Математичне та комп’ютерне моделювання економіко-соціальних систем

45

МІНІСТЕРСТВО НАУКИ І ОСВІТИ УКРАЇНИ

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

«УКРАЇНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ХІМІКО-ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

Економічний факультет

Кафедра маркетингу та економічної кібернетики

ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА

КУРСОВА РОБОТА

на тему: Математичне та комп'ютерне моделювання економіко-соціальних систем

з дисципліни: Економічна кібернетика

Виконала

студентка гр. 4-КІБ-15

Савич М.Р.

Прийняв

керівник проекту

доц. каф. Білецький О.С

Дніпропетровськ 2009

Зміст

Вступ

1. Аналітичний огляд літературних джерел

2. Теоретично-розрахункова частина

2.1 Лінійне програмування

2.2 Постановка задачі

2.2.1 Математична постановка задачі

2.3 Алгоритм методу потенціалів

2.3.1 Визначення опорного плану транспортної задачі

2.3.1.1 Метод північно-західного кута

2.3.1.2 Метод мінімального елемента

2.3.1.3 Метод апроксимації Фогеля

2.3.2 Визначення оптимального плану транспортної задачі

2.3.2.1 Метод потенціалів

2.3.2.2 Метод диференціальних рент

2.3.3 Визначення оптимального плану транспортних завдань, що мають деякі ускладнення в їх постановці

2.4 Приклад застосування та розв'язання транспортної задачі лінійного програмування

2.4.1 Метод північно-західного кута

2.4.2 Метод мінімального елементу

2.4.3 Метод апроксимації Фогеля

2.4.4 Метод потенціалів

3. Програмна реалізація моделі

3.1 Опис програмної реалізації

3.2 Інструкція з використання

3.3 Приклад реалізації транспортної задачі в Excel

Висновки

Список літератури

Вступ

Економіко-математичне моделювання є невід'ємною частиною будь-якого дослідження в області економіки. Бурхливому розвитку математичного аналізу, дослідженню операцій, теорії вірогідності і математичної статистики сприяло формування різного роду моделей економіки.

Сучасна економіка, що складається з сукупності найрізноманітніших по характеру своєї діяльності організацій виробничої і невиробничої сфери, є складною системою, що безперервно розвивається. Від якості управлінських рішень багато в чому залежить ефективність функціонування цих об'єктів. Широкі можливості для вдосконалення управління, підвищення його ефективності, оперативності, дієвості відкриває використання обчислювальної техніки у поєднанні з сучасними математичними і кібернетичними методами.

Великі зрушення в розвитку економіко-математичного моделювання можна відзначити в кінці п'ятдесятих років, коли поява обчислювальної техніки зробила багатоваріантні планові розрахунки на основі економіко-математичних моделей реалізованими, принаймні принципово. У той час було сформульовано новий важливий для економіки клас математичних задач, що одержали назву задач лінійного програмування.

У лінійному програмуванні розглядається питання про пошук серед всіх допустимих рішень, що задовольняють системі лінійних рівностей і нерівностей, найкращого (оптимального) рішення, що доставляє максимум (або мінімум) деякого лінійному критерію. В даний час лінійне програмування є основним математичним методом аналізу задач планування виробництва.

Актуальність економіко-математичного моделювання підтверджується широким використанням його методів в народному господарстві. Тому ця курсова робота буде присвячена одному з них, а саме лінійному програмуванню. Метою моєї курсової роботи буде закріплення теоретичних знань з економічної кібернетики, дослідження економіко-математичних моделей, розв'язання задач лінійного програмування, а саме транспортної задачі та набуття навичок практичної роботи з ними.

1. Аналітичний огляд літературних джерел

В останні десятиліття в економічній науці та господарчій практиці все ширше використовується математика. Основною причиною розповсюдження економіко-математичних моделей та методів перш за все є різке ускладнення сучасної економічної практики, що викликано високим рівнем розвитку виробничих потужностей, глибокою спеціалізацією виробництва, збільшення темпів науково-технічного прогресу.

Всі перелічені фактори, доповнені вимогами, підвищення ефективності використання природних ресурсів, кількість яких не є безмежною, а також необхідність усвідомлення близьких та віддалених екологічних наслідків господарчої діяльності людства, призводять до зростання вимог, які пред'являються до якості рішень, що приймаються в народному господарстві.

Використання методів економіко-математичного моделювання на основі широкого розповсюдження розрахункової техніки є одним з найважливіших важелів підвищення якості економічних рішень[3,9]

Перші роботи з використання математичних методів завданнях народного господарства були зроблені в СРСР у двадцятих роках. Видатним досягненням стала розробка першого у світі балансу народного господарства СРСР за 1923/24 господарський рік. На жаль, роботи з моделювання соціалістичної економіки, настільки успішно розпочаті в двадцяті роки , не отримали подальшого розвитку впродовж тридцятих-сорокових років. Були здійснені окремі дослідження, однак на господарську практику результати цих досліджень вплив не надали.

Новий етап розвитку економіко-математичного моделювання почався в кінці п'ятдесятих років, коли поява обчислювальної техніки зробило багатоваріантні планові розрахунки на основі економіко-математичних моделей реалізованими, принаймні принципово.

На розвиток економіко-математичних методів у той час великий час надали роботи Л. В. Конторович, який в результаті аналізу деяких завдань планування виробництва сформулював новий важливий для економіки клас математичних задач, що одержали назву задач лінійного програмування.

З початку шістдесятих років концепція вибору оптимального рішення на основі чисельного (із застосуванням ЕОМ) аналізу економіко-математичних моделей стала інтенсивно проникати в усі розділи економіки. У цей час було запропоновано використовувати оптимізаційний підхід для народногосподарського планування та вирішення таких питань, як побудова системи цін і т.д. Саме в ці роки отримали великий розвиток деякі розділи математики, пов'язані з вирішенням завдань оптимізації: лінійне і нелінійне програмування, теорія оптимального управління, динамічне програмування і т.д. [3,11]

На початку сімдесятих років економіко-математичне моделювання стало визнаним засобом аналізу економічних проблем. Стрімко розширюється масштаб робіт із застосування обчислювальної техніки і математичного моделювання в економічних дослідженнях і господарській практиці. З'являється концепція автоматизованих систем управління (АСУ), призначених для оптимізації управління як складною технікою та технологічними системами, такими як підприємство, галузь, економічної район, народне господарство в цілому.

