48

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ»

Институт Налогов и Налогового Менеджмента

Кафедра Прикладной Математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Прикладная математика»

Вариант 10

Москва ? 2005

Содержание

Содержание

1. Оптимальное производственное планирование

1.1 Линейная задача производственного планирования

1.2. Двойственная задача линейного программирования

1.3. Расшивка узких мест

1.4. Задача о комплектном плане

2. Оптимальное распределение инвестиций

3. Принятие решений в условиях неопределенности

3.1 Анализ связанного набора операций в условиях неопределенности

3.2 Анализ связанного набора операций в вероятностных условиях

3.3 Анализ по доходу и риску набора операций

4. Анализ доходности и рискованности финансовых операций

4.1 Доходность и риск операции вероятностно характеризуемой

4.2 Анализ по доходу и риску набора операций вероятностно характеризуемых

4.3 Риск линейных комбинаций двух некоррелированных операций

4.4 Оптимисты, объективисты и пессимисты по отношению к риску

5. Налоговые шкалы

5.1 Расчет налога по налоговой шкале

5.2 Средняя ставка налога

5.3 Виды подоходных налогов

6. Налоги на рынке с линейными функциями спроса и предложения

6.1Параметры рынка с линейными функциями спроса и предложения

6.2 Налог с продаж

6.3 Акцизный налог

7. Налоги в теории фирмы

7.1 Налог на прибыль

7.2 Акцизный налог

8. Статистический анализ денежных потоков

11. Матричные игры с нулевой суммой

12. Список использованной литературы

Линейное производственное планирование

1.1Линейная производственная задача.

Задача линейного оптимального планирования - один из важнейших математических инструментов, используемых в экономике. Рассмотрим предприятие, которое из m видов ресурсов производит n видов продукции. Известны нормы рас хода a[i,j] - количество единиц i-го ресурса, расходуемое на производство одной единицы j-го вида продукции. Известны запасы ресурсов - i-го ресурса имеется b[i] , известны удельные прибыли c[j] -прибыли от реализации одной единицы j-го вида продукции. План производства X=(x[1],...,x[n]) называется допустимым если имеющихся ресурсов для него достаточно. Рассматриваемая задача состоит в нахождении допустимого плана, дающего максимальную прибыль из всех допустимых планов. Такой план называется оптимальным. Симплекс-метод является наиболее мощным и распространенным методом решения подобных задач, называемых задачами линейного программирования - ЛП.

Заданы удельные прибыли, нормы расхода и запасы ресурсов, решим поставленную задачу симплекс-методом.

Исходные данные:

59	27	20	35
1	3	2	2	102
3	2	0	3	204
4	2	3	1	188

Обозначим x1,x2,x3,x4 - число единиц 1-й,2-й,3-й,4-й продукции, которые планируем произвести. При этом можно использовать только имеющиеся запасы ресурсов. Целью является получение максимальной прибыли. Получаем следующую математическую модель оптимального планирования:

P(x1,x2,x3,x4)=59*x1+27*x2+20*x3+35*x4 -->max

1*x1+ 3*x2+ 2*x3+ 2*x4<=102

3*x1+ 2*x2+ 0*x3+ 3*x4<=204

4*x1+ 2*x2+ 3*x3+ 1*x4<=188

x1,x2,x3,x4>=0

Для решения полученной задачи в каждое неравенство добавим неотрицательную переменную. После этого неравенства превратятся в равенства, в силу этого добавляемые переменные называются балансовыми. Получается задача ЛП на максимум, все переменные неотрицательны, все ограничения есть равенства и есть базисный набор переменных: x5 - в 1-м равенстве, x6 - во 2-м и x7 - в 3-м . Теперь можно запускать симплекс-метод.

P(x1,x2,x3,x4)=59*x1+27*x2+20*x3+35*x4+ 0*x5+ 0*x6+ 0*x7 -->max

1*x1+ 3*x2+ 2*x3+ 2*x4+ x5 =102

3*x1+ 2*x2+ 0*x3+ 3*x4 + x6 =204

4*x1+ 2*x2+ 3*x3+ 1*x4 + x7=188

x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7>=0

Таблица N 1

			59	27	20	35	0	0	0
СБ	Б	Н	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
0 0 0	X5 X6 X7	102.00 204.00 188.00	1 .00 3.00 4.00	3.00 2.00 2.00	2.00 0.00 3.00	2.00 3.00 1.00	1.00 0.00 0.00	0.00 1.00 0.00	0.00 0.00 1.00
	P	0	-59	-27	-20	-35	0	0	0

Если все оценочные коэффициенты (зеленый цвет) неотрицательны, то получено оптимальное решение: базисные переменные равны свободным членам, остальные равны 0, максимум целевой функции указан правее буквы P. Если же есть отрицательный оценочный коэффициент, то находят самый малый из них. Если в столбце коэффициентов над ним нет положительных, то задача не имеет решения.

Задача оптимального планирования не может быть таковой, поэтому ищут минимальное отношение свободных членов к положительным элементам указанного столбца (минимальное отношение - выделено жирным шрифтом).

Таблица N 2

			59	27	20	35	0	0	0
Сб	Б	Н	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
0 0 59	X5 X6 X1	55.00 63.00 47.00	0.00 0.00 1.00	5/2 1/2 1/2	5/4 -9/4 3/4	7/4 9/4 1/4	1.00 0.00 0.00	0.00 1.00 0.00	-1/4 -3/4 1/4
	P	2773	0.00	5/2	97/4	-81/4	0.00	0.00	59/4

Если все оценочные коэффициенты (выделены курсивом) неотрицательны, то получено оптимальное решение: базисные переменные равны свободным членам, остальные равны 0, максимум целевой функции указан правее буквы P. Если же есть отрицательный оценочный коэффициент, то находят самый малый из них. Если в столбце коэффициентов над ним нет положительных, то задача не имеет решения.

Задача оптимального планирования не может быть таковой, поэтому ищут минимальное отношение свободных членов к положительным элементам указанного столбца (минимальное отношение - выделено жирным шрифтом).

