале - 94,75 тыс. тонн (с учетом доверительного интервала от 89,62 до 99,87 тыс. тонн ), а в марте - 100,1 тыс. тонн (с учетом доверительного интервала от 94,97 до 105,23 тыс. тонн ). Таким образом, в первом квартале 2004 года намечается увеличение объемов реализации шахты «Павлоградская».

Анализируя объем добычи угля шахтой «Павлоградская» в 2007-2008 гг. составляем расчетную таблицу.

Таблица 3.8 - Анализ объема добычи угля шахтой «Павлоградская» в 2007-2008 гг.

t	Добыча угля в 2007-2008 гг тонн	Добыча угля в 2007-2008 гг тыс. тонн	3-х членные скользящие суммы	3-х членные скользяшие средние
янв.02	116000	116,00
фев.02	112000	112,00	340,50	113,50
мар.02	112500	112,50	325,00	108,33
апр.02	100500	100,50	319,00	106,33
май.02	106000	106,00	309,50	103,17
июн.02	103000	103,00	315,00	105,00
июл.02	106000	106,00	325,00	108,33
авг.02	116000	116,00	338,00	112,67
сен.02	116000	116,00	336,00	112,00
окт.02	104000	104,00	335,00	111,67
ноя.02	115000	115,00	324,00	108,00
дек.02	105000	105,00	321,00	107,00
янв.03	101000	101,00	301,00	100,33
фев.03	95000	95,00	281,00	93,67
мар.03	85000	85,00	260,00	86,67
апр.03	80000	80,00	273,00	91,00
май.03	108000	108,00	293,00	97,67
июн.03	105000	105,00	328,00	109,33
июл.03	115000	115,00	338,00	112,67
авг.03	118000	118,00	349,00	116,33
сен.03	116000	116,00	349,00	116,33
окт.03	115000	115,00	348,20	116,07
ноя.03	117200	117,20	357,00	119,00
дек.03	124800	124,80
109,33	106,67	-2,67

Среднее значение добычи угля за 2007 год составило 109,33 тыс. тонн угольной продукции, а среднее значение добычи угля за 2008 год составило 106,67 тыс. тонн. Таким образом разница между среднегодовыми показателями добычи составила 2,67 тыс. тонн и можно говорить о том что наблюдается тенденция постоянного снижения объемов добычи. Поскольку диапазон колебания объемов добычи в рассматриваемый период достаточно велик (от 80 тыс. тонн в апреле 2008 года до 124,8 тыс. тонн в декабре 2008 года), необходимо сгладить временной ряд скользящей средней.

Используя встроенную функцию СТАНДОТКЛОНП приложения EXCEL, находим стандартное отклонение скользящих средних и показателей добычи. Оно равно 8,42 тыс. тонн для генеральной выборки скользящих средних и 10,32 тыс. тонн для генеральной выборки объемов добычи. Функция СТАНДОТКЛОНП предполагает, что аргументы образуют всю генеральную совокупность. Стандартное отклонение вычисляется с использование «смещенного» или «n» метода.

Для того чтобы определить с определенным уровнем достоверности величину объема реализации готовой угольной продукции определим величину доверительного интервала. Доверительный интервал для среднего генеральной совокупности равняется 3,52 тыс. тонн, т.е. при прогнозе величина объема реализации может изменяться на 3,52 тыс. тонн в большую или меньшую стороны.

Для нахождения наиболее адекватного уравнения тренда используется инстумент «Подбор линии тренда» из мастера диаграмм Microsoft Excel. Результаты подбора уравнения приведены в таблице 3.9.

Таблица 3.9 - Результаты подбора уравнения линии тренда.

Вид уравнения	Уравнение	Коэффициент детерминации
Линейное	у =0,1603х-90,871	0,0146
Логарифмическое	у=195,77 ln (x)-1286,5	0,0143
Полином 2-го порядка	y = 0,1341x2 - 330,97x + 204296	0,341
Полином 3-го порядка	y = 0,02x3 - 59,79x2 + 73647,59x - 30236921,19	0,49
Полином 4-го порядка	y = -0,0006x4 + 2,9797x3 - 5547,5x2 + 5E+06x - 1E+09	0,49
Степенное	у =0,0028х1,4801	0,0086
Экспоненциальное	у = 23,0795е0,0012х	0,0088

Принимая во внимание физическую сущность изучаемого процесса и результаты проведенного аналитического выравнивания, в качестве математической модели тренда выбираем полином 2-го порядка. Таким образом, развитие изучаемого признака происходит с переменным ускорением - развитие при переменном увеличении темпа прироста уровней временного ряда.