Сучасний етап розвитку економіко-математичного моделювання характеризується певним рівнем зрілості. Окремі ідеї посіли відповідне місце в системі методів дослідження, стали зрозумілі області їх найбільш доцільного використання. Щороку з'являється велика кількість нових робіт, які розширюють діапазон застосування методів економіко-математичного моделювання. [3,14]

Вся безліч наук сьогодні широко включає в себе як необхідні інструментальні засоби математичні моделі і методи, що дозволяють здійснювати більш високий рівень формалізації і абстрактного опису найбільш важливих, істотних зв'язків техніко-економічних змінних систем і об'єктів, оцінювати форму і параметри залежностей їх змінних;получать нові знання про об'єкти; визначати найкращі, рішення в тій чи іншій ситуації; формулювати висновки, адекватні досліджуваному об'єкту; компактно викладати основні теоретичні положення.

Будь-яке техніко-економічне дослідження завжди передбачає об'єднання теорії (математичної моделі) з практикою (експериментом і статистичними даними). Як приклад економічних моделей можна назвати моделі: економічного рівноваги на товарних і фінансових ринках, ціноутворення, соціального та економічного оптимуму, споживчого вибору та ін .[2,16]

Формалізація основних особливостей функціонування соціально-економічних об'єктів дозволяє оцінювати якість і ефективність прийнятих рішень за ступенем використання та оптимізації ресурсів, прогнозувати їх можливі негативні наслідки, використовувати отримані оцінки в управлінні.

Математична модель об'єкта - це його сукупності рівнянь, нерівностей, логічних відносин, графіків, умовний образ об'єкта, створений для спрощення його дослідження, отримання про нього нових знань, аналізу та оцінки прийнятих рішень у конкретних або можливих ситуаціях. [2,17]

Економіко-математичні моделі можна підрозділити більш ніж за сьома ознаками:

· За загальним цільовим призначенням: теоретично-аналітичні та прикладні;

· За конкретним призначенням: балансові(вимоги відповідності присутності ресурсів та їх використання), трендові (розвиток системи, що моделюється через довгострокову тенденцію її основних показників), оптимізаційні (вибір найкращого варіанта з множини варіантів виробництва, розподілу та споживання), імітаційні(в процесі машинної імітації систем або процесів, що вивчаються) моделі ;

· За типом інформації, що використовується в моделі,- аналітичні (на базі апріорної інформації) та ті моделі, що ідентифікуються (на базі апостеріорної, експериментальної інформації);

· За обліком фактора невизначеності: детерміновані та стохастичні моделі;

· За ступенем агрегованості об'єктів - макроекономічні, мікроекономічні моделі; [7, 7]

· За характером математичних об'єктів або апарата - матричні моделі, моделі лінійного та нелінійного програмування, кореляційно-регересивні, теорії масового обслуговування, моделі теорії ігор та ін.

· За типом підходу до систем, що вивчаються - дискриптивні (ті, що описуються) моделі та нормативні моделі. [7,7-8]

Макроекономічні моделі зазвичай описують економіку країни як єдине ціле, пов'язуючи між собою укрупнені матеріальні та фінансові показники: ВВП, споживання, інвестиції, зайнятість, бюджет, інфляцію, ціноутворення та ін.

Мікроекономічні моделі описують взаємодію структурних і функціональних складових економіки або їх автономну поведінку в перехідній нестійкому або ринковому середовищі, стратегії поведінки фірм в умовах олігополії з використанням методів оптимізації та теорії ігор і та.ін.

Теоретичні моделі відображають загальні властивості економіки і її компонентів з дедукцією висновків із формальних передумов.

Прикладні моделі забезпечують можливість оцінки параметрів функціонування конкретних техніко-економічних об'єктів[2,17] та обгрунтування висновків для прийняття управлінських (до них відносяться перш за все економетричні моделі, що дозволяють статистично значуще оцінювати числові значення економічних змінних на основі наявних спостережень).

Рівноважні моделі, властиві ринковій економіці, описують поведінку суб'єктів господарювання як стабільних стійких станах, так і в умовах неринкової економіки, де нерівновагу за одними параметрами компенсується іншими чинниками.

Оптимізаційні моделі пов'язані з мікрорівнем (оптимізація і розподіл ресурсів, максимізація корисності споживачем чи прибутку підприємством), на макрорівні вибору поведінки стає певний стан рівноваги.

Статичні моделі описують стан економічного об'єкта в конкретний поточний момент або період часу;

Динамічні моделі, навпаки, включають взаємозв'язки змінних в часі, описуючи сили і взаємодії процесів в економіці.

Детерміновані моделі передбачають жорсткі функціональні зв'язки між змінними моделі. [2,18]

С стохастичні припускають наявність випадкових впливів на досліджувані показники, використовуючи як інструментарій методи теорії ймовірностей і математичної статистики.

2. Теоретично-розрахункова частина

2.1 Лінійне програмування

Математичне програмування представляє собою математичну дисципліну, що займається вивченням екстремальних задач та розробкою методів їх розв'язку.

В загальному вигляді математична постановка екстремальної задачі полягає в визначенні найбільшого чи найменшого значення цільової функції f (x1,x2,…,xn), при умовах gi (x1,x2,…,xn) f и gi - задані функції, а - деякі дійсні числа. В залежності від властивостей функцій f и gi математичне програмування можна розглядати як ряд самостійних дисциплін, що займаються вивченням та розробкою методів розв'язку визначених класів задач.

Задачі математичного програмування діляться на задачі лінійного та нелінійного програмування. При цьому якщо всі функції f и gi лінійні, то відповідна задача є задачею лінійного програмування. Якщо ж хоча б одна з вказаних функцій нелінійна, то відповідна задача є задачею нелінійного програмування.

Найбільш вивченим розділом математичного програмування є лінійне програмування. Для розв'язку задач лінійного програмування розроблено цілий ряд ефективних методів, алгоритмів та програм. Серед задач нелінійного програмування найбільш вивченими є задачі випуклого програмування.