Таблица N 3

			59	27	20	35	0	0	0
Сб	Б	Н	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
0 35 59	X5 X4 X1	6.00 28.00 40.00	0.00 0.00 1.00	19/9 2/9 4/9	3.00 -1.00 1.00	0.00 1.00 0.00	1.00 0.00 0.00	-7/9 4/9 -1/9	1/3 -1/3 1/3
	Р	3340.00	0.00	7.00	4.00	0.00	0.00	9.00	8.00

Оптимальный план: x5= 6.00;x4= 28.00;x1= 40.00;

все остальные переменные равны 0 ; максимум целевой функции равен 3340.00 значение переменной с номером i большим 4 есть остаток (i-4)-го ресурса (после выполнения оптимального плана).

Так как все оценочные коэффициенты (выделены курсивом) неотрицательны, то получено оптимальное решение: базисные переменные равны свободным членам, остальные равны 0, максимум целевой функции указан правее буквы P. Выше выписан ответ.

Задача 1.2.Двойственная задача линейного программирования

Задача линейного оптимального планирования - исходная в своей паре симметричных двойственных задач. Вообще же другая задача в двойственной паре строится так: 1)меняется тип экстремума целевой функции ( max на min и наоборот);

2)коэффициенты целевой функции одной задачи становятся свободными членами другой задачи; 3)свободные члены одной задачи становятся коэффициентами целевой функции двойственной задачи ; 4)тип неравенств меняется ( <= на => и наоборот); 5) каждый столбец одной задачи порождает строку ограничений другой задачи и наоборот. В матрично - векторном виде обе задачи выглядят так:

исходная задача двойственная задача

CX-->max YB-->min

AX<=B, X>=0 YA=>C, Y=>0

P= 59*x1+27*x2+20*x3+35*x4-->max S= 102*y1+204*y2+188*y3-->min 1*x1+3*x2+2*x3+2*x4<=102 1*y1+3*y2+4*y3=>59

3*x1+2*x2+0*x3+3*x4<=204 3*y1+2*y2+2*y3=>27

4*x1+2*x2+3*x3+1*x4<=188 2*y1+0*y2+3*y3=>20

x1,x2,x3,x4>=0 2*y1+3*y2+1*y3=>35

y1,y2,y3>=0

Таблица N 3

			59	27	20	35	0	0	0
C	Б	Н	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
0	x5	6.00	0.00	2.11	3.00	0.00	1.00	-0.78	0.33
35	x4	28.00	0.00	0.22	-1.00	1.00	0.00	0.44	-0.33
59	x1	40.00	1.00	0.44	1.00	0.00	0.00	-0.11	0.33
	P	3340.00	0.00	7.00	4.00	0.00	0.00	9.00	8.00

Исходная задача: x1= 40.00;x2=0;x3=0;x4= 28.00;x5= 6.00;x6=0;x7=0;

Оптимальные значения двойственных переменных равны оценочным коэффициентам балансовых переменных исходной задачи, а экстремумы целевых функций равны.

Двойственная задача: y1= 0.00;y2= 9.00;y3= 8.00; экстремумы целевых функций исходной и двойственной задач равны 3340.00 (см. таблицу).

P= 59*x1+27*x2+20*x3+35*x4-->max S= 102*y1+204*y2+188*y3-->min

1*x1+3*x2+2*x3+2*x4<=102 1*y1+3*y2+4*y3=>59

3*x1+2*x2+0*x3+3*x4<=204 3*y1+2*y2+2*y3=>27

4*x1+2*x2+3*x3+1*x4<=188 2*y1+0*y2+3*y3=>20

x1,x2,x3,x4>=0 2*y1+3*y2+1*y3=>35

y1,y2,y3>=0

Решение одной из пары двойственных задач можно найти, зная только ответ к другой задаче и пользуясь 2-й теоремой двойственности: если i-е ограничение одной из пары двойственных задач на компонентах оптимального решения есть строгое неравенство, то оптимальное значение i-й переменной другой задачи равно 0, или, что то же самое - если оптимальное значение j-й переменной одной задачи строго положительно, то j-е ограничение другой из пары двойственных задач на компонентах оптимального решения есть равенство. Проверим решение, используя эту теорему.

Исходная задача: x1= 40.00;x2=0;x3=0;x4= 28.00;x5= 6.00;x6=0;x7=0;

Двойственная задача: y1= 0.00;y2= 9.00;y3= 8.00

экстремумы целевых функций исходной и двойственной задач равны 3340.00

P= 59*x1+27*x2+20*x3+35*x4-->max S= 102*y1+204*y2+188*y3-->min

1*x1+3*x2+2*x3+2*x4<=102 1*y1+3*y2+4*y3=>59

3*x1+2*x2+0*x3+3*x4<=204 3*y1+2*y2+2*y3=>27

4*x1+2*x2+3*x3+1*x4<=188 2*y1+0*y2+3*y3=>20

x1,x2,x3,x4>=0 2*y1+3*y2+1*y3=>35

y1,y2,y3>=0

Задача 1.3.Расшивка узких мест

Исходные данные:

			59	27	20	35	0	0	0
C	Б	Н	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
0 35 59	X5 X4 X1	6.00 28.00 40.00	0.00 0.00 1.00	2,11 0,22 0,44	3.00 -1.00 1.00	0.00 1.00 0.00	1.00 0.00 0.00	-0,78 0,44 -0,11	0,33 -0,33 0,33
	Р	3340.00	0.00	7.00	4.00	0.00	0.00	9.00	8.00

При выполнении оптимальной производственной программы второй и третий ресурсы используются полностью, тем самым они образуют "узкие места" производства. Будем их заказывать дополнительно. Пусть T=( 0,t2,t3) - вектор дополнительных объемов ресурсов. Так как мы будем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие H+Q^(-1)T>=0 или H>=-Q^(-1)T, где H -значения базисных переменных в последней симплексной таблице, а Q^(-1) - обращенный базис, который образуют столбцы при балансовых переменных в этой таблице. Задача состоит в том, чтобы найти вектор T максимизирующий суммарный прирост прибыли W= 9t2+ 8t3 при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно ассортимента выпускаемой продукции), предполагая, что можно получить дополнительно не более 1/3 первоначального объема ресурсов каждого вида.

При выполнении оптимальной производственной программы второй и третий ресурсы используются полностью, т.е. образуют “узкие места производства”. Будем их заказывать дополнительно. Пусть Т(0, t2, t3) - вектор дополнительных объемов ресурсов. Так как используются найденные двойственные оценки, то должно выполняться следующее условие:

H + Q^-1T ? 0.

