Математические методы и модели в экономике

Оглавление

1. Теоретическое обоснование

2. Геометрическая интерпретация

3. Пример решения задачи симплекс-методом

3.1 Условие задачи

3.2 Построение математической модели оптимизации выпуска продукции торгового предприятия

3.3 Решение симплекс-методом с помощью симплекс-таблиц

Список используемой литературы

Основу коммерческой деятельности торгового предприятия на потребительском рынке составляет процесс продажи товаров. Экономическое содержание этого процесса отражает товарооборот предприятия. Под товарооборотом торгового предприятия понимается сумма продажи им потребительских товаров за определенный период времени. Развитию товарооборота торговых предприятий всех форм собственности и организационно-правовых форм деятельности придается большое значение в экономической и социальной политике страны. Это связано с тем, что товарооборот характеризует масштабы и уровень удовлетворения спроса населения на товары, стимулирует развитие производства и способствует ускорению оборота капитала производственных предприятий, в значительной степени определяет масштабы внешнеэкономической деятельности, денежного оборота, бюджетных поступлений и других макроэкономических показателей.

Целью моей курсовой работы является определение оптимальной структуры товарооборота, обеспечивающего торговому предприятию максимум прибыли.

Обосновать использование симплекс-метода для достижения поставленной цели.

На примере торгового предприятия определить оптимальную структуру товарооборота, используя симплекс-метод.

Проанализировать полученные результаты.

Область возможного применения экономико-математических методов чрезвычайно велика и постоянно расширяется. Однако область фактического применения в практике намного скромнее. Главная трудность заключается в сложности моделирования экономических процессов и явлений. Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием «сложная система». Сложность системы определяется числом элементов, входящих в нее, и характером взаимосвязей между ними. Кроме того, моделирование существенно усложняется тем, что экономика охватывает не только производственные процессы, но и производственные отношения.

Вэкономико-математических исследованиях применяется разнообразный математический аппарат как общий (линейная алгебра, математический анализ, теория вероятностей, математическая статистика), так и специальный, разработанный для экономических исследований (линейное и динамическое программирование, теория игр, теория массового обслуживания и др.)

1. Теоретическое обоснование

Коммерческая деятельность в том или ином виде сводится к решению таких задач: как распорядиться имеющимися ресурсами для достижения наибольшей выгоды или какое следует предпринять действие для получения возможно лучшего финансового результата. Для этого требуется перевод задач коммерческой деятельности на математический язык. В этом и состоит одна из проблем овладения искусством математического моделирования.

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки.

Как правило, моделирование используется:

1. для исследования системы до того, как она спроектирована с целью определения ее основных характеристик и правил взаимодействия элементов между собой и с внешней средой;

2. на этапе проектирования для анализа и синтеза различных видов структур и выбора наилучшего варианта реализации с учетом сформулированных критериев оптимальности и ограничений;

3. на этапе эксплуатации системы для получения оптимальных режимов функционирования и прогнозных оценок ее развития.

При этом одну и ту же систему можно описать различными типами моделей. Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале. Подмоделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включаетипостроениеабстракций, иумозаключенияпоаналогии, и конструирование научных гипотез. Модели могут быть физическими, аналоговыми и математическими. Они могут быть представлены в виде графиков, рисунков, математических соотношений, макетов, различного рода механических, электрических и прочих устройств.

По конкретному предназначению, т. е. по цели создания и применения, выделяют несколько видов моделей. Рассмотрим оптимизационные модели, предназначенные для выбора наилучшего варианта из определенного числа вариантов производства, распределения или потребления.

Математическое моделирование экономических процессов, тесно связанное с компьютеризацией, в последние десятилетия является наиболее быстро развивающимся направлением экономической науки и ее важнейших приложений.

В тех случаях, когда модель содержит t уравнений, для построения опорных решений используются t переменных, принимающих некоторые положительные значения при нулевых значениях остальных свободных переменных. Вычислительная процедура может быть представлена в виде следующей последовательности. Итеративный переход от одного допустимого базисного решения проводится направленно от одной вершины области допустимых решении к другой, заключающегося в обмене базисных и свободных переменных: базисная переменная приравнивается к нулю и переходит в свободную, а соответственно свободная переменная переводится на место базисной. Если в столбце свободных членов все элементы положительны, то решение является допустимым. Если в строке целевой функции все элементы неотрицательные, то решение является оптимальным при решении задачи на максимум.