Окремим класом задач математичного програмування є задачі параметричного, дробно-лінійного та цілочисленого програмування.(5,4)

За допомогою використання методів лінійного програмування можна вирішити наступні види задач:

· Задача оптимізації виробниої програми підприємства;до задач такого типу можна,наприклад, віднести задачу визначення оптимального асортименту продукції;

· Задача використання потужностей обладнання;

· Задача мінімізації дисбаланса на лінії зборки;

· Задача складання кормової суміші або задача про дієту;

· Задача складання рідинних сумішей;

· Задача про розкрій;

· Задача багатостороннього комерційного арбітражу;

· Транспортна задача.[1,200-202]

Саме транспортній задачі лінійного програмування буде присвячена практична частина даної курсової роботи

2.2 Постановка задачі

Під терміном «транспортні завдання» розуміється широке коло завдань не тільки транспортного характеру. Спільним для них є, як правило, розподіл ресурсів, що перебувають у m виробників (постачальників), по n споживачам цих ресурсів. На автомобільному транспорті найбільш часто зустрічаються наступні завдання, пов'язані з транспортним: * прикріплення споживачів ресурсу до виробників; * прив'язка пунктів відправлення до пунктів призначення; * взаємна прив'язка вантажопотоків прямого та зворотного напрямків; * окремі завдання оптимального завантаження промислового обладнання; * оптимальний розподіл обсягів випуску промислової продукції між заводами-виробниками та ін[1,270]

2.2.1 Математична постановка задачі

Загальна постановка транспортної задачі полягає у визначенні оптимального плану перевезень деякого однорідного вантажу з m пунктів відправлення в n пунктів призначення. При цьому в якості критерію оптимальності зазвичай береться або мінімальна вартість перевезень всього вантажу, або мінімальний час його доставки. [5,134] Розглянемо економіко-математичну модель прикріплення пунктів відправлення до пунктів призначення. Є m пунктів відправлення вантажу і обсяги відправлення по кожному пункту ..

Відома потреба у вантажах ..., 6 по кожному з n пунктів призначення. Задана матриця вартостей доставки по кожному варіанту . Необхідно розрахувати оптимальний план перевезень, тобто визначити, скільки вантажу повинно бути відправлено з кожного i-го пункту відправлення (від постачальника) в кожен j-й пункт призначення (до споживача) з мінімальними транспортними витратами. [1,270-271] У загальному вигляді вихідні дані представлені в табл. 1.

таблиця 1

Транспортна задача називається закритою, якщо сумарний обсяг відправлених вантажів дорівнює суммарному обсягу споживання в цих вантажах по пунктах призначення ():

=() (1.1)

Якщо такої рівності немає (потреби вище запасів або навпаки), завдачу називають відкритою, тобто:

() (1.2)

Для написання моделі необхідно всі умови (обмеження) і цільову функцію представити у вигляді математичних рівнянь. Всі вантажі з і пунктів повинні бути відправлені, тобто:

(1.3)

Все j пункти (споживачі) мають бути забезпечені вантажами в заплановому обсязі:

(1.4)

Сумарні обсяги відправлення повинні рівнятися сумарним обсягами призначення:

(1,5)

Має виконуватися умова невідємності змінних: : Перевезення необхідно здійснити з мінімальними транспортними витратами (функція мети):

(1.6) [1,271]

У моделі (1.3) - (1.6) замість матриці вартостей перевезень можуть задаватися матриці відстаней.

У такому випадку в якості цільової функції розглядається мінімум сумарної транспортної роботи. Як видно з виразу (1.5), рівняння балансу є обов'язковою умовою вирішення транспортної задачі. Тому, коли у вихідних умовах дана відкрита завдання, то її необхідно привести до закритій формі. У разі якщо: * потреби по пунктах призначення перевищують запаси пунктів відправлення, то вводиться фіктивний постачальник з відсутньою об'ємом відправлення; * запаси постачальників перевищують потреби споживачів, то вводиться фіктивний споживач з необхідним обсягом споживання.

Варіанти, що зв'язують фіктивні пункти з реальними, мають нульові оцінки. Після введення фіктивних пунктів завдання вирішується як закрита. Транспортним завданням властиві такі особливості: * розподілу підлягають однорідні ресурси; * умови задачі описуються тільки рівняннями; * всі змінні виражаються в однакових одиницях виміру; * в усіх рівняннях коефіцієнти при невідомих дорівнюють одиниці; * кожна невідома зустрічається тільки в двох рівняннях системи обмежень.

Транспортні задачі можуть вирішуватися симплекс-методом. Однак перераховані особливості дозволяють для транспортних задач застосовувати більш прості методи рішення. [1,271]

2.3 Алгоритм методу потенціалів

Найбільш поширеним методом вирішення транспортних задач є метод потенціалів. Рішення задачі методом потенціалів включає наступні етапи:

1) розробку початкового плану (опорного рішення);

2) розрахунок потенціалів;

3) перевірку плану на оптимальність;

4) пошук максимального ланки неоптимальними (якщо умова п. 3 не було досягнуто);

5) складання контуру перерозподілу ресурсів; [1,272]

6) визначення мінімального елемента в контурі перерозподілу і перерозподіл ресурсів по контуру;

7) отримання нового плану.

Описана процедура повторюється кілька разів (ітерацій), поки не буде знайдено оптимальне рішення. Обчислювальний алгоритм для кожної ітерації не змінюється. Для транспортної задачі існує кілька методів відшукання початкового плану (опорного рішення): * метод північно-західного кута; * метод мінімальної вартості; * метод подвійного переваги і т. д. [1,272]

2.3.1 Визначення опорного плану транспортної задачі

Як і під час розв'язання задачі лінійного програмування, симплексним методом, визначення оптимального плану транспортної задачі починають із знаходження якого-небудь її опорного плану. Цей план, знаходять методом північно-західного кута, методом мінімального елементу або методом апроксимації Фогеля.

Сутність цих методів полягає в тому, що опорний план знаходять послідовно за n + m -1 кроків, на кожному з яких в таблиці умов завдання заповнюють одну клітку, яку називають зайнятої.

Заповнення однієї з клітин забезпечує повністю або задоволення потреби у вантажі одного з пунктів призначення (того, у стовпці якого знаходиться заповнена клітина), або вивезення вантажу з одного з пунктів відправлення (з того, в рядку якого знаходиться заповнювана клітина). [5,139]

У першому випадку тимчасово виключають з розгляду стовпець, який містить заповнену на цьому кроці клітину, і розглядає завдання, таблиця умов якої містить на один стовпець менше, ніж було перед цим кроком, але ту ж кількість рядків і відповідно змінені залишки вантажу в одному з пунктів відправлення (у тому, за рахунок запасу якого була задоволена потреба у вантажі пункту призначення на даному кроці).

У другому випадку тимчасово виключають з розгляду рядок, що містить заповнену клітку, і вважають, що таблиця умов має на один рядок менше при незмінній кількості стовпців і при відповідному зміну потреби у вантажі [5,139] в пункті призначення, у стовпці якого знаходиться заповнювана клітина.

Після того, як виконані n + m -2 описаних вище кроків, отримують завдання з одним пунктом відправлення і одним пунктом призначення.

При цьому залишається вільною тільки одна клітина, а запас залишився пункту відправлення будуть рівні потребам залишився пункту призначення.

Заповнивши цю клітку, тим самим роблять (n + m -1)-й крок і отримують шуканий опорний план. Слід зауважити, що на деякому кроці (але не останнього) може виявитися, що потреби чергового пункту призначення рівні запасів чергового пункту відправлення.