По выбранному тренду составляется прогноз на первый квартал 2004 года.

В результате проведенных вычислений получены следующие данные: в январе 2004 года объем добычи угля шахты «Павлоградская» будет составлять 120 тыс. тонн (с учетом доверительного интервала от 116,47 до 123,52 тыс. тонн ), в феврале - 125,6 тыс.тонн (с учетом доверительного интервала от 122,07 до 129,12 тыс. тонн ), а в марте - 132,6 тыс. тонн (с учетом доверительного интервала от 129,07 до 136,12 тыс. тонн ). Таким образом, в первом квартале 2004 года намечается увеличение объемов добычи угля на шахте «Павлоградская».

3.4 Общий случай математической постановки задачи оптимизации

Основной особенностью операционной методологии является поиск оптимального решения на базе математической модели и использование для ее анализа математического аппарата. Предшествующий построению математической модели всесторонний количественный анализ той или иной задачи оптимизации - неотъемлемая часть методологии исследования операций. Этот анализ осуществляется в соответствии с принципами системного подхода и предполагает выявление всех существенных элементов задачи и их взаимосвязей. [12]

Степень соответствия хода операции поставленной цели характеризуется достигаемым значением функционала:

W = F [x1(t), x2(t), … , xn(t)] - критерия оценки (показателя эффективности).

Процесс проектирования как операция имеет целью получение оптимального объекта проектирования, имеющего наилучшие возможные свойства: минимальный вес, минимальную стоимость, максимальную энерговооруженность, максимальную прибыль, минимальный срок окупаемости, минимум капиталовложений и т.п. В такой постановке создание оптимального объекта (например, системы управления производством) формализуется в виде задачи математического программирования, в которой критерий оценки отражает основную цель операции, а система ограничений обеспечивает выполнение всех требований к объекту проектирования. При этом автоматизированное проектирование оптимальных объектов и систем на основе математических методов с использованием компьютеров содержит две основные задачи:

1 разработка математической модели объекта проектирования, содержащей все основные технико-экономические требования к создаваемому объекту или системе (работоспособность, технологичность, допустимая стоимость и т.п.);

2 организация такого вычислительного процесса, который автоматизирует выполнение всех требований математической модели.

Операционная математическая модель представляет собой агрегат (совокупность) алгоритмов, описывающих функциональные свойства проектируемого объекта. Эта модель в пространстве фазовых координат, образованных гиперповерхностями входящих в модель ограничений, воспроизводит (синтезирует) образ проектируемого объекта, отвечающего всем технико-экономическим требованиям, предъявляемым в рамках данных конкретных задач проектирования. [12]

Качественная модель проектируемого объекта, представляющая собой словесное описание требований, обеспечивающих процесс функционирования конструкции на всех этапах ее существования, формируется на основании технического задания.

Каждое из требований, записанное в виде математических выражений (для аналитических моделей), графов или матриц (для топологических моделей) или семантических правил (для семантических моделей), устанавливает основные взаимосвязи оптимизируемых параметров:

* геометрические, позволяющие по полученным значениям искомых оптимизируемых параметров х1,х2,х3,…,хn, а также по совокупности параметров а1,а2,а3,…,аm, заданных в качестве исходной информации, воспроизвести объект с той степенью детализации, которая необходима проектировщику при решении данной конкретной задачи;

* энергетические, устанавливающие зависимость энергосиловых характеристик объекта от оптимизируемых параметров;

* механические, описывающие кинематические и динамические характеристики объекта (взаимное расположение узлов и деталей конструкции в процессе ее функционирования, внешние усилия, инерционные силы, силы трения, масса конструкции и т.п.);

* прочностные, обеспечивающие работоспособность конструкции в целом и отдельных ее узлов из условий прочности, жесткости, долговечности;

* конструкторско-технологические, описывающие специальные конструкторские требования, а также технологические ограничения;

* экономические, включающие в себя ограничения ресурсов проектной задачи, требования к сбыту, торговле, организационной системе. [13]

Ограничения обычно выражают определенные зависимости между переменными величинами, которые по своей сути могут быть теоретическими (формульными) и статистическими. Теоретические зависимости обычно справедливы при любых условиях и для их получения не требуется никаких дополнительных измерений. Однако на практике достаточно часто между параметрами модели нет известной функциональной зависимости.