В соответствии с симплексным методом на первом шаге находят начальное опорное решение - допустимый вариант, удовлетворяющий всем ограничениям. Затем последовательно за определенное число итераций направленно осуществляется переход от одного опорного решения к другому вплоть до оптимального. Следует заметить, что на первом шаге в качестве базисных переменных следует выбрать такие t переменные, каждая из которых входит только один раз в одно из t уравнений системы, при этом нет таких уравнений системы, в которые не входит ни одна из них.

Процесс решения задачи линейного программирования носит итерационный характер: однотипные вычислительные процедуры в определенной последовательности повторяются до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение. Процедуры, реализуемые в рамках симплекс-метода, требуют применения вычислительных машин - мощного средства решения задач линейного программирования.

Симплекс-метод - это характерный пример итерационных вычислений, используемых при решении большинства оптимизационных задач. Правая и левая части ограничений линейной модели могут быть связаны знаками <=,=и=>. Кроме того, переменные, фигурирующие в задачах линейного программирования (ЛП), могут быть неотрицательными или не иметь ограничения в знаке. Для построения общего метода решения задач ЛП соответствующие модели должны быть представлены в некоторой форме, которую назовем стандартной формой линейных оптимизационных моделей. При стандартной форме линейной модели.

1. Все ограничения записываются в виде равенств с неотрицательной правой частью;

2. Значения всех переменных модели неотрицательны;

3. Целевая функция подлежит максимизации или минимизации.

Информация, которую можно получить с помощью симплекс-метода, не ограничивается лишь оптимальными значениями переменных. Симплекс-метод фактически позволяет дать экономическую интерпретацию полученного решения и провести анализ модели на чувствительность.

2. Геометрическая интерпретация

Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования является основой графического метода и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно.

Допустимое множество базисных решений системы линейных уравнений образует в объеме многогранное тело, например тетраэдр, вершины которого - угловые точки. Каждой угловой точке многогранника решений соответствует опорный план (допустимое базисное решение). Количество перебираемых допустимых базисных решений можно сократить и проводить не беспорядочный перебор, а последовательный по специальному алгоритму, улучшая значение целевой функции. Методы решения задач коммерческой деятельности по угловым точкам области допустимого решения, улучшающих значение целевой функции до тех пор, пока целевая функция не достигнет оптимального значения.

Симплексный метод основан на последовательном переходе от одного базисного решения (опорного плана) задачи линейного программирования к другому опорному плану, при этом значение целевой функции изменяется в лучшую сторону.

В вычислительной схеме симплекс-метода реализуется упорядоченный процесс, при котором, начиная с некоторой исходной допустимой угловой точки (обычно начало координат), осуществляются последовательные переходы от одной допустимой экстремальной точки к другой до тех пор, пока не будет найдена точка, соответствующая оптимальному решению.

Выбор каждой последующей экстремальной точки при использовании симплекс-метода определяется следующими двумя правилами:

1. Каждая последующая угловая точка должна быть смежной с предыдущей. Этот переход осуществляется по границам (ребрам) пространства решений.

2. Обратный переход к предшествующей экстремальной точке не может производиться. Таким образом, отыскание оптимального решения начинается с некоторой допустимой угловой точки, и все переходы осуществляются только к смежным точкам, причем перед новым переходом каждая из полученных точек проверяется на оптимальность.

Cоответствия геометрических и алгебраических определений представлены в таблице:

Рис. 1

На рисунке 1 приведен пример Хахулин Г.Ф., Красовская М.А., Булыгин В.С. Теоретические основы автоматизированного управления. Стр.20. некоторого множества допустимых решений ЗЛП с тремя ограничениями типа неравенства и условиями неотрицательности обеих оптимизационных переменных. Любое ограничение типа неравенства разделяет всю плоскость на две полуплоскости. Графически это изображено прямой линией со штриховкой в сторону полуплоскости, где ограничение выполняется. Ограничения типа равенства определяет множество точек, находящихся на соответствующей прямой.

На рис. 1 видно, что множество допустимых решений ЗЛП для случая двух переменных представляет собой выпуклый многогранник, ограниченный прямыми. Несложно представить, что в задаче с тремя переменными допустимое множество в общем случае будет не плоским, а объёмным выпуклым многогранным множеством, ограниченным плоскостями. В n-мерном случае множество D также представляет собой выпуклое многогранное множество, ограниченное гиперплоскостями.