У цьому випадку також тимчасово виключають з розгляду або стовпець, або рядок (що-небудь одне). Таким чином, або запаси відповідного пункту відправлення, або потреби даного пункту призначення вважають рівними нулю. Цей нуль записують у чергову яку заповнюють клітину.

Зазначені вище умови гарантують одержання n + m -1 зайнятих клітин, в яких стоять компоненти опорного плану, що є вихідною умовою для перевірки останнього на оптимальність і знаходження оптимального плану. [5,139]

2.3.1.1 Метод північно-західного кута

При знаходженні опорного плану транспортної задачі методом північно-західного кута на кожному кроці розглядають перший з решти пунктів відправлення і перший з решти пунктів призначення. Заповнення клітин таблиці умов починаються з лівої верхньої клітини для невідомого ( «північно-західний кут») і закінчується клітиною для невідомого , тобто йде як би по діагоналі таблиці. [5,140]

2.3.1.2 Метод мінімального елемента

У методі північно-західного кута на кожному кроці потреби першого з решти пунктів призначення задовольнялися за рахунок запасів першого з решти пунктів відправлення. Очевидно, вибір пунктів призначення і відправлення доцільно проводити, орієнтуючись на тарифи перевезень, а саме: на кожному кроці слід вибирати якусь клітку, що відповідає мінімальному тарифу (якщо таких клітин декілька, то слід вибирати будь-яку з них), і розглянути пункти призначення і відправлення, відповідні вибраної клітинці. Суть методу мінімального елемента і полягає у виборі клітини з мінімальним тарифом. Слід зазначити, що цей метод, як правило, дозволяє знайти опорний план транспортної задачі, при якому загальна вартість перевезень вантажу менше, ніж загальна вартість перевезень при плані, знайденому для даної задачі за допомогою методу північно-західного кута. Тому найбільш доцільно опорний план транспортної задачі знаходити методом мінімального елементу. [5,142]

2.3.1.3 Метод апроксимації Фогеля

При визначенні оптимального плану транспортної задачі методом апроксимації Фогеля на кожній ітерації по всіх стовпцях і по всіх рядках знаходять різницю між двома записаними в них мінімальними тарифами. Ці різниці записують у спеціально відведених для цього рядку і стовпці в таблиці умов завдання. Серед зазначених різниць вибирають мінімальну. У рядку (або в стовпці), якій ця різниця відповідає, визначають мінімальний тариф. Клітину, в якій він записаний, заповнюють на даній ітерації. Якщо мінімальний тариф однаковий для декількох клітин даної рядок (стовпчик), то для заповнення вибирають ту клітину, яка розташована у стовпці (рядку), відповідному найбільшою різниці між двома мінімальними тарифами, що знаходяться в даному стовпці (рядку). [5,143] Як правило, застосування методу апроксимації Фогеля дозволяє отримати або опорний план, близький до оптимального, або сам оптимальний план.

2.3.2 Визначення оптимального плану транспортної задачі

2.3.2.1 Метод потенціалів

Загальний принцип визначення оптимального плану транспортної задачі методом потенціалів аналогічний принципом розв'язання задачі лінійного програмування симплексним методом, а саме: спочатку знаходять опорний план транспортної задачі, а потім його послідовно покращують до отримання оптимального плану. [5,147]

Для визначення опорного плану транспортної задачі будемо користуватися одним з методів, розглянутих у попередньому описанні. Ці методи гарантують отримання зайнятих у вихідному плані n + m -1 клітин, причому в деяких з них можуть стояти нулі. Отриманий план варто перевірити на оптимальність. Для вирішення транспортної задачі необхідно взяти до уваги теорему.

Теорема 1. Якщо для деякого опорного плану Х*=(),

транспортної задачі існують такі числа що,

при (2.1)

і при (2.2)

для всіх , то Х*=(),- оптимальний план транспортної задачі. Визначення1.Числа називаються потенціалами відповідно до пунктів призначення та пунктів споживання. Сформульована теорема дозволяє побудувати алгоритм знаходження вирішення транспортної задачі.

Він полягає в наступному. Нехай один із розглянутих вище методів знайдений опорний план транспортної задачі. Для кожного з пунктів відправлення та призначення визначають потенціали .

Ці числа знаходять із системи рівнянь

(2.3)

де - тарифи, які стоять в заповнених клітинках таблиці умов транспортної задачі.

Так як число заповнених клітин одно n + m -1, то система (2.3) з n + m невідомими містить n + m -1 рівнянь.

Оскільки число невідомих перевищує на одиницю число рівнянь, одне з невідомих можна покласти рівним безпідставного числа, наприклад, і знайти послідовно з рівнянь (2.3) значення інших невідомих.

ісля того, як всі потенціали знайдені, для кожної з вільних клітин визначають числа. [5,147] Якщо серед чисел немає позитивних, то знайдений опорний план є оптимальним.

Якщо ж для деякої вільної клітини>0, то вихідний опорний план не є оптимальним і необхідно перейти до нового опорного плану. Для цього розглядають всі вільні клітини, для яких>0, і серед даних чисел вибирають максимальне. Клітину, якій це число відповідає, слід заповнити. Заповнюючи обрану клітку, необхідно змінити обсяги поставок, записаних у ряді інших зайнятих клітин і пов'язаних із заповненою так званим циклом.

Визначення: Циклом в таблиці умов транспортної задачі називається ламана лінія, вершини якої розташовані в зайнятих клітинах таблиці, а ланки-вздовж рядків і стовпців, причому в кожній вершині циклу зустрічається рівно дві ланки, одна з яких знаходиться в рядку, а інша - у стовпці. Якщо ламана лінія, що утворює цикл, перетинається, то точки самоперетину не є вершинами.

При правильній побудові опорного плану для будь-якої вільної клітини можна побудувати лише один цикл. Після того як для вибраної вільної клітини він побудований, слід перейти до нового опорного плану. Для цього необхідно перемістити вантажі в межах клітин, пов'язаних з даною вільної клітиною. Це переміщення виробляє за наступними правилами: 1) кожній з клітин, пов'язаних циклом з даною вільної клітиною, приписують певний знак, причому вільної клітці - знак плюс, а всім іншим клітинам - по черзі знаки мінус і плюс (будемо називати ці клітини мінусовими і позитивними); [5,147] 2) в дану вільну клітину переносять менше з чисел , що стоять в мінусових клітинах.

Одночасно це число додають до відповідних числах, яке стоїть в плюсових клітинах, і віднімають з чисел, що стоять в мінусових клітинах. Клітинка, яка раніше була вільною, стає зайнятою, а від'ємна клітка, в якій стояло мінімальне з чисел , вважається вільною. [5,148] В результаті вказаних вище переміщень вантажів в межах клітин, пов'язаних циклом з даною вільної клітиною, визначають новий опорний план транспортної задачі.