Значения переменных, удовлетворяющие заданным граничным условиям и ограничениям, называют допустимым решением задачи. Иногда случается, что в задачу включаются противоречивые по смыслу требования, выполнить которые невозможно. Такая ситуация приводит к несовместным задачам, которые в планировании называют несбалансированными планами (когда нет и не может быть допустимых решений). Обычно же, если задача составлена правильно, то в общем случае она имеет набор допустимых решений. Чтобы из данного набора допустимых решений лицо, принимающее решение (ЛПР), могло выбрать одно наилучшее, необходимо договориться, как и по какому признаку его найти.

Наилучшего решения во всех смыслах быть не может, оно может быть наилучшим (оптимальным) только в одном, строго установленном смысле. ЛПР должно абсолютно точно представлять, в чем заключается оптимальность принимаемого решения, т. е. По какому критерию принимаемое решение должно быть оптимально. [13]

Критерий часто называют целевой функцией, функцией цели, а в математических работах -- функционалом. Критерий в общем случае может оценивать качественные свойства объекта, причем как желательные для субъекта (обычно с максимальным уровнем или значением, например, прибыль, производительность, надежность), так и нежелательные для него (или минимальные -- непроизводительные затраты, расход материала, простои оборудования и др.). Если при принятии решения требуется максимизировать какое-то свойство (к примеру, прибыль, производительность или надежность), то в результате решения задачи критерий будет иметь наибольшее значение из всех допустимых решений. Если же требуется минимизировать критерий (стоимость, расход материала, время простоев оборудования), то в результате решения критерий будет иметь наименьшее значение из всех допустимых. [12]

Основные задачи управления деятельностью человека можно отнести к классу задач распределения и оптимизации ресурсов. Любой объект в процессе управления, проектирования или эксплуатации характеризуется своим устройством и действием, причем устройство определяется его структурой и параметрами, а действие -- процессом функционирования. Например, технологический процесс можно определить как последовательность работ, которые обусловливают превращение сырья в готовую продукцию; такую последовательность работ называют маршрутом; каждую операцию, входящую в маршрут, можно охарактеризовать определенными режимами обработки, управления, контроля, функционирования.

В любых математических моделях можно выделить следующие элементы (рисунок 3.4): исходные данные, зависимости, описывающие целевую функцию, и ограничения.

Рисунок 3.4 - Разновидности элементов математической модели

Элементы модели
Исходные данные	Искомые переменные	Зависимости
Детерминированные	Непрерывные	Линейные
Случайные	Дискретные	Нелинейные

Зависимости между переменными, как целевые функции, так и ограничения, могут быть линейными и нелинейными. Линейными называют такие зависимости, в которые переменные входят в первой степени и нет их произведения; если переменные входят не в первой степени или есть произведение переменных, то зависимости являются нелинейными. Сочетание разнообразных элементов модели приводит к различным классам задач оптимизации, требующим разных методов решения и разных программных средств. [13]

Для экономических систем наиболее характерны задачи оптимизации и распределения ресурсов, решаемые методом линейного программирования, для которого разработаны надежные алгоритмы, реализованные в поставляемом с ЭВМ программном обеспечении; более сложные задачи (целочисленные, нелинейные) оптимизации можно свести к задачам линейного программирования. Большинство задач оптимизации, присущих техническим системам, как правило, относится к задачам нелинейного программирования.

В случае невозможности формализовать какое-либо из требований в виде математических зависимостей необходимы дополнительные теоретические и экспериментальные исследования.

Из указанных зависимостей в соответствии с основной целью проектирования формируется целевая функция:

Ф = f(х1,х2, х3,…, xn; a1,а2,а3, …, аm) (3.15)

Остальные связи параметров, записанные в виде равенств и неравенств, являются ограничениями, составляющими вместе с целевой функцией математическую модель объекта, которая на этом этапе создания должна быть подвергнута испытаниям на компьютере и, в случае необходимости, скорректирована уровне качественной модели или математического описания.

Построенная таким образом математическая модель воспроизводит образ проектируемого объекта, отвечающего всем технико-экономическим требованиям, предъявляемым в рамках данных конкретных задач проектирования, и может быть занесена в банк математических моделей системы автоматизированного проектирования (рисунок 1).