Геометрическая интерпретация перестает быть пригодной при числе свободных переменных n - m > 3, а затруднительна уже при n - m = 3. Для нахождения решения задачи линейного программирования в общем случае (при произвольном числе свободных переменных) применяются не геометрические, а вычислительные методы. Из них наиболее универсальным является симплекс-метод.

3. Пример решения задачи симплекс-методом

Рассмотрим алгоритм симплексного метода на примере решения задачи планирования товарооборота предприятия торговли. Требуется определить оптимальную структуру товарооборота, обеспечивающую торговому предприятию максимум прибыли.

3.1 Условие задачи

Машиностроительное предприятие для изготовления пяти видов продукции использует токарное,фрезерное, сверлильное, расточное и шлифовальное оборудование, а также готовые комплектующие изделия.

Производимая на машиностроительном предприятии сборка готовых изделий требует выполнения определённых сборочно-наладочных работ. Нормы затрат всех видов имеющихся на предприятии ресурсов, затрачиваемых на изготовление одного изделия каждого из пяти видов, приведены в таблице 1.12.

В этой же таблице указаны наличный фонд каждого из ресурсов на машиностроительном предприятии, а кроме того, прибыль от реализации единицы продукции каждого из пяти видов и ограничения на возможный выпуск продукции второго и третьего видов.

Найти план выпуска продукции, при котором прибыль от её реализации является максимальной.

При определении плана выпуска следует учесть также то, что минимальное количество продукции второго вида 50 штук, а максимальное количество продукции третьего вида - 140 штук.

Таблица 1.12

3.2 Построение математической модели оптимизации выпуска продукции торгового предприятия

Обозначим через х1, х2, х3, х4 и х5 - объемы производимой предприятием продукции 1-го, 2-го, 3-го, 4-го и 5-го вида соответственно. Из условия следует, что для производства этих объемов продукции требуется использовать ресурсы:

токарного вида в объеме:

345х1+450х2+437x4;

фрезерного вида в объеме:

35х1 +40х2+25x3+30x4+20x5;

сверлильного вида в объеме:

77х1 + 98х2+142x3+68x4+85x5;

расточного вида в объёме:

143x1+112x2+131x3+122x4+81x5;

шлифовального вида в объёме:

Комплектующие изделия:

Сборочно-наладочные работы:

4,7x1+6,4x2+3,8x3+5,1x4+4,5x5.

Расход ресурсов не может превышать их максимально возможный размер, следовательно, имеем ограничения:

345х1+450х2+437x4 ? 86370,

35х1 +40х2+25x3+30x4+20x5 ? 5300,

77х1 + 98х2+142x3+68x4+85x5 ? 21260,

143x1+112x2+131x3+122x4+81x5 ? 27430,

146x2+46x3+54x4+82x5 ? 9453,

8x1+4x2+6x3+7x4+5x5 ? 478,

4,7x1+6,4x2+3,8x3+5,1x4+4,5x5 ? 894.

Известно, что минимальное количество продукции второго вида 50 штук, а максимальное количество продукции третьего вида - 140 штук. Необходимо добавить ограничения:

х2 ? 50 и х3 ? 140.

Еще одно неявное ограничение состоит в том, что переменные х1, х4 и х5 должны быть неотрицательны, т.е.

х1 ? 0, х4 ? 0 и х5 ? 0.

Ограничения на использование заданных запасов ресурсов приводят к системе неравенств, определяющей множество производственных возможностей предприятия.

345х1+450х2+437x4 ? 86370,

35х1 +40х2+25x3+30x4+20x5 ? 5300,

77х1 + 98х2+142x3+68x4+85x5 ? 21260,

143x1+112x2+131x3+122x4+81x5 ? 27430,

146x2+46x3+54x4+82x5 ? 9453,

8x1+4x2+6x3+7x4+5x5 ? 478,

4,7x1+6,4x2+3,8x3+5,1x4+4,5x5 ? 894,

х1 ? 0, х2 ? 50, х3 ? 140, х4 ? 0 и х5 ? 0.

Целевая функция модели должна выражать основную цель деятельности предприятия. В нашем примере это получение максимальной прибыли от реализации произведенной продукции.

Обозначим функцию размера прибыли через Z,

Z = 800х1+366х2+510х3+347х4+789х5.

Основная цель предприятия может быть выражена так: максимизировать целевую функцию

Z = 800х1 + 366х2+510х3+347х4+789х5.

Перепишем это условие в следующей форме:

Z = 800х1 + 366х2+510х3+347х4+789х5 max.