Описаний вище перехід від одного опорного плану транспортної задачі до іншого се опорного плану називається зрушенням по циклу перерахунку. Слід зазначити, що при зсуві по циклу перерахунку число зайнятих клітин залишається незмінним, а саме залишається рівним n + m-1.

При цьому якщо в мінусових клітинах є два (або більше) однакових числа , то звільняють лише одну з таких клітин, а інші залишають зайнятими (з нульовими поставками). Отриманий новий опорний план транспортної задачі перевіряють на оптимальність.

Для цього визначають потенціали пунктів відправлення та призначення і знаходять числа для всіх вільних клітин. Якщо серед цих чисел не виявиться позитивних, то це свідчить про отримання оптимального плану. Якщо ж позитивні числа є, то слід перейти до нового опорного плану. У результаті ітераційного процесу після кінцевого числа кроків отримують оптимальний план задачі. З викладеного вище випливає, що процес знаходження вирішення транспортної задачі методом потенціалів включає наступні етапи:

1. Знаходять опорний план.

При цьому кількість заповнених клітин має бути рівною n + m-I.

2. Знаходять потенціали , відповідно до пунктів призначення і відправлення.

3. Для кожної вільної клітини визначають число . Якщо серед чисел немає позитивних, то отриманий оптимальний план транспортної задачі, а якщо вони є, то переходять до нового опорного плану.

4. Серед позитивних чисел вибирають максимальне, будують для вільної клітини, якої воно відповідає, цикл перерахунку і виробляють зрушення по циклу перерахунку.

5. Отриманий опорний план перевіряють на оптимальність, тобто знову повторять всі дії починаючи з етапу 2. На закінчення відзначимо, що при визначенні опорного плану або в процесі рішення задачі може бути отриманий вироджений опорний план.

Щоб уникнути в цьому випадку зациклення, слід відповідні нульові елементи опорного плану замінити як завгодно малим позитивним числом е і вирішувати - завдання як невироджене. [5,149-150] В оптимальному плані такого завдання необхідно вважати е рівним нулю. [5,150]

2.3.2.2 Метод диференціальних рент

Якщо при визначенні оптимального плану транспортної задачі методом потенціалів спочатку перебував який-небудь її опорний план, а потім він послідовно поліпшувався, то при знаходженні вирішення транспортної задачі методом диференціальних рент спочатку найкращим чином розподіляється між пунктами призначення частина вантажу (так званий умовно оптимальний розподіл) і на подальших ітерацях поступово зменшують загальну величину нерозподілених поставок. Початковий варіант розподілу вантажу визначають наступним чином. [5,154]

У кожному зі стовпців таблиці даних транспортної задачі знаходять мінімальний тариф. Знайдені числа містять в кола, а клітини, в яких стоять зазначені числа заповнюють. В них записують максимально можливі числа. У результаті отримують деякий розподіл поставок вантажу в пункти призначення. Цей розподіл в загальному випадку не задовільняє обмеженням вихідної транспортної задачі. Тому в результаті подальших кроків слід поступово скорочувати нерозподілені поставки вантажу так, щоб при цьому загальна вартість перевезень залишалася мінімальною. Для цього спочатку визначають надмірні та недостатні строки. [5,154]

Рядки, що відповідають постачальникам, запаси яких повністю розподілені, а потреби пунктів призначення, пов'язаних з даними споживачами запланованими поставками, не виконані, вважаються недостатніми. Ці рядки іноді називають також від'ємними. Рядки, запаси яких вичерпані не повністю, вважаються надмірними.

Іноді їх називають також додатніми. Після того, як визначені надлишкові і недостатні рядки, для кожного з стовпців знаходять різниці між числом у колі і найближчим до нього тарифом, записаним у надмірному рядку. Якщо число в колі перебуває в позитивному рядку, то різницю не визначають. Серед отриманих чисел знаходять найменше.

Це число називається проміжною рентою. Після визначення проміжної ренти переходять до нової таблиці. Ця таблиця виходить з попередньої таблиці додатком до відповідних тарифів, що стоять у від'ємних рядках, проміжної ренти. Інші елементи залишаються колишніми. При цьому всі клітини нової таблиці вважають вільними. Після побудови нової таблиці починають заповнення її клітин.

Тепер вже число заповнених клітин на одну більше, ніж на попередньому етапі. Ця додаткова клітина знаходиться в стовпці, в якому була записана проміжна рента. Всі інші клітини знаходяться по одній у кожному із стовпців і в них записані найменші для даного стовпця числа, записані в кола. Записані в кола і два однакових числа, що стоять у стовпці, в якому в попередній таблиці була записана проміжна рента.

Оскільки в новій таблиці число заповнених клітин більше, ніж число стовпців, то при заповненні клітин слід користуватися спеціальним правилом, яке полягає в наступному. Вибирають деякий стовпець (рядок), в якому є одна [5,155] клітка з вміщених у ній колом. Цю клітку заповнюють і виключають з розгляду даний стовпець (рядок).

Після цього беруть певний стовпчик, в якій є одна клітина з записаним у ній колом . Цю клітку заповнюють і виключають з розгляду даний стовпчик. Продовжуючи так, після кінцевого числа кроків заповнюють всі клітини, в яких поміщені кола з записаними в них числами. Якщо до того ж вдається розподілити весь вантаж, який є в пунктах відправлення, між пунктами призначення, то отримують оптимальний план транспортної задачі. Якщо ж оптимальний план не отримано, то переходять до нової таблиці.

Для цього знаходять надлишкові і недостатні рядки, проміжну ренту і на основі цього будують нову таблицю. При цьому можуть виникнути деякі труднощі при визначенні знака рядка, коли її нерозподілений залишок дорівнює нулю.

У цьому випадку рядок вважають позитивним за умови, що друга заповнена клітина, що стоїть у стовпці, пов'язана з даним рядком ще однієї заповненої кліткою, розташованою в позитивному рядку. Після кінцевого числа описаних вище ітерацій нерозподілений залишок стає рівним нулю.

У результаті отримують оптимальний план даної транспортної задачі. Описаний вище метод вирішення транспортної задачі має більш просту логічну схему розрахунків, ніж розглянутий вище метод потенціалів. Тому в більшості випадків для знаходження рішення конкретних транспортних задач з використанням ЕОМ застосовується метод диференціальних рент. [5,156]

2.3.3 Визначення оптимального плану транспортних завдань, що мають деякі ускладнення в їх постановці

При знаходженні вирішення ряду конкретних транспортних задач часто буває необхідно враховувати додаткові обмеження.