Задача состоит в том, чтобы найти вектор, максимизирующий суммарный прирост прибыли:

W = 9 t₂ + 8 t₃

при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно, структуры производственной программы), предполагая, что можно надеяться получить дополнительно не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида

0 102

t₂ ? 1/3 204

t₃ 188 ,

причем по смыслу задачи t₂ ?0, t₃ ? 0.

Следовательно, получаем

6 1 -0,78 0,33 0 0

28 + 0 0,44 -0,33 * t₂ ? 0

40 0 -0,11 0,33 t₃ 0 .

Перемножим матрицы и получим следующую систему неравенств:

-0,78t₂ + 0,33t₃ ? -6, -7t₂ + 3t₃ ? -54, (I)

0,44t₂ - 0,33t₃ ? -28, 4t₂ - 3t₃ ? -252, (II)

-0,11t₂ + 0,33t₃ ? -40, - t₂ + 3t₃ ? -360; (III)

t₂ ? 204/3, t₃ ? 188/3, t₂ ?34,46, t₃ ? 62,67,

t₂ ? 0, t₃ ? 0; t₂ ? 0, t₃ ? 0.

Программа “расшивки” имеет вид

t₂ = 34,46 , t₃ = 62,67,

и прирост прибыли составит maxW = 9•242/7+ 8•188/3 =17062/21 ? 811,48 в точке М(34,46;62,67).

1.4. Задача о комплектном плане.

Исходные данные:

из пункта 1.1. имеем задачу линейного программирования

59 x₁ + 27 x₂ + 20x₃ +35 x₄ > max,

1x₁ + 3x₂ + 2x₃ + 2x₄ ? 102,

3x₁ + 2x₂ + 0x₃ + 3x₄ ? 204,

4x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 1x₄ ? 188,

x_{1 - 4} ? 0.

Даны следующие пропорции:

x₃ x₄

-- = 2, -- = 5,

x₁ x₂

Решение:

1.Предположим, что в данной линейной производственной задаче продукция производится комплектно: 3-го вида продукции необходимо произвести в 2 раза больше, чем 1-го, а 4-го в 5 раз больше, чем второго вида продукции.

x₃ x₄

Т.е. имеем соотношения -- = 2, -- = 5, или x₃ = 2x₁ и x₄ = 5x₂.

x₁ x₂

Подставляя эти выражения x₃ и x₄ через x₁ и x₂ в данную линейную производственную задачу, получаем следующее

59 x₁ + 27 x₂ + 20•2x₁+35•5x₂ > max,

x₁ + 3x₂ + 2•2x₁ + 2•5x₂ ? 102,

3x₁ + 2x₂ + 0 + 3•5x₂ ? 204,

4x₁ + 2x₂ + 3•2x₁ + 5x₂ ? 188,

x₁, х₂ ? 0.

2. Преобразуем полученную модель к задаче линейного программирования с двумя переменными:

99x₁ + 202x₂ > max,

5x₁ + 13x₂ ? 102, (I)

3x₁ + 17x₂ ? 204, (II)

10x₁ + 7x₂ ? 188, (III)

x₁, х₂ ? 0.

Искомая точка М находится как решение системы:

5x₁ + 13x₂ =102,

10x₁ + 7x₂ =188.

Т.е. x₁ = 346/19 ?18, x₂ = 16/19 ? 1. Найдем оптимальный план с учетом значений x₁ и x₂. Он примерно равен 1984.

Оптимальное распределение инвестиций

2.1.Оптимальное распределение инвестиций

Пусть 4 фирмы образуют объединение. Рассмотрим задачу распределения инвестиций в размере 700 тыс. рублей по этим 4 фирмам. Размер инвестиций пусть будет кратен 100 тыс. рублей. Эффект от направления i-й фирме инвестиций в размере

x ( тыс. рублей) выражается функцией fi(x).

Приходим к задаче

f1(x1)+f2(x2)+f3(x3)+f4(x4)-->max ,

x1+x2+x3+x4<=7; x1,x2,x3,x4=>0

где xi - пока еще неизвестный размер инвестиций i-й фирме. Эта задача решается методом динамического программирования: последовательно ищется оптимальное распределение для k=2,3 и 4 фирм. Пусть первым двум фирмам выделено m инвестиций, обозначим z2(m) величину инвестиций 2-й фирме, при которой сумма f2(z2(j))+f1(m-z2(100j)), 0<=j<=m максимальна, саму эту максимальную величину обозначим F2(m). Далее действуем также: находим функции z3 и F3 и т.д.

На каждом шаге для нахождения Fk(m)) используем основное рекуррентное соотношение: Fk(m)=max{fk(j)+F{k-1}(m-100j): 0<=j<=7}.

x	0	100	200	300	400	500	600	700
f1(x)	0	10	20	30	38	43	49	52
f2(x)	0	13	25	37	47	55	61	66
f3(x)	0	6	13	20	27	3	38	41
f4(x)	0	24	36	0	46	48	48	49



x2	t f1\F1	0 0	100 10	200 20	300 30	400 38	500 43	600 49	700 52
0	0	0	10	20	30	38	43	49	52
100	13	13	23	33	43	51	56	62
200	25	25	35	45	55	63	68
300	37	37	47	57	67	75
400	47	47	57	67	77
500	55	55	65	75
600	61	61	71
700	66	66

Таблица N 1

Жирным шрифтом обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответствующего размера инвестиций 2 предприятиям.

t	0	100	200	300	400	500	600	700
F2	0	13	25	37	47	57	67	77
z2	0	100	200	300	300	300	300	400

Таблица N 2

x3	t f2\F2	0 0	100 13	200 25	300 37	400 47	500 57	600 67	700 77
0 100 200 300 400 500 600 700	0 6 13 20 27 3 38 41	0 6 13 20 27 3 38 41	13 19 26 33 40 16 51	25 31 38 45 52	37 43 50 57 64	47 53 60 67	57 63 70	67 73	77
				28

Жирным шрифтом обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответствующего размера инвестиций 3 предприятиям.

t	0	100	200	300	400	500	600	700
F3	0	13	25	37	47	57	67	77
z3	0	0	0	0	0	0	0	0

Таблица N 3

x4 0 100 200 300 400 500 600 700	t f3\F3 0 24 36 0 46 48 48 49	0 0 0 24 36 0 46 48 48 49	100 13 13 37 49 13 59 61 61	200 25 25 49 61 25 71 73	300 37 37 61 73 37 83	400 47 47 71 83 47	500 57 57 81 93	600 67 67 91	700 77 77