Таким образом, математическая модель оптимизации выпуска продукции может бытьзаписана в следующем виде. Найти неизвестные значения переменных х1, х2, х3, х4 и х5, удовлетворяющие ограничениям:

345х1+450х2+437x4 ? 86370,

35х1 +40х2+25x3+30x4+20x5 ? 5300,

77х1 + 98х2+142x3+68x4+85x5 ? 21260,

143x1+112x2+131x3+122x4+81x5 ? 27430,

146x2+46x3+54x4+82x5 ? 9453,

8x1+4x2+6x3+7x4+5x5 ? 478,

4,7x1+6,4x2+3,8x3+5,1x4+4,5x5 ? 894,

х1 ? 0, х2 ? 50, х3 ? 140, х4 ? 0 и х5 ? 0,

и доставляющих максимальное значение целевой функции:

Z = 800х1 + 366х2+510х3+347х4+789х5 max.

Построенная модель является задачей линейного программирования. Любое решение, удовлетворяющее ограничениям модели, называется допустимым, а допустимое решение, доставляющее максимальное значение целевой функции, называется оптимальным.

3.3 Решение симплекс-методом с помощью симплекс-таблиц

Определим оптимальный план выпуска продукции, решив задачу линейного программирования (ЗЛП). Для этого сначала приведем модель к каноническому виду (система ограничений имеет вид уравнений). Это достигается введением дополнительных переменных. Решим симплекс-методом задачу с искусственным базисом (т.к. один знак неравенств-ограничений " ? ").

Запишем задачу в канонической форме:

345х1+450х2+437x4+x6 = 86370,

35х1 +40х2+25x3+30x4+20x5+x7 = 5300,

77х1 + 98х2+142x3+68x4+85x5+x8 = 21260,

143x1+112x2+131x3+122x4+81x5+x9 = 27430,

146x2+46x3+54x4+82x5+x10 = 9453,

8x1+4x2+6x3+7x4+5x5+x11 = 478,

4,7x1+6,4x2+3,8x3+5,1x4+4,5x5+x12 = 894,

х2-x13 = 50,

х3+x14 = 140,

;

Добавим в систему уравнений искусственные переменные Ri:

345х1+450х2+437x4+x6 = 86370,

35х1 +40х2+25x3+30x4+20x5+x7 = 5300,

77х1 + 98х2+142x3+68x4+85x5+x8 = 21260,

143x1+112x2+131x3+122x4+81x5+x9 = 27430,

146x2+46x3+54x4+82x5+x10 = 9453,

8x1+4x2+6x3+7x4+5x5+x11 = 478,

4,7x1+6,4x2+3,8x3+5,1x4+4,5x5+x12 = 894,

х2-x13+R1 = 50,

х3+x14 = 140,

; R1 ? 0.

Перенесем члены целевой функции влево

Z - 800х1 - 366х2 - 510х3 - 347х4 - 789х5 = 0.

Данная система является системой с базисом, в которой x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12,x13, x14, R1 - базисные переменные, а x1, x2, x3, x4, x5 - свободные переменные, свободные члены всех уравнений неотрицательны. Следовательно, для решения задачи можно применить симплекс-метод. Решение симплексным методом произведём в симплексных таблицах.

Составим первую симплекс-таблицу (Итерация 0), т.е. таблицу коэффициентов целевой функции и системы уравнений при соответствующих переменных. Здесь "БП" означает столбец базисных переменных, «Решение» - столбец правых частей уравнений системы. Cтрока «Оценка» получается суммированием соответствующих коэффициентов строк с искусственными переменными (R) с обратным знаком. Она будет присутствовать в таблице до тех пор, пока хотя бы одна из искусственных переменных есть в базисе. По наибольшему по модулю отрицательному коэффициенту строки "Оценка" определяется разрешающий столбец пока она есть в таблице. Когда строка "Оценка" выйдет из таблицы (в базисе нет искусственных переменных) разрешающий столбец будет определяться по z-строке.

Таблица 1.1 Симплекс-метод итерация 0

Для улучшения решения перейдем к следующей итерации симплекс-метода, получим следующую симплекс-таблицу (итерация 1). Для этого надо выбрать разрешающий столбец, т.е. переменную, которая войдет в базис на следующей итерации симплекс-метода.

Затем выбирается разрешающая строка, т.е. переменная, которая выйдет из базиса на следующей итерации симплекс-метода. Она выбирается по наименьшему отношению столбца "Решение" к соответствующим положительным элементам разрешающего столбца в начальной итерации.