Зупинимося докладніше на деяких можливих ускладненнях у постановці транспортних задач.

1. При деяких реальних умовах перевезення вантажу з визначеного пункту відправлення до пункту призначення не можуть бути здійснені. Для визначення оптимальних планів таких завдань припускають, що тариф перевезення одиниці вантажу з пункту в пункт є як завгодно великим числом М, і за цієї умови відомими методами знаходять розв'язок нової транспортної задачі.

При такому допущенні виключається можливість при оптимальному плані транспортної задачі перевозити вантаж з пункту до пункту . Такий підхід до знаходження ро'звязку транспортної задачі називають забороною перевезень або блокуванням відповідної клітини таблиці даних завдачі. [5,156]

2. В окремих транспортних задачах додатковою умовою є забезпечення перевезення за відповідними маршрутами певної кількості вантажу. Нехай, наприклад, з пункту відправлення до пункту призначення до потрібно обов'язково перевести одиниць вантажу.

Тоді в клітину таблиці даних транспортної задачі, що знаходиться на перетині рядка і стовпця записують вказане число і надалі цю клітину вважають вільної зі як завгодно великим тарифом перевезень М. Для отриманої таким чином нової транспортної задачі знаходять оптимальний план, який визначає оптимальний план вихідної задачі.

3. Іноді потрібно знайти рішення транспортної задачі, при якому з пункту відправлення до пункту призначення має бути завезено не менше заданої кількості вантажу.

Для визначення оптимального плану такого завдання вважають, що запаси пункту і потреби пункту менше фактичних на одиниць. Після цього знаходять оптимальний план нової транспортної задачі, на підставі якого і визначають рішення вихідної задачі.

4. У деяких транспортних задачах потрібно знайти оптимальний план перевезень за умови, що з пункту відправлення до пункту призначення перевозиться не більше ніж одиниць вантажу, тобто

(2.4) [5,162]

Сформульовану задачу можна вирішити так. У таблиці вихідних даних завдання для кожного j-го обмеження (2.4) передбачають додатковий стовпець, тобто вводять додатковий пункт призначення. У даному стовпці записують ті самі тарифи, що й у стовпці за винятком тарифу, що знаходиться в i-й рядку. У додатковому стовпці в цьому рядку тариф вважають рівним деякому як завгодно великому числу М.

При цьому потреби пункту вважають рівними , а потреби знову введеного пункту призначення вважають рівними .

Рішення отриманої транспортної задачі може бути знайдено методом потенціалів, і тим самим буде визначено оптимальний план або встановлена нерозв'язність вихідної задачі. Зауважимо, що початкова транспортна задача має розв'язок лише в тому випадку, коли для неї існує хоча б один опорний план.

Наведену вище задачу можна вирішити й у такий спосіб. З урахуванням обмеження (2.4) за правилом мінімального елементу будують опорний план. При цьому якщо величина записуваного на цьому кроці у відповідну клітину числа визначається тільки обмеженням (2.4), то в подальшому з розгляду виключають тільки заповнену клітку.

В інших випадках з розгляду виключають або рядок, або стовпець (що-небудь одне). Якщо в результаті складання плану поставок всі наявні запаси пунктів відправлення розподілені і потреби в пунктах призначення задоволені, то отриманий опорний план транспортної задачі. [5,162]

Якщо в якийсь рядку (а отже, і в стовпці) залишився нерозподілений залишок, що дорівнює d, то вводять додатковий пункт призначення і додатковий пункт відправлення c потребами і запасами, рівними d.

У клітині, що знаходиться на перетині стовпця додаткового пункту призначення і рядки додаткового пункту відправлення, тариф вважають рівним нулю. У всіх інших клітинах цього рядка та стовпця тарифи вважають рівними деякого як завгодно великого числа М.

Отриману в результаті цього транспортну задачу вирішують методом потенціалів. Після кінцевого числа кроків або встановлюють, що вихідна задача не має опорного плану, або знаходять її оптимальний план.

При цьому () - оптимальний план вихідної задачі, якщо

 при =0.

при =.

при 0<< (2.5) [5,163]

2.4 Приклад застосування та розв'язання транспортної задачі лінійного програмування

Розв'язання транспортної задачі лінійного програмування наступними методами:методом північно-західного кута, методом апроксимації Фогеля, методом найменшого елементу, перевірка опорного плану на оптимальність методом потенціалів.

Вихідні дані: На складах А, В, С знаходиться сортове зерно 100, 150, 250 т, яке потрібно доставити в чотири пункти. Пункту 1 необхідно поставити 50 т, пункту 2 - 100, пункту 3 - 200, пункту 4 - 150 т сортового зерна. Вартість доставки 1 т зерна зі складу А в зазначені пункти відповідно дорівнює (д. е.) 80, 30, 50, 20; зі складу В - 40, 10, 60, 70; зі складу С - 10, 90, 40, 30. Складіть оптимальний план перевезення зерна з умови мінімуму вартості перевезення.

2.4.1 Метод північно-західного кута

Розв'язок. Число пунктів відправлення m=3, а число пунктів призначення n=4. Опорний план перевезень задачі визначається числами, що стоять у 4+3-1=6 заповнених клітинках. Заповнення таблиці починаємо з клітинки невідомого , тобто спробуємо задовольнити потреби першого пункту призначення за рахунок запасів першого пункту відправлення. Так як запаси пункту більші, ніж потреби пункту , то допустимо =50, записуємо це значення у відповідній клітинці табл. 2.1. і тимчасово виключаємо із розгляду стовпець , вважаючи при цьому запаси пункту рівними 50.

Таблиця 2.1.

	Пункти призначення	Запаси
Пункти відправлення
	80	80	50	20
	50	50	-	-	100
	40	10	60	70
	-	50	100	-	150
	10	90	40	30
	-	-	100	150	250
Потреби	50	100	200	150	500

Розглянемо перші з пунктів відправлення і призначення , що залишилися .Запаси пункту менше ніж потреби пункту. Допустимо,=50, запишемо це значення у відповідній клітинці таблиці 2.1. і виключимо з розгляду строку .[5,140] Потреби пункту вважатимемо рівними 50 (100-50).

Тепер перейдемо до заповнення невідомої клітинки і т.д. Таким чином отримуємо опорний план:

Відповідно до даного плану перевезень загальна вартість перевезень усього вантажу складає:

F=50*80+50*80+50*10+100*60+40*100+30*150=23000

2.4.2 Метод мінімального елементу

Вихідні дані задачі запишемо у вигляді таблиці 2.2.Мінімальний тариф, що дорівнює 10, знаходиться у клітинці для змінної .Допустимо, =100,запишемо це значення у відповідну клітинку таблиці 2.2 та тимчасово виключимо з розгляду строку А_2. [5,142]Потреби пункту призначення В₂ виконані в повному обсязі, саме тому, виключаємо стовпець В₂ з перегляду. Далі розглянемо стоку А₃ найменший тариф по стоці знаходиться у клітинціі дорівнює 10. Допустимо, =50, запишемо це значення у відповідну

таблиця 2.2.