Жирным шрифтом обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответствующего размера инвестиций 4 предприятиям.

t F4 z4	0 0 0	100 24 100	200 37 100	300 49 100	400 61 100	500 73 200	600 83 200	700 93 200

Сведем результаты в 4 таблицы. Теперь F4(700)=93 показывает максимальный суммарный эффект по всем 4-м фирмам, а z4(700)=200 - размер инвестиций в 4-ю фирму для достижения этого максимального эффекта. После этого на долю первых 3-х фирм осталось (700-200) и для достижения максимального суммарного эффекта по первым 3-м фирмам в 3-ю надо вложить 000 и т.д. Жирным шрифтом отмечены оптимальные значения инвестиций по фирмам и значения эффектов от них.



t	0	100	200	300	400	500	600	700
F1=f1 z1=x1	0 0	10 1	20 200	30 3	38 4	43 5	49 6	52 7
F2 z2	0 0	13 1	25 2	37 3	47 3	57 300	67 3	77 4
F3 z3	0 0	13 0	25 0	37 0	47 0	57 0	67 0	77 0
F4 z4	0 0	24 1	37 1	49 1	61 1	73 2	83 2	93 200

Принятие решений в условиях неопределённости

3.1. Анализ связанного набора операций в условиях неопределенности

Предположим, что ЛПР (Лицо, Принимающее Решения) обдумывает четыре возможных решения. Но ситуация на рынке неопределенна, она может быть одной из четырех.

С помощью экспертов ЛПР составляет матрицу последствий или доходов Q

Элемент этой матрицы q[i,j] показывает доход, полученный ЛПР, если им принято i-е решение, а ситуация оказалась j-я. В этой схеме полной неопределенности могут быть высказаны лишь некоторые соображения о том, какое решение принять. Сначала построим матрицу рисков. Строится эта матрица так: в каждом столбце матрицы доходов находим максимальный элемент d[j] , после чего элементы r[i,j]=d[j]-q[i,j] и образуют матрицу рисков. Смысл рисков таков: если бы ЛПР знал что в реальности имеет место j-я ситуация, то он выбрал бы решение с наибольшим доходом, но он не знает, поэтому, принимая i-е решение он рискует недобрать d[j]-q[i,j] - что и есть риск.

Задана матрица последствий 4x4 из не более чем двузначных неотрицательных чисел. Компьютер вычисляет матрицу рисков.

Матрица доходов Матрица рисков

¦2 4 6 18¦ ¦0 8 12 4¦

¦0 8 16 20¦ ¦2 4 2 2¦

¦2 12 18 22¦ ¦0 0 0 0¦

¦0 4 10 14¦ ¦2 8 8 8¦

Правило Вальда называют правилом крайнего пессимизма: ЛПР уверен, что какое бы решение он ни принял, ситуация сложится для него самая плохая, так что, принимая i-е решение, он получит минимальный доход q[i]=min{q[i,j]:j=1..4}.

Но теперь уже из чисел q[i] ЛПР выбирает максимальное и принимает соответствующее решение.

По правилу Сэвиджа находят в каждой строке матрицы рисков максимальный элемент r[i] и затем из чисел r[i] находят минимальное и принимают соответствующее решение. Так принимает решение ЛПР, не любящий рисковать.

По правилу Гурвица для каждой строки матрицы доходов находят величину z[i]=a*max{q[i,j]:j=1..4}+(1-a)*min{q[i,j]:j=1..4}, потом находят из чисел z[i] наибольшее и принимают соответствующее решение. Число a каждый ЛПР выбирает индивидуально - оно отражает его отношение к доходу и риску, при приближении a к 0 правило Гурвица приближается к правилу Вальда, при приближении a к 1 - к правилу розового оптимизма, в нашем случае a равно 1/2.

3.2.Анализ связанного набора операций в вероятностных условиях

Предположим, что ЛПР (Лицо, Принимающее Решения) обдумывает четыре возможных решения. Но ситуация на рынке неопределенна, она может быть одной из четырех.

Однако в отличие от предыдущей опции известны вероятности этих ситуаций p[j]. Имея матрицу доходов Q теперь можно сказать, что доход от i-го решения есть с.в. Q[i] с доходами q[i,j] и вероятностями этих доходов p[j]. Кроме того, риск i-го решения также есть с.в. R[i] с рисками r[i,j] и вероятностями этих рисков p[j]. Математические ожидания с.в. Q[i], R[i] называются также средним ожидаемым доходом и средним ожидаемым риском решения. Теперь можно принять решение (провести операцию), у которого наибольший средний ожидаемый доход, или наименьший средний ожидаемый риск. Вероятности p[j] - обыкновенные дроби вида 1/4 или 1/12.

Для уточнения распределения вероятностей можно провести пробную операцию.

После ее проведения вероятности состояний, характеристики операций и оптимальные решения могут стать совершенно иными.

Жирным шрифтом выделены первоначальные характеристики, подчёркнутым - после проведения пробной операции. Подсчитаем, при какой максимальной стоимости пробная операция еще оправдана, если решение принимать по критерию максимального среднего ожидаемого дохода.

Первоначальные вероятности и характеристики операции вероятности ситуаций вероятности ситуаций

3.3.Анализ по доходу и риску набора операций

Пусть имеем набор несвязанных друг с другом операций Q[i], i=1..n . Каждая операция имеет два показателя: доход m[i] и риск r[i]. Скажем, что i-я операция доминирует (превосходит) j-ю, если m[i]>=m[j] и r[i]<=r[j] и хотя бы одно из этих неравенств строгое. При выборе наилучшей операции стараются, чтобы доход был больше, а риск меньше, поэтому ни при каком разумном выборе доминируемая операция не может быть выбрана. Остаются недоминируемые операции. Они называются оптимальными по Парето. Заданы характеристики 6-и операций. Жирным шрифтом выделены доминируемые операции и подчёркнутым - недоминируемые, т.е. оптимальные по Парето. Ниже описано начало координат плоскости (r,m) : риск - по горизонтали вправо, доход - по вертикали вверх.