Если полученная таким образом математическая модель состоит из линейной целевой функции, и входящие в систему ограничения равенства и (или) неравенства также линейны, то такая модель относится к классу оптимизационных задач линейного программирования, и в этом случае могут быть использованы характерные для такого класса задач методы решения (графический, симплекс-метод).[13]

Для составления программы горных работ по шахте «Павлоградская» необходимо определить оптимальный выпуск товарного угля и угольной продукции с целью получения максимальной прибыли.

Цена товарного угля и угольной продукции соответственно равна 114,26 и 114,54 грн. За тонну. Выпуск перечисленной продукции ограничивается спросом на продукцию, т.е. максимальное потребление продукции составляет 1400000 тонн в год. Кроме того ежегодно предприятие нуждается в обязательном производстве 520000 тонн товарной продукции. На производство 1 тонны угольной продукции шахта «Павлоградская» затрачивает 15 грн. - на выплату заработной платы, 4,13 грн. - на амортизационные отчисления, и 14 грн. - на закупку материалов. На производство 1 тонны товарного угля шахта «Павлоградская» затрачивает 11,81 грн. - на выплату заработной платы, 10 грн. - на амортизационные отчисления, и 10.42 грн. - на закупку материалов. Всего шахте ежегодно выделяется 34316800 грн. на выплату заработной платы, 18086400 грн. - на амортизационные отчисления, и 31257600 грн. на закупку материалов.

Для того, чтобы рассчитать оптимальный выпуск продукции с целью максимизации прибыли шахты «Павлоградская» составим оптимизационную модель линейного программирования и решим ее с помощью функции «Поиск решения» Microsoft Excel.

Целевая функция:114,26х1+114,54х2>max

Ограничения: 15х1+11,81х2?34316,8

4,13х1+10х2?18086,4

14х1+10,42х2?31257,6

10,38х1+11х2?27366,4

х1+х2?1400

х2?520

В результате проведенных вычислений для того чтобы получать максимальную прибыль в размере 160210000 грн. Шахта «Павлоградская» должна выпускать 880000 тонн угольной продукции и 520000 тонн товарной продукции ежегодно (рисунок 4).

3.5 Выводы

Практика построения многофакторных моделей взаимосвязи показывает, что все реально существующие зависимости между социально-экономическими явлениями можно описать, используя пять типов моделей. Основное значение имеют линейные модели в силу простоты и логичности их экономической интерпретации.

Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции. По имеющимся данным определили тесноту связи между признаками себестоимости 1 тонны угольной продукции шахты «Павлоградская» и производительностью труда 1 рабочего. Линейное уравнение регрессии имеет вид: y = 53,76-0,04х. Так как коэффициент корреляции равен -0,2, то корреляционная связь практически отсутствует. R2 = 0,04, поэтому себестоимость 1 тонны угля, изменится на 4%, при изменении производительности труда 1 рабочего, 96% - это влияние других факторов. Анализируя значение показателя эластичности можно сделать вывод, что при увеличении себестоимости угольной продукции на 1%, производительность труда 1 рабочего уменьшится на 0,11%. Линейный коэффициент корреляции, равняется -0,2, то , характер связи обратный, значит при увеличении себестоимости угольной продукции на 1 единицу, объем реализации уменьшится на 0,2%. Так как b = - 0,04, то при увеличении себестоимости угольной продукции на 1 грн., производительность труда 1 рабочего уменьшится на 0,04 грн.

Для прогноза финансово-экономического состояния шахты «Павлоградская» проанализировал цены на готовую угольную продукцию за предыдущие 2007-2008 годы. Среднее значение цены за 2007 год составило 91,27 грн. За тонну готовой угольной продукции, а среднее значение цены за 2008 год составило 114,01 грн. Таким образом разница в среднегодовой цене составила 22,74 грн. И можно говорить о том что наблюдается тенденция постоянного роста цены. Стандартное отклонение равно 13,65 грн. Для генеральной выборки скользящих средних и 15,22 грн. Для генеральной выборки цен. Уравнения линии тренда равно y = -0,0013x3 - 0,0607x2 + 3,9817x + 71,299. Составил прогноз: в январе 2004 года цена на угольную продукцию шахты «Павлоградская» будет составлять 113,92 грн. (с учетом доверительного интервала от 108,21 до 119,631 грн. ), в феврале - 112,59 грн. (с учетом доверительного интервала от 106,88 до 118,297 грн. ), а в марте - 110,94 грн. (с учетом доверительного интервала от 105,23 до 116,64 грн. ). Таким образом, в первом квартале 2004 года намечается увеличение цен на продукцию шахты «Павлоградская».