	Пункти призначення	Запаси
Пункти відправлення
	80	80	50	20
	-	-	-	100	100
	40	10	60	70
	-	100	50	-	150
	10	90	40	30
	50	-	150	50	250
Потреби	50	100	200	150	500

клітинку таблиці 2.2 та тимчасово виключимо з розгляду строку А₃ Потреби пункту призначення В₁ виконані в повному обсязі, саме тому, виключаємо стовпець В₁ з перегляду. Далі розглянемо стоку А₁ найменший тариф по стоці знаходиться у клітинціі дорівнює 20. Допустимо, =100, запишемо це значення у відповідну клітинку таблиці 2.2. Так як запаси строки А₁ використані в повному обсязі виключаємо строку А₁ з перегляду. Потреби стовпця В₄ приймемо за 50. Найменший з присутніх тарифів в стовпці призначення В₄ знаходиться у клітинці і дорівнює 30. Потреби стовпця В₄ виконані в повному обсязі, саме тому, виключаємо стовпець В₄ з пошук у оптимального плану. У строках А₂ та А₃ існують невиконані потреби та невикористані запаси які дорівнюють: в строчці А₂ вони дорівнюють (150-100=50), в строчці А₃ вони дорівнюють (250-50-50=150). Так як в стовпцях В_1, В₂ та В₄ потреби виконані в повному обсязі, заповнимо стовпець В_3. У клітинку запишемо значення 50, =150. Таким чином ми заповнили таблицю 2.2. [5,142]

Отримуємо опорний план:

Відповідно до даного плану перевезень загальна вартість перевезень усього вантажу складає:

F=100*20+100*10+50*60+50*10+150*40+50*30=14000.

2.4.3 Метод апроксимації Фогеля

За опорний план візьмемо опорний план знайдений методом північно-західного кута. Для кожної строки і стовпця таблиці умов знайдемо різницю між двома мінімальними тарифами, записаними в даній строчці і стовпці, розмістимо їх у відповідному додатковому стовпці або додатковій строчці табл. 2.3. Так, у строчці А1 мінімальний тариф дорівнює 20, а наступний за ним дорівнює 50, різниця між ними складає 50-20=30. Таким же чином різниця між мінімальними елементами в стовпці В2 дорівнює 80-10=70. [5,143]

Знайшовши ці різниці, бачимо, що найбільша з них відповідає стовпцю В2. В цьому стовпці мінімальний тариф записано в клітинці, що знаходиться на перетині строки А2 і стовпця В2. Таким чином, цю клітинку необхідно заповнити, розмістивши в неї число 100. Заповнивши її, тим самим ми виконали потреби пункту В2. Саме тому, виключимо з перегляду стовпець В2 і будемо вважати запаси пункту А2 рівними 150-100=50 од. Після цього знайдемо наступну клітинку для заповнення. Знову знайдемо різниці між двома найменшими тарифами, що залишилися в кожній із строк та стовпців і запишемо їх у другий додатковий строчці та стовпці таблиці 2.3. Як видно з таблиці, найбільша вказана різниця відповідає строчці А3. Мінімальний тариф в цій строчці записано в клітинці, що знаходиться на перетині її зі стовпцем В1. Заповнимо дану клітинку. Розмістивши в неї число 50, тим самим допустимо, що запаси в пункті В1 вичерпано в повному обсязі, а потреби в пункті А3 стали дорівнювати 250-50=200. [5,143]

таблиця 2.3.

	Пункти призначення	Запаси	Різниці по строкам
Пункти відправлення
	80	80	50	20	100	30	30	30	-	-	-	-
	-	-	-	100
	40	10	60	70	150	30	20	20	20	20	20	0
	-	100	50	-
	10	90	40	30	250	20	20	10	10	50	-	-
	50	-	150	50
Потреби	50	100	200	150
Різниці по стовпцям	30	70	10	10
	30	-	10	10
	-	-	10	10
	-	-	10	40
	-	-	10	-
	-	-	10	-
	-	-	0	-

Виключимо з розгляду стовпець В3 і знайдемо нову клітинку для заповнення. [5,144]

Продовжуючи ітераційний процес, послідовно заповнюємо клітинки, що знаходяться на перетині строки А1 та стовпця В4, строки А3 та стовпця В4, строки А3 та стовпця В3, строки А2 та стовпця В3. В результаті отримаємо опорний план.



При цьому плані загальна вартість перевезень складає:

F=100*10+50*60+20*100+50*10+150*40+50*30=14000.

2.4.4 Метод потенціалів

Розв'язок: Використовуючи опорний план знайдений методом північно-західного кута в якості опорного плану задачі. Даний план записано в таблиці 2.4.

таблиця 2.4.

Пункти відправлення	Пункти призначення	Запаси
	В1	В2	В3	В4
	80	80	50	20
	50	50	-	-	100
	40	10	60	70
	-	50	100	-	150
	10	90	40	30
	-	-	100	150	250
Потреби	50	100	200	150	500

Знайдений план перевіримо на оптимальність. [5,147] У зв'язку з цим знайдемо потенціали пунктів відправлення та призначення. Для знаходження потенціали отримуємо систему:

що містять шість рівнянь з сімома невідомими. Вважаємо, =0. Знаходимо =80; =80; =130;=120; =-70; =-90;

F=50*80+80*50+50*10+100*60+100*40+150*30=23000 од.

Для кожної вільної клітинки знаходимо числа і заповнимо матрицю:

Так як серед чисел існують від'ємні значення, можна зробити висновок про те, що даний план не є оптимальним. Найменшим з елементів матриці є число =-100, з якого починається побудова циклу перерахунку (зображено в таблиці 2.4). [5,147] Таким чином отримуємо новий опорний план транспортної задач, який зображено у таблиці 2.5.

таблиця 2.5

Пункти відправлення	Пункти призначення	Запаси
	В1	В2	В3	В4
А1	80	80	50	20
	50	-	-	50	100
А2	40	10	60	70
	-	100	50	-	150
А3	10	90	40	30
	-	-	150	100	250
Потреби	50	100	200	150	500

Знайдений план перевіримо на оптимальність. У зв'язку з цим знайдемо потенціали пунктів відправлення та призначення. Для знаходження потенціали отримуємо систему:

що містять шість рівнянь з сімома невідомими. Вважаємо, =0. Знаходимо =80; =-20; =30;= 20; =30; =10;

Для кожної вільної клітинки знаходимо числа і заповнимо матрицю:

Так як серед чисел існують від'ємні значення, можна зробити висновок про те, що даний план не є оптимальним. Найменшим з елементів матриці є число =-80, з якого починається побудова циклу перерахунку (зображено в таблиці 2.5). [5,148]

F=50*80+20*50+100*10+50*60+150*40+100*30=18000 од.