Доход и риск операций

1 2 3 4 5 6

доход xx<=20 14 3 15 10 11 8

риск xx<80 9 20 11 8 71 68

Анализ доходности и рискованности финансовых операций

4.1.Доходность и риск операции вероятностно характеризуемой

Финансовая операция называется рискованной, если она имеет хотя бы два исхода, неравноценных в системе предпочтений ЛПР (Лицо Принимающее Решения). Например, операция Q:(-2;10), означающая, что ЛПР может получить доход 10 или убыток -2, является рискованной. Операция H:(3;12) также является рискованной, ибо даже получив доход 3, ЛПР будет недоволен - ведь мог бы получить 12 !

Однако количественно оценить риск возможно лишь если операция вероятностно характеризуема, т.е. ее доход есть случайная величина (с.в.)- это предполагает возможность неоднократного повторения этой операции. Итак, пусть доход от операции Q есть с.в., которую будем обозначать также как и саму операцию Q. Математическое ожидание M[Q] называют еще средним ожидаемым доходом, а риск операции r отождествляют со средним квадратическим отклонением СКО, т.е. квадратным корнем из дисперсии D[Q] . Задана с.в. дохода Q , находится средний ожидаемый доход M[Q], дисперсия D[Q] и риск операции r. Вероятности конкретных величин дохода - десятичные дроби с точкой вида 0.2 .

¦ 33 ¦ 38 ¦ 42 ¦ 47 ¦ средний ожидаемый доход 41.40

Q: +-------+------- дисперсия дохода 38.04

¦ 0.3 ¦ 0.1 ¦ 0.1 ¦ 0.5 ¦ риск операции 6.17

Для уточнения распределения вероятностей можно провести пробную операцию.

После ее проведения вероятности могут стать совершенно иными и средний ожидаемый доход может значительно увеличиться. Если решение принимается по максимуму среднего ожидаемого дохода, то прибавка среднего ожидаемого дохода и есть максимальная стоимость пробной операции, при которой она еще оправдана

Найдём эту стоимость.

Первоначальные вероятности и характеристики операции

¦ 33 ¦38 ¦ 42 ¦ 47 ¦ средний ожидаемый доход 41.40

Q: +-------+-------+ дисперсия дохода 38.04

¦ 0.30 ¦0.10¦ 0.10 ¦0.50¦ риск операции 6.17

Вероятности и характеристики операции после пробной операции

33 38 42 47 средний ожидаемый доход 45.60

Q: +-------+-------+ дисперсия дохода 17.64

¦ 0.10 ¦0.00¦ 0.00 ¦0.90¦ риск операции 4.20

4.2. Анализ по доходу и риску набора операций вероятностно характеризуемой

Задаём 4 операции по примеру (12,1/2)(3,1/2)(4,1/4)(10,1/4) т.е. в каждой операции 4 возможных дохода - первое число в каждой паре скобок, второе число в этой паре скобок - это вероятность этого дохода - какая-то правильная дробь. Сумма всех вероятностей-дробей должна быть равна 1. Для каждой операции подсчитаем средний ожидаемый доход m и среднее квадратическое отклонение - риск r. Каждая операция представляется в виде точки (r,m) на плоскость (риск - по горизонтали вправо, доход - по вертикали вверх) и выделено жирным шрифтом доминируемые операции и подчёркнутым - недоминируемые, т.е. оптимальные по Парето.

Доходы и вероятности средний ожидаемый

операций доход и риск операций

1-я операция (2,1/4)(6,1/4)(12,1/4)(20,1/4) 10.00 6.78

2-я операция (0,1/2)(4,1/4)(5,1/5)(20,1/20) 3.00 4.47

3-я операция (2,1/20)(6,1/4)(8,1/5)(22,1/2) 14.20 7.90

4-я операция (0,1/2)(4,1/4)(8,1/8)(32,1/8) 6.00 10.20

Нанесем средние ожидаемые доходы и риски на плоскость - доход откладываем по вертикали, а риски по горизонтали (см. рис.):

Получили 4 точки. Чем выше точка , тем более доходная операция, чем точка правее - тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. Точка доминирует точку , если Qґ и rґ и хотя бы одно из этих неравенств строгое. В нашем случае 3-я операция доминирует 2-ую, а 1-ую, 3-ю и 4-ую операции сравнивать нельзя, т.к. при переходе от первой операции к 4-ой с ростом риска растет доход. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций по Парето.

Пусть Q₁ и Q₂ две финансовые операции с эффективностями e₁, e₂ и рисками r₁, r₂ соответственно. Пусть t - какое-нибудь число между 0 и 1. Тогда операция Q_t=(1-t)Q₁+tQ₂ называется линейной комбинацией операций Q₁, Q₂. При движении от 0 к 1 операция Q_t изменяется от Q₁ до Q₂. Эффективность операции Q_t равна (1-t)e₁+te₂, с риском же дело обстоит сложнее.

4.3.Риск линейных комбинаций двух некоррелированных операций

Пусть Q1 и Q2 две финансовые операции с эффективностями e1,e2 и рисками r1,r2 соответственно. Пусть t - какое-нибудь число между 0 и 1 .

Тогда операция Qt=(1-t)Q1+tQ2 называется линейной комбинацией операций Q1,Q2.

При движении от 0 к 1 операция Qt изменяется от Q1 до Q2. Эффективность операции Qt равна (1-t)e1+te2, с риском же дело обстоит сложнее. Рассмотрим только случай некоррелированных операций Q1,Q2, тогда дисперсия операции Qt равна (1-t)^2*D1+(t)^2*D2, где D1,D2 - дисперсии операций, значит, риск операции Qt есть rt=Sqrt((1-t)^2*r1^2+(t)^2*r2^2). Зададим эффективности и риски операций Q1,Q2 и увидим кривую рисков-эффективностей линейных комбинаций этих операций. Линейные комбинации заполняют весь отрезок между точками-операциями выделенные жирным шрифтом, а кривая их характеристик (рисков-эффективностей) выделена точечными линиями. Выделена также операция (Q1+Q2)/2 -"среднее арифметическое" операций Q1,Q2 и указаны ее характеристики, еще выделена операция с наименьшим риском - она также разделяет точки - линейные комбинации на оптимальные по Парето и нет. Обратим внимание, что эта операция лучше одной из двух заданных операций - это есть эффект диверсификации в двух операций в простейшей форме.

1-я операция 2-я операция

эффективность xx<=20 риск 30<=xx эффективность xx>=60 риск xx>=60 20 20 70 70

 e

70

65 Q₃(70;70)

60

55

50

45

40

35 Qp(35,20) -- Qs(33;40)

30

25

20

15

10 Q₂(20;20)

5

1

0 1 10 20 30 40 50 60 70 r

4.4.Оптимисты, объективисты и пессимисты по отношению к риску

Вам предлагают купить лотерейный билет, по которому немедленно будет проведен розыгрыш. У Вас равные шансы выиграть сумму S=$100 и остаться при своих- ничего ни выиграть ни проиграть. За какую сумму Вы купили бы этот билет?

Если за $50, то Вы "объективист". Так называют тех, кто покупает билет за сумму M, равную математическому ожиданию выигрыша - в данном случае M=$50.

Если Вы согласны заплатить за билет лишь менее M , например, только $45, то

Вы не любите рисковать. Условно будем называть не любящих рисковать пессимистами(они не верят в выигрыш).

Если же Вы согласны заплатить за билет более M , например, 55 долларов, то Вы уверены, что Вам повезет и Вы выиграете $100. В этом случае Ваше отношение к риску положительное. Вас можно назвать оптимистом - любящим риск (risk lover).

Это что касается покупной цены лотерейного билета. Но можно узнать о Вашем отношении к риску, рассуждая так же о продажной цене лотерейного билета.

Фиксируем теперь сумму $100 и будем изменять вероятность выигрыша p . Рассматриваемый лотерейный билет при данном p дает выигрыш $100 с вероятностью p.

Графики цены такого билета для объективиста, пессимиста и оптимиста см. далее.

Рассмотрим плоскую фигуру, образованную ломаной OCM и прямой объективиста или кривой оптимиста или пессимиста. Доля f, которую занимает эта фигура в прямоугольнике OAMC оценивает отношение индивида к риску. Если f=0,5, то это объективист, при f<0,5 - это пессимист, при f>0,5 - оптимист.

 объективисты

А (0;100) М(1;100)

оптимисты

25.00

пессимисты

Р

0 (0;0)

0,50 С (1;0)

Отношения к риску:

Для оптимистов: 0,33

Для объективистов: 0,55

Для пессимистов: 0,67

Налоговые шкалы

5.1.Расчет налога по налоговой шкале

Обозначим x месячный доход налогоплательщика, N(x) величину подоходного налога или просто налог, R(x)- остаток дохода налогоплательщика, R(x)=x-N(x).

Аксиома подоходного налога АПН. Налог и остаток налога должны быть возрастающими функциями дохода, а остаток - строго возрастающей функцией дохода.

Распространенный способ задания подоходного налога - с помощью налоговой шкалы. Налоговая шкала Т=(t0;a1,t1;...;ak,tk) - это (2k+1) чисел; k строго возрастающих чисел a1,..,ak, называемых делениями шкалы, и (k+1) чисел t0,..,tk из промежутка [0,1), называемых налоговыми ставками.

Налог N(x) определяется по шкале T следующим образом:

Ї t0*x, 0<=x<=a1,

¦ t0*a1+t1*(x-a1), a1<=x<=a2,

N(x)= ¦ ....

L t0*a1+t1*(a2-a1)+...+tk*(x-ak), x>ak.

Налоговая шкала называется прогрессивной, если налоговые ставки строго возрастают, и регрессивной, если налоговые ставки строго убывают.

Найдите подоходный налог и остаток дохода при двух доходах x=32 и 47 при налоговой шкале: (0.13;20,0.2;40,0.3;60,0.4) (например, все в тысячах руб.).

Нарисуем график налога и остатка дохода и укажем на графике значения налога и остатка дохода при указанных выше значениях дохода. Определим, является ли налоговая шкала прогрессивной или регрессивной.



Задача 5.2. Средняя ставка налога

Существует более общий способ задания налога, чем с помощью налоговой шкалы.

Предварительное определение. Средней ставкой подоходного налога называется произвольная непрерывная функция со значениями в промежутке [0,1).

Если y(x) - такая функция, то налог N(x) равен по определению y(x)*x, следовательно, при известном налоге N(x) средняя ставка равна N(x)/x.

Если налог задан шкалой, то средняя ставка налога вычисляется по шкале так:

Ї (t0*x)/x, 0<=x<=a1,

¦ (t0*a1+t1*(x-a1))/x, a1<=x<=a2,

y(x)= ¦ ....

L (t0*a1+t1*(a2-a1)+...+tk*(x-ak))/x, x>ak.

Если выполнить почленное деление, то получим другое выражение средней ставки через параметры шкалы (s1,s2 и т.д. - некоторые новые параметры шкалы:

Ї t0, 0<=x<=a1,

¦ t1+s1/x, a1<=x<=a2,

y(x)= ¦ ....

L tk*sk/x, x>ak.

Из АПН следует, что средняя ставка налога должна удовлетворять условию y`(x)<(1-y(x))/x .

Напишем два выражения для средней ставки налога и начертим ее график при налоговой шкале: (0.13;20,0.2;40,0.3;60,0.4) (например, все в тысячах руб.).

Найдём величину средней ставки налога при двух доходах x=32 и 47.

5.3.Виды подоходных налогов

Существуют различные виды подоходных налогов, которые отражены на практике.

Определение. Подоходный налог называется:

а)выпуклым, если N(x)-выпуклая функция и вогнутым, если N(x)-вогнутая функция;

б)прогрессивным, если средняя ставка N(x)/x - возрастающая функция

и регрессивным, если N(x)/x - убывающая функция;

в)пропорциональным, если N(x)/x=Const , т.е. если средняя ставка постоянна;

г)ультрааддитивным, если N(a)+N(b)<=N(a+b) для любых a,b; и инфраддитивным, если N(a)+N(b)>=N(a+b).

Можно доказать, что указанные выше первые и вторые свойства связаны следующими импликациями: a)->б)->г);в)->б);a)->в), причем стрелки необратимы, т.е. выпуклость строго сильнее прогрессивности, прогрессивность строго сильнее ультрааддитивности, пропорциональность строго сильнее прогрессивности (тем самым существует прогрессивный, но не пропорциональный налог).

Также можно доказать, что для прогрессивной налоговой шкалы подоходный налог выпуклый, а для регрессивной - вогнутый.

Для налоговой шкалы: (0.13;20,0.2;40,0.3;60,0.4) (например, все в тысячах руб.) выясните, имеет ли заданный ею налог какое-либо свойство а-г) - см. выше.

 6.Налоги на рынке с линейными функциями спроса и предложения

6.1.Параметры рынка с линейными функциями спроса и предложения

Рассматривается рынок одного товара. Пусть D(p) - функция спроса на товар, она убывающая, S(p) - функция предложения товара, она возрастающая функция цены. Если на рынке цена товара равна p, то количество денег, перешедшее от покупателей к продавцам за единицу времени равно W(p)=p(мin{S(p),D(p)}).

Другой способ описания W(p): W(p)=pS(p) при p<=p* и W(p)=pD(p) при p>=p*.

Здесь p* - равновесная цена: при которой спрос равен предложению S(p)=D(p).

Если ни покупатели, ни продавцы не могут изменить цену, сложившуюся на рынке, иначе как изменением суммарного спроса или предложения, то рынок называется совершенным. Равновесное состояние рынка означает равенство спроса и предложения; цена, при которой достигается это равенство называется равновесной ценой, она есть решение уравнения S(p)=D(p). При выведении совершенного рынка из равновесного состояния он переходит в другое равновесное состояние.

При линейных функциях спроса D(p)=c-dp и предложения S(p)=-a+bp, a,b,c,d>0, равновесное состояние рынка существует если и только если (c/d)>(a/b) - это условие далее предполагается. Сама равновесная цена равна p*=(a+c)/(b+d).

Для рынка одного товара с линейными функциями с параметрами a=10,b=30,c=100,d=10; начертиv графики функций спроса и предложения,

найдём равновесную цену. Начертим график функции W(p) - суммы, переходящей от покупателей к продавцам за единицу работы рынка, найти точку максимума этой функции и сам максимум. Отметим, что если (c/2d)<p*, то максимум W при p*, и равен (p*)S(p*), иначе максимум при p=c/2d и равен (c/2d)D(c/2d). р*=10+100/30+10=2,75

6.2.Налог с продаж

Рассматривается совершенный рынок одного товара. Пусть D(p), S(p) - линейные функции спроса и предложения товара. Введем налог с продаж, его ставку обозначим t . С выручки W за единицу работы продавцы платят налог tW. В качестве аксиомы примем, что после введения налога с продаж функция спроса не изменится: D~(p)=D(p), функция же предложения станет такой S~(p)=S((1-t)p) - ведь без налога с продаж продавец, назначая цену p , рассчитывает получить именно p с каждой единицы товара, а после введения налога с продаж он получит в итоге только (1-t)p.

Новое равновесное состояние рынка (после введения налога) найдем, приравняв функцию спроса и новую функцию предложения: D~(p)=S~(p), откуда получим новую равновесную цену (pt)=(a+c)/(b(1-t)+d) - видим, что новая равновесная цена больше прежней.

Налоговый орган хочет найти такую ставку t*, при которой взимаемый налог с продаж максимален. Для этого надо найти максимум по t функции

N(t)=t(pt)(c-d(pt))=t(a+c)/(b(1-t)+d)[c-d(a+c)/(b(1-t)+d)]. Оказывается, что t*=(bc-ad)/(b(c+dp*), соответствующая равновесная цена (pt*)=c/(2d)+p*/2 -здесь p*=(a+c)/(b+d) - равновесная цена до введения налога с продаж. Налог с продаж, уплачиваемый при ставке t* равен N*=t*(pt*)(c-d(pt*)).

Нарисуем графики функций спроса D(p)=100-10p и функций предложения S(p)=-10+30p и S~(p)=-10+30(1-t*)p). Подсчитаем оптимальную ставку налога t*, налог по этой ставке и новую равновесную цену.

Оптимальная ставка налога:

t t*=(30*100-10*10)/(30(100+10*2,75)=0,76=76%

Новая равновесная цена:

(pt*)=100/(2*10)+2,75/2=6, 38

Налог по новой ставке:

N^*=0,76^*6,38*(100-10 ^*6,38)=224

6.3. Акцизный налог

Рассматривается совершенный рынок одного товара. Пусть D(p), S(p) - линейные функции спроса и предложения товара. Введем акцизный налог, его ставку обозначим t, т.е. за каждую проданную единицу товара продавцы платят налог t.

В качестве аксиомы примем, что после введения акцизного налога функция спроса не изменится: D~(p)=D(p), функция же предложения станет такой S~(p)=S(p-t) - ведь без акцизного налога продавец, назначая цену p , рассчитывает получить именно p с каждой единицы товара, а после введения налога с продаж он получит в итоге только (p-t).

Новое равновесное состояние рынка (после введения налога) найдем, приравняв функцию спроса и новую функцию предложения: D~(p)=S~(p), откуда получим новую равновесную цену (pt)=(a+c+bt)/(b+d) - видим, что новая равновесная цена больше прежней.

Налоговый орган хочет найти такую ставку t*, при которой взимаемый акцизный налог максимален. Для этого надо найти максимум по t функции

N(t)=t(pt)(c-d(pt))=t(a+c+bt)/(b+d)[c-d(a+c+bt)/(b+d)]. Оказывается, что

t*=(bc-ad)/(2bd), соответствующая равновесная цена (pt*)=c/(2d)+p*/2 - здесь p*=(a+c)/(b+d) - равновесная цена до введения налога с продаж. Акцизный налог, уплачиваемый при ставке t* равен N*=t*(pt*)(c-d(pt*)).

Нарисуем графики функции спроса D(p)=100-10p и функций предложения S(p)=-10+30p и S~(p)=-10+30((1-t*)p). Подсчитаем оптимальную ставку налога t*, акцизный налог по этой ставке и новую равновесную цену.

Оптимальная ставка налога:

t*=30*100-10*10/2*30*10=4,8

Новая равновесная цена:

(pt*)=100/(2*10)+2,75/2=6, 38

Налог по новой ставке:

N^*=4,8^*6,38*(100-10 ^*6,38)=1415

Налоги в теории фирмы

7.1. Налог на прибыль

Теория фирмы. В общем случае деятельность фирмы описывается производственной функцией f, которая устанавливает связь между вектором-столбцом использованных ресурсов X и величиной y выпускаемой продукции. Пусть w - цена этой продукции, P - вектор-строка) цен на ресурсы, тогда wf(X)-PX, т.е. выручка минус затраты есть прибыль фирмы и обозначается F(X). Известно, что состояние равновесия фирмы (в смысле оптимальности ее размера) характеризуется условием wf`(X)=P, где f`(X) есть вектор-строка частных производных f.

Рассмотрим частный случай. Пусть цена продукции фирмы w линейно падает с ростом объема поставки y на рынок: w(y)=a-by, себестоимость единицы продукции постояннa и равна c , так что издержки производства выражаются формулой:

C(y)=cy+d; a,b,c,d>0; (константа d имеет смысл расходов на поддержание нулевого уровня производства - такие расходы всегда есть, хотя бы, например, на зарплату сторожей).

Прибыль фирмы равна P(y)=yw(y)-C(y)=y(a-by)-(cy+d)=-by^2+(a-c)y-d. Пусть ставка налога на прибыль равна z, тогда налог равен zP(y), остаток дохода равен (1-z)P(y). При любой ставке налога z условие равновесия фирмы одно и то же: P`(y)=0, максимизирующий прибыль объем производства равен y*=(a-c)/2b, сама максимальная прибыль фирмы равна (a-c)^2/(4b)-d, цена продукции при таком объеме производства равна a-by*.

При конкретных данных a=100, b=10, c=14, d=10 и налоговой ставке z=0.24 начертим графики прибыли P(y), налога N, остатка налога R и найдём указанные характеристики.

Оптимальный объем производства:

y*=(100-14)/2*10=4,3

Цена продукции при таком производстве:

р=100-4,3*10=57

Максимальная прибыль:

Р=(100-14)І/(4*10)-10=246,5

Максимальная сумма налога:

N=246,5*0,24=59,16

Максимальный остаток дохода:

R=246,5-59,16=187,34

7.2.Акцизный налог

Пусть теперь фирма выплачивает акцизный налог (и только его) по ставке t, так что при объеме производства y доход фирмы будет уже I(y,t)=y(a-by)-(cy+d)-ty.

Для нахождения оптимального объема производства yt при ставке налога t найдем производную функции I(y,t) по y и приравняем ее нулю, получим yt=(a-c-t)/2b.

Налоговый орган выберет ставку t*, максимизирующую налог G(y)=ty. Имеем G(yt)=t(a-c-t)/2b. Функция G от t есть парабола, у ней ветви направлены вниз, а корни есть 0 и (a-с), так что максимум ее достигается при t*=(a-c)/2.

При этой ставке акцизного налога объем производства равен (a-c)/4b, сам максимум равен (a-c)І/8b, доход фирмы равен (a-c)І/(16b)-d, и видно что доход равен половине выплачиваемого налога минус константа d.

Перепишем доход фирмы после уплаты акцизного налога I(y,t)=y(a-by)-(cy+d)-ty=-b[y-(a-c-t)/(2b)]І+(a-c-t)І/(4b)-d.

При оптимальном для этой ставки налога объеме производства yt=(a-c-t)/2b получим I(yt,t)=(a-c-t)І/(4b)-d. Видно, что при приближении t к (a-c) доход фирмы становится нулевым, именно, при t~=(a-c-v(4bd)), а потом и отрицательным. Следовательно, после перехода ставки налога через критическое значение t~ объем производства станет нулевым - фирма перестанет работать или уйдет в "теневую экономику". График функции G c таким комментарием известен как кривая Лаффера.

При конкретных данных a=100, b=10, c=14, d=10 начертим кривую Лаффера и найдём указанные характеристики.

Оптимальная ставка акцизного налога:

t*=100-14/2=43

Максимальная сумма налога:

G=43*(100-14-43)/2*10=92,45

Критическая ставка налога:

t~=100-14-v4*10*10=66

Статистический анализ денежных потоков

8.1.Статистический анализ денежных потоков

Исходные данные для анализа: ежедневные (суммарные) денежные вклады населения, в отделение сбербанка в течение 4- недель (или аналогичный какой-нибудь денежный поток). Для удобства обработки все числа предполагаются целыми и не более чем двузначными, что всегда можно сделать округлением и масштабированием.

Данная программа не предназначена для обработки реальных данных, она имеет исключительно демонстрационный характер.

1-я неделя 2-я неделя 3-я неделя 4-я неделя

---------------- ---------------- ---------------- ----------------

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

15 8 8 8 8 8 ¦ 8 11 11 11 11 11 ¦ 11 0 2 18 16 6 ¦ 5 4 6 15 14 13

Объем выборки n = 24. Составим ранжированный ряд денежных потоков: 20,22,24,25,26,26 28,28,28,28,28,28 31,31,31,31,31,31 33,34,35,35,36,38

Составим дискретный вариационный ряд

xi	20	22	24	25	26	28	31	33	34	35	36	38
pi	1/24	1/24	1/24	1/24	2/24	6/24	6/24	1/24	1/24	2/24	1/24	1/24

2. Построим интервальный вариационный ряд. Для удобства возьмем a = 20, b = 40, h=2, v = 10.

[ai,ai) yi	[20,22) 21	[22,24) 23	[24,26) 25	[26,28) 27	[28,30) 29	[30,32) 31	[32,34) 33	[34,36) 35	[36,38) 37	[38,40) 39
pi	1/24	1/24	2/24	2/24	6/24	6/24	1/24	3/24	1/24	1/24

3. Найдем следующие показатели:

1)выборочную среднюю

- по исходному ряду данных:

_ (e₁ + … + e_n) У e_n

X = ------ЇЇЇЇ=---- =(20+22+24+25+26+26+28+28+28+28+28+ 28+31+31+31+31+31+31+34+35+35+

n n

+36+38)/24 = 708/24 = 29,5;

- по дискретному вариационному ряду:

X = (x₁p₁ + … + x_vp_v ) = У x_ip_i = 20•1/24+22•1/24+24•1/24+25•1/24+26•2/24+28•6/24+31•6/24+

+33•1/24+34•1/24+35•2/24+36•1/24+38•1/24 = 708/24 = 29,5;

_ - по интервальному вариационному ряду:

X = (y₁p₁ + … + y_vp_v ) = У y_ip_i = 21•1/24+23•1/24+25•2/24+27•2/24+29•6/24+31•6/24+33•1/24+

+35•3/24+37•1/24+39•1/24 = 722/24 =30,08;

2)выборочную дисперсию

- по исходному ряду данных:

У ( e_i - X_i)² У e_i² _---

S² = ------ЇЇ=---- - X² =(400+484+576+625+676+676+784+784+784+784+784+784+961+961+