Таким чином отримуємо новий опорний план транспортної задач, який зображено у таблиці 2.6.

таблиця 2.6

Пункти відправлення	Пункти призначення	Запаси
	80	80	50	20
	-	-	-	100	100
	40	10	60	70
	-	100	50	-	150
	10	90	40	30
	50	-	150	50	250
Потреби	50	100	200	150	500

Знайдений план перевіримо на оптимальність. У зв'язку з цим знайдемо потенціали пунктів відправлення та призначення. Для знаходження потенціали отримуємо систему:

що містять шість рівнянь з сімома невідомими. Вважаємо, =0. Знаходимо =0; =-20; =30;= 20; =30; =10;

Для кожної вільної клітинки знаходимо числа і заповнимо матрицю:

Так як серед чисел відсутні від'ємні значення, можна зробити висновок про те, що даний план є оптимальним.[5,148]

F=100*20+60*50+10*100+50*10+150*40+50*30=14000 од.

2.4.5 Розв'язок транспортної задачі за додаткових умов

Знайти розв'язок транспортної задачі, вихідні дані якої приведені в таблиці 2.7, за додаткових умов: з пункту А₁ в пункт В₂ та з пункту А₂ в пункт В₅ перевезення не можуть бути здійснені, а з пункту А₂ в пункт В₁ буде завезено 60 од. вантажу.

таблиця 2.7

Пункти відправлення	Пункти призначення	Запаси
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	1	2	3	1	4	180
А2	6	3	4	5	2	220
А3	8	2	1	9	3	100
Потреби	120	80	160	90	50	500

Розвязок:

Так як з пункту А₁ в пункт В₂ та з пункту А₂ в пункт В₅ перевезення не можуть бути здійснені, то в клітинках А₁ В₂ та А₂ В₅ таблиці 2.8 тарифи вважатимемо рівними деякому як завгодно великому числу М. Вважатимемо, що тариф для клітинки А₂ В₁ також дорівнює цьому ж числу. В той же час в цю клітинку розміщуємо число 60, так як за умовою, з пункту А₂ в пункт В₁ необхідно завезти 60 од. вантажу. Надалі клітинку А₂ В₁ вважатимемо вільною з деяким як завгодно великом тарифом М.

таблиця 2.8

Пункти відправлення	Пункти призначення	Запаси
	В1	В2	В3	В4	В5
	1	M	3	1	4	180
	60	2-M	30	90	M-5
	M	3	4	5	M	220
	60 2-M	80	30	-3	50
	8	2	1	9	3	100
	-9	-2	100	-10	M-6

Подобные документы

• Побудова та реалізація економіко–математичної моделі

  Загальна модель задачі математичного програмування, задача лінійного програмування та особливості симплекс–методу для розв’язання задач лінійного програмування Економіко–математична модель конкретної задачі, алгоритм її вирішення за допомогою Exel.
  
  контрольная работа [109,7 K], добавлен 24.11.2010
  

• Економіко–математичне моделювання

  Розвиток методології економіко-математичного моделювання. Економіко-математичні моделі в працях вітчизняних економістів. Математичне моделювання і зовнішньополітичні дослідження. Простір індикаторів в системі міжнародних відносин: задачі метатеорії.
  
  реферат [228,8 K], добавлен 01.07.2008
  

• Математичні моделі задач лінійного програмування

  Побудування математичної моделі задачі. Розв'язання задачі за допомогою лінійного програмування та симплексним методом. Наявність негативних коефіцієнтів в індексному рядку. Основний алгоритм симплексного методу. Оптимальний план двоїстої задачі.
  
  контрольная работа [274,8 K], добавлен 28.03.2011
  

• Задача лінійного програмування та методи її розв'язування

  Загальна економіко-математична модель задачі лінійного програмування. Основні форми запису задач. Оптимальний та допустимий розв'язок. Геометрична інтерпретація, властивості розв'язків та графічний метод розв'язування задач лінійного програмування.
  
  презентация [568,4 K], добавлен 10.10.2013
  

• Розв’язок задач лінійного програмування

  Розробка програмного комплексу для розв’язання задачі цілочисельного програмування типу "Задача комівояжера". Класифікація задач дослідження операцій. Вибір методу розв’язання транспортної задачі; алгоритмічне і програмне забезпечення, тести і документи.
  
  курсовая работа [807,7 K], добавлен 07.12.2013
  

• Економіко-математичне програмування

  Побудова математичної моделі плану виробництва, який забезпечує найбільший прибуток. Розв’язок задачі симплекс-методом, графічна перевірка оптимальних результатів. Складання опорного плану транспортної задачі. Пошук екстремумів функцій графічним методом.
  
  контрольная работа [286,4 K], добавлен 28.03.2011
  

• Багатокритеріальні задачі лінійного програмування в економіці

  Багатокритеріальність, існуючі методи розв’язку задач лінійного програмування. Симплекс метод в порівнянні з графічним. Вибір методу розв’язання багатокритеріальної задачі лінійного програмування. Вирішення задачі визначення максимального прибутку.
  
  курсовая работа [143,7 K], добавлен 15.12.2014
  

• Методика економіко-математичного програмування

  Математична модель задачі лінійного програмування, її вирішення за допомогою симплекс-методу. Побудова екстремумів функцій в області, визначеній нерівностями, за допомогою графічного методу. Математична модель транспортної задачі та її опорний план.
  
  контрольная работа [241,7 K], добавлен 28.03.2011
  

• Економіко-математичне моделювання в менеджменті

  Управлінське рішення як концентроване вираження процесу управління. Економіко-математичне моделювання процесів прийняття управлінських рішень. Окремі випадки економіко-математичного моделювання в менеджменті на прикладі прогнозування та планування.
  
  курсовая работа [41,2 K], добавлен 24.03.2012
  

• Підвищення ефективності діяльності підприємства ВАТ "Поліпромінвест" на основі використання економіко-математичних методів

  Цілі і задачі методики аналізу фінансово-господарської діяльності. Система показників, що характеризують фінансовий стан підприємства, аналіз прибутку і рентабельності. Постановка транспортної задачі і її вирішення за допомогою додатків Ms.Excel.
  
  дипломная работа [1,2 M], добавлен 11.03.2010